关于任意集合的随机积分

2022-6-25 07:36:17

关于连续半鞅任意集合的随机积分及其在数学金融中的应用Constantinos KARDARASAbstract。随机积分定义为集合P=（Pi；i∈ 一）在连续半鞅中，对指数集I和其中P取值的子空间不作任何假设。通过有限维近似构造积分，确定允许扩展到有限维的适当局部几何。对于局部鞅积分器，随机积分的结果空间S（P）具有一个对应的被积函数集R（C）的运算特征，该被积函数集的构造仅参考P的协变结构C。这种R（C）与（半鞅拓扑中闭合的）集S（P）之间的双射推广到连续半鞅积分器族，其中P的漂移过程属于R（C）。在数学金融中的固定资产模型中，后一种结构条件相当于市场生存能力的某种自然形式。通过扩展的随机积分，财富过程的丰富类可以精确计算出一系列可选分解和套期保值对偶，作为有限资产。在此背景下，提供了相应的市场完整性特征。介绍讨论。随机积分理论关于有限个半鞅积分器P≡ （Pi；i∈ 一）综合而言，直到Hilbert同构，多维欧几里德空间都有一个独特有趣的几何和拓扑结构：[AB06，定理5.21]。可预测被积函数h在RI的线性泛函空间中取值，而在随机积分的元素hdP中取极小值，正式理解为h对dP的作用。

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2022-6-25 07:36:20

内积（和abasis）的选择仅影响被积函数的表示（和解释）。即使具有可预测的特征，如[CS05]中所述，也存在必要和充分的条件，以确保可预测过程中关于P的随机积分得到了很好的定义，并且所有可能的随机积分的向量空间关于P是封闭的。日期：2019年8月20日。2010年数学学科分类。60H05、91G10。关键词和短语。有限维随机积分；连续半鞅；数学金融；基本理论。au thor感谢Ioannis Karatzas对展会的宝贵意见和帮助。2 CONSTANTINOS-KARDARASa自然强半鞅拓扑，在[E79]中考虑，我们将其称为S-拓扑。这种封闭性在概念上很重要，本质上验证了定义随机积分的程序是以令人满意的方式进行的；它在实际意义上也很重要：除了在随机分析中有明显的价值（例如，在局部鞅的稳定子空间的研究中），它在应用概率的其他领域也有应用。数学金融中的一个领域，前一个领域在理论结果中起着至关重要的作用；我们稍后将对此进行进一步阐述。给定任意半鞅集合P≡ （Pi；i∈ 一），仅使用有限数量的此类积分器来限制对随机积分类的关注，通常会导致S-闭合性的失败。当然，这可以通过考虑上述类别的Stopology中的闭包来弥补；因此，我们可以抽象地定义与P相关的“扩展随机积分”的集合S（P）。

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2022-6-25 07:36:23

这种方法既可以使S（P）成为S-闭的，也可以避免在处理下一段中所述的有限维状态空间时的复杂性。然而，它有一个相当大的代价：抽象定义的类S（P）没有操作或结构特征。有限维状态空间中随机积分的一个可行构造涉及到确定的决策。向量空间Ri被认为太大，其乘积拓扑太弱，无法存在有趣的被积函数与积分器的线性对。通常，ONER限制P在选定的可分离Banach空间Y中取值，而hdP再次被正式解释为可预测过程h的局部作用，其值为线性泛函onY，在半鞅增量dP上。另一个决定涉及允许被积函数取值的线性函数的子类。限制对Y类的关注*对于连续线性泛函，可能不会导致S-闭，需要进行一些扩展。例如，当P是某些希尔伯特空间Y的Y值维纳过程时（定义和性质参见[DPZ14，第4.1节]），必须考虑在Y的严格子空间X上定义的非连续（无界）线性泛函中取值的被积函数；参见【CT06，第3-4章】、【DPZ14，第4章】以及【M’et82，第5章】和【MR98】。在有限维设置中，通常情况下，过程P几乎没有路径位于X上，这已经模糊了hdP作为h作用于dP的解释。对于上面的一个幻觉，让我是可数有限的，让P≡ （Pi；i∈ 一） bea独立标准布朗运动集合。

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2022-6-25 07:36:26

带重量（bi；i∈ 一）这样BI>0，I∈ 一、 andPi∈Ibi<∞, 事实是PI∈Ibi | Pi |是一个单位值过程，意味着P取希尔伯特空间Y={Y中的值∈ RI | Pi∈Ibi | yi |<∞} 配备内件Y×Y （y，z）7→ hy，ZYY··=Pi∈Ibiyizi。为了r·hη，dP iY≡R·Pi∈Ibiηidpito有意义，η取Z··={Z中的值是有效的∈ RI | Pi∈I | bizi |<∞}, 严格无限维随机积分与Y的数学金融3超集* Y、 Cauchy-Schwarz不等式∈I | biziyi |≤pPi公司∈I | bizi | pPi∈I | yi |意味着从Z表示的线性泛函不作用于整个空间Y，而是作用于子空间X··={Y∈ RI | Pi∈I | yi |<∞}. 事实上，权重（bi；i∈ 一）完全不相关：可以通过内积X×X简单地赋予X一个希尔伯特结构（y，z）7→ hy，ziX=Pi∈Iyizi和解释者·ηdP≡R·hη，dP iX=Pi∈IηidPi。注意，X是Y的严格子集，内积h·、·ix赋予X一个比从h·、·iY继承的拓扑更严格的拓扑，并且几乎X的每一条路径都是X的livesoutside，sincePi∈I | Pi（t）|=∞ 适用于所有t>0。重要的是，正如已经提到的，希尔伯特空间（X，h·，·iX）不取决于Y的选择，即取决于选择的权重（bi；i∈ 一）。最初将P限制为Y中的takevalue并没有实际目的；可以在不参考Y和constructX的情况下执行上述程序。事实上，确保PI∈Iηidpis正式定义为假定的定量变化过程r·P（I，j）∈I×IηidPidPjηj=R·kη（t）kXdt是有限的，因此只需要关于P的局部协变量结构的信息。捐款这项工作的目的是在连续的半鞅P的上下文中扩展上面最后一段的观点≡ （Pi；i∈ 一）。

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2022-6-25 07:36:29

S-tochastic积分是以不可知的方式进行的，它没有对索引集I的结构进行任何假设，也没有对可能取值的Rit空间的先验限制。对于局部鞅积分器P，我们构造了“扩展随机积分”的S-闭空间（P）与适当的被积函数空间R（C）的拓扑双射。后者是关于随机聚合核C的再生核希尔伯特空间（rkHs）的动态版本≡ （Cij；（i，j）∈ I×I），由过程Cij··=（I，j）的计划和Pjf之间的总协变量的[Pi，Pj]组成∈ 然后将该双射推广到半鞅积分器，其结构性质是P的有限变分漂移过程集合属于空间R（C）。为了预览该计划是如何执行的，让我们回顾一下有限指数集I和连续局部m artin大风族P的情况。我们确定了RI的应用程序适当的几何结构，该几何结构专为在现场维随机积分中的扩展而定制。如前所述，为了保持直观水平，我们使用形式微分量。dP的局部协变矩阵dC作为I×I上的核，导出局部rkHs R（dC）={（dC）η|η∈ RI}（dC图像），内积满足hγ，δidC=Pi∈IηIδiwheneverγ≡ （dC）η和δ是R（dC）的元素。GivenX公司≡R·Pi∈IhidPi，其中h是可预测的且P可积的，设F=（[X，Pi]；i∈ 一） bethe X相对于P的聚集协变量过程。那么，dF=（dC）h；因此，这里和下面的“局部”是指依赖于乘积空间中的（ω，t）Ohm ×R+场景Ohm R+中的时间，其中定义了随机过程。4 CONSTANTINOS KARDARASdX=π∈IhidPi=hdF，dP idC。

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2022-6-25 07:36:32

此外，kdF kdC=Pi∈IhidCijhj=d[X，X]适用于X的二次变化[X，X]。直接的逆向工程表明，我们可以将被积函数的类R（C）描述为F的集合≡ （Fi；i）∈ 一）假定的二次变分过程r·kdF kdCis具有有限值的有限变分过程。正是为了这样的F∈ R（C）随机积分XF=R·hdF，dP-idCis很好地定义并满足It^o等距[XF，XF]=R·kdF-kdC。仔细地整理细节，当我是一个任意索引集时，上述讨论就扩展了。一开始，积分增量hdF、dzidcf或聚合协变量过程sf≡ （Fi；i）∈ 一）仅涉及与有限子集J的集成积分器的I，有剩余的“坐标”（Fi；I∈ 然后，通过适当的自然近似，定义了一般的随机积分。更准确地说：（1）首先，构建空间R（C），仅使用定义1.1中的随机聚合核C作为输入。为了确保避免可测量性问题，施工是“从头开始”的，其灵感来自于通过有限维近似定义一般RKH的方式，而不是抽象地作为前希尔伯特空间的完成。第1节对此进行了详细说明，附录A.（2）中给出了常规rkHs的某些先决条件。其次，在连续局部鞅P=（Pi；i）的情况下∈ 一），由P cia Cij生成的cg=[π，Pj]，（I，j）∈ I×I，我们通过映射S（P）建立了空间R（C）和S（P）的双射（和原子同构） X 7→（[X，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）。

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2022-6-25 07:36:34

本材料构成第2节的前半部分。（3）第三，我们研究了映射S（P）的程度 X 7→ （[X，Pi]；i∈ （一）∈当P是连续半鞅的集合时，R（C）在R（C）和S（P）之间形成一个双射，Doob-Meyer分解Pi=Ai+Mi，i∈ 一、其中A≡（Ai；i）∈ 一）是有限变化的连续过程≡ （Mi；i∈ 一）是连续的局部鞅。主要观点是，结构条件∈R（C）对于S（P）来说既是必要的也是有效的 X 7→ （[X，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）至bea双射；S（P）的完整操作特性是可能的。这是在第2节的后半部分，以定理2.3告终。上述方法具有教学上的益处：它不需要有限维随机分析的知识，而是利用人们熟知的有限维积分理论，通过自然近似构建随机积分。RIM中使用的局部几何与一维欧氏空间最为接近：然而，应该注意的是，巴拿赫值随机过程理论既优雅又强大，有助于对随机分析有更深入的理解，尽管目前关于随机积分的方法并不严格要求这方面的知识。无限维随机积分和数学金融5RKH被赋予了内积结构，从而形成了一种拓扑结构，其中评价函数 x 7→ xi∈ RIA对每个i连续∈ 一、而从有限维欧几里德空间中收集的直觉通常不会有陷阱。数学金融应用。资产数量有限的模型在数学金融领域得到了广泛的考虑，通常涉及（没有）套利、完整性和优化问题。

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2022-6-25 07:36:37

在所谓的大型金融市场的背景下，【KK94、KK98】中的前限额研究了无套利的情况，以及【DDGP05】中的后限额，其中讨论了资产单位可数模型中的套期保值和效用最大化，S拓扑起到了突出的作用。固定收益市场的理论模型涉及一系列的零息票债券，按其到期日进行指数化。在[HJM92]中，贴现债券价格的鞅性质通过一个明确连接远期利率漂移和协方差结构的条件来表征。在[BDMKR97]中，提出了债券市场交易的一个版本，使用度量值被积函数，以适应到期的连续性；即便如此，所得到的积分类也可能不是S-闭的，而使用了近似完全性等概念来规避这一事实。尽管有这些效果，但对于任意数量资产的模型，还没有像有限资产案例中的理论那样令人满意的统一处理方法；一个值得注意的例外是[CKT16]，它对具有资产完整性的市场进行了更抽象的处理，其中重新强调了S拓扑的重要性，但没有对财富过程类别进行具体的操作描述。利用目前的随机积分构造，数学金融理论的基础结果进行了必要的修改。首先，P的有限变差漂移过程集合属于空间R（C）的结构条件，允许我们用积分器R（C）来表征随机积分，这是确保（一种形式的）市场生存能力的确切必要和有效条件。

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2022-6-25 07:36:40

在之前的文献中，康乃馨的生存能力条件有多个，如[KK 94]中的第一类无套利，[Kab97]中的条件“BK”，以及[KK07]中的无界有界风险的无界利润。它弱于[DS94]中没有免费午餐且风险消失的条件；事实上，最薄弱的概念，连同随机积分类S（P）的S-闭性，允许证明其他基本结果，如可选的d分解定理和h边对偶。这些结果反过来允许应用[KS99、KS03]和[Mos15]的抽象结果来解决效用最大化问题。我们在第3节中演示了如何执行该计划，并证明了基本原理3.3，将市场可行性、局部鞅的存在和结构条件与∈ R（C），可选分解定理3.6及其结果，对冲对偶定理3.9，以及涉及6 CONSTANTINOS-KARDARAScompleteness的第二基本定理3.11。在§3.7中，我们通过专门研究希思·贾罗·莫顿债券市场的背景，举例说明了该理论是如何应用的。我们在这里只考虑s路径资产价格，因为当可能出现跳跃时，有限资产市场的理论变得更加微妙。事实上，【CKT16，第6节】中的一个有启发性的例子表明，即使没有免费午餐，风险消失的强烈条件也只能确保市场上存在超级鞅（但不一定是局部鞅）衰减因子。与[DS94]、[TS14]和[KKS16]中的固定资产情况相反，我们不能期望基本定理3.3的类似情况成立。符号时间将在R中不断演变+≡ [0, ∞). 所有随机元素将在过滤概率空间中定义(Ohm, F（·），P），其中F（·）=（F（t）；t型∈ R+是一个正确的连续过滤，P a概率为(Ohm, F），其中F≡Wt公司∈R+F（t）。

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2022-6-25 07:36:44

除非另有明确提及，否则随机变量之间的所有关系都被理解为在P-a.e.意义上成立，而随机过程之间的所有关系都被理解为在P-Evans集合之外成立。我们用FV表示紧致时间间隔上有限变量的所有自适应右连续标量过程B的集合，其中B（0）=0。此外，MLOC将表示上所有局部鞅的集合(Ohm, F（·），P）。集S由上的所有半鞅组成(Ohm, F（·），P），即可以分解为FV和Mloc元素之和的过程。前面集合（如cFV、CMLOC和cS）前面的限定符“c”表示由具有连续路径的过程组成的相应子集合。对于指数集I中的任意非空，我们将Fin（I）（分别，Cou（I））写入具有有限基数（分别，最多可数）的I的所有非空子集的集合。每当D是一组给定的进程时，Di将表示formD的进程集合≡ （Di；i）∈ 一）使用Di∈ D代表所有i∈ 一、我们强调，DIare的元素认为simplyas是来自D的标量过程的集合，而不是RI值过程。这一观点消除了潜在的可测量性问题，这些问题可能是由于将不可计数的多个过程聚合为单个过程而导致的，而无需假设ind ex set I.1上的任何结构。随机聚合再生核希尔伯特空间以下概念是整个部分的核心。定义1.1。

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2022-6-25 07:36:46

A集合C≡ （Cij；（i，j）∈ I×I）∈ cFVI×Iof适应的有限变化的连续过程将被称为I×I上的随机聚合核，if，对于每个固定对（I，j）∈ I×I，Cij=Cjiholds，以及（1.1）X（I，j）∈J×Jzi（Cij（t）- Cij（s））zj≥ 0，对于0≤ s≤ t、 J∈ Fin（I）和（zi；I）∈ J）∈ RJ。无限维随机积分和数学金融7这种随机聚合核C的性质可以通过“微分”过程dC在I×I上的核集合中取值的要求进行正式描述，如附录a开头所述。然而，已经出现了一个特定的技术问题，从指数s et I不可数的可能性来看。对于每个固定对（i，j）∈ I×I，过程Cijand和cji具有有限变化的连续路径，过程等式cj=cji位于一个可能依赖于（I，j）的消失集之外∈ I×I.我们并不坚持这种过程平等应该同时适用于所有人（I，j）∈ I×I；虽然su-chequality对于（最多）可数I是可能的，但对于我们的目的来说，当I是不可数的时候，它要求的太多了，而且是不必要的。积极的不确定性也是如此：对于fixedj∈ Fin（I），可以改变过程（Cij；（I，j）∈ J×J），同时获得所有（zi；i）的（1.1）∈ J）∈ RJ和0≤ s≤ t；但总的来说，不可能使这些等式同时对所有有限子集J有效∈ Fin（一）。要始终牢记的随机聚合核的典型示例是由集合P生成的≡ （Pi；i∈ 一）关于连续半鞅，via（1.2）Cij··=[π，Pj]，（I，j）∈ I×I.1.1。随机聚合rkHs：单位指数集案例。对于§1.1的目的，我们假设集合I具有有限的基数。

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2022-6-25 07:36:49

我们遵循附录第A节和setCIj··=（Cij；i）中类似的符号约定∈ （一）∈ cFVI，j∈ 一、我们将与给定随机聚合核C相关的随机聚合rkHs R（C）定义为定义1.1中的所有过程F的集合≡ （Fi；i）∈ （一）∈ cfv形式（1.3）F=Z·Xj∈Iθj（t）dCIj（t），即Fi=Z·Xj∈Iθj（t）dCij（t），I∈ 一、对于可预测的过程θ≡ （θi；i∈ 一）满足可积条件（1.4）ZTkdF（t）kdC（t）··=ZTX（I，j）∈I×IθI（t）dCij（t）θj（t）<∞, T∈ R+。该条件（1.4）尤其意味着（1.3）中的F定义良好；因为，无论如何∈ R+和i∈ 一、平等中的柯西-施瓦兹Xj公司∈Iθj（t）dCij（t）≤sCii（T）ZTkdF（T）kdC（T）<∞.为了理解（1.4）中对r·kdF（t）kdC（t）的定义，让我们注意（1.3）的读数为dF=Pj∈IθjdCIj。鉴于§A.1中的符号，可将其正式改写为8 CONSTANTINOS KARDARASas d F∈ R（dC）并再次正式领导tokdF kdC=Xi∈IθidFi=X（I，j）∈I×IθidCijθj，表示（1.4）中符号的不同版本。备注1.2（费率说明）。方程（1.3）、（1.4）可以根据内核速率更严格地编写，从而将上述形式上的考虑放在坚实的基础上。我们现在将解释这需要什么。确定连续不减损O··=Pi∈ICii。

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2022-6-25 07:36:52

（由于此处假设I具有完整性，因此O具有完整性。）然后，存在可预测的c：Ohm ×R+→ RI×Isuch thatCij=Z·cij（t）dO（t），（i，j）∈ I×I.注意，c（ω，t）是I上的正定义核，在可预测的全（P O） -测量；设置c≡ 在前一个可预测集的补集上，我们可以假设c（ω，t）对于每一个（ω，t）是I上的正定义核∈ Ohm ×R+。用above符号，给出了（1.4）readsZT的可积条件X（i，j）∈I×IθI（t）cij（t）θj（t）dO（t）<∞, T∈ R+。此外，cIj=（cIj；i∈ 一）对于j∈ 一、定义可预测的RI值过程f··=Pj∈Iθjcij通过与（A.2）的类比，我们简洁地将（1.3）中考虑的过程写成F=R·F（t）dO（t），并注意kfkc=P（I，j）∈I×Iθicijθj.再次正式地，我们将这个等式表示为kdF kdC=P（I，j）∈I×IθidCijθj=kfkcdO。鉴于所有这些，处理器r·kdF（t）kdC（t）∈ （1.4）becomesZ·kdF（t）kdC（t）的cFV≡Z·X（i，j）∈I×IθI（t）dCij（t）θj（t）=Z·kf（t）kc（t）dO（t）。上述符号比（1.3）、（1.4）中的紧凑和暗示符号更为严格，但也更为复杂；对于本节的其余部分，我们将使用更简单的符号。

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2022-6-25 07:36:55

让我们也注意到，当我潜在地（不可数地）处于有限状态时，这样一个支配世界的过程甚至可能不存在；我们将使用附录A.3中的概念，以确定（1.10）中的随机骨料rkHs R（C）。带F∈ R（C）如（1.3）所示，H=（Hi；i∈ （一）∈ R（C），Hi=R·Pj∈Iηj（t）dCij（t），I∈ 一、我们还介绍了过程Z·hdF（t），dH（t）idC（t）··=Z·X（I，j）∈I×IθI（t）dCij（t）ηj（t），（1.5）无限维随机积分和数学金融9并注意到R·kdF（t）kdC（t）=R·hdF（t），dF（t）idC（t）对于F∈ R（C）按照（1.4）的方式。根据定义，R·kdCIj（t）kdC（t）=Cjj，因此∈ R（C）对每个j保持不变∈ 我此外，很容易验证身份（1.6）Fj=Z·hdCIj（t），d F（t）idC（t），F∈ R（C），j∈ 一、这是附录中repr-oducing内核属性的随机聚合版本。1.2. 有限指数案例的替代表示。我们继续假设I是一个非空的基数指数集。正如§A.4的备注A.4中所述，这里还有（1.3）、（1.4）中过程的随机聚合rkHs R（C）的替代表示f。

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2022-6-25 07:36:58

也就是说，我们将与每一个给定的F≡ （Fi；i）∈ （一）∈ cFVIa非减量处理·kdF（t）kdC（t）；那么R（C）是所有这些过程F的集合∈ cFVI，其中，kdF（t）kdC（t）的价值是确定的。形式上，这是这样做的：我们通过类比（A.3）定义可预测过程θF；n··=dC+nXi∈我| dFi | idRI！-1dF，F≡ （Fi；i）∈ （一）∈ cFVI，n∈ N、与（A.3）唯一不同的是乘法因子pi∈I | dFi |在表达式dC+（1/n）Pi中∈I | dFi | idRI；这是为了确保dF始终在后一种矩阵差异的范围内。我们引入了一种不减损的，∞]-有值进程r·kdF（t）kdC（t）viaZTkdF（t）kdC（t）≡ 画→∞↑ZT公司θF；n（t），d F（t）RI，T∈ R+。考虑到这一点，我们确定了随机骨料rkHs R（C）asR（C）≡F∈ cFVI公司ZTkdF（t）kdC（t）<∞, T∈ R+.实际上，检查给定的过程F∈ 当且仅当条件（1.3）对某个可预测θ成立时，CFVi属于上述等式右侧的集合≡ θf满足（1.4）。事实上，再类比引理A.1，这样一个过程的一个选项是（1.7）θF=limn→∞θF；n=limn→∞dC+（1/n）Xi∈我| dFi | idRI！-1dF。我们注意到一个过程F∈ 由于各种原因，cFVIcan不属于随机聚合rkHs R（C）。首先，变化过程r·Pi∈I | dFi |可能无法将idRIin（A.3）与任何严格的正常数绝对相乘，这将导致在A部分的静态设置中产生完全相同的发展。相反，idRIbyPi的相乘∈由于我们正在处理的动态设置，dFi在这里变得很重要；也就是说，我们需要确保，在时间上局部θF；由于我们没有先验地假设（Fi；i）的组成部分∈ 一）相对于O.10 CONSTANTINOS KARDARAScontinuous，绝对连续，参见备注1.2。

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2022-6-25 07:37:01

其次，即使F=R·F（t）dO（t）保持适当的可预测F≡ （fi；i）∈ 一），可能会发生{f∈ R（c）}={kf-kc<∞} 未满（P O） -测量。最后，即使F=R·F（t）dO（t）成立且{kf kc<∞} hasfull（P O） -度量，很可能Kfkc在某个紧凑的时间间隔内，不能与O，P-a.e.平方可积。1.3. 关于非减损过程的离题。在§1.4中，我们将§1.1–1.2的材料扩展到一般ind ex集合。我们需要一些关于非减损过程的事实；现在介绍这些。对于任意两个非减量的过程，尽管不一定是右连续的，但Φ和ψ的值为(-∞, ∞], 我们写Φ Ψ <==> Φ ≤ ψ和ψ- Φ在{Φ<∞}.我们用FV表示所有过程的类别Φ∈ FV为非负且不递减，即带Φ 0; 此外，cFV是FV所有元素的类有连续的路径。引理1.3。Let（λ，≤) 是有向集，且（Φλ；λ∈ ∧是cFV中的过程集合使λ 每当λ时，Φu保持不变≤ u和ess supλ∈∧Φλ（T）<∞ 保持f或所有T∈ R+。xi在cFV中有一个流程, 用wλ表示∈∧Φλ，使得∧λ∈∧Φλ（T）=ess supλ∈∧Φλ（T），T∈ R+，以及一个非减损序列（λn；n∈ N） in∧带limn→∞Φλn=\\uλ∈ΛΦλ.这里，相对于顺序尤其是，（Φλn；n∈ N）收敛于两λ∈在紧时间间隔上∧∧λ一致。证据对于所有T∈ R+，定义ψ（T）··=ess supλ∈∧Φλ（T）。此时，（ψ（T）；T∈ R+）是一个简单的非负随机变量集合，没有任何路径连续性属性。鉴于（λ，≤) 是有向集且（ψλ；λ∈ ∧）is-mon otone我们推断∈ R＋非减量序列（λT，n；n）的存在性∈ N）在∧中，使limn→∞ΦλT，n（T）=ψ（T），其中收敛性是单调的。

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2022-6-25 07:37:04

自∧起，≤) 是一个定向集，我们可以归纳地定义一个非减量序列（λn；n∈ N） in∧，性质为λk，N≤ λ对于所有k∈ N、 N个∈ N带k≤ n、然后，再次使用（λ，≤) 是有向集且（ψλ；λ∈ ∧）is -mon otone，我们有limn→∞对于所有k，Φλn（k）=ψ（k）∈ N、自（λN；N）∈ N）是的-单调，存在ψ∈ cFV使limn→∞Φλn=eψ，其中该过程收敛为-单调的，因此在紧凑的时间间隔上是一致的。我们只需要证明ψ（T）=eψ（T）对每个T都成立∈ R+。无限维随机积分与数学金融11Clear，eψ（T）≤ ψ（T）每T保持一次∈ R+，我们已经知道eψ（k）=ψ（k）对每k都有f∈ N、修复任意T∈ R+，然后选择k∈ N带T≤ k、在（λT，n；n）处调用th∈ N）是∧中递减序列的N，这样limn→∞ΦλT，n（T）=ψ（T）。Let（uT，n；n∈ N）是∧中的非减量序列，使得λT，N≤ uT，与非λn≤ uT，所有n的nholds∈ N当然，我们还有limn→∞ΦuT，n（T）=ψ（T）。自λn ΦuT，n，由此得出ΦuT，n（T）-Φλn（T）≤ ΦuT，n（k）-Φλn（k）适用于所有n∈ N、取极限后，我们得到ψ（T）-eψ（T）≤ ψ（k）-eψ（k）=0；这给出了ψ（T）≤eψ（T），并完成参数。备注1.4。在引理1.3陈述的符号中，假设T>0的存在，使得P[ess supλ∈∧Φλ（T）=∞] > 然后，很容易推断出一个非减量序列的存在性（λn；n∈ N） in∧，使得P[limn→∞Φλn（T）=∞] > 0，其中后一个概率表达式中的限制为非减量。1.4. rkHs的随机模拟：一般情况。如附录A所示，对于任意给定的非空索引集I，我们使用Fin（I）和Cou（I）分别表示I的所有有限子集和可数子集的集合。

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nandehutu2022

2022-6-25 07:37:07

我们确定了随机聚合核≡ （Cij；（i，j）∈ I×I）∈ 定义1.1中的cFVI×Ias。对于任何进程集合F=FI≡ （Fi；i）∈ （一）∈ cFVI和任何给定子集J 一、我们让FJ≡ （Fi；i）∈ J）∈ cFVJ。过程z·kdFJ（t）kdCJJ（t），J∈ 然后按照§1.2定义Fin（I）；鉴于（A.8），我们正式（1.8）J∈ Fin（I），Q∈ 带J的翅片（I） Q==> KDFJKDJJ≤ kdFQkdCQQ。实际上，这个不等式成立是因为，形式上，kdFJkdCJJis再次表示正交R（dCQQ）的平方范数-dFQon R（dCQQ；J）的投影；我们再次回顾§A.1中的符号。根据§1.1中对这些数量的正确定义，并回顾§1.3的说明，我们得出了严格且精确的比较版本（1.8），如下所示：（1.9）Z·kdFJ（t）kdCJJ（t）Z·kdFQ（t）kdCQQ（t），J Q∈ Fin（一）。通过与引理A.3和备注A.4的类比，我们现在将与给定随机骨料K nel C相关的随机骨料KH定义为过程（1.10）R（C）··=（F）的集合∈ cFVI公司ess supJ∈财务（I）ZTkdFJ（t）kdCJJ（t）<∞, T∈ R+。该空间将容纳扩展随机积分的累积协变量，我们将在下一节中构造关于集合P=（Pi；i）的扩展随机积分∈ 一）连续半鞅。这些被积函数的“内部”协变量Cij=[Pi，Pj]，如（1.2）所示，将由定义1.1.12的随机聚合核C表示。CONSTANTINOS KARDARASWe现在认为是一个任意元素F≡ （Fi；i）∈ 一）在刚刚定义的随机骨料rk Hs R（C）中。

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可人4

2022-6-25 07:37:10

鉴于引理1.3，以及配备通常集合包含顺序的Fin（I）是一个有序集合的事实，比较（1.9）意味着“本质上确界”过程可以通过（1.11）Z·kdF（t）kdC（t）·=\\u J∈Fin（I）Z·kdFJ（t）kdCJJ（t）。此外，存在一个非减量序列（Jn；n∈ N）在Fin（I）中，使得（1.12）Z·kdF（t）kdC（t）=limn→∞Z·kdFJn（t）kdCJnJn（t），其中最后一个进程收敛为-单调。如果I最多为有限可数，则（1.12）适用于任何非减量序列（Jn；n∈ N）在Fin（I）中，带有∈NJn=I.对于任何最终su bset J∈ 带j的翅片（I）∈ J、我们有一个标识：yR·kdCJj（t）kdCJj（t）=Cjj；因此，CIj∈ R（C）和z·kdCIj（t）kdC（t）=Cjj，j∈ 我想。此外，对于F∈ R（C）和H∈ R（C），我们使用极化来定义z·hdF（t），dH（t）idC（t）=Z·kd（F+H）（t）kdC（t）-Z·kd（F- H）（t）kdC（t）.一个简单的近似论证表明，r E生成内核关系（1.6）再次有效。最后，对于F∈ R（C）和H∈ R（C），我们有·hdF（t）、dH（t）idC（t）≤sZ·kdF（t）kdC（t）sZ·kdH（t）kdC（t）。备注1.5。假设索引集I可以被赋予一个拓扑，该拓扑允许可数的密度子集Q，并且存在O∈ cFV公司当性质cj=Z·cij（t）dO（t）时，（i，j）∈ I×I.此处c：(Ohm ×R+×（I×I）→ R是a（P B（I×I））-可测量的随机场，对于（P O） -a.e.（ω，t）∈ Ohm ×R+，c（ω，t）是I×I上的核，具有以下性质：o（cij（ω，t）；我∈ （一）∈ 对于每个j，R（c（ω，t））在I的拓扑中是连续的∈ 一、 o每一个我∈ 一、存在一个开集J（ω，t，I） I与supj∈J（ω，t，i）cjj（ω，t）<∞.（例如，请注意，当I最多是可数的并且被赋予离散拓扑时，这些属性总是成立的。

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2022-6-25 07:37:13

在§3.7中，我们将看到一个带有不可数I.）的示例。然后，参考附录中的备注A.6，可以直接检查给定的≡ （Fi；i）∈ （一）∈ 当且仅当有限维随机积分和数学金融13表示F=R·F（t）dO（t）对某些（P B（I））-可测量的f：(Ohm ×R+×I→ R与f（ω，t）∈ （P）的R（c（ω，t）） O） -a.e.（ω，t）∈ Ohm ×R+，和ZTKF（t）kc（t）dO（t）<∞, P-a.e。，T∈ R+。备注1.6（独立布朗情形）。设I为任意索引集。对于任何J∈ Cou（I），定义l由y组成的Hilbert空间≡ （yj；j∈ J）与propertyPj∈J | yj|<∞. 我们装备了这个空间lj与内积h·、·ilJde定义viahy，zilJ=Xj∈Jyjzj，y=（yj；j∈ J）∈ lJ、 z=（zj；J∈ J）∈ lJ、假设Cii（t）=t，t∈ R+，适用于所有i∈ 一、和Cij≡ 0每当我 i 6=j∈ 一、这种特殊性对应于由一组独立布朗运动生成的I上的连续正定义随机核。在这种情况下，很容易理解为≡ （Fi；i）∈ （一）∈ R（C）当且仅当存在J∈ 可以这样做吗？Fi≡ 0表示i∈ 我；o存在族fJ≡ （fj；j∈ J）使用rtkfj（t）k的可预测过程lJdt<∞对于所有T∈ R+，所有j的Fj=R·Fj（t）dt∈ J、当随机聚合核的结构比刚才描述的“独立布朗”核更复杂时，如（1.10）所示的空间R（C）的意义在于取代了l核具有rkHs结构的空间表示v ia dC。1.5. 限制和预测。J的空间R（CJJ）我是通过考虑元素对J的限制来定义的。然后，类似于引理A.3和备注A.4，F∈ R（C）在d仅在FJ时成立∈ R（CJJ）h适用于所有J∈ Cou（一）。

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2022-6-25 07:37:16

在这种情况下，存在SQ≡ Q（F）∈ 可以证明过程等式Z·kdF（t）kdC（t）=Z·kdFQ（t）kdCQQ（t）是有效的。实际上，在（1.12）的符号中，Q=Sn∈新泽西州。对于J∈ Fin（I），mapp ingR（CJJ）Z·Xj∈JθJ（t）dCJj（t）7→Z·Xj∈JθJ（t）dCIj（t）∈ R（C）是内射的，我们称R（C；J）为它的象。这样，R（CJJ）与R（C；J）等距；上一个映射的倒数只是R（C；J） F 7级→ FJ公司∈ R（CJJ）。14康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯2。连续半鞅任意集合的随机积分2.1。连续半鞅拓扑。在紧致时间间隔上有限第一变量的自适应和右连续标量过程集FV上，我们定义了次可加函数·FV：FV→ [0，1]通过（2.1）BFV··=Xk∈N-kEP公司1.∧Zk | dB（t）|, B∈ FV。我们还考虑了平移不变度量FV×FV生成的拓扑（A、B）7→ B- A.FV。在这种拓扑中的收敛相当于在紧区间上总变差概率的收敛。回想一下，cS表示所有连续体的类，标量半鞅X≡ B+L，X（0）=0。此处X≡ B+L表示X的Doob-Meyer分解，即B的和∈ cFV和L∈ cMloc。我们引入了一个次可加泛函·cS：cS→ [0，1]通过十、cS··=BFV+ll【L，L】1/2mmFV，X≡ B+L∈ 反恐精英。cS拓扑，由平移不变度量cS×cS生成（X，Z）7→ Z- 十、CSC可以被视为与['E79]的半鞅拓扑（所谓的局部版本）一致，仅限于连续半鞅。从现在起，我们将推出一系列P≡ （Pi；i∈ （一）∈ csi和writePi=Ai+Mi，i∈ 一、其中A≡ （Ai；i）∈ （一）∈ C和M≡ （Mi；i∈ （一）∈ cMIloc。

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能者818

2022-6-25 07:37:18

然后我们确定C≡ （Cij；（i，j）∈I×I）∈ cFVI×Ivia Cij··=【Pi，Pj】=【Mi，Mj】，（i，j）∈ I×I如（1.2）所示。对于P≡ （Pi；i∈ （一）∈ cSI，我们将用S（P）表示所有随机积分集的cS闭包，这些随机积分集可以仅使用P的有限个分量作为积分器，并通过使用简单的可预测积分器来形成。当I具有有限基数时，S（P）与所有S-tochastic积分的集合重合，这些积分可以使用P作为积分器，通过使用向量随机积分形成；有关最后一项索赔的证明，请参见['E79]。2.2. 路线图。为了搭建舞台并引入一些主要演员，让我们对即将到来的事情进行一点预览。我们最终将在§2.5中建立必要和充分的条件，在此条件下，一方面空间S（P）与另一方面的随机聚合rkHs R（C）（1.10）之间存在双射。这些空间中的第一个空间是关于连续半鞅集合P的“扩展s-ToCastic积分”≡ （Pi；i∈ 一），而第二个空间将容纳该理论的“可容许扩展被积函数”，即这些扩展随机积分与积分器的累积协变量（Pi；I∈ 一）。无限维随机积分和数学金融所需的精确结构条件15这个双射出现在定理2.3中：漂移过程A≡ （Ai；i）∈ 一） P的值必须属于随机聚合rkHs R（C）。我们还将看到，当这样的双射存在时，dR（C）配备有m度量R（C）×R（C）（F，H）7→ H- F（2.2）的R（C）FR（C）·=&&Z·kdF（t）kdC（t）1/2\'\'FV，F∈ 如（1.11）和（2.1）所示，空间S（P）实际上与R（C）同构。这一特征将允许WUS在命题2.2中纯粹从累积协变量的角度来描述s et s（P）。2.3.

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2022-6-25 07:37:21

连续局部鞅的同构。为了获得扩展随机积分的空间S（P）和（1.10）的随机集合rkHs R（C）彼此相等的确切结构条件，我们考虑了以下情况：≡ （Pi；i∈ （一）∈ CSI是连续局部鞅的集合。然后，我们将使用另一种更具启发性的符号M≡ （Mi；i∈ 一）代替P，取Mi（0）=0表示所有I∈ 我不失概括性。召回随机聚合核≡ （Cij；（i，j）∈ I×I）通过Cij定义··=（I，j）的[Mi，Mj]∈ I×I如（1.2）所示。有限基数的指数集。我们首先假设I是一个非空有限集。正如我们已经注意到的，S（M）与所有局部鞅的集合相一致，这些局部鞅从零开始，是关于M的随机积分∈ S（M），并写入L=R·Pi∈IθI（t）dMi（t），其中向量过程的分量θ≡ （θi；i∈ 一）可预测且满足局部可积条件（2.3）ZTX（I，j）∈I×IθI（t）dCij（t）θj（t）<∞, T∈ R+。该条件对于定义L是必要的，因为（2.3）等式【L，L】（T）中的数量必须是有限的。F··=（[L，Mi]；i）∈ （一）∈ cFVI，（2.3）中的数量等于rtkdf（t）kdC（t），因此等于F∈ R（C）。此外，给定任意两个局部鞅∈ S（M），N∈ S（M）带（[L，Mi]；i）∈ 一） =（[N，Mi]；I∈ 一），并用F表示∈ R（C）这个公共值，我们注意到- N、 L- N]=[L，L]+[N，N]- 2[L，N]=0保持恒等式[L，L]=[N，N]=[L，N]=R·kdF（t）kdC（t）的光。我们的结论是，这个家庭（[L，Mi]；i∈ 一）属于R（C），并且得到的映射（2.4）S（M） L 7→ （[L，Mi]；i∈ （一）∈ R（C）是一对一。我们认为（2.4）的映射也在双射上。

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2022-6-25 07:37:24

要了解这一点，我们将随机收集F≡ （Fi；i）∈ （一）∈ R（C），在（1.7）中定义了可预测的过程θFas，16 CONSTANTINOS Kardaras注意到Fi=R·Pnj=1θFj（t）dCij（t）表示i∈ I和ZTX（I，j）∈I×IθFi（t）dCij（t）θFj（t）=ZTkdF（t）kdC（t）<∞, T∈ R+。这个可积条件意味着过程（2.5）MF··=Z·Xi∈IθFi（t）dMi（t）是空间S（M）的一个定义良好的元素，即对于所有I∈ 一、二次变化（2.6）MF，MF=Z·kdF（t）kdC（t）。因为，通常，dMF=Pi∈IθFidMi=hdF，dMidC，我们建议写下，（2.7）MF=Z·hdF（t），dM（t）idC（t），F∈ R（C），用于MF∈ S（M）in（2.5）。常规索引集。现在，我们将之前的讨论（适用于有限指数集）扩展到空指数集I上的任意n。首要任务是再次确保映射s（M） L 7→ （[L，Mi]；i∈ （一）∈ cfvii实际上是R（C）值的。我们陈述并证明为稍强一点的陈述，以备日后使用。引理2.1。对于任何半鞅Z，它认为（[Z，Mi]；i）∈ （一）∈ R（C）。证据如果L表示Z的唯一定义的连续局部鞅部分，则th en[Z，Mi]=[L，Mi]适用于所有i∈ 一、因此，我们可以并且将假定Z∈ cMloc。设F··=（[Z，Mi]；i）∈ 一）。对于任何给定的有限子集J∈ Fin（I），let N≡ Nj表示S（MJ）的唯一元素 S（M），对于所有j，Fj=【N，Mj】∈ J（此类N存在于渡边谷田分解）。根据之前处理的有限指数案例，我们得出z·kdFJ（t）kdCJJ（t）=[N，N]≤ [Z，Z]。但从（1.10）可以看出，rtkdf（t）kdC（t）≤ [Z，Z]（T）<∞ 每T保持∈ R+，建立F∈ R（C）。引理2.1表明（2.4）的映射在我们的新环境中也得到了很好的定义。下面的Weargue，就像在有限指数的情况下一样，这个映射实际上是一个双射。

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2022-6-25 07:37:27

该结果未正式说明；它将包含在下面更一般的定理2.3中。无限维随机积分和数学金融17（2.4）中双射性的证明。首先，我们认为（2.4）中的m ap ping是一对一的。假设∈ S（M）和N∈ S（M）是这样的（[L，Mi]；i∈ 一） =（[N，Mi]；I∈ 一）保留和调用∈ R（C）该公共值。对于任何J∈ Fin（I），设LJand和NJbe分别是L和N的S（MJ）上的K unita Watanabe分解中的唯一元素，并注意[LJ，MJ]=[L，MJ]=Fj=[N，MJ]=[NJ，MJ]，j∈ J、通过对有限指数集情况的讨论，可以得出LJ=NJ。然后可以选择一个公共的非减量序列（Jn；n∈ N）在Fin（I）中，带有propertylimn→∞↓L- LJn，L- LJn公司= 0=极限→∞↓N- NJn，N-新泽西州,其中，L=N紧随其后，表明映射（2.4）是一对一的。我们进一步认为（2.4）的映射也在上。我们从给定的F开始∈ R（C），andlet（Jn；n∈ N）是Fin（I）中的序列，以便（1.12）保持不变。自Gn··=FJn起∈ R（CJnJn），我们可以定义MGnJn∈ cS（MJn）适用于所有n∈ N、用（2.5）表示。此时，过程等距图（2.6）、（1.12）表示MGnJn；n∈ N是Cauchy，单位为cS（M）；让MF··=cS限制→∞MGnJn公司∈ S（M），我们在当前的上下文中得到（2.6）；也就是说，（2.8）MF，MF=Z·kdF（t）kdC（t）。我们声称MF，Mi= Fiholds for all i∈ 一、为此，我们定义了一个任意索引∈ I和，对于每个n∈ N、设Qn=Jn∪ {i} 。自Hn··=FQn起∈ R（CQnQn），它认为MHNQN∈ cS（MQn），适用于所有n∈ N、用（2.5）表示。因为（1.12）适用于（Jn；n∈ N）和Jn HN适用于所有n∈ N、 cS limn立即发布→∞MHnQn=MF；因为我∈ Qn，我们有密歇根州MHnQn= Fifor全部n∈ N、 so【MF，Mi】=最终结果成立。但我∈ 我是武断的，所以事实上（[MF，Mi]；我∈ 一） =F，表明（2.4）的映射实际上是一个双射。2.4.

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2022-6-25 07:37:30

连续半鞅结构条件下的随机积分。现在让我们回到一般集合P≡ （Pi；i∈ （一）∈ cSIof连续半鞅，并回忆其协变结构C≡ （Cij；（i，j）∈ I×I）如（1.2）所示。根据引理2.1，映射g cS（P） Z 7→ （[Z，Pi]；i∈ 一）取R（C）中的值。我们在§2.3中看到映射（2.9）S（P） Z 7-→ （[Z，Pi]；i∈ （一）∈ 当a≡ 下面的定理2.3指出，这种双射性在更一般的结构条件A下是有效的∈ R（C）；更重要的是，这个条件实际上等价于（2.9）中的映射是双射的。我们从一个中间但重要的结构结果开始，在条件A下∈ R（C），扩展随机积分空间cS（P）的精确描述。18 CONSTANTINOS KARDARASIn根据（2.7），并根据§2.3中的讨论，我们设定（2.10）MF≡Z·hdF（t），dM（t）idC（t），F∈ 工艺MF的R（C）∈ S（米）对于所有i，由[MF，Pi]=[MF，Mi]=Fi唯一确定的cmloc∈ 一、提案2.2。在结构条件A下∈ R（C），扩展随机积分的空间S（P）允许表示（2.11）S（P）=Z·hdF（t）、dA（t）idC（t）+Z·hdF（t）、dM（t）idC（t）F∈ R（C）.上面，我们使用（1.5）和（2.10）的符号。证据首先假设我是有限的。让Z∈ S（P）并写入Z=R·hθ（t），dP（t）iRI，其中θ≡ （θj；j∈ 一）必须满足（2.3），以及RT | hθ（t），dA（t）iRI |<∞, 对于所有T∈ R+。设置F··=（[Z，Pi]；i∈ 一） =R·Pj∈Iθj（t）dCIj（t），假设A∈ R（C），我们得到Z·| hθ（t），dA（t）iRI |=Z·hdF（t）、dA（t）idC（t）≤sZ·kdF（t）kdC（t）sZ·kdA（t）kdC（t），其中最后一个过程的价值是确定的。

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2022-6-25 07:37:33

特别地，局部可积条件（2.3）是定义随机积分r·hθ（t），dP（t）的必要条件和有效条件；然后，建立了Z=Z·hθ（t）、dA（t）iRI+Z·hθ（t）、dM（t）iRI=Z·hdF（t）、dA（t）idC（t）+hdF（t）、dM（t）idC（t）和（2.11）。现在我们放弃了I的有限基数假设。我们从定义Z开始∈ S（P），并设置F··=（[Z，Pi]；i∈ 一）。考虑序列（Jn；n∈ N） in-Fin（I）和（Zn；N）∈ N）在cS中，使Zn∈ S（PJn）适用于所有n∈ N、和cS limn→∞Zn=Z。对于每个n∈ N、 letFn··=（[锌，π]；i∈ 一）。给定渡边Kunita分解MA=MAJn+Nn，对于所有n，Nn与S（MJn）中的局部鞅强正交∈ N、因此，z·hdFnJn（t），d AJn（t）idCJnJn（t）=最惠国待遇，主要=最惠国待遇，MA=Z·hdFn（t），d A（t）idC（t）。因此，刚刚建立的覆盖有限指数集的结果给出了szn=Z·hdFn（t），d A（t）idC（t）+Z·hdFn（t），d M（t）idC（t），n∈ N、无限维随机积分与数学金融→∞Zn=Z表示P-limn→∞[锌- Z、锌- Z] （T）=0表示所有T∈ R、和alsosince[Zn- Z、锌-Z] =R·kdFn（t）- dF（t）kdC（t），我们得到Z=Z·hdF（t），dA（t）idC（t）+Z·hdF（t），dM（t）idC（t）。因此，S（P）包含在（2.11）右侧的集合中。相反，从任何给定的F开始∈ R（C）。定义R（C）的子集R（C；Fin），如（1.3）所示，但用一些任意有限子集J替换I∈ Fin（I），以及（1.4）中的适当可积条件；然后，在（2.2）诱导的热度下，R（C；Fin）在R（C）中是稠密的。CONSIDER a序列（Fn；n∈ N）在R（C；Fin）中，使R（C）limn→∞Fn=F。然后，用Zn··=Z·hdFn（t），da（t）idC（t）+Z·hdFn（t），dm（t）idC（t），我们得到了Zn∈ S（P）在有限指数情况下，以及Cs-limn→∞Zn=Z·hdF（t），dA（t）idC（t）+Z·hdF（t），dM（t）idC（t）如下所示。

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2022-6-25 07:37:36

因此，（2.11）右侧的集合包含在S（P）中，并且屋顶是完整的。2.5. 连续半鞅的同构与结构条件。根据命题2.2，在结构条件下∈ R（C），（2.9）的映射是一个双射，其中的逆由R（C）给出 F 7级-→Z·hdF（t）、dA（t）idC（t）+Z·hdF（t）、dM（t）idC（t）∈ S（P）。让我们回顾一下cS limn→∞Ln=L∞序列保持（Ln；n∈ N）在S（M）中，当且仅当我们有limn→∞[L∞-Ln，L∞-Ln]（T）=0表示所有T∈ R+。这一事实与过程等距（2.8）一起表明，当R（C）具有（2.2）的度量时，S（M）和R（C）是度量同构的。下一个定理相当大程度地概括了这些观察结果。结合命题2.2，它提供了我们关于随机积分与连续半鞅的任意族（可能是不可数的有限族）的主要结果。定理2.3。下列语句是等价的：（1）映射S（P） Z 7→ （[Z，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）是一个双射。（2） A∈ R（C）。在这些等价条件下，扩展随机积分的空间S（P）允许出现（2.11），并且在拓扑上同构于（1.10）的随机聚合rkHs R（C）。20康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯·普洛夫。我们只需要确定含义（1）=> （2）关于S（P）和R（C）之间拓扑同构的主张；在定理2.3的陈述之前，其他一切都已经讨论过了。

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