随机积分的圆锥鞅

2022-5-11 02:48:21

随机积分中的圆锥鞅*和Monique JEANBLANC+*卢瓦因天主教大学管理学院，比利时蒙斯7000号，Chauss\'ee de Binche 151和运营研究与计量经济学中心（CORE）比利时卢瓦因-纳乌夫201348+法国卢瓦因-纳乌夫大学，埃弗里-瓦勒-埃索纳数学研究与建模实验室埃弗里（LaMME）UMR CNRS 8071，埃弗里，法国十月21日，本文介绍了圆锥鞅的概念。这类随机过程具有鞅性质，但在给定的（可能与时间相关的）边界内演化。我们首先回顾了关于无漂移随机微分方程解的鞅性质的一些结果。然后，我们提供了一种构造和处理此类过程的简单方法。在[0,1]中特别注意鞅。其中一个鞅被证明是可分析可分的。证明了在移位和重标度常数之前，它是唯一具有可分离系数的鞅（具有平凡常数、布朗运动和几何布朗运动）*联系作者。电子邮件：弗雷德里克。vrins@uclouvain.be+Monique Jeanblanc的研究得到了ChaireMarch’es en突变（F’ed’Bancaire Fran,caise）的支持。σ（t，y）=g（t）h（y），可通过高斯微分的时间齐次映射获得。该方法以单变量（条件生存和无条件生存）和双变量情况下的随机条件生存概率建模为例。关键词：有界鞅、随机微分方程、扩散过程、随机生存概率1介绍和激励数学金融广泛依赖于鞅，主要是由于资产定价的基本定理。

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2022-5-11 02:48:25

例如，它们被用来代表（非股息支付）资产价格的动态，在适当的关联度量下以num’eraire为单位。因此，在真实鞅条件下，资产价格过程由条件风险中性的未来（贴现）现金流预期值控制。鞅也是度量变换技术（Viaron-Nikodym导数过程）的核心。根据情况，鞅过程可能会受到一些约束。贴现股票价格和Radon Nikodym衍生过程为正。因此，满足非负性约束的指数鞅是非常流行的工具。财务流程可能会受到其他约束，比如被限制在下方和上方。例如，在利率（短期利率）不能为负的情况下，贴现零息债券价格的情况就是这样：Pt（T）=E“exp-ZTtrsdsFt#几乎肯定属于[0，1]，因此鞅Pt（T）e也是如此-Rtrsds。同样，条件生存概率St（T）（从时间T看，默认事件τ在给定时间T后发生的概率），定义为生存指标St（T）=E的条件预期值1I{τ>T}|Ft（1.1）是[0,1]中的（Ft）t>0-鞅吗。注意，在这里，我们必须处理一组与参数T有关的鞅，并且对于任何T，St（T）必须相对于T递减。注意E[St（T）]=Q{τ>T}=S（T）。然而，令人惊讶的是，有界鞅很少受到关注。例如，在生存概率建模的情况下，实践者通常会忽略不一致性，转而使用高斯过程（不受单位时间间隔内演化的限制）（参见例如Cesari et al.（2009））。

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2022-5-11 02:48:28

这也适用于许多标准方法，其中移位的Ornstein-Uhlenbeck（赫尔白）或移位的平方根扩散（SSRD，也称为CIR++）被用作强度过程，并可能导致概率超过1。尽管有这些缺点，这些方法仍然很流行。我们认为，这是由于缺乏足够且易于处理的替代方案。我们在这里的目的正是为了弥补这一差距。我们引入了圆锥鞅的概念（我们在续集中证明了这一命名），这与“边界之间演化的鞅”的直观概念相对应。我们将看到如何处理和模拟这样的过程，使路径保持在边界内。我们进一步研究了隐含分布和渐近行为等性质。特别感兴趣的是通过将高斯过程映射到具有图像紧集的函数而获得的鞅。本文是Vrins（2014）的延伸；Vrins和Jeanblanc（2015），组织如下。我们首先在第2节中概述了模型设置，并回顾了第3节中与无漂移随机微分方程（SDE）的存在性、唯一性和鞅性质有关的一些结果。第4节介绍了锥鞅和锥鞅的概念。然后，我们将讨论如何在第5节中构建它们，并将重点放在一个特定的过程上（第6节）。最后，在结束前的第7节中，我们将此过程应用于单变量（条件和无条件）和双变量生存概率建模。2.我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 F=（Ft）t>0，Q），其中F是布朗过滤，因此，任何鞅都是连续的。在续集中，所有流程都在(Ohm, F）。

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2022-5-11 02:48:32

我们研究了解Y对形式为DYT=σ（t，Yt）dWt，0 6 t 6 t（2.1）的“无漂移”SDE的可压缩性，其中W是适应于过滤F的Q-布朗运动，对于每个t，随机变量Y被限制在一定的区间内。在续集中，如果没有歧义，我们将省略规格“0 6 t 6 t”，以及有效函数σ（t，y）：[0，t]×R→ A. R总是假设在y中是连续的，在t中是可测量的。平方根过程中的偏移是为了确定CDS报价，并且可能确实影响结果随机强度的正性。过程Y是局部鞅，但可能不是鞅。需要额外的技术条件来防止使用“过于花哨”的扩散系数功能。然而，σ（，）不需要是（全局）鞅属性丢失的“幻想”。例如，如果σ（t，x）=x（几何布朗运动），则（2.1）的解是amartingale，但当σ（t，x）=x时，解是严格的局部鞅。局部鞅和全局鞅之间的区别在金融应用中至关重要，以防止套利机会和泡沫Cox和Hobson（2005），Protter（2013）。为了确定上述SDE的解是否确实是鞅，下面的平方可积条件可能是有用的（参见Karatzas and Shreve（2005）、Revuz and Yor（1999）和Shreve（2004）的第4.9节）定理2.1。随机过程r·σ（s，Ys）是[0，T]ifE“ZTσ（s，Ys）ds#<∞ （2.2）条件（2.2）可能很难检查，因为它需要一些关于SDE解决方案的信息（甚至可能不存在）。在这种情况下，在现阶段，关于Y的可移动属性没有多少可说的。

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2022-5-11 02:48:35

然而，根据差异系数σ（t，y）的形状，可以找到一些有用的结果，如下一节所述。3关于It^o随机积分鞅性质的一般结果在本节中，从确定性差分函数σ的性质讨论了Y的鞅性质。这方面的主要结果如下（Karatzas and Shreve（2005）中的定理2.9）：定理3.1。设σ（t，y）为y中所有t>0的Lipschitz。此外，假设σ满足子线性条件|σ（t，y）| 6c（1+| y |）（3.1）对于某些常数C<∞, 那么等式（2.1）有一个路径唯一的（因此是强的）解Y，满足ehrtysdsi<∞. 此外，Y是鞅。条件（3.1）旨在防止爆炸，而Lipschitz约束通常保证存在性和唯一性。特别是，（2.1）的解不会爆炸。这个结果确保了dYt=g（t）YTDW的解是[0，t]上有界函数g的鞅。然而，仅确保平方根无漂移SDEdYt=σ的解是不够的√YTDW也是一个鞅(√在任何包含0）的区间中，x都不能是Lipschitz。Zvonkin（1974）用Holder-1/2连续性代替Lipschitz连续性，正式证明了这一点。通过将全局Lipschitz条件替换为局部Lipschitz条件，可以显著扩展该定理中的容许扩散系数类。这涵盖了相当大的一类系数，因为每个连续可微分函数都是局部Lipschitz（见Kloeden and Platen（1999））。然而，另一个扩展仅依赖于山田渡边的情况（参见。

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2022-5-11 02:48:39

（Kloeden and Platen，1999）第4节。5 p.134-135和（Karatzas和Shreve，2005年）（Jeanblanc等人，2007年，第5.5.5节））。值得注意的是，当σ（y）=0时，时间齐次情形σ（t，y）=σ（y）中存在一个充分必要的条件。正过程r·∑（Ys）是一个鞅，当且仅当x/σ（x）不可近单位积分（见Carr等人（2007）、Delbaen和Shirakawa（2002））。然而，在本文的背景下，这些概括是不必要的。4随机过程的锥和锥鞅上述框架描述了与无裂纹SDE解的鞅性质相关的一般背景。现在我们想重点讨论有界过程，并介绍锥的概念。定义4.1（有界过程）。一个随机过程Y在[0，T]上有界，如果存在一个常数，使得∈[0，T]| Yt |<M。如果对于所有T>0，存在一个常数M（T），使得sups6t | Ys |<M（T），则它在R上是局部有界的。我们记得，随机变量X的范围R（X）是其分布的支撑（这是一个封闭集，参见（Dellacherie and P.-a.，1975，第3-50章））。通过扩展，我们定义了astochastic过程的范围包络。定义4.2（范围包络线）。范围包括：=R（Yt）t> 随机过程Y的0是（Yt）t>0的范围R（Yt）的时间索引序列。注意，通过连续性，连续过程的范围包络是一系列连接集。定义4.3（锥体）。

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2022-5-11 02:48:42

如果对于每个t>0，存在M（t）>0，那么R（Yt） [-M（t），M（t）]，序列R（Yt）在这个意义上增加，对于所有0<s6t，我们有R（Ys） R（Yt），我们说s是与随机过程Y有关的锥，或者简单地说，是Y的锥。注意，在定义中，Y的圆锥体定义为t>0；这是因为Yt的范围与常数Yat t=0非常接近。请注意，范围包络的概念不同于威尼斯两点（1979）中的包络概念。首先，后者是一个集值随机过程，其上界为| Yt |，概率为1，在任意有限的时间长度内，而前者是一个确定的时间索引紧集序列。其次，距离包络（如果存在）是唯一的，因为它在任何时间t都对应于概率为1的最小集。定义4.4（二次曲线过程）。如果随机过程的范围包络是圆锥，则称其为圆锥。当随机过程是一个鞅时，我们说它是一个二次鞅。在这种情况下，“圆锥曲线”一词指的是过程的范围是有界的，且不随时间递减，因此y的上限（或下限）随t增大（或减小）。请注意，只有有界到t的过程才允许圆锥。例如，在上述定义的意义上，布朗运动及其Dol’s-Dade指数都不是圆锥过程。在一维情形下，在时间a（t），b（t）的两个确定性实值函数之间演化的任意鞅满足-M<a（t）6 b（t）<M表示所有t∈ R+可以容纳一个圆锥体。下一个推论表明，二次曲线鞅和局部有界鞅实际上是一回事。推论4.1。任何二次鞅都是局部有界鞅。

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2022-5-11 02:48:45

反过来，任何局部有界连续鞅都是二次鞅。注意，在[0，T]上，圆锥鞅X是鞅，使得xts是有界的。证据第一个断言是显而易见的：实际上，根据定义，圆锥鞅Y是在边界之间演化的鞅-∞ < a（t）6 Yt6 b（t）<∞; 因此它是局部有界的。让我们来证明相反的说法。设Y是鞅，使得对于所有t>0存在a（t），b（t）∈ R:a（t）6 Yt6 b（t）。因为Y的路径几乎肯定是连续的，所以Y的支撑不能有“孔”，因此r（Yt）=[a（t），b（t）]是闭合的间隔。还有待证明，时间索引的范围序列正在增加。为此，假设存在一个∈ 对于某些t>s，不属于R（Yt）的R（Ys）。那么，要么Ys>supr（Yt），要么Ys<inf R（Yt）。在这两种情况下，E[Yt | Fs]6=ysas-Yt>ysor-Yt<yswithprobability one；Y不是鞅。因此，Y是鞅的一个必要条件是Y的范围是一个递增序列。为了使无漂移SDE的解Y存在，我们必须有σ（s，Ys）ds<∞ 几乎可以肯定。然后是局部鞅，参见Karatzas和Shreve（2005）。以下著名结果（Protter（2005）中的Th.5.1）填补了（全局）有界过程的特例中局部鞅和真鞅之间的差距。定理4.1。每个有界局部鞅都是鞅。在续集中，我们将重点讨论可分离的扩散系数，定义如下。定义4.5（可分离的扩散系数）。

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2022-5-11 02:48:48

如果微分系数σ（t，x）可以写成σ（t，x）=g（t）h（x）（4.1），且h连续，则称其为可分离的。显然，当扩散系数是可分离的，其中时间分量g是所有t>0的有界函数时，初始条件为Y的SDE（2.1）的解Y∈ [a，b]是[a，b]中的连续鞅，前提是函数h（x）在[a，b]上是连续的，且满足h（x）>0∈ （a，b）和h（x）=0表示x∈ {a，b}。显然，对常锥鞅的分析可以局限于标准锥鞅[0，1]，因为[a，b]中的任何鞅都可以从[0，1]中的鞅得到。因此，我们有以下推论。推论4.2。考虑式（4.1）中的可分离扩散系数，其中g（t）>0，h（x）>0∈]a、 b[和h（x）=0。那么，如果SDE（2.1）允许满足Y的唯一解∈]a、 b[，Y]∈ [a，b]。因此，它是一个有界局部鞅，从定理4.1来看，它是一个真鞅。证据SDE-dYt=g（t）h（Yt）1I{Yt∈[a，b]}dwtadmit提供了一个唯一的解决方案，这是一个马尔可夫过程。用τ表示边界的首次击中时间。在τ<∞, [τ]上一个明显的解Y，∞)给定的Yτ是Y=Yτ∈ {a，b}。因此，上述SDE的解Y是唯一的，属于[a，b]。因为∈ [a，b]Q-a.s.和h（a）=h（b）=0，dYt=g（t）h（Yt）1I{Yt的解∈[a，b]}dWt与dYt=g（t）h（Yt）dWt相同。5圆锥鞅的构造值得注意的是，对于一个随机变量ζ，任何锥在[0,1]中的鞅的形式为E[ζ| Ft]，其值在[0,1]中。然而，不可能计算此类鞅的扩散系数，因为这些鞅并不总是扩散过程。上一节展示了如何通过充分选择等式（2.1）中的微分项σ（t，x）来获得紧集[a，b]中演化的鞅。

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mingdashike22

2022-5-11 02:48:51

这个框架在理论上很有趣，但在实践中可能很难处理。为了说明这一点，假设我们想要构造一个鞅[0，1]。为此，我们可以选择Y∈ [0,1]，σ（t，x）=g（t）h（x）>0表示所有t>0和x∈ （0，1）其中h=0表示x/∈ (0, 1). 满足所需条件的一个简单的“光滑函数”是σ（t，x）=ηx（1）- x）其中η是一个常数，证明满足定理3.1和Y的条件∈ [0,1]∈ [0, 1].这导致SDE:dYt=ηYt（1- Yt）dWt，Y∈ [0,1]（5.1）定理3.1确保该SDE允许一个解，根据推论4.2，该解是鞅。此外，因为σ（t，0）=σ（t，1）=0，对于x，σ（t，x）>0∈ （0，1），该过程的范围为[0，1]，前提是∈ [0, 1]; 因此，根据定义4.4，它是一个圆锥鞅[0,1]。然而，即使可以计算出数值格式来估计Yt的分布，这种非典型SDE的解析表达式可能并不容易找到（如果存在）。此外，从实际角度来看，此类方案需要确保Y的所有路径（对于蒙特卡罗模拟，或对于PDE解算器，分布范围）保持在与理论解相关的圆锥体中（人们可以从SDE中猜测）。一般来说，需要满足有界条件的隐式格式，但查找起来可能很繁琐。为了解决这两个问题，我们提出了一个特殊的构造方案，通过一些光滑泛函t=F（t，Xt），将圆锥鞅转化为一个更简单（无约束或“自由”）的过程X。

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2022-5-11 02:48:54

因此，Y的SDE和统计数据可以通过X的SDE和统计数据直接获得。下面我们首先展示如何创建具有锥S=[0,1]的一维鞅。5.1方法我们现在继续下一个结果，这是构造锥鞅的重要工具。我们需要一些条件来确保dxt=u（t，Xt）dt+η（t，Xt）dWt（5.2）形式的一般SDE解的存在性和唯一性，可以找到这些条件（例如，见Oksendal（2003），Kloeden和Platen（1999），（Jeanblanc等人，2007，第1.5.4和1.5.1节），（Revuz和Yor，1999，第四章，第3节）。在续集中，我们将几乎肯定地讨论属于[0，1]的过程。在这种情况下，我们将限制我们自己，以指定R+×[0,1]上的扩散系数σ（t，x）。当然，后者可以简单地扩展到x∈ R通过指示器函数1I{x∈(0,1)}. 这保留了过程的动态性，并允许我们依赖于存在性和唯一性结果，这需要为x定义SDE系数∈ R例如，参见推论4.2定理5.1（自治映射鞅）的证明。设F（x）：dom（F）→ [0,1]，x 7→ F（x）是C类的一阶导数有界的严格单调函数。注f（x）：=f（x）和f（x）=f（x）。设η为R+×dom（F）上定义的函数。假设存在一个进程X和R（Xt）∈ 随机微分方程（SDE）的dom（F）解dXt=η（t，Xt）ψ（Xt）dt+η（t，Xt）dWt（5.3），其中ψ（x）：=-f（x）f（x）是与f相关联的分数函数。然后，过程y=F（Xt），t>0是[0，1]中的鞅。如果X的范围与dom（F）重合，则Y的范围为[0,1]。在这种情况下，Y被称为锥[0，1]的圆锥鞅，或者等价地称为[0，1]鞅。证据

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2022-5-11 02:48:58

在[0，1]中取值的过程Y=F（Z）通过^o引理给出了动力学：dYt=F（Zt）η（t，Zt）dwt过程Y是有界局部鞅，因此是鞅。注意，因为F是一个双射，所以它是可逆的，Y的动力学变成了Y=Fo F-1（Yt）η（t，F-1（Yt））dWt=：σ（t，Yt）dWt（5.4），因此Y是一个微分。推论5.1。设F为C类的双射，X为式（5.3）的解。那么Y=F（X）是锥[0，1]满足SDE（5.4）的二次鞅。此外，Yt（FYt（y））的累积分布函数可以由潜在随机变量Xt的累积分布函数得到。特别是，如果Fis增加：FYt（y）=FXt（F-1（y）（5.5）备注5.1。函数F的简单候选函数是实线上定义的累积分布（或生存分布）函数，允许密度连续可微且可逆。5.2示例1。设F（x）=e-λx和η（t，x）=ηx。然后x满足Verhulst方程的一个变量：dXt=λ（η/2）Xtdt+ηXtdWt（5.6），其中解xt=Θt1- （λη/2）RtΘsds，Θt:=Xe-爆炸时间τ：=inf{t:RtΘsds=2/λη}之前的（η/2）t+ηWt（5.7）。过程Y定义为Yt=exp(-λXt），t6τ定义了一个鞅（在[0,1]中取值），其中sde由dyt=-ηln（Yt）YtdWt（5.8）注意，通过构造，inf{t:Yt∈ {0，1}}=inf{t:Yt=0}=:τ。未达到边界1（达到τ）和Yτ∨t=0.2。让我们回到SDE（5.1）。我们可以看到，它由式（5.4）组成，其中σ（t，x）=ηx（1）-x）。在（5.3）中设置η（t，x）=η，看来我们必须有f（f）-1（y））=y（1）- y）。

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2022-5-11 02:49:01

更改变量x=F-1（y）导致（逻辑）一阶非线性微分方程F（x）=dF（x）dx=F（x）（1）- 哪个解被证明是beF（x）=cex1+cex，ψ（x）=2F（x）- 1该函数是具有平均值的logistic随机变量的累积分布函数-ln（c）和方差π/3。换言之，通过简单地映射无约束（潜在）过程X（由SDE（5.3）定义）的上述（分布）函数，即可获得等式（5.1）定义的圆锥鞅过程Y（由SDE（5.3）定义），瞬时方差设置为常数η（t，X）=η，根据定理5.1，漂移由ηψ（X）给出，其中ψ（X）=-f（x）f（x）=2F（x）- 1=tanh（x/2）是与上述分布函数相关联的分数函数。在c=1的特殊情况下，潜在过程的SDE写为dxt=ηtanhXtdt+ηdWt（5.9）该方程的系数满足通常的条件，确保解X的存在性和唯一性，因此方程（5.8）的解Y存在且唯一。3.很明显，Y=F（X）的相同SDE可以从（X，F）的各种组合中获得。在上面的例子中，c可以被选择为任何正标量，但如果对X使用正确的漂移（分数函数），则对Y获得相同的SDE。同样地，一个给定的潜在过程需要注意，因为c eX=F（X）/（1- F（X））和dom（F）=[0，1]，我们必须有c>0。根据F的选择，X可以导出Y=F（X）的几个无漂移方程。这是因为不同的映射F可以导致相同的分数函数。因此，对于给定的迁移过程X，可以找到多个映射F，从而得到Y=F（X）的SDE是无裂缝的。

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2022-5-11 02:49:06

例如，设置F（x）=tanh（x/2）导致σ（t，y）=η（1）- y）：dYt=η（1- F（x）=tanh（x/2）的得分函数也等于tanh（x/2），这与导致SDE（5.1）的ofF（x）=ex/（1+ex）的得分函数相同。考虑标准高斯情况，F（x）=Φ（x）。高斯分布的分数函数由ψ（x）=-φ（x）/φ（x）=x，其中φ（x）是标准正态密度函数，我们得到Y=Φ（x）是[0,1]鞅，前提是SDEdXt=η（t，Xt）Xtdt+η（t，Xt）dWt（5.11）有解，Y有扩散系数σ（t，Y）=φo Φ-1（y）ηt、 Φ-1（y）（5.12）5.3另一个圆锥鞅标准正态分布函数Φ可用于将任何It^o积分转化为[0,1]中具有给定初始值x的鞅∈ (0, 1).定义：z+Ztσsdwsz，其中z∈ R和σ适用于W的自然过滤。引理5.1。让x∈ （0,1）并设置z:=Φ-1（x）。对于Υ：=1/p1- [Z] 设置τ=inf{t:[Z]t=1}，随机过程M（Z）定义asM（Z）t:=Φ（ΥtZt），t<τ（5.13）是[0,1]中的一个初值为x的鞅。此外，如果R（Xt）=R，那么M（Z）是一个[0,1]鞅。证据很明显，M（Z）∈ [0，1]和M（Z）=x，因为Υ=1和Z=Z。从定理4.1，它仍然可以证明它是一个局部鞅。使用Φ（x）=-xΦ（x）=-xφ（x）和dΥt=Υtd[Z]t的事实。实际上，从它的^o引理，dM（Z）tφo Φ-1（M（Z）t）=ZtdΥt+ΥtdZt-ΥtZtΥtd[Z]t=Υtdztm映射将定义在R上的任何连续局部鞅Z转化为[0,1]-鞅（Z）t=Φ（Zt/p1）- [Z] t）使用函数Φ。这类似于Dol\'eans-Dade指数E，它将Z映射为非负鞅E（Z）t=exp{Zt-[Z] t/2}使用指数函数证明Z满足Novikov条件。这是因为这些函数的一阶导数和二阶导数之间存在联系。

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2022-5-11 02:49:09

从这个角度来看，鞅M（Z）可以被看作是e（Z）的等价物，但是对于[0,1]鞅，它不是R+-鞅。备注5.2。重要的一点是，当且仅当[Z]能达到1时，过程M（Z）才达到界。例如，假设恒定的扩散系数σt=η∈ R+。然后，[Z]t=ηt sothatZt√1.-[Z] 这是t<η的a.s.定义-2但M（Z）η-2.∈ {0，1}a.s.，即我们到达（并坚持）t=1/η的一个边界。另一方面，如果我们选择σt=σ（t）=ηe，M（Z）就不能到达边界-ηt/2incer∞σsds=1。此外，如果σt=σ（t）是时间的决定性函数，则过程M（Z）是一个微分。在这种情况下，M（Z）的扩散系数在等式（4.1）的意义上是可分离的，g（t）=σ（t）Υt=σ（t）/q1-Rtσ（s）ds和h（x）=φo Φ-1（x）.5.4实际考虑如上所述，圆锥鞅可以通过指定扩散系数σ（t，y）的形式获得。然而，由此产生的SDE通常在分析上不易处理，因此需要使用数值模式。上述考虑表明，最好首先（从分析或数值上）尝试求解基本自由过程X=G（Y）的SDE，然后通过映射F=G得到Y的解-1.如果以一种巧妙的方式选择G，那么第二个SDE可能更容易处理（更标准，在R中演变，而不是[0，1]）。至少我们可以得到正确的范围。这就是下一个定理的目的，它告诉我们如何选择G=F-因此，Xt=G（Yt）采用了一种特殊的、更具吸引力的形式。更具体地说，当瞬时波动率是可分离的（从等式的意义上来说），开发的方法允许我们编写SDE（2.1）的解（如果存在）。

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2022-5-11 02:49:12

（4.1））作为另一个过程的映射，具有特定的漂移，但扩散系数g（t）仅取决于时间。下面的定理说明了SDE（2.1）的解Y由F（X）给出的充分条件，其中X是所需的。此外，（i）我们被告知，为了Xt=F，我们必须选择哪个F-1（Yt）具有所需的动力学，以及（ii）X的SDE是完全特定的。定理5.2。以SDE（2.1）为例，其中扩散系数在（4.1）意义上是可分离的。假设函数g满足g（t）<∞ 对于所有的t和h（y）都是集A的严格正类\\A并在（现有）边界处消失A的A.设y=F（x） A如果ψ（x）=-F（x）/F（x）是Lipschitz连续的，那么（2.1）允许强路径唯一解yt=F（Xt），其中x是SDE（5.3）的唯一强解，初始值x:=F-1（Y），扩散系数η（t，x）=g（t）和漂移u（t，x）=-g（t）F（x）2F（x）=g（t）ψ（x）。证据首先，让我们证明C类非线性微分方程（5.14）的解y=F（x）是不可解的，因为所有x的h（x）>0∈ A和im（F） dom（h），F（x）=Rx-∞h（F（u））du+kis持续（严格）增加；因此F（x）是可逆的、连续的。此外，从h上的光滑条件来看，F的前三个导数是连续的：F（x）=F（x）=h（F（x）），F（x）=h（F（x））F（x）=h（F（x））h（F（x））和F（x）=h（F（x））h（F（x））+h（F（x））h（F（x））。因此，上述常微分方程的解具有函数形式h（x）=f（f）-1（x）），其中F具有使用^o引理所需的平滑度，并且是可逆的。它的引理产生了F的动力学-1（Yt），对应于SDE（5.3），其中η（t，x）=g（t）和u（t，x）=-g（t）f（x）f（x）。来自Kloeden和Platen（1999）的定理4.5.3（p。

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2022-5-11 02:49:16

131）此SDE，有限初始值X=F-1（Y）有一个强路径唯一解，因为系数满足标准要求（ψ（x）的Lipschitz连续性和t<g（t）的有界性）∞ 这意味着线性增长约束条件ong（t）ψ（x），因此漂移系数u（t，x）也是如此。最后，解Y由mappingF:Y=F（X）给出。例5.1。考虑波动率随时间变化的指数鞅的情况，SDEdYt=η（t）YtdWt。设置g（t）=η（t）和h（x）=x，我们发现F（x）=ex+k；u（t，x）=-η（t）/2。在η（t）=η的情况下，我们可以等价地选择g（t）=1和h（x）=σx，在这种情况下，F（x）=eηx+kandu（t，x）=-η/2.例5.2。在g（t）=η和h（x）=x（1）的情况下，这个技巧已经应用于SDE（5.1）- x）。类似地，关于等式（5.10），我们可以设置g（t）=η和h（x）=（1）- x） /2；对ODE（5.14）的解导致F（x）=tanh（x/2）；因此，（5.10）的解由Y=tanh（X/2）给出，其中X是（5.3）的解。该常微分方程的解被证明具有一般形式y（x）=H（x+k），其中k是积分常数，H（x）是Rxinf dom（H）H（u）duRemark 5.3的逆。值得注意的是，虽然我们得到了X=F的SDE-1（Y）从Y的表达式中，取F的表达式-1不需要；它不进入X的SDE。X的漂移由F的核心函数决定，它求解ODE。6Φ-鞅：前面在公式（5.11）中对F=Φlead，η（t，x）=ηto dXt=ηXtdt+ηdWt进行的计算，即x是一个Vasicek过程xt=Xeηt+ηeηtZte-ηsdWs（6.1），具有恒定的扩散系数η、零长期平均值和负平均值回复速度η/2。注意，对于固定t，Xt与Xeηt+peηt具有相同的规律- 1Z（6.2），其中Z是标准高斯随机变量。

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2022-5-11 02:49:19

这导致了[0，1]鞅Y，其解析表达式为Φ（X），其中X=（Xt）t>0是Vasicek过程（6.1）。过程Y被称为Φ鞅。图1显示了从该精确解绘制的样本路径。备注6.1。已经证明，情况（5.8）也是可处理的，因为潜在过程X（以及Y=exp）有封闭形式的表达式(-λX）。接缝密度Θt，RtΘsdsYor于（Yor，1992年）研究了Xt法（见附录）。然而，在τ={t:RtΘsds=2/（λη）}和τ<∞ wp 1是一个接地的积极过程。这意味着相应的Yt=e-λXt，λ>0，也将在有限时间内崩溃为零。这不是Φ-鞅的情况，它只是渐近地坍缩到界，而是属于（0，1）Q-a.s.对于所有t>0（见第6.1.2节）。6.1统计和渐近在潜在过程X（其漂移由F暗示）的SDE有显式解的情况下，可以详细研究过程Y。例如，Ytas t的渐近分布→ ∞ 可以获得。此外，还可以研究Y的不相交增量的性质。根据鞅性质，它们的均值为零且不相关。它们的方差和分位数函数也可以计算。下面我们研究Φ-鞅的统计量。

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2022-5-11 02:49:24

为了比较，我们提到了指数鞅的相应结果。0.5，0.2）0 1 2 3 3 4 50.0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0不同扩散尺度η和初始条件Y的溶液Φ（X）当Y=Φ（X）时，其中X是一个Vasicek过程，具有瞬时方差η，零长期平均值和负平均值回复速度η/2，随机变量的方差Y为Yt- 你在哪里Yt=Zyf（F）-1（y））fXt（F-1（y））dy=ΦX，X；eηt-1eηt！=Φ十、 X；1.-E-ηt其中Φ（x，y；ρ）是具有相关ρ的标准二元正态累积分布。特别是limt→∞EYt- Y=Φ（X）- Y=Y（1- Y）。根据鞅E[YsYt]=E的性质Y∧T因此，对于任何δ>0的情况，{Yt，Yt+δ}的自协方差等于Yt的方差。增量的方差由var[Yt+δ给出- Yt]=var[Yt+δ]- var[Yt]=EYt+δ- EYt= Φ十、 X；1.-E-η（t+δ）- Φ十、 X；1.-E-ηt它收敛到0，为t→ ∞. 直觉上，这意味着流程的“活动”（路径bypath）将随着时间的推移而减少，流程将收敛到某个恒定的水平。

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2022-5-11 02:49:26

相比之下，指数鞅的方差Mt=Me-η/2t+ηwt随t:var[Mt]增加- Ms]=Eh（Mt）- Ms）i=E“MsMtMs- 1.#（6.3）=E太太EMtMs- 2 EMtMs+ 1.= XeηsEhe-（2η）/2s+2η√sZi×eη（t）-s） Ehe-（2η）/2（t）-s） +2η√T-sZi（6.4）-2 Ehe-η/2（t）-s） +η√T-sZi+1= Xeηseη（t）-（s）-1.由于Φ-鞅Y的路径在两个界之间演化，一个中心问题是确定它们是否崩溃到界，在这种情况下，Y的分布在（0，1）中的质量将越来越小，因为对于任意小的阈值 > 0和任何概率水平0<p<1，存在时间t这样，对于所有的t>t, Q{Yt∈ [0, ) ∪ (1 - , 1] }>p；Y以任何期望的置信区间在边界附近结束。这将在F=Φ且η（t）=η的情况下得到证明（第6.1.2节）。在更一般的有界鞅的例子中，附录（9.2）提供了一个直观的发展。这可能是一个论点，表明这种特定的设置在许多情况下是不合适的。然而，这种分布行为是相当流行的几何布朗运动所共有的。当t时，指数鞅的分布崩溃为0→ ∞ （参见图2以获得相应随机过程Mt，q（t，p）：=q:q{Mt6 q}=p的分位数图示）。对于这个过程，Mt+δ的方差- 尽管指数鞅分布的右尾是无界的，但随着时间的推移，MTI不会收敛到零。6.1.1指数鞅的渐近分布考虑上面介绍的指数鞅M。相应的分位数函数q（t，p）根据q{[Mt6 q（t，p）}=p isq（t，p）=exp定义η√tΦ-1（p）- η/2t对于0<p<1，limt→∞q（t，p）=limt→∞经验√t（a）- B√（t）至少-∞ < a:=ηΦ-1（p）<∞ 0<b:=η/2<∞.

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2022-5-11 02:49:30

对于t>t？：=最大值（0，a/b），RHS极限中的表达式相对于t严格减小到0。p=50%的情况（中值）精确地是最大的p，因此曲线到处都在减小。6.1.2我们得到的Φ-鞅Y（η（t）=η）的渐近分布→∞Q{Yt6 y}=limt→∞ΦΦ-1（y），Φ-1（Y）eηt/2，peηt-1.= 极限→∞ΦΦ-1（y）-Φ-1（Y）eηt/2√eηt-1!= 0 1I{y=0}+Φ-Φ-1（Y）1I{0<y<1}+1I{y=1}=（1）- Y） 1I{0<Y<1}+1I{Y=1}因此，yt在分布上收敛于伯努利（Y）作为t→ ∞. 值得注意的是，伯努利（Y）对应于[0,1]中的分布，对于给定的平均值Y，方差最大∈ [0,1]（这很有启发性，很容易证明）。这与“没有上升或下降趋势”的鞅的天真解释相矛盾；指数鞅确实有下降的趋势，因为Q{Mt+δ<Mt}>50%，但它的期望值不是E[Mt+δ]=E[Mt]。这反映了鞅M满足极限的事实→∞Mt=002030400 1234tq（t，p）（a）M=10102034000.0.20.40.60.81.0tq（t，p）的指数鞅● ● ● ● ● ● ● ● ●（b） Φ-Y=0.50 10 20 30 400.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0tq（t，p）的鞅●●●●●●●●●（c） Φ-Y=0.40 10 20 30 400.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0tq（t，p）的鞅●●●●●●●●●（d） Y=0.6的Φ-鞅图2：η=50%的指数鞅Mt和Φ-鞅Yt分布的分位数轨迹q（t，p）。曲线显示为p∈ {5%，10%，…，95%}概率水平（当然，相应的轨迹是自下而上排列的）。对于指数鞅情形，与中值相关的曲线是最大的递减曲线。对于有界鞅情形，分布崩溃为伯努利（Y）。中间值以洋红色显示，而- Y） -分位数用点强调。

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2022-5-11 02:49:33

如果Y=0.5，则分布被等分到边界。由于高斯解X不会爆炸，Φ-鞅的崩溃特征是无符号行为：Q{Yt∈ {0，1}}=0表示所有t>0。这与u=λη/2>0的情况（5.6）形成对比，其中过程Y=exp(-λX）在任何特定时间之前都有严格为零的正概率：t>0，Q{Yt=0}>0.6.2自治高斯鞅我们正在研究在这种情况下，一个连续的局部鞅Y，它是一个具有可分离扩散系数的扩散，可以写成aGaussian扩散X的时间齐次（即自治）映射F。定义6.1（高斯扩散）。高斯扩散是SDE（5.2）的唯一解X，其中漂移u（t，X）是X中的一个函数，u（t，X）=A（t）+b（t）X，扩散系数η（t，X）仅是时间的函数，η（t，X）=γ（t）<∞ 对于所有t.观察到并非所有高斯过程都是上述定义意义上的高斯微分。例如，SDE dXt=符号（Wt）DW的解X不是高斯微分，而是布朗运动（因此是高斯过程），分数布朗运动是高斯过程，甚至不是半鞅。定义6.2（自治高斯鞅）。如果（i）它可以通过一个自治映射F（X）映射一个高斯微分X得到，并且（ii）微分系数在（4.1）的意义上是可分离的，那么我们说鞅Y是自治高斯的。将Y-SDE（2.1）的（dt）项和（dWt）项与用t^o得到的F（t，Xt）项相等，我们得到（a（t）+b（t）x）Fx（t，x）+η（t）Fxx（t，x）（dt）=-Ft（t，x）γ（t）Fx（t，x）（dWt）=η（t）ho F（t，x）使用时间齐次映射得到F（t，x）=F（x），这意味着η（t）=γ（t）。然后（dWt）方程对应于等式。

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2022-5-11 02:49:37

（5.14）其解产生可分离扩散系数σ（t，y）=γ（t）h（y）的空间分量h（y）。然而，在本练习中，我们感兴趣的是F（x）的形式，它可以用来表示x是高斯过程，Y=F（x）是鞅。设置G（x）=Fx（x），则（dt）方程变成η（t）Gx（x）+（a（t）+b（t）x）G（x）=0这是一个一阶常微分方程，其解由G（t，x）=k（t）e给出-2a（t）x+b（t）x+c（t）η（t）F（t，x）=k（t）Zx-∞E-2a（t）u+b（t）u+c（t）η（t）du+k（t）（6.5）当我们考虑所有x的时间无关映射（F（t，x）=F（x）时，比率a（t）/η（t），b（t）/η（t），c（t）/η（t）和积分常数k（t），k（t）都需要是常数，以便得到Yt=F（Xt）SDE所需的形式。我们注意到它们a、b、c、k、k。显然，b<0的情况可以排除，因为等式（6.5）中的积分在这种情况下不收敛。因此，我们有三种主要的情况需要（a，b，c）来分析：o（0，0，c）：F（x）=ke-cx+k；映射是形式为F（x）=αx+β的函数（a<0,0,c）：F（x）=-柯-c2ae-2ax+k，映射是移位指数F（x）=-柯-c2ae-2ax+k=αξeξx+k，其中ξ>0.o（a，b>0，c）：F（x）=αΦ（x）-βξ）+kwhereα=kpπ/b ea/b-c> 0，β=-a/b和ξ=1/√2b。映射是正态累积分布函数的移位和重新缩放版本。当Xt是高斯扩散时，上述映射是唯一导致零dt项和可分离扩散系数forYt=F（Xt）的映射。这还规定了扩散系数的空间分量h（x）的形式，可以通过F（x）映射高斯过程获得。从（dWt）方程中，我们分别得到o因为a=b=0，X是一个重标度布朗运动（dhX，Xit=γ（t）dt），而Yt=αXt+k是一个重标度和重标度拷贝。特别地，h（x）=h=αoY是一个高斯过程的指数，其位移为：Fx（x）=αeξxso，即h（x）=Fx（F）-1（x））=ξ（x）- k）。

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2022-5-11 02:49:41

由于ξ>0，连续性参数表明过程Y在k ifY>k以下有界。通过正态累积分布映射高斯过程X，重新缩放和移位，可以获得Y。得到的过程是[k，α+k]-鞅。在这种情况下，h（x）=αβφΦ-1.xα.我们在下面的定理中总结了这些结果。定理6.1（自治高斯鞅）。唯一的自治高斯鞅是（达到确定性移位和缩放系数）i）平凡鞅，ii）布朗运动，iii）几何布朗运动和iv）Φ-鞅。有趣的是，每个结果过程都有一个特殊的范围，即：常数、无界、单边有界和双边有界。这个结果表明，如果一个人想要构造一个连续的局部鞅Y，其分离系数σ（t，Y）=η（t）h（Y），并通过一个可逆的自治函数映射一个高斯扩散来在给定的集合中演化，那么没有太多的选择：只有一个映射族的范围类型。特别是，Φ-鞅Φ（X）是唯一具有可分离扩散系数的有界连续鞅，可以通过将高斯扩散X映射到光滑自治函数F（X）来获得。请注意，如果放松时间均匀性和可逆性约束，其他解决方案是可能的。例如，在a（t）=b（t）=0和η（t）=η（Xt=X+ηWt）的情况下，设置F（t，X）=X-ηt，我们得到Yt=Xt- [十] 这是一个著名的鞅（在R中）。在下一节中，我们将展示如何在信用风险建模应用程序中使用这些鞅。7生存概率的应用我们采用信用风险建模设置，重点关注一些参考实体的违约时间τ。在这个框架中，人们通常定义过滤F，它代表市场信息，不包括默认观察。

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2022-5-11 02:49:44

放大过滤通过包含与违约事件相关的明确信息获得：Gt=Ft∨σ（1I{τ>s}，06s6t）（具有右连续正则化）。例如，在Cox模型中，随机强度过程λ是F适应的，但条件是路径（λt）t>0，默认1I{τ6t}的发生是一个独立事件。更一般地说，后者是Gt可测量的，但不是Ft可测量的。关于信用风险建模的文献强调，在某些情况下，可以摆脱实际的违约建模；违约指标可以用随机违约概率代替，在有限过滤F而不是完全过滤G中工作。我们不输入这种建模方法的细节，但请读者参考Lando（2004）和Bielecki等人（2011）了解更多信息。7.1无条件生存概率和Az’ema supermartingaleWe现在转向等式（1.1）中定义的鞅St（T），T>0的建模。这在许多情况下都很有用，包括信用衍生产品的定价，或调整衍生产品组合的价格，以应对交易对手风险（信用价值调整），参见例如Cesari等人（2009年）、Brigo and Alfonsi（2005年）。作为上述方法的说明，我们设置St（T）：=Φ（Xt（T）），其中Xt（T）满足dxt（T）=（η/2）Xt（T）dt+ηdWt（7.1）。显然，St（T），T>0是一个初值为S（T）的鞅。假设提供初始生存概率函数S（t）（在信用衍生产品应用中，它是通过引导金融工具的市场报价获得的，如可违约债券或信用违约掉期）。对于所有t>0、0<S（t）<1的情况，它都在降低并满足要求，这意味着相关的危险率严格为正且有限。

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2022-5-11 02:49:47

这导致T（T）=Φ（m（T，T）+ηZt（7.2）Zt:=Zte（η/2）（T-s） dWs（7.3）m（t，t）：=X（t）e（η/2）t通常通过使用简单的高斯过程Cesari et al.（2009）或采用考克斯过程Brigo and Alfonsi（2005）对Az’ema supermartingale St:=St（t）t>0进行建模。然而，第一种方法显然违反了[0,1]条件，第二种方法对应于S是递减可预测过程的特定情况。然而，一般的Doob-Meyer分解（以其加法形式）表明，在所有一般情况下，我们有Bielecki et al.（2011），Profeta et al.（2010）dSt=dDt+DMTW，其中D是递减F-可预测过程，M是鞅。考克斯的设置只是其中一个特例。此外，很难找到一个正的随机强度模型，该模型允许对市场报价进行分析校准，同时防止出现负路径（特别是，为了校准目的，需要改变平方根扩散过程，以便产生的强度过程可能不再是正的）。这为其他建模设置提供了空间，Φ-鞅就是其中之一。相关的Az’ema鞅的动力学被证明为bedt=ζtdS（t）+ηφ（Φ-1（St）dWt（7.4）ζt:=φ（Φ-1（St））eη/2tφ（Φ-1（S（t））7.2无条件生存概率和Az’ema Supermartingalets时间t>t之前无违约的生存概率由Bayes规则获得：Qt（t）：=Eh1I{τ>t}Ft，{τ>t}i=Eh1I{τ>（t∨t） }FtiEh1I{τ>t}Fti=St（T）St（T）（7.5），几乎可以肯定属于[0,1]，并且在所有T>T的情况下，相对于T都在减小。ST0的密度。4 0.6 0.80.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5（a）ST。

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2022-5-11 02:49:51

直方图（10k路径，欧拉离散化）和理论密度，通过F=Φ和Xt微分FYtin（5.5）得到~N（m（t，t）+ηZt（红色）0 1 2 3 4 50.2 0.4 0.6 0.8 1.0tSt●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●（b）采用解析解Φ（Xt）（青色）和欧拉离散化StSDE（7.4）（深蓝色）的Az’ema超级马丁格尔的样本路径图3:St参数的林分样本路径分布：η=0.15，S（t）=e-ht，h=8%，T=5。我们在图4中说明了与标准正态因子Z？相关的16点高斯-厄米特求积相关的16个节点的Qt（T）分布？t=ηZt/pv（t），其中Zt由式（7.3）给出，v（t）=eηt-1是ηZt的方差。如果Q（t，t；z）代表z上的Qt（t）值？t=z和（ωi，zi），i∈ {1，2，…，n}是n点高斯-厄米求积的权重和节点，然后Q{τ>T |τ>T}=E[Qt（T）]=E[Q（T，T，Z？T）]≈nXi=1ωiQ（t，t；zi）Q（t，t；z）：=Φm（t，t）+pv（t）zΦm（t，t）+pv（t）z(η→0)→我们考虑T=0生存概率曲线S（T）=e-Rth（s）Ds，其中分段常数危险率函数h（t）由阶跃函数{t，γ（t）}={（1,5%），（3,6%），（5,8%），（7,8.5%），（10,6.5%）}给出。我们可以看到，隐含的Q（t，t；zi）曲线可以根据驱动因子的值而有所不同，前提是Φ-鞅背后的高斯过程的扩散参数η足够大。

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大多数88

2022-5-11 02:49:54

Qt（T）的累积分布函数FQt（T）（x）的边界条件为2 4 6 8 100.0 0 2 0.4 0.6 0.8 1.0TQ（T，T；z）（a）η=0.12 4 6 8 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0TQ（T，T；z）（b）η=0.25图4:S（T）（红色），S（T）/S（T）（绿色），Q（T，T；zi）（蓝色）和pi=1ΩiQ（T，T，T；zi）（洋红色）。FQt（T）（0）=0，FQt（T）（1）=1。为了x∈ （0,1），证明为（见附录9.3）FQt（T）（x）=Φ（z？）z在哪里？=Z（t，t，x，η）是函数g（z）：=xΦ的（唯一）根m（t，t）+pv（t）z- Φm（t，t）+pv（t）z7.3二元生存概率在高斯copula设置中，让我们定义τ>Tandτ>TasGt（~t）=Q{τ>t，τ>t | Ft}（7.6）我们采用copula框架，其中Gt（t，t）通过边际（随机和相关）分布St，t，St，和时间相关的参数集Θtw依赖于t，假设其具有有限的变化。特别是，copula如果固定，但其参数（例如相关性）可能与时间有关：Gt（~T）=C（St（T），St（T），ΘT）观察到，Gt满足多元累积分布函数的所有属性；这是由我们通过copula C（u，v，Θ）映射有效边距这一事实所保证的。然而，可以清楚地注意到，Si（t）=Si（t）=Q{τi>t | F}和Sit=Sit（t）=Q{τi>t | Ft}之间的差异来自等式（7.6），即G是鞅，因此G的SDE必须没有dt项。这对（元）参数Θt.It^o的引理yieldsdGt（~t）的动力学施加了一些限制=CudSt（T）+CvdSt（T）+CudhS·（T），S·（T）it+CvdhS·（T），S·（T）it+CUvdhS·（T），S·（T）it+CΘdΘtWe我们现在考虑二元高斯情形，其中相关Φ-鞅被插入一个Gaussiancopula：C（u，v，Θ）=ΦΦ-1（u），Φ-1（v）；R假设Sit（Ti）=Φ（Xit（Ti））dXit（Ti）=uiXit（Ti）dt+ηidWitdhW·，W·it=ρdt，那么Sit（Ti）都需要是鞅，因此ui=ηi/2。

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