因此X是一个It^o过程。ηtof（1.49），即ηt（r）=inf{v≥ 0:G（v+r）- G（r）≥ t} 。推论1.48：假设定理1.45的假设成立。时变马尔可夫过程（^Θ，^X），^F，{P（s，X）}）与（^Θ，^X）t（r，ω）=（ΘX）ηt（r）（r，ω），^Ft=~Fη是一个具有不同特征的马尔可夫半鞅，即它是一个it^o过程，不同特征在^X证明中是有效的。按建筑设计 dG（·）。用s7表示密度→ fΘ（s）。那么Θ的特征也可以写成BΘt（r）=RtfΘ（r+s）dGs（r）。根据C,inlar等人[28]中的命题7.13，时变过程（^Θ，^X），^F，{P（s，X）}）是马尔可夫半鞅，半鞅特征的一个版本是由（注意Gηs（r）给出的）- G（r）=s）^Bt=Ztb（^Θv）+B（^Θv，^Xv-) dv，^Ct=Zta（^Θv）+A（^Θv，^Xv）-) dv，^ν（dt，dξ）=m（dξ；^Θt）+m（dξ；^Θt，^Xt）-)dt。推论1.49：假设定理1.45的假设成立。用^Ps，T=PG定义时间非齐次a^ne跃迁算子{^Ps，T}-1（s），G-1（T），即Φs，T（u）=ΦG-1（s），G-1（T）（u），^ψs，T（u）=ψG-1（s），G-1（T）（u）。那么^Ps，这是一个绝对连续的有效过渡函数。证据根据定理1.45，Riccati方程（1.53）适用于Φ和ψ。加上Φ和ψ的定义，得到Φs，T（u）=1+ZG-1（T）G-1（s）Φv，G-1（T）（u）F（v，ψv，G）-1（T）（u））dG（v），=1+ZTsΦG-1（w），G-1（T）（u）F（G）-1（w），ψG-1（w），G-1（T）（u））dw=1+ZTs^Φw，T（u）F（w，^ψw，T（u））dw^ψs，T（u）=u+ZtsR（w，^ψw，T（u））dw，（1.58）注意时变过程（^X，^F，{P（r，X）}）在定义1.6的意义上不再是一个时间非齐次马尔可夫过程。

然而，在每个测度下，P（r，x）^x是（）Ohm,在定义1.3的意义下，由{Pr+ηs（r），r+ηt（r）}0给出一个正则的过渡函数≤s≤t、 2由真实估值过程驱动的伦敦银行同业拆借利率模型市场模型，最著名的例子是伦敦银行同业拆借利率市场模型，在利率建模领域非常流行。如果这些模型产生非负利率，它们通常不会给出基本利率衍生品、上限和互换期权的半解析公式。一个例外是Keller-Ressel等人[36]提出的一类自由基模型。使用非负的有效过程作为驱动过程，有效的伦敦银行同业拆借利率模型保证了非负的远期利率，并导出了上限和互换期权的半解析公式，因此可以校准利率市场数据。在本章中，我们修改了Keller Ressel等人[36]的设置，以允许不一定是非负的有效过程。这种修改仍然会导致上限和互换期权的半分析公式，并保证非负远期利率，但允许更广泛的驱动过程，因此更容易产生利率倾斜和微笑。Fonseca等人[23]还提出了对伦敦银行同业拆借利率模型的修改。在正半限定矩阵空间中，有许多驱动过程是具有值的过程。本文中的方法的优点是，可以用较少的参数生成一类灵活的隐含波动率曲面。本章的结构如下。在第2.1节中，将回顾一个有效的流程及其特性。第2.2节介绍了必要的符号和市场设置，并回顾了有效的伦敦银行同业拆借利率模型。最后对实际实施提出了一些意见。第2.3节是本章的主要章节。

第一部分介绍了修改后的伦敦银行同业拆借利率模型，并推导了上限和互换期权的半分析定价公式。第二部分给出了一些数值计算的usablea ffine过程的例子。2.1一个有效的进程let X=（Xt）0≤T≤t值为D=Rm的齐次马尔可夫过程≥在可测空间上实现0×RN(Ohm, A） 过滤（英尺）0≤T≤T、 关于X的改编。当X=X时，用Px[·]和Ex[·]表示相应的概率和期望。如果X的特征函数的形式为欧盟·Xt= 经验φt（u）+ψt（u）·x, U∈ iRd，x∈ D、 （2.1）式中φ：[0，T]×Rd→ C和ψ：[0，T]×Rd→ CdwithiRd={u∈ Cd:Re（u）=0}和·表示Rd中的标量积。通过同质性和马尔可夫性质，条件特征函数满足欧盟·Xt | Fs= 经验φt-s（u）+ψt-s（u）·Xs.因此，对于非齐次马尔可夫过程（见Filipovic[21]），也可以定义一个有效过程，在这种情况下，上述等式为：欧盟·Xt | Fs= 经验φs，t（u）+ψs，t（u）·Xs, U∈ iRd，x∈ D、 带φs，t:iRd→ C和ψs，t:iRd→ CD0≤ s≤ t、 X被称为分析过程（见Keller Ressel[33]），如果X是随机连续的，且setV内部：=U∈ Cd:sup0≤s≤特克斯eRe（u）·Xs< ∞ 十、∈ D, （2.2）包含0。在这种情况下，函数φ和ψ对V有连续的扩展，在内部是解析的，因此（2.1）适用于所有u∈ V.一类有效过程包括布朗运动和更普遍的所有L’evy过程。由于L′evy过程具有平稳的独立增量，在这种情况下，ψt（u）=u和φt（u）=tκ（u），其中κ是L′evy过程的累积量母函数。Ornstein-Uhlenbeck过程是更重要的过程示例。第2.3.2节对其进行了讨论。a ffine过程的标准参考是Du ffe等人【16】。

它们给出了一个有效过程的特征，其中φ和ψ被指定为微分方程系统的解。在所有丰富的有效过程理论中，本章中的方法仅使用矩生成函数的特定形式（2.1）和以下性质。引理2.1：设X为一维解析过程，Re（u）<Re（w），u，w∈ V.然后Re（ψt（u））<ψt（Re（w）），即ψt|V∩Ris在不断增加。证据凯勒·雷塞尔等人[36]中已经包含了D=R+的情况。在caseD=R的情况下，引理来自这样一个事实，即通过Keller-Ressel等人[35]中的命题3.3，对于某些常数β，ψt（u）=eβtu。V可以描述为（凸）集，其中定义了所有时间t的扩展矩母函数≤ T和所有起始值x∈ E.引理4.2 inKeller-Ressel和Mayerhofer[34]实际上，集合V等于看似较小的集合Nu∈ Cd:十、∈ int（D）：ExeRe（u）·XT< ∞o、 这也意味着X是保守的，即Px（Xt∈ D） =1十、∈ D和0≤ T≤ TKeller-Ressel等人[35]和后来的inKeller-Ressel等人[37]以及Cuchiero和Teichmann[10]都证明了这一特征适用于所有随机连续过程的事实。注：如果D=R+，已知ψ和φ都是单调递增的（Keller-Ressel等人[36]）。当D=R时，这对于ψ是正确的，但对于φ则不是，因为确定性过程Xt=x- t秀。2.2利率市场模型Classic market Models考虑了期限结构0<T<···<TN<TN+1=：T和由到期日为T的零息债券组成的市场，TN+1。它们的价格过程（P（t，Tk））为0≤T≤Tkare假设为过滤概率空间上的非负半鞅(Ohm, A、 F，P）（这里F=（英尺）0≤T≤T） ，几乎肯定满足P（Tk，Tk）=1。

如果存在一个等价的概率测度qt，使得规范化债券价格过程P（·，Tk）/P（·，T）是鞅，那么市场是无套利的。在这种情况下，我们可以为数值Esp（t，Tk）定义等价的鞅测度qtk，而不是P（t，t）byd QTkd QT=P（Tk，t）P（0，t）P（0，Tk）。（2.3）特别是在措施QTK下，远期债券价格过程P（·，Tk-1） P（·，Tk）和正向利率过程Fk（·），Fk（t）=KP（t，Tk）-1） P（t，Tk）- 1., k=Tk- Tk-1、（2.4）是鞅。这是本章其余部分使用的基本市场设置。在经典的LIBOR市场模型中，远期利率过程在各自的鞅测度下被建模为连续指数鞅。因此，远期利率为正。使用无漂移几何布朗运动作为驱动过程，caplet价格由Black公式（Black[2]）给出，而互换期权价格无法解析计算。或者，我们可以开始对远期债券价格过程P（·，Tk）进行建模-1） /P（·，Tk）而不是前向利率过程。再次使用指数鞅，比如无漂移布朗运动，就可以解析地计算caplet和swaption价格（参见Eberlein和¨Ozkan[17]）。这种方法的缺点是远期利率为负，概率为正。通过设置P（T，Tk）：=P（T，T）P（Tk，T）表示T>Tk，可以将债券价格过程扩展到[0，T]，因此P（·Tk）/P（·T）是[0，T]上的鞅，当且仅当它是[0，Tk]上的鞅。从经济角度来看，这可以解释为立即将零息债券的收益投资到最长期的零息债券。凯勒·雷塞尔等人。

[36]提出了有效的伦敦银行同业拆借利率模型，其中远期利率为非负，而互换期权和caplet价格仍可通过半解析法计算，即通过数值积分。上述方法对单个远期利率过程（分别是远期债券价格过程）进行建模，并将其与单个测度qtkun联系起来，它们是一个鞅。ContraryKeller-Restel等人[36]对价格过程P（·，Tk）/P（·，T）进行建模，这都是相同概率测度QT下的鞅。备注：请注意，本章中提到的所有模型都没有完全说明整个期限结构，而只是其中的一部分。为了给不包含在特定期限结构内的衍生品定价，有必要指定某种类型的干预方案。任意插值可能会导致套利，但是人们总是可以选择插值方法，这样模型就不会出现套利（Werpachowski[47]）。伦敦银行同业拆借利率模型本节概述了KellerRessel等人[36]提出的伦敦银行同业拆借利率模型。关于过滤概率空间(Ohm, A、 F，QT）考虑一个非负的分析过程X，其起始值X固定∈ 研发部≥0.对于0<T<··<TN<TN+1=：T定义k=1，N和0≤ T≤ TkP（t，Tk）P（t，t）：=EQTeuk·XT | Ft= eφT-t（uk）+ψt-t（英国）·Xt，英国≥ 0，英国∈ 五、 （2.5）式中，等式[·]表示关于概率测量的期望。这些价格过程是鞅，由此产生的模型是无套利的。写p（t，Tk）-1） P（t，Tk）=P（t，Tk-1） P（t，t）（2.4）中的P（t，Tk）P（t，t）（2.6）表明远期利率为非负相当于（2.5）满足P（t，t）P（t，t）的正常化债券价格≥ .. ≥P（t，TN）P（t，t）≥ 1.

（2.7）从x开始≥ （2.7）中的标准化债券价格的单调性满足，只要u≥ . . . 联合国≥ 0.应确定参数ukin（2.5），以便标准化债券价格的起始值P（0，Tk）/P（0，T）=expφT（uk）+ψT（uk）·xfit根据实际市场数据推断的初始期限结构。与第2.1节相反，对于自xis固定以来的大多数有效过程，从现在起，概率度量对马尔可夫过程X的起始值的依赖将被抑制。可以确定结构，对于当前非负远期利率，可以使用递减序列u≥ ··· ≥ 联合国≥ 0（见Keller-Ressel等人[36]）。注：由于X是非负的，第k次标准化债券价格不仅大于等于1，而且由exp给出的时间相关常数从下方限定φT-t（英国）, 严格来说，它大于1。因此，在伦敦银行同业拆借利率模型中，远期利率从下到下被严格的正时间相关常数所限定。伦敦银行同业拆借利率模型导致远期利率非负。此外，由于测量值变化的密度过程在Xt中以指数形式增加，即在给定的（2.3）中插入（2.5）QTkd QT=P（0，T）P（0，Tk）eφT，因此该规范具有吸引力-Tk（uk）+ψT-Tk（英国）·XTk。此外，由于（2.6）的原因，标准化债券价格和远期债券价格也是指数形式。因此，QTkis下标准化债券价格的矩母函数也是指数形式，通过一维傅里叶反演可以计算caplet价格。如果驱动过程的维数为1，也可以通过一维傅里叶反演计算互换期权价格（见Keller-Ressel等人[36]）。

因此，这种方法同时满足非负利率和标准利率市场工具的分析可处理性。如果维度大于1，期权的确切价格只能通过更高维度的积分来计算，其维度是基础掉期的长度。或者，Grbac等人[25]为Swaption提供了近似公式。伦敦银行同业拆借利率模型的实际应用尽管从理论角度来看，该框架很优雅，但实际实施面临着几个难点，本文将对此进行讨论。首先，利率和隐含波动率的校准不能分开。初始期限结构可以使用uk进行拟合，但uk参数也会对隐含波动率产生重大影响。这可以从远期债券价格（Tk）中看出-1，Tk=expφT-t（英国）-1) -φT-t（uk）+（ψt）-t（英国）-1) -ψT-t（英国））·XTk-1., （2.8）这是负责caplet支付的随机变量。驱动过程X通过两个不同的渠道影响该随机变量的分布。首先通过驱动过程本身的参数，然后通过参数suk（取决于X和初始利率期限结构）。因此，对于屈服曲线的变化，需要不同的参数来重现相同的隐含弹性表面。如果X是一个L′evy过程，则如第2.1节所述，ψt（u）=ua，因此（2.8）的分布取决于差异uk+1-这一转变与初始收益率曲线的陡峭度有关。

因此，caplet暗示收益率对初始收益率曲线的陡度特别敏感。第二，该模型的利率和波动率取决于最终的视界T。在使用相同的过程X时改变视界T将导致不同的结果，并且没有通用的方法来重新调整X的参数以抵消这种影响。这相当违反直觉，因为延长模型的范围不应改变较短范围内已包含的数量的结果。第三，在完全可处理的一维情况下，可能的波动曲面的类型相当有限。例如，我们只能产生波动性偏差。这可以通过使用高维非负过程来解决。然而，在多维伦敦银行同业拆借利率模型中，不能再通过傅立叶方法有效地计算互换期权。另一方面，允许任意过程破坏了远期利率的非负性，这是伦敦银行同业拆借利率模型的核心属性。我们提出了一种修正，即在不限制非负有效过程的情况下，保持远期利率的相关性。2.3基于过滤概率空间的修正伦敦银行同业拆借利率模型(Ohm, A、 F，QT）考虑一个具有固定起始值X的一维分析过程X，即（3.19）中定义的集合V在内部包含0。为了你∈ V与-U∈ V考虑鞅Mu，Mut:=EQT[cosh（uXT）| Ft]=eφT-t（u）+ψt-t（u）Xt+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） Xt. （2.9）通过双曲余弦的对称性μ=M-u、 因此，我们可以限制乌托邦是非负的。对于给定的基调结构0<T<·TN≤ TN+1=T，第2.2节的市场设置确定了k=1的标准化债券价格，Nand t≤ TkasP（t，Tk）P（t，t）：=Mukt，英国∈ {v∈ V:V≥ 0, -五、∈ 五} 。由于mukt是一个QT鞅，该模型是无套利的。

每x∈ R函数u 7→ 在美国，cosh（ux）正在增加∈ R≥0和满意度（ux）≥ 1所以ifu≥ U≥ ··· ≥ 联合国≥ 0，这与大多数有效流程类似，但最适合L’evy流程。Keller Ressel等人[36]的微笑示例，图9.2，使用Ornstein-Uhlenbeck过程，对于小于0.4的打击，在数值上似乎是不正确的。对于上述初始收益率曲线，基础利率总是大于罢工，这对应于零隐含波动率，破坏了显示的微笑。方程式（2.7）持有和远期利率Fk（t）=K穆克-1千吨- 1., 0≤ T≤ Tk-1.对于所有t-To-fit初始市场数据，都是非负的。我们必须选择序列（uk），以便Muk=P（0，Tk）/P（0，t）。下面的引理给出了有效过程X的条件，在此条件下，给定的初始项结构可以被复制，并表明UK是唯一确定的。引理2.2:IfP（0，T）/P（0，T）<supu∈五：-U∈VEQT[cosh（uXT）| F]，则该模型可以拟合任何非负远期利率的期限结构。此外，还存在一个独特的递减序列u≥ ··· ≥ n，使得P（0，Tk）/P（0，T）=EQT[cosh（ukXT）| F]=Muk。如果远期利率严格为正，则序列严格为递减。证据m（u）=EQT[cosh（uXT）|F]是一个连续函数，它随着u的增加而增加≥ 根据定理的假设，存在u>0，m（u）>P（0，T）/P（0，T）。此外，m（0）=1，这证明了引理。备注：通过设置mut=E“dYl=1cosh，可以将这种方法推广到d维驾驶过程u（l）X（l）T英尺#，u=（u（1），u（d））≥ 0.在这种情况下，可以保证Mut≥ MWTFU≥ w、 这保证了远期利率的非负性。

然而，以下章节中的期权定价公式并不是一概而论的。正如在单调递减序列（uk）的伦敦银行同业拆借利率模型中一样，前向利率不仅是非负的，而且由严格正的时间相关常数（可以通过数值计算）限定。如果这些界限接近于零，这不是一个大问题，但必须在校准过程中进行检查。在修改后的伦敦银行同业拆借利率模型中，根据比亚迪QTkd QT=P（0，T）P（0，Tk）MukTk=MukTkMuk，对Tk远期计量qtki的计量变化。（2.10）这里的MukT是Xt的指数和，而在伦敦银行同业拆借利率模型中，相应的项是一个指数。这意味着，与a ffine Libor模型相反，过程X在QTk下不是一个非齐次a ffine过程，并且不可能在QTk下计算foward债券价格对数的矩母函数。尽管如此，我们还是有可能得到帽和交换期权价格的分析公式。2.3.1期权定价caplet和swoption定价公式的推导基于Jamshidian[30]首次采用的方法。首先处理头巾，然后进行交换。请注意，如果uk=uk-1相应的远期利率FK始终为零。为了排除此类病理学示例，假设序列（uk）急剧减少。在本节中，随机变量通常被视为驱动过程X值的函数。具体考虑函数Mut:R→ R、 x7→ Mut（x）：=eφT-t（u）+ψt-t（u）x+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） x. （2.11）鞅μin（2.9）的时间t值为Mut=Mut（Xt）。

在本章的其余部分，我们将同时指出随机过程的功能和价值，正确的解释应该从上下文中明确。（k+1）thforward rate Fk+1（Tk）与strike k的caplet的支付为k+1Fk+1（Tk）- K+=P（Tk，Tk+1）-~K+=MukTkMuk+1Tk-~K！+，式中K=1+k+1K。由于该报酬必须在Tk+1时支付，因此，该套票的价格和相应的套票isCpl（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1“mukTkuk+1Tk-~K+Ft#，Flt（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1”~K-MukTkMuk+1Tk+英尺#。由于价格过程是鞅，看跌/看涨平价保持不变，caplets的价格从fl oorlets开始，反之亦然。由于付息有界的情况下，傅里叶分析更容易对浮点数进行分析，因此推导了浮点数的公式。由于ln（MukTk/Muk+1Tk）的矩母函数未知，傅里叶方法不直接适用。然而，函数x7→ MukTk（x）/Muk+1Tk（x）有一个唯一的最小值，并且从这个最小值开始单调递增。用这个可以去掉正的部分，用傅里叶逆变换来计算上述期望值。上述单调性是非常幸运的，它源于序列（uk）的单调性和函数ψ之间的密切相互作用，以及余弦双曲线的性质。详情见下面引理的顶部，可在第2.4节中找到。实际上，caplet价格与只有一个基本周期的互换期权价格一致。这两种衍生品之间的差异是支付时间。引理2.3：对于i=1，让你≥ 用户界面≥ 0，其中至少有一个i u>ui。Letci>0为正常数。定义函数g:R→ R byg（x）：=nXi=1ciMuit（x）Mut（x）。

（2.12）那么g在某点ξ有唯一的最大值∈ R和and在ξ的左右两侧严格单调递减为0。对于弗罗莱估值，这个引理不直接适用于uk>uk+1，这是错误的不平等。然而，只有一个和，并且引理可以应用于逆Muk+1Tk（x）/MukTk（x）。由此可知，MukTk（x）/Muk+1Tk（x）在某个点ξ处具有唯一的最小值，并且从左到右逐渐增大。因此，可以写入K-MukTk（x）Muk+1Tk（x）+=~K-MukTk（x）Muk+1Tk（x）！I{κ<x<κ}，（2.13），其中κ和κ是满足κ的两个唯一确定的常数≤ ξ ≤ κ. 如果κ=ξ=κ，则收益为零，对应于MukTk/Muk+1Tk>~K。如果远期利率从下方以K为界，则会发生这种情况，这只发生在verylow strikes K。将（2.13）插入浮点数的价格中，随后会发生测量变化，即flt（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1”~K-MukTkMuk+1Tk！I{κ<XTk<κ}Ft#=P（t，t）EQTh■KMuk+1Tk- 穆克I{κ<XTk<κ}Fti。（2.14）~KMuk+1Tk- MukTkis是随机变量XTk的指数和。（2.14）中的期望值是在测量QT下计算的，其中条件动量生成函数mxt | Xs（z）：=EQTezXt|Fs= EQTezXt|Xs= 经验φt-s（z）+ψt-s（z）Xs以z而闻名∈ V.因此（2.14）中的期望值可以通过Fourier反演计算。

上述形式项的傅里叶逆变换公式如EMMA 2.4所述，其证明见第2.4节。引理2.4：假设函数f:R→ R的表达式为f（x）=XkCkevkxI{κ<x<κ}，limx↓κf（x）=limx↑κf（x）=0，其中求和是在一个有限的指数集和Ck和vkare实常数上。然后是R∈ 五、∩ R傅里叶反演公式[f（Xt）|Fs]=πZ∞重新MXt | Xs（iu+R）^f（u- iR）duholds，其中^f是由^f（z）=izxkCkVk给出的解析Fouier变换- ize（vk）-iz）κ- e（vk）-iz）κ, z 6=0，z 6=-ivk。（2.15）为了计算（2.14）中的一个浮点数的价格，将引理2.4应用于fKk+1（XTk）和fKk+1（x）：=~KMuk+1Tk（x）- MukTk（x）I{κ<x<κ}。（2.16）其傅里叶变换为^fKk+1（z）=iz(1 + k+1K）hTkκ，κ(-iz，英国+1）- hTkκ，κ(-iz，英国）（2.17）含htκ，κ（z，u）：=eφT-t（u）ψt-t（u）2（z+ψt）-t（u））e（z+ψT）-t（u））κ- e（z+ψT）-t（u））κ+ eφT-t(-u） ψT-t(-u） 2（z+ψT）-t(-u） )e（z+ψT）-t(-u） ）κ- e（z+ψT）-t(-u） ）κ.（2.18）交换期权的情况类似。考虑作为期限结构一部分的掉期。也就是说，考虑1≤ α < β ≤ N和相应的利率互换，远期互换利率α，β（t）=P（t，tα）- P（t，tβ）Pβk=α+1kP（t，Tk），k=Tk- Tk-1.在上述具有行使权K的掉期中，看跌期权的支付为βXk=α+1P（Tα，Tk）k（k）-Sα，β（Tα））+=P（Tα，Tβ）+KβXk=α+1kP（Tα，Tk）- 1!+=MuβTαMuαTα+βXk=α+1KkMukTαMuαTα- 1!+.因为函数MuβTα（x）/MuαTα（x）+Pβk=α+1KkMukTα（x）/MuαTα（x）是lemma 2.3的形式，它有唯一的最大值ξ，可以找到常数κ≤ ξ ≤ κ，即在度量值发生变化后，卖出互换期权的价值在富勒情况下为，如果κ=κ，则远期互换率始终大于走向。注意，Sα，β（t）也可以写成Sα，β（t）=Pβk=α+1wk（t）Fk（t），wk>0（参见例如Brigo和Mercurio[4]）。

因此，如果远期利率低于正常数，那么远期掉期利率也是如此。这个界限最多是相应远期利率界限的平均值，因此具有相同的数量级，对于一个有意义的模型来说，这个数量级足够小。PutSwaption（t，tα，tβ，K）=P（t，t）EQThfKα，β（XTα）Fti，其中fkα，β（x）=MuβTα（x）- MuαTα（x）+βXk=α+1KkMukTα（x）！I{κ<x<κ}。（2.19）这也是引理2.4中的形式，在这种情况下是^fKα，β（z）=izhTακ，κ(-iz，uβ）- hTακ，κ(-iz，uα）+KβXk=α+1khTακ，κ(-iz，英国）,（2.20）其中htκ，κ（z，u）在（2.18）中定义。定价公式总结如下定理。定理2.5：设R∈ 五、∩ R.在修改后的伦敦银行同业拆借利率模型中，前向利率看跌期权和看跌期权互换期权的价格为（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，t）πZ∞重新MXTk|Xt（R+u）^fKk+1（u）- iR）du，（2.21）PutSwaption（t，tα，tβ，K）=P（t，t）πZ∞重新MXTα| Xt（R+iu）^fKα，β（u- iR）du，（2.22）分别在（2.17）中给出了R的傅里叶变换^fKk+1^fKα，β/∈ 分别为{0，uk，uk+1}R/∈ {0，uα，…，uβ}。为了分别计算^fKα，β必须找到函数的根κ，κkk（x）：=K-MukTk（x）Muk+1Tk（x），（2.23）gKα，β（x）：=MuβTα（x）MuαTα（x）+βXk=α+1KkMukTα（x）MuαTα（x）- 1.（2.24）通过引理2.3，这相当于找到一个函数的根，该函数有一个单一的最优值，并且在远离该最优值时是单调的。这种性能良好的一维函数的根的数值确定没有问题。在确定了这些界限后，估值可以简化为一个函数的一维积分，该函数至少下降1/x（取决于有效过程的矩生成函数），因此数值积分也是可行的。

请注意，除了上限、下限和互换期权外，数字期权或资产或无期权等期权也可以用类似的方式计算。2.3.2示例本节第一部分介绍布朗运动的基准情况，其中所有内容也可以以封闭形式计算。然后讨论了Ornstein-uhlenbeck过程。本节最后给出了可能的挥发性表面的例子。布朗运动选择Xt=Bt，一个从0开始的标准布朗运动。条件动量母函数是Bt | Bt（u）=EeuBT |英尺= 经验uBt+u（T）- （t）.因此，这是一个φt（u）=ut和ψt（u）=u的有效过程。考虑一下（2.14）中给出的t=0时的平面图的时间价格。自从穆特(-x） =Mut（x）发现在这种情况下κ=κ和κ=-κ、 其中，κ是（2.23）ifgKk+1（0）<0的唯一正根，反之则为κ=0。通过（2.14）FLOORLET价格Flt（0，Tk，Tk+1，K）isP（0，T）EQT~Keuk+1（T）-Tk）cosh（英国+1BTk）- 欧克（T）-Tk）科什（ukBTk）我{BTk|≤ κ}.从0E[cosh（zBt）I{| Bt|开始的布朗运动的对称性≤ κ} ]=EezBtI{| Bt |≤ κ}= EE-zBtI{| Bt |≤ κ}= 埃茨Φκ√T- Z√T- Φ-κ√T- Z√T,其中Φ表示标准正态分布随机变量的累积分布函数。因此，弗莱特价格Flt（0，Tk，Tk+1，K）为KP（0，T）euk+1TΦκ√Tk- 英国+1pTk- Φ-κ√Tk- 英国+1pTk-P（0，T）eukTΦκ√Tk- ukpTk- Φ-κ√Tk- ukpTk.当B被一个布朗运动代替时，会出现稍微复杂一些的公式，布朗运动具有恒定的漂移和波动性，起始值不同于0。交换选项也可以以同样的方式处理。如果gKα，β（0）>0，则κ为（2.24）的唯一正根，反之则为κ=0。

假设（0，Tα，Tβ，K）=P（0，T）euβTΦκ√Tα- uβpTα- Φ-κ√Tα- uβpTα- P（0，T）euαTΦκ√Tα- uαpTα- Φ-κ√Tα- uαpTα+ P（0，T）βXk=α+1K基特Φκ√Tα- ukpTα- Φ-κ√Tα- ukpTα.Ornstein Uhlenbeck（OU）过程由L’evy过程L生成的OU过程X被定义为（见Sato[44]，第17节）dXt=-λXtdt+dLt，X=X.（2.25），然后Yt:=eλtXt=X+RteλsdLs。使用Eberleinand Raible[18]中引理3.1的关键公式（这里我们假设Levy过程跳跃的相应可积条件），它如下所示：尤克斯= 进出口E-λtuYti=expE-λtux+Ztκ（e-λsu）ds,式中κ（u）=lnEeuL是L’evy过程的累积量生成函数。因此，这个过程是一个ψt（u）=e的函数-λtu和φt（u）=Ztκ（e）-λsu）ds=λZe-λtκ（vu）vdv。（2.26）杜菲等人[16]的推论2.10表明，每个状态空间为R的过程实际上都是OU过程。因此，在真实线路上定义的有效流程的背景下，您应该考虑流程。为了应用，应该可以解析地计算（2.26）中的积分。下面给出了两个可能的例子。备注：如果L是一个鞅，那么（2.25）中的过程是均值归零，然而通过使用Zt=θ+Xt可以很容易地将均值移到θ。那么dZt=λ（θ-Zt）dt+dLtandE尤兹特= 经验（φt（u）+θu（1）- E-λt））+ψt（u）Z.因此Z也是一个ψθt（u）=ψt（u）和φθt（u）=φt（u）+θu（1）的函数- E-λt）。请注意，该过程随后由L’evy过程Lt=Lt+θλt生成，即原始的’evy过程加上θλ的额外漂移。第一个例子是由布朗运动σB生成的经典OU过程，其中κ（u）=σu。这个过程用dxt=-λXtdt+σdBt，X=X，（2.26）中的积分是φt（u）=λZe-λtκ（vu）vdv=σu4λ（1）- E-2λt）。

（2.27）布朗运动描述了L’evy过程的连续部分。，对于第二个例子，我们考虑一个纯跳跃过程，即双Γ-OU过程。ΓOU过程由跳跃强度为λβ（λ与（2.25）相同）的复合泊松过程和期望值为α的指数分布跳跃生成。这个过程的极限分布是Γ分布，它给这个过程起了名字。当生成复合泊松过程严格递增时，生成的Γ-OU过程是一个从属过程，且保持在0以上。为了找到R值为的anOU过程，考虑两个独立的化合物Γ-OU过程L+，L-参数为α+，β+，α-, β-设置λ+=λβ+，λ-= λβ-.那么L=L+-L-是一个复合泊松过程，其中具有预期跳跃大小α+的正跳跃到达速率λ+，而具有预期跳跃大小α的负跳跃到达速率λ+-到达率λ-.具有指数跳跃的复合泊松过程的累积量母函数为λβuα-u、 定义为u<α。

因此对你来说∈ (-α-, α+）组合过程的动量生成函数euL= EheuL+iEhe-uL-i=expλ(β++ β-)u+（β+α）-- β-α+u（α）+- u） （α）-+ u）.将其插入（2.26）得到φt（u）=λZe-λtκ（vu）vdv=Ze-λt（β++β）-)uv+（β+α）-- β-α+u（α）+- uv）（α-+ uv）dv=-β++ β-泽-λt-2uv+（α）+- α-)u（α）+- uv）（α-+ uv）dv+Ze-λt（β+α）-- β-α+u+（β+）β-)(α+- α-)u（α）+- uv）（α-+ uv）dv第一个积分是分母的微分对数，所以对于这个积分我们得到-β++ β-自然对数(α+- uv）（α-+ （紫外线）v=e-λt=β++β-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ E-λtu）（α+- u） （α）-+ u）.第二个积分是β++β-泽-λtuα+- vu+uα-+ vudv，因此被积函数再次是其分母的微分对数。因此我们得到积分是(- 自然对数α+- 似曾相识+ 自然对数α-+ 似曾相识)|v=e-λt=ln(α+- E-λtu）（α-+ u） （α）+- u） （α）-+ E-λtu）.总之，函数φ由φt（u）=β++β给出-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ E-λtu）（α+- u） （α）-+ u）+β+- β-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ u） （α）+- u） （α）-+ E-λtu）.（2.28）也可以通过考虑由L’evy过程生成的OU过程，将这两种方法结合起来。L’evy过程是两个复合泊松过程与布朗运动的不同，这两个过程都是独立的。然后，将两个函数（2.27）和（2.28）相加，得到φ，对于这个过程，V={u∈ C:-α-< Re（u）<α+}。根据前面的注释，也可以将这个过程移动θ。下面的数值例子中使用了这种OU过程。波动性表面通过上一节的OU过程，可能会产生波动性微笑和波动性偏差。为了进行说明，我们考虑了一个恒常利率为3.5%的期限结构。期限结构和远期利率基于半年间隔。然后计算5年期限内到期的资本的隐含波动率，其波动率范围为0.02至0.07。

图2。图1显示了一个扭曲的波动率表面，而图2.2显示了一个非常明显的微笑，这两个微笑都是由刚刚引入的OU过程产生的。如前几章所述，这种模型中的远期利率将由下而定。这些例子中的界限是半年后到期的远期利率为1%，而5年后到期的远期利率基本上为0%。因此，它们在合理的范围内。为完整性起见，图2显示了到期日和基础掉期利率在2至7年之间的掉期期权的现金隐含波动率示例。3.结论经典利率市场模型不能同时允许CAPlet和掉期期权的forsemi分析定价公式，并保证非负远期利率。inKeller-Restel等人[36]提出的伦敦银行同业拆借利率模型是一个例外。我们修改了他们的方法，以允许驱动进程0。020.030.040.050.060.071.52.02.53.03.54.04.55.00.100.150.200.250.30StrikeMaturityFigure 2.1：参数λ=0.02，α+=12，α的OU过程生成的Caplet的隐含波动率偏差-= 10, β+= 50, β-=5，σ=0.3，θ=0.5，x=0.7和T=10.0.020.030.040.050.060.071.52.02.53.03.54.04.55.00.100.150.200.250.30罢工图2.2：由参数λ=0.02，α+=50，α的输出过程生成的Caplet的隐含波动率微笑-= 5, β+= 50, β-=10，σ=0，θ=0，x=1和T=10.234567823456780.100.150.200.250.300.350.40Swaption ExpireySwap Length图2.3：参数λ=0.02，α+=12，α的OU过程产生的Swaption隐含挥发物-= 10, β+= 50, β-= σ=0.3，θ=0.5，x=0.7，T=10。这不一定是非负的。Caplet和swaption估值可以通过一维数值积分实现。

这允许快速计算这类利率衍生品的隐含效用。由于真实值波动过程的额外灵活性，这类模型能够生成倾斜的隐含波动性曲面以及带有明显微笑的隐含波动性曲面。2.4引理的证明2.3。对于函数f（x），用fe（x）=（f（x）+f表示其奇偶部分(-x） ），fo（x）=（f（x）- f(-x） ）。注意，如果f是单调递增的，那么fo也是如此。那么（2.11）可以写成（x）=eφT-t（u）+ψt-t（u）x+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） x= eφeT-t（u）+ψeT-t（u）xcosh（φoT）-t（u）+ψoT-t（u）x）和muit（x）Mut（x）=e（φeT-t（用户界面）-φeT-t（u））+（ψeT-t（用户界面）-ψeT-t（u））xcosh（φoT-t（ui）+ψoT-t（ui）x）cosh（φoT-t（u）+ψoT-t（u）x）。（2.29）如果ui=u，那么（2.29）是常数，对单调性或最大值没有影响。因此，从现在起，假设所有i的u>ui。方程（2.12）的函数g可以写成g（x）=nXi=1ciaeeaixcosh（Bi+bix）cosh（B+bx），其中对于i=0，nAi=（φeT）-t（用户界面）- φeT-t（u）），Bi=φoT-t（ui），ai=（ψeT）-t（用户界面）- ψeT-t（u）），bi=ψoT-t（用户界面）。因为ψ是单调递增的（见引理2.1），所以ψois也是单调递增的。当ψo（0）=0时，bi≥ 0表示所有i。此外，请注意ai<b- Bi等价于ψT-t（ui）<ψt-t（u）和-ai<b- Bi等价于ψT-t(-u） <ψT-t(-用户界面）。自从u>ui≥ ψ的单调性产生|ai |<b- 毕。

（2.30）一个初等计算给出了sg（x）=cosh（B+bx）nXi=1ciaieaixfi（x），其中fi（x）=aicosh（Bi+bix）cosh（B+bx）+bisinh（Bi+bix）cosh（B+bx）- bcosh（Bi+bix）sinh（B+bx）。fiisfi（x）=bicosh（B+bx）的导数aisinh（Bi+bix）+（Bi- b） cosh（Bi+bix）+bcosh（Bi+bix）aisinh（B+bx）+（bi）- b） cosh（b+bx）.（2.31）使用（2.30），（2.31）中每行括号内的术语严格小于|ai |（sgn（ai）sinh（Bj+bjx）- cosh（Bj+bjx））≤ 0，（j=i，0）。最后一个不等式成立，因为cosh（x）±sinh（x）≥ （2.31）中括号外的术语均为正值。因此f≥ 0，且函数单调递减。使用（2.30）一个简单的计算表明→-∞fi（x）=∞ 还有limx→∞fi（x）=-∞. 由于所有i的ci>0，对于pni=1cieaixfi（x）也是如此。因此，g有一个最大值，并且从左到右递减。g（x）≥ 使用（2.30）limx获得0→∞g（x）=limx→-∞g（x）=0。引理2.4的证明。f是连续的，具有紧凑的支撑。因此，扩展的傅里叶变换^f（z）=RRf（x）e-izxdx适用于所有z∈ C是分析型的。因为z 6=0，z 6=-ivk，由^f（z）=zκe给出-izxf（x）dx=izZκe-izxf（x）dx=izxkvk- ize（vk）-iz）κ- e（vk）-iz）κ.自^f（u）-iR）=O（u-2） 对于固定R，它是绝对可积的。通过傅里叶逆变换f（x）=2πZIm（z）=-Reizx^f（z）dz=2πz∞重新e（iu+R）x^f（u）- iR）du，其中最后一个方程来自f是实值且对称性^f（z）=^f的事实(-z） 。真诚的|e（iz+R）Xt|Fs|^f（z）| dz=MXt | Xs（R）R |^f（z）| dz是有界的如果R∈ 五、∩ R、 条件期望和积分可以互换。3.一个单一的通货膨胀市场模型Jarrow和Yildirim首次严格引入了不含通胀的通货膨胀模型[31]。从那时起，人们提出了几种通货膨胀模型。

与利率模型类似，人们可以区分短期利率模型和市场模型。Jarrow和Yildirim[31]提出的短期利率模型旨在对不可观测的连续名义和实际短期利率进行建模，而市场模型使用离散可观测利率作为建模的基础（见贝尔格莱德等人[1]，Mercurio[38]）。这些可观察利率是流动交易流动性掉期、零耦合流动性指数掉期和同比流动性指数掉期的基础。虽然这些模型有过几次扩展（例如Mercurio和Moreni[39,40]），但所有这些模型都解决了一个问题，即只有一种类型的掉期存在分析公式，但并非两者都存在。本章中的模型导出了两种类型的闭合公式。根据Keller Ressel等人[36]的观点，可以使用一个有效的过程来描述分析上高度易处理的模型。有效过程是马尔可夫过程，其中特征函数是指数有效形式，即euXt | Xs= eφt-s（u）+ψt-s（u）Xs。一类有效进程包含大量进程，例如，每个L`evyprocess都是有效进程。使用最长期限的名义零息票债券作为数值，我们可以将标准化债券价格建模为关于有效过程X的“指数鞅”。在这类模型中，我们不仅能够对两种类型的流动互换进行定价，还可以推导出基础流动率的看涨期权和看跌期权的半解析公式，另一种流动交易的流动性衍生产品。本章的结构如下。第一部分描述了金融市场和典型的交易衍生品。之后，我们概述了金融市场模型的设置。第二部分介绍了波动市场模型，并推导了波动衍生品的定价公式。

第三部分提供了具体的模型规范，包括对实际市场数据的校准。在第3.4节中，我们收集了本章所需的有效过程的特性。此外，我们还指定了数值部分中使用的有效过程。3.1流动市场记录到期日为t乘以P（t，t）的名义零息债券的时间t价格，并考虑时间t值为I（t）的流动指数。通常，通货膨胀指数是所谓的消费者价格指数（CPI）。为了缩短符号，我们将使用术语CPI作为通货膨胀指数的同义词，不过读者可以想到任意通货膨胀指数。与通货膨胀挂钩的市场中的基本数学工具被称为与通货膨胀挂钩的零息债券（对应于名义利率市场的零息债券）。到期日为T的与通货膨胀挂钩的零息债券是在T时支付债券的I（T）。用PILB（t，t）表示其价格。在实际市场中，ZF发行与通货膨胀挂钩的息票债券。这种债券在一定数量的预定日期以可变基础I（Tk）/I（T）支付固定息票≤ T（通常为每年一次），其中为发布时间。除息票外，这种债券在到期日T赎回，最大值为{I（T）/I（T），1}。因此，这种债券可以被描述为与通胀挂钩的零息票债券加上附带支付期权（1）的组合- I（T）/I（T））+。总的来说，这些债券的到期日为几年，且波动为正值。在这种情况下，包含期权对总价格几乎没有影响，这就是为什么市场实践大多忽略它。

特别是，如果忽略这些选项，就有可能通过与名义数量相同的方法，从实际交易的与通胀挂钩的息票债券中剔除与通胀挂钩的零息票债券价格。考虑quantityPR（t，t）：=PILB（t，t）I（t），（3.1），它被称为实际零息债券的价格。请注意，这不是交易资产的价格，而是一个理论数量。之所以使用“价格”一词，是因为这个数量可以被视为活跃经济体中零息票债券的价格，在这种经济体中，一切都是以通货膨胀指数（t）来衡量的。考虑到实际零息票债券价格，复合实际利率由R（t，t）定义：-ln（PR（t，t））/（t-t） 。因此，我们可以将其与其他名义数量（如远期利率或短期利率）对应。该数量有时被用作浮动期权定价模型的起点（参见Jarrow和Yildirim[31]，Mercurio[38]）。除了与通胀挂钩的债券市场之外，还有几个流动性交易的与通胀挂钩的衍生品。首先考虑通货膨胀指数（forwardCPI）的远期价格，即t时的固定值i（t，t），在t时，该值可以在不增加额外成本的情况下与A（t）交换。由于PILB（t，t）是I（t）的当前价格，到期时间t的远期CPI isI（t，t）：=PILB（t，t）P（t，t）。（3.2）这里我们指的是交易中必须支付的价格。事实上，交易屏幕上引用的基本就是这个数字。

然而，如果此类债券进行交易，现金流则为报价数字乘以相应的指数比率。人们可以将I（t）解释为一个数字，但必须小心不要将其用作数学数字，因为I（t）实际上并没有被交易。在零息票流动指数掉期（ZCII）中，双方将实现的流动（T）I（T）与固定金额（1+K）T进行交换-t、 ZCII主要以全年到期日M进行交易。对于t=t+M，这种付款人掉期的价值可以用asP（t，t）表示I（t，t）I（t）- （1+K）M. （3.3）等式（3.3）为零的速率K被称为ZCIIS速率ZCIIS（t；M）。这些ZCIIS利率在市场上有几年的到期日。备注：请注意，ZCII利率和通货膨胀挂钩债券通过（3.2）和（3.3）密切相关。实际上，这种关系并没有得到观察。这在一定程度上是由于债券和掉期市场上交易对手的信用度不同。弗莱肯斯坦等人[22]对这种差异进行了更详细的分析。对于模型校准，one必须选择一个市场，通常是掉期市场。除了ZCII，还有第二种重要的外汇市场掉期，即同比外汇指数掉期（YYII）。这些掉期将年化汇率与固定汇率K进行交换，即考虑年间隔期限结构Tk=t+K，K=0，M.付款人在Tkis（I（Tk）/I（Tk）时的净付款-1) - 1) - K.因此，流动支腿由形式的支付组成- sI（T）I（S）- 1..表示这种支付的远期价值，即年化远期汇率byFI（t，S，t）。然后，到期日为M，行距为K的付款人yyis的值可以表示为asMXk=1P（t，Tk）（FI（t，Tk）-1、Tk）- K） 。yyis rate Y IIS（t；M）是速率K，因此相应的yyis具有零值。

请注意，给定所有年度到期日的YYIIS利率，可以计算年度远期汇率FI（t，Tk-1，Tk），反之亦然。前向CPI I（t，t）和远期通货膨胀率FI（t，S，t）分别是市场交易的ZCII和YYII的数学量。金融市场模型旨在对这些数量进行建模。在现有的流动市场模型中，I（t，t）或FI（t，S，t）可以用解析公式表示，但不能同时用解析公式表示。考虑一个市场，假设价格过程是过滤概率空间上的半鞅(Ohm, A、 （英国《金融时报》，第页）。修正一个T-前向测度QT，即一个等价于P的概率测度，使得用数值P（T，T）标准化的资产价格是QT鞅。然后I（t，t）=EQT[I（t）| Ft]FI（t，S，t）=EQTT- sI（T）I（S）- 1.英尺.计算通货膨胀指数的预期值，以及在两个不同时间内通货膨胀指数的分数证明是困难的。在本章的模型中，二者在潜在的驱动随机过程中都具有指数效应。对于分析过程（见第3.4节），可以计算此类预期，我们可以为许多标准选项（如前向流动率的上限和下限）提供半分析公式。3.1.1流入市场模型我们现在介绍（流入）市场模型的一般设置。考虑atenor结构0<T<··<TN=：T和一个由零耦合债券组成的市场，其期限和价格为P（T，Tk）。价格过程（P（t，Tk））0≤T≤Tkar被认为是过滤概率空间上的正半鞅(Ohm, A、 F，P）（这里F=（英尺）0≤T≤T） ，几乎肯定满足P（Tk，Tk）=1。如果存在一个等价的概率测度qt，使得规范化债券价格过程esp（·，Tk）/P（·，T）是鞅，那么市场是无套利的。

这种设置描述了一类利率市场模型，比如经典的伦敦银行同业拆借利率市场模型（Braceet al.[3]）及其扩展。要将此设置扩展到通货膨胀市场，请考虑通货膨胀指数I，其中我们假设w.l.o.g.即I（0）=1。假设存在与通胀挂钩的零息债券，期限相同，t和价格过程PILB（t，Tk）0≤T≤Tk，所有这些都是正半鞅。如果存在一个等价的概率测度qt，使得所有的标准化价格过程P（t，Tk）P（t，t）0≤T≤Tk，PILB（t，Tk）P（t，t）0≤T≤Tk（3.4）是QT鞅，扩展市场模型是无套利的。对于给定的QT参数，Tk正向测量QTkbyd QTkd QT=P（Tk，T）P（0，T）P（0，Tk）。（3.5）根据QTK远期利率FK（t）：=KP（t，Tk）-1） P（t，Tk）- 1., k:=Tk- Tk-1，我们可以通过设置P（T，Tk）：=P（T，T）P（Tk，T）来将债券价格过程扩展到[0，T]，从而使P（·Tk）/P（·T）是[0，T]上的鞅，当且仅当它是[0，Tk]上的鞅。从经济角度来看，这可以解释为立即将零息债券的收益投资到最长期的零息债券。假设每一个零息票到期日都有一个相同到期日的ILB是为了名义上的方便。通货膨胀指数仅通过债券价格PILB进行描述。也就是说，I（t）的分布只在Tk时给出，在Tk时，I（t）的分布与PILB（Tk，Tk）的分布一致。早期引入的远期CPII（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，Tk），对于j<k，远期通货膨胀率FI（t，Tj，Tk）由1+（Tk）给出- Tj）FI（t，Tj，Tk）=EQTkI（Tk）I（Tj）|英尺都是鞅。对（其中一些）鞅进行建模是文献中通货膨胀市场模型的起点（见Mercurio[38]）。

相比之下，westart通过对（3.4）中的标准化债券价格进行建模，并推导出上述数量。3.2金融市场模型（Xt）0≤T≤Twith X=X是一个状态空间为Rm的解析过程≥0×Rn，m>0，n≥ 概率空间上的0(Ohm, A、 F，QT）和定义k=1，NP（t，Tk）P（t，t）：=Mukt，英国∈ （Rm）≥0×{0}n）∩ 五、 PILB（t，Tk）P（t，t）：=Mvkt，vk∈ Rm+n∩ 五、 （3.6）其中mut:=EQT欧盟·XT |英尺= 经验φT-t（u）+ψt-t（u）·Xt, U∈ 五、 （3.7）和（3.19）中定义的V。通过对一个有效过程的定义，这些过程是可变的QT鞅。因此，该模型是无套利的。请注意，在（3.6）中，与X的实值分量相对应的部分被选择为零。对于递增序列u≥ ··· ≥ 联合国≥ 0一个就有了Muk-1t≥ 因此，对于所有k，远期利率Fk（t）保证为非负。与利率相反，浮动利率不要求为非负，这就是我们不限制vkin（3.6）的原因。Uk和Vk的值应进行校准，以确定初始术语结构，即Muk=P（0，Tk）/P（0，t）和Mvk=PILB（0，Tk）/P（0，t）。通过外稃3。2因此，在当前期限结构中采用非负远期利率的参数始终可以选择为递减。对于多维过程来说，这样的序列远非唯一的。如何选择UK和VK的具体规范将在第3.3节中介绍。尽管目前某些国家的利率为负值，但实际持有货币的成本仍然限制了利率。我们可以通过设置P（t，Tk）P（t，t）：=ckMukt来合并与0不同的边界。这种设置的最大优点是（3.5），在本例中为readsd QTkd QT=MukTkMuk=MukexpφT-Tk（uk）+ψT-Tk（英国）·XTk（3.8）在X中呈指数形式。特别是，它很容易检查（见Keller等人。

[36]）对于0≤ s≤ r和ψT-r（英国）+w∈ 维克特克ew·Xr | Fs= 经验φr-s（ψT）-r（英国）+w）- φr-s（ψT）-r（英国））经验ψr-s（ψT）-r（英国）+w）- ψr-s（ψT）-r（英国））· Xs.（3.9）因此，在不同的测量qtk下，X的矩母函数也是已知的。再加上基本量的指数形式，这就是为什么该模型在分析上非常容易处理的原因。例如，远期利率（1+kFk（t））=Muk-1万吨=eA（t，英国）-1，英国）+B（t，英国-1，英国）·Xt，带a（t，v，u）：=φt-t（v）- φT-t（u），B（t，v，u）：=ψt-t（v）- ψT-t（u）。（3.10）因此，ln的QTk扩展力矩生成函数1 + kFk（t）可以使用（3.9）显式计算。然后，使用Fourier反转公式得出一个披肩的价格（见Keller-Restel等人[36]）。还可以处理互换期权（Keller-Ressel等人[36]，Grbac等人[25]），因此可以有效地计算最常见的利率差异。我们可以使用类似的方法来处理金融衍生品。3.2.1远期CPI和CPI期权如前所述，该模型的主要优点是，对于几个重要数量，在所有远期度量QTk下，矩母函数是已知的。首先看一看未来CPII（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，t）P（t，t）P（t，t）P（t，Tk）=MvktMukt=eA（t，vk，uk）+B（t，vk，uk）·Xt，（3.11）中定义了A和B。因此，前向CPI是指数形式的，因此可以计算其对数的QTk矩母函数。这也表明，X在QTk下是一个时间不均匀的过程。使用（3.9）。