如果多个投标人同时选择退出t，没有留下任何剩余，则该项目将被分配给在t退出的投标人中的一个，该投标人统一随机选择，并支付价格t。一旦投标人检查，他们将立即退出，如果当前价格超过其实现价值，否则当价格达到其实现价值时，他们将下跌。（这是通过颤抖的手或主导的策略来实现的。）所有投标人都是对称的，并且具有以下值分布：v=概率为0.50的概率。所有投标人的成本c等于E v- L=PM-L.履约价格可由p（M）计算- σ） =c，因此σ=L2p。（注意，只要σ>L，该计算就正确，这是正确的，因为p<0.5。）特别是，设置M=pand L=p和取p将满足我们的目的→ 然而，各种参数范围也会给出结果。证据分两部分进行。首先，我们证明，在e平衡中，没有投标人要等到时间L之后才能进行检查。直觉上，这将随之而来，因为无论哪一个投标人最后检查，都会得到负的预期值（价格e超过他们的预期收益），从而导致一个解。其次，我们证明，如果所有投标人在时间L之前检查a和/或下降，福利就不会很高。直觉上，这与同时发生的第二个价格案例几乎相同，因为投标人没有关于谁发现或未能找到黑天鹅的信息。对于证明的第一部分，假设我们处于一个均衡状态，并且有一个博弈的实现，在这个博弈中，价格达到了某个t>lw（k）≥ 1.尚未进行检查的投标人。我们通过归纳剩余投标者的数量来证明，所有投标者对这个结果都有负的预期效用，给出了矛盾。

我们将使用的一个关键声明（稍后将予以证明）是：(*) 给anyk≥ 1.如果最后k个投标人同时检查，则他们都具有负预期性。特别是，如果我是唯一剩下的投标人；然后她的预期效用是v- C- t<ev- C- L≤ 0，所以是负数。现在假设有k≥ 2个剩余投标人，且存在一些投标人j正在检查的非零可能性。我们声称，等待到任何更晚的时间t′>tOact对所有其他i6=j都是严格控制的。如果j在t′之前下降，那么就有k- 1剩余投标人和归纳假设均具有负预期性。如果没有投标人在t′之前下降，则在t′下降的效用不会高于在t′，在t′检查的效用也不会高于在t。因此，所有投标人响应最好的唯一可能情况是，他们总是在t时刻同时检查；在这种情况下，索赔（*) 都有负的预期效用。因此，在eq-uilibrium中，任何时间t>L都不会进行检查：因此，以等于L的时间为条件，严格控制在决定检查或放弃之前等待更长的时间。我们现在证明索赔（*), 这取决于我们对M、L和p的选择（尽管有很多选择就足够了）。上面讨论了k=1的情况，所以让k≥ 2.ny-one投标人i的预期效用上限如下所示。投标人i始终支付检验成本c。如果任何其他投标人j 6=i发现一只黑天鹅（vj=M），则i的净收益为零。否则，如果我找到了黑天鹅，我就会- t（其中t是当前时间，因此是赢家将支付的价格）。否则（所以没有人，包括我在内，找到一只黑天鹅），我有1/k的机会最后退出，因此我将付出代价t并获得她的价值。我们将下限t除以L，因为这只会降低她获胜时我付出的代价，因此只会增加她的效用。

这允许我们放弃我以值vi=L获胜的情况，因为该值以支付的价格取消。综合这些观察结果，效用<（1- p） k-1.p（M）- 五十） +k- P(-L）- c=（1）- p） k-1.p（M）- L）-Lk- P- pM+L。请注意，严格的不一致性是由t<L得出的。特别是，如果在t>L时中标的单个投标人尚未被检查，那么插入k=1的效用是严格负的。下一步，利用效用界对k的导数，我们得到=（1）- p） k-1ln（1- p）p（M）- L）-Lk- P+ (1 - p） k-1Lk- P= (1 - p） k-1.L- Pk+kln1- P- p（M）- 五十） ln1- P≤ L- P1+ln1- P- p（M）- 五十） ln1- pusing发现这个表达在k和k中减少≥ 1.我们现在可以使用一些粗略的界限，尤其是p<和ln1-P≥ p、 可以说，效用界的导数最多是≤ L- p（M）- L）≤ 0例如，如果我们取M=pand L=p。这确保了界的导数总是负的，因此界在k中减少。但是k=1的界效用已经是0，因此所有k的效用都是负的。这完整地证明了索赔(*).对于证明的第二部分，我们现在知道，在平衡状态下，所有检查都发生在时间L或之前。我们可以使用与第二个pricecase类似的策略。设x为均衡检查的预期投标人数量。因为每个检查的投标人都有+p机会vi6=0，所以vi6=0的投标人的预期数量正好是x+ P. 我们声称，条件是我检查并发现vi6=0，此时处于平衡状态≤ 五十、 vi=M的概率等于p/+ P独立于其他一切。这是因为在时间L之前，情况vi=M和vi=L都是不可识别的（我总是呆在家里）。因此，考虑到k个投标人检查并发现vi6=0，他们中没有一个拥有Vi=M的概率是准确的1.-p+pK

因此，在一个游戏的实现中，e^x投标者检查其中的一个，k他们发现vi6=0，预期福利是最大的-1.-p+pk！+L- ^x·c.现在，使用1- Y≥ E-y/（1）-y） 对于y<1，让y=p+p（这里，y/（1））- y） =2p。）≤ M1.- E-2个+ L- ^x·c.现在，我们用x来表示预期的检查次数，因此x=E^x。同时，使用1- E-xis是凸函数和ek=x的约束+ P, 我们得到的预期福利是在莫斯特M1.- E-2个+L-x·c≤ M1.- E-2p E k+L-x·c=M1.- E-x（p+2p）+L-把这个界限写得更粗略些，可以简化这个证明的说明1.- E-xp- x·c+o（σ）。这不会改变结论，因为最优福利接近σ。这种简化之所以成立，首先是因为→ 在我们的例子中，0和2项的影响可以忽略不计；第二，最优福利是σ，L=2pσ=o（σ），所以加法L不会改变福利率。在同时的第二个价格案例中，我们可以最大化这个表达式的总x。回想一下c=p（M- σ); 最大值出现在σ=M（1）时- E-px），orx=pln1-σM.索厄尔法雷≤ σ - （M）- σ） ln1-σM+o（σ），而随着投标人数量的不同，最优福利接近sσ。为了看到这一点，请注意，最佳福利是最大覆盖呼叫值κi=min{vi，σ}；有足够多的投标人，几乎可以肯定有些投标人有κi=σ。比例接近最优≤ 1.-Mσ- 1.ln1-σM+o（1）=1-Mσln1-σM+o（1）→ 0 asMσ→ ∞.回想一下，我们特别选择了M=pand L=p，它给出了σ=。这满足了我们对Lσ的要求→ 0和σM→ 0作为p→ 0.命题3的证明。最佳策略是，群体中的R类型依次尝试寻找黑天鹅，并且只有在R类型的所有选项值耗尽或发现黑天鹅后，才允许S类型接受该对象。

当n增长到足以使nπpRis变大时，这项政策实现了约为yvr的福利，因为在发现价值损失之前，成本必须大致支付3倍。另一方面，在R类型调查之前，a类型调查的任何政策不能实现超过（1）的福利- pS）+pSvR≈ be cause vS>vR，因此一旦成功调查了一个安全选项，该调查的成本已经降低，因此不值得调查风险选项。然而，很容易看出，在BKRS程序的任何顺序平衡中，这正是概率1的情况- π. 尤其是，卖方无法区分R和S类型，因此将首先以概率1绘制S类型-π. 这种类型将获得盈余（1- pS）-从调查她的价值和出价r成为现任，假设这导致她以概率1获胜。但它会这样做，因为任何未来的买家都会知道，如果在淘汰赛拍卖中，sheenters的出价将继续进行，至少会达到vS>vR，，抹去R型或S型在下一轮调查其价值时可能获得的任何收益。因此，BKRS程序的社会福利可以任意调整为最佳社会福利的零头。B等价理论本节展示了第4节中提供的2的证明草图。将有助于在2n名投标人的样本空间中展示证据，投标人的类型和价值共同分布如下。投标人1，n的类型{θi}ni=1根据P分布，i=n+1，2n具有覆盖的对应类型θo我-n、 值v，V2n被耦合，因此vi+n=κifor i=1，n（这种耦合是可能的，因为θi+n=θoi） 而对{（vi，vi+n）}ni=1是相互独立的。权利要求1。

针对投标人的任何策略文件k+1，k+n- 1.投标人k+n的任何最佳响应在功能上等同于标准化策略。证据由于投标人k+n可以免费检查其价值，因此其战略的每一部分在功能上等同于其在尽可能早的时间检查其价值的一部分。因此，在功能等效的前提下，投标人k+n的策略完全由一个函数b（vk+n，θk+n）描述，该函数表示她将索赔该项目的价格，因为r值为vk+n，她的类型为θk+n，并且没有其他投标人索赔该项目。此外，如果v<v′但b（v，θk+n）>b（v′，θk+n），那么b不能是对投标人k+1的策略文件的最佳响应，k+n- 1.除非两个投标书b（v，θk+n），否则b（v′，θk+n）在该策略文件中获胜的概率为零。在这种情况下，b在功能上等价于一种策略，当获胜概率为零时，该策略的出价总是为零，而后一种策略由单调非递减的出价函数表示。在下一个索赔和下一个索赔中，如果投标人k检查其价值，发现vk>σk但未索赔该项目的概率为零，我们说投标人k的策略“几乎肯定在金钱中行使”。索赔2。修正任何策略文件b-kfor投标人k+1，k+n- 1、如果bk是投标人k的任何策略，几乎肯定会在资金中使用，那么bk和λ（u（bk））在功能上是等效的。如果bk+n是投标人k+n的标准化策略，那么bk+nandu（λ（bk+n））在功能上是等效的。证据

从λ和u的定义可以清楚地看出，如果投标人k在使用策略bk时以价格t获得物品，那么k+n在使用u（bk）模拟bk时也以价格t获得物品，并且k在使用λ（u（bk））模拟u（bk）时以价格t获得物品。为了证明bk和λ（u（bk））产生功能等效的结果，我们必须证明投标人k检查策略bkif下的项目，并且只有在她检查策略λ（u（bk））下的项目时。让binspk（θk）表示投标人k在使用策略bk时检查项目的时钟值；根据我们的假设，bk几乎肯定会在货币中行使，我们知道，如果vk>σk，它总是以价格binspk（θk）索赔物品。因此，当bidde r k+n使用策略b=u（bk）模拟bk时，如果vk>σk，她必须始终以价格binspk（θk）索赔物品，回想一下，映射λ是根据函数b（v）定义的，函数b（v）规定了投标人k+n在vk+n=v时对该物品的索赔价格。当n vk>σkwe有vk+n=σk时，根据前一段中的原因，必须是b（σk）=binspk（θk）。然后，通过定义λ，可以得出当时钟值为binspk（θk）时，策略λ（b）=λ（u（bk））与bk完全相同地检查项目。这就证明了bk和λ（u（bk））在功能上是等价的。由于投标人k+n的检验成本为零，这立即意味着bk+nandu（λ（bk+n））在功能上是等效的。索赔3。修正任何策略文件b-kfor投标人k+1，k+n- 1.让bk为投标人k的任何策略，让bk+nbe为投标人k+n的任何规范化策略。由uk表示，uk+n投标人k和k+n的预期效用，我们有uk（λ（bk+n），b-k） =uk+n（bk+n，b-k） （2）英国-（k）≤ 英国+n（u（bk），b-k） 。（3） 此外，等式（3）中的等式是相等的，当且仅当BK几乎肯定在金钱中行使。

投标人k对b的最佳响应-kalmost肯定会在金钱上锻炼。证据因为我∈ {k，k+n}让Ai和Ii表示事件的指标随机变量，投标人i在荷兰拍卖会上对投标人k+1……检查其价值，k+n-1播放策略文件b-k、 让我把我付的钱记下来。我们有UK=Akvk- 艾克- tkuk+n=Ak+nvk+n- Ik+nck+n- tk+n=Akκk- TKw在这里，我们使用了Ak+n=Ak和tk+n=tk，以及vk+n=κk（通过我们对耦合的构造）和ck+n=0（通过定义所涵盖的对应物）。1现在意味着索赔中所述的所有结论，但投标人k对b的最佳响应除外-kalmost肯定会在金钱上锻炼。为了证明这一说法，我们推论如下。让你*坎杜*k+n注意投标人k和k+n在与策略文件b竞价时分别能达到的最大预期效用a-k、 等式（2）表示u*K≥ U*k+n，而等式（3）表示u*K≤ U*k+n，因此两者必须相等。此外，投标人k的任何策略，如果在金钱上几乎肯定不起作用，就无法实现等式（3）中的平等，因此肯定不能成为最佳反应。相反，投标人k的每一个最佳回应几乎肯定都会体现在金钱上。索赔4。函数λ和u在k和k+n的最佳响应函数等价类上诱导相互逆双射。首先，我们必须证明λ和u是函数等价关系的前提。

如果bk+nand b′k+nare在功能上等同于bidderk+n的标准化策略，那么λ（bk+n）和λ（b′k+n）在功能上是等效的，因为这种转换使其他投标人的行为保持不变，并且投标人k在相同的锁定值下进行检查，无论她使用的是λ（bk+n）还是λ（b′k+n）；事实上，该时钟值等于投标人k+n声称其值为σ且使用bk+或b′k+n的项目的值。如果bk和b′k在功能上等同于投标人k的策略，则u（bk）和u（b′k）在功能上等同，因为转换使其他投标人的行为保持不变。在确定了λ和u是函数等价类之间的定义良好的映射之后，我们从2中知道组成λo u等于他们在功能等价类策略集上的身份，这些策略几乎肯定会在金钱上发挥作用，并且uo λ等于正规化策略的函数等价类集合上的恒等式。这两组分别包含投标人k和k+n的最佳响应集，应用1（投标人k+n）和3（投标人k）。从4中总结出2的证据，我们知道对于任何固定的策略，b-k+1，k+n-1、k和k+n的最佳响应函数等价类之间存在双射；尤其是当-krepre对投标人k+1……使用的策略进行了说明，k+n-1在荷兰拍卖的均衡中，投标人集合{k，k+1，…，k+n-1} 或者{k+1，k+2，…，k+n}。因此，在双射对应中，这两个投标集的dutchuaction的平衡点的函数e等价类是存在的。此外，这种通信保留了拍卖师的收入和每个投标人的效用，但可能的投标人k和k+n除外。

3确保这些投标人的预期效用也被保留。将k=1的平衡对应关系组合在一起，n、 我们最终获得了与投标人1，n（其类型根据P共同分布）到荷兰拍卖的均衡点，投标人n+1，2n（其类型根据P共同分布）o) 在定理陈述中断言的。C数值方法我们对我们的数值方法进行了高层次的概述，更多细节见附录F。在第5.1小节的启动校准中，我们必须在我们研究的每个场景中解决三种机制的预期问题：第一最佳、第二次价格拍卖和同步第二次价格拍卖。为此，对于每一个参数设置，我们都会重复：1。画一个{（Vi，Ci）}Ni=1.2的值。根据这些信息，为每个投标人构建一个涵盖的认购价值分布。3.使用Richard Katzwer的“AuctionSolver”软件包（Katzwer，2009）求解荷兰拍卖的均衡，以发现对称首价拍卖的均衡，投标人的价值根据预测的买入价分布。到2时，我们知道这种环境下的均衡福利等于我们环境下荷兰拍卖的均衡福利。4.使用平滑的最佳响应迭代和一些分析技巧，通过我们编写的程序求解第二次价格拍卖的均衡，我们在附录F.5中描述了该程序。

样本{（Vi，Ci，Vi，Ci）}Ni=1重复计算相应的coveredcall值，并将此信息输入到上述计算的均衡中，以获得每个机制的平均福利，因为我们将作为第一最佳（即最高的coveredcall值）。然后，我们对所有这些样本进行平均，以构建我们感兴趣的三个对象的总体蒙特卡罗估计，虽然抽样迭代的次数很小，因为每次迭代都需要一个完整的均衡解，因此在实践中，我们考虑的是每一组参数值的{（Vi，Ci）}Ni=1的平均值，而不是平均福利的精确估计。这使得我们只能得到一个重要数字的精度，因此我们报告的估计值四舍五入到这个精度。我们在附录F中提供了数值方法的更多细节。解决BKR S机构的平衡是相当复杂的，可能是Roberts和Sweeting认为设置比我们在之前的校准中更简单的原因。幸运的是，Roberts和Sweeting报告了同步二价拍卖和BKRS机制的福利，这意味着我们只需要计算第一和下降拍卖的福利。此外，由于只有两种类型的投标人，我们的上述数值方法的外循环是不必要的。因此，我们只需使用AuctionSolverand构建备兑赎回价值的分布和相应的首价拍卖均衡，然后从备兑赎回价值分布中取样，以构建荷兰拍卖下的首价福利和福利。D分机。1许多反对意见我们的论点使用了计算机制设计中关于平滑度的文献中的方法（Lucier and Borodin，2010；Roughgarden，2012；Syrgkanis，2012；Syrgkanis a and Tardos，2013；Chawla and Hartline，2013）。

这取决于显示基于每个投标人相对于均衡发挥可能产生的特定简单偏差的不平等。对于p层i，偏差策略b′i:1。采样一个随机数r∈ [e]-2，1]密度f（r）=2r。对于执行价为σ且值为v的对象，将其默认的执行价和阴影值定义为（1）- r） σ和（1）- r） 分别为v。2.当时钟值t严格大于未检查对象的最高剩余着色执行价和被检查对象的最高剩余着色执行价时，不采取任何行动。3.当t变得弱于这两个值中的任何一个时，争议解决机构将对任何已检查且具有t阴影值的对象进行索赔，如果不存在此类对象，争议解决机构将随机检查任何具有t阴影值的对象，如果其阴影值弱于t，争议解决机构将对该对象进行索赔，并以其他方式继续检查，直到所有具有t阴影值的对象均已检查。引理3。发展战略总是在金钱中发挥作用。它以价格（1）获得物品j- r） κij如果该项目仍然可用，具有非负值，且bi dder i尚未获得另一个ite m；否则，它不会获得第j项证明。通过建造，任何被检查且价值高于其罢工价格的物品都会立即被索赔，即b’总是在金钱上行使权利。通过构造，一件物品的索赔价格等于其阴影线价格和阴影值中的较小者，即（1）-r） κij。唯一阻止我以这个价格索赔j的情况是，我已经索赔了另一件物品，或者j已经卖给了另一个投标人。为了说明支持我们分析衰落时钟拍卖均衡的关键引理，我们引入以下符号。

如果b是策略文件，pi（b）表示投标人i在降序时钟拍卖中支付的价格，pj（b）表示为物品j支付的价格。最后，κi（b）表示我在降序时钟拍卖中收到的物品的覆盖价值，如果没有此类物品，则κi（b）=0；换句话说，κi（b）=Pj∈MAij（b）κij。所有这些数量都应被解释为样本空间中的随机变量，由成本、类型和价值的随机实现定义。引理4。对于任何i，j，任何战略文件b，以及所有类型和价值的任何实现，Eκi（b）-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）|{（θj，vj）}nj=1+pi（b）+pj（b）≥1.- E-2.κij。（le ft侧的条件表达式与s tr策略b′i中r的随机选择相结合）证明。偏离策略b′i的结构表明κi（b-i、 b′i）-π（b）-i、 b′i）=rκi（b-i、 b′i）逐点。当我没有收到一个项目，这是因为双方都等于零；当我收到一件物品时，因为策略b’表明我总是支付1- r乘以它所获得的项目的覆盖调用值。相应地，引理断言的不等式与r[rκi（b）等价-i、 b′i）]+pi（b）+pj（b）≥1.- E-2.κij，（4）这里我们引入了符号Er[·]作为E[·|{（θj，vj）}nj=1]的缩写。索赔5。设p（b）=max{pi（b），pj（b）}。如果在偏差策略的第一步中采样的随机数r小于1- p（b）/κi和κi（b）-i、 b′i）≥ κij。证据证据是矛盾的：如果κi（b-i、 b′i）<κi当时钟值为（1）时，我没有要求参数j- r） κij，这只能意味着当时我已经有另一个投标人申请了j项。

然而，ineq ua li tyr<1- p（b）/κ（1）- r） κij>p（b）≥ pi（b），意味着投标人i在战略文件（b）中的行为-i、 在平衡曲线b中，b′i）与她的行为无法区分，直到时钟值下降到（1）以下- r） κij。因此，以高于或等于（1）的价格索赔项目j的投标人i′6=i- r） κij当策略文件为（b-i、 当战略文件为b时，b′i）也必须这样做。这意味着pj（b）≥ (1 - r） κij，与我们的假设相反，p（b）<（1- r） κij。设ρ=p（b）/κij。5.纠正了不平等[rκi（b-i、 b′i）]≥^1-ρe-2（rκij）f（r）dr+=^1-ρe-2κijdr+=1.- E-2.- ρ+κij。（5） 如果ρ<1- E-2第1条- E-2.- ρ为正，因此我们得到[rκi（b-i、 b′i）]≥1.- E-2.κij-ρκij=1.- E-2.κij-p（b）。（6） 鉴于p（b）=max{pi（b），pj（b）}≤ pi（b）+pj（b），我们得出结论，不等式（4）在这种情况下成立。另一方面，如果ρ≥ 1.- E-2，然后p（b）≥(1 - E-2） κij，所以不等式（4）的le ft边的最后两项中至少有一项大于或等于右边。因为左边的三个术语都不是负的，所以我们看到（4）在这个例子中也成立。证据3。Cbij表示投标人i为策略文件b中的项目j支付的检验费用。ui（b）=Pj[Aij（b）vij- cbij- pij（b）]表示投标人i在战略方案b的结果中的效用。然后，在任何均衡b中，E[福利]=E“秀i（b）+pi（b）#≥ E“秀伊（b）-i、 b′i）+pi（b）#（7），因为每个i都喜欢均衡策略，而不是偏差b′i。

现在，偏离策略b’总是在货币中练习，即soE[ui（b-i、 b′i）]=E“XjAij（b-i、 b′i）vij- c（b）-i、 b′i）ij- pij（b）-i、 b′i）#= E“XjAij（b-i、 b′i）κij- pij（b）-i、 b′i）#=E[κi（b）-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）]。将其代入（7），我们得到[福利]≥ E“Xi（κi（b-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）+Xipi（b）#。投标人支付的价格之和等于物品的价格p aid之和，因此我们可以重新定义PIPI（b）a sPipi（b）+Pjpj（b），yieldin gE[福利]≥ E“Xi（κi（b-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i））+Xipi（b）+Xjpj（b）#。（8） 此时，我们定义了随机变量αi=Eκi（b）-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）|{（θj，vj）}nj=1+pi（b）βj=pj（b）并重写（8）asE[福利]≥ E“Xiαi+Xjβj#（9）4确保对于所有投标人i和项目j，不等式αi+βj≥1.- E-2.κij（10）在点方向上保持不变。对于第一个最佳政策，请定义*我和我*IJA将分别作为投标人收到项目j和我检查项目j的事件的指示人。我们从引理1中知道[First best]=XijEA.*ijvij- C*ij≤协捷A*ijκij。（11） 使用（10）和“第一最佳策略”将最多一个项目分配给每个投标人，并将最多一个投标人分配给每个项目这一事实，我们已经1.- E-2.协捷A*ijκij≤ E“XijA*ij（αi+βj）#=E“XiαiXjA*ij！#+E“XjβjXiA*ij#≤ E“Xiαi+Xjβj#（12）通过将（9）与（12）结合起来，该定理立即成立。直观地说，有两个原因导致我们获得最优福利的近似值（在相关文献中常被称为“无政府状态的代价”）在一般情况下比在单一项目情况下更差（推论2的第2点）首先，降序拍卖近似坐标的格律分配算法不是最优的，只是近似最优。

第二，对于多个项目，需要考虑更多的案例来“覆盖”偏差的潜在福利影响，因为偏差不仅可能会改变个人是否被分配对象，还可能会改变她被分配的对象。当一个人将这两种效率来源结合起来时，就会导致我们的无ZF状态代价从1降低到1-E≈ 0.63与Lucier和Borodin的平滑性证明中出现的两种情况不同（要么投标人i在设计时实现了高预期效用，要么一些投标人在均衡时支付了高价格），现在需要考虑三种情况：要么投标人i在偏离时实现了高预期效用，要么一些投标人在均衡时为项目j支付了高价格，或者我为其他均衡的物品支付高价。在单项情况下，为（1- E-2) ≈ 0.43，一般情况下，出售多个项目。然而，请注意，在多个项目的情况下，贪婪程序只能保证获得至少一半的第一最佳福利，因此，均匀下降程序的每一个平衡都至少达到了43%的第一最佳福利，这一事实可以被解释为表明，因策略行为导致的效率损失相当轻微。D.2近似回答命题5。我们给出了单项目案例的证明，并指出了如何修改证明以适用于多项目案例。让我*= arg maxiκi.对于策略文件b，让p（b）为支付的价格，letui（b）=Ai（b）[vi]-p（b）]-Ii（b）cibe i的效用。如果b是一个α-最佳响应的函数，那么≥ Ehp（b）+Xuii（b）i≥ Ehp（b）+α秀伊（b）-i、 b′i）i（13）对于任何偏差策略，{b′i}。特别是，考虑对随机变量r进行采样的混合策略b′∈ [e]-α、 1]密度f（r）=αr（与θi无关），并以价格（1）索赔- r） κii如果可以的话。

这是通过在时钟值为（1）时进行检查来实现的- r） σi在（1）提出索赔- r） vi，或者如果vi≥ σi.我们有ui（b′i）=Ai（b-i、 b′i）（κi）- p（b））=Ai（b）-i、 b′i）（rκi）≥ 0，（14）其中，第一个等式成立，因为b’总是在金钱上行使，而第二个等式成立，因为策略b’设计为总是付出代价（1）- r） κIupon赢得该项目。把（13）和（14）结合起来，让我*表示认购价值最高的投标人的身份，我们有福利≥ Ehp（b）+αui*（b）-我*, b\'i*)i=Ehp（b）+αAi*（b）-我*, b\'i*)（rκi）*)i、 （15）我们认为以下不等式适用于所有类型的概率θ和策略概率b:Ehp（b）+αAi*（b）-我*, b\'i*)（rκi）*)θ、 毕≥ (1 - E-α） κi*. （16） 由于我们同时对θ和b进行调节，剩下的唯一随机性是通过策略b′i对r进行随机抽样*, 这反过来可能会影响物品的分配和支付的价格。让p表示除我之外的投标人的价格*当我离开时，我会认领这件物品*e被排除在拍卖之外，其他投标人的策略文件为b-我*. 如果p>（1）-E-α） κi*那哎*（b）-我*, b\'i*) = 0和p（b）=p，所以不等式（16）的有效性是显而易见的。否则，设置κ=κi*为了方便起见，请注意投标人i*当且仅当（1）时赢得物品- r） κ>p，即r<1- p/κ。因此，我们有αAi*（b）-我*, b\'i*)（rκi）*)θ、 bi=α^1-p/κe-αrκf（r）dr=^1-p/κe-ακdr=κ1.- p/κ- E-α=1.- E-ακ - p、 注意到p（b）≥ 从点的角度来看，我们可以把E[p（b）|θ，b]加到左边，把p加到右边，得到不等式（16）。最后，结合不平等（15）和（16），我们发现，任何α-最佳反应的结果都能满足福利要求≥1.- E-αE[κi*].

（17） 根据引理1，它说E[κi*] 这就是命题的证明。p近似因子（1）的证明- E-2α）在多项情况下是定理3证明的一个证明。一个关键的区别是，我们只是假设b是一个α-最佳响应的函数，所以不确定性（7）必须是放松的Toe[welfality]=E“suii（b）+pi（b）#≥ E“α（b-i、 b′i）+pi（b）#。（18） 为了分析右边的数量，我们考虑每个球员的偏离策略b′ithat:1。采样一个随机数r∈ [e]-2α，1]密度f（r）=2αr。对于具有执行价格σ和值v的对象，将其类似价格和阴影值定义为（1）- r） σ和（1）- r） 分别为v。2.当时钟值t严格大于未检查对象的最高剩余着色执行价和被检查对象的最高剩余着色执行价时，不采取任何行动。3.当t变得弱于这两个值中的任何一个时，争议解决机构将对任何已检查且具有t阴影值的对象进行索赔，如果不存在此类对象，争议解决机构将随机检查任何具有t阴影值的对象，如果其阴影值弱于t，争议解决机构将对该对象进行索赔，并以其他方式继续检查，直到所有具有t阴影值的对象均已检查。在均衡战略方案b中，支撑福利分析的关键不平等是αEκi（b）-i、 b′i）- π（b）-i、 b′i）|{（θj，vj）}nj=1+pi（b）+pj（b）≥1.- E-2ακij。（19） 这个不等式的证明与引理4的证明完全平行，由于r的密度现在是f（r）=2αr而不是2R，因此进行了适当的修改。与定理3的证明相比，我们在（18）的右侧有一个α的附加因子，它与（19）左侧的α的附加因子相匹配。

这使我们能够将这两个不等式结合起来，得到所谓的近似保证，其方式与不等式（7）与引理4结合起来，得到定理M3中的近似保证的方式完全相同。D.3提案6的共同价值。让我成为成本最低的投标人。请注意，当投标人i检查commonvalue v，并在且仅在v的情况下获得物品时，才能获得最佳福利≥ 0.这意味着第一名福利等于E[v+]- ci。用w表示这个量。现在，让b是策略的任何平衡函数，让b′ibe是i的混合策略，它对随机r进行采样∈ [e，1]，密度f（r）=1/r，并在数据发送时钟位于（1）时检查项目的值v- r） w，除非物品已经被认领。检查项目并发现v≥ 0，策略b’i立即以（1）的当前价格索赔该商品- r） w.如果v<0，则b′不超过该项。所有竞买人在均衡状态下都有非负效用，竞买人i的效用不均衡至少与她在玩b′i游戏时的效用一样大，soE[福利]=E“p（b）+Xjuj（b）#≥ E[p（b）+ui（b）-i、 b′i）]。（20） 条件是投标人成本的比例c，因此唯一剩余的随机变量是项目的价值v，以及混合策略b’i中r的随机选择。我们声称E[p（b）+ui（b-i、 b′i）| c]≥1.-Ew（21）让p表示当我被排除在拍卖之外，且其他投标人的策略文件为b时，除我之外的投标人将索赔物品的价格-i、 Ifp>1.-E那么，投标人i d没有检查物品的价值，另一个投标人以p的价格赢得物品。因此，我们有p（b）+ui（b）-i、 b′i）=p>1.-Ew whichestablishes（21）。否则，我们有p≤1.-Ew和投标人i检查项目当且仅当r<1时- p/w。

请注意，以r的值为条件，并在投标人i检查项目时，她的实用程序isE[v+]- 词- ( 1 - r） w·Pr（v）≥ 0）=w- (1 - r） w·Pr（v）≥ 0) ≥ rw。通过对r的随机选择进行积分，我们得到[ui（b）]-i、 b′i）|c]=^1-p/w1/erw f（r）d r=1.-嗯-Ew=1.-EW- p、 （22）自p（b）以来≥ 我们可以把E[p（b）|c]加到（22）的左边，把p加到右边，最后得到（21），结合不等式（20）和（21）我们得到E[福利]≥1.-Ew、 如前所述。D.4可选检查命题7的证明。对于投标人i，让‘vi=E[vi|θi]表示获得给定i类型项目的预期价值，θi。对于任何程序，让我们将其网络设施表示为两项之和：wi，被检查的福利，是检查其价值的投标人的净贡献，而wu，未检查的福利，是未检查其价值的投标人的净贡献。更准确地说，wi=XiIi·[Aivi- ci]wu=Xi（1）- Ii）·vi.以实现类型的属性{θi}为条件，最大化[wi]的过程是魏茨曼的最优搜索过程，它实现了E[wi]=E[maxiκi]。使[wu]最大化的过程只是将项目分配给投标人i和最大值vi。因此*土地w*ude注意wi和wu的值对于第一最佳程序，我们有E[第一最佳]=E[w*i+w*u]≤ E[maxiκi]+E[maxi\'vi]。（23）我们声称荷兰拍卖的任何均衡都能实现[福利]≥1.-EE[maxiκi]（24）E[福利]≥1.-EE[maxi\'vi]（25）命题之后将把这两个不等式求和并与（23）结合。不等式（24）和（25）的证明使用了一个“光滑性”参数，与证明定理3和命题5和6时使用的参数非常相似。

假设bbe是一个y平衡策略，并将偏差策略b′i和b′i定义为以下混合策略：∈ [e，1]密度f（r）=1/r。在偏差b′i中，投标人i在下降时钟位于（1）时检查项目- r） σi立即提出索赔（如果vi≥ σi）或当下行时钟达到（1-r） vi.在偏差b′i中，当下行时钟达到（1）时，投标人i在未经检查的情况下获得该项目- r） “vi.注意，对于任何类型的文件{θj}，对于任何类型的文件（θ，…，θn），i′表示具有最大覆盖调用值的投标人，i′表示具有最大条件期望值的投标人。均衡福利满意度[福利]=E“p（b）+Xuii（b）#≥ E“p（b）+Xuii（b）-i、 b′i）#≥ E[p（b）+ui′（b）-（26）E[福利]=E“p（b）+suii（b）#≥ E“p（b）+Xuii（b）-i、 b′i）#≥ E[p（b）+ui′（b）-i′，b′i′）（27）其中每条直线上的第二个不等式如下所示，因为使用偏差b′i，b′i′中的任何一个的桥i的预期效用都是非负的。正如在命题6的证明中，在任何类型{θi}的证明的条件下，每一个ine性质都是[p（b）+ui′（b-i′，b′i′）{θi}]≥1.-Eκi（28）E[p（b）+ui′（b）-i、 b′\'i′）|{θi}]≥1.-E“vi（29）在点上保持不变。这两个不平等的公正性概括了命题6证明中不平等性的公正性（21），但为解释所考虑偏差的细微差异而进行的符号变化除外。把（26）和（27）与（28）和（29）结合起来，我们得到（24）和（25），由此命题。D.5公布了推论3的定价。当报价π时，每个投标人的最佳响应是检查iffπ≤ σi，并随后对物品iffπ提出索赔≤ 六、换句话说，当且仅当π时，我接受标价≤ κi。

这些策略在货币中起作用，因此顺序定价过程的福利等于赢家的预期覆盖看涨期权价值，而最优福利的上限是预期最大覆盖看涨期权价值。让Xibe得到bidder i的覆盖调用值，并注意到这些随机变量{Xi}是独立的，定理m4暗示了结果。E收入保证我们表明，在一些常见的假设下，perbidder的荷兰拍卖会在单品设置和检验成本的情况下保留了近似最优的收入。我们将依靠正文第4节的材料。我们将证明，具有每标r储备的荷兰产品仍然不受搜索成本的影响，即“功能等同于”无需检查成本的拍卖。然后，我们可以在适当的假设下，将已知结果应用于带储备的首价拍卖。定义7。荷兰拍卖的每位竞拍者的底价p{ri}Ni=1是一种销售程序，时钟从∞ 并不断减少。任何出价人可在任何时间停止时钟，结束拍卖，支付当前时钟值，并获得物品。回顾定义3：对于给定类型θi∈ Θi，它的覆盖对应物θo根据κi的分布，检验成本和价值为零。κi是θi的覆盖买入价。在我们的模型中，给定投标人的先验P，Po是覆盖副本的对应优先级。回顾定义5：如果同一投标人以相同的价格获得物品，且检验成本相同，则两个拍卖结果被称为功能等同。这被扩展到策略的功能对等和平衡。定理1。

在我们的模型中，类型根据P共同分布的荷兰式拍卖与每个投标人储备的均衡，以及每个投标人储备的德国式拍卖与覆盖的对应方分布的均衡o投标人不经检查就知道其r值。这种映射保持了投标人的预期效用和拍卖商的预期收益，并诱导了对函数等价类均衡的双射。证据确定一个投标人和其他投标人的任何策略。我们将构建（A）在荷兰拍卖中i的最佳响应与（B）在荷兰拍卖中i的最佳响应与（B）在每个投标人的储备与检查之间的映射。这将是be st Response函数等价类的一个双射，p保留投标人公用事业和开发商收入，证明定理。首先，我们将在上面设置a和（a\'）无保留和检查的Dutchuation之间构建一个双射，在这里，除我之外的投标人继续在拍卖中使用保留发挥他们的策略，我们添加了一个“保留投标人”，他总是出价。我们声称这是投标人i在a和a′之间的最佳响应的双射，原因如下。A’中的每一个试图检查或声称低风险的策略都被什么都不做所主导，因为备用投标人总是出价低风险。A\'中的所有其他策略在A中也可用，A中的所有策略在A中也可用。

此外，在这两种情况下，每种策略对i都有相同的效用，因此，将A中的策略映射到A\'中的相同策略会导致功能上等价的最佳响应之间的双射；它还保留了所有投标人的公用事业和拍卖收入。现在，考虑设置B\'，从B获得的方式与A\'从A获得的方式相同：删除保留价格并添加一个始终出价的“保留投标人”。因为这两种情况都涉及无保留的荷兰拍卖，而B\'是a\'的检查较少覆盖的对应物\'，权利要求4主张a\'中投标人i和B\'中投标人i的覆盖对应物的最佳响应函数等价类之间的双射；这种双射保留了所有投标人的公用事业和一笔额外收入。最后，我们在“B”和“B”中，在“i”的覆盖对应方的最佳响应之间构造一个双射。同样，计划在低于“B”的时间检查或索赔的“i”的任何策略都是占主导地位的，因为备用投标人总是在此时索赔该项目；allother策略与B中的策略相同，并保留所有投标人公用事业和拍卖商收入。通过组合这些双射，我们得到了A和B之间所需的双射。E.1荷兰人的收入担保人现在为荷兰人拍卖制定了一些收入担保，在标准的独立私人价值设定下，每个投标人都知道自己的价值，而不进行检查。这些将表明，在价值分配的某些假设下，拍卖获得的预期收入至少是拍卖产生的总福利的某个固定部分。这意味着预期收入至少与最佳可获得收入的比例相同。我们证明的这个独立的私有值设置的界限将立即通过定理m 1转移到具有检查成本的情况。预备赛。

与密度为f的分布相关的虚值函数是φf（x）=v-1.- F（x）F（x）。对于bidd er i，让Fide注意到她覆盖的调用值的分布，以及一个关联的虚值函数。（回想一下，覆盖买入价是κi=min{vi，σi}，是价值和履约价格的最小值。）证明近似收益最大化的一个常见假设是，每个投标人的价值分布是规则的，这意味着其相应的虚拟价值函数具有非负导数。在这里，我们假设一个关于覆盖呼叫分布的更强的参数化条件，ρ-凹。定义8。对于ρ，F是ρ-凹的≥ -1 ifdφdx≥ 1 + ρ.规律性相当于-1-凹性，而常见的单调h-azardrate假设是0-凹性。我们假设有一个ρ>-1使得每个用户的覆盖呼叫分布fi是ρ-凹的，从而获得由ρ参数化的边界。后果下面的引理在这里不是一个原创的想法，但代表了ρ-凹分布的一个常见用例，尤其是在Anderson和Renualt（2003）中。引理1。让值分布F，对于ρ>-1.设R为任何拍卖的最优预期收益，其私人价值独立于这些分布，W为最优预期福利。然后≥e+4ρ+1ρ+2W。理想情况下，通过与最优拍卖的收益进行比较，可以获得一个更好的界限。不幸的是，考虑到检查成本，我们没有更好的最优收入上限和总福利。证据请注意，Myerson拍卖的最佳可实现收入是预期的最大虚拟价值i。e、 R=e maxφi（κi）+。同时，福利是预期的最大值：E maxiκi。选择一个投标人i并fixκ的任何实现-i、 设s=φ-1i（maxj6=iφj（κj）+）。

直观地说，s是在迈尔森的拍卖中，由对手的出价引起的投标人面临的“底价”。最优拍卖的收益为eEvenue=Eκ-iRi（κ-i） （30）其中Ri（κ-i） =^∞k=sfi（k）φi（k）dk。我们现在应用Anderson和Renualt（2003）的两个界。首先，在这种单一投标人环境下，消费者剩余的上限是收入除以ρ+1。在我们的符号中，让i产生的福利为Wi（κ）-i） =\'∞k=sfi（k）kdk。ThenRi（κ-（一）≥ （ρ+1）（Wi（κ-（一）- Ri（κ-i） ）（安德森和雷努阿尔特，2003年）==> Ri（κ-（一）≥ρ+1ρ+2Wi（κ-i） 。第二，福利最优机制和收入最优机制（即“净重损失”）之间由i产生的福利差异是有界的。LettingW*i（κ）-i） =\'∞k=maxj6=iκjfi（k）kdk是第一项：W*i（κ）-（一）- Wi（κ）-（一）≤(1 + ρ)1/ρ+ρ + 2ρ + 1Ri（κ-i） （安德森和雷努阿出版社，2003年）==> W*我≤(1 + ρ)1/ρ+ 2ρ + 2ρ + 1Ri（κ-（一）≤e+4ρ+2ρ+1Ri（κ-i） 。（31）这里，如果ρ=0，那么（1+ρ）1/ρ：=e；我们使用（1+ρ）1/ρ≤eρ+2ρ+1。现在，结果是将质量从31提高到（30），从而获得收入≥e+4ρ+1ρ+2Eκ-iW*i（κ）-i） =e+4ρ+1ρ+2福利。引理2（Hartline等人（2014））。当投标者的值分布是正则分布时（包括ρ的任何ρ-凹分布）≥ -1） 第一次价格拍卖，每个投标人保留至少一部分预期收入-最佳（迈尔森的）预期收入的12倍。储量设置为每个投标人的虚拟值的倒数为零。定理2。在第一次价格拍卖的均衡中，每个投标人的储备为{φ-1i（0）}Ni=1且所有值分布在ρ>-1.预期收入至少是一部分。总福利的09ρ+1ρ+2。证据我们预期会有收入≥E- 12预期收入引理2≥E- 12ee+4ρ+1ρ+2福利引理1=e- 1e（e+4）ρ+1ρ+2福利≥ 0.09ρ+1ρ+2福利。推论4。

在检查成本的设置中，假设投标人覆盖的调用值分布为ρ-凹，表示ρ>-1并具有虚拟值函数{p hii}Ni=1。荷兰拍卖的预期收入，每位竞拍者的储备金为{φ-1i（0）}Ni=1至少是0。09ρ+1ρ+2最优预期收益的比例。证据根据定理1，收入和福利等于第一价格拍卖的收入和福利，其价值分配为覆盖的看涨期权价值。根据定理2，第一价格拍卖的收入超过了总福利的给定部分，因此荷兰拍卖的情况就是这样，其准备金和检验成本相同。最后，总体福利至少是最佳预期收入。在校准中，我们倾向于发现，当检查成本较高时，即在启动收购校准中，与同步密封投标拍卖相比，降价机制的收入有显著改善。详见下文F.4小节。对于木材销售而言，检验成本要低得多，相比第二价格或BKR S程序的改进更为温和。F校准——在本附录中，我们详细讨论了同时进行二次价格和荷兰进口的近似平衡求解方法，并提供了额外的数值结果。除非特别说明，否则下文中的所有讨论都是根据正文第2.1节的一般模式，而不是第5节中的特定公式重新制定的。首先，我们在这里描述我们的过程是一个相对较高的水平，只强调了一般经济理论家可能感兴趣的因素。然后我们描述了我们校准的一些额外结果。

最后，我们将详细介绍我们的方法，这些方法可用于从头开始复制我们的方法。F.1同步第二优先级我们在这里的讨论对应于我们在附录C中描述的伪算法的第4步。我们关注的是均衡，在任何决策点，当代理人拥有绝对主导的真实策略时，他们采用这种策略，因为Bergemann和V"alim"aki（2002）表明，这会在同步设置中导致最佳可能结果。特别是，任何检查其价值的投标人都会选择对该价值进行投标，而任何选择不检查其价值的投标人都会对其预期从被授予标的物vi中获得的价值进行投标≡ Eθi[vi]- ci。接下来要注意的是，a）由于检验下成本增加的概率严格高于非检验，因此当ci=0检验的更高固定θi，b）弱优势检验和c）forci=∞ 不检查占微弱优势。因此，对于θi的任何值，都有一个唯一的临界值ci（θi），因此≤ ci（θi）将检查，而ci>ci（θi）的将不检查。一个给定的策略会导致i的出价分布，i的累积分布函数我们称之为Gi。在确定我的最佳响应时，一个充分的统计数据是最高竞价的分布，称之为bmax-imade由投标人分配，由{Gj}Nj=1确定。让G-ibe这个变量的累积分布函数，让g-ibe的密度（我们现在假设存在）。

检查的回报是^∞vi=0^vibmax-i=0（vi）- B-i） f（vi）g-i（b）-i） 分贝-idvi- cIAN不检查的回报是^vibmax-i=0（~vi）- B-i） g-i（b）-i） 分贝-i、 我们可以通过简单地找到cit的值来求解forci，该值等于θi的任何给定值的这两个表达式。鉴于这些事实，我们迭代地采取以下步骤，从biddribution{Gi}Ni=1开始，其中每个投标人真实地出价。我们在θi的可能值网格上计算保持成本sci（θi）的最佳响应集。然后在可能出价s的网格上计算诱导的最佳响应分布gbi。我们通过Gi（x）=（1）更新出价分布- λ） Gi（x）+λGbri（x），其中λ∈ （0,1）是一个平滑参数。然后，我们对投标人i+1重复上述步骤，以N为界。一旦达到a p近似固定点，我们停止并返回近似平衡策略{ci}Ni=1。F.2荷兰拍卖我们在这里的讨论对应于附录C中描述的伪算法的第5步。拍卖解算器将多个投标人和每个投标人的d值分布函数作为输入，这些函数可以用许多常见的数学函数来描述，并返回一组近似平衡投标函数，每个投标人一个。因此，为了利用他的代码，我们必须使用可以用AuctionSolver允许的数学函数表达的函数来近似覆盖调用值的分布。对数正态分布似乎在我们的规范中提供了非常接近的结果，除了非常低的值，这是不相关的，因为所有平衡量都是一阶和二阶统计量的函数。

因此，我们使用最小二乘非线性拟合函数，将对数正态累积分布函数拟合为每个投标人的（θi，ci）分布中的大量样本所产生的覆盖调用值的经验累积分布函数。然后，我们将这些对数正态分布输入AuctionSolver（允许使用必要的数学函数），并为每个投标人返回相应的投标函数。F.3评估福利我们在这里的讨论对应于附录C中描述的伪算法的第6步。有了这些平衡，我们绘制了大量{（θi，ci）}Ni=1的样本。对于每个样本：1。为了计算同时二次价格拍卖的福利，我们直接通过第F小节中计算的均衡运行样本。在上面1中，计算所有检验费用和最高投标人的价值，并在两者之间取净，称之为该样本中的福利。2.为了计算荷兰拍卖的福利，我们从（θi，ci）计算每个投标人的覆盖赎回价值，方法是使用定义1求解履约价格，使用均衡函数，确定最高投标人，然后在该样本中计算其覆盖赎回价值。3.为了计算第一最佳福利，我们遵循与Dutchuation相同的程序，但只是使用最高的覆盖通话价值，而不是确定赢家。在木材校准中，我们使用他们的代码确定同步二次价格导入和BKRS机制的福利。F.4额外结果收入。在校准方面，我们倾向于在启动收购校准中发现荷兰拍卖的收入有显著提高。对此的一种解释来自这样一个事实：正如我们很快讨论的那样，在拍卖会上，在投标之前会进行更多的检查。