具有可违约数量的金融模型

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收藏 2022-05-10

英文标题：
《Financial Models with Defaultable Num\\\'eraires》
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作者：
Travis Fisher, Sergio Pulido, Johannes Ruf
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
Financial models are studied where each asset may potentially lose value relative to any other. Conditioning on non-devaluation, each asset can serve as proper num\\\'eraire and classical valuation rules can be formulated. It is shown when and how these local valuation rules can be aggregated to obtain global arbitrage-free valuation formulas.
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中文摘要：
金融模型研究的是每种资产相对于任何其他资产可能会失去价值的情况。在不贬值的条件下，每一项资产都可以作为适当的基准，并且可以制定经典的估值规则。本文展示了何时以及如何将这些局部估值规则进行聚合，以获得全球无套利估值公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Financial_Models_with_Defaultable_Numéraires.pdf
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mingdashike22

2022-5-10 12:31:28

具有可违约数量的金融模型*Travis Fisher+Sergio Pulid oJohannes Ruf§2018年10月16日摘要研究了金融模型，其中每种资产相对于任何其他资产可能会失去价值。在不贬值的条件下，每项资产都可以作为适当的基准，可以制定经典的估值规则。本文展示了何时以及如何将这些局部估值规则进行聚合，从而从ulas中获得无全球轨道的估值。关键词：可违约的不确定性；贬值非经典估值公式。AMS科目分类（2010）：60G48、60H99、9 1B24、91B25、91B70、91 G20、9 1G40。JEL分类：D5 3，G13。1简介金融市场的经典模型是建立在一系列随机过程之上的，这些随机过程以预先指定的数量为单位描述标的资产价格在整个时间内的随机动态。这种货币账户通常也被解释为货币市场账户，是一种不能贬值的资产。在本文中，我们讨论了存在多个金融资产的情况，其中任何一个都可能失去相对于其他资产的所有价值。因此，这些资产中没有一项可以作为适当的资产。考虑基础资产贬值的或有权益定价模型有很多。例如，它们自然出现在信用风险中。在Sch–onbucher（20032004）引入的术语中，此类资产被称为可违约资产。Jarrow和Yu（2001年）、Collin Dufresne等人（2004年）和Jamshidian（2004年）是这些文献的进一步例子。外汇金融模型提供了其他类型资产的例子，这些资产可能会因发生过度通货膨胀而贬值；例如，见C^amara和Heston（2008年）、Carr等人（2014年）和Kardaras（2015年）。*我们感谢Monique Jeanblanc、Martin Larsson、Martin Schweizer和Hideyuki Takada的有益讨论。

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大多数88

2022-5-10 12:31:33

我们非常感谢裁判和副主编的仔细阅读和富有洞察力的评论。S.P.的研究得益于转型期椅子市场（法国银行）和ANR 11-LABX-0019项目的支持。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC第307465-POLYTE号拨款协议，SP的研究也得到了欧洲研究理事会的资助。J.R.感谢牛津大学牛津定量金融研究所的慷慨支持。本文所述观点是作者自己的观点，不一定代表摩根士丹利或其附属公司的观点，也不是摩根士丹利研究的产品。+无任何联系，电子邮件：traviswsher@gmail.com.埃弗里（LaMME）数学实验室、埃弗里-瓦尔-德桑大学、恩西大学、巴黎大学、UMR CNRS 8071、法国埃弗里塞德斯大道23号IBGBI，91037，电子邮件：sergio。pulidonino@ensiie.fr.§英国伦敦霍顿街哥伦比亚大厦伦敦经济与政治学院数学系，邮编：j。ruf@lse.ac.uk.The术语“可违约金额”有时出现在信用风险文献中，具有不同的含义，即描述具有严格正向但不适用的价格过程的资产；例如，Bielecki等人（2004年）使用了这一定义；另见Brigo（2005）。然而，在这里，我们遵循了Sch¨onbucher（2003，2004）的精神，其中一个可违约数是一个正概率为零的非负半鞅。相反，一个适当的数应该是严格正半鞅。另一类备受关注的模型涉及资产价格过程的严格局部鞅动力学；例如，参见Sin（1998）和Heston等人（2007）。

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kedemingshi

2022-5-10 12:31:36

通常选择这种模型是因为它们可以被解释为气泡（Protter（2013））或者它们可以分析处理（Hulley and Platen（2012），Carr等人（2013））。从业人员（Lewis（2000年）、Paulot（2013年））和学者（Cox和Hobson（2005年）、Madan和Yor（2006年））都提出了此类模型中未定权益的非经典估值公式，以便与市场价格保持一致。在本文中，我们认为严格的局部鞅动力学与相应的数值贬值的解释是一致的。然后，这种观点使我们能够将Lewis（2000）估值公式中的修正项解释为在数字贬值的情况下，包含索赔的支付价值。因此，Lewis（2000）、Madan and Yor（2006）、Paulot（2013）或K ardaras（2015）的估值公式作为本文框架的特例出现。与本文平行的是，Herdegen和Schweizer（2017）开发了另一个始终保证看跌期权平价的统一通用估值框架。本文的贡献可以总结如下。1.它解释了严格的局部鞅模型，它可以通过定义违约概率为正的数来产生。非经典估值公式，恢复看跌期权平价，可以在经济上进行调整和扩展。2.目前，假设每项资产都存在一个概率测度，根据该测度，贴现价格（对应资产为num’eraire）是局部鞅（甚至是超鞅）。这些措施不必等同。本文提供了将这些度量聚合为无套利估值算子的条件，该算子考虑了所有贬值事件。在第2节中，我们将介绍该框架。我们考虑d资产的一个模型。

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mingdashike22

2022-5-10 12:31:39

我们考虑的是外汇市场，因此将这些资产称为“货币”，但实际上这些资产可以代表任何非负值的资产。我们将一个单位的第j种货币的价值表示为Si，j。我们对这些汇率的完整矩阵（Si，j）i，jof进行建模。这很方便，因为我们的主要结果是根据汇率矩阵中包含的相对价格得出的。如果第j种货币在时间t时相对于第i种货币贬值，我们有Si，j（t）=0和Sj，i（t）=∞. 在这种情况下，第j种货币不能用作数字，该货币的数学金融单位的标准结果不适用。然而，在这种设置中，篮子可以用作一个数字。也就是说，由每种货币的一个单位组成的投资组合，其价值为Pi、jSi、j，以第i种货币计量，是一个有效的数值。第三部分是本文的主要贡献。首先，考虑了num’eraire一致概率测度的家族。从某种意义上说，这些指标中的每一项都对应于将特定货币作为基础货币。当篮子被视为num\'eraire时，我们将分解称为从估值度量中构造这一系列num\'eraire一致概率度量的步骤。我们称之为相反的步骤，即采取一系列可能不等价的概率测度，将不同货币对应为数值，并为篮子构建一个估值测度。将一个严格的局部鞅模型嵌入到一系列数一致的概率测度中，然后将这些测度相加，得到了Lewis（2000）、Madan和Yor（2006）、Paulot（2013）和Carr等人（2014）的非经典估值公式。这种观点有两个优点。

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mingdashike22

2022-5-10 12:31:42

首先，它给出了任何一种未定权益的一般估值公式。这些公式与上述非经典估值公式一致，这些公式通常仅适用于特定索赔。第二，它给出了一个经济学解释，即缺乏鞅性质，即潜在的num’eraire违约的可能性。第四部分是主要结果的证明。我们指出了Tehranchi（2014）最近的工作，他认为，在一个经济体中，给定非交易货币的报价不一定是正的。未研究资产之间的相对价格。相反，Tehranchi（2014）专注于不同的套利概念，考虑到代理可能无法用明天的消费替代今天的消费。注：在本文中，我们定义了一个确定的时间范围T>0，并考虑了一个具有d的经济体∈ N贸易数据集，称为“货币”。为了减少符号，我们将使用通用字母t表示时间，并避免使用限定符“∈ [0，T]”。我们还将使用通用字母i、j、k表示货币，并再次避免使用“限定符”∈ {1，··，d}”。例如，我们将写“Pj”来表示“Pdj=1”。当产生一个过程X=（X（t））t∈[0，T]，我们通常省略“=（X（T））T∈[0，T]”。如果v∈ 我们理解表格v的性质≥ 0组件。对于一个m atrixΓ∈ Rd×d，我们用Γ的第i行表示。此外，我们使用公约 = ∞ 我们用| a |表示可数集a的基数。此外，我们强调两个数x，y的乘积xy∈ [0, ∞] 除非（a）x=0和y=∞ 或（b）x=∞ y=0。我们提供了一个经过过滤的空间(Ohm, F（T），（F（T））T，其中过滤（F（T））被假定为正确的连续性，而F（0）是微不足道的。

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能者818

2022-5-10 12:31:45

在没有概率测度的情况下，所有涉及随机变量或事件的语句都应该对所有ω保持路径∈ Ohm. 为了一个活动∈ F（T），我们将1A（ω）×设为∞ andA（ω）×(-∞) 到∞ 和-∞, 分别为ω∈ 对于所有ω，A和为0/∈ A.现在让我们考虑一个可能性度量Q(Ohm, F（T））。对于每一个t，我们为相应的期望算子写Eqf，为条件期望算子写Eqt。我们让L（Q）表示实值随机变量Z的（等价类）空间，使得EQ[|Z |]<∞. 对于X（0）=0的实值半鞅X，我们写E（X）来表示它的随机指数；也就是说，E（X）=eX-[X，X]c/2Ys≤·(1 + Xs）e-Xs，在哪里X=X- 十、-[X，X]C强调X.2框架中连续部分的二次变化。本节介绍了交换矩阵的概念，以表示基础货币的价格，以及价值向量的相关概念，以描述货币为基础的或有权益的估值。我们把自己置身于一个经济体，其特点是d货币通过[0，∞]d×d-有值，右连续，（F（t））t-适应过程S=（Si，j）i，j。这里，过程Si，j表示第j种货币的价格过程，单位为第i种货币。我们还参考了Veˇceˇr（2011），这里也采取了类似的观点。为了简化下面的分析，我们假设利率为零。或者，我们可以将Si，j（t）解释为第j个货币市场的一个单位在时间t时的价格，即第i个货币市场的单位，对于每个i，j和t。为了给矩阵值过程S提供经济意义，我们假设它满足一定的一致性条件。

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可人4

2022-5-10 12:31:48

形式上，我们假设S（t）是每个t的交换矩阵，从以下定义的意义上来说。定义2.1（交换矩阵）。交换矩阵是d×d维矩阵s=（si，j）i，jtaking[0，∞]d×d，当产品定义时，所有i，j，k的性质为si，i=1和si，jsj，k=si，k。请注意，定义尤其意味着交换矩阵s也满足si，j=0，且仅当sj，i=∞ 总之，定义的一致性条件2。1.保证以下内容：对于固定的i、j、k，想要将第i种货币单位兑换成第k种货币单位的投资者，在直接将第i种货币的si、kunit兑换成第k种货币或相反，采用间接方式，首先将第i种货币的适当单位兑换成第j种货币，然后将这些单位兑换成第k种货币。对于每个t，我们定义了“活跃货币”A（t）的指数集=i:XjSi，j（t）<∞.如果我∈ A（t）对于某些t，则第i种货币没有对任何其他货币贬值。为了简化记数法，我们假设A（0）={1，·d}；也就是说，在时间0时，没有任何货币贬值。备注2.2（强势货币的存在）。我们总是有一个（t）6= 更精确地说，如果s是交换矩阵，则存在i，使得si，j≤ 1对于所有的j.为了看到这一点，我们在指数{1，…，d}的集合上定义了一个总的前序，如下所示： k当且仅当sj，k≥ 1，也就是说，当且仅当第k种货币比第j种货币“更强”。定义的一致性条件2。1.保证这是一个完整的预订单。由于指数集是有限的，因此存在一个（不一定是唯一的）与“最强”货币对应的最大指数i。

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mingdashike22

2022-5-10 12:31:52

对于这样一个指数，我们有si，j≤ 1对于所有j.我们感兴趣的是除了d货币之外的其他经济资产，以及它们相对于这些货币的相对价值。为此，我们引入了价值向量的概念。定义2.3（交换矩阵的值向量）。交换矩阵s的值向量是d维向量v=（vi）表示[0]中的值，∞ ]当产品定义时，所有i，j的性质为si，jvj=vi。价值向量根据d货币对资产的估值进行编码。更准确地说，第i个部分描述了获得一个特定货币集所需的第i个货币单位。定义中的一致性条件2。3再次保证，想要获得新资产单位的投资者不愿意为了获得该资产而首先将其货币兑换成另一种货币。Weshall writeC=（C:C是F（T）——S（T）的可测值向量）。对于所有i，我们用i（i）表示与第i种货币的一个单位在其他货币中的价值相对应的价值向量，即isI（i）=（Sj，i（T））j.（1）我们现在考虑金融市场，其中价格是根据篮子资产报价的——每种货币的一个单位的投资组合。第i项资产的篮子价值等于Pjsi，Jan，第i项资产的篮子价值等于其倒数。这个简单的观察让我们用篮子数量asSi=PjSi，j来表示相对价格过程S=（Si）i。（2）观察（2）中没有被零分割的情况，因为EpJSi，j≥ Si，i=1；因此，0≤ 硅≤ 1表示所有i。反之亦然，请注意w e getSi，j=Si，j（PkSi，k）-1Si=（PkSj，k）-1Si=SjSi，（3）当分数定义良好时，对于所有i，j。

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能者818

2022-5-10 12:31:55

感谢（3）和我*∈ A（t），我们得到xjsj（t）=Xj∈A（t）Si*,j（t）Sj（t）Si*,j（t）=Si*（t） Xj∈A（t）Si*,j（t）=1（4）表示所有t；因此，在篮子市场中，代表无风险债券的资产可以复制。接下来，给定一个值向量C∈ C、我们让C作为索赔C在篮子中的报酬。更准确地说，C=所有i∈ A（T）。由于（3）的原因，这个数量得到了很好的定义，我们有了表示C=|A（T）|Xj∈A（T）Sj（T）Cj。（5） As 0<Si（T）≤ 1关于{i∈ A（T）}，所有（5）中的乘法都定义得很好。为了更好地理解（5）中的表述，首先请注意，插入（1）中的值向量C=I（I）会精确地得出每个I的C=Si（T）。更一般地说，（5）中的公式会对每个活跃货币I进行转换∈ A（T）通过除以篮子的价值，将支付分为相对于篮子衡量的支付。所有的| A（T）|值都是相同的，因此将它们相加并除以|A（T）|不会修改该值，该值可以解释为相应或有权益的回报，根据篮子进行测量。（5）中给出的C分解对于获得第3.1节的聚合结果至关重要。现在，我们将本节的设置转化为一个经典设置，S表示向量值价格过程，按照inYan（1998）的篮子进行测量，C表示一维随机变量，代表或有权益的回报，再次按照篮子进行测量。备注2.4。我们可以从一个更经典的设置开始我们的研究，在这个设置中，市场中d资产的价格（以外部数字报价）由向量值过程X=（X，…，Xd）给出。在这种情况下，只要压裂效果良好，相对价格将对应于Si，j=Xj/XI。

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可人4

2022-5-10 12:31:58

如果外部数字由篮子给出，如（3）所示，这正是上文所述的框架，其中篮子报价用S表示。我们说概率测度Qi是关于第i种货币的估值测度，如果价格相对于Qi是上乘的。概率测度(Ohm, F（T））是关于篮子的估值度量，如果篮子报价是关于Q的局部鞅，则为0≤ 硅≤ 1对于所有i，Q是关于篮子的估值度量，当且仅当S是Q-鞅。3测量的聚合和分解我们现在研究如何聚合一系列（Qi）iof评估测量，每个测量都在集合的一个子集上得到支持Ohm 在可能的情况下，相对于d货币中的一种，对于C=I（I），（5）在（3）的帮助下，对于每个I，C=|a（T）|Xj的估值度量∈A（T）Sj（T）Sj，i（T）=|A（T）|Xj∈A（T）Si（T）=Si（T）。到篮下。我们在第4节中提供了本节断言的证据。我们将这项研究分为四个部分。第3.1小节讨论了与篮子yieldsa族d概率测度有关的估值测度Q的存在性，这些概率测度不一定等价。这些d指标中的每一个都可以被解释为一个估值指标，其中一个数字是固定的。此外，这些度量通过num’eraire公式的广义变化相互关联。这个属性称为num\'eraire一致性。然后，我们证明，如果一系列概率测度是数一致的，它们可以“粘在一起”，从而产生一个关于篮子的估值测度。第3分节。2将第3.1小节的结果与数学金融中的经典估值公式进行比较。第3分节。3提供了两个例子。它们特别说明了Carr等人。

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可人4

2022-5-10 12:32:01

（2014）和C^amara和Heston（2008）是本文设置的特例。在第3.4小节中，我们从d概率度量开始，每一个都再次作为固定数量的估值度量。然而，这一次我们并不认为这些措施是一致的。然后，我们研究了是否存在一个关于篮子的估值测度。3.1聚合与num’eraire一致性和解聚我们首先介绍并讨论以下一致性条件。定义3.1（概率度量的数值一致性）。假设（Qi）是一系列概率测度。我们说（Qi）是一个数一致的概率测度族，如果对于所有a∈ 我们有eqi[Si，j（t）1A]=Si，j（0）Qj（A）∩{Sj，i（t）>0}）（6）对于所有i，j和t.命题3.2（数一致概率测度族的性质）。假设（Qi）是一个数一致的概率测度族。那么下面的陈述就成立了，对于每一个i，j.（a）sii，都是一个Qi–supermartingale；因此，特别是Qi（Tt{i∈ A（t）}=1。更准确地说，对于所有有界F（t）可测的随机变量X和r，我们几乎可以肯定（7）为haveEQir[Si，j（t）X]=Si，j（r）EQjr[X1{Sj，i（t）>0}]≤ t、（b）Si，jis a Qi——局部鞅当且仅当Sj，i在Qj下不跳到零。（c）对于每个停止时间τ，Sτi，jis a Qi–鞅当且仅当Qj（Sj，i（τ）>0）=1。此外，在这种情况下，我们有dQj/dQi | F（τ）=Sj，i（0）Si，j（τ）。特别是，第i种货币相对于第j种货币不完全取值，当且仅当Si，jis是真正的Qi-鞅。注意，（7）可以解释为num’eraire公式的变化。备注3.3（对num’eraire一致性的解释）。让（Qi）ibe有一系列一致的可能性度量。

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大多数88

2022-5-10 12:32:06

然后用wi，j=Si，j（0）/PkSi，k（0）∈ （0，1）对于所有i，j，我们有pjwi，j=1和1-PkSi，k（0）EQiXjSi，j（T）=Xjwi，j1.-Sj，i（0）EQi[Si，j（T）]=所有i的Xjwi，jQj（Sj，i（T）=0。因此，以第i种货币衡量的所有货币总价值的标准化预期下降，等于第i种货币完全贬值的加权概率之和。权重正好对应于时间零点对应货币的比例值。我们现在已经准备好为一系列数量一致的概率测量制定第一个聚合结果。定理3.4（聚合和分解）。以下陈述成立。（a）给定一个关于篮子的估值测度Q，就存在一个唯一的数一致的概率测度族（Qi），即PIQI~Q和qr[C]=Xj∈A（r）Sj（r）EQjrCj | A（t）|（8）对于所有的r和C∈ C就这样∈ L（Q）。（b）给定一个数一致的概率测度族（Qi），它存在一个唯一的估值测度EQ~关于满足（8）所有r和C的篮子∈ C这样的话∈ L（Qi）对于所有i.（c）考虑与篮子相关的估值措施。设（Qi）i为（a）和（r）中对应的一致概率测度族。如果或有索赔C∈ C满足性=C1{i∈A（T）}，Q–几乎可以肯定，对于一些i和C∈ 那么我们有eqr[C]=Si（r）EQir[Ci]。（9）理论的证明。4揭示了dQi/dQ=Si（T）/Si（0）和Q=PiSi（0）Qi之间的关系。让我们来解释（8）中的表述。为了计算或有权益C的估值∈ C.低估估价措施~关于篮子，可以按照以下步骤进行。首先，用claimeC=C/|A（T）|替换权利要求C；也就是说，我们用到期时的活跃货币数除以有条件索赔的收益。

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大多数88

2022-5-10 12:32:09

然后，计算QJ下的预期收益，对应于将第j种货币定义为每个j的数值。然后将所有这些值转换成篮子并相加。如果在第i种货币完全贬值的情况下，未定权益C的回报为零，则（9）成立。因此，在这种情况下，只需计算第i种货币为num’eraire的相应估值预期，即可计算公式[C]。在Sch¨onbucher（2003，2004）的术语中，Qi被称为“生存度量”（对应于第i种货币），因为它相当于概率度量，以第i种货币不完全贬值为条件。3.2与经典设置的比较在本小节中，我们比较了Theorem3的聚合结果。4采用数学金融中的经典估值公式。正如经典设置中的惯例，我们定义了一个数字；比如，对应于交换矩阵第一行的那个。此外，我们假设S，关于这个数值的报价向量，是某个概率测度P的P-半鞅。为了澄清这个比较，我们现在考虑三种不同的情况。1.假设存在一个概率测度Q~ Psuch是Q-鞅，在P下大于0。用yan（1998）的术语来说，在这种情况下，市场是公平的。特别是，inDelbaen和Schachermayer（1994）定义的容许策略的NFLVR与P有关。我们可以通过改变num’eraire公式Qidq=Si，1（0）S1，i（T）来定义一个num’eraire一致的概率测度族（Qi）。（10）事实上，对于所有的i，j，t和A，我们有eqi[Si，j（t）1A]=Si，1（0）EQ[S1，i（t）Si，j（t）1A]=Si，j（0）Qj（A）∈ F（t）。观察气~ QJ代表所有的i、j和Piqi~ P.在这种情况下，所有i、r和C都有（9）∈ C使Ci∈ L（Qi）代表所有i.2。

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mingdashike22

2022-5-10 12:32:12

假设现在存在一个概率测度Q~ Psuch认为，在P下，Sis a Q–鞅不一定是正的。在这种情况下，用Yan（1998）的术语来说，市场也是公平的。然而，第i种货币可能不是一个经典的数字，因为它不会保持严格的正面。然而，可以将其解释为“可违约数”，我们可以重新定义一系列概率度量（10）。我们观察到，现在气不必与Q等价，而只与qf有关的所有i和piqi是绝对连续的~ Q.概率测度的族数是一致的，因为eEqi[Si，j（t）1A]=Si，1（0）EQ[S1，i（t）Si，j（t）1A]∩{Si，j（t）<∞}] = Si，j（0）Qj（A）∩{Si，j（t）<∞})= Si，j（0）Qj（A）∩ {Sj，i（t）>0}）。Si可能不是一个Qi-局部鞅，而只是一个Qi-超鞅。此外，NFLVRas inDelbaen和Schachermayer（1994）不一定适用于Qi。根据定理3.4（c），对于所有的r和c，我们有EQr[c]=S（r）EQr[c]（11）∈ C就这样∈ L（Q）。关于其他货币，我≥ 然而，（9）不一定是真的。事实上，（11）和（7）使我们能够在事件{i]上写下以数字表示的估值∈ A（r）}，asEQr[C]Si（r）=Si，1（r）EQr[C]=EQir[Si，1（T）C]+Si，1（r）EQr[C{S1，i（T）=0}]=EQr[Ci]+Si，1（r）EQr[C{S1 i（T）=0}表示所有r，i和C∈ C就这样∈ L（Q）。因此，如果估值公式以第i种货币表示，则条件预期值必须根据第i种货币贬值的概率Q进行调整。现在让我们来定义i和C∈ C、用C∈ 研究所有r的修正项Fi（r）=Si，1（r）EQr[C{S1，i（T）=0}]，然后Fi（T）=Si，1（T）C{Si，1（T）=∞}= 齐下0。此外，对于r≤ rwe-haveqir[Fi（r）]=Si，1（r）EQrh{S1，i（r）>0}EQr[C{S1，i（T）=0}]i≤ Fi（r）在Qi之下。因此，校正项fi是一个Qi-势。

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大多数88

2022-5-10 12:32:15

更准确地说，通过同样的计算，Fi确实是一个Qi-局部鞅，只要S1在Q下不跳到零。因此，在这种无跳条件下，估值产生一个局部鞅，其Riesz分解等于Qi下的条件期望加上校正项Fi。3.假设现在不存在测度Q~ 这是一个Q-鞅。在这种情况下，根据inYan（1998）的定理3.2，P-允许策略的NFLVR不成立。尽管如此，我们还是假设存在一系列数量一致性概率测度（Qi）i。因为它只是一个Q-超鞅，并且不一定存在一个概率测度，相当于作为局部鞅的Punder，关于可容许策略，正如Delbaen和Schachermayer（1994）所定义的，NFLVR可能会失败。然而，感谢Theorem3。4.根据概率测量，如果篮筐被选为num\'eraire，NFLVR有效~皮奇。这个扩展模型将偏离经典的设置，如Q（S1，i（T）=∞) > 对于某些i，0。在（8）中的表示在该设置中提供了一个具有经济意义的估值公式。即使在将第一种货币定义为num\'eraire后，违反了与P–allowablestrategies（甚至是可接受的策略）相关的NFLV R，这也是可能的。关键是考虑允许第一种货币贬值的非等价概率度量，并在套利考虑和期权估值时始终考虑这些世界状态。正如我们举例说明的那样。5.这些估值公式可以应用于严格的局部鞅模型，收益率值符合市场惯例，如看跌期权平价。

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大多数88

2022-5-10 12:32:18

该估值框架纠正了经典条件期望估值方法的不足。3.3如Lewis（2000）、Cox和Hobson（2005）、Madan和Yor（2006）以及Carr等人（2014）所述，严格的局部鞅测度并不总是适用于估值目的，因为使用该测度通过预期计算的估值不符合市场惯例，如看跌期权平价。Lewis（2000）和Madan and Yor（2006）的著作提出了解决这些缺陷的特别修正术语。与Invor等人（2014年）的研究类似，我们认识到，问题在于严格的局部鞅测度没有考虑相应货币贬值的世界状态。例3.5（情况d=2）。考虑一个d=2货币的经济体，并假设存在一个数量一致的族（Q，Q）。事实上，给定一个概率测度qs，比如S1,2是非负Q-超鞅，概率测度qc可以被构造成（Q，Q）是数值一致的，例如通过inF¨ollmer（1972）开创的方法；另见珀科夫斯基和联阵（2015年）。在下文中，我们推导了Q的一个表示，即以篮子为基础的估值测度，其存在性由定理3保证。4（b）。为此，fix a time r和未定权益C∈ C这样的Ci∈ L（Qi）代表所有的i，我们得到eq[C]=S（r）EQrC | A（T）|+S（r）EQrC | A（T）|=S（r）EQrC{S1,2（T）>0}+ EQrC{S1,2（T）=0}+S（r）EQrC{S1,2（T）<∞}+ EQrC{S1,2（T）=∞}=S（r）EQr[C]+S（r）EQr[C{S1,2（T）=∞}]. （12）这里我们使用（7）（应用j=1，i=2，X=C/2）来推导出s（r）EQrC{S1,2（T）<∞}=S（r）EQrC{S1,2（T）>0}.交易策略是P——如果相应的财富过程从下方以恒定时间Pjs1，j，P为界，则允许P——几乎可以肯定。

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何人来此

2022-5-10 12:32:21

请参阅Yan（1998）的精确定义。用第一个数字表示（12），然后我们得到，关于事件{1∈ A（r）}，EQ[C]S（r）=EQr[C]+S1,2（r）EQr[C{S1,2（T）=∞}]. （13）这正好对应于Invor等人（2014）的估值公式，该公式是为了在严格的局部鞅模型中恢复看跌期权平价而构建的。（13）的右边是两项的总和。如果选择第一种货币作为基数，则第一项是或有权益的估值预期。第二项可以解释为修正系数。它是汇率的产物，将第二种货币的单位转换为第一种货币的单位，以及另一种估值预期。这一次，使用第二种货币作为num’eraire进行估价预期。它考虑第一种货币完全贬值时的或有权益。如果或有索赔C是欧洲催缴股款（第一种货币选择为num’eraire），则第二个术语正好对应于特别修正的Lewis（2000）。因此，（13）准确地检索了Lewis（2000）、Madan and Yor（2006）、Paulot（2013）和Kardaras（2015）中的估值公式。我们还参考了Herdegen和Schweizer（2017）中的第6节，了解基于精心选择的无套利原则的替代方法。接下来，我们将研究C^amara和Heston（2008）提出的Black-Scholes-Merton模型的扩展。他们建议通过允许相对价格跃升至零并保持不变来扩大原始的Black-Scholes-Merton模型。

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kedemingshi

2022-5-10 12:32:25

跳转到零“调整布莱克-斯科尔斯模型中与货币外看跌期权相关的偏差”，跳转到内在“捕捉市场的繁荣和极端上升潜力，并导致风险中性密度，比布莱克-斯科尔斯模型中隐含的密度具有更多正偏度和峰度。”C^amara和Heston（2008）随后说明，这种修正指数产生的隐含波动率更接近市场观察到的波动率。例3.6（Black-Scholes，跳跃至零且不完整）。我们再考虑两种货币，即d=2。我们假设相对价格是通过Black-Scholes模型描述的；然而，现在的另一个特点是，价格可能会在某个指数时间跃升到零或在某个指数时间。我们通过在P上指定一个概率测度来正式引入该模型(Ohm, F（T））。为此，假设τ和τ分别是强度为λ和λP的指数分布停止时间，且满足P（τ=τ）=0。然后我们设置1,2（t）=S1,2（0）expσW（t）-σt+ut{t<τ∧τ}+ ∞1{τ≤T∧τ} ，其中u，σ∈ R是常数，σ6=0，W是P-布朗运动，与τ和τ无关。这直接产生了2,1（t）=S2,1（0）exp-σW（t）+σt- ut{t<τ∧τ}+ ∞1{τ≤T∧τ}.因此，在{τ<τ}事件中，第一种货币在时间τ完全贬值，而在{τ<τ}事件中，第二种货币在时间τ完全贬值。我们现在想要构建一个关于篮子的估值度量。为此，我们首先构建了一个数量一致的概率测度族（Q，Q），然后应用定理3。4（b）。特别是，在Qthe过程S1下，2是实值的，是一个超鞅；类似的说法也适用于Q。首先，我们定义了概率测度Pand PbydPdP={τ>τ∧T}P（τ>τ）∧ T |τ）=1{τ>T∧τ} eλP（T）∧τ); （14） dPdP={τ>τ∧T}P（τ>τ）∧ T |τ）=1{τ>T∧τ} eλP（T）∧τ).

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大多数88

2022-5-10 12:32:28

（15）下一步，我们将确定一些任意常数u，u∈ R和λ，λ>0，并定义概率度量Qand QbydQdP=Eu- uσW（T）e（λP）-λ）（T）∧τ)λP{τ≤T}；（16） dQdP=Eu- u + σσW（T）e（λP）-λ）（T）∧τ)λP{τ≤T}。（17）然后τ的Q-强度等于λ，τ的Q-强度等于λ。此外，我们得到了S1,2（t）=S1,2（0）expσW（t）-σt+λt{t<τ}eut-λt，Q——几乎可以肯定；（18） S2,1（t）=S2,1（0）expσW（t）-σt+λt{t<τ}e-ut-λt，Q–几乎可以肯定（19）对于所有t，Wa Q–布朗运动独立于τ，Wa Q–布朗运动独立于τ。很明显，必须有λ≥ -u和λ≥ u分别表示S1,2和S2,1的超可压缩性。现在修好∈ [0，T]和A∈ F（t）。然后，通过（16）-（17）、（14）-（15）和（18）-（19）Q（A）∩{S1,2（t）>0}）=EPEu-uσW（t） e（λP+λP）-λ） t{t<τ∧τ} A;S1,2（0）等式[S2,1（t）1A]=EPEu-uσW（t） e（λP+λP）-u-λ） t{t<τ∧τ} A.这就产生了，对于（6），我们需要施加λ- λ= u= u.事实上，这对于（Q，Q）的数值一致性是足够的，因为同样地，S2,1（0）EQ[S1,2（t）1A]=Q（A）∩{S2,1（t）>0}）。理论3。4（b）现在产生一个关于篮子的估值测度Q，对应于族（Q，Q）。接下来考虑一个交换选项C=（C，C）和C=（S1，2（T）- K） +和C=（1）-KS2,1（T））+，其中K∈ R.也就是说，在时间T时，期权授予将第一种货币的K单位兑换成第二种货币的一个单位的权利。然后，示例3.5中EQin（12）的表示yieldsEQ[C]=S（0）EQ[（S1,2（T）- K） +{τ>T}]+S（0）Q（τ）≤ T）=S（0）Q（τ>T）EQS1,2（0）eσW（T）+（λ）-λ-σ/2）T- K++S（0）（1）-E-λT）=S（0）e-λTΦ（d）- S（0）Ke-λTΦ（d）+S（0）（1）-E-λT），（20）式中d=σ√T自然对数S1,2（0）K+λ- λ+σT; d=d- σ√TandΦ是标准的正态累积分布函数。

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mingdashike22

2022-5-10 12:32:31

对于（20）中的最后一个等式，我们使用了利率为λ的标准Black-Scholes-Merton公式- λ.（20）中的表达式对应于C^amara和Heston（2008）中的公式（16）。这个公式是通过解一个偏积分微分方程得到的。相比之下，（20）是通过基于等效超马尔可夫测度的纯概率方法推导出来的。请注意，在C^amara-Heston框架中，使用num^eraireconsistent族可以系统地评估更复杂、可能依赖路径的目标。此外，这个例子还表明，C^amara-Heston框架不存在套利，即存在一个关于篮子的估值测度Q。由于存在跳转到零的情况，并且由于模型的不完整性，Carr等人（2014）未涵盖该示例。我们强调，这种方法并不局限于布莱克-斯科尔斯模型。可以采用任何模型，例如Heston模型，然后添加一个跳转到零和一个跳转到单位。通过与本例相同的步骤，可以得到一个num’eraire一致的家族，该家族可以修正货币看跌期权和看涨期权的深层次价格。3.4无数量一致性的聚集3。4（b）表明，给定一个数一致的概率测度族（Qi）i，存在一个关于篮子的估值测度。在实践中，可能很难确定阿吉文概率测度族（Qi）的数量是否一致。因此，问题就出现了，在这种情况下，不一定存在数量一致的概率测度族，就产生了关于篮子的估值测度。下一个定理为概率测度（Qi）i的任意族提供了更容易验证的条件。它需要以下定义。定义3.7（NOD）。

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nandehutu2022

2022-5-10 12:32:35

我们说概率测度P(Ohm, 如果P∈ 在{τ<∞} ∩ {i∈ A（τ）}，P–几乎可以肯定，对于所有i和停止时间τ。满足NOD的概率度量P保证了以下几点。如果在任何时间点τ某一货币i尚未违约，则该货币在未来不会违约的概率为正。Carr等人（2014年）研究了d=2的情况，并引入了“无明显过度反应”的概念，似乎有所不同。然而，该论文还有一个长期假设，即不存在通过跳跃而突然完全贬值的情况（见下文定义3.9）。在这种情况下，“没有明显的过度膨胀”的说法与本文的观点并不一致。定理3.8（无数值一致性的聚合）。让（Qi）ibe成为一系列概率测度。然后存在一个估值测度Q~如果满足以下两个条件之一，则与篮子相关的Piqi。（a）Sia Qi–每个i的鞅。（b）以下四个条件成立。（i） Si是一个Qi——每个i.（ii）PiQi/d满足的局部鞅；参见定义3。7.（iii）对于每个i，Qi | F∩{PjSi，j（T）<∞}~XkQkF∩{PjSi，j（T）<∞}.（iv）存在>0，N∈ N、可预测时间（Tn）N∈{1，··，N}这样（t，ω）：XjSi，j（t）=∞ 和xjsi，j（t-) ≤ d+εN[N=1[[Tn]]，（PiQi/d）——几乎可以肯定。如下面的例子3.10所示，定理3.8（b）不足以证明篮子的估值测度的存在，一般来说，没有（b）（i），即Si是每个i的Qi–局部鞅。定理3中的条件。8（b）（ii）规定，PIQI/d必须满足NOD给出的最低无套利条件——出售活跃货币不会产生简单的套利策略。事实上，很明显，这个条件是必要的。

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能者818

2022-5-10 12:32:38

如下面的例子3.11所示，没有（b）（ii），定理3.8的结论是错误的。因此，考虑到其他条件，这对于定理的表述来说并不是多余的。理论中的条件3。8（b）（iii）表示QI的支持是事件{PjSi，j（T）<∞} 对于每一个i，这样一个条件的必要性是例3的内容。下文第12段。理论3。8（b）（iv）是一个技术条件，我们不知道这个定理的陈述是否有必要成立。这种情况允许第k种货币突然贬值，只要它在sensePjSi，j≤ d+ε。然而，如果“强势”货币突然贬值，它只能在固定的、可预测的时间内贬值。特别是，任何具有无数时间步长的离散时间模型都满足这一条件。从以下定义的意义上讲，这种情况也能使ifPiQi/d满足SD。定义3.9（NSD）。我们说概率测度P不满足突然贬值（NSD）ifP（Si，jj）跳到∞) = 在NSD下，任何货币都不会突然对任何其他货币完全贬值。下面的例子3.11表明，存在一个满足NSD但不满足NOD的概率度量P。构建一个满足NOD而非NSD的例子很简单。例3.10（关于定理3.8（b）（i）的必要性）。F ix T=d=2和Ohm = {ω，ω}以及f（t）={, Ohm} 对于所有t<1和F（t）={, Ohm, {ω} ，对于所有t≥ 1.设S1,2（ω，t）=1和S1,2（ω，t）≡ 也就是说，世界上有两种状态是可能的；在时间1之前，两种货币之间的汇率保持不变，而在时间1，第二种货币要么完全贬值，要么什么都没有发生，这取决于世界的状况。现在我们让Q（{ω}）=Q（{ω}）=1/2，并且Q（{ω}）=1。那么S1,2是严格的Q-超鞅，S2,1是Q-鞅。

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nandehutu2022

2022-5-10 12:32:41

此外，定理3中的所有条件。8（b）除了（i）之外，都是令人满意的。然而，在时间零点出售一单位第二种货币并购买一单位第一种货币会产生一个非负财富过程，在ω状态下严格为正，具有严格的正（Q+Q）/2概率；因此，这是一种明显的套利行为。因此，新星测量~ （Q+Q）关于篮筐可以存在。这说明定理3.8确实需要（b）（i）中表述的局部鞅性质。例3.11（关于定理3.8（b）（ii）的必要性）。我们稍微修改了示例3.10。再一次，假设fixt=d=2(Ohm, F（T），Q）支持一个布朗运动B，B从零开始，然后停止-1，以及一个独立的{0，1}分布的随机变量X，其中Q（X=0）=Q（X=1）=1/2。现在，letS1，2（t）=1+1{X=1}B棕褐色的0∨π（t）-1)现在让（F（t））t忽略使S1,2适应的最小右连续过滤。然后1，2在时间1之前保持不变，之后保持不变，概率为1/2，但运动就像一个时间变化的布朗运动，在到达零时停止，否则。我们现在设置Q=Q（·|{X=0}），并注意到S2,1是一个（常数）Q-鞅。然后是定理3中的条件。8（b）（i）、（iii）和（iv）都是满意的，但与前一个例子中相同的策略产生了套利，当选择篮子作为数字时，套利是允许的。因此，定理3.8（b）（ii）是使该定理有效的必要条件。请注意，在本例中，（Q+Q）/2满足NSD，但不满足NOD。例3.12（关于定理3.8（b）（iii）的必要性）。在d=2资产的情况下，我们现在为一系列局部鞅测度（Q，Q）提供了一个例子，使得（Q+Q）/2满足NSD和NOD，但没有估值测度Q~ （Q+Q）相对于篮筐存在。

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大多数88

2022-5-10 12:32:44

F ix T=2和过滤概率空间(Ohm, F（2），（F（t））t，Q）支持三维贝塞尔过程。接下来，让τ表示R达到1/2的最小时间；特别地，我们有Q（τ<T）>0和Q（τ=∞) > 0 . 现在考虑进程1,2=1+R-[[τ,∞[[>0.带Q（·）=Q（·|{τ=∞}) 我们有Q（S1，2=1）=1。此外，S2，1是一个Q-局部鞅andA（T）={1，2}。特别是，（Q+Q）/2满足NSD和NOD的要求。然而，命题3。2（c）不存在数量一致的概率测度族。因此，理论3。4（a）产生新估值测量值~ （Q+Q）关于篮筐也存在。这表明，如果没有（b）（iii）中的支持条件，定理3.8（b）是不正确的。命题3.2的4个证明以及命题3.2的定理3.4和3.8的证明。在接下来的部分中，我们将讨论该陈述的三个部分。（a）：修正i和j，注意（6）会产生Qi（i/∈ A（t））=0。对于所有有界F（t）-可测随机变量X和所有t.单调收敛，然后YieldSeqi[Si，j（t）X]=Si，j（0）EQj[X1{Sj，i（t）>0}]（21）表示（7），fix A有界F（t）-可测随机变量X，A）∈ F（r）和r≤ t、然后我们有EQi[Si，j（t）X1A]=EQi[Si，j（t）X1A{Sj，i（r）>0}]=Si，j（0）EQj[X1{Sj，i（t）>0}A{Sj，i（r）>0}=Si，j（0）EQj[EQjr[X1{Sj，i（t）>0}]1A{Sj，i（r）>0}]=EQi i[Si，j（r）EQjr）>1A，i（t）>7），两次应用产生（21）。事实上，Si是一个Qi–supermartingale，它遵循（7）中的s，X=1。（b）：修正i和j。如Perkowski和Ruf（2015）中的命题2.3所述，我们可以将（6）中的t替换为时间τ。用A=Ohm, 然后，对于所有停止时间τ，我们有eqi[Si，j（τ）]=Si，j（0）Qj（Sj，i（τ）>0。现在回想一下，Si，jis是一个Qi——可以通过一系列的交叉时间来进行超级渲染和本地化。（c）：第一部分如下（b）所示。

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nandehutu2022

2022-5-10 12:32:47

第二句话直接引自（7）。定理3.4的证明。（a） &（c）：让Q作为篮子的估值指标。通过dQi/dQ=Si（T）/Si（0）定义一个家族（Qi）IOF概率度量（Qi）。由于（4），我们有了Pisi（0）Qi=Q和thusQ~皮奇。此外，由于（3），我们得到了[Si，j（t）1A]=（Si（0））-1EQ[Si，j（t）1ASi（t）1{Sj，i（t）>0}]=（Si（0））-1EQ[Sj（t）1A{Sj，i（t）>0}]=（Si（0））-1Sj（0）Qj（A）∩{Sj，i（t）>0}=Si，j（0）Qj（A）∩{Sj，i（t）>0}）对于所有i，j，A∈ 因此，家族（Qi）的数量是一致的。接下来，假设C∈ L（Q）。由（5）和贝叶斯公式yieldqr[C]=XjEQr给出的C的表示Cj | A（T）| Sj（T）1{j∈A（T）}=XjEQjrCj | A（T）|Sj（r）1{j∈A（r）}；因此（8）如下。如果C=C1{i∈A（T）}，Q–几乎可以肯定，对于一些i，那么相同的计算，结合CjSj（T）=CiSi（T），从（3）中得出所有j∈ A（T），收益率（9）。r=0，C=1A的（Qi）i在（9）中的唯一性∩{i∈A（T）}∈ F（T）。（b）：独特性显而易见。对于存在，定义Q=PiSi（0）Qi。很明显，Q~皮奇。通过第一部分的计算，我们只需要证明过程是一个Q-鞅，dQi/dQ=Si（T）/Si（0）。为此，有必要证明EQ[Si（t）1A]=Si（0）Qi（A）（22）适用于所有i、t和A∈ F（t）。事实上（3）和命题3.2（a）实现了[Si（t）1A]=XjSj（0）EQj[Si（t）1A]=XjSi（0）Si，j（0）EQj[Si（t）1A{Sj，i（t）>0}]=XjSi（0）EQi[Si，j（t）Si（t）1A]=XjSi（0）EQi[Sj（t）1A]=Si（0）Qi（a），产生（22）。定理3.8的证明。（a）：考虑概率测度seqi，由每个i的deQi/dQi=PjSi，j（T）/PjSi，j（0）和Q=PieQi/d给出。然后我们得到Q~PjQj。此外，S是每个i的aeQi-鞅，因此它也是aQ-鞅。（b）：我们将P=PiQi/d和fixε>0设置为（b）（iv）。为了证明这一陈述足以构造严格正的P-鞅Z，使得ZS也是一个P-鞅。

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mingdashike22

2022-5-10 12:32:52

我们分几个步骤进行。第一步：对于下面Z的构造，我们将反复选择最强的货币，直到它不再是最强的，这时我们切换到新的最强货币。要遵循该程序，请确定停止时间（τn）n的顺序∈Nand货币识别码（in）n∈Nbyτ=0和In=arg mini∈{1，…，d}{（Si（τn-1))-1}; （23）τn=inf{t∈ [τn-1，T]：（Sin（T））-1> d+ε}（24）对于所有n∈ N、（23）中可能出现的冲突可通过字典顺序解决。第二步：我们声称P（limn↑∞τn>T）=1。要了解这一点，假设P（limn↑∞τn≤ T）>0。然后存在i和j，这样（Si）-1从d到d+ε有很多上交点，其概率为严格正。接下来，通过一个简单的本地化论证，我们可以假设（Sj）-1是一个Qj-鞅，我们考虑相应的测度bq，由dbQ/dQj=Sj（0）（Sj（T））给出-1.请注意~ Qjandt该过程是一个有界的BQ-鞅，它有许多从1/d到1/（d+ε）的正概率下穿。然而，这与超鞅收敛定理相矛盾，后者产生了矛盾。因此，这种说法成立。第3步：假设我们得到一个非负随机过程Z，使得每个n的Zτ和ZτnSτnare P-鞅∈ N、用（24）表示。然后我们声称Z和ZS是P-鞅。要了解这一点，请注意，在第2步中，Z和ZS是P-局部鞅。接下来，定义一系列概率度量（Qn）n∈Nvia dQn/dP=Zτn（T），注意sτ是一个Qn–满足sin（τn）的鞅-1) ≥ 事件{τn上的1/d-1.≤ T}，其中在（23）中给出。因此，关于{τn-1.≤ 我们已经≤ EQnSin（τn）|F（τn-1)≤ 1.- qn+qnd+ε，其中qn=qn（τn≤ T | F（τn）-1）），每n∈ N

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mingdashike22

2022-5-10 12:32:56

我们得到了≤d+εd- D- εd+εd- d=η∈ （0，1），这又一次屈服于sqn（τn）≤ （T）≤ EQnQn（τn）≤ T | F（τn）-1））1{τn-1.≤T}≤ ηQn（τn）-1.≤ （T）≤ ηn∈ N、这里最后一个不等式后面是归纳法。这就产生了limn↑∞Qn（τn）≤ T）=0。现在，引理III.3.3 inJacod和Shiryaev（2003）的一个简单扩展，例如推论2.2 inBlanchet和Ruf（2016）中的一个，得出Z是一个P-鞅。因为S是有界的，所以ZS也是P-鞅。第4步：我们现在构造一个满足第3步假设的随机过程。为此，对于每一个i，让齐达诺得到唯一的P-鞅，使得dQi/dP=Zi（T）。用（24），（b）（ii）和（iii）的符号表示，得到Zin（τn）-1）每n大于0∈ N.这使我们能够定义过程z-inductivelybyeZ（0）=1和z（t）=eZ（τN-1） ×（Sin（t））-1{Zin（t）>0}Zin（t）（Sin（τn）-1))-1Zin（τn）-1）尽管如此，t∈ （τn）-1，τn∧ T]和n∈ 这里我们再次使用了指数∈Nof（23）。A sEP[（Sin（τn））-1{Zin（τn）>0}Zin（τn）|F（τn）-1） ]=EQin[（Sin（τn））-1 | F（τn）-1） [Zin（τn）-1） =（Sin（τn）-1))-1Zin（τn）-1）关于{τn-1.≤ T}，过程τ是每个n的P-鞅∈ N.我们现在fix j并论证了每N的sτnjeZτnisa P-鞅∈ N.由于（3）我们有Sj（t）eZ（t）=Sj（τN）-1） eZ（τn）-1） ×Sin，j（t）1{Zin（t）>0}Zin（t）Sin，j（τn）-1） Zin（τn）-1）尽管如此，t∈ （τn）-1，τn∧ 关于{Sj（τn）的T]-1） >0}和n∈ N.因为零是sjUnmp=PiQi/d的吸收态，所以与上述参数相同的参数产生了每个N的τnjeZτnis P-鞅∈ N.第5步：如果P满足NSD，则NEZ严格为正，因为每N的Ezezin（τN）>0∈ N、在（23）和（24）的旋转中。在这种情况下，（b）的证明已经完成。然而，在（b）（iv）中更一般的条件下，不能保证P-鞅是严格正的，因为它可能在n上跳到零∈N[[τN]]TSm∈{1，··，N}[[Tm]]。

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大多数88

2022-5-10 12:32:59

为了解决这个问题，我们将在可预测时间（Tm）m修改步骤4中的构造∈{1，··，N}得到严格正的P-鞅Z，使得ZS也是aP-鞅。步骤5A：我们可以假设0<Tm<Tm+1on{Tm<∞} 尽管如此，我∈ {1，··，N}和，set，放弃符号方便性，T=0和TN+1=∞. 在步骤5B中，我们将构造一个严格正的P-鞅（Ym）m族∈满足以下两个条件的{1，··，N+1}：oYm=ytmm和YTm-1m=1；和oYmSTm-STm-1是所有m的P-鞅∈ {1，··，N+1}。如果我们有这样一个族，那么过程Z=QN+1m=1ym是一个严格正的P-鞅，而ZS是一个负的P-鞅。这就是证明。步骤5B：为了构造一个严格正的P-鞅（Ym）m族∈{1，··，N+1}根据需要，让我们将一些m∈ {1，··，N+1}。我们首先在[[0，Tm]上定义一个processeY byeYm=1-1] ]然后完全按照步骤4进行，但τ=0替换为τ=Tm-1，对于每个i，用stm替换s，用ztmi替换zi。neymis是一个非负P-鞅，满足步骤5A的两个条件。LetfM现在表示y的随机对数和（Si）的随机对数-1.每个i.请注意，对于每个i，mi仅定义为第一次（Si）-1Zihits zero，见Alsolasson和Ruf（2017年）。接下来，定义随机过程m=fM+|A（Tm）-)|Xj∈A（Tm）-)Mj（Tm）-fM（Tm）[Tm，∞[[；也就是说，除了时间Tmon{Tm<∞ }, 其中，我们将其跳跃替换为当前活跃货币对应的汇率的平均跳跃。然后我们有M>1，这意味着它的随机指数Ym=E（M）是严格正的。由于停止时间Tm是可预测的，可预测停止定理暗示Ym是P-鞅，并且步骤5A中的两个条件是满足的。

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大多数88

2022-5-10 12:33:02

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