5这说明了联合的Az’ema超鞅过程Gt（t，t）=E[τ>t，τ>t | Ft]和联合生存概率鞅Gt（t，t）=E[（τ∧ τ） >T | Ft]对于不同的相关水平（使用相同的布朗运动路径对）。8结论和未来工作在论文的第一部分，我们回顾了局部鞅成为真鞅的条件，并将其专门化为有界过程。我们引入了二次曲线过程的概念，即范围有限且不随时间递减的二次曲线过程。我们已经证明了局部有界的鞅实际上是二次鞅。已经解释了在给定可分离扩散系数σ（t，x）=g（t）h（x）的两个常数界之间演化的鞅是如何通过映射一个扩散系数为g（t）的随机过程x，通过求解一个具有h（x）特征的一阶自治非线性常微分方程，得到的。这个结果对于模拟来说很有趣，因为F（X）的路径将保持在正确的范围内。鞅在标准区间[0,1]内演化的情况受到了特别关注。已经提供了几个样本，并建立了它们的存在性和唯一性结果。由标准正态累积分布Φ组成的映射F证明是有趣的。它允许将任何It^o积分转化为[0，1]中有界的鞅。此外，通过Φ映射Vasicek过程建立的Φ-鞅被证明是一个可处理的[0，1]鞅，它在有限时间内不达到界。对其统计量进行了解析计算，证明其分布收敛于一个由过程初值给定参数的伯努利分布。

已经证明，它是唯一一个[0,1]鞅，可以通过以时间齐次的方式映射一类特定的高斯过程（称为高斯微分）来获得。Φ-鞅完成了通过这种方法可以得到的一类可能鞅。其他过程是恒定的、缩放的布朗运动和无漂移的几何布朗运动。有趣的是，每一个鞅都对应一个特定的范围。[0,1]中的鞅已被应用于在盒子外构造Az’ema超鞅。它们显然满足范围限制，并从自动校准中获益。据我们所知，这是第一个满足所有有效初始违约概率曲线要求的分析可处理方法。类似地，我们可以建立一组条件生存概率曲线，这些曲线与建模为布朗运动的风险因素有关。这被推广到多变量随机生存概率的建模。0 2 4 6 8 100.0 0.4 0.8●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 2 4 6 8 100.0 0.4 0.8●●●●● ●●●● ●●●● ●●●●●●●0 2 4 6 8 100.0 0.4 0.8●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 2 4 6 8 100.0 0.4 0.8●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●0 2 4 6 8 100.0 0.4 0.8●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 2 4 6 8 100.0 0.4 0.8●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●图5：二元Az\'ema超鞅过程Gt（t，t）=E[τ>t，τ>t | Ft]（左）和二元生存概率鞅Gt（t，t）=E[（τ∧ τ） >T | Ft]（右）与布朗关联ρ={-80%，0，+80%}（自上而下）。显示了十条示例路径。由于已知精确解，因此没有模拟误差（直到评估二元累积正态分布时的数值误差）。我们对Si（t）（h=8%和h=12.5%）、0.05的恒定挥发率（η=15%和η=25%）时间步长使用恒定危险率。右面板上的蓝点显示了基于1000条路径的样本平均值。

黑色虚线显示基于样本集的最小和最大封套。这项工作为未来的研究提供了几条途径。例如，本文导出的所有圆锥鞅都有常数锥。上述施工方案的简单扩展导致SDE不符合通常的存在标准。目前尚不清楚是否可以明确地找到具有时间相关锥的有界鞅。未来研究的另一个途径是处理非连续有界鞅。最后，我们认为，这项工作为基于违约概率曲线的产品风险管理提供了替代方法，例如信用相关金融工具的风险敞口建模。9附录9。1维赫斯特鞅Yt=exp中Xt定律的推导{-λXt}让我们注意几何布朗运动Θt=g（t，Wt），其中g（t，x）：=xξ（t，x），ξ（t，x）：=expnνx-νtoand let^Θt:=RtΘsds。我们求Xt=Θt的密度/1.- ^Θt. 为此，我们感兴趣的是Θt，^t. 从^t | Wt（y，x）的条件密度p^t | Wt（y，x）出发，在布朗运动Wt=x的终值的条件下，一个得到sfxt（z）=z∞-∞p^t|WtZ- g（t，x）uz十、φ（x）/√（t）√Tdx该表达式的特征是几何布朗运动的积分密度取决于布朗运动Wt的终值。该表达式在金融中非常重要，并且出现在亚洲期权中。

因此，它受到了一些关注，Marc Yor利用与Bessel-Yor（1992）的关系推导出了相应的表达式。按照Yor的表示法，de fineat（ν）=Ztexp{2（Ws+νs）}然后观察到，从布朗运动的标度性质来看，Ztexp{aWs+bs}ds~aAat/4（2b/a）设定值a=η，b=-η/2，ν=2b/a=-当t=ηt/4时，我们得到^Θt，Wt~4XηAt(-1） ，ηWt另一方面，如果Y=AX，其中A是可逆矩阵和X，Y随机（列）向量，则Y的密度由fY（Y）=| det A | fX（A）给出-1y）。A=Diag（4Xη，η），fXt（z）=η8X√tZ∞-∞帕特(-1） | Wtη4Xz- Gt、 ηxuz！ηx！φηx√Tdx=η4X√tZ∞-∞帕特(-1） | Wtη4XZ- g（t，y）uzYφy/√TdyYor认为，研究At（0）的条件律就足够了，因为pAt（ν）Wt（z | y+νt）=pAt（0）|Wt（z | y）。为了了解这一点，让我们根据Radon-Nikodym导数过程dQ（ω）dQ（ω）来定义度量QFt=ξ（t，Wt）。

根据Girsanov定理，~Wt=Wt+νt是一个~Q-布朗运动，其结论如下：pAt（ν）|Wt（z | y）=ROhm1I{At（ν）=z，Wt=y}dQ（ω）ROhm1I{Wt=y}dQ（ω）=ROhm1I{Rtexp{Ws}ds=z，~Wt=y+νt}dQ（ω）ROhm1I{Wt=y+νt}dQ（ω）=ROhm1I{Rtexp{Ws}ds=z，~Wt=y+νt}ξ（t，y）dQ（ω）ROhm1I{Wt=y+νt}ξ（t，y）d﹪Q（ω）=ξ（t，y）ROhm1I{At（0）=z，Wt=y+νt}dQ（ω）ξ（t，y）ROhm最后，由At（0）定律得到的密度fx是以布朗运动的终值Wt为条件的，At（y，z）=pAt（0）|Wt（z | y）在Yor（1992）中被证明为：At（y，z）=√tzφ（y）/√t） 经验-1+e2y2zθey/z（t）θr（u）=√2uπexpπ2uψr（u）ψr（u）=Z∞经验-y2u经验(-r cosh y）sinh（y）sinπyu我们得到fxt（z）=η4X√tZ∞-∞在Y-t、 η4XZ- g（t，y）- t） uzφy/√Tdy9。2有界鞅的坍缩性已经证明，当X是一个扩散系数η和漂移（η/2）为X的高斯扩散时，Y=Φ（X）是一个有界于[0,1]的鞅，其分布收敛于伯努利（Y）。这个证明很容易，因为Ytis的分布在分析上是已知的。然而，形式为F（X）的自治鞅，其中X是一个自由过程，F的映像是一个紧区间[a，b]，很可能具有相同的“折叠”特征。虽然我们没有给出正式的证明，但我们在下面提供了一个直观的发展。我们进一步讨论了哪种形式的映射F可能不具有这种特性。设F（假设严格递增，C）和F为单峰（即F（x）首先为正，然后在某个点x消失？当η（t，Xt）=η。回忆一下SDE，然后是X:dXt=-ηf（Xt）f（Xt）dt+ηdW（t）=ηψ（Xt）dt+ηdW（t）（9.1），因为对于所有x>x的情况，f（x）<0？f（x）>0表示所有x>x？，我们可以从上面的SDE中看出，当X高于X时，X有正漂移？反之，则是一种消极的倾向。

只要我们选择F，使得F是单峰的，那么这个过程就会倾向于发散，对于Y=F（X）也是如此。换句话说，当边界（a，b）为常数且F=Fis为单峰时，通过基础过程Y=F（X）获得的圆锥鞅Y将被吸引到其中一个边界。虽然Y崩塌为a或b可能需要相当长的时间，但这很可能发生，除非选择了ESSF具有某些特定的属性，而上述开发使我们能够理解哪些属性可能会破坏这种吸引力。当然，第一种可能性是使用随时间变化的消失扩散系数η（t）。如果η（t）坍缩为零，过程X将被冻结，过程的路径也将被冻结。然而，我们认为这不是防止所有路径收敛到某个边界的唯一方法。虽然我们没有给出正式的证明，但我们声称这可以通过选择F来实现，从而使F=F是双峰的（即两种模式之间的F变化符号），并且X延伸到两种模式定义的间隔。考虑例如F（x）=1/2Φ十、-（X+u）s+ Φ十、-（十）-u）s对于s>0且u足够大，以确保F的符号在两种模式之间发生变化。此函数将R映射到单位间隔[0,1]。然后，事实是Xt下降到“下降”[X- u，X+u]将产生拉力效应，使XT在该间隔内趋于稳定。f的双峰性质的作用是部分防止所有路径塌陷到其中一个边界（分布中心将不再为空；位于边界任意小邻域的概率将不为零，但也不会等于1）。还有待正式证明Q{Xt∈ [X- u，X+u]}>0作为t→ ∞ 对于任何u>0。因为我们没有Xt分布的解析表达式，所以这是个数字。

然而，MonteCarlo模拟或PDE解算器似乎证实了事实的有效性：只有部分路径塌陷到边界。“倾角的锐度”（可以通过玩s来调整）决定了Yt位于[F（X）中的概率-u），F（X+u）]作为t→ ∞. 然而，根据上述程序建立的过程Xt在x处有一个稳定的平稳点（零漂移，或相当于f（x）=0）（零漂移，在邻域中，漂移倾向于将Xt拉回x），而不稳定的平稳点是因为这种拉回效应不会影响Y的鞅性质，因为这是由函数f补偿的，正如当使用F=Φ时，X是一个发散过程这一事实，并没有影响Y在unimodalcase中的马丁尼性。在X±u（零点漂移，但当XT围绕这些点移动时，漂移的影响是将XT推离这些点）。然后，路径很可能不是（渐进地）塌陷到0或1，而是以某种概率p渐近塌陷到{0，1}，但XT有一个非零概率1-p在区间[X]内-u，X+u]即使在极限t→ ∞.

特别是，我们希望有限制→∞Q{Yt∈ （0，F（X- u）]}=limt→∞Q{[Yt∈ [F（X+u），1）}=0，而对于任何 > 0，limt→∞Q{Yt∈ (1 -, 1] }=limt→∞Q{Yt∈ [0, )} > 0和极限→∞Q{Yt∈ [F（X-u），F（X+u）]}>0.9.3在本节中，我们展示了对于X∈ (0, 1), η< ∞ 而S（T）<S（T），Qt（T）的累积分布函数FQt（T）（x）由Φ（z？（T，T，x，η）给出。首先，我们注意到ηZt~其中Z是标准正态变量，Qt（t）的分布函数由Q{Qt（t）6x}=Q{Q（t，t；Z）6x}（9.2）=QnΦ给出m（t，t）+pv（t）Z6×Φm（t，t）+pv（t）Zo（9.3）=Q{Φ（y）6xΦ（m+y）}（9.4）y:=m（t，t）+pv（t）Z（9.5）m:=m（t，t）-m（t，t）（9.6）根据上述符号，我们可以写出qt（t）（x）=Zz:G（z）>0dΦ（z）（9.7），此外，通过定义z？，G（z？）=仍然需要证明{z:G（z）>0}=(-∞, z？]，在这种情况下，我们有这样的要求：G（z）>0dΦ（z）=Φ（z？）（9.8）显然，在我们对S（T）的假设下，m>0。我们定义G（y）=xΦ（m+y）- Φ（y）（9.9）使得~~G（y）=~G（m（t，t）+pv（t）z）=G（z）。我们的目的是证明对于m>0和x∈ （0,1），{y:~~G（y）>0}=(-∞, 是吗？]有z吗？=（y？-m（t，t））/pv（t），因为索赔是由持续索赔产生的。首先，我们注意到，~g（y）=d~g（y）/dy有一个单根，y=ln（x）/m- m/2，并且<<g（y）>0 fory<ywhilst>>g（y）<0 for y>y。因为<<g（y）=Ry-∞~g（u）du（积分常数为零）↓-∞~G（y）=0，~G，y的最小根？比y大；是吗？>y、 然而，对于y>y，~g（y）<0，这意味着在其第一根的右侧，~g（y）严格地从0递减。函数G（y）<0 fory>y？，表明如果它存在，y？唯一的根是y吗？对于连续函数G，或等价地，G允许一个唯一的根z？=（y？- m（t，t））/pv（t）。参考资料。塞萨里、J.阿奎利纳、N.查皮隆、Z.菲利波维奇、G.李和I曼达。

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