设<和=为复数的实部和虚部（然后在V+iV上对其进行分量解释）。用∏表示span上的投影（<U） V和∏⊥= idV- π到正交跨度的投影（<U）⊥ 五、也用∏和∏表示⊥将这些投影延伸到V+V，例如∏（u）=∏（<u）+i∏（=u）。修理m∈ N和r>0并定义集合K={u∈ 库克≤ r} 。设p为跨度（<U）的维数。然后存在线性依赖（u，…，up）∈ K∩ <U和线性独立（向上+1，…，ud）∈ Π⊥K.修正s>0。Φ在紧集{（t，t，u）上是连续的：0≤ o（T，u）≤ T≤ T≤s+1，u∈ K} 。因此它是一致连续的。通过引理1.21 iii）Φs，s（u）=1，因此对于每个c>0，δ>0，使得|Φt，t（u）|≥ |Φs，s（u）|- ~c=1- ~c代表所有0≤ s- δ ≤ t、 s≤ T≤ s+δ。选择例如∧c=这给出了一个紧集，其上的chalsoψ是连续的，因此一致连续且有界。因此有 > η>0，每t∈ Is=（s，s+) 和q in（s）- , s+) ∩ [0，t）ψq，t（\'u），…，ψq，t（\'up）以及∏⊥ψq，t（\'up+1），Π⊥ψq，t（`ud）（1.21）对所有kui都是线性独立的- \'uik<η，1≤ 我≤ d和因福∈K |Φq，t（u）|>c和supu∈Kkψq，t（u）k<C引理1.26：设qk→ s和xqkbe是一个值在E中的序列. 对于t=t，我们设置MT，uT:=ehu，XTi。（i） 如果对于勒贝格几乎所有（t，u）∈ 是吗→∞Nt，uqk:=limk→∞ehψqk，t（t，u），xqki∈ C\\{0}，然后也是limk→∞E.（ii）如果存在一些（t，u）∈ 是这样的吗→∞ehψqk，t（，u），xqki=0，然后是limk→∞kxqkk=∞, i、 e.xqk→ . 如果（xqk）是偶数E值序列，那么relint（<U）6= 为了所有的你∈ relint（<U）limk→∞ehu，xqki=0。我们在本节末尾证明了这个引理。利用这个引理，我们得到如下结果。引理1.27:X是对X的修正(Ohm, AP），即P（~Xt=Xt）=1表示所有t≥ 0.证明。

通过引理1.25，我们可以Ohm和P(Ohm) = 1使得对于每个ω∈ Ohm（1.19）是几乎所有（T，u）的c`adl`ag函数。修正这样的ω∈ Ohm. 让qk↑↑ s或qk↓↓ s、 福尔（t，u）∈ 当x K和K大时，它认为Φqk，t（u）6=0。几乎所有人（t，u）∈ 是吗→∞Mt，uqk存在绝对值，并且由于Φqk，T（u）6=0也存在绝对值→∞ehψqk，t（u），Xqk（ω）存在单位值。引理1.26 limk→∞Xqk（ω）∈ E. 这适用于所有人≥ 所以对于每个ω∈ OhmX到Q的左右极限存在于E中和∧Xs（ω）=limqk↓↓sXqk（ω）定义了E中的c`adl`ag函数. 然后Ohm~Ohm 和P（）Ohm) = 1（对于P（）Ohm) 具体来说，我们认为P-完成A）。还有待证明，E-有价值的c`adl`ag过程X是对X的修改。由于X是随机连续的（见定义1.9后的注释），概率收敛意味着几乎可以确定每个t thatlimq沿着子序列收敛↓↓tXqp→ Xt=> 林克→∞对于所有ω，Xqk（ω）=Xt（ω）∈Ohm, 其中P（“”Ohm) = 1.然而，在Ohm 我们有那辆车→∞Xqk（ω）=limq↓↓tXq（ω）=Xt。这就产生了Xt=XtonOhm ∩Ohm. 因为P（）Ohm ∩Ohm) = 这证明了引理。这里X已经被解释为扩展概率空间上的一个过程(Ohm, 美联社）。备注：在单一测量值P下，我们也可以定义X= 在…上Ohm进行修改。但是Ohm取决于P，而Ohm 没有。当考虑马尔可夫过程（X，F，{P（s，X）}）时，这一点很重要，因为在马尔可夫过程中有一系列的概率测度。接下来，我们将展示X a.s.保持在, 只要是 或接近 从左边。请注意，这一点适用于X定义，但不一定适用于X定义:= inf{t>0:~Xt-=  或▽Xt=}.（1.22）引理1.28:X= 在[T]上, ∞) P-a.s。。证据通过定义X，X-=  暗示limq↑↑skXqk=∞ 和▽Xs=暗示limq↓↓skXqk=∞.

在任何一种情况下，如果有一个子序列qkw，其Xqk（ω）=（子序列可能取决于ω），然后通过定义X和, X= 在，∞) 然后▽X= 在[s]上，∞). 因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以限制toE值序列。假设有ω∈ Ohmq→ 她和林克在一起→skXq（ω）k=∞, 这样Xq（ω）∈ 对于所有的q（如果不是，引理已经是真的）。引理1.26 i）正勒贝格测度的is×K有一个子集（T，u），使得limq→sehψq，T（u），Xq（ω）要么为零，要么根本不存在。自ω∈ Ohm根据引理1.25，几乎所有（T，u）的极限值都存在∈ 是×K（记住Φ是连续的，Φ6=0）。因此有T（ω），u（ω）这样的limq→sehψt，t（ω）（u（ω）），Xq（ω）i=0。引理1.26 ii）则产生relint（<U）6= 为了所有的你∈ relint（<U）limq→sehu，Xq（ω）i=0。（1.23）因此我们可以∈ relint（<U）。根据引理1.21Φt，t（u）和ψt，t（u）是重值函数。对于T>0，我们可以选择s<T，使得ψT，T（u）∈ 对于s，relint（<U）和Φt，t（U）>0≤ T≤ T.考虑一下场景Ohms、 T={ω∈ Ohm: s<T（ω） <T}和方程（1.19）中的非负c`adl`ag鞅Ohm满足度MT，ut（ω）=Φt，t（u）ehψt，t（u），~Xt（ω）i∈ Ohms、 T导致（1.23）的考虑因素给出了ψT（ω） ，T（u），~XT（ω） （ω）i=0或ehψT（ω） ，T（u），~XT(ω)-（ω） i=0。根据定理二。78.1在罗杰斯和威廉姆斯[43]中，MT，ut（ω）=0表示所有T(ω) ≤ T≤ 助教。s、 在Ohms、 T.因为ΦT，T（u）>0，那么Xt（ω）= 对于T(ω) ≤ T≤ T.a.s.onOhms、 T.因为T>T（ω） ，通过定义X也就是Xt（ω）= 有一段时间∈ （T）（ω） ，T]。通过定义 X然后Xt（ω）= 在[T]上，∞) 因此，也就是∧Xt（ω）。由于TWA是任意的，所以引理如下。定义流程X:=XI[0，T)+ 我没有,∞).推论1.29：过程X在E中是c`adl`ag, 对X的修改和对已完成过滤概率空间的有效处理(Ohm, AP，FP，P）。证据引理1.27和引理1.28，X是对X的修正。

根据引理1.11，这是一个具有相同过渡函数的有效过程。请注意，“X”适用于toFP，但不一定适用于F。到目前为止，我们使用了一个单一的概率度量P。这证明了在定义1的意义上，对于一个明确的马尔可夫过程存在c`adl`ag修改。3.现在让（X，F，{P（s，X）}）成为定义1.6意义上的一个有效过程。Foreach（s，x）我们可以将推论1.29应用于(Ohm, A、 F，P（s，x））具有连续有效的跃迁函数（Ps+t，s+t）0≤T≤立即得到“X”的版本(Ohm, A（s，x），F（s，x），P（s，x）），其中A（s，x）是完整的σ-代数，F（s，x）t是关于度量P（s，x）的完整过滤。这种情况下的σ-代数仍然依赖于测度P（s，x）。要获得单个过滤定义，a:=\\（s，x）a（s，x），\'Ft:=\\（s，x）F（s，x）t，t∈ [0, ∞]. （1.24）我们现在可以制定本节的最终定理。定理1.30：设（X，F，{P（s，X）}）是一个马尔可夫过程，具有连续的传递函数。然后（\'X，\'F，{P（s，X）}）在(Ohm,\'A）是对具有c`adl`ag路径的A`neprocess（X，F，{P（s，X）}）的修改。证据集合{Xt6=\'\'Xt}对所有（r，x）都有P（r，x）-度量零。因此，它是“英尺”可测量的，因此是“英尺”可测量的，因此是适应的。根据推论1。29’X是一个马尔可夫过程(Ohm, A（s，x），F（s，x），P（s，x））和自¨Ft F（s，x）t，它也是较小过滤上的马尔可夫过程。因为这适用于所有的P（s，x），这证明了这个定理。注：对于具有连续传递函数的保守马尔可夫过程（见引理1.24），可以通过设置^X=\'xi{T来构造E值c`adl`ag过程= ∞} + XI{T< ∞}. 然后{^Xt6=Xt} {T< ∞}. 对于保守过程P（s，x）（T）< ∞) = 0代表所有（s，x），因此^x也是x的修正。a ffine过程的c`adl`ag版本具有强马尔可夫性。

设置¨X∞:= 还记得f吗() = 定理1.31:c`adl`ag过程（`X，`F，{P（s，X）}）是一个强马尔可夫过程，即对于每个停止时间τ，有界可测F和s≥ 0E（r，x）f（\'Xτ+s）| fτ= E（r+τ，\'Xτ）f（`Xs）= Pr+τ，r+τ+sf（`Xτ）。证据通过引理1.22，函数（s，x）7→ Pt，t+sf（x）是B（R）≥0)  电子测量。此外，（τ，\'Xτ）是\'Fτ/（B（R≥0)  E） -可衡量。所以E（r+τ，\'Xτ）[fu（Xs）]是\'Fτ可测的。对于停止时间τ，定义一个近似的停止时间序列τn（ω）：=（k2-nif（k）- 1)2-N≤ τ（ω）<k2-n、 k∈ N∞ 如果τ（ω）=∞.让∧∈\'Fτ。那么∧n，k:={ω：τn（ω）=k2-n}∩ Λ ∈\'\'Fk2-n、 简单马尔科夫性质yieldsE（r，x）fu（`Xτn+s）I∧=Xk∈NE（r，x）I∧n，kE（r，x）fu（`Xk2）-n+s）| Fk2-N=Xk∈NE（r，x）hI∧n，kΦr+k2-n、 r+k2-n+s（u）ehψr+k2-n、 r+k2-n+s（u），\'Xk2-nii=E（r，x）hI∧Φr+τn，r+τn+s（u）ehψr+τn，r+τn+s（u），\'xτnii。为了你∈ iV由支配收敛、Φ和ψ的连续性和¨XE（r，x）的右连续性决定fu（`Xτ+s）I∧= E（r，x）hI∧Φr+τ，r+τ+s（u）ehψr+τ，r+τ+s（u），\'xτii=E（r，x）I∧Pr+τ，r+τ+sfu（`Xτ）= E（r，x）hI∧E（r+τ，\'xτ）傅（Xs）i、 将引理1.22中的函数单调类定理应用于有界和可测函数f。如果我们假设过滤f是过程X的自然过滤，我们可以证明完成的过滤f（s，X）已经是正确连续的。通过定义“F”权利连续性转移到“F”。定理1.32：让F=FX成为有效过程X和a=FX的自然过滤∞. 那就是正确的连续性。证据为了说明这一点，我们使用Φ和ψ的连续性以及‘X是c`adl`ag这一事实。重复Cuchiero和Teichmann[10]中定理4的证明中的论点，用Φ和ψ的非齐次形式，我们得到了k∈ N、 你，英国∈ iV，t，tk∈ R≥0Ehehu，\'Xti+·huk，\'Xtki | FPti=Ehehu，\'Xti+·huk，\'Xtki | FPt+i。

（1.25）考虑函数SH的向量空间：={有界AP可测Z:EZ | FPt= EZ | FPt+}.这个空间包含常数函数，是一个单调类。集合C:={Qnl=1gl（Xtl），gl∈ Cexp，tl≥ 0，n∈ N} 来自Ohm 到R是在乘法下闭合的，生成FX∞（参见引理1.17）和by（1.25）是H的子集。Hencewe可以应用函数单调类定理（参见Revuz and Yor[42]中的定理0.2.2]）。这就产生了一个新的问题Z | FPt= EZ | FPt+对于有界外汇∞-可测量函数。现在考虑一下A∈ FPt+。然后是a组∈ Ft+和B，B∈ FP∞, 这样P（B）=P（B）=0和A\\B~A A.∪ B.对于Z=i，这里有一个FPt可测量F，这样IA=fINC+Iain，P（N）=0。由于FPt包含所有空集，因此fINCis FPt是可测量的。P（A）∩ N） =0，所以IainsPt也是可测量的。那么IaFPT是可测量的，A∈ FPt。因此，也就是∈ 这表明FPt=FPt+。如果F=fx且存在移位算子θt（例如，对于规范实现），则强大的马尔可夫性质扩展到`F∞-可测量Z，即对于所有s，t的停止时间τ≥ 0，x∈ E和有界的F∞-可测量ZE（s，x）Zoθτ| Fτ= 集合{Xτ6=}.接下来是Rogersand Williams[43]定理III.8和定理III.9中提出的论点。此外，推论1.23中引入的c`adl`ag属性和过滤结转到时空过程ΘX=（Θ，`X）的可能正确连续性。此外，我们还有（s，x）7的连续性→■Prf（u，u）（s，x）和强马尔可夫属性的证明也转移。然后，扩展的过滤F是C,inlar等人[28]意义上的右连续强马尔可夫过滤，并且可以在C,inlar等人[28]的马尔可夫半鞅设置中嵌入有效过程（另见第1.4节）。即。

如果（X，FX，{P（s，X）}）是转移函数的坐标过程，我们称之为c`adl`ag时间齐次强马尔可夫过程（~X，~F，{P（s，X）}），则连续有效转移函数{Ps，t}的正则时空实现。这里的过滤系数Ft=B（R≥0) “FTI是一种右连续的强马尔可夫过滤。引理的证明1.26本节中的证明严格遵循Cuchiero和Teichman[10]中的证明。引理1.33：设（xk）是一个E值序列，使得limk→∞∏xkexists Fitelly Value and lim supk→∞k∏⊥xkk=∞. 存在一个用againby（xk）表示的子序列（xk）和有限个正交方向gi∈ 跨度（<U）⊥真讨厌→∞xk-Xihxk，giigik，limk→∞hxk，gii=∞, 其中，发散率在某种意义上是不增加的→∞hxk，gi+1ihxk，gii<∞.固定v<T<σ（v，0），考虑集合T:={（s，T）：v≤ s≤ T≤ T}。然后存在连续函数R:T→ R> 0和λi:T→ V.这样对于allu来说∈ BiVR（s，t）：={u∈ iV:kuk<R（s，t）}hψs，t（u），gii=hλi（s，t），ui。（1.26）备注：上述引理表明，如果xkis仅在跨度（<U）内发散⊥,我们可以找到发散方向∈ 跨度（<U）⊥以及在iV中的开集，所以对于所有i，hψs，t（u），gi在u中是线性的∈< <U>⊥和<ψs，t（u）∈ Uhψs，t（u），gii=h∏⊥<ψs，t（u）+i∏⊥=ψs，t（u），gii=ih=∏⊥ψs，t（u），gii，（1.27），并且它有助于显示h=π的线性⊥ψs，t（u），gii。1.33的证据。对于第一部分，我们可以通过归纳选择（xk）的子序列来选择收敛方向，其中gl=limk→∞xk-Pl-1j=1hxk，gjigjkxk-Pl-1j=1hxk，gjigk收敛。例如g=limk→∞xkkxkk。通过构造，眩光是正交的。进一步选择（xk）的子序列，可以安排l中的收敛率不增加。接下来注意Φs，t（0）6=0表示（s，t）∈ T通过Φ的连续性，r>0，因此Φs，t（u）6=0表示u∈ BiVrand（s，t）∈ T

为了你∈ BivrdefineΘ（u，x）：=Ps，tfu（x）Φs，t（0）ehψs，t（0），πxi=Φs，t（u）ehψs，t（u），xiΦs，t（0）eh∏ψs，t（0），πxi。引理1.21 ii）=Φs，t（0）=ψs，t（0）=0和Φs，t（0）eh∏ψs，t（0），πxi>0。由于非特征函数始终是正定义的，我们得出结论，对于所有x，在Bivr中Θ（·，x）是正定义函数∈ E.自ψs，t（0）∈ <U、 因此∏ψs，t（0）=ψs，t（0）。因此Θ（0，x）=1，由引理3.2得出。在Keller-Ressel等人[35]|Θ（u+v，x）- Θ（u，x）Θ（v，x）|≤ 1，u，v∈ BiVr。（1.28）使用<ψs，t（u）∈ <U 跨距（<U）和∏===one获得sps，tfu（x）=Φs，t（U）| eh∏<ψs，t（U），πxii（arg（Φs，t（U））+h=ψs，t（U），πxi+h=π⊥ψs，t（u），π⊥xi）。定义以下连续函数β（u，v，s，t）：==π⊥ψs，t（u+v）β（u，v，s，t）：==π⊥ψs，t（u）+=π⊥ψs，t（v）r（u，v，x，s，t）：=Φs，t（u+v）Φs，t（0）经验h<π（ψs，t（u+v）- ψs，t（0）），πxir（u，v，x，s，t）：=Φs，t（u）Φs，t（v）Φs，t（0）经验h<π（ψs，t（u）+ψs，t（v）- 2ψs，t（0）），πxiα（u，v，x，s，t）：=argΦs，t（u+v）Φs，t（0）+ h=∏ψs，t（u+v），∏xiα（u，v，x，s，t）：=argΦs，t（u）Φs，t（v）Φs，t（0）+ h=π（ψs，t（u）+ψs，t（v）），πxi。在方程（1.28）中插入（并抑制函数的参数）1≥rei（α+hβ，π）⊥十一）- rei（α+hβ，π）⊥十一）= r+r- 2rrcos（α- α+hβ- β, Π⊥xi）。自从r+r≥ 这是u，v的收益率∈ Bivr和x∈ 犯错误1.- cos（α）- α+hβ- β, Π⊥十一）≤. （1.29）此外，定义（x，s，t）：=supρ ≤r:r（u，v，x，s，t）r（u，v，x，s，t）≥为了你，v∈ BiVρ.R（x，s，t）>0表示x∈ E、 因为r（0，0，x，s，t）=r（0，0，x，s，t）=1并且是连续的。这也给出了R（x，s，t）的连续性。由于limk∏xkexists的值是有限的，因此alsoR（s，t）：=infkR（xk，s，t）>0。现在假设h∏⊥=ψs，t（u），gi对u不是线性的∈ BiVR（s，t）。然后通过β和β的连续性，存在u*, 五、*∈ BiVR（s，t）和开放社区O BiVR（s，t），使得hβ（u，v，s，t）- β（u，v，s，t），gi 6=0，左侧在O上不是常数。α，α在x上是连续的，仅通过∏x依赖于x。

因为∏xkis收敛，而∏⊥XKI在GT方向以最高的发散率发散，存在一些（u，v）∈ O和一些k∈ N、 例如cos（α（u，v，xk，s，t）- α（u，v，xk，s，t）+hβ（u，v，s，t）- β（u，v，s，t），π⊥（xki）≤.加上r（u，v，xk，s，t）r（u，v，xk，s，t）≥这个yieldsrr（1- cos（α）- α+hβ- β, Π⊥xki）≥>,这与方程（1.29）相矛盾。Hencehβ（u，v，s，t）- β（u，v，s，t），gi=0表示所有（u，v）∈ BiVR（s，t）。这给出了h∏的线性度⊥=ψs，t（u），gi代表u∈ BiVR（s，t）。方程（1.27）这相当于hψs，t（u），gi的线性。因为ψs，t（u）是连续的，所以有一个连续函数λ（s，t），使得hψs，t（u），gi=hλ（s，t），ui（1.30）对于所有的u∈ BiVR（s，t）。归纳式的进行给出了断言。1.26 i）的证明。选择（t，u）∈ 是×K，所以limk→∞Nt，uqk∈ C\\{0}。这意味着存在N，使得xqk6= 尽管如此，k≥ N.我们传递给qk的子序列，这样qk≤ t和xqk∈ E（这只排除了序列中的许多成员）。财务状况：=lim supk→∞h<ψqk，t（u），xqki，a:=lim infk→∞h<ψqk，t（u），xqki。自从limk→∞Nt，uqkexists具有单位价值，A是有限的，由于极限不消失，A是有限的。因此存在子序列，因此A=limm→∞<阿曼达=liml→∞<式中，Am:=hψqkm，t（u），xqkmi和al:=hψqkl，t（u），xqkli。辛塞尔→∞Nt，uqkexists的绝对价值，我们得到了这个极限→∞e<Amcos=Am=liml→∞e<alcos（=al），limm→∞e<Amsin（=Am）=极限→∞e<alsin（=al）。取平方，用cos（x）+sin（x）=1，得到A=A，并证明A的存在性→∞h<ψqk，t（u），xqki=limk→∞h<ψqk，t（u），πxqki。（1.31）正确选择“u”。“\'upfrom（1.21）给出了→∞πxqk。（1.32）我们现在集中讨论∏⊥xqk。注意∏⊥ψs，t（u）=i∏⊥=ψs，t（u）。（1.32）和（1.31）alsolimk→∞呃∏⊥ψqk，t（u），π⊥xqki∈ C\\{0}（1.33）几乎所有（t，u）∈ 假设Lim supk→∞k∏⊥xqkk=∞.那么我们就处在引理1.33的情况下。

存在qk的方向和顺序，同样用qk表示，比如xqk-Pihgi和Xqkigi融合在一起。Foreach t∈ 在传递到一个子序列之后，使得qk<t集R（t）=infkR（qk，t），其通过R的连续性和严格正性严格大于0。所以对你来说∈ BiVR（t）∩ K和K大∏⊥ψqk，t（u），gii=hλi（qk，t），ui。利用这一点，我们可以将指数写在方程（1.33）（沿子序列）ash∏中⊥ψqk，t（u），xqk-Xihgi，xqkigi+Xihgi，xqkihλi（qk，t），ui。通过引理1.21 iii），ψs，s（u）=u。因此我们可以找到u和gi，这样h∏⊥ψs，s（u），gii6=0。通过ψ的连续性，我们可以找到t∈ 是吗∈ N和一组（开放的）正测度O BiVR（t）∩ 为了所有的人≥ N、 u∈ Ohλi（qk，t），ui=h∏⊥ψqk，t（u），gii6=0。（1.34）此外，O的选择方式可以使→∞ZiVIO（u）eh∏⊥ψqk，t（u），xqk-Pihgi，xqkigiiehPihgi，xqkiλi（qk，t），uidu 6=0。（1.35）fk（u）：=IO（u）eh∏⊥ψqk，t（u），xqk-Pihgi，xqkigi一致收敛于一个有界函数f（u），而lepihgi，xqkiλi（qk，t）发散（1.34），引理1.33。根据黎曼勒贝格引理，（1.35）中的极限为零，这就产生了矛盾。我们结束了晚餐→∞k∏⊥xqkk<∞.Cauchy-Schwarz给出| h∏的一个应用⊥ψqk，t（u），π⊥xqki |=| h=∏⊥ψqk，t（u），π⊥xqki|≤ k=π⊥ψqk，t（u）kk∏⊥xqkk。对于足够大的k∏⊥xqkk以lim supk为界→∞k∏⊥xqkk+1。此外，k=∏⊥ψqk，t（u）k≤ k=π⊥（ψqk，t（u）- u） k+k=π⊥（u） k，其中使用ψ的连续性，可以通过选择u small，k large和t接近s，使这两项任意变小，即存在k，t，u，因此-π<=h∏⊥ψqk，t（u），π⊥xqki<π。由于（1.33）收敛完全且非零值，limk→∞h∏⊥ψqk，t（u），π⊥xqki∈ iR。用这个做d- p正确选择线性无关向量up+1，从（1.21）我们得出结论→∞Π⊥xqkexists受到了绝对的重视。

加上（1.32），由于E是闭合的，这证明了i）。为了证明ii），注意ψqk，t（u）在is×K上有界，因此ii）的假设只能在limk时成立→∞kxqkk=∞. 如果xqkis是E值的，则进一步morelimk→∞h<ψqk，t（u），xqki=-∞ （1.36），因此对于子序列qk，t（u）6=0。因为Φqk，t（u）>0表示k大，所以我们有u∈ Q和ψqk，t（u）∈ U.因此<u6= 自从你 relint（<U），relint（<U）不能为空。由（1.36）可知，limk→∞k∏xqkk=∞. 有一个子序列和一些方向∈ 跨越（<U）这样的界限→∞hg，xqki=∞. 为了你∈ relint（<U）有 > 以至于你+G∈ relint（<U），根据U的定义，它意味着supx∈埃胡+g、 xi<∞. 因此limk→∞胡，xqki=-∞, 1.4正则性和半鞅特征请记住，状态空间E是实向量空间V的子集。过滤概率空间上的E-valuedc`adl`ag过程X(Ohm, A、 F，P）是半鞅，如果它可以分解为（F，P）-局部鞅M和有限变分过程A，即X=X+M+A。关于半鞅（和半鞅特征）的介绍，我们参考Jacod和Shiryaev[29]。设X是半鞅。X的跳跃度量定义为uX（dt，dx；ω）=XsI{Xs（ω）6=0}δ（s，Xs（ω））（dt，dx）。注意这里Xt=Xt-Xt-指的是过程的跳跃，而不是墓地。由于这两种符号在各自的领域都有很好的应用，我们将使用 两者皆有。不应该有混淆这一点的风险。用ν（dt，dx；ω）表示该随机测度的补偿器。设h表示这些半鞅特征的截断函数，即有界函数h:V→ V的h（x）=x在0的邻域中。

过程^Xt=Xt-Xs≤t(Xs- h(Xs）则具有有界跳，是一个特殊的半鞅，具有唯一的正则分解^X=X+^M+^B，其中^M是局部鞅，^B是可预测的单位严格来说，半鞅仅定义为Rd值过程。然而，对于维数为d的V，我们定义了Rd和V之间的同构，在这种情况下，通过该同构定义的Rd上的相应过程可以理解半鞅性质。变异过程。进一步考虑C=[Xc]=[^Mc]，它是半鞅的连续局部鞅部分的二次变分。三元组（^B，C，ν）被称为X的半鞅特征的一个版本。请注意，特征^B取决于函数h的选择。它们被定义为概率为零的一组。如果特征值等于（^B，C，ν）直到一组概率为零，我们也将其称为（^B，C，ν）。半鞅性质和上述分解依赖于滤波和概率测度。对于马尔可夫过程（X，F，{P（s，X）}），存在多个度量，我们做出以下定义。定义1.34：E值c`adl`ag马尔可夫过程（X，F，{P（s，X）}）是马尔可夫半鞅，如果X是a（F，P（s，X））-所有（s，X）的半鞅。注意，我们仅限于E值马尔可夫过程。这意味着我们只处理保守的有效过程（见引理1.24）。一种包括墓地州的方法 是考虑 作为V\\E中的一点（参见Cheriditoet al.[8]）。然而，这造成了一些困难（比较脚注7和8），因此我们排除了这种情况。定义1.34只要求半鞅性质适用于所有概率测度P（s，x）。对于时间齐次马尔科夫过程，如C,inlar等人所示。

[28]那个么，对于所有测度Px，也存在半鞅特征的不同版本的过程。对于时间均匀的a函数过程，Cuchiero and Teichmann[10]和Keller Ressel等人[37]得出了以下结果。用S（V）表示V上的正半单位矩阵，用M（V）表示V上的（有符号）度量集u。设h表示半鞅特征的无约束函数，即有界函数h:V→ V与h（x）=x在0附近。定理1.35：设（X，F，{Px}）为保时齐次连续有效转移函数的E值c`adl`ag正则实现。那么就有b了∈ V，a∈ S（V），m∈ M（V）与线性映射β：E的限制→ V，α：E→ S（V）和M:E→ M（V），这样对于所有的u∈ UF（u）：=tφt（u）t=0+，R（u）：=tψt（u）t=0+存在，即X是正则的。F和R由F（u）=hu，aui+hb，ui+ZV给出呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uim（dξ），hR（u），xi=hu，α（x）ui+hβ（x），ui+ZV呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uiM（dξ；x）。（1.37）在这里，这个结果是为保守的过渡函数公式化的。Φ和ψ满足t<σ（u）=inf{s的广义Riccati微分方程≥ 0:Φs（u）=0}，即。tΦt（u）=Φt（u）F（ψt（u）），Φ（u）=1，tψt（u）=R（ψt（u）），ψ（u）=u.（1.38）此外，X是马尔可夫半鞅，其中（B，C，ν）由bt=Ztb+B（Xv）给出-) dv，Ct=Zta+A（Xv-) dv，ν（dt，dξ）=（m（dξ）+m（dξ；Xt）-)) dt是X在每个测量Px下的特征的一个版本。备注：请注意，在一般状态空间E上，我们无法对参数b、β、a、α、m、m进行更多说明。对于给定的状态空间，这些参数必须满足附加条件，从而保证过程保持在状态空间内。对于正则状态空间Rm≥0×RN杜菲等人[16]提出了此类受理条件。

利用这些可容许条件，他们给出了正则状态空间上时间齐次连续有效过程的一个特征。在Cuchiero等人[11]中，也推导了矩阵值过程的容许条件。我们想把定理1.35的结果推广到时间非齐次过程。下面的例子表明，这不能完全概括地实现。有些过程具有连续有效的转移函数，它们不是半鞅，有些过程具有非正则的时间非齐次马尔可夫半鞅。其中一些例子在定义1.3中使用了马尔可夫过程，因为本质问题更容易发现。然而，在给定转移函数的情况下，我们总是可以在定义1.6的意义上构造一个马尔可夫过程，然后在这类马尔可夫过程中产生一个反例。例1：每个确定性实值函数f通过过渡函数ps，t（x，dξ）=δx+f（t）生成一个时间不均匀的函数过程-f（s）（dξ）。引理1.4中存在测度P（s，x），使得转换函数（x，FX，{P（s，x）}）的标准实现是Φs，t（u）=eu（f（t）的函数-f（s）），ψs，t（u）=u（1.39）。在这种情况下，过程X是P（s，X）-a.s。用xs描述，xt=X+f（s+t）- f（s），t≥ 0.如果函数f是连续的，则函数f的过渡函数是连续的。如果f不是有限变差，则马尔可夫过程不是半鞅（命题I.4.28，Jacod和Shiryaev[29]）。下面是一个不确定的例子。例2：设X为(Ohm, A、 F，P）与E=[A，∞), a>0（例如，移位的CIR过程）和f:R≥0→ [1, ∞) 一个连续函数，它不是有限的变化。

考虑进程Yt=f（t）Xt，它随后具有相同的状态。然后是一段时间∈ B（E），Y-1t（A）=X-1t（f（t）-1A）∈ 自由贸易区ehu，Yti | Fs= Eehf（t）u，Xti | Fs= Φs，t（f（t）u）ehψs，t（f（t）u），Xsi。因此Y是一个ΦYs，t（u）=ΦXs，t（f（t）u），ψYs，t（u）=ψs，t（f（t）u）f（s）的有效过程。Y的转移算子定义为pys，tg（Y）=ZEg（f（t）ξ）PXs，t（f（s）-1y，dξ）。如果X是一个半鞅，则由^o引理X-1也是一个半鞅。假设y是一个半鞅。那么f（t）=YtX-这是一个半鞅。因为f不是有限的变量，所以这不可能是真的。因此Y不是半鞅。此外，时间不均匀的连续有效过渡函数可能不是正则的。这里的规律性定义如下。定义1.36：E上的转移函数{Ps，t}是正则的-xi特湖sPss=t=-林斯↑tt- s（Ps，tfu（x）- fu（x））存在于所有（t，x，u）∈ R> 0×E×U，并且在所有（t，x）的U=0时是连续的∈ R> 注：对于一个有效的转移函数，应用链式规则和假设1可以得出这等价于Φ和ψ的左导数的存在，即。-sΦs，t（u）|s=t，-sψs，t（u）|s=t。这在菲利波维奇[21]的定义2.3中被称为弱正则。例3：设f:R≥0→ R≥0是一个连续的、不减损的函数，X是一个时间均匀的连续有效进程(Ohm, A、 F，P）。然后时间转换过程Yt=Xf（t）满足要求ehu，YTi | Ff（t）= Φf（T）-f（t）（u）ehψf（t）-f（t）（u），Yti。这对应于转换函数pys，t（x，·）=PXf（t）-f（s）（x，·）。{PYs，t}又是ΦYs，t（u）=ΦXf（t）的函数-f（s）（u）和ψYs，t（u）=ψXf（t）-f（s）（u）。由于Φx和ψx是连续的，ΦYandψy也是连续的。康托函数是一个连续的非减量函数f:[0,1]→ [0，1]这样＠f的导数几乎处处为零，否则不存在（因此该函数不是绝对连续的）。在[0,1]上设置f=~f，并且f（t）=1≥ 1.

对于这个f，转移函数{PYs，t}不是正则的。一个具体的例子是Xt=Bf（t），其中B是布朗运动。最后的例子表明，正则性本身并不意味着X是半鞅。因此，半鞅性质和正则性必须分开处理。例4：考虑函数g（t）=（tsin（1/t）ln（t/2）0<t≤ 1.0吨≤ 0.g在[0,1]上是可微的，但有无限的变化（见Guzman[27]，第294页）。注意，这个函数的导数在t上发散和振荡→ 0.使用f（t）=g（1）- t） 例1给出了一个有效过程，它是正则的，但不是半鞅。1.4.1一个有效的马尔可夫半鞅let（X，F，{P（s，X）}）是定义1.34意义下的马尔可夫半鞅，具有一个连续的转移函数。到目前为止，我们只要求所有概率测度P（s，x）的半鞅性质成立。为了找到每个测量P（s，x）下的特征版本，我们使用C,inlaret al[28]的设置。因此，我们使用Emma 1.13中介绍的时空过程ΘX=（Θ，X）。注意，对于一个连续有效的转移函数，我们可以使用乘积σ-代数E:=B（R）≥0)  E onE:=R≥0×E和A:=B（R）≥0)  一个Ohm := R≥0×Ohm. 过滤系数F由Ft=B（R）给出≥0)  那么（~X，~F，{P（s，X）}）是（~Ohm,~A）具有状态空间（~E，~E）。因为在扩展空间（）Ohm,~A）X（s，ω）=X（ω），我们使用相同的字母X来表示(Ohm, A） 然后继续Ohm,)A）。如果不清楚，我们具体指的是潜在的概率空间。我们假设过滤F是一个右连续的强马尔可夫过滤（见C,inlar等人[28]）。注意，强马尔可夫过滤的定义要求X和X的移位算子θt的存在Ohm, 它们被扩展到X和Ohm 通过∧θt（s，ω）=（s+t，θt（ω））。

对于连续跃迁函数的规范时空实现，这始终是正确的（见第1.3节）。通过这种设置，我们可以使用C,inlar等人[28]的结果。定义1.37：如果所有（s，x）F=0和Fv+t（r，ω）=Fv（r，ω）+Ft的P（s，x）-A.s，则随机过程F称为加法oθv（r，ω）=Fv（r，ω）+Ft（r+v，θv（ω））。引理1.38：存在。一种适应的加法过程F（r，ω），对于每个度量P（s，x），它不从F=0a.s.减少，因此F是P（s，x）-对于所有（s，x）而言，与可预测的过程不可区分。可选过程bt（r，ω）和ct（r，ω）的值分别为V，S（V），3。一个正核Kt（dy；（r，ω））来自（~Ohm, O（~Ft））给出M（V）中的度量，使得b=b·F，C=C·F，ν（dt，dξ；（r，ω））=Kt（dξ；（r，ω））dFt（r，ω）（1.40）是X在（~Ohm,在每种测量下P（s，x）。我们说（b，c，K，F）给出了（X，~F，{P（s，X）}）的半鞅特征的一种形式。证据如果（X，F，{P（s，X）}）是马氏半鞅，那么（X，~F，{P（s，X）}）也是马氏半鞅。此外，Xt-Xis是一个加法过程。将C,inlar等人[28]中的定理6.25应用于X- X给出了结果。引理1.38中的函数F远不是唯一定义的。受例3的启发，我们期望引理1.38中的函数F甚至可以被选择为确定性函数（这里的确定性函数总是指独立于ω的函数）。我们的想法是构造这样一个候选者，并证明F对于这个候选者是“绝对连续的”。然后我们继续说明，当F是确定性的时，b，c和K可以表示为（Θ，X）的函数，这在X中是有效的。注意，我们不能期望这对非确定性的F是正确的。O（~Ft）表示~Ft可选σ-代数（见C,inlar等人。

[28]).注意Xτ- Xis不再是一般停止时间τ的加法过程，这就是为什么我们不能直接使用定理6.25来通过在itexplodes之前停止过程来处理爆炸过程。例5：假设F独立于ω，并选择一个有界函数F:E→ R> 0。定义Ft=Rtf（~Xs）dFs。那么F是加法的，不减量的，~F=0，但是F取决于ω。~X的特征也可以写成关于任何此类~F的积分。定义1.39：我们称之为有限变差（FV）的一个有效过渡函数，如果它映射到T7→ Φt，t（u）和t7→ hψt，t（u），x的xi∈ E是[v，T]在v>o（T，u）之前的有限变化。注：设{Ps，t}是马尔可夫半鞅的连续有效转移函数。我们猜想a ffine转移函数是自动的FV（另见引理1.44）。然而，到目前为止，我们无法证明这一点。对于具有有限变量的有效转移函数的马尔可夫半鞅，我们为F构造了一个确定性候选者，如下所示。固定假设1中存在的E的一个基，并设置ψit，T（u）：=hψT，T（u），xi- xi设置o（T，u）=（o（T，u）+T）并定义非减损连续函数gt，u（T）：=Zt∧Tt∧~o（T，u）d |Φs，T（u）|+dXi=1d |ψis，T（u）|，其中我们对s积分，d | f（s）|表示f的总变化量。考虑R的可数密集子集≥0×iV表示该集合的索引元素，由（Ti，ui），i∈ N.从现在开始，当编写索引的Tior ui时，这总是指这个集合中的点。定义权重swi=2-iGTi，ui（Ti）IGTi，ui（Ti）>0和setG（t）：=t+Xi∈NwiGTi，ui（t）。（1.41）权重保证该和收敛。函数G是连续的，严格递增的和| G（t）|≤ 1+t。我们使用函数G来定义过程Gt（r，ω）：=Gt（r）：=G（r+t）- G（r）。G独立于ω和加法，即Gs+t（r）=Gs（r）+Gt（s+r）。这就是提到的候选人。

用这个结构dΦ·，Ti（ui）和dψj·，Ti（ui），j=1，d、 对于所有i，绝对连续的w.r.t.dG在[o（Ti，ui），Ti]）上。用s7表示它们相对于dG的（确定性）密度→ fΦ（s；Ti，ui）和s7→ fψ（s；Ti，ui）。修正（s，x）和T>s和u∈ iV考虑一致有界（~F，~P（s，x））鞅mt-s、 ut=E（s，x）hehu，XT-si | Fti=Φs+t，t（u）ehψs+t，t（u），Xti，0≤ T≤ T- s、 （1.42）如果认为墓地州 作为V\\E中的一个点，方程（1.42）中的第二个恒等式不再适用于经典指数函数。必须使用修正函数f，其等于ehu、xion U×E和satis f（U，) = 0.然而，在这种情况下，必须修改方程式（1.44）以修正跳变.根据定理二。34 Jacod和Shiryaev[29]以及引理1.38 X可以分解为xv=X+ZvbtdFt+ZvZV（ξ- h（ξ））uX（dt，dξ）+Nv，（1.43），其中uXis与X和N的跳跃相关联的随机测度是（~F，~P（s，X））局部鞅（对（r，ω）的依赖被抑制）。

分部积分和It^o引理在机器翻译中的应用-s、 结合半鞅的性质，给出了r的特征≥ 0和o（T，u）- s<r≤ 五、≤ T- sMT-s、 紫外线-机器翻译-s、 ur=ZvrMT-s、 ut-dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+Φs+t，t（u）dehψs+t，t（u），Xti=ZvrMT-s、 ut-dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+dhψs+t，t（u），Xti+d[hψs+t，t（u），Xti]c+ZvrZVMT-s、 ut-ehψs+t，t（u），ξi- 1.- hψs+t，t（u），ξiuX（dt，dξ）=ZvrMT-s、 ut-dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+hdψs+t，t（u），Xt-i+hψs+t，t（u），dBti+hψs+t，t（u），dCtψs+t，t（u）i+hψs+t，t（u），dNti+ZvrZVMT-s、 ut-ehψs+t，t（u），ξi- 1.- hψs+t，t（u），h（ξ）iuX（dt，dξ）。用ν补偿并使用（1.40）给定的SMT-s、 紫外线=MT-s、 ur+（~Nv）-~Nr）+ZvrMT-s、 ut-dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+hdψs+t，t（u），Xt-i+κ（ψs+t，t（u））dFt,（1.44）当积分与t有关时，κ定义为（r，ω）∈~Ohm asκt（u；（r，ω））：=hu，bt（r，ω）i+hu，ct（r，ω）ui+ZVehu，ξi- 1.- 胡，h（ξ）iKt（dξ；（r，ω））和＠Nr是由＠Nr=ZrMT给出的局部鞅-s、 ut-hψs+t，t（u），dNti+ZrMT-s、 ut-ZVehψs+t，t（u），ξi- 1.- hψs+t，t（u），h（ξ）i（uX）- ν） （dt，dξ）。自从-s、 如果是鞅，则（1.44）右侧的有限变化部分必须消失。对于（T，u）=（Ti，ui），这就给出了P（s，x）a.s。

对于t in[~o（Ti，ui）- s、 钛- s] fΦ（s+t；Ti，ui）Φs+t，Ti（ui）+hfψ（s+t；Ti，ui），Xt-idG（s+t）=-κt（ψs+t，Ti（ui））dFt。（1.45）对于每一个i，方程（1.45）不成立的集合是一组P（s，x）-测量零。通过这些集合的可数并集，我们找到了一组P（s，x）-度量为零的集合，其中补码（1.45）同时适用于所有i。方程（1.45）几乎给出了dF·（s，ω）相对于dG·（s）的绝对连续性。如果κt6=0，我们可以用κtin方程（1.45）进行“除法”，并且基本完成。接下来的引理表明，我们基本上总是可以找到（Ti，ui），我们可以这样做。引理1.40：考虑集合Γ（s，ω）：={t>0:κt（ψs+t，Ti（ui）；（s，ω））=0，对于所有i和s+t∈ [o（Ti，ui），Ti]}。关于Γ（s，ω），它认为bt（s，ω）=0，ct（s，ω）=0，Kt（dξ，（s，ω））=0。证据Fix（s，ω）和t∈ Γ（s，ω），u∈ iV 有一个序列（Tk，uk）和Tk↓ 英国s+t→ u、 通过传递到一个子序列，同样由（Tk，uk）表示，可以假设0≤ o（英国蒂克郡）<Tk≤ s+t+1和o（英国塔克郡）→ 五、≥ 0.Φ的连续性产生Φo（Tk，英国），Tk（英国）→ Φv，s+t（u）。因此，根据o（英国Tk）的定义，v=0或Φv，s+t（u）=0。在这两种情况下≤ o（s+t，u）<s+t.集 := s+t- v>0。有安，所以不管怎么说≥ 否（英国塔克郡）≤ 五+= s+t-.选择足够大的N，以增加s+t≤ Tk≤ s+t+, 这就是为什么≥ No（英国蒂克郡）=Tk+o（英国蒂克郡）≤s+t++ s+t-= s+t-< 因此我们得到κt（ψs+t，Tk（uk）；（s，ω））=0或全部k≥ N.通过ψ的连续性，ψs+t，Tk（uk）→ ψs+t，s+t（u）=u和自u 7→ κt（u；（s，ω））对于每个（s，ω）是连续的，因此κt（u；（s，ω））=0。这对美国所有人都适用∈ 通过L’evy Khintchine表示的唯一性（引理II.2.44，Jacod和Shiryaev[29]），这将转移到b，c，K。对于每一个（s，ω），限制在Γ（s，ω）的补的度量dF（s，ω）是R上的度量≥0

用∧Ft（s，ω）表示其分布函数，F（s，ω）=0。ByLemma 1.40和（1.40）（b，c，K，ΓF）也是X.defineΓ的半鞅特征的一个版本*:= {（r，ω）∈~Ohm : dF·（r，ω） dG·（r）}。引理1.41:P（s，x）（Γ）*) = 1个代表所有人（s，x）。证据修正（s，x）。自?P（s，x）（{s}×）Ohm) = 1有必要显示P（s，x）（Γ）*s） =1，带Γ*s={（s，ω）：ω∈ Ohm, dF·（s，ω） dG·（s）}。利用积分的结合性，我们可以除以κt（ψs+t，Ti（ui）；（s，ω）在（1.45）中，当它不等于零时。对于每个定义∧i（s，ω）：={t≥ 0：κt（ψs+t，Ti（ui）；（s，ω））6=0和s+t∈ [o（Ti，ui），Ti]}。修正（s，x）。然后（1.45）加上F的构造，得到P（s，x）-a.s.的alli∈ NI∧i（s，ω）（t）dFt（s，ω）=Hit（s，ω）dGt（s）（1.46）与一些函数t7→ 击中（s，ω）。加权sumPi-iI∧i（s，ω）≤ 1在Γ（s，ω）的补码上是严格正的。再加上方程式（1.46），这就使得ΓP（s，x）-a.s.在Γ上*sdF·（s，ω） dG·（s）。引理1.41（b，c，K，\'F）加上\'F=~F IΓ*给出了X在每一个P（s，X）下的半鞅特征。d\'F·（r，ω） dG·（r）表示所有（r，ω），我们用t7表示密度→ f（t；r，ω）。定义b=fb，~c=fc和＠Kt（dξ，（r，ω））=Kt（dξ，（r，ω））f（t；r，ω）。（1.47）然后（~b，~c，~K，G）给出与（b，c，K，\'F）相同的特性。G是连续的，因此是命题II。2.9 i）在Jacod和Shiryaev[29]中，在每个测度P（s，X）下，Xτ是准左连续的。因此，我们也可以应用C,inlar等人[28]中的定理6.27，得到存在的1。一种改进的非减量连续加法过程F2。E-可测量函数b和c，其值在V和S（V）3中。

（E，~E）中的正核K（dy；t，x）给出M（V）中的度量，使得（B，C，ν）由bt（r，ω）=Ztb（ΘV（r），Xv）定义-（ω） dFv（r，ω），Ct（r，ω）=Ztc（Θv（r），Xv-（ω） dFv（r，ω），ν（dt，dξ；（r，ω））=K（dξ；Θt（r），Xt-（ω） dFt（r，ω）（1.48）是每个P（s，X）下X的特征的一个版本。如前所述构造F，这样（b，c，K，\'F）也给出了半鞅特征和d\'F·（r，ω） dG·（r）。G是连续且严格递增的。我们定义了一个时间变化ηt（r）=ηt（r，ω）：=inf{v≥ 0:G（v+r）- G（r）≥ t} 。（1.49）有关交换Stieltjes积分规则的讨论，请参见命题0.4.10 Revuz和Yor[42]或Falkner和Teschl[20]。那么对于^Ft（r，ω）=Fηt（r）（r，ω），我们有d^F dt（注意Gηs（r）-G（r）=s）。C,inlar等人[28]中定理3.55的第一部分与命题3一起证明。56应用于^F表明存在一个非负的E-可测函数h，例如Ft（r，ω）=Zth（Θv（r），Xv）-（ω） dGv（r）~P（s，x）-每个（s，x）下的a.s。设置\'b=bh，\'c=ch，\'K=Kh。然后（\'b，\'c，\'K，G）通过（1.48）给出X的特征的厌恶，用（\'b，\'c，\'K，G）代替（b，c，K，F）。我们可以用下面的引理来总结。引理1.42:X，F，{P（s，X）}的特征的一个版本由（\'b，\'c，\'K，G）通过方程（1.48）给出，其中1。G是由Gt（r，ω）给出的加法过程：=G（r+t）-G（r）对于G（0）=0.2的严格递增连续函数G（t）。\'b（t，x）和\'c（t，x）是可测量的函数，其值分别为V和S（V），3。“\'K是一个正核”\'K（dy；t，x）来自（~E，~E），给出M（V）中的度量。为了按照定理1.35的精神展示一个定理，我们使用假设1中的有效基础。为此，我们考虑从不同值开始的X的独立副本。定义o概率空间^Ohm := R≥0×Ohmd+1，o过程X（ω）：=（s），X（ω），X（ωd）），其中ω=（s，ω。

，ωd），o过滤系数^F由^Ft定义：=B（R≥0) × (di=0英尺），适用于s≥ 0和x=（x，…，xd）∈ Ed+1概率测度^P（s，x）：=δs (di=0P（s，xi））。然后每个人≥ 0进程^X，^xd与^Xi（^ω）=X（ωi）是独立的，^P（s，X）（^Xi=Xi）=1表示i=0，d、 每一个组分^xi都有一个从（s，xi）开始的时间不均匀过程。也就是说，每个分量^xi具有引理1.42中描述的半鞅特征（具有相同的G），分别取决于（s，ωI）（Θt（s），Xt）-（ωi））（而不是^ω）对于有效基（x，…，xd），我们可以用基（x）来表示^xit-十、除息的-x） ，即我们定义过程Xit，jby^Xit=Pdj=1Xit，j（xj-x） 考虑矩阵值随机过程ht:=H（^Xt，…，^Xdt）：=1 Xt，1。Xt，d。。。。。。。。。。。。1个Xdt，1个。Xdt，d, （1.50）Yt=inf0≤s≤t|det Hs |。（1.51）设置‘x=（x，…，xd）。我们有以下引理（比较Keller-Ressel和Mayerhofer[34]）。引理1.43：对于每个s>0，存在δ（s）>0，使得^P（s，\'x）（对于所有0，det Ht6=0≤ T≤ δ（s））>0。证据固定s>0，并设置g（t）=^P（s，\'x）（Yt>0）。我们首先证明了g（t）是左连续的。让tk↑ t、 g（0）=1，且g（t）在减小。因此g（tk）收敛。由于cex是随机连续的，并且是马尔可夫的，所以它在概率上也是连续的。然后有一个子序列tkm，比如Ytkm↓ 伊塔。s被支配收敛也为g（tkm）↓ g（t）。因此g（tk）也收敛到g（t），我们得到g（t）是左连续的。由于Ytis a.s.右连续，由支配收敛，这也适用于g（t）。因此g（t）在t中是连续的，我们可以定义δ（s）：=inf{t>0:^P（s，\'x）（Yt>0）=}>0。我们猜想引理1.43的统一版本对于连续的跃迁函数是正确的，即对于每个T>0，存在δ>0，因此对于所有0≤ s≤ T^P（s，\'x）（对于所有0≤ T≤ δ) > 0.

在这种情况下，传递函数的变化是有限的。引理1.44：假设对于每个T>0，存在δ>0，使得对于所有0≤ s≤ T^P（s，\'x）（对于所有0≤ T≤ δ) > 0.然后函数t7→ Φt，t（u）和t7→ hψt，t（u），xi是每v>o（t，u）和x的[v，t]上的有限变化∈ E.证据。修正T>0，u∈ U代表o（T，U）≤ s≤ T，0≤ 我≤ d考虑（F，P（s，\'x））鞅-s、 u，it=Φs+t，t（u）ehψs+t，t（u），^Xiti，0≤ T≤ T- s、 通过假设存在δ>0和一个∧（s）集合，其中^P（s，\'\'x）（λ（s））>0，使得Ht在[0，δ]上是不可变换的。设^τ为停止时间，使得Ht在[0，^τ]和^τ上是可逆的≥ Δ在∧（s）上。然后我们有了^P（s，\'x）-a.sln（Φs+t）∧^τ，T（u））ψs+T∧^τ，T（u）。。。ψds+t∧^τ，T（u）=1XT∧^τ,1. . . Xt∧^τ，d。。。。。。。。。。。。1 Xdt∧^τ,1. . . Xdt∧^τ，d-1.自然对数^MT-s、 u，0t∧^τ...自然对数^MT-s、 u，dt∧^τ. （1.52）关于∧（s）和[0，δ∧ （T）- s） ]左侧是确定性的，与半鞅重合。因此Φ和ψ在[s，（s+δ）上的变化是有限的∧[T]。让v>o（T，u）。然后我们可以用开放区间（s，s+δ）覆盖[v，T]∈ [v，T]通过紧凑性，有一个有限的亚表层。因为Φ和ψ在[s，（s+δ）上是有限变化的∧T]，它们在[v，T]上有一定的变化。虽然引理1.44的假设对于一个连续有效的过渡函数来说似乎是合理的，但下面的反例表明，并非所有有效的过渡函数都是如此。例6：构造一个时间非齐次马尔可夫过程，它是P（s，x）－a.s.equal toXs，xt:=I{s<1}（（1- s- t） BxtI{s+t≤ 1} +（Bxt）- Bx1-s） I{s+t>1}）+I{s≥ 1} Bxt，其中Bxt是从x开始的布朗运动。

这是一个带有ψs，t（u）的有效过程=s≤ t<1:u1-t1-ss<1≤ t:01≤ s≤ t:uφs，t（u）=s≤ t<1:u（t- s） （1）- t） s<1≤ t:u（t）- 1)1 ≤ s≤ t:u（t）- s） 在定义1.9的意义上，这个过程不是随机连续的。特别地，对于序列（s，t）n:=（1-n、 1）→ （1，1）随机连续性（s）失败。此外，我们无法在区间[0,1]上找到统一的δ，因为δ（s）来自引理1。43在这种情况下，满足δ（s）≤ 1.- s代表0≤ s≤ 1.我们现在阐述并证明这一节的中心定理。定理1.45：设（X，F，{P（s，X）}）是马尔可夫半鞅，其传递函数{Ps，t}是连续的有限变分函数。然后存在一个确定性的R≥0值严格递增连续函数G，从R映射b，a，m≥0到V，S（V）和M（V）并映射β：R≥0×E→ V，α：R≥0×E→ S（V）和M:R≥0×E→ M（V），代表dG-a.e.t≥ 0是线性映射1的限制，因此对于所有u∈ U、 Φ和ψ满足广义Riccati积分方程Φs，T（U）=1+ZTsΦT，T（U）F（T，ψT，T（U））dG（T），ψs，T（U）=U+ZTsR（T，ψT，T（U））dG（T），（1.53），其中F（T，U）=hu，a（T）ui+hb（T），ui+ZV呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uim（dξ；t），hR（t，u），xi=hu，α（t，x）ui+hβ（t，x），ui+ZV呃ξ，ui- 1.- hh（ξ），uiM（dξ；t，x）。（1.54）如果F是扩展概率空间上的右连续强马尔可夫滤波Ohm,~A），然后bt=Ztb（Θv）+β（Θv，Xv-) dG（Θv），Ct=Zta（Θv）+α（Θv，Xv-) dG（Θv），（1.55）ν（dt，dξ）=（m（dξ；Θt）+m（dξ；Θt，Xt）-)) dt是X在每个测度P（s，X）下的半鞅特征的一个版本。这里的Θt（r，ω）=t+r。注：等式（1.53）的读数为φφs，t（u）=ZTsF（t，ψt，t（u））dG（t）。证据如果F不是强马尔可夫滤波，我们考虑第1.3节的正则时空实现，而不是X。

注意，如果（X，F，{P（s，X）}）是马尔可夫半鞅，它也是一个马尔可夫半鞅，与X生成的较小的过滤有关，然后正则时空实现也是一个马尔可夫半鞅（我们只向过滤中添加空集），具有右连续的强马尔可夫过滤F。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设F是右连续的马尔可夫过滤。修理你∈ 美国和美国≥ 0并考虑引理1.44，^MT证明中引入的（^F，^P（s，\'x））-鞅-s、 u，jt=Φs+t，t（u）ehψs+t，t（u），^Xjti，0≤ T≤ T- s、 对于（T，u）=（Ti，ui）和j=0，d我们可以使用引理1.42的特征重复导致（1.45）的步骤。这就给出了{s}×^上的^P（s，x）-a.sOhm （注意^P（s，x）（{s}×^）Ohm) = 1） 同时对于所有j=0。如果Φ（s+t；Ti，ui）Φs+t，Ti（ui）+hfψ（s+t；Ti，ui），Xt-（ωj）idGt（s）=- κ（ψs+t，Ti（ui）；s+t，Xt-[o（Ti，ui）上的（ωj））dGt（s）- s、 钛- s] ，t在哪里≥ 0，u∈ U、 x∈ E′κ（u；t，x）：=hu，\'b（t，x）i+hu，\'c（t，x）ui+ZVehu，ξi- 1.- 胡，h（ξ）iK（dξ；t，x）。请注意，这适用于马尔可夫过程X的规范时空实现。在（[~o（Ti，ui），Ti]上不同地表述dG·（s）-a.e- s） fΦ（s+t；Ti，ui）Φs+t，Ti（ui）+hfψ（s+t；Ti，ui），Xt-（ωj）i=-κ（ψs+t，Ti（ui）；s+t，Xt-（ωj））。（1.56）通过引理1.40的证明，我们可以用Tk找到序列（Tk，英国）↓ 英国s+t→ u、 （1.56）适用于所有k≥ N.然后，右侧会聚到-κt（u；s+t，Xt）-（ωj））对于每个j∈ 0, . . . , d、 因此，左侧也会收敛。ByLemma 1.43有δ（s）>0和一组∧（s）与^P（s，\'x）（λ（s））>0，因此方程（1.50）中定义的Htas在∧（s）上对于t是可逆的∈ [0，δ（s）]。因此，极限fΦ（s+t，u）=limk→∞fΦ（s+t，Tk，uk），~fψ（s+t，u）=limk→∞fψ（s+t，Tk，uk）存在。因此，对于dG·（s）-a.e.t，定义了fΦ（t，u）和fψ（t，u）∈ [s，δ（s）]。

由于s是任意的，所以R上存在dG-a.e.的限制≥0和（1.56）产生了~fΦ（s+t，u）+h ~fψ（s+t，u），Xt-（ωj）i=-κ（u；s+t，Xt）-（ωj））（1.57）左手边是Xt中的一个函数-（ωj），因此这也适用于右手侧。通过Levy-Khintchine公式的唯一性（Jacod and Shiryaev[29]中的引理II.2.44），可以得出，\'b（t，x），\'c（t，x），\'K（dξ；t，x）在x dGa中也是有效的。e、 定理中的映射a，b，α，β，m，m是dG-a.e.givenby\'b（t，x）=b（t）+β（t，x）\'c（t，x）=a（t）+α（t，x）\'K（dξ；t，x）=m（dξ；t）+m（dξ；t，x）。这证明了关于半鞅特征的部分。最后我们证明了广义Riccati积分方程。注意，κ（u，t，x）=F（t，u）+hR（t，u），xi。Fix（T，u）和o（T，u）<s≤ T通过考虑鞅^MT-s、 从方程（1.42）出发，再次应用分部积分，得到了具有引理1.42半鞅特征的It^o公式，得到了dΦs+t，t（u）Φs+t，t（u）+hdψs+t，t（u），Xt-（ωj）i=-κ（ψs+t，t（u）；s+t，Xt-（ωj））t的dG（s+t）∈ [o（T，u）-s、 T-s] ）和j=0，d、 根据引理1.43，有一个δ（s）>0，并将∧（s）设为^P（s，\'x）（λ（s））>0，使得t在∧（s）上是可逆的∈ [0，δ（s）]。因此，所有0≤ R≤ δ（s）∧（T）-s） 积分的结合性和被积函数在Xt中有效的事实-（ωj）产生dΦ·T（u） 密度为t7的dG（·）→ -Φt，t（u）F（t，ψt，t（u））和dψ·t（u） 密度为t7的dG（·）→ -[s，（s+δ（s））上的R（t，ψt，t（u））∧ [T]。由于SWA是任意的，所以它适用于[v，T]，v>o（T，u），下面是（1.53）中的广义Riccati积分方程。注：半鞅特征仅依赖于（Θ，X），Θ依赖于s，X依赖于ω。对于固定的sP（s，x）（Θ=s）=1表示所有x∈ E.因此（1.55）用s+t代替Θt给出了s固定和每个X的ΘP（s，X）下X的特征版本∈ E

这些特征只取决于Ohm, 所以它们也是X的特征(Ohm, A） 在每个概率测量P（s，x），x∈ E.备注：该定理与Cuchiero和Teichmann[10]中的时间齐次有效过程的结果有关，如下所示。通过使用一个完整的函数类，Cuchiero和Teichmann[10]证明了时间齐次连续有效转移函数的正则实现总是一个半鞅，人们总是可以选择G（s）=s。从那里可以直接使用上述证明。第一部分表明，不同的半鞅特征只依赖于Xs-你是一个女人。第二部分给出了函数F和R，在这种情况下，函数F和R也不依赖于时间，因此我们得到了G（s）=s的广义Riccati积分方程。在这种情况下，被积函数是连续的，因此我们得到了可微性，从而得到了正则性。下面的例子表明，在时间不均匀的情况下，局部特征是不均匀的，尽管X中的函数相对于时间参数可能非常不规则。这同样适用于方程（1.54）中的函数F和R。例7：考虑[0,1]上的Smith-Volterra-Cantor集（或fat-Cantor集），该集由A表示。该集按如下迭代生成。在第一步中，区间（，）从[0,1]中删除。迭代步骤从每个剩余间隔中移除一个中心开放子间隔，其长度为该间隔长度的四分之一（另见DiMartino和Urbina[13]中的第2.1节，其中称为SVC（4）集）。Smith-Volterra-Cantor集具有Lebesgue测度。我们使用确定性函数f（t）=RtIA（v）dv定义一个如例1所示的有效过程。这给出了一个ψs，t（u）=u和φs，t（u）=uZtsIA（v）dv=uλ（a）的连续过程∩ [s，t]），其中λ表示勒贝格测度。

根据勒贝格微分定理，φ几乎在任何地方都可以用导数IA（t）微分。可微分半鞅特征（B，C，ν）由Bt（s，ω）=RtIA（s+v）dv，C=0，ν=0给出。函数IA（t）对于移除区间的所有左边界点没有左手限制，对于移除区间的所有右边界点没有右手限制。要看到这一点，请考虑左边界点（右边界点的情况类似地如下）t（例如，t=）。然后每 > 0设置一个∩ [t]- , t） 和AC∩ [t]- , t） 采取积极措施。因此，我们总能找到时间序列sn↑ t和sn↑ t，其中IA（sn）=0，IA（~sn）=1。定理1.45表明，尽管Φ和ψ的左导数可能不存在于任何地方（即它们不是正则的），但我们可以认为Φ和ψ的导数存在于dG和dG-a.e。。特别是，如果G可以选择为G（s）=s，那么这就对应于几乎无处不在的实际导数。这激发了以下定义。定义1.46：连续有效转换函数Ps，如果函数s 7，则称为绝对连续有效→ Φs，T（u）和s7→ ψs，T（u）对于每个o（T，u）<v在[v，T]上是绝对连续的≤ T推论1.47：假设定理1.45的假设成立。在这种情况下（（Θ，X），~F，{P（s，X）}）是一个It^o过程（见C,inlar等人[28]），当且仅当a,nettransition函数是绝对连续的。证据如果（Θ，X）是一个It^o过程，我们从一开始就知道我们可以找到由（b，c，K，ds）生成的X的半鞅特征。然后，推导过程已经过去了。另一方面，如果函数Φ和ψ是绝对连续的，很容易看出我们可以用ds作为引理1.42证明的候选者。注意，Θt（s）=Θ（s）+t和（BΘ，0，0）与BΘt=RTD是Θ的不同特征。