动态自适应混合模型

2022-5-10 23:59:54

动态自适应混合模型，*本文提出了一类新的动态混合模型（DAMM），它能够利用来自数据的信息，顺序地适应混合成分以及混合成分。这类模型的信息驱动特性允许精确计算全似然，并避免计算机密集型模拟方案。大量的蒙特卡罗实验表明，新提出的模型能够准确地逼近文献中介绍的更复杂的随机动力混合模型以及其他类型的模型。本文讨论了新提出的一类模型的性质，并报道了其在金融计量经济学中的应用。关键词：动态混合模型，分数驱动模型，自适应模型，密度预测。1.简介混合分布是一种非常常用的参数化工具，用于对非高斯曲线建模，这些非高斯曲线通常是经验数据的特征。通过选择合适的混合物成分分布，可以在混合物模型（MM）中实现高度的灵活性。此外，混合成分也可以与线性和广义混合模型中通常出现的新信息相适应，如Bishop（2006）。在MM的背景下，也可以允许混合物成分随时间变化，这类模型通常是确定的*罗马大学经济与金融系“Tor Vergata”，Via Columbia，201333，罗马，意大利。利奥波多。catania@uniroma2.it，电话：+3906725941，网页：http://www.economia.uniroma2.it/phd/ef/default.asp?a=216.Preprint2016年3月7日提交给爱思唯尔的动态混合模型（DMM），参见例如Yu（2012）。

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2022-5-10 23:59:57

DMM已成功应用于过程监控（Yu，2012）、干预检测（Gerlach等人，2000）、保险损失（Frigessis等人，2002）和图形工程（KaewTraKulPong和Bowden，2002；Xie等人，2005）。DMM的回溯是，当混合物成分和混合物成分的演变假设为非线性非高斯规范时，经典推断无法应用到更多领域，参见例如Gerlach等人（2000）。通常的解决方案依赖于计算机密集型马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）模拟方案来进行贝叶斯推理，这大大降低了此类模型及其在商业软件中的实现的实用性，如Gerlachet等人（2000年）、Yu（2012年）和Billio等人（2013年）。在本文中，我们采用了一种不同的方法，在完全观察驱动的框架下，对混合物成分分布以及混合物成分的时间演化进行建模（Cox等人，1981年）。我们从分数驱动模型的最新进展开始构建模型，参见Harvey（2013）和Creal等人（2013）。在分数驱动模型中，根据条件分布的分数，使用适当的强制变量更新潜在的动态参数。在我们的上下文中，混合物成分可以被选择为任何参数分布，并且有可能在每个成分的全套参数中允许时间变化。我们还允许使用数据中包含的信息对混合物成分进行顺序更新。鉴于这类模型在可能的动态参数假设中的高度灵活性，以及它们顺序调整混合成分的能力，我们将其称为动态自适应混合模型（DAMM）。正如Koopman等人广泛讨论的那样。

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2022-5-11 00:00:00

（2015），使用条件计分法将数据中的信息汇集到新的更新参数中，结果非常灵活。事实上，他们发现基于分数的稳健滤波器很好地逼近了非线性非高斯状态空间模型和其他类型模型产生的不可观测动态。通常，在利用混合分布作为参数工具的应用程序中，主要推理目标之一是聚类结果，参见McLachlan和Peel（2000）。此外，在马尔可夫转换（MS）模型的背景下，经验结果通常是根据潜在的不可观测区域的去编码给出的，参见例如Hamilton（1989）、Capp’e等人（2005）和Fr¨uhwirthSchnatter（2006）。然而，考虑到混合物中各成分的动态演变，DAMM的使用不限于此类应用。事实上，DAMM的主要范围之一是自适应地表示混合物的动态成分，而不是唯一地识别影响数据的制度或结构变化。然而，如果底层的数据生成过程表现为普通的MS过程，那么DAMM可以很容易地适应这个特性。为了证明DAMM的灵活性，我们进行了由四部分组成的广泛蒙特卡罗实验。在第一部分中，我们的目标是近似前两个条件矩以及由类似于Yu（2012）的随机DMM（SDMM）生成的动态混合成分。在这方面，我们的实验与Koopman等人（2015）的实验类似。在使用广义自回归评分（GAS）模型过滤状态空间模型的背景下，Harvey（2013）报告了对这一有趣主题的理论处理。第二和第三部分，类似于Engle（2002）和Creal等人。

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2022-5-11 00:00:04

（2013），重点是过滤条件随机变量的相关性和混合成分假设的几种艺术模式。在上一个实验中，我们研究了模型误判的成本，即过滤条件相关性的精度损失。我们的结果表明，与竞争模型相比，DAMM能够充分逼近SDMM产生的高度非线性动态以及艺术相关性和混合成分模式。为了进一步研究拟议DAMM的性质，我们还报告了在金融计量经济学中的实证应用。具体而言，我们估计了一组财务回报的几个单变量和多变量DAMM规格。我们考虑的规范在参数假设和条件分布的动态特性方面有所不同。样本内和样本外的比较结果是根据边际和联合条件分布的拟合优度和预测能力给出的。我们发现，DAMMs在这两种情况下都优于competitiveGARCH/DCC模型。论文的组织方式如下。第2节描述了DAMM，并详细介绍了混合成分分布和混合成分的更新机制。第3节报告了几个可用于相关实证应用的单变量和多变量DAMM规范。第4节报道了蒙特卡罗实验。第5节报告了金融计量经济学的实证应用。最后，第6节总结并报告了对未来研究的一些建议。2.动态自适应混合模型Let yt∈ <dbe a d–根据顶部条件分布的维随机向量（yt | Ft-1，θt），带Ft-1b由过程{ys，s>0}到时间t产生的过滤- θ是时变条件参数的向量。

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2022-5-11 00:00:08

我们假设p（·）是J实值条件分布的有限混合，即p（yt | Ft-1，θt）=JXj=1ωj，tpj（yt | Ft-1，θj，t），（1）与ωj，t∈ （0,1）和Pjj=1ωj，t=1 t=1。θt=θj，t，ωj，t，j=1，J. 在动态混合模型中，混合组分密度参数θj，t通常遵循随机过程。方便的选择包括一阶非线性自回归（Billio等人，2012；Casarin等人，2015）和马尔可夫转换过程（Kim，1994；Kim和Nelson，1999；Ardia，2008；Harrison和West，1999）。后者通常在贝叶斯环境下通过粒子滤波器进行估计，而前者则经常采用Dempster等人（1977）的期望最大化算法。不同的是，在本文中，我们遵循Harvey（2013）和Creal等人（2013）的分数驱动框架（SDF），通过使用条件分布p（yt | Ft）的分数更新整套参数-1，θt）。形式上，假设ωt=（ωj，t，j=1，…，j）是包含时间t处的混合权重的向量，并且∈ <J-1be a（J）- 1） -维数向量，使得∧ω（)ωt）=ωt，对于Ft-1可测映射函数∧ω：<J-1.→ SJ，使得∧ω∈ C、 SJ代表标准单位J–单纯形，即SJ:{（t，…，tJ）∈ <J | PJj=1tj=1∧ tj≥ 0, j} 。同样地，设∧θj，t∈ OhmJ <dj是一个dj–维向量，对于每个时间t，我们都有∧jθj，t= θj，twhere∧j:<dj→ Ohmj对∧ω（·）表示相同的性质，对于所有j=1，J.为了避免对动态参数的复杂非线性约束，本文不直接对定义在J×上的向量θtde建模Ohm× ··· × OhmJ、我们对参数的无约束向量∧θt进行建模=ωt，θj，j=1，J定义于<J-1×<d×·×<dJ。

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2022-5-11 00:00:13

为此，我们将条件分布（1）重新参数化为pyt |，|θt, 从现在起，英国《金融时报》的依赖性在哪里-1出于注释目的被省略。在SDF中，利息数量是条件分布的分数，由√~θt | yt= ln~pyt |θt~θ~θ=~θt，（2）它作为一个强迫变量线性地进入~θt的动态更新方程，即~θt+1=κ+a ~~~θt | yt+ 其中κ是aJ- 1+PJj=1dj= L–维向量和A和B是需要估计的系数的L×L矩阵。因为我们是在对参数的无约束向量∧θtand{~θt | ys, s>0}形成一个鞅差序列，我们只需要将B的奇异值施加在单位圆内，以确保过程{θs，s>0}的弱平稳性。为了避免参数扩散的问题，可以对κ、A和B中存在的自由参数的数量施加限制。事实上，在本文中，我们将对A和B施加绝热结构。值得注意的是，通过简单地应用链式规则，参数无约束向量的条件分数~θt | yt可以很容易地表示为全映射函数J的雅可比矩阵转置之间的乘积θt以及根据参数的约束向量计算的条件分数（θt | yt），即~θt | yt= Jθt（θt | yt），（4）其中“全映射函数”指向量值函数∧：<J-1×<d×·×<dJ→SJ×Ohm× ··· × Ohm包含∧ω（·）和∧j（·），j=1，J、这样∧θt= θt，t、在我们的上下文中，因为矩阵A和B是对角的，而矩阵Jθt如果是块对角的，则动态更新方程（3）可分为J+1个单独的动态，即ωt+1=κω+AωJω（ωt）ω（ωt | yt）+Bω∧ωt（5）~θj，t+1=κj+AjJjθj，tj（θj，t | yt）+Bjθj，t，j=1。

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2022-5-11 00:00:17

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2022-5-11 00:00:20

我们对函数∧ω（·）提出了一个方便的选择，由∧ω（∧ωt）给出：=ωj，t=λ[0，bj，t]（)ωj，t），j=1，J- 1ωJ，t=1-PJ-1h=1ωh，t，（12）式中bj，t=bj-1，t- ωj-1，twith b1，t=1和λ[L，U]：→ [L，U] < 是一个实值确定单调二次可微分映射函数，如修改的逻辑λ[L，U]（x）=L+（U-五十） 1+经验(-x）。通过∧ω（·）和λ[L，U]（·）的选择，j×j的（j，h）–th元素-1雅可比矩阵Jω（·）由Jω（～ωt）（J，h）给出=北京，特克斯普(-ωj，t）（1+exp(-如果h=j-Pj-1k=1Jω（～ωt）（k，h）1+exp(-ωj，t），如果h<j∧ j 6=j-PJ-1k=1Jω（～ωt）（k，h），如果j=j，0，如果h>j。（13）关于混合权重参数的（1）分数来自命题2.1，由下式给出：ω（ωt | yt）=pj（yt |θj，t）p（yt |θt），j=1，J, i、 e.其第j组分由混合物分布和第j组分分布之间的比率给出。值得注意的是，SDF自然建议使用密度比中包含的信息来更新权重动态，该密度比根据ωt的选择重新参数化进行调整，即Jω（～ωt）ω（ωt | yt）。这种机制隐式地将混合物成分移动到时间t内每个点的高概率质量区域，与Billio等人（2013）提出的纯随机游走假设有很大不同。2.2。更新混合物成分如果我们假设混合物分布没有排序限制，矩阵Jθt结果是关于子矩阵Jj是块对角的θj，t, j=1，J、因此，可以将∧θt的动态测年方程划分为每个∧θJ的J动力学，t加上∧ωt的动力学。该模型的这一特点还允许轻松地并行∧θt的更新。至于混合物成分的更新，重新参数化的混合物组分参数∧θJ，tj=1。

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2022-5-11 00:00:24

，J使用重新参数化混合分布的条件分数p进行更新yt |θt关于向量∧θj，t，由Jj给出θj，tj（θj，t | yt）式中，j（θj，t | yt）=ωj，tpj（yt |θj，t）p（yt |θt）pj（yt |θj，t），j=1，J、（14）遵循命题2.1，以及pj（yt |θj，t）= ln pj（yt |θj，t）θj，是第j个分量的分数。第j–th混合物组分参数的更新方程可以写成∧θj，t+1=κj+ξj，tajjθj，tpj（yt |θj，t）+Bj|θj，t，（15）式中ξj，t=ωj，tpj（yt |θj，t）p（yt |θt），（16）有时，在实际应用中，它可能会导致相当严格的限制。事实上，在（隐藏）混合模型的背景下，通常需要使用基于先前知识的一些预定义方案来识别混合成分参数。例如，在金融市场中，在高波动期间，企业之间的相关性往往更高，反之亦然。这种情况表明混合组分方差和相关性是有序的。如果是这种情况，矩阵Jθt不再是块对角的，混合组件参数的J动力学不能再被分割。显然，这类假设可以很容易地纳入AMM中，实施不同的参数化。为了简单起见，在本文中我们将忽略这种可能性。是时间t时，j–th分量对混合物密度的相对贡献，有条件地取决于过去的信息。值得注意的是，等式（15）与通常在核心驱动过程中发现的非常相似。事实上，如果J=1，我们分别用Creal等人（2013）和Harvey（2013）的单位标度矩阵恢复了广义自回归分数（GAS）和动态条件分数（DCS）模型。

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2022-5-11 00:00:27

然而，在我们的背景下，混合假设自然建议以一种方式来衡量分数贡献，即考虑到每个混合成分在时间t的相对重要性。有趣的是，Bazzi et al.（2014）在其随时间变化的隐马尔可夫模型中发现了类似的结果。此外，由于使用了条件分数，DAMM具有与经典分数驱动模型相同的“稳健性”特性，并且可以从该规范开始轻松开发，如Koopman等人（2015）。因此，DAMM嵌入了用于更新混合成分参数的随机学习机制。事实上，我们不需要强加任何武断的学习机制，比如Billio等人（2013）详述的学习机制，仅仅是因为对于DAMM来说，它是自然产生的。这种隐含的学习机制确保了数据中包含的新信息在混合成分之间按照其相对相关性的比例共享。事实上，如果我们确定已从混合物的特定组分中产生了新的观察结果，DAMM将更新该特定组分的参数，而其他组分的参数仅因缺乏相关信息而保持不变。我们认为这一点非常重要，尤其是对于具有动态依赖密度的Markow开关模型，这一点往往被忽略。例如，在哈斯的MS–GARCH（2006年）、费伊等人的MS–Copula（2013年）、贝尔纳迪和卡塔尼亚的SGASC（2015年）和克罗尔齐格的MS–VAR（1997年）等模型中，过去的观察结果在潜在的马尔科夫国被平等对待。两个显著的例外是Gray（1996）和Klaassen（2002）的MS–GARCH规范，其中，为了解决“路径依赖问题”，分别使用预测和过滤的状态概率对依赖于状态的GARCH规范进行缩放。

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2022-5-11 00:00:30

即使这些临时解决方案的开发范围不同，其结果也与DAMM自然暗示的结果非常相似。关于DAMM的估计，可以使用F.Blaskes、S.J.Koopman和A.Lucas的技术报告“广义自回归评分模型的最大似然估计”中详述的最大似然（ML）估计量轻松地进行athttp://papers.tinbergen.nl/14029.pdf，另见Blaskes等人（2015年）。然而，当采用混合分布时，通常会出现概率的多模态问题，因此需要良好的起始值和多次尝试。我们建议使用EM算法估计的静态混合模型的估计值来初始化算法，正如Yu（2012）在类似背景下所建议的那样。本文随附的补充材料报告了一项模拟研究，研究了DAMS类的ML估计量的有限样本特性。3.DAMM规范在本节中，我们报告了四种不同的DAMM规范，可用于实证工作。具体而言，我们报告了单变量高斯分布和Student–t分布的动态混合的两个单变量规范，以及多变量高斯分布和多变量Student–t分布的动态混合的两个规范及其相关连接。值得注意的是，混合物成分的更新与混合物成分的选择没有严格的关系，因此第2.1小节中给出的参数不考虑具体的模型参数形式。3.1.

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2022-5-11 00:00:35

单变量DAMM规格由于参数∧θj，t的每个重新参数化混合分量向量的动态更新方程仅取决于选择的映射函数∧j（·），以及混合分量分布的分数，我们只需要指定雅可比矩阵Jjθj，t分数向量呢pj（yt |θj，t），对于j=1，J、充分描述方程式（15）中报告的更新方案。具体来说，如果我们假设单变量观测yt∈ < 是根据J高斯分布的混合条件分布的，即yt~JXj=1ωj，tpj（yt |θj，t），（17）式中θj，t=uj，t，σj，t包含第j个高斯密度pj的平均uj和方差σj，t，可以很容易地重新参数化向量θj，模板化映射函数∧j：=uj，t=uj，tσj，t=exp■σj，t（18）这意味着雅可比矩阵uj，t，~σj，t=100经验■σj，t. （19）最后，第j个高斯分量的得分向量如下所示：pjyt |uj，t，σj，t=（yt）- uj，t）/σj，t（yt）-uj，t）σj，t- 1./2σj，t, （20）以及∧θj，t的动态更新方程=uj，t，~σj，t, 简单地说uj，t+1σj，t+1=κujκσj+βuj0βσjuj，t~σj，t（21）+ωj，tpjyt |uj，t，σj，tPJj=1ωj，tpj（yt |θj，t）αuj0ασj林俊杰uj，t，~σj，tpjyt |uj，t，σj，t, （22）如前所述，矩阵Aj和Bj采用对角线结构。如果我们认为高斯分布的混合不适用于可用的时间序列，我们可以考虑使用Student–t混合成分的DAMM规范。在这种情况下，我们可以假设Pjt是一个具有平均uj，t，标度ψj，和形状νj，t参数的Student–t分布，并定义向量θj，t=（uj，t，ψj，t，νj，t），这样∧jθj，t= θj，t。

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2022-5-11 00:00:38

在这种情况下，如果我们想要定义第一和第二条件矩，我们可以定义∧jequals到∧j：=uj，t=uj，tψj，t=expψj，t这意味着雅可比矩阵xjjuj，t，ψj，t，νj，t=100经验ψj，t0 exp（△νj，t）. （24）最后，第j–th Student–t分量的得分向量如下所示：pj（yt |uj，t，ψj，t，νj，t）=（νj，t+1）（yt）-uj，t）2ψj，t+（yt-uj，t）-ψj，t+（νj，t+1）（yt）-uj，t）νj，tψj，t+ψj，t（yt）-uj，t）h（yt，uj，t，ψj，t，νj，t）,式中h（yt，uj，t，ψj，t，νj，t）=$νj，t+1-$νj，t-π2νj，t-log1+（yt）- uj，t）νj，tψj，t+（νj，t+1）（yt）- uj，t）2νj，tψj，tνj，t+（yt- uj，t）,$（x）是digamma函数。值得注意的是，模型的动态特征应该根据所考虑的时间序列的统计特性进行调整。事实上，如果我们不认为数据需要如此丰富的参数化，可以对决定θj，tca更新的系数施加限制。例如，系数ανjandβνj，对于j=1，J、可被限制为零，以避免混合物成分形状参数的时间变化。3.2. 多元DAMM规范——多元案例yt的扩展∈ <这很简单。假设ytis根据J个多元高斯分布的混合物进行条件分布，对于所有J=1，…，平均向量uJ，协方差矩阵∑J，t，J.使用协方差矩阵∑J，t=Dj，tRj，tDj，t，（25）其中Dj，t=diag（σJ，t）和σJ，t=（σJ，i，t，i=1，…，d），其中σJ，i，是yi，t在pj上的条件标准偏差。定义ρj，t=vechd（Rj，t），其中vechd（X）是向量算子，不考虑X的对角元素。

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2022-5-11 00:00:42

（2d+d（d- 1） /2）–第j个混合分量的时变参数的值向量为θj，t=uj，t，σj，t，ρj，t它的重新参数化版本由θj，t给出=uj，t，*σj，t，*ρj，t. 在这种参数化下，唯一困难的任务是定义一个映射函数，该函数映射∧ρj，tintoρj，tsuch，即Rj，t=vechd-1.ρj，t是一个对称的正定义相关矩阵，因为指数映射函数仍然可以用于∑j，t的分量。我们建议对相关矩阵Rj，t，j=1，J如Creal等人（2012年）和Jaeckeland Rebonato（1999年）所述。具体而言，我们定义了∧jρ：<d（d-1)/2→ Ohmρ、使得∧jρρj，t= ρj，t，其中Ohmρ={（ρj，il，t，i=1，…，d，i<l<d）∈ [-1,1]d（d-1） /2 |<（x*Rj，tx）>0，对于Rj，t=vechb-1.ρj，t∧ 十、∈ Cd（d）-1)/2}. 映射函数∧jρ（·）定义了∧jρρj，t= 维克德Zρj，tZρj，t, （26）其中Zρj，t是一个d×d上三角矩阵，即Zρj，t=1 cj，12，tcj，13，t。cj，1d，t0 sj，12，tcj，23，tsj，13，t。cj，2d，tsj，1k，t0。cj，3d，tsj，2k，tsj，1k，T00。cj，4d，tsj，3k，tsj，2k，tsj，1k，t。。。。。。。。。。。。。。。0 cj，d-1，d，tQd-2l=1sj，ld，T00。量子点-1l=1sj，ld，t, 这里是x*表示x的共轭转置，其中cj，lk，t=cos（＠ρj，lk，t）和sj，lk，t=sin（＠ρj，lk，t），其中＠ρj，lk，是＠Rj，t=vechd的（l，k）–th元素-1.ρj，t. 因此，∧θj的映射函数由∧j给出：=uj，i，t=uj，i，t，i=1，dσj，i，t=exp（σj，i，t），i=1，dρj，t=∧jρρj，t,（28）这意味着雅可比矩阵等于toJjuj，t，*σj，t，*ρj，t=Idd0 00 D（∑j，t）00 Jjρρj，t, （29）式中，D（∑j，t）=diag（exp（∑j，i，t），i=1，d）和Jjρρj，t定义见Creal等人。

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2022-5-11 00:00:47

(2012).第j组分混合分布的分数可以按pj（θj，t）=upj（θj，t），σpj（θj，t），ρpj（θj，t）, 哪里upj（θj，t）=uipj（θj，t），i=1，D, σpj（θj，t）=σipj（θj，t），i=1，D和ρpj（θj，t）=ρilpj（θj，t），i=1，d、 i<l<d和uipj（θj，t）=ιi∑-1j，tyt- uj，t(30)σipj（θj，t）=-σj，i，t-yt- uj，tKj，i，tyt- uj，t(31)ρilpj（θj，t）=vj，tR-1j、tUi、lR-1j，tvj，t- R-1（i，l），j，t，（32），其中Kj，i，t=-D-1j，tιiιiD-1j，tR-1j，tD-1j，t-D-1j，tR-1j，tD-1j，tιiιiD-1j，t，vj，t=D-1j，tyt- uj，t, ι是一个零向量，其第i个元素为1，Ui，lis是一个零矩阵，但其（i，l）第i个元素为1。在多变量背景下，联合分布隐含的尾部依赖性的作用至关重要，参见McNeil等人（2015）。多元Student–t分布通常用于处理尾依赖和厚尾，这通常是数据的特征，尤其是在金融文献中。在out框架中，我们可以假设ytis根据多元Student-t分布和Pj（yt |θj，t）=Γ给出的第j分量的混合条件分布ζj，t+dh1+ζj，tyt- uj，tΣ-1j，tyt- uj，t我-ζj，t+dΓζj，t（ζj，tπ）d |∑j，t | 1/2，（33）其中uj，是位置参数的向量，ζj，是形状参数，∑j，是适当的对称正定标度矩阵。对于多元高斯情形，可以方便地分解∑j，tin∑j，t=ψj，tRj，tψj，t，（34），其中ψj，t=diagψj，t是包含单个条件标度参数ψj，t=（ψj，i，t，i=1，…，d）和Rj的对角矩阵，是与第j个混合分量相关的相关矩阵。因此，时间t的参数j–th向量由θj，t给出=uj，t，ψj，t，ρj，t，ζj，t.

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2022-5-11 00:00:51

遵循多元高斯情况的相同参数，我们可以定义参数θj，t的重新参数化向量=§uj，t，§ψj，t，§ρj，t，§ζj，t, 以及映射函数∧j：=uj，i，t=uj，i，t，i=1，dψj，i，t=expψj，i，t, i=1，dρj，t=∧jρρj，tζj，t=expζj，t+ c、 c>0，（35），由jj给出相关的雅可比矩阵uj，t，ψj，t，ρj，t，ζj，t=Idd0 00 Dθj，t0 00 0 Jjρρj，t0经验ζj，t. （36）注意，标量c的选择可能会影响yt条件分布矩的存在，实际上，如果需要存在第二个条件矩，则应施加条件c>2。第j分量混合分布的分数可以在pj（θj，t）=upj（θj，t），σpj（θj，t），ρpj（θj，t），ζpj（θj，t）, 哪里upj（θj，t）=uipj（θj，t），i=1，D, σpj（θj，t）=σipj（θj，t），i=1，D和ρpj（θj，t）=ρilpj（θj，t），i=1，d、 i<l<d和uipj（θj，t）=zj，tιi∑-1j，tyt- uj，t(37)σipj（θj，t）=-σi，j，t-zj，tyt- uj，tKi，j，tyt- uj，t(38)ρilpj（θj，t）=zj，tvj，tR-1j、tUi、lR-1j，tvj，t- R-1（i，l），j，t（39）ζpj（θj，t）=$ζj，t+d-$ζj，t-d2ζj，t日志1+rj，tζj，t-（ζj，t+d）rj，t（ζj，t+rj，t）ζj，t, 式中，zj，t=ζj，t+d（1+rj，t），rj，t=yt- uj，tΣ-1j，tyt- uj，t, vj，t=ψ-1j，tyt- uj，t, Ki，j，t=-Ψ-1j，tιiιiψ-1j，tR-1j，tψ-1j，t- Ψ-1j，tR-1j，tψ-1j，tιiιiψ-1j，t，$（·）是digamma函数和ιi and Ui，在等式（30）下定义。由于当d增长时，多元DAMM规范的参数数量可能会变得非常大，从而导致更长的估计时间和更高的计算效率，我们可以决定对yt的条件分布使用copula规范，并利用Patton（2006）中详述的条件copula的两步估计程序。

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2022-5-11 00:00:54

在这里，我们展示了含有t-copula混合成分的DAMM规范，并将高斯copula规范的混合作为特例进行了恢复。设ut=（ui，t，i=1，…，d）是收集yi，t，i=1，…，的概率积分变换（PITs）的向量，d根据他们的边际分布Fyi，t |ηi，t, i=1，d、在我们的背景下，边际分布是自由定义的，例如，每个FIC可以由一个适当的单变量DAMM规范表示。利用Sklar（1959）的定理，我们可以定义Yt的条件密度分布，即copula c（ut）的条件密度分布之间的乘积|t、 ζ）和条件边际密度分布。根据带有t–copula混合成分的DAMM规范，我们假设C（ut|t、 ζc）=JXj=1ωj，tcTut | Rj，t，ζcj, （41）在哪里t=vechd（Rj，t），j=1，J, ζc=ζcj，j=1，JcT（ut |·）是由cT给出的t-copula密度ut | Rj，t，ζcj=Γζcj+dΓζcjD-1.1+xj，tR-1j，txj，tζcj，t|Rj，t|1/2Γζc+1dQdi=11+xj，i，tζcj-ζcj+d，（42），其中xt=（xj，i，t，i=1，…，d）和xj，i，t=t-1ζcj（ui，t），其中tζcj（·）是具有ζcj自由度的标准学生分布的累积密度函数。值得注意的是，c（ut |·）是连接词的混合物，而连接词的混合物本身就是连接词，参见例如Durante和Sempi（2015）。与之前的多变量情况类似，我们可以定义ρj，t=vechd（Rj，t），并且由于参数的唯一混合成分时变向量是ρj，t，我们可以设置θj，t=ρj，并因此使用等式（26）中定义的映射函数∧ρj（·），以定义θj，t=∧ρjθj，t. 在这种情况下，雅可比矩阵由Jjρ给出ρj，t, 分数向量是ρpj（θj，t，ζj）=ρilpj（θj，t，ζj），i=1。

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2022-5-11 00:00:58

，d，i<l<d, 哪里ρilpj（θj，t，ζj）=ζj+dζj+xj，tR-1j，txj，txj，tR-1j、tUi、lR-1j，txj，t- R-1（i，l），j，t，（43），其中我们注意到，对于ζj→ ∞ 我们恢复了多元高斯情形。值得补充的是，对于该DAMM规范，不允许第j个混合物成分参数ζcj随时间变化，因为t-copula密度相对于ζcj的分数不可用，需要进行数值积分。该限制源于参数ζcj进入方程（42）中报告的条件t-copula密度函数的方式。模拟研究为了证明DAMM代表随机变量的均值、方差和相关性的复杂非线性动力学的灵活性，我们报告了四项模拟研究。在最初的实验中，我们关注DAMM近似前两个条件矩的能力，以及与Gerlach等人（2000）相似的DMM规格的条件分布。在第二个实验中，我们关注一个二元随机向量的相关动力学，该实验与Engle（2002）的研究类似，而在第三个实验中，我们关注DAMM适应条件混合物成分变化的能力。最后，在上一个实验中，我们重点讨论了各种DAMM规范中的误判成本，即过滤精度。4.1.

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2022-5-11 00:01:01

DAMMs作为随机DMMS的过滤器我们的目标是近似前两个条件矩以及模型生成的条件分布~ ω1，tNyt |u1，t，σ1，t+ ω2，tNyt |u2，t，σ2，t（44）式中ω1，t=1+exp(-ωt），ω2，t=1- ω1，tandσj，t=exp■σj，t, 对于j=1，2，和▽ωt+1=-0.003+0.99Ωt+εωt+1，εωt+1id~ Nεωt+1 | 0,1.00u1，t+1=0.09+0.97u1，t+εut+1，εut+1id~ Nεut+1 | 0,0.02■σ1，t+1=-0.001+0.98σ1，t+εσt+1，εσt+1id~ Nεσt+1 | 0,0.04u2，t+1=-0.04+0.98u2，t+εut+1，εut+1ID~ Nεut+1 | 0,0.06■σ2，t+1=0.004+0.99■σ2，t+εσt+1，εσt+1id~ Nεσt+1 | 0,0.08, （45）所有的创新对于所有t都是相互独立的。我们将此模型命名为SDDM。根据（44）我们得到了条件均值E（yt |θt）和条件方差Var（yt |θt）＝ω1，tu1，t+ω2，tu2，tVar（yt |θt）＝ω1，tσ1，t+ω2，tu2，t- （ω1，tu1，t+ω2，tu2，t），（46）式中θt=ωj，t，uj，t，σj，t，j=1,2. 为了近似（44）的前两个条件矩，我们指定了一个具有J=2高斯分量的DAMM规格。形式上，（44）的近似模型是YT~ ω1，tNyt |u1，t，σ1，t+ ω2，tNyt |u2，t，σ2，t, （47）式中ω1，t=1+exp(-ωt），ω2，t=1- ω1，t和σj，t=exp■σj，t, 对于j=1，2，和∧ωt+1=κω+αωexp(-ωt）（1+exp(-ωt）pyt |u1，t，σ1，t- Pyt |u2，t，σ2，tω1，tpyt |u1，t，σ1，t+ ω2，tpyt |u2，t，σ2，t+ βωωt（48），其中pjyt |uj，t，σj，t是平均值为uj，方差为σj，t的高斯随机变量的密度，j=1，2，在yt处计算。条件平均值和重新参数化条件方差的j–th动态如等式（21）所述，设置j=2。为了进行我们的实验，我们对θT从（45）开始模拟一条长度为T=10000的路径，然后，foreach T=1，T，我们根据（44）B=1000伪观测值进行模拟。最后，我们对伪观测序列y（b）进行了估计=y（b），y（b）T, 对于b=1。

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2022-5-11 00:01:05

，B第3.1小节详细说明的两个高斯分量SAMM规范。然后，对于每个估计模型，我们评估每个时间点t=1，…，的隐含条件均值和条件方差，T我们用Haas（2006）的马尔可夫切换AR（1）–GARCH（1,1）（MSARGARCH，此后）和YT定义的两个区域对具有两个高斯分量的DAMM进行基准测试- us，tσs，t（St=s，英尺）-1) ~ N（0，1），（49）式中，us，t=\'\'us+φsyt-1（50）σs，t=ωs+αszs，t-1+βsσs，t-1，（51）式中zs，t=yt- μs，tand |φs |<1，ωs>0，αs+βs<1，αs>0，βs>0，对于s=1，2被施加以保持过程的弱平稳性，并确保yt的第二个条件动量的正性。在等式（49）中，Stre表示定义在离散空间{1，2}上的整数值随机变量，该空间遵循一阶马尔可夫链和转移概率矩阵。DAMM的前两个条件矩具有相同的公式（46）。然而，与SDMM相反，在DAMM对θ进行调节的情况下，这是多余的，因为θtif在时间t完全可用- 1，因此θt∈ 英尺-1.Q={qlk}，其中qlk=P（St=k | St）-1=l）是在时间t访问状态k的概率，即在时间t访问状态k的概率- 1链处于状态l，初始概率向量δ=（δs，s=1，2），δs=P（s=s），即在时间1处于状态s的概率，参见例如Hamilton（1989）和Dueker（1997）。以英国《金融时报》为条件-1，yti的分布是两个高斯分布yt | Ft的混合-1.~ P（St=1 |英尺-1） Nyt |u1，t，σ1，t+ P（St=2 |英尺-1） Nyt |u2，t，σ2，t, （52）式中P（St=s | Ft-1）对于s=1，2，是使用汉密尔顿滤波器评估的预测概率，参见例如Fr–uhwirth Schnatter（2006）。在无定向混合模型方面报告了进一步的比较结果，其中两个高斯分量是使用K=100观测值的执行移动窗口（标记为MMR）对模拟数据进行估计的。

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2022-5-11 00:01:08

具体而言，在每个t=K，利用观测值对含有两个高斯分量的静态混合模型进行递归估计y（b）t-K+1，y（b）t, 对于b=1，B.对于每个t=K，…，存储每个静态混合模型中的隐含平均值、方差和混合成分，T和b=1，B并与SDMM规范产生的真实数量进行比较。MMR规格的前K均值、方差和混合成分不可用，不在比较分析范围内。利用Dempster等人（1977）的期望-最大化算法对MMR和MSARGARCH模型进行估计，其中对于e的MSARGARCH模型部分，step在数值上最大化，参见例如西葫芦和麦克唐纳（2009）。根据SDMM规范生成的真实条件平均值、方差和混合物成分与DAMM、MSARGARCH和MMR模型交付的结果之间的平均绝对误差（MAE）和均方误差（MSE），给出了比较结果。为了研究DAMM规范的性能，以近似SDMM所暗示的条件分布，我们还计算了等式（44）中报告的真实条件密度与DAMM、MSARGARCH和MMR模型估计的真实条件密度之间的平均Kullback-Leibler（AKL）散度。

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2022-5-11 00:01:12

m型的阿克尔散度∈ 第b条路径的{DAMM，MSARGARCH，MMR}由akl（b）=T给出-1TXt=1Z<logp（yt |θt）pmyt|^θ（b）m，tp（yt |θt）dyt，（53），其中p（yt |θt）表示方程（44）attime t和pm中报告的SDMM规格的真实密度yt|^θ（b）m，t表示模型m的密度，带有第b个模拟序列的估计滤波参数^θ（b）m，tat time t。表B.1报告了E（yt |θt）和Var（yt |θt）的中值MSE和MAE，以及DAMM、MSARGARCH和MMR模型的真实和估计条件分布之间的中值AKL。报告了与MSARGARCH相关的比较结果。我们注意到，具有两个高斯分量的DAMMW报告的条件平均方差和混合成分的MSE和MAE较低，这证实了其优于MSARGARCH和MMRMODEL的过滤能力。查看表B.1的最后一列，我们还注意到，DAMM规范的真实和估计条件密度之间的平均AKL差异，远远低于根据MSARGARCH和MMR模型进行的评估。这一结果表明，DAMM规范更适合于近似SDMM规范所暗示的条件密度，并证实了Koopman等人（2015）之前对此处所考虑的DAMM规范的发现。为了总结我们的分析，在图A.1中，我们报告了每个时间点t的条件平均值、条件方差和混合权重的B估计值的真实值和中位数。我们注意到，即使估计的模型高度误判，DAMM能够准确地表示由SDMM生成的前两个条件力矩的动态，分别在图A.1的第一个和第二个面板中报告。

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2022-5-11 00:01:15

此外，图A.1第三个面板中报告的混合物成分动态也被DAMM规范准确地近似。值得强调的是，在这个MC实验中，发现DAMM能够近似方程式（46）中报告的条件平均值和条件方差，而不是方程式（45）中报告的混合成分参数。我们想强调的是，在混合物成分向某一特定组分转移的过程中，{uj，s，s>0}和{σj，s，s>0}，j=1，2无法正确估计，这是因为在这些过程中，大多数数据是由概率更高的组分生成的。因此，新数据中不包含相关信息，以便更新混合物中低重量组分的参数。如前所述，这些逻辑推理在文献中被完全忽略，大多数可用的模型没有考虑到在某些时期，它们无法更新部分潜在过程的可能性。相反，如前所述，DAMM自然包含了一个解决这一特定问题的基本原理机制。4.2. 时变相关性我们的实验设计与Engle（2002）和Crealet al（2012）的研究类似。具体地说，我们从具有单位方差和时变相关性ρT的双变量高斯分布模拟长度为T=1000的B=500时间序列。

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2022-5-11 00:01:18

我们对相关参数施加的动力学是o常数：ρt=0.9o正弦：ρt=0.5+0.4cos（2πt/200）o快速正弦：ρt=0.5+0.4cos（2πt/20）o阶跃：ρt=0.9- 0.5（t>500）o斜率：ρt=mod（t/200）/200o模型1：ρt=exp（~ρt）/[1+exp（~ρt）]，其中ρt=-0.4 (1 - 0.99）+0.99ρt-1+0.14ηρt，ηρt~N（0，1）o模型2：ρt=ωtρ1，t+（1）- ωt）ρ2，t这里ρi，t=exp（~ρt）/[1+exp（~ρt）]，~ρi，t=- 0.99）+0.99ρi，t-1+0.14ηρit，i=1，2，和¨ρ=-0.4，ρ=0.4，式中ωt=[1+exp（~ωt）]-1，ωt=0.98ωt-1+ηω和ηρ，ηρ，ηω皮重iid N（0，1）。我们用最大似然估计每个模拟数据序列的两个二元高斯混合分量的DAMM。因此，我们使用过滤后的动态和模拟动态之间的MAE和MSE来评估模型跟踪动态相关性的能力。我们还指定了两个约束DAMM版本DAMM¨ρ和DAMM¨ω。DAMM–ρ规格被定义为DAMM，但具有恒定的状态相关，即ρj，t=ρj，j=1,2，而DAMM–ω再次被定义为DAMM，但具有静态混合物成分，即ωt=ω，t、出于比较目的，我们将DAMM模型与Engle（2002）的动态条件相关（DCC）模型以及定义为Qt=λQt的指数加权移动平均（EWMA）模型进行了对比-1+ (1 - λ） yt-1yt-1（54）ρEWMAt=q12，t/√q11，tq22，t，（55），其中qij，是qt和λ的（i，j）–th元素设置为0.96，qi固定为序列的经验条件相关性。对于DAMM规范，我们将混合物平均值和方差设置为常数，并以值uj、t=0和σj为中心，对于j=1、2和t=1，TDCC模型也受到了类似的约束。表B.2报告了三种模型和七种相关模式的中位数平均误差和中位数平均误差。结果是相对于DCC模型给出的。

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2022-5-11 00:01:22

我们注意到，在任何情况下，DAMM规范都比考虑过的替代方案更受欢迎。更准确地说，对于正弦、快速正弦、斜坡和模型2的情况，首选无限制DAMM规范，对于恒定阶跃，首选DAMM¨ρ，而当假设模型1规范用于条件相关性的演化时，首选DAMM¨ω。总体而言，我们发现DAMM规范在MAE和MSE标准下均优于DCC和EWMA模型。4.3. 时变混合成分我们的第三个模拟实验侧重于DAMM对根据几种模式生成的动态混合成分建模的能力。为此，我们指定了两个具有固定均值和方差的单变量高斯分布的混合，即我们的DGP为formyt~ ωtN（yt |- 4, 6) + (1 - ωt）N（yt | 1，3）（56），其中ωt根据以下模式之一波动：o常数：ωt=0.9o正弦：ωt=cos（2πt/200）o快速正弦：ωt=cos（2πt/20）o阶跃：ωt=0.9- 0.5（t>500）o斜率：ωt=mod（t/100）/100o模型1：ωt=[1+exp（)ωt）]-1式中，ωt=-0.015+0.98¨ρt-1+0.1ηωt，ηωt~ N（0，1）o模型2：ωt=[1+exp（~ωt）]-1式中，ωt=-0.015+0.98¨ρt-1+0.5ηωt，ηωt~ N（0，1）。模型1和模型2是非线性一阶自回归，具有不同的标准偏差，用于创新。根据新息标准差的选定值，ωt过程在模型1的区间（0,1）内发展得更为平稳，在模型2的区间（0,1）内显示出从0到1的突变。我们根据所考虑的七种模式模拟了（56）假设ωT的T=1000个观测值。然后，我们用两个高斯分量对模拟观测值估计DAMM，并存储ωt的滤波序列。该过程重复B=500次。

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2022-5-11 00:01:25

我们将混合成分参数ωt的过滤动力学与两个区域的马尔可夫切换模型（在每个区域（MS）中具有时不变高斯分布）所提供的动力学进行了比较，并与模拟实验中详述的MMR模型进行了比较。对于所有考虑的模型，每个高斯成分分布的平均值和方差均固定为真值，即对于DAMM规范，我们施加u1，t=-4，u2，t=1，σ1，t=6和σ2，t=3，对于所有t=1，T表B.3报告了三种模型和七种ωt模式在B重复中的主题MAE和中值MSE。结果与MS模型相关。与之前报道的相关性研究类似，我们发现DAMM规范报告了混合物成分参数ωt假设的所有模式的优越结果。唯一的例外是ωt遵循“快速正弦”动态，MS模型略微超过DAMM。4.4. 错误的条件相关性动态参数化的代价在我们上一次的模拟研究中，我们研究了将错误的模型估计为四维随机变量的动态条件相关性的后果。具体而言，我们规定了四种数据生成过程，这些过程仅与隐含的条件关联动态不同。实验继续从四个考虑的DGP中的一个采样B=500系列长度T，假设它是真实的，然后根据模拟数据估计四个DGP。该实验重复四次，假设每次所考虑的DGP之间存在不同的真实DGP。对于yt的条件分布，我们考虑以下一般参数假设∈ <,yt~ ωtN（0，R1，t）+（1）- ωt）N（0，R2，t），（57），其中Rj，t，j=1，2是全相关矩阵。

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2022-5-11 00:01:30

四个DGP定义为oDGP1：ωtand Rj，t，i=1，2使用第2节和第3节详述的YTA条件分布分数进行更新DGP2：等于DGP1，但ωt=ω；DGP3：等于DGP1，但Rj，t=Rj，j=1,2oDGP4：假设ωt=ω和Rj，t=Rj，j=1,2。由于随机变量ytis standardGaussian的j–th分量的边际分布，该模型暗示了ytis的条件相关性，即加权ωtand（1）的混合分量相关性的平均值- ωt），用Rht表示，表示h∈{DGP1，DGP2，DGP3，DGP4}。我们考虑三种不同的样本量：小样本（T=500）、中等样本（T=1000）和中等样本（T=2000）。假设相关矩阵Ri和混合成分参数ωt具有高持久性，参数值的确定与经验应用中获得的值类似。结果根据矩阵^Rk | ht的平均Frobenius范数给出- Rht，其中^Rk | Ht表示时间t时的估计隐含相关矩阵，假设Dgp k，当真实DPG为h时，即“fh | k=t-1TXt=1VUTXL=1Xm=1ρk | hlm，t- ρhlm，t, （58）式中，^ρk | hlm，tandρhlm，分别是矩阵^Rk | htt和Rht的（l，m）–th元素。表B。4报告了所有h，k的平均Frobenius标准值“fh | Kf的B样本中位数∈{DGP1，DGP2，DGP3，DGP4}。表B.4中的行表示估计模型，而列表示生成序列的真实DGP。为了便于比较，所有结果都是相对于真实DGP报告的。我们注意到，当真实的DGPI为DGP1时，当样本大小为小或中等时，指定DGP2没有损失，当样本大小为中等大小时，我们必须支付大约5.5%的估计精度。如果我们分别指定DGP3或DGP4，成本大约为13%和21.4%。

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2022-5-11 00:01:33

不同的是，如果实际的DGP是DGP2，我们估计DGP1，对于中等规模的样本，我们不支付条件相关动力学精度估计方面的误判成本。如果我们假设DGP3或DGP4，结果会发生变化。在这些情况下，错配的成本随着样本量的增加而增加。具体来说，如果真实模型是DGP3，如果我们估计其他考虑的DGP之一，我们将支付约30%。一般来说，我们发现，如果样本量较小，最好不要假设DGP1这样的高度参数化模型，因为模型系数的不确定性会影响结果的过滤相关动力学精度。相反，如果样本量相当大，且实际DGP为DGP1或DGP2，则误判的成本较低。最后，当真实DGP为DGP3或DGP4时，估计错误的模型对过滤相关动态的精度有相对较高的影响。5.实证应用在本节中，我们采用多个单变量和多变量DAMM规范来估计和预测一组每日财务日志收益的条件分布。我们考虑了四家资本最雄厚的美国公司，即苹果公司（Apple Inc.）、埃克森美孚公司（Exxon Mobil Corp.）、富国银行（Wells Fargo&Co.）和通用电气公司（GE）。该数据集从Datastream获得，包括从1996年1月8日到2016年1月22日的4968次观察，包括影响美国经济的几次危机事件，如20世纪90年代的储蓄和贷款（S&L）危机、2000-2002年的互联网泡沫以及2007-2008年的全球金融危机（GFC）。与通常的金融时间序列风格化事实一致，该系列显示了波动性集群和重尾条件经验分布，有关单变量和多变量金融回报风格化事实的详尽处理，请参见McNeil等人（2015）。

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