非均匀介质Choquet积分的联合公理化

2022-5-11 03:04:24

异类积集Choquet积分的联合公理化Mikhail TimoninMarch 28，2018Abstracts我们提出了异类积集X=X×。×Xn。在MCDA中，X元素被解释为备选方案，其特征是标准取集合Xi中的值。对于X=yn和X=Rn的特殊情况，之前已经给出了Choquet积分的公理化。然而，在多标准的背景下，标准的这种相同性，因此共通性，不能被先验地假定。这构成了本文与早期公理化的主要区别。特别是，“共单调性”的概念不能用于异质结构，因为集合XiandXj的元素之间不存在“内置”顺序。然而，这种顺序是由表示模型隐含的。我们的方法不假定标准的共通性。我们构造了表示并研究了它的唯一性。1简介Choquet积分广泛应用于决策分析，尤其是MCDAGrabisch和Labreuche[2008]，尽管由于方法学问题和实际实施中的困难，其使用仍然受到一定限制。等级依赖模型首次出现在公理化决策理论中，以回应对萨维奇的理性研究的批评萨维奇[1954]。著名的埃尔斯伯格悖论埃尔斯伯格[1961]表明，人们可以违反萨维奇的公理，仍然认为自己的行为是理性的。第一个解释这种悖论中观察到的所谓不确定性厌恶的模型出现在20世纪80年代的奎金[1982]等人的著作中（参见Wakker[1991b]的综述）。

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2022-5-11 03:04:27

Schmeidler Schmeidler[1989]对期望效用模型（EU）的一个特殊推广是Choquet期望效用（CEU），其中概率被非加性集合函数（称为容量）取代，积分使用Choquet积分进行。自Schmeidler的论文发表以来，同一模型的不同版本已在文献中得到描述（例如Gilboa[1987]，Wakker[1991a]）。CEU在理论和应用经济学文献中都取得了一些进展，主要用于分析涉及奈特不确定性的问题。同时，多属性效用理论（MAUT）Keeney和Raiffa[1976]采用了秩相关模型，特别是Choquet积分。在这里，由于非加性度量在这种情况下的可处理性，积分得到了普及（参见Grabisch和Labreuche[2008]的综述）。该模型允许各种优先现象，如标准相互作用，这在传统的加性模型中是不可能反映的。MAUT和不确定性下的决策之间的联系早已为人所知。在状态数为有限的情况下（下文假设），状态可与标准相关联。因此，行动符合多种标准和备选方案。最后，每个州的结果集可以与标准值集相关联。然而，这最后一个转变并非微不足道。人们通常认为，世界上每个州的结果都是相同的，Savage[1954]，Schmeidler[1989]。在多标准决策中，情况正好相反。事实上，考虑消费者选择汽车的偏好。每辆车都有许多特点（标准），比如颜色、最高速度、油耗、舒适度等。

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2022-5-11 03:04:30

显然，每个标准所采用的值集可能与其他标准完全不同。在这种情况下，排名相关模型的排名阶段（在不确定性决策中涉及比较在不同状态下获得的结果）将相当于比较颜色与燃油消耗水平，以及最大速度与舒适度。事实上，传统的加性模型Debreu[1959]，Krantz et al[1971]只意味着捆绑商品之间单位的有意义的可比性，而不是它们的绝对水平。然而，在等级相关模型中，这种可比性似乎是一个必要条件。本文提出了Choquet积分模型的一个表示定理。二元关系<定义在异构产品集X=X×。×Xn。在多准则决策分析（MCDA）中，集合X的元素被解释为备选方案，其特征是标准从集合Xi中取值。对于X=Yn（参见K¨obberling and Wakker[2003]中的方法综述）和X=Rn（参见Grabisch and Labreuche[2008]中的综述）的特殊情况，已经给出了Choquet积分模型的先前公理化。一个相关的结果是Sugeno积分模型最近的公理化（Greco等人[2004]，Bouyssou等人[2009]）。Labreuche[2012]提出了另一种使用效用函数条件的方法。一般X情形下Choquet积分的“联合”公理化是文献中的一个公开问题。与先前公理化的关键区别在于，“共单调性”的概念不能用于异构情况，因为集合Xi的元素之间不存在有意义的“内置”顺序。

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2022-5-11 03:04:33

为此，必须引入新的公理和证明技术的修改。我们的第一个公理粗略地展示了如何根据加法表示存在所需的性质将集合X划分为子集。我们介绍的公理（A3）类似于之前用于描述最小/最大值和Sugeno积分的“二级”条件（Greco等人[2004]，Bouyssou等人[2009]）。A每点z∈ 对于每对坐标i，j，X∈ N可以建立两个“矩形锥体”——一个由XI的点组成，比Zi“大”，另一个由Xj的点组成，比zj“小”。该公理表明，<受限于i，j的三重相消必须至少保持在其中一个圆锥体上。这允许通过使用不同对i、j的此类圆锥的交集将X划分为子集。第二个特性是，不同子集上的加法表示是相互关联的，尤其是标准值之间的“权衡”在相同维度内和不同维度内的分区元素之间是一致的。这由两个公理（A4，A5）反映出来，类似于Wakker[1991a]和Krantz等人[1971]中使用的公理（第8.2节）。粗略地说，一种说法是三重相消适用于子集，而另一种说法是，当区间通过等价关系投影到另一个维度上时，任何维度上的区间顺序都必须保持。这些公理由一个称为双独立性（A6）和弱可分性（A2）的新条件（Bouyssou et al.[2009]）进行补充，这两个条件共同反映了积分的单调性，以及标准的本质性、“共单调”阿基米德公理和限制可解性（A7、A8、A9）。最后，<被认为是一个弱序（A1），X是序密的。2 MCDADe定义中的Choquet积分1。设N={1。

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2022-5-11 03:04:36

. . , n} 成为一个固定的集合，2个它的能量集合。能力（非加性测度，模糊测度）是一个集合函数ν：2N→ R+这样：1。ν() = 0;2.A B=> ν（A）≤ ν（B），A、 B∈ 2N。在本文中，还假设容量是标准化的，即ν（N）=1。定义2。函数f:N的Choquet积分→ 关于容量的R，则定义为asC（ν，f）=∞Zν（{i∈ N:f（一）≥ r} ）dr+Z-∞[ν（{i∈ N:f（一）≥ r} )- 1] dr表示f:N的范围e→ R作为{f，…，fn}，定义可以写成：C（ν，（f，…，fn））=nXi=1（f（i）- f（i）-1））ν（{j）∈ N:fj≥ 其中f（1），f（n）是f，fnf（1）≤ f（2）≤ · · · ≤ f（n）和f（0）=0。关于容量分析，最有用的工具之一就是所谓的M¨obius变换。这是容量的线性变换，由m（a）=XB给出A(-1） |A\\B |ν（B）。Choquet积分可以用M¨obiustransform系数写成一种非常方便的形式：C（ν，f）=XA∈纳米（A）迷你∈A（fi）.2.1 modelLet<是集合X=X×。×Xn。, , 4.~, 6.~ 以通常的方式定义。在MCDA中，集合X的元素被解释为由集合N={1，…，N}中的标准表征的替代方案。设置Xicontains准则i的准则值。如果存在容量ν和函数fi:Xi，我们说<可以用Choquet积分表示→ R、称为值函数，例如：x<y<==> C（ν，（f（x），fn（xn））≥ C（ν，（f（y），fn（yn））。从Choquet积分的定义中可以看出，它的计算涉及相互比较fi。目前尚不清楚该操作在MCDA决策框架中有何意义。

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kedemingshi

2022-5-11 03:04:40

众所周知，在加性模型Krantz等人[1971]中，直接比较各种属性的值函数是没有意义的（回想一下，每个值函数的起源可以独立地改变）。在同质情况下，这个问题很容易解决，因为我们有一组“结果”Y（在不确定性决策的背景下）。所需顺序要么假设为给定的Wakker[1991b]，要么很容易从“常数”动作（y，…，y）Wakker[1991a]的顺序中推导出来。因为只有一个“结果”集合，所以我们也只有一个值函数U:Y→ R、因此，比较U（yi）和U（yj）是完全合理的，因为U代表集合Y上的顺序。这些方法都不适用于异构情况。2.2 Choquet积分的性质下面给出了Choquet积分的一些重要性质：1。函数f:N→ R和g:N→ 如果没有i，j，R是共单调的∈ N保持sf（i）>f（j）和g（i）<g（j）。对于所有的共单调f，Choquet积分简化为通常的Lebesgue积分。在有限的情况下，积分相应地减少为加权和。2.Choquet积分的特殊情况（例如Grabisch和Labreuche[2008]）如果m（{1}）=m（{n}）=1，然后C（ν，（f，…，fn））=max（f，…，fn）如果m（N）=1，m（A）=0，a6=N，那么C（ν，（f，…，fn））=min（f，…，fn）如果m（A）=0，则所有A N:|A |≥ 2，那么C（ν，（f，…，fn））=Pi∈Nν（{i}）fiProperty 1表示集合X可以被划分为与值函数的特定顺序相对应的子集。有n！这样的场景。因为每一个集合的积分都被化为一个加权和，即。

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2022-5-11 03:04:43

作为加法表示，我们应该期望加法联合模型的许多公理在这个子集上有效。这就是下一节给出的几个公理背后的直觉。3公理和定义3。考虑到我，j∈ N、关于X×。Xnsatis fies ij三重取消（ij-3C），如果适用于所有ai、bi、ci、di∈ Xi、pj、qj、rj、sj∈ Xj和所有z-ij∈ 十、-ijz:aipjz-ij4-biqjz-ijairjz-ij<bisjz-ijcipjz-ij<diqjz-ij=> cirjz-ij<disjz-ij。A1-弱序这是一个软弱的秩序。A2-弱可分性。尽管如此，如果-我比克斯-如果是人工智能，比∈ Xi，x-我∈ 十、-i、真的-我是比伊-不管怎样-我∈ 十、-i、注意，由此可知，对于任何ai，bi∈ xiaix-我是比克斯-ior bix-我知道-ifor all x-我∈ 十、-i、这允许引入以下定义：定义4。对于所有ai，bi∈ 氧化物含量<ias ai<ibi<==> 艾克斯-我是比克斯-ifor all x-我∈十、-i、定义5。对于任何一个z∈ X定义SEzij={xixjz-ij∈ X:xi<izi，zj<jxj}，nwzij={xixjz}-ij∈ X:zi<ixi，xj<jzj}。A3-协调订购完整性。对于任何一个z∈ 十、而我，j∈ N、 ij triplecancellation适用于SEzijor和NWzij。这个新属性将允许我们将X划分为子集，而无需使用共单调性的通知。我们可以介绍以下二元关系：定义6。我们写：1。如果ij三重取消在集合SEzij上保持，则为Rzj。2.i Szj if[非j Rzi]。3。如果[i Rzj和j Rzi]。请注意，Rzis是完整的（这就是为什么我们将axiom A3称为“坐标顺序完整性”），而Szi是部分的。因为N是有限的，所以只有有限数量的各种偏序Sz，所以我们可以对它们进行索引（Sa，Sb，…）不需要的时候，把上面的字母去掉。此外，每一部分订单都偷偷地定义了相应的RK-i Rkj if[NOT j Ski]。与具有两个变量的情况相比，仅此属性不足以构造表示。

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2022-5-11 03:04:46

比较不同属性的值函数表明了某种传递性。例如，fi（xi）>fj（xj）和fj（xj）>fk（xk）意味着fi（xi）>fk（xk）。我们引入的属性较弱——它是非循环的。如果它对于所有z都为空，那么其他的一个函数就意味着存在一个关于XA3-酰基-坐标序无环性的加法表示。尽管如此，z∈ 十、这是非循环的。换句话说，我Szj Sz。Szk=> 我是Rzk。这个公理有效地定义了集合X的划分方式。Choquetintegral表示法必须存在。我们还介绍了以下概念：定义7。定义SEijas是以下三个集合的结合：o所有z∈ X使得i Rzj，如果z不是最大值，而zjis不是最小值都是z∈ 这样Zi是最大的，对于无xj，yj∈ Xj:zj<jxj<jyjj我们有Rxjz-ji而不是j Ryjz-吉都是z∈ 这样，兹吉斯米尼马尔和无xi，易∈ Xi:yi<ixi<iziwe h avej Rxiz-而不是杰里兹-二、将NWIJA定义为以下三个集合的联合体：o所有z∈ X使得j Rzi，如果zjis不是最大值，zi不是最小值都是z∈ 这样Zi最小，没有xj，yj∈ Xj:yj<jxj<jzjwe havei Rxjz-jj而不是我Ryjz-jj；o都是z∈ X s uch that zjis max and for no xi，yi∈ Xi:zi<ixi<iyiwe havei Rxiz-而不是我-ij。最大点和最小点的存在使Seijand NWij的定义变得非常复杂，因为在这些点上，一些集SEzijand NWzijbecome退化，条件3C ij微不足道。如果集合xind Xjdo不包含最小或最大点，我们可以在每个定义中删除相应的条件，并简单地声明seij={z:i Rzj}和NWij={z:j Rzi}。偏序集合X的边定义子集如下。定义8。我们写XSi=T（k，j）：k RijSEkjIt众所周知，笛卡尔积上存在加法表示的有效性质是强独立性Krantz等人[1971]。

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2022-5-11 03:04:49

在X=yn的情况下，Choquet积分之前是使用协单调强独立性（或协单调交换一致性Wakker[1991a]）公理化的。在本文中，我们将使用setsXSito公式来表示类似的条件。定义9。我们说我∈ N在A上是必不可少的如果存在xix-i、 yix-我∈ A、这样一来，xix-我 yix-i、 A4-协调内贸易-一致性Aix-i4 biy-iaiw-我喜欢做生意-icix-我喜欢自己动手-我=> ciw-我是迪兹-i、前提是：a）存在XSjsuch，该aix-i、比伊-i、哎呀-i、生意-i、 cix-i、 diy-i、 ciw-i、迪兹-我∈ XSjb）存在XSj，XSksuch-i、比伊-i、哎呀-i、生意-我∈ XSj，我在XSj和cix上是必不可少的-i、 diy-i、 ciw-i、迪兹-我∈ XSk，或；c）存在XSj，XSK，比如aix-i、比伊-i、 cix-i、 diy-我∈ XSj，我对XSj很重要，还有aiw-i、生意-i、 ciw-i、迪兹-我∈ XSk。非正式地说，该公理的含义是，偏好差异（“间隔”）之间的顺序是保持不变的，而不考虑用于测量它们的“测量杆”。然而，与加法情况相反，这并不适用于所有X，而是仅当所有四个关系中涉及的所有点都位于同一个“3C集”XSj中，或者两个关系中涉及的点位于一个此类集中，而其他两个关系中涉及的点位于另一个此类集中时。A5-协调间贸易一致性Aix-i4 biy-icix-i<diy-艾伊-我~ 项目-杰比-我~ qjx-杰西-我~ rjx-伊迪-我~ sjx-jpje-j<qjf-J=> rje-j<sjf-适用于所有aix-i、比伊-i、 cix-i、 diy-我∈ XSj提供的i在XSj上是必不可少的，好吗-i、比伊-i、 ciy-i、 diy-我∈ XSk，pjx-j、 qjx-j、 rjx-j、 sjx-J∈ XSLJ在XSl、pje中是必不可少的-j、 qjf-j、 rje-j、 sjf-J∈ XSm。A5的形式陈述相当复杂，但它只是意味着“间隔”的理论顺序在各个维度上都得到了保留。连同A4，这些条件类似于Wakker的交易一致性条件Wakker[1991b]。

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kedemingshi

2022-5-11 03:04:53

Theaxiom与Krantz等人[1971]第8.2.6节中的公理5（兼容性）有更大的相似性。粗略地说，如果Cian和Dii之间的“间隔”比Ai和bi之间的“间隔”大，那么通过等价关系将这些间隔“投射”到另一个维度必须保持这个顺序不变。此外，我们还要求区间和“投影”的比较保持一致——这意味着语句每个部分的每四个点都属于同一个XSi。这个公理的另一个版本经常用于证明，可以用标准序列（引理15）来表示。A6-Bi独立性-i、比克斯-i、 cix-i、迪克斯-我∈ XSiand aix-我比克斯-i、如果是为了我-我∈ 十、-我有-我自己动手做-i、然后是cix-我迪克斯-如果我∈ N.这个公理类似于Wakker[1991b]中的“强单调性”。我们在A.2节中分析了它的必要性及其背后的直觉。A7-必要性X上的所有坐标都是必要的。A8-如果aix-i<y<bix-i、然后存在c:cix-我~ 福里∈ N.A9-阿基米德公理某些XSi定义中包含的每个有界标准序列，并且在只有一个基本坐标的情况下，存在XSi的可数阶稠密子集。最后，我们可以引入相互作用坐标的概念。定义10。如果z存在，坐标i和j相互作用∈ 十、这样我就Szj或者Szi了。我们称之为集合a N一个互动集团，如果每个i，j∈ 我们可以建立一个坐标i，k，j、这样链中的每两个后续坐标都相互作用。交互派系在表征的唯一性中起着重要作用。在下文中，我们将只考虑最大可能规模的派系，除非另有规定。3.1附加假设作出以下附加假设。

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2022-5-11 03:04:56

下面将解释每种方法背后的原因。一般来说，代表性的构建不需要它们。沿尺寸标注“折叠”等效点。不，我∈ N和no-ai，bi∈ 锡克斯-我~ 比克斯-ifor all x-我∈ 十、-i、如果这不是真的，我们可以让值函数将相同的值分配给同一集中的几个点Xi。然而，为了简化我们排除这种情况的事情，一旦构建了表示，就可以很容易地重构它。密集我们假设我∈ N、每当aix-我比克斯-i、存在ci∈ 那是aix吗-我 cix-我比克斯-i（X是有序稠密的）。“亲密”。对于每个i和j，如果存在xixjz-我想我是Sxixjz-ijj和yixjz-这样，j Syixjz-iji，然后是zi∈ Xisuch我是Ezixjz-ijj。这个假设说，集SEijand NWijare“关闭”。在表示法中，如果i和j相互作用，这转化为所有点的逆函数f和f相等。这是一个技术上的简化假设，证明可以不用它。X的几何学对于每个相互作用的变量团A N、至少存在两个点rA，rA∈ 每对i，j∈ A、我们有Ieraj和Ieraj。同样，这是一个简化的假设，使得证明不那么一般，更接近同构的情况。如果没有它，我们会有一种情况，对于某些i，j，fi:xi的最小值大于fj:xj的最大值∈ N.这反过来又不允许以独特的方式构建容量。说明这个假设的另一种方法是，X必须包含对应于N上所有可能的非循环部分序的点，这些点由相互作用对i S j生成。

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2022-5-11 03:04:59

消除这种假设的工作仍在进行中。4俄勒马州的代表性源自Choquet积分的定义（第2节），每个点x∈ Xuniquely对应于一组权重pxi:pxi≥ 0，圆周率∈Npxi=1。这个符号用于简化下列定理的陈述。定理1。Le t<是X上的一个订单，结构a s消费保持不变。然后，如果满足A1-A9，则存在容量ν和值函数f:X→Rfn:Xn→ R、因此，<可以用C hoquet积分来表示：x<y<==> C（ν，（f（x），fn（xn）））≥ C（ν，（f（y），fn（yn）），（1）对于ll x，y∈ 容量和值函数具有以下唯一性属性。设I={A，…，Ak}是N的一个分区，使得m（B）=0表示所有B N以至于B∩ Ai6=, B∩ Aj6=. 如果不存在这样的分区，则设I={N}。定理2。让g:X→ Rgn:Xn→ R是这样的：（1）由gi代替。那么，xi∈ Xi，这样对于一些z-我有pxiz-ii>0，并且pxiz-ij>0，j6=i，值函数fi和giar的关系如下：fi（xi）=αAjgi（xi）+βAj，容量变化如下m′（B）=αAjm（B）PC哎，哎∈IαAim（C）。在X的移动点，即对于xisuch，对于任何z-我∈ 十、-我是哈维普西兹-ii=1，pxiz-ij=0对于所有的j6=i，值函数fi具有以下唯一性：fi（xi）=ψi（gi（xi）），其中ψii是一个递增函数，对于所有的j∈ N、 j 6=i，存在一个∈ N:我，j∈ A、 m（A）>0，我们还有fi（xi）=fj（xj）<==> gi（xi）=gj（xj）。。XSaWe上的5个加法表示从集合Xi中删除最大和最小元素开始。

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2022-5-11 03:05:06

因此，它也在XSa中。因此，所有存在加法表示的条件都得到满足[Wakker，1991a]。5.2 VSaon XSaThis部分的联合表示基于[Wakker，1991b]，并进行了一些修改。定理4。XSa上存在一个加性区间标度VSa（z）=Pni=1VSai（zi），它用z表示每个Xz（Sa）上的<∈ XSa。证据选择参考集-选择任意r∈ XSa检查Xr（Sa）i包含任何XSa基本i超过两个点。选择一个“零”点——任何r∈ Xr（Sa）和“单位标记”——点rkr-K∈ Xr（Sa），因此：ok在XSa上是必需的，ork<krk。为所有i设置Vri（ri）=0∈ N和Vrk（rk）=1。这独特地定义了所有Vri的单元和位置∈ N.在下面的例子中，我们假设集合Xz（Sa）i，Xz（Sa）keach至少包含两个点，否则，对齐是微不足道的。假设Xr（Sa）i∩ Xz（Sa）i= 和Xr（Sa）k∩ Xz（Sa）k= （以下程序涵盖了所有变化）。我们将构造两个辅助点z′和r′，使得xz′（Sa）i Xz（Sa）i，Xz′（Sa）i Xr（Sa）i，Xr′（Sa）k Xz（Sa）k，Xr′（Sa）k Xr（Sa）k。这将允许我们首先对齐Vr和Vr′，然后对齐Vr′和Vz′，最后对齐Vz′和Vz。通过取坐标j的r和z的坐标最大值，使j Rai，不包括i本身，以及坐标j的rand z的坐标最小值，使i Raj和i本身，来构造点z′。在简短的符号中，第一点是z′：=max（rj，zj）j:j Raimin（rj，zj）j=i，j:i Raj。第二个点r′是通过取坐标j的r和z的坐标最大值，使j Rak（不包括k本身）和坐标j的r和z的坐标最小值，使k Raj和k本身来构造的。

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2022-5-11 03:05:11

在简短的符号中，第二个点看起来像‘：=max（rj，zj）j:j Rakmin（rj，zj）j=k，j:k Raj。请注意，这两个点都在X坐标关系中，对于所有对j，l，j Ral保持不变。还请注意，Xz′（Sa）i包含Xz（Sa）i和Xr（Sa）i，而Xr′（Sa）k包含Xz（Sa）和Xr（Sa）k。现在我们有了（Xz（Sa）i×Xz（Sa）k）∩ （Xz′（Sa）i×Xz′（Sa）k），（Xz′（Sa）i×Xz′（Sa）k）∩（Xr′（Sa）i×Xr′（Sa）k），（Xr′（Sa）i×Xr′（Sa）k）∩ （Xr（Sa）i×Xr（Sa）k）都是非空的，每个维度包含两个以上的点。这些集合满足阿基米德公理、限制可解性和A4。因此，我们可以应用加法表示的标准唯一性属性。我们首先将Vr′Kw与Vr′和Vr′i与Vr′i对齐，然后将Vz′kwithVr′和Vz′i与Vr′i对齐，最后将Vzk与Vz′和Vzi与Vz′i对齐，通过改变相应值函数的公共单位和位置。像这样排列的Vzi和Vzk与Vrian和VrkforAll z∈ XSawe可以使用Vzjand和Vzk对所有剩余的基本坐标j执行相同的对齐操作。在这个阶段，函数VZK已经对齐，因此有一个正确的单元和位置。如上所述，关系式的加法表示的唯一性表明，函数单位Vzjis已经与Vrjand only locationchange的函数单位对齐。这也可以如上所述。一旦对所有基本坐标进行了这样的对齐，我们就可以验证在整个XSa中是一致的。特别是，对于任何来自XSA的s和t，必须能够证明对于任何基本的j∈ N，我们有Vsj=Vtjon Xs（Sa）j∩ 为了说明这一点，可以使用以下参数。在VsjandVtj的初始对准过程中，使用了辅助点t′和s′，因此Xs′（Sa）包括Xs（Sa）jand Xr（Sa）j和Xt′（Sa）JINCLUDE Xt（Sa）jand Xr（Sa）j。因此，函数Vs′jand Vt′j与Vrjon Xr（Sa）j相结合。

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2022-5-11 03:05:13

证明它们在所有公共域上都是一致的，包括Xs（Sa）j∩ Xt（Sa）j，我们只需要遵循与之前相同的过程，为一些基本k构造一个包含Xs′（Xa）和Xt′（Xa）k的点。然后一个唯一性参数可以在一次调用，并且由于在Xr（Sa）j上Vs′jand Vt′jcoincide，它们也必然在剩余的公共域上重合，包括Xs（Sa）j∩ 最后，由于Vsj=Vs′jon Xs（Sa）j，并且Vtj=Vt′jon在Xt（Sa）j上，我们得到了Vsj=Vtjon Xs（Sa）j∩ 在这一点上，我们可以去掉上标和定义函数VSAI，它与Vz（Sa）Iforall z一致∈ 在相应的域上。通过上述论证，这些函数得到了很好的定义。5.3在XSaLemma 1上代表全球的VSAI。对于所有XSa essential i∈ N、 VSairepresents<离子XSai。证据设αi，βi∈ 与定理4证明中r′和z′的构造类似，我们可以证明αix总是存在-i、 βix-我∈ XSa。结论如下。定理5。定理4中的重表示VSAOB在XSa上是全局表示的。证据我们需要证明x<y<==> VSa（x）≥ VSa（y）。o如果z存在，那么x，y∈ Xz（Sa）那么结果是立竿见影的如果以上不成立，我们将证明存在x′~ x，使所有i的VSa（x）=VSa（x′）和x′i<i。该程序与Wakker[1991a]相同，但有一些小的修改。1.我发现自己是如此的易Ixian和xk<Kyk代表所有k，使k说：。我们有yix-我∈XSa（因为所有k∈ N这样k说我们有xk<yk，因此k ryy-二、暗示-ii.尽管如此∈ N这样我就坐着，我们就有了Rxix-它，因此我-i） .2。类似地，找到j，使xjjyjand yk<KXK对于所有的k，使得。通过类似的推理，yjx-J∈ XSa。3.我们正在增加XAND，减少xjand，从而朝y.4的方向移动。注意，x-ijyiyj∈ XSa。5.

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2022-5-11 03:05:17

如果x-ijyiyj<x，然后通过受限可解性（x-ijyiyj<x<x-ijxiyj）存在x′：=x-ijx′iyj~ x、其中yi<ix′i<ix。如果x 十、-然后通过限制可解性（x-ijyixj<x 十、-ijyiyj）存在x′：=x-ijyix′j~ x、 xj<jx′j<Jyj。在这两种情况下，结果点x′在XSa中，而且x′，x∈ Xz（Sa），其中z:=xijxiyj，因此x′与x具有相同的VSa值，但又有一个坐标与y.7的坐标相同。在重复这个过程，除非x′i<iyi（最多n次），我们得到引理1.8的结果。此外，如果x~ y、我们在程序结束时，必然会到达玩具本身（通过引理18中的强单调性和结构假设SA1）。因此我们得到了x Y=> VSa（x）>VSa（y）和x~ Y=> VSa（x）=VSa（y），其中x<y<==> VSa（x）≥ VSa（y）6不同X的对齐基数表示根据不同集合XSi的基本变量，可能有几种情况。我们从至少存在两个基本变量的情况开始。6.1至少存在两组XSI，其中至少有两个基本坐标Theorem 6。假设XSA和XSb上至少有两个坐标是必需的。因为我∈ N这对两个区域都很重要，如果为两个函数选择了一个公共位置，则它将VSai（zi）=λabiVSbi（zi）用于VSai（zi）和VSbi（zi）的公共域中的所有zi。证据如果VSai（zi）和VSbi（zi）的公共域是空的或只包含一个点，则结果是微不足道的。假设i，j在xsa上是必要的，i，l在xsb上是必要的。首先，我们将确定XSais坐标i上的标准序列也是XSb中的标准序列（前提是序列的所有点位于VSai（zi）和VSbi（zi）的公共域内）。下面是A4。构建任何标准的sequenceXSai，比如{αki:αkivjx-ij~ αk+1iwjx-ij}。然后，{αki:αkitlx-伊尔~ αk+1ulx-il}是Sb中的标准序列，即。

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2022-5-11 03:05:20

如果存在tl，ul∈ xl使得αkitlx-伊尔~ αk+1ulx-对于一些Ilk，则由a4：αkivjx-ij~ αk+1iwjx-ijαkitlx-伊尔~ αk+1ulx-ilαk+1ivjx-ij~ αk+2iwjx-ij=> αk+1itlx-伊尔~ αk+2iulx-在公共域中选取两点ri和ri，并设置VSai（ri）=VSbi（ri）=0。假设我们现在有VSai（ri）=Va和VSbi（ri）=vb。我们需要证明，对于VSai和Vsbi的公共域中的任意点zi，我们有VSai（zi）=λabiVSai（zi），其中λabi=vbva。从rito ri和rito zi构建标准序列。我们有VSAI（ri）- VSai（ri）≈ n[VSaj（vj）- VSaj（wj）]VSai（zi）- VSai（ri）≈ m[VSaj（vj）- VSaj（wj）]。VSai（ri）=0，henceVSai（zi）≈根据阿基米德公理，这样的n和m是存在的。通过上面的论证，我们得到了vsbi（ri）- VSbi（ri）≈ n[VSbj（tl）- VSbj（ul）]VSbi（zi）- VSbi（ri）≈ m[VSbj（tl）- VSbj（ul）]。显然，如果我们把SA4作为一个整体，那么公共域不是空的，在这种情况下，通过类似的假设VSbi（zi），ria和ria都在公共域中≈mVSbi（ri）n.根据密度，我们可以从标准序列中选取任意一小步，因此比率收敛到一个极限。因此，最终VSai（zi）=VSai（ri）VSbi（ri）VSbi（zi）=vavbVSbi（zi）=αabiVSbi（zi）。我们继续为所有值函数选择公共位置。由于rbelongs to all XSa，我们可以将Vai（ri）=0。在这一点上，我们可以去掉上标，说我们有表示λaiVi+…+λanvn在每个XSa上，也定义λai:=0，用于在集合XSa上不重要的变量。6.2最终的重新校准通过假设，我们有两点，比如i Erj和i Erj，每个相互作用i，j。由此可知，这两点都属于每个XSi。我们可以假设，我所做的一切∈ N（对于不与其他变量交互的变量，我们可以这样认为，对于其他变量，请参见第A.5节中的结果）。设置Vi（ri）=0表示所有i∈ N.选择一些∈ N、使得j在至少一个XSa上是必要的，该XSa具有两个或多个基本变量（包括j）。

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大多数88

2022-5-11 03:05:24

设置Vj（rj）=1。这为所有函数设置了单位和位置Visuch，在某些XSAW上i是必需的，至少还有一个坐标是必需的。对于每个这样的Vi，我们现在有Vi（ri）=ki（因此kj=1）。定义φi:=Viki，对于所有i∈ N.各种XSanow上的加法表示形式为λakφ（x）++λanknφn（xn）。最后，通过将所有系数除以系数之和，重新缩放一次：λakPni=1λaikiφ（x）++λanknPni=1λaikiφn（xn）表示αaj=λajkjPni=1λaiki，我们得到：φa（x）：=αaφ（x）+αanφn（xn），注意pni=1αi=1。请注意，这里我们为所有i设置φi（ri）=0和φi（ri）=1。如第9节所示，这是可以放松的——原点和比例因子可以为每个团单独选择。7.在XAt上构造全局表示这个阶段我们可以证明表示φa（x）=αaφ（x）+αanφn（xn）将相同的值赋给所有XSi中<的等价类。为了简化本节主要定理中的构造，我们引入以下引理。引理2。对于每一个XSA和ev ERY z∈ XSa，这样r z、我们可以找到z′，这样z′~ z、 z′∈ XSa和ri<izi。同样地，对于每一个y∈ XSa，这样 r、我们可以找到‘，这样‘~ y、 y′∈ XSa和yi<iri。证据我们可以使用与定理5的证明相同的程序。为了凯西 r程序完全相同，而r z这是对称的，因为我们这次移动的是z，而不是r。注意，由于第6.2节中进行了重新缩放，点和r在所有XSa中具有相同的值（0和1）（因为所有φi的值都相等，权重αaisum高达1，所有非本质变量的权重都为零）。定理7。每个XSA和XSB至少有两个基本变量。那么对于任何x∈ XSa，y∈ 我们有x<y有效φa（x）<φb（y）。证据先拍x~ y、这样x∈ XSa和y∈ XSb。

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2022-5-11 03:05:27

如果x~ Y~ ror x~ Y~ r、结论是立竿见影的，所以假设不是这样。让x r、利用引理2我们构造了x′∈ xSa和y′∈ XSb，这样x~ Y~ x′~ y′和x′i<iri，而y′i<iri。接下来，从rto rin XSA和XSb构建等距序列，这样每个序列的第一步都是等效的（详见第A.3节）。到A5时，两个序列中的步数相等。最后，从rto x′和y′构建序列（序列的坐标优势简化构造）。步数必须相等，因此达到rand x′所需的步数与达到rand y′所需的步数之间的比率相等，因此取极限，我们得到φa（x）=φa（x′）=φb（y′）=φb（y）。同样的方法也适用于x y、到A5时，rto x的等距序列中的步数必须大于rto y序列中的步数。因此φa（x）>φb（x）。我们现在有了x~ Y=> φa（x）=φb（y）和x Y=> φa（x）>φb（y）。这意味着x<y<==> φa（x）≥ φb（y）。此时，我们可以用一个基本变量定义区域上的值函数。定理7建立了所有具有两个或两个以上基本坐标的区域，将相同的值分配给来自同一等价类的点。定义属于一个区域且具有一个基本坐标的等效性等级的值，使其与具有两个或两个以上基本坐标的某个区域的值相同。此类等价类必须存在（例如，那些包含rand r点的等价类）。最后，对于基本坐标i，定义αai=1，对于所有其他j，定义αaj=0。如果在此过程之后，在某些Xi中仍然存在点，而φiis尚未定义，则我们有一些等价类，其中一个表示φk表示任何值。

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2022-5-11 03:05:30

由于在这些集XSk中发现的所有等价类（有两个或更多基本变量）现在都有一个定义值，因此这些等价类完全在集内，只有一个基本变量。因此，我们可以扩展这些表示，并得到φi（xi）>φi（yi）i ff xi<iyi（参见引理7，它表明函数定义良好）。引理3。考虑到某人，这样就存在一个 N、为了什么我们有一个∈ A、 j∈ N\\A，以下是trueXi∈Aαai=Xi∈Aαbi。证据以rAr为例-A、它同时属于XSA和XSb。通过定理7和上述单本质坐标区域的值函数的构造，我们得到了φa（rAr）-A） =φb（rAr）-A），hencePi∈Aαaiφ（ri）=Pi∈Aαbiφ（ri），由此得出的结论为φi（ri）=1表示所有i∈ N.现在我们可以继续构建一个独特的容量ν：2N→ R来自存在于各种XSa上的系数αAi。如Wakker[1989]所示，引理3的条件是实现这一点的必要条件。容量ν还有一个独特的M–obius transformm:2N→ R（参见第2.1节中的定义）。我们现在可以构造一个非常类似于Choquet积分的表示。为此，让我们首先定义以下函数：Φ∧（x，A）：=φi（xi）表示i，使得j rxi表示所有j∈ A\\i，如果这对几个i是正确的，可以选择任何一个。我们现在可以构造一个全局值函数（参见第2.1节）：φ（x）：=XA∈纳米（A）Φ∧（x，A）。（2）很容易看出，对于每个x∈ X和每个XSi，这样X∈ 我们有φa（x）=φ（x）。现在我们可以证明φi（xi）=φj（xj），只要i，jinteract。引理4。对于任何n-极限x∈ 它包含的X：i Exj=> φi（xi）=φj（xj），除非i和j不相互作用。证据假设x∈ XSa，x∈ 当所有k，l的kSbl∈ 与i，j分开，我们有iSaj和jSbi。

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2022-5-11 03:05:33

根据定理7，φa（x）=φb（x）和引理3，对于所有k6=i，j和αai+αaj=αbi+αbj，证明αak=αbk是很简单的。我们有αaiφi（xi）+αajφj（xj）=αbiφi（xi）+αbjφj（xj）（其他和分量抵消）。除以αai+αaj=αbi+αbj，我们得到φi（xi）和φj（xj）在两侧的凸组合。由此得出φi（xi）=φj（xj）或αai=αbian和αaj=αbj。假设是后者。对XSkand和xsl的所有可能组合重复此操作将导致我们得出结论，对于所有B，m（B）=0 {i，j}，作为权重αki，αli，αkj，αljdo，当我们从XSkto XSl移动时，以及相应地从φktoφl移动时，不会改变。结论来自等式（2）。最后，我们可以证明这意味着i和j不相互作用。这意味着ij三重取消aipjz-ij4-biqjz-ijairjz-ij<bisjz-ijcipjz-ij<diqjz-ij=> cirjz-ij<disjz-ij代表所有ai、bi、ci、di∈ Xi、pj、qj、rj、sj∈ Xj和所有z-ij∈ 十、-ij。为了说明这一点，使用方程式（2）写出所有相关点的值，将求和组件分组如下。例如，对于aipjz-ij:φ（aipjz）-ij）=XAiA6jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）+XAjA6im（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）+XA6i、 jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）+XAi、 jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）。注意，由于上述论点，我们有i、 jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）=0。还请注意jA6im（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）不依赖于ai和PA6i、 jm（A）Φ∧（aipjz）-ij，A）不依赖于Ai或pj。假设，面对一个矛盾，disjz-ij cirjz-ij。写出所有点的值，并将第一个和第三个、第二个和第四个不等式相加，得出：XAiA6jm（A）[Φ∧（aipjz）-ij，A∧（dipjz）-ij，A）]≤XAiA6jm（A）[Φ∧（bipjz）-ij，A∧（cipjz）-ij，A]XAiA6jm（A）[Φ∧（aipjz）-ij，A∧（dipjz）-ij，A）>XAiA6jm（A）[Φ∧（bipjz）-ij，A∧（cipjz）-这是一个矛盾。

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2022-5-11 03:05:37

因此，ij三重取消适用于所有ai、bi、ci、di∈ Xi、pj、qj、rj、sj∈ Xj和所有z-ij∈ 十、-ij，因此我和j不相互作用。引理5。如果是为了一些z∈ 我们有i Szj，然后φi（zi）>φj（zj）。证据很容易验证（由于“封闭性”假设），存在xijz-这样我就可以离开了-ijj和zi<ixi，而xj<jzj。由于φi通过引理4表示<i，并且<iis不对称（由于结构假设），我们有φi（zi）>φi（xi）=φj（xj）>φj（zj）。现在我们有了[i Exj]=> [φi（xi）=φj（xj）]用于相互作用i，j和[i-Sxj]=>[φi（xi）>φj（xj）]，因此我们得出结论[i Rxj]<==> [φi（xi）<φj（xj）]对于所有的相互作用i，j，这允许我们最终将（2）重写为Choquet积分：φ（x）=XA纳米（A）迷你∈Afi（xi）。为了总结本节的结果，我们陈述了以下引理：引理6。设X′i:=X\\{X}的最大和最小元素。设X′：=X′×。X X′n.假设至少有一个集合X′Sa（如前所述）具有两个以上的基本变量。然后每x，y∈ 我们有<==> φ（x）≥ φ（y）.7.1每一个xsa上只有一个基本变量的情况对于这种情况，我们只需要A3来构造表示。由于<是一个弱序，而每个xsih是一个可数序稠密子集，因此存在一个函数F:X=> R、使x<y<==> F（x）≥ F（y）。为了构造值函数，我们需要以下引理。引理7。乐泰xiz-我∈ XSaand yiz-我∈ XSb。让我成为XSA和XSb的唯一必要协调人。那么，xiz-我~ 哎呀-i、证据。证明的思想是通过构造一系列点和子集XSj从XSato XSBB“追踪路径”。我们将保持Xunchchange，但将移动剩下的坐标，以表明序列中的每个点都属于当前和后续子集，而且我将是所有XSj上唯一的基本坐标。有几个步骤。

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2022-5-11 03:05:40

我们从一对坐标j，k开始，这样i Saj，k，和j Sak，但k Sbj（反之亦然）。请注意，j和k在XSa中都是不重要的。让j Sak和j，k在Sa中是后继的，也就是说，没有m使得j Sam Sak。这样的一对肯定存在。使用一个简单的参数，我们可以证明我们可以构造一个pointxiz-Ib通过改变zjand zk，使k Exiz′-ij。通过密度参数，我们可以证明，如果j和k在XSa上都不是必需的，那么它们在XSa上也不是必需的。所有其他坐标的重要性也不受影响，soi仍然是XS上唯一的基本坐标。注意，因为k Exiz′-ij，我们有xiz-我∈ XSa，xiz-我∈ XS。这样继续，我们构建了一个序列xizj-直到最后一对j，k，这样i Saj，i Sak的排列顺序与Sb相同。使用同样的方法，我们对j，k重复它，这样j Sai，k Sai。最后，序列以序号结束。仍然需要切换坐标的顺序，以改变Sa和Sb中i的相对位置。通过使用封闭结构假设，我们可以构造一个同时属于XS和XSb的点，并且由于i是这两个集合上唯一的基本坐标，我们得到了结果。利用这个引理，我们现在可以通过选取x来定义值函数φi（xi）=F（x）∈ 这里i是基本坐标。引理表明这些函数定义得很好。它需要构建一个容量。我们可以这样做，让αai=1表示基本i，αaj=0表示剩余坐标。点可以用来显示类似于图3的结果。

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2022-5-11 03:05:43

这意味着，存在一个容量ν，偏好关系可以用一个关于该容量和值函数的Choquet积分表示，定义如上。第A.6.8节给出了一种替代结构，将表示扩展到X8的极值点。1最大点和最小点处的定义值函数由于大量可能的情况，我们不能轻易地证明所有的值函数都有界于Wakker[1991b]中的Xias上。相反，我们可以显示哪些函数被限制在XSai上。在两种情况下，我们不知道φiis是否在XSai上有界。这些情况的最大值为：omax XSai=max Xi，或oMai：=max XSai和Maiz-我∈ 仅当对于某些j6=i，我们有zj=max Xj。引理8。让我对有两个或更多基本变量的XSA进行必要的分析。设Maibe为XSai的最大元素。然后，φiis在XSaiif上有界：1。存在y和z-i、这样的话，梅兹-我∈ xsa和y<Miz-i、或者2。我和variab l e j属于同一个互动阵营，第一个选项适用。证据我们从第一个案例开始。我们需要构造y′和z′-i、这样它们就不包含任何极小或极大点，并且仍然是y′<Maiz′-i、假设z-我包含一些极大点。所有坐标不可能是单调的最大值。FindSa minimal j，使得zjis在XSaj中最大（in也可以在Xjor中最大，而不是），但是对于所有坐标k，使得j SMaiz-ik（注意上标，如果某些坐标在E中，点可以属于多个XSain情况），我们知道zk在XSak中不是最大的。我们可以稍微降低zj，发现z′jzj，这样-ijz′j∈ XSa。单调地-ijz′j.以类似的方式进行，我们可以构造z′-不包含任何最大点。

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2022-5-11 03:05:47

如果它也包含最小点，我们可以增加它们，从Sa最大点开始，保持在xsa，并保持关系y<Miz-ijz′j（见引理16）。同样，我们可以替换y的所有最大和最小坐标。现在我们有y′<Miz′-我既不是y′，也不是z′-i包含任何极端坐标。因此，我们可以得出结论，通过每个wi的单调性∈ XSai，我们有φi（wi）<φ（y′）-Pj6=iαjφj（z′j），这表明φiis在XSai上从上方有界。第二种情况依赖于引理4。很容易看出，如果y，那么y<Miz-i、不存在，我们不能增加任何坐标z-i、否则，这样做会让我们单调乏味。它还意味着，所有其他基本变量都和我在同一个交互作用系中，否则我们将能够改变它们并获得y。最后，这意味着Sa最大坐标有一个最大值，所有交互作用坐标之间的关系都是E（因为我们既不能减少，也不能增加任何坐标）。因此，我们可以使用引理4得出结论，φihas是XSai的上界。在证明引理8之后，我们现在可以定义φ（Mi）：=limzi→Miφi（zi）和φ（Mi）：=limzi→米φi（zi）代表所有我∈ N.可以用类似的方式为Xican的最小元素赋值。最后我们可以证明最后的定理。8.2整个XTheorem的全球代表8。对于任何x，y∈ 十、我们有X<y<==> φ（x）<φ（y）。证据我们按照Wakker[1991b]（引理21）进行了一些修改。对于不包含任何最大或最小坐标的点，已经证明了这一点（第7节）。因此，假设x或y包含最大或最小坐标。让x<y，让x∈ XSa，y∈ XSb。求Sa极小值j，使xjis最大。我们也可以假设，对于所有的k，比如j Sak，我们有j Sxk。

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大多数88

2022-5-11 03:05:50

如果不是这样，那么X属于多个XSi（通过这些集合的定义），并且必须有一个满足此条件的XSi。通过引理16，我们可以找到x′j:xj<jx′j这样的x′jx-J∈ XSA和stillx\'jx-J y、这样我们得到了不包含任何极大坐标的x′，和x′ y、我们现在需要证明φ（x′）>φ（y）。类似地，我们可以替换y的最小坐标，所以现在需要显示φ（x′）>φ（y′）。所以我们可以假设x没有极大坐标，y没有极小坐标。x必须有一个非最小的xsa基本坐标，找到一个Sa最大的i。同样，我们可以假设对于所有k，比如j Sak，我们有j Sxk；通过引理16，我们可以稍微减小它，并发现x′i：xi x′i和x′ix-我∈ xsa仍然是x′：=x′ix-我 y、所以我们现在只需要显示φ（x′）≥ φ（y）。如果我们将x′的所有最小坐标替换为非最小坐标，将y的所有最大坐标替换为非最大坐标，那么通过单调性，它们之间的优先性不受影响，通过引理6，我们得到φ（x′）>φ（y）。因此，任何极小值的微小增加和极大值的微小减少都会导致一个严格的不等式。通过定义Xi的φiat极值元素，我们得出φ（x′）是所有此类φ值的内界，φ（y）是上界。因此，φ（x′）小于φ（y）。x<y=> φ（x）<φ（y）也包括φ（x）≥ φ（y）=> 现在让φ（x）>φ（y）。x不能使其所有的基本坐标都最小，所以求出最大j，这样XJI就不是最小的。通过φj的密度，我们可以找到一个极小的x′j:xjjx′jand仍然φ（x′jx-j） >φ（y）。通过上述论证，我们得到了x′jx-j<y，通过严格的单调性，我们得到了x y、 9唯一性当定义函数φiw时，为所有i设置φi（ri）=0和φi（ri）=1。

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kedemingshi

2022-5-11 03:05:53

事实上，对于每个互动团体来说，这都是很轻松的∈ N、我们可以独立选择原点和缩放因子。仅更改原点不会改变容量，但更改缩放因子会改变容量。例如，如前所述，让我们定义所有i的φ′i（ri）=0∈ N、但将φ′i（ri）=1设为i6∈ A和φ′j（rj）=泰姬陵∈ A、现在αA′j=tAαaj对于某些j∈ A.相应地，当规范化加法表示中的系数αA′ii时，我们将使用PI6进行划分∈Aαai+tAPi∈Aαai。不难看出，A- NA引理（引理3）仍然完好无损——事实上，每个派系中的αa′i之和保持不变，只是通过一些公共因子（Pi6）进行缩放∈Aαai+tAPi∈Aαai）对于αA′i，i6∈ A、和tA（Pi6∈Aαai+tAPi∈对于αA′j，j∈ 答：也不难证明，在这种操作之后，等价类在不同的XSA中仍然具有相同的值。下面的引理准备了这个。引理9。Le t A，A。。。那么，对于任何一个B:B∩ Ai6=, B∩ Aj6=, 我们得到了m（B）=0。同样，如果对于两组A和Awe，m（B）=0对于所有B:B∩ A6=, B∩A6=, 然后Ado的坐标与A.Proof的坐标不交互。这足以向单身人士展示这一点。让我∈ A和j∈ A.我们需要为任何B:i，j展示这一点∈ B、我们有m（B）=0，反之亦然，如果每个B的m（B）=0，那么i和j不相互作用。假设对于某些这样的B，我们有m（B）6=0。然后，我们可以找到xijz-ij∈ XSa，yijz-ij∈ 对于所有k6=i，j，αai6=αbi，αaj6=αbj。这意味着ij-trade-o fff的一致性并不适用于所有Xij，因此变量相互作用。要显示相反的情况，请注意，对于X中的所有可能点，我们有αai=αbi，αaj=αbj，这意味着所有Xij上的ij-trade-o-off一致性。下面两个引理很简单。引理10。PB目标（B）≥ 0代表所有互动派系Ai。引理11。让A，A。。。成为N的互动集团。

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大多数88

2022-5-11 03:05:56

然后，Choquet积分wrta对应的ν，，可以写成积分wrt“sub capacity”的总和，定义在Ai的所有子集上。因此，我们可以用φifor kAψifor代替所有i∈ A、通过将每m（A）乘以ν（A）再乘以pB6来重新规范化容量∈Am（B）+kAPB∈ Am（B）。显然，这意味着从不同的X到相同的等价类的点仍然具有相同的值。值函数的唯一性性质与齐次情形X=Yn中得到的类似，但本文对其进行了修改，以适应集合X的非齐次结构。由于我们的一般设置，值函数在某些点上允许“顺序”变换，在其他点上允许“基数”变换，即使在同一坐标内也是如此。特别是，如果一个点xibelong到某个XSai，并且xsaha是两个或两个以上的基本坐标，其中一个是i，那么φi（xi）只允许进行坐标变换，除非极端情况适用，当xiz-我∈ Xsafora singlez-i、对于理解来说，二维的情况更加透明，而广义的数据仍然完好无损。设I={A，…，Ak}是一组N的相互作用团。显然，I是N的一部分。引理12。让g:X→ Rgn:Xn→ R是这样的：（1）由gi代替的hol ds。那么，xi∈ Xi，这样对于多个z-我有xiz-我∈ XSa，其中XSa是两个基本坐标，其中一个是i，值函数fi和giare如下所示：fi（xi）=αAjgi（xi）+βAj，容量变化如下m′（B）=αAjm（B）PC哎，哎∈IαAim（C）。在X的剩余点上，值函数fi具有以下唯一性：fi（xi）=ψi（gi（xi）），其中ψi是一个递增函数，对于所有j∈ N、 j 6=i，存在一个∈ N:我，j∈ A、 m（A）>0，我们还有fi（xi）=fj（xj）<==> gi（xi）=gj（xj）。证据

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