时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

2022-5-9 15:32:49

迪普-惯性导航与制导。Stefan WaldenbergerTime非均匀过程和市场模型发布：2015年9月，沃尔夫冈·穆勒林斯蒂特·弗雷兹教授在格拉茨贝特勒大学担任德国理工大学技术学院教授，因为我是一个自由的人，我是一个自由的人，我是一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人，一个自由的人。Dasin TUGRAZ online hochgeladene Textdokument是vorliegenden博士论文的作者。我声明我独立撰写了这篇论文，除了声明的来源/资源外，我没有使用其他材料，并且我已经明确指出了所有被引用的材料，无论是从字面上还是从所使用的来源中引用的内容。上传到TUGRAZonline的文本文件与当前的博士论文相同。提交/签署的数据/日期为KurzfassungDiese博士论文，该论文将在项目和财务管理部门的指导下完成。我现在要告诉你的是，这是一个关于所有国家的项目的理论。Zuerst werden zeitinhomogene MarkovProzesse genau de Finiert。我们的随机性研究项目正在进行修改。Anschliessend betrachten wir die Regularit–at und die semi martingaleigenschaft von assnen Prozessen。在所有项目中，我们都使用了半鞅。这是一个非常有趣的故事。

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2022-5-9 15:32:57

但是，在半马丁格尔主义者看来，这是一项非常重要的项目，因此，在这一点上，所有参数的作用都是综合性的。这是一个非常好的项目。Wirzeigen weiters，dass随机半鞅在绝对半鞅输入的确定论转换中的应用。这是一个非常好的项目。我是zweiten Teil betrachten wir die Klasse der a ffenen LIBOR Marktmodelle。在模型的修改下，所有项目都是负增长的。数字是贝斯皮尔·泽根（Beispiele zeigen）、达斯达杜尔（dassdadurch fl exiblere volatiit）和索伯（achen erzeugt werden k–onnen）。这是一个非常复杂的模型。金融市场中的伦敦银行同业拆借利率市场模型。在Kalibrierungsbeispiel zeigt，一位名叫Bess Beobachtettemarktpreise von influitions sehr gut Wiedergegeeben werdenk–onnen的人说。摘要本论文致力于研究金融过程及其在金融数学中的应用。在第一部分中，我们考虑了一般状态空间上的时间非齐次线性过程理论。我们给出了一个时间非齐次马尔科夫过程的简明设置。对于随机连续过程，我们证明了总是存在一个c`adl`ag修正。然后，我们考虑了a ffine过程的正则性和半鞅性质。与时间齐次情形相反，时间非齐次过程通常既不是正则的也不是半鞅的，时间非齐次情形提出了许多新的有趣的问题。

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2022-5-9 15:33:00

假设一个有效过程是半鞅，我们证明即使没有正则性，参数函数也满足广义Riccati积分方程。这推广了时间齐次函数过程的一个重要结果。我们还证明了随机连续半鞅本质上是由我们称之为绝对连续半鞅的确定性时间变化产生的。这些过程推广了时间齐次正则过程。在第二部分中，我们考虑一类有效的LIBOR市场模型。我们从两个方面对这类模型做出了贡献。首先，我们修改了伦敦银行同业拆借利率市场模型的原始设置，这样一来，除了非负的伦敦银行同业拆借利率过程之外，还可以使用真实价值的伦敦银行同业拆借利率过程。数值例子表明，这允许更灵活的隐含波动率曲面。其次，我们介绍了一类波动市场模型，这是伦敦银行同业拆借利率市场模型的扩展。一个校准示例表明，这些模型在拟合金融衍生品的市场观察价格方面表现良好。致谢首先，我要感谢我的导师沃尔夫冈·穆勒，他鼓励我攻读这一领域的博士学位。他的门一直开着，我非常感谢他花了这么多时间讨论和回答我的许多问题。我还要感谢统计研究所的全体工作人员，他们在每天的休息时间进行了许多有趣的讨论。这是一个非常熟悉的环境，我很高兴能在那里度过时光。特别感谢恩斯特·斯塔德洛伯，他非常慷慨地接受了我参加会议和科学会议的请求。我还要感谢Christa Cuchiero、Philipp Harms、Josef Teichman和Thorsten Schmidt，我与他们就一个有效流程进行了许多有趣且有益的讨论。

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2022-5-9 15:33:04

我特别感谢约瑟夫·泰奇曼邀请我去埃斯·祖里希，并为我指出了一些有趣的方向。特别感谢我的家人支持我的所有决定，并给我机会实现这一点。最后，或许最重要的是，我要感谢斯特克林格，他在我的整个博士期间鼓励我，毫无疑问地忍受了写这篇论文花费的所有时间，他总是倾听我的疑问和问题。内容生产11时间非齐次过程31.1马尔可夫过程。41.2工艺流程。111.3 C`adl`ag修改。201.4正则性和半鞅特征。311.4.1一个有效的马尔可夫半鞅。352由实值过程驱动的伦敦银行同业拆借利率模型492.1由实值过程驱动的伦敦银行同业拆借利率模型。492.2利率市场模型。512.3修改后的伦敦银行同业拆借利率模型。542.3.1期权定价。562.3.2示例。602.4证据。653餐饮市场模型683.1餐饮市场。683.1.1通货膨胀市场模型。713.2通货膨胀市场模型。723.2.1远期CPI和CPI期权。733.2.2向前膨胀、膨胀帽和膨胀帽。743.2.3相关性。

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2022-5-9 15:33:08

. . . . . . . . . . . . . . . 763.3实施示例。773.4附录。84导言本论文围绕一类有效流程及其在金融市场中的应用展开。时间非齐次过程被非正式地描述为E值马尔可夫过程，其中条件矩母函数的对数在过程的当前状态下是一个函数，即ehu，Xti | Fs= 经验φs，t（u）+hψs，t（u），Xsi, U∈ iRd，x∈ E、具有确定性函数φ和ψ。这意味着马尔科夫过程的转移算子将指数函数映射为指数函数。在本文的第一部分中，我们介绍了一般状态空间中的时间非齐次线性过程。而时间齐次过程（φ和ψ）只依赖于t- s）在广泛的研究中，时间不均匀的过程并没有得到同样多的关注。我们关注的是连续a ffine转换函数（指φ和ψ的连续性），它基本上对应于随机连续a ffine过程。对于具有连续传递函数的有效过程，我们可以证明该过程始终存在c`adl`ag修改。这扩展了时间均匀过程的类似结果。然后我们考虑正则性问题和时间非齐次过程的半鞅性质。正则性与φ和ψ相对于时间参数的可微性有关。对于时间来说，均匀的连续有效过程的规律性总是成立的。它被用来推断参数函数是广义Riccati微分方程的解，并且存在微分半鞅特征，这在过程的当前状态下是有效的。

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2022-5-9 15:33:11

我们给出了在时间非齐次情形下，正则性和半鞅性质都不自动成立的例子。然而，对于同时是半鞅的时间非齐次连续过程，我们可以推广时间齐次情形的任何结果。我们可以证明，在这种情况下，参数函数是广义Riccati积分方程的解，其中的积分是关于确定性函数G的Lebesgue-Stieltjes积分。此外，半鞅特征相对于G是绝对连续的，并且在某种程度上取决于过程的当前状态。如果函数φ和ψ甚至是绝对连续的，我们证明可以选择g（t）=t。我们说这样的半鞅有一个绝对连续的转移函数，并提出绝对连续的半鞅过程是时间齐次正则过程的适当推广。确定性函数G可以解释为时间变化。因此，连续半鞅本质上等于确定性时变可解连续半鞅。在本文的第二部分中，我们考虑了基于Keller Reselet等人[36]中介绍的一类伦敦银行同业拆借利率市场模型的有效过程的实际应用。伦敦银行同业拆借利率市场模型类别使用伦敦银行同业拆借利率市场过程的分析可跟踪性来描述伦敦银行同业拆借利率市场模型的分析可跟踪类别。为了保证非负利率，只能使用非负有效流程。在第2章（对应于M¨uller和Waldenberger[41]）中，我们扩展了有效的伦敦银行同业拆借利率市场模型，这样在不破坏利率非负性的情况下，也可以使用实际价值的有效过程。

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2022-5-9 15:33:14

这样做的优点是，生成的模型在生成市场观察到的隐含波动率时更灵活。我们用数值例子来说明这一点。第3章将伦敦银行同业拆借利率市场模型扩展到金融市场。在流动性市场中，存在两种不同类型的流动性交易流动性掉期。迄今为止考虑的市场模型无法给出这两种掉期的封闭公式。在这里，金融市场模型的分析可处理性可用于获得两种掉期的封闭公式。此外，这些掉期利率的看涨期权和看跌期权可以通过傅立叶方法定价。这包括流动性最强的衍生产品在流动性市场的定价。使用这些公式，我们能够根据市场数据校准一个有效的波动市场模型。本章对应于Waldenberger[45]。1时间非齐次过程齐次过程是有状态空间E的时间齐次马尔可夫过程，因此转移概率PtsatisfyZEehu，ξiPt（x，dξ）=Φt（u）ehψt（u），xi对于x∈ E、 t≥ 0和所有的u，使得x7→ ehu，xi在E中有界。这类过程包括许多著名且广泛使用的随机过程。特别是，L’evy过程、Ornstein-Uhlenbeck过程（Sato[44]，第17节）、CIR过程（Cox等人[9]）和Wishart过程（Bru[5]）都属于这一类。一个有效的过程可以追溯到Kawazu和Watanabe[32]，在那里研究了Galton-Watson分支过程的连续时间限制。后来，一个函数处理规范状态空间Rm中的值≥0×RN被引入并应用于一系列论文中，比较杜菲[14]，Dai和Singleton[12]，杜菲等[15]。Duffee等人[16]提出了一个重要的突破，其中给出了正则过程在规范状态空间中取值的完整特征。

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2022-5-9 15:33:18

这里的正则性指Φ和ψ的时间导数的存在。证明了Φ和ψ是广义Riccati微分方程的解。此外，还证明了正则过程是半鞅，其微分半鞅特征在过程的当前状态下是有效的。直到最近，在另一系列论文中，才发现时间齐次随机连续过程的正则性假设是自动满足的。对于规范状态空间，这是在inKeller-Ressel等人[35]中完成的，对于一般状态空间，这是在Keller-Ressel等人[37]和Cuchiero和Teichman[10]中完成的。时间非均匀过程类似地定义为函数Φ和ψ，取决于两个时间参数。他们首先在菲利波维奇[21]中介绍，在这里，假设有更强形式的规律性，杜菲等人[16]的结果被扩展到时间不均匀的情况。在本章中，我们将探讨在没有强正则性假设的情况下，具有一般状态空间的时间齐次有效过程的理论如何扩展到时间非齐次情形。我们证明了时间不均匀的情况提出了新的有趣的问题，这在时间均匀的情况下是不出现的。我们从定义时间非齐次马尔可夫过程开始，这种方法特别适用于半鞅理论。在第1.2节中，我们介绍了一般状态空间上的时间非齐次过程，并证明了马尔可夫过程的随机连续性本质上等价于Φ和ψ的连续性。这导致了连续有效过渡函数的定义。

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大多数88

2022-5-9 15:33:21

在第1.3节中，我们将Cuchiero和Teichmann[10]的结果推广到时间不均匀的情况，并证明连续有效过程具有具有强马尔可夫性质的c`adl`ag修正。第一章的最后一部分主要讨论正则性问题和半鞅性质。虽然在时间均匀的情况下，规律性是自动满足的，但对于时间不均匀的过程来说，情况并非如此。此外，如示例所示，半鞅性质不再适用于一般情况。在温和的技术条件下，我们能够证明，对于具有连续转移函数的马尔可夫半鞅，半鞅特征相对于确定性增长函数G是绝对连续的。此外，它们在某种程度上取决于过程的当前状态。由此我们得到函数Φ和ψ是广义Riccati积分方程的解，其中的积分是关于函数G的Lebesgue-Stieltjes积分。因此，即使没有正则性，时间齐次函数过程的许多结果也是广义的。函数G可用于对过程进行时间更改。固定概率测度后，时变过程变成了一个具有新的过渡函数的有效过程，其中新的Φ和ψ满足关于勒贝格测度的广义Riccati积分方程，即它们甚至是绝对连续的。这导致了绝对连续有效传递函数的定义。然后，时变过程具有不同的半鞅特征，这些特征取决于时间和过程的当前状态。我们认为这类过程是时间齐次正则过程的适当推广。

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2022-5-9 15:33:25

因此，具有连续传递函数的马尔可夫半鞅类本质上等于具有绝对连续（“正则”）传递函数的确定时变马尔可夫半鞅类。1.1马尔可夫过程定义1.1：可测空间（E，E）上的转移核N是映射N:E×E→ [0, ∞],每x∈ E地图A 7→ N（x，A）是一个度量，对于每个A∈ E地图x7→ N（x，A）是可测量的。如果N（x，E）=1表示所有x∈ E、 N是转移概率。如果n（x，E）<1，我们可以添加一个墓地点到E并设置N（x{}) = 1.-N（x，E）和N(, {}) = 1，所以N是（E）上的转移概率, E), E在哪里= E∪{}还有E= σ（E{}).从E到R或C的映射函数被扩展到E通过设置f() = 0.ToSorten符号在本节的其余部分，我们使用E表示状态空间，即使存在墓地点。转移概率在有界（或非负）可测函数集f:E上引入转移算子→ R byNf（x）：=ZEf（y）N（x，dy）。请注意，我们使用相同的字母表示转移概率和相应的运算符。对于两个内核M，N，可以定义MN byMN（x，A）：=ZEN（y，A）M（x，dy），这也是一个过渡内核。

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2022-5-9 15:33:29

注意x7→ Nf（x）是可测量的，且（MN）f（x）=M（Nf）（x）。定义1.2：（E，E）上的转移函数是{Ps，t}0的集合≤s≤（E，E）上的tof转移概率，即Ps，uPu，t=Ps，t对于所有0≤ s<u<t和Ps，s（x，·）=δx（·），其中δx（·）表示狄拉克测度。如果Ps，t=Pt，则过渡函数称为时间齐次函数-稳定部队集合{Pt}t≥转移概率的0。定义1.3：在过滤概率空间上具有状态空间（E，E）的过程X(Ohm, A、 F，P）带F:=（Ft）t≥0，这样Xs= 暗示Xt= 对于所有的t>s，对于所有时间s<t且有界可测的F:E，如果它是F-适应的且[F（Xt）|Fs]=Ps，tf（Xs）（1.1），则是转移函数（算子）{Ps，t}on（E，E）的时间非齐次马尔可夫过程→ R.如果转移函数是时间齐次的，则是时间齐次马尔可夫过程。正如过渡函数和过渡算子之间的类比一样，我们可以通过要求B的马尔可夫性质来等价地表述马尔可夫性质∈ E、 P（Xt）∈ B | Fs）=Ps，t（Xs，B）。对于给定的转移函数，总是可以找到马尔可夫过程。这是以下引理的陈述（参见Revuz和Yor[42]中的I.3）。引理1.4：考虑过滤空间（ER）上的坐标过程X≥0，外汇∞, FX）与FX∞:= σ（（Xt）t≥FXt=σ（（Xt）0≤s≤t）。对于给定的转移函数{Ps，t}和E上的起始分布u，在（ER）上有唯一的概率测度P≥0，外汇∞),这样X是（ER）上的马尔可夫过程≥0，外汇∞, FX、P）和Xhas分布u。这激发了对马尔可夫过程的另一种定义，不是关于固定概率测度P，而是关于一系列概率测度。我们首先在时间同质的情况下证明这一点。一个F-适应（E，E）值随机过程(Ohm, A、 F）。

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2022-5-9 15:33:32

如果E包含一个测量点它必须保持Xs= 暗示Xt= 对于所有t>s.ii）假设每x∈ 存在一个度量Pxon(Ohm, A），使得px（X=X）=1。此外，假设对于所有t≥ 0和B∈ E地图7→ Px（Xt）∈ B）这是可以衡量的。换句话说，Pt（x，B）：=Px（Xt∈ B）是（E，E）上的概率。用Ext表示关于度量Px的期望值。定义1.5：组合（X，F，{Px}）是一个时间齐次马尔可夫过程(Ohm, A），如果i）和ii）满足且对于每个有界可测函数f:E→ R和x∈ E、 s，t≥ 0Ex[f（Xs+t）|Fs]=Ptf（Xs）。（1.2）注意，条件期望的tower属性给出了{Pt}是一个时间齐次转移函数。根据定义1.3，X是一个同质马尔科夫过程(Ohm, A、 F，Px）每x∈ E.相反，对于定义1.3意义下的时间齐次马尔可夫过程的转移函数{Pt}，我们可以使用引理1.4构造概率测度Px，其起始分布u=δx。那么（x，FX，{Px}）是(Ohm, 外汇∞) 在定义1.5的意义上。这就是{Pt}的规范实现。有时，马尔可夫性质被写成asEx[f（Xt+s）|Fs]=EXs[f（Xt）]。此处，右侧定义为EXs[f（Xt）]=g（Xs），其中g（x）=Ex[f（Xt）]=Ptf（x）。注意g是可测的，EXs[f（Xt）]是σ（Xs）可测的随机变量。接下来，我们将定义1.5推广到时间非齐次马尔可夫过程。为此，我们将ii）替换为ii\'），假设每个r≥ 0和x∈ 存在一个概率测度p（r，x）(Ohm, A）使得P（r，x）（x=x）=1。此外，假设对于ALL，t≥ 0，B∈ E地图x7→ P（s，x）（Xt）∈ B）这是可以衡量的。

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2022-5-9 15:33:37

这意味着ps，s+t（x，B）：=P（s，x）（Xt∈ B）是一个转移概率。定义1.6：组合（X，F，{P（r，X）}）是一个时间不均匀的马尔科夫过程(Ohm, A），如果i）和ii\'）满足，并且对于每个有界可测函数f:E→ R和x∈ E、 r，s，t≥ 0E（r，x）[f（Xt+s）|Fs]=Pr+s，r+s+tf（Xs）=E（r+s，Xs）[f（Xt）]。（1.3）在这种情况下，塔的性质给出{Ps，t}是一个（时间非齐次）传递函数。备注：定义1.6不是标准。例如，在Gihman和Skorohod[24]中，aMarkov过程被定义为一个系统（X，Frs，{P（r，X）}），其中o（Frs）0≤R≤s≤∞是一个σ-代数族，比如Frs 0的FVTF≤ 五、≤ R≤ s≤ t、 oP（r，x）是关于(Ohm, Fr∞) 为了x∈ E、这样x7→ P（r，x）（Xt）∈B）是可测量的，并且oX是一个过程，使得xtt是可测量的，并且对于每个有界可测量的f和0≤ R≤ s≤ t<∞E（r，x）[f（Xt）|Frs]=E（s，Xs）[f（Xt）]。σ-代数族的标准选择是Frs=σ（Xt，r≤ T≤ s）。我们相信定义1.6更方便，尤其是考虑马尔可夫过程，即半鞅，如第1.4节所述。定义为1.6的X是定义为1.3的时间非齐次马尔可夫过程(Ohm, A、 F，P（r，x））与转移函数{Pr+s，r+t}0≤s≤t对于每个（r，x）。另一方面，给定一个时间非齐次的转移函数{Ps，t}，我们可以利用转移函数{Pr+s，r+t}0应用引理1.4构造概率测度P（r，x）≤s≤tand开始测量u=δx，因此坐标过程x是（ER）上的马尔可夫过程≥0，外汇∞, FX，P（r，x））。那么（X，FX，{P（r，X）}）在定义1.6的意义上是一个时间非齐次马尔可夫过程。我们称（X，FX，{P（r，X）}）为{Ps，t}的规范实现。对于过渡函数的规范实现，可以定义移位算子θt:ER≥0→ 急诊室≥0，θt（ω）（s）：=ω（s+t），所以Xs（θt（ω））=Xs+t（ω）。

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2022-5-9 15:33:41

（1.4）或者，我们可以假设算子θt的存在：Ohm → Ohm, 使（1.4）成立。在这种情况下，马尔可夫性质可以扩展。注意，这有时也用于定义马尔可夫过程（同质情况见Revuz和Yor[42]中的命题III.1.7）。还记得FX吗∞= σ（Xt，t）≥ 0）是由过程X生成的σ-代数。引理1.7：设（X，F，{P（r，X）}）为马尔可夫过程，并假设移位算子θtexist。然后对于每一个有界（或非负）FX∞-可测随机变量Zand r，t≥ 0，x∈ EE（r，x）[Zoθt | Ft]=E（r+t，Xt）[Z]，集合{Xt6=}. （1.5）证据。对于时间均匀的情况，这在Revuz和Yor[42]命题III.1.6和III.1.7中得到了证明。时间不均匀的情况也类似。为了让右手边有意义，我们需要x7的可测量性→ E（s，x）[Z]对于每个s≥ 0.ForZ=IΓ，其中Γ={X∈ A、 Xt∈ A.Xtn∈ 这是由转移函数的马尔科夫性质和可测性得出的。这类集合的族Γ在有限交点下是封闭的，单调类定理（Revuz和Yor[42]，第0.II节）的应用给出了Γ的可测性∈ 外汇∞. 简单函数的近似将可测性扩展到了FX∞-可测Z.现在让Γ={Xs∈ A} 。那么方程（1.5）成立，即e（r，x）[iΓo θt | Ft]=E（r，x）[I{Xs+t∈ A} |Ft]=Pr+t，r+t+s（Xt，A）=E（r+t，Xt）[Γ。对于马氏性质，这也适用于Γ={X∈ A、 Xt∈ A.Xtn∈上面的一个}和一个单调类参数将其扩展到集合Γ∈ 外汇∞然后是外汇∞-可测Z.备注：x7的可测性→ 有界FX的E（r，x）[Z]∞-可测量Z允许我们定义每个r≥ 0和概率测度u在（E，E）上，概率测度p（r，u）在（E，E）上(Ohm, 外汇∞) （但不是(Ohm, A） byP（r，u）（λ）=ZEP（r，x）（λ）u（dx）。用E（r，u）表示P（s，u）下的期望值。

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2022-5-9 15:33:46

对于每个有界FX∞-可测量的ZE（r，u）[Z]=ZEE（r，x）[Z]u（dx）。此外，方程（1.5）适用，E（r，x）替换为E（r，u），Ftt替换为Ftt Ft.如果测度P（r，x）不依赖于r，则时间非齐次马尔可夫过程是时间齐次的。通过扩展状态空间和概率空间，可以将时间非齐次情形简化为时间齐次情形（参见alsoB–ottcher[6]或Wentzell[46]，第8.5.5节）。考虑以下几点：o扩展状态空间E:=R≥带σ-代数的0×E≈E:={B~E:Bs:={x:（s，x）∈ B}∈ E代表所有人∈ R≥0}.o 扩展概率空间Ohm := R≥0×Ohm 用σ-代数A:={A~Ohm : As:={ω：（s，ω）∈ A}∈ A为所有人准备∈ R≥0}.o 时空过程X=（Θ，X）on（ΘOhm,~A）由~Xt（s，ω）定义：=（s+t，Xt（ω））。o过滤系数由Ft定义：={A答：是的∈ 所有FTS∈ R≥0}.o 概率测度P（r，x）在（）Ohm,§A），其中∈A由P（r，x）（A）：=P（r，x）（Ar）定义。注意，概率测度P（r，x）集中在集合{r}×上Ohm, i、 e.~P（r，x）（{r}Ohm) = 1.o通过设置B定义的转换函数Pton（E，E）∈~EPt（（s，x，B）：=Ps，s+t（x，Bs+t）=P（s，x）（Xt）∈ Bs+t.）如果存在移位算子θt，则它们被扩展为θt（s，ω）：=（s+t，θt（ω））。引理1.8：设（X，F，{P（r，X）}）是一个时间非齐次马尔可夫过程(Ohm, A）有状态空间（E，E）。o（~X，~F，{P（r，X）}）是（~Ohm,~A）具有状态空间（~E，~E）和转换函数{Pt}。o（X，~F，{P（r，X）}）是（~Ohm,~A）与状态空间（E，E）和转移函数{Ps，t}。证据{Pt}是一个转移函数，可以很容易地检查。关键的一点是Pt的可测量性。固定B∈~E和任何实Borel集C∧：=~P-1t（·，B）（C）=[s∈R≥0{s}×P-1s，s+t（·，Bs+t）（C）满意度∧s=P-1s，s+t（·，Bs+t）（C）∈ 因此∧∈~E。

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2022-5-9 15:33:49

类似的考虑也表明，流程X是F适应的。要显示X的马尔可夫性质，必须检查B的马尔可夫性质∈~E~E（r，x）[I{Xs+t∈ B} |Fs]=P（r，x）（Xs+t∈ B |Fs）=Pt（~Xs，B）。A.∈■FSAR∈ Fsand∧P（r，x）（A）=P（r，x）（{r}×Ar）=P（r，x）（Ar）。加上X的Markov性质，我们得到了aPt（~Xs（~ω），B）~P（r，X）（dω）=ZArPr+s，r+s+t（Xs（ω），Br+s+t）P（r，X）（dω）=ZArP（r，X）（Xs+t）∈ Br+s+t | Fs）P（r，x）（dω）=ZArIXs+t（ω）∈ Br+s+tP（r，x）（dω）=ZAInXs+t（ω）∈ bop（r，x）（dω）。这表明（~X，~F，{P（r，X）}）是一个时间齐次马尔可夫过程。很容易证明（X，~F，{P（r，X）}）是一个具有传递函数{Ps，t}的时间非齐次马尔可夫过程。要获得映射（s，x）7中（~E，~E）的可测量性→~Pt（（s，x），B）代表B∈我们必须考虑非常大的σ-代数Ohm). 如果（s，x）7→Ps，s+t（x，B）是B（R）≥0)E-可测量所有B∈ B（R）≥0)对于较小的乘积σ-代数E:=B（R），时空过程也可以实现≥0) E和A:=B（R）≥0) 一个Ohm （请注意，E~E和~A)A）。在这种情况下，P（r，x）=δr P（r，x）对于B=[a，B]×B，B∈ E、传递函数的定义简化为Pt（（s，x），B）=Pt（（s，x），[a，B]×B）=Ps，s+t（x，B）I[a，B]（s+t）。（1.6）如果我们在定义1.3的意义上考虑马尔可夫过程，则可以简化转换。在这种情况下，“E值过程”Xt（ω）=（t，Xt（ω））是原始过滤概率空间上的时间齐次马尔可夫过程。关于转移函数可测性的评论仍然成立。定义1.9：对于所有x，过渡函数{Ps，t}称为随机连续函数∈ EPs，S（x，·）d→ Pt，T（x，·），无论何时（s，s）→ （t，t）带0≤ s≤ S和0≤ T≤ T.对于定义1.6意义上的马尔可夫过程，有一系列概率测度。

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2022-5-9 15:33:53

因此，马尔可夫过程的随机连续性由转移函数{Ps，t}的弱收敛性表示。请注意，这一定义意味着以下意义上的概率收敛。考虑连续函数f（x） =|x|∧ 1.在定义1.3的固定概率测度P下，orP等于定义1.6的任何测度P（r，x），lims→tP（| Xt）- Xs |>) ≤ 林斯→tE[E[f（Xt）- Xs）|Fs]]=E林斯→tZf（y）- Xs）Ps，t（Xs，dy）= E[f(0)] = 0.因此，X满足了随机连续性的通常定义，即X收敛到s的Xtin概率（P以下）→ t、在后面的章节中，我们将使用完整的过滤概率空间（见Revuz和Yor[42]，第0.3节）和随机过程的修正（见Revuz和Yor[42]中的定义I.1.6和I.1.7）。我们想澄清如何理解这一点。定义1.10：设（A，A）是一个具有概率测度P的可测空间。尽快定义的完成API：={B A:B、 B∈ A:B B B、 P（B\\B）=0}。将概率测度推广到B∈ 通过设置P（B）：=P（B）=P（B）。（A，A）上的子σ-代数F由fp:={A:B∈ F:P（A\\B）∪ B\\A）=0}。完成的σ-代数包含P-测度零集的所有子集，对于FP也是如此。完成σ-代数（以及一般添加空集）不会破坏马尔可夫性质（见下面的引理1.11）。设X和X是两个E值随机过程(Ohm, A、 P）。如果P（Xt=~Xt）=1表示所有t≥ 0.如果（X，F，{P（s，X）}）和（~X，F，{P（s，X）}）是定义1.6意义上的马尔可夫过程，它们是彼此的修正，如果P（s，X）（Xt=~Xt）=1表示所有（s，X）。我们现在已经准备好，来建立下面的简单引理。引理1.11：如果X是马尔可夫过程(Ohm, A、 F，P），它也是完备空间上的马尔可夫过程(Ohm, AP，FP，P）和FP=（FPt）t≥0

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2022-5-9 15:33:57

此外，任何对X的修改都必须满足Xs= 暗示Xt= 总的来说，t>s是一个马尔可夫过程(Ohm, AP，FP，P）。此外，过渡函数是相同的。证据X仍然是FP自适应的，条件期望不受添加的度量值0的影响。由于过滤包含所有测量值0，因此仍需进行修改。由于P（{Xt6=Xt}）=0，它仍然是一个马尔可夫过程。在这篇论文的其余部分，如果我们明确考虑定义1.6意义上的马尔科夫过程，而马尔科夫过程X可以引用这两个定义中的任何一个，我们将写出（X，F，{P（s，X）}）。如果要从定义1.3的意义上理解马尔可夫过程X，我们将明确指定潜在的概率空间(Ohm, A、 1.2从现在开始考虑状态空间E, 其中E是d维实向量空间V的闭子集（想想Rd，但它也可以是不同的空间，比如Rn×n上的正有限矩阵空间，它与Rn（n+1）/2同构）。假设1:E包含一个有效基，即d+1元素x，xd，就是这样- 十、除息的- 我们是线性独立的。对于E，考虑Borelσ-代数E=B（E）。我们使用kk=∞.defineu={u∈ V+iVx7→ ehu，xi是E}（1.7）中的一个有界函数∈ U有界函数fu（x）：=ehu，xix∈ E、傅() := 0.定义1.12：如果存在函数Φs，t:U，则称为时间非齐次跃迁函数{Ps，t}→ C和ψs，t:U→ V+iV代表0≤ s≤ 对你来说不是这样的∈ U、 x∈ EPs，tfu（x）=Φs，t（u）ehψs，t（u），xi。（1.8）如果时间非齐次马尔可夫过程的转移函数为函数，则该过程为函数。如果过渡函数是时间均匀的（即Ps，t=Pt-s），则ptfu（x）=Φt（u）ehψt（u），xi（1.9），其中Φt（u）：=Φ0，t（u）和ψt（u）：=ψ0，t（u）。过程的一个有效属性是转移算子的一个属性。

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大多数88

2022-5-9 15:34:00

因此，它不依赖于马尔可夫过程的定义（定义1.3与定义1.6）。对状态空间的限制并不是真正的限制。函数性质自动扩展到一个集合的闭包，人们总是可以传递到一个低维的环境向量空间V，因此假设1是完整的（见Cuchiero和Teichman[10]）。只要Φs，t（u）6=0，我们就可以找到一个函数φ（它是唯一的，只能加上2πi的倍数），这样Φs，t（u）=eφs，t（u）。在这种情况下，方程式（1.8）可以写成asPs，tfu（x）=eφs，t（u）+hψs，t（u），xi。（1.10）这种指数形式是命名过程的一个动机。注意，如果（X，F，{P（s，X）}）是一个有效过程，那么对于r，s，t≥ 0E（r，x）ehu，Xt+si | Fs= Φr+s，r+s+t（u）ehψr+s，r+s+t（u），Xsi，对于s=0 yieldsE（r，x）ehu，Xti= Φr，r+t（u）ehψr，r+t（u），xi。上述方程中的指数函数与传统f定义得很有意义() = 0，即ehu，i=0。在本章中，这样的方程式将被频繁使用。文献中广泛研究了时间均一过程，例如，参见Du ffee等人[16]的开创性工作，以及Cuchiero and Teichmann[10]，Keller Ressel等人[37]的文章，这些文章在精神上与这种处理方法类似。通过引理1.8，时间非齐次马尔可夫过程可以推广到时间齐次时空过程。a ffine属性仅部分地传递给时空过程。引理1.13：设X是一个马尔可夫过程，具有一个有效的转移函数。然后时空过程X的时间齐次转移函数{Pt}：=（Θ，X）来自引理1.8，满足u∈ C≤0，u∈ U和f（U，U）（s，x）：=eusfu（x）~Ptf（U，U）（s，x）=eutΦs，s+t（U）eus+hψs，s+t（U），xi。（1.11）证据。

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大多数88

2022-5-9 15:34:03

直接从时间齐次跃迁函数的定义中得出，Ptin引理1.8，即Ptf（s，x）：=Ps，s+tfs+t（x），fs+t（x）=f（s+t，x）。备注：~X几乎是一个简单的过程。过渡函数{Pt}在x中是指数函数，但在（基本上是确定的）时间分量s中不是指数函数，因为Φs，s+tandψs，s+tdepend在状态（s，x）上，如果{Ps，t}不是时间齐次的。到目前为止，定义1.12中的函数Φ和ψ不一定是唯一定义的，可以是任意不规则的。如果我们假设转移函数是随机连续的，下面的引理得到（s，t，u）7的连续性→ Ps，tfu（x），我们稍后要将其转换为Φ和ψ。请注意，随机连续性有时是有效过程定义的一部分（参见Cuchiero和Teichmann[10]）。对于一个过程，考虑σ（s，u）：=inf{t>s:Φs，t（u）=0}，o（t，u）：=sup{t<t:Φt，t（u）=0}∨ 0，（1.12）其中我们使用了{} = ∞ 喝一杯{} = -∞. σ用于时间向前，而o用于时间向后。为了k∈ N letUk:={u∈ V+iV:supx∈鄂胡，习≤ k} ，Qk:={（t，t，u）：u∈ 英国，o（T，u）<T≤ T}={（T，T，u）：0≤ T≤ T、 u∈ 英国，Φv，T（u）6=0表示T≤ 五、≤ T}，U=∪库坎问：∪kQk。引理1.14：设{Ps，t}是随机连续的。然后（i）Φ在{（t，t，u），0上消失≤ T≤ T、 u∈ U} \\Q，soQ={（t，t，U）：0≤ T≤ T、 u∈ U、 Φt，t（U）6=0}。（ii）函数ψ将Q映射为U.（iii）对于x∈ 函数fx（t，t，u）：=Pt，Tfu（x）在{（t，t，u），0上是连续的≤ T≤ T、 u∈ 英国}∈ N.如果0∈ E、这也适用于中国。（iv）Q是开放的，对于任何u，σ（t，u）>t，o（t，u）<t∈ 备注：请注意十、∈ E:fx（t，t，u）=0<=> Φt，t（u）=0<=> 十、∈ E: fx（t，t，u）=0。（1.13）证据。如果Φt，t（u）=0，我们得到s的结果≤ T≤ T，x∈ Efx（s，T，u）=Ps，Tfu（x）=Ps，tPt，Tfu（x）=0所以Φs，T（u）=0。那么Φs，T（u）=0表示所有s<o（T，u）。

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2022-5-9 15:34:07

根据随机连续性，Φo（T，u），T（u）=0和（i）如下。要得到（ii）注意∈ Ukand x∈ E |Φt，t（u）ehψt，t（u），xi |=| Pt，Tfu（x）|≤ZE | fu（ξ）| Pt，T（x，dξ）≤ZEKPt，T（x，dξ）=K.如果（T，T，u）∈ Q我们可以除以|Φt，t（u）|和| ehψt，t（u），xi |≤ K |Φt，t（u）|-1对于allx∈ E.ψt，t（u）∈ 让x∈ E和let（tn、tn、un）→ （t，t，u）是一个收敛序列，其中un，u∈ UK和0≤ tn≤ 田纳西州，0≤ T≤ T存在一个函数ρ：E→ [0,1]具有紧密支撑，使得pt，T（1- ρ）（十）.选择“乐趣”（ξ）- fu（ξ）|=|ehun，ξi- ehu，ξi|<, N≥ N、 ξ∈ supp（ρ）。通过随机连续性，可以证明所有n≥ NPtn，Tn（1- ρ）（x）<2,Ptn，Tnfu（x）- Pt，Tfu（x）< .那么无论如何≥ max{N，N}Ptn，Tnfun（x）- Pt，Tfu（x）≤Ptn，Tn（ρ（n）- (十)+Ptn，Tn（（1- ρ）（有趣- (十)+Ptn，Tnfu（x）- Pt，Tfu（x）< + 2k + = 2（k+1）.因此fx（t，t，u）在{（t，t，u）：0上是连续的≤ T≤ T、 u∈ 英国}每k∈ N和x∈ E.如果0∈ E、 Φt，t（u）=f（t，t，u）是连续的，我们得到（iii）。因为Φt，t（u）6=0，所以fxand（1.13）的连续性意味着（iv）。我们想利用引理1.14（ii）中的连续性得到toΦ和ψ的唯一选择。这是可能的，因为假设1。引理1.15：设{Ps，t}是随机连续的。然后通过要求ψt，t（u）在qk上对所有k是连续的，ψ在q上是唯一定义的∈ N和ψ0,0（0）=0。在这种情况下，对于所有k，Φ在qk上唯一定义且连续∈ N.此外，Q上有一个唯一的函数φt，t（u），它在qk上是连续的，满足φ0,0（0）=0和eφt，t（u）=Φt，t（u）。为了证明这一点，我们大量借用了凯勒·雷塞尔等人[37]的观点。证据定义集合Kn:={（t，t，u）：u∈ 库恩≤ n、 t∈ [o（T，u）+n，T]}，所以 Qnand limn→∞Kn=Q。我们认为每一个集合都可以收缩到零。设γ=（t（r），t（r），u（r））0≤R≤1b以Kn为单位的连续曲线。

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2022-5-9 15:34:10

然后是0≤ α ≤ 1曲线γα=（t（r）+（1-α）（T（r）-t（r）），t（r），u（r））0≤R≤1持续向α靠拢，并在每个α处停留。此外，γ=γ和γ=（T（r），T（r），u（r））0≤R≤1.所以Knis中的任意连续曲线同伦等价于凸集R中的连续曲线≥0×U，其中所有连续曲线都可收缩为零。这证明了Knis可收缩为零。设Hn:[0,1]×Kn→ Knbe这样的连续收缩和fix∈ E.自从Knis compact以来，我们有了limα→βkfx（Hn（α，·））- fx（Hn（β，·））k∞= 0.外汇o Hn是从fx | k到常数函数1的连续曲线，单位为Cb（Kn）。这里Cb（Kn）表示Kn上有界连续函数的Banach空间。根据Bucchianico[7]中的定理1.3，存在一个连续对数gxn∈ Cb（Kn），即所有（t，t，u）的fx（t，t，u）=egxn（t，t，u）∈ 千牛。接下来，我们将通过设置gxn（0，0，0）=0来唯一定义gxn。假设gxn（t，t，u）是另一个这样的连续对数，那么gxn（t，t，u）=gxn（t，t，u）+2πiα（t，t，u）和α（t，t，u）∈ 那么α（t，t，u）在Kn上是连续的，它可以收缩到0，因此也是连通的。因此α（t，t，u）不能依赖于（t，t，u）。插入（0，0，0）给出了α（t，t，u）=0和gxn的唯一性。对于任意m≤ 我们有gxm（t，t，u）=gxn（t，t，u）+2παx（t，t，u）表示所有（t，t，u）∈ Km，其中αx（t，t，u）是从Km到Z的连续函数，满足αx（0，0，0）=0。因此gxm（t，t，u）=gxn（t，t，u）代表所有（t，t，u）∈ 公里。这表明GxNex倾向于gxm，因此有一个唯一的函数gx:Q→ C使得gx（0，0，0）=0且gx（t，t，u）=fx（t，t，u）=Φt，t（u）ehψt，t（u），xi。（1.14）注意，像fx一样，gxis在每个Qk上都是连续的。确定一个有效基x的点x，除息的。然后在Qkehψt，t（u），x上-xi=egx（t，t，u）-gx（t，t，u），so hψt，t（u），x- xi=gx（t，t，u）- gx（t，t，u）+2πiαx（t，t，u），其中αx（t，t，u）∈ Z.αx（0，0，0）=0。

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可人4

2022-5-9 15:34:14

ψ，gx和gxon的连续性qkgaivesαx（t，t，u）的连续性。因此αx=0，hψt，t（u），x- xi通过独特的功能gx、x在Q上定义独特∈ E.根据假设1，ψ也是如此。关于Q集φt，t（u）=gx（t，t，u）- hψt，t（u），xi等于所有x∈ E，然后也是唯一定义的。那么Φt，t（u）=eφt，t（u）和Φ在Qk上也是唯一定义和连续的。从现在开始，当我们谈论连续函数Φ和ψ时，我们总是说它们是引理1.15中描述的形式。必须要求ψ的较弱性质才能确保它实际上是一个连续的版本。这些性质需要充分保证引理1.15的证明不依赖于（t，t，u）。例如，我们可以通过要求每个（t，t，u）和x都是这样来放松这一点∈ E有一个开邻域，其中| h=ψt，t（u），xi- h=ψt，t（u），xi |<π，如Cuchiero和Teichman[10]所建议。请注意，在时间同质的情况下（参见Cuchiero和Teichmann[10]，Keller-Ressel等人[37]），我们没有得到连续版本的存在，只有唯一性。在加强状态空间假设的情况下，我们得到函数ψ总是连续的。引理1.16：假设E有一个连通分量，其中包含一个a。如果{Ps，t}是随机连续的，则满足（1.8）的任何函数ψ在ψ0,0（0）=0的qkw上是连续的。证据让x，XD必须是连接组件中的有效基础。定义函数h（t，t，u，x）：=ehψt，t（u），x-xi，x∈ V.对于x∈ 这可以写成h（t，t，u，x）=fx（t，t，u）fx（t，t，u）。由引理1.14 iii）h在（t，t，u）中是连续的∈ qk每个x∈ 此外，它在x foreach（t，t，u）中是连续的，甚至在Qk×E上是联合连续的∈ E、 kxk≤ n} 。Hnas在引理1.15，α的证明中→ h（Hn（α，（t，t，u）），x）是Cb（Kn×En）中从h | Kn×Ento到常数函数1的连续曲线。

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2022-5-9 15:34:17

根据布基亚尼科[7]中的定理1.3，在Kn×En上有一个连续函数gn（t，t，u，x），使得h（t，t，u，x）=egn（t，t，u，x）。设置g（0，0，0，x）=0表示所有x∈ 彻底的定义。在引理1.15的证明中，我们可以扩展它，得到一个唯一的函数g（t，t，u，x），它在Qk×E上是连续的，满足g（0，0，0，x）=0∈ E和h（t，t，u，x）=例如（t，t，u，x）。那么hψt，t（u），x- xi=g（t，t，u，x）- 2πiα（t，t，u，x）与α（t，t，u，x）∈ Z.因为左手边在x中是连续的，α在x中也是连续的。因此，在每个连接的组件上，α在x中是常数。用¨α（t，t，u）表示包含x，除息的。Thenhψt，t（u），xi- xi=g（t，t，u，xi）- 2πi′α（t，t，u），0≤ 我≤ d、当i=0时，证明了2πi′α（t，t，u）=g（t，t，u，x）在Qk上是连续的。然后是hψt，t（u），xi-xi在Qk上是连续的。由于{x，…，xd}是一个有效基，ψt，t（u）在Qk上是连续的。最后，hψ0,0（0），xi- xi=g（0，0，0，xi）- 2πi′α（0,0,0）=0表示1≤ 我≤ d表示ψ0,0（0）=0。这表明，对于几乎所有的状态空间，随机连续性意味着Φ和ψ的连续性。接下来，我们证明，本质上也是相反的。我们首先陈述以下众所周知的事实。引理1.17:B（Rd）=σ（Cexp）：=σ（{f-1（A）：A∈ B（C），f∈ Cexp}），其中Cexp=（nXk=1akfuk（x），ak∈ C、英国∈ 北卡罗来纳州i路∈ N）。证据的草图。为了简化符号，假设d=1。取某个区间[a，b]和该区间的修正指标函数，在[a，b]外为0，在（a，b）上为1，在{a，b}上为1/2。这个函数可以用C逐点逼近∞-功能。用傅里叶方法，这种近似C∞-函数g可以写成g（x）=2πRiR^g（z）ezxdz。

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可人4

2022-5-9 15:34:20

对积分进行切割并用Riemann-sumsgives逼近，可以用Cexp中的函数进行逐点逼近，从而验证结果。引理1.18:Let（t，t，u）7→ Pt，Tfu（x）在{（t，t，u）上是连续的：0≤ T≤ T、 u∈iV U} 每x∈ 那么{Pt，T}是随机连续的。证据（t，t）7→ Pt，Tfu（x）对所有x是连续的∈ E和u∈ 因此，这也适用于f∈ Cexp。让Cb（E）) 表示有界可测函数f:E→ C定义向量空间H:={f∈ Cb（E）) : （t，t）7→ Pt，Tf（x）对所有x是连续的∈ E} ，这是一个包含常数函数的单调类。Cexp H在乘法下是闭合的。函数单调类定理（Revuz and Yor[42]，定理0.2.2）和引理1.17的应用给出了H包含所有有界可测函数，从而给出了{Pt，T}的随机连续性。推论1.19：设{Ps，t}是状态空间E上的一个有效转移函数它包含0，并且有一个包含有效基的连接组件。那么下面这些就相当了{Ps，t}是随机连续的ψ在qkw上是连续的，ψ0,0（0）=0，Φ和（t，t，u）7→ Pt，Tfu（x）在{（t，t，u）上是连续的：0≤ T≤ T、 u∈ Uk}适用于所有x∈ E和k∈ N.证据。引理1.18给出了一个方向。引理1.16给出了Qkandψ0,0（0）=0上ψ的连续性。引理1.14 iii）假设为0∈ 把其余的都拿走。这表明随机连续性与Φ和ψ的连续性基本上是等价的。我们不考虑转移函数的随机连续性，而是考虑以下定义。定义1.20：如果ψ和φ在ψ0,0（0）=0的qkW上是连续的，则称为连续的过渡函数{Pt，T}。Φ和（t，t，u）7→ Pt，Tfu（x）在{（t，t，u）：0上是连续的≤ T≤ T、 u∈ 英国}∈ 伊恩和k∈ N

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2022-5-9 15:34:25

如果马尔可夫过程的转移函数是连续有效的，则马尔可夫过程是连续有效的。引理1.21：设{Pt，T}为连续有效的转移函数。（i） Φ、φ和ψ满足以下半流方程。对于s≤ T≤ TΦs，T（u）=Φs，T（ψT，T（u））ΦT，T（u），对于所有u∈ U、 ψs，T（U）=ψs，T（ψT，T（U）），如果Φs，T（U）6=0，φs，T（U）=φT，T（U）+φs，T（ψT，T（U）），如果Φs，T（U）6=0。（1.15）（ii）让我们∈ U∩五、然后=Φt，t（u）=0表示0≤ T≤ T和=ψT，T（u）=0，=φT，T（u）=0表示o（T，u）<T≤ T（iii）所有≥ 它认为Φt，t（u）=1，φt，t（u）=0和ψt，t（u）=u。关于（i），如果Φs，T（u）6=0，那么通过引理1.14 i）也ΦT，T（u）6=0，所以由引理1.14 ii）ψT，T（u）∈ U和Φs，T（U）ehψs，T（U），xi=Ps，Tfu（x）=Ps，tPt，Tfu（x）=ΦT，T（U）Ps，tfψT，T（U）（x）=ΦT，T（U）Φs，T（ψT，T（U））ehψs，T（ψT，T（U）），xi。（1.16）因此Φs，t（ψt，t（u））6=0和（s，t，ψt，t（u））∈ Q、因此我们可以写出（1.16）aseφs，T（u）+hψs，T（u），xi=ehφT，T（u）+φs，T（ψT，T（u））+ψs，T（ψT，T（u）），xi。前面讨论的对数唯一性以及假设1给出了半流方程。如果Φs，t（u）=0，我们考虑两种情况。如果Φt，t（u）=0，则Φ的流速方程成立。否则由引理1.14 ii）ψt，t（u）∈ U和（1.16）保持不变。由于Φt，t（u）ehψs，t（ψt，t（u）），xi6=0，因此Φs，t（ψt，t（u））=0。这证明了在Φs，t（u）=0的情况下Φ的半流方程。对于（ii）请注意∈ 英国∩ V，o（T，u）<T≤ ψt，t（u），x-xi=Pt，Tfu（x）Pt，Tfu（x）∈ R≥因此h=ψt，t（u），x- xi=2πiαx（t，t，u）与αx（t，t，u）∈ Z.在定理1.15的证明中，h=ψt，t（u），x- xi=0。因此也=ψt，t（u）=0。这意味着=φt，t（u）=0和=Φt，t（u）=0。

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2022-5-9 15:34:28

请注意，Q外的Φ=0乘以1.14 i）。（iii）后接与ii）中相同的参数，因为Pt，tfu（x）=fu（x），因此ψt，t（u）-u、 x-xi=1。Φ和ψ的连续性也可以用来推断过渡函数{Ps，t}的联合可测性。引理1.22：对于连续有效的转移函数（s，t，x）7→ Ps，s+t（x，B）isB（R）≥0) E-每个B都是可测量的∈ E.证据让C C和u∈ iV。通过Φ集的连续性Qu={（s，t）∈ R≥0:Φs，s+t（u）6=0}是开放的，B（R≥0）-可测量。（s，t）7→ ψs，t（u）是Qu上的连续函数，因此也是（s，t，x）7→ Ps，s+tfu（x）=Φs，s+t（u）ehψs，s+t（u），xiis continuouson Qu×E和D={（s，t，x）∈ R≥0×E:Ps，s+tfu（x）∈ C\\{0}∈ B（R）≥0) E.因此{（s，t，x）∈R≥0×E: Ps，s+tfu（x）∈ C} =（0）/∈ C:D0∈ C:（R）≥0\\Qu×E）∪ （R）≥0×{}) ∪ D、在B（R）中≥0)E. 因此函数（s，t，x）7→ Ps，s+tfu（x）是B（R）≥0)E-每一个fu都是可测量的。这扩展到函数f∈ Cexp。引理1.18的证明中的单调类参数给出了结果。这特别意味着（s，x）7→■Pt（（s，x），B）是B（R）≥0) E-可测量的预测固定B∈ B（R）≥0) E, 式中，pti是引理1.8中引入的时空过程的转移函数。要看到这个，让B=[a，B]×B，B∈ EandC∈ B（[0,1]）。然后由引理1.22D={（s，x）：Ps，s+t（x，B）∈ C}∈ B（R）≥0) E.由（1.6）~P-1t（·，[a，b]×b）（C）={（s，x）：Ps，s+t（x，b）I[a，b]（s+t）∈ C} =（[a]- t、 b- t] ×E) ∩ D 0/∈ C、（[a]- t、 b- t] C×E) ∪ （[a]- t、 b- t] ×E) ∩ D） 0∈ C、和P-1t（·，[a，b]×b）（C）∈ B（R）≥0) E. 因此，具有时间非齐次连续有效转移函数的马尔科夫过程的时空过程，可以相对于较小的乘积σ-代数E=B（R≥0) E和)A=B（R≥0) A和过滤系数F，由Ft:=B（R）给出≥0) Ft（见引理1.8后面的注释）。

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可人4

2022-5-9 15:34:32

与引理1.13一起，我们有以下推论。推论1.23：设（X，F，{P（s，X）}）是一个具有转移函数{Ps，t}的连续有效马尔可夫过程。那么（~X，~F，{P（s，X）}）是（~Ohm,A）状态空间（~E，~E）和转移函数{Pt}满足Ptf（u，u）（s，x）=eutΦs，s+t（u）eus+hψs，s+t（u），xi。此外，（X，~F，{P（s，X）}）是（~Ohm,~A）带转移函数{Ps，t}。保守有效过程如果所有t的Ps，t（x，E）=1，则过渡函数是保守的≥ s和x∈ E.公约f() = 0，f（x）=I{x 6=} 这相当于Ps，tf（x）=1表示allt≥ s和x∈ E.对于定义1.6意义上的有效流程，这对应于P（s，x）（Xt6=) = 1.所有s，t≥ 0和x∈ E.注意在这种情况下p（s，x）（Xt6=) = E（s，x）eh0，Xti= Ps，s+tf（x）=Φs，s+t（0）ehψs，s+t（0），xi。（1.17）我们有以下引理。引理1.24：一个连续有效的转移函数是保守的，当且仅当Φs，t（0）=1和ψs，t（0）=0对于所有t≥ s、证据。如果转移函数是保守的，那么Ps，tf（x）=1表示所有x∈ E和T≥ s、因此Φs，t（0）6=0，所以ehψs，t（0），x-xi=1。在引理1.21中，通过ψ的连续性和假设1，可以得出ψs，t（0）=0。显然，Φs，t（0）=1.1.3 C`adl`ag修正在本节中，我们证明了具有连续有效传递函数的马尔可夫过程具有C`adl`ag修正。对于一般的有效跃迁函数，当确定性过程Xt=x+I{t时，这是不正确的≤ 1} 表演。首先，我们考虑定义1.3意义上的马尔可夫过程X，其中我们有一个可执行概率测度P。然后，我们将其扩展到定义1.6意义上的马尔可夫过程（X，F，{P（s，X）}）。对于时间齐次过程，这一点已由Inuchiero和Teichman[10]证明。

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