静态和半静态对冲，作为反向或合规押注

2022-6-11 15:25:07

在本文中，我们认为，一旦适当考虑了维持套期保值组合的成本，半静态投资组合就应该更适当地被视为独立的衍生工具类别，具有非平凡的、依赖模型的有效结构。根据被套期期权的结构和模型，半静态套期组合可以作为高概率小损失和低概率大收益的反向押注，或者作为高概率小收益和低概率大损失的一致押注。作者感谢Nina Boyarchenko对本文中描述的半静态套期保值定性效果的评论。剩下的错误是我们的。S、 B：德克萨斯大学奥斯汀分校经济系，1 University Station C3100，Austin，TX78712–0301，sboyarch@eco.utexas.eduS.L.：Calico科学咨询公司。德克萨斯州奥斯汀。电子邮件地址：levendorskii@gmail.com.See【33、25、27、30、4、40、64、3、61、29、31、46、31】及其参考书目。2 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIWe提出了静态和半静态对冲的新版本，对不同静态和半静态程序的错误进行了定性分析，解释了为什么在跳跃差异情况下，欧洲期权无法准确复制障碍期权，因此，模型独立复制是不可能的，并给出数值例子来说明对冲误差的不同来源是如何依赖于一个模型的。在本文的主体部分，我们考虑了L'evy模型中的欧式和向下以及障碍内期权，然后指出了本文方法可以推广和扩展到更复杂模型中其他类型期权的方向。

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nandehutu2022

2022-6-11 15:25:11

障碍期权的定价和到期时对冲组合方差的计算基于新的高效数值程序，用于计算维纳-霍普夫系数和拉普拉斯-傅立叶反演。这些步骤在其他应用程序中也很有用。欧洲期权的静态套期保值（30）的基本思想很简单。一种是通过基础股票和vanillas的线性组合来复制奇异欧洲期权的收益，并使用股票和期权的组合来复制或对冲奇异期权。在第2节中，我们从推导精确静态套期保值组合的积分表示开始。与文献[30]相反，我们在对偶空间中工作，并且仅根据vanillas的derivea表示；如果与【30】中的表述不同，则该表述。通过构造，我们构建的投资组合和[30]中的投资组合是独立于模型的，这看起来非常有吸引力。然而，vanillas的连续体并不存在，即使存在，整体投资组合也不可能构建。因此，必须用有限和来近似每个积分。近似值的套期保值误差必然依赖于模型。我们设计了一个简单的近似套期保值组合结构，并研究了静态套期保值误差对一个使用可用资产组合的模型的依赖性。我们推导了几乎C（R）-范数的近似值，然后计算方差最小化套期保值组合的权重。在这两种情况下，都使用sinh加速技术在双空间中进行计算[17]。

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2022-6-11 15:25:14

我们认为，与最近的一篇论文[42]中的两种sep程序相比，两种近似混合程序都有一定的优势，其中，首先，一种使用要对冲的证券和对冲组合中的证券在模型支付空间上的预测，然后计算权重。这个更复杂的过程无助于减少对冲误差，并且，与我们构建的近似静态对冲类似，不能产生比方差最小化对冲组合更小的方差。在第3节中，我们概述了障碍期权半静态方差最小化hedging的一般结构；在本文中，我们考虑了向下和向外以及向下和向内选项。[33]中提出了障碍期权的半静态套期保值组合的初始版本：将行使等于障碍的期权，以及不同的到期日添加到投资组合中，使投资组合的价值在障碍处为零。假设在突破障碍的那一刻，标的资产正处于障碍处，则可以向后计算投资组合的权重。很明显，如果底层可以通过跳跃跨越障碍，那么过程就不可能精确，并且隐式错误不可避免地依赖于模型。【25、27、29】中提出了障碍期权的不同半静态对冲，但基本假设与【33】中的假设相同。对于给定的障碍期权，构建了一种奇异的欧洲支付轴，以便在到期时或提前到期时（“out”期权的情况）或激活时（“in”期权的情况），障碍期权对冲组合的价格等于欧洲期权的价格。当达到障碍时（假设它不能通过跳跃跨越静态和半静态对冲3），投资组合被清算。

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2022-6-11 15:25:17

由于欧式期权具有异国情调，因此假定使用后者的近似资产套期组合。因此，在存在跳跃的情况下，即使有人认为可以使用vanillas投资组合精确对冲辅助奇异期权，对冲误差也是依赖于模型的，并且自然会出现两种类型误差之间的相互作用问题。具有付息权的期权比高利贷期权更奇异（付息权的结构更复杂），期权越奇异，对冲误差越大。即使是在差异模型的情况下，误差也可能相当大，并且近似值在模型参数的某种相当严格的对称条件下是正确的。见【61】。本文[46]使用了[29]中的近似半静态套期保值和近似于障碍期权的奇异欧式期权的近似值；这会导致至少两个与模型相关的错误源，如果跳转分量很大，那么这些错误可能很大；此外，对称条件比扩散模型更具限制性。在【46】的介绍中，有人声称Carr和Lee【29】严格地证明了跳跃扩散模型的半静态过程；画面更为复杂。在第3.1节中，我们解释了标准半静态结构有许多误差来源，即使是近似值也只能在附加的相当严格的条件下进行调整。特别是，在存在跳跃的情况下，半静态程序永远不会精确。方差最小化套期组合具有一定的优势。

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2022-6-11 15:25:20

我们可以使用市场上交易的证券直接构建套期保值组合，前提是选择了定价模型，并且可以计算期权价格Vjin组合和价格的乘积作为（t，x），0≤ t型≤ T，其中T是到期时间。准确、快速的计算可用于广泛类别的期权（障碍期权、回望期权、美式期权、亚洲人期权等），并且可以应用许多在状态空间中工作的流行定价方法。然而，为了计算对冲组合的权重，我们需要计算时间τ时贴现价格产品的预期∧T，其中τ是第一次进入早期运动区的时间。因此，我们需要通过能够应用有效的期权定价技术的函数来近似价格的乘积，这些技术通常基于拉普拉斯-傅立叶变换。在本文中，我们建议并使用新的有效方法进行数值傅里叶-拉普拉斯反演和计算维纳-霍普夫因子；这些方法是人们普遍感兴趣的。我们在双重空间中工作；在对偶空间中的计算对于准确解决以下实际重要影响也是必要的。对于仅由vanillas组成的边缘投资组合，还有一个额外的错误来源。在金融领域使用的所有流行模型中，普通期权的价格在到期日之前和边界之前完全平稳，但列维模型中障碍期权的价格在边界处并不平稳，例外情况是双跳扩散模型、超指数跳扩散模型和其他具有理性特征函数的模型。

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2022-6-11 15:25:23

对于广泛的纯跳跃模型，在[21，9]中证明，在障碍附近的“out”障碍选项的价格表现为c（T）| x- h |κ，其中κ∈ [0，1）与到期时间T、c（T）>0和| x无关- h |是与屏障的对数距离。对于漂移指向边界的有限变化过程，κ=0，屏障处的价格限制为正。同样，第一款触控数码产品的价格表现为1-c（T）| x-h |γ。即使存在差异成分，障碍和此类选项的价格在障碍处也不存在差异【21】，如果差异成分很小，然后，在一个非常小的4 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKI（I-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1x00.010.020.030.040.050.060.07VFigure 1之外，将观察到基本相同的价格不规则行为。实线：第7节数值示例中使用的向下和向内看涨期权，作为x=ln（S/H）的函数。点划线：第一次触摸数字的倍数。破折号：行使K=H的看跌期权的倍数。到期日为0.1。屏障附近。状态空间中的计算基于公平规则函数的近似，因此，无法准确再现这些影响。参见【53】中的示例，其中证明了Carr的随机化方法【10】，该方法依赖于状态空间中的时间随机化和插值，低估了屏障附近小范围内的屏障选项。从hedgingportfolio的定性构成来看，除非包含相应的首次接触数字，否则不可能对障碍期权进行准确的对冲。无花果

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2022-6-11 15:25:27

1清楚地表明，与认沽期权相比，首次接触数字期权更接近于向下和向内期权，而收益率（s/H）γ，γ>0的首次接触期权将是更好的对冲工具。静态和半静态套期保值5我们使用维纳-霍普夫因式分解技术计算仅由vanillas和vanillas组成的套期保值组合，以及第5节和第6节中的第一个接触期权。我们回顾了第4节中的后一部分，并介绍了基于sinh加速技术计算维纳霍普夫因子的新有效方法【17】。在相应章节的末尾讨论了静态套期保值的数值示例以及与障碍期权相关的维纳-霍普夫系数和期望值的计算；第7节中给出了一个对债券期权进行套期保值的数值例子。在第8节中，我们总结了本文的结果并概述了自然扩展。Gaver-Stehfest-Wynn方法的概要以及表格和图表（上文图1和第3节图2除外）归入附录。2、欧洲期权的静态套期保值2.1。理想世界中的静态对冲。设X为L'evy过程，G（XT）=G（ln XT）为到期支付。我们假设G是连续可微的，测量dg是有限个原子的总和（相当于，G有有限个扭结），并且在其他弱正则性条件下，证明如果G（S）多项式衰减→ +0（类看涨期权），然后（2.1）G（S）=Z+∞（S）- K） +dG（K），如果G（S）多项式衰减为S→ +∞ （类看跌期权），然后（2.2）G（S）=Z+∞（K）- S） +dG（K）。假设（G）。

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2022-6-11 15:25:30

G是满足以下条件的连续可微函数（i）dg是有符号测度，没有奇异分量；（ii）GHA只有有限数量的不连续点；（iii）测量值dGat=PY>0（G（Y+0）- G（Y- 0）δ-钇铁矿；（四） β ∈ (-∞, -1) ∪ (0, +∞) s、 t.s 7→ S-β-1G（S），S 7→ S-β-1G属于L类。如果β<-1，定义（2.3）G（S）=G（S）-XY>0（G（Y+0）- G（Y- 0））（S- Y）+，如果β>0，则设置（2.4）G（S）=G（S）-XY>0（G（Y+0）- G（Y- 0））（Y- S） +。显然，测量dG是绝对连续的，dG=dGat+d（G）。定理2.1。在假设（G）下，如果β>1（分别为β<-1），（2.1）（分别为，（2.2））持有。证据鉴于（2.3）-（2.4），有必要考虑dG=dG的情况。设置G（x）=G（ex）。6 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKI认为β>0。设置k=ln k，并计算{Imξ=β}线上ξ的（2.2）w.r.t.x的RHS的傅里叶变换：=ln S。利用Fubini定理，我们得到+∞-∞e-ixξZ+∞（K）- S） +d（G）（K）dx=Z∞Z∞-∞e-ixξ（K- ex）+dx d（G）（K）=Z∞K1级-iξiξ（iξ- 1） d（G）（K）=ZG（k）=0e-iξkiξ（iξ- 1） KdGdK（K）dk，其中G（k）=G（k+0）-G（k-0). 使用KddK=ddk和KddK=ddk-ddk，然后按部件进行集成，并考虑e-ikξG（k）和e-ikξG（k）趋向于0作为k→ ±∞, wecontinue=ZG（k）=0e-ikξiξ（iξ- 1） d（G（k）- G（k））=ZRe-ikξiξ- 1（克（k）- G（k））dk=ZRe-ikξiξ- 1dG（k）-ZRe公司-ikξiξ- 1G（k）dk=ZRe-ikξG（k）dk。因此，在G=G的情况下，（2.2）的LHS和RHS的傅立叶变换在Imξ=β线上重合，这证明了（2.2）。如果β<-1，那么，在上面的证明中，我们替换（K- S） +带- K） +，并相应地修改所有步骤。备注2.1。如果G具有紧凑的支持，并且没有原子，那么这两种表示，在put和call方面，都是有效的，并且积分w.r.t.具有相同的度量。

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2022-6-11 15:25:32

这一（稍微令人惊讶的）事实可以通过put调用奇偶校验和以下计算z进行验证+∞（S）- K） G（K）dK=G（K）（S- K）|+∞+Z+∞G（K）dk=（G（K）（S- K） +克（K））|+∞= 0- 0 = 0.示例2.2。在打击KisG=（（S）的情况下，指令β>1的有电呼叫的支付函数- K） +）β。由于β>1，因此没有扭结，dG（K）没有原子，并且（（S- K） +）β=β（β- 1） Z+∞KdK（K- K） β-2（S）- K） +。示例2.3。power call的Payoff函数为G（S）=（Sβ- K） +，其中β>0，K>0。量度d（G）（K）有一个原子βδK，在（K）上+∞), GKK（K）=β（β-1） Kβ-因此，（Sβ- K） +=β（S- K） ++β（β- 1） Z+∞KdK Kβ-2（S）- K） +。示例2.4。考虑障碍为H且走向为K>H的向下和向内看涨期权。该期权的Apopular半静态复制投资组合是一种欧洲期权，其收益率（S）=（（S-K） ++（S/H）β（H/S-K） +）1（0，H）（见（3.1）和A节）。由于K>H，静态和半静态套期保值7payoff简化了Gex（S）=（S/H）β（H/S- K） +）1（0，H）（x）=H-βKGex，1（S），其中G（S）=Sβ-1（K- S） +，且K=H/K<H。显然，有必要构建带有支付函数G的期权的对冲组合，该函数在K以上消失。在K处，GHA是一个扭结，而G（K-0) = -Kβ-1、在（0，K）上，Gis完全光滑，G（S）=K（β-1） Sβ-2.-βSβ-1，G（S）=K（β- 1)(β - 2） Sβ-3.- β(β - 1） Sβ-2= (β - 1） Sβ-2((β - 2） K/S- β). 因此，Gex（S）=H-βKKβ-1（K- S） ++（β- 1） ZKdK Kβ-2((β - 2） K/K- β）（K）- S）+.2.2. 近似静态对冲。在现实世界中，只有有限数量的选项可用，因此，必须使用原子度量来近似测量dG（K），通常，原子数量不是很大。例如，文献[31]中记载，使用3-5个期权的静态套期保值可以产生良好的结果。因此，静态套期保值将是近似值。

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2022-6-11 15:25:36

此外，从时间0来看，套期保值误差将取决于所用模型的选择；虽然理想化静态对冲与模型无关，但近似对冲与模型相关，近似对冲的质量（自然）取决于近似程序的选择。我们将通过vanillas支付函数的线性组合，在指数权重的Sobolev空间的范数中，近似奇异期权的支付函数。更具体地说，我们在Sobolev空间Hs，ω（R）阶的范数中最小化了奇异期权的支付与投资组合支付G（x）：=G（ex），具有适当的指数权重eωx（又称阻尼因子）。普朗谢尔定理允许我们在对偶空间中进行计算。使用sinh加速技术精确快速地计算积分【17】。如果s>1/2，则Hs（R）连续嵌入到C（R）中，因此，我们可以估计C-范数中的误差（具有相应的权重），这对于近似静态对冲来说是很自然的：如果误差0无法实现，我们控制最大误差。我们研究了套期保值误差方差对模型和sω的依赖性，并证明了在s=1/2和s>1/2接近1/2的情况下，误差方差是可比较的（并且在合理范围内基本上独立于ω），这种差异小于近似静态混合投资组合和方差最小化投资组合误差方差之间的差异。设ω，s∈ R、 s阶Sobolev空间Hs，ω（R），权重为eωx，是广义函数u的空间，使得uω：=eω·u∈ Hs（R）。Hs中的标量积ω（R）由（u，v）s定义；ω=（uω，vω）Hs（R）。

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2022-6-11 15:25:39

因此，（u，v）Hs，ω（R）=ZImξ=ω（1+（ξ- iω）s^u（ξ）v（ξ）dξ。根据其中一个Sobolev嵌入定理（例如，参见Eskin（1973）中的定理4.3），如果s>1/2，则Hs（R）连续嵌入到C（R）中，一致有界连续函数的空间在完整时消失，其中∞-标准因此，对于任何ω∈ R和s>1/2，Hs中的近似，ω-拓扑给出了对任何固定紧K的一致近似。考虑一个特殊选项，其payoff在K以下消失，我们将其归一化为1。出于实际目的，我们可以假设用于对冲的欧洲期权的行权接近1，而现货接近1；因此，对数点x接近于0，如果ω在模量中不大，不同omegas的套期保值权重之间的差异也不大。同样，如果^u（ξ）在单位时间内衰减得相当快，那么如果s∈ [1/2，s]和接近1/2.8的SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKI认为β<-因此，我们有一个类看涨期权，使用看涨期权组合进行套期保值。We fixω≤ β如上所述，s≥ 1/2，以及支付函数Gj=G（Kj；·）的看涨期权集。集合G=G。我们寻找权重集合n=（n，…，nN）（投资组合中的看涨期权数量），该集合使StHG（n）：=-G+PNj=1Njjj英寸Hs；ω（R）范数。表示Gs；ωjk=（Gj，Gk）s；ω; 由于Gs公式中的被积函数，这些标量积可以很容易地以非常高的精度进行计算；ωjk衰减为|ξ|-此外，如果^G（ξ）的形式为e-ikξ^G（ξ），其中ΓG（ξ）是有理函数，和k∈ R、（Gj，Gk）s公式中的被积函数；ω的形式为e-ikjkξ^Gjk，0（ξ）（1+（ξ-iω））s，其中kjk∈ R和^Gjk，0（ξ）是有理函数。因此，可以使用sinh加速技术以几乎机器精度和非常快的速度计算标量积[17]。

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2022-6-11 15:25:42

在适当改变ξ=iω+b sinh（iω+y）形式的变量后，具有十几个项的简单类曲规则通常能够满足10阶的误差容限-10及以下。最小ns；ωofFs；ω（n）：=kStHG（n）k=Gs；ω-NXj=1njsGs；ω0j+NXj=1njGs；ωjj+NXj6=k，1≤j、 k级≤NnjnkGs；ωjk是方程的解Fs；ω（n）=0，相当于，（2.5）ns；ω=A（G；s，ω）-1Gs；ω、其中Gs；ω=[Gs；ω，…，Gs；ω0N]是向量列，a（G；s，ω）=[Gs；ωjk]j，k=1，。。。，N、 2.3。方差最小化对冲组合。对冲误差是随机变量err（n；x，XT）=e-rT公司-G（XT | X=X）+NXj=1njGj（XT | X=X）.设置Vj（T，x）=e-rTEx【Gj（XT）】（期望值在为定价选择的EMM Q下）。假设^Gj，j=0，1，N，计算平均套期保值误差[误差（N；x，XT）]=-V（T，x）+NXj=1njVj（T，x）可简化为傅里叶反演。如【14、54、17】所述，如果（1）^Gjis的形式为^Gj（ξ）=e-ikjξ^Gj0（ξ），其中kj∈ R和^gjo是有理函数，（2）ψ的形式为ψ（ξ）=-iuξ+ψ（ξ），其中u∈ R和Reψ（ξ）→ +∞ asξ→ ∞ 保持在围绕实轴的圆锥体中，则以（2.6）形式表示Vj（T，x）=2πZImξ=ωeixjξ是有利的-T（r+ψ（ξ））^Gj0（ξ）dξ，其中容许ω的集合∈ R取决于^Gj0，且xj=x+uT- 千焦。然后，我们使用（2.6）中积分轮廓的形式化变形和相应的变量变化，并应用简化的梯形规则。[17]中建议的变量（静态和半静态对冲9sinh加速度）的最有效变化形式为ξ=iω+b sinh（iω+y），其中ω与x的符号相同；容许|ω|的上界取决于ψ和^Gj0。可以使用等式E计算方差-2rTE[（G- E[G]]=E-2rT（E[G]- 例如。计算Ex错误（n；x，XT）, 我们需要计算Vj`（T，x）：=e-2rTEx[Gj（ST）G`（ST）]，j，`=0，1。

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nandehutu2022

2022-6-11 15:25:45

. . , N，这是欧洲期权的“价格”，到期日为T，支付额为Gj（ST）Gk（ST）。我们计算乘积GjG的傅里叶变换，乘以特征函数e-Tψ（ξ），并应用傅里叶逆变换。对于典型的奇异选项和Vanilla，GjG`（ξ）的形式为e-ikj`ξ^Gj\'；0（ξ），其中^Gj`；0（ξ）是有理函数，kj`∈ R、因此，（2.7）Vj`（T；X）=2πZImξ=ωeixj`ξ-T（2r+ψ（ξ））^Gj`；0（ξ）dξ，其中x=x+uT-kj`。使用sinh加速度技术可以准确快速地计算（2.7）RHS上的积分[17]。方差最小化投资组合中的期权数量由（2.8）n（T；x）=A（T；x）给出-1V（T；x），其中V（T；x）=（[V0j（T；x））-V（T，x）Vj（T，x）]Nj=1）是向量列，a（T；x）=[Vj`（T；x）-V`（T；x）V`（T；x）]j，`=1，。。。，N、是一个矩阵。2.4. 例如：exoticoption的静态套期保值和方差最小化套期保值，Payoff函数Gex由（3.1）给出。案例G（S）=（S- K） +。Letk：=ln K>h：=ln h.然后G（x）1(-∞,h] （x）=0和2h- k=h- （k）- h）直接计算表明，G（x）=Gex（ex）的傅里叶变换在半平面{Imξ>1中定义良好- β} by（2.9）^G（ξ）=H-βK1-βe-iξ（2h-k）(-iξ+β- 1)(-iξ+β）。在对冲投资组合中，我们使用了带有罢工Kj的看跌期权≤ K=H/K，j=1，2，N、设置Gj（x）=（Kj- ex）+；则^Gj（ξ）=K1-iξj/（iξ（iξ- 1））在半平面{Imξ>0}中定义良好。2.4.1. 构建近似静态对冲组合。我们取ω>（1- β)+. 通常，β<0，因此ω>1。我们有（G，G）s，ω=H-2βK2-2βZRe(-iξ+ω）（2h-k）(-iξ+ω+β- 1)(-iξ+ω+β）×e（iξ+ω）（2h-k）（iξ+ω+β- 1）（iξ+ω+β）（1+ξ）sdξ=H4ω-2βK2（1-β-ω） ZR（1+ξ）sdξ（ξ+（ω+β- 1))(ξ+ (ω + β)).10 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIwhere k=ln k。

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2022-6-11 15:25:48

我们可以准确快速地计算积分，使变量ξ=b sinh y的变化最简单，并应用简化的梯形规则。关于b的选择以及简化梯形规则的参数ζ、N的明确建议，请参见【17】。接下来，对于j=1，2，N、我们设置kj=ln Kjand计算（G，Gj）s，ω=H-βK1-βKjZRe(-iξ+ω）（2h-k）(-iξ+ω+β- 1)(-iξ+ω+β）e（iξ+ω）kj(-iξ- ω - 1)(-iξ- ω）（1+ξ）sdξ=H2ω-βK1-β-ωK1+ωjZRe-iξ（2h-k-kj）（1+ξ）sdξ(-iξ+ω+β- 1)(-iξ+ω+β）（iξ+ω+1）（iξ+ω）。如果kj=2h- k、我们对上述相同形式的变量进行正弦变化（参数b、ζ、N的选择略有不同）。如果2h- k- kj<0（分别>0），则有利于使积分轮廓变形，使变形轮廓的翅膀指向上（分别向下）。因此，我们改变变量ξ=iω+b sinh（iω+y），其中ω∈ （0，π/2）（分别为ω∈ (-π/2，0）），并设置ω=-b sinω。参数b、ζ、N的选择如【17】所述。最后，对于j，`=1，2，N、 ω>0，（Gj，G`）s，ω=（KjKk）1+ωZRe-iξ（kj-k`）（1+ξ）sdξ（ξ+ω）（ξ+（ω+1））。如果kj>k\'，我们将轮廓的机翼向下变形，等效地，使用sinh加速度ω∈ (-π/2, 0). 如果kj<k\'，我们使用ω∈ (0, π/2). 最后，如果kj=k\'，我们可以使用任何ω∈ [-π/2, π/2]; ω=0是最佳选择。计算出标量积后，我们应用（2.5）找到近似的静态hedgingportfolio。下面，当对冲组合的金额为固定金额H时，我们将使用该方案的修改-βKKβ-1=（H/K）β-2计算行使K的看跌期权，以及对冲组合中其他看跌期权的权重，以最小化对冲误差。2.4.2. 构建方差最小化的套期保值组合。计算（2.6）RHS上的积分，我们使用（2.9）表示j=0；对于j=1，2，N、 ^Gj（ξ）=K1-iξj/（iξ（iξ- 1).

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nandehutu2022

2022-6-11 15:25:51

为了计算（2.7）的RHS上的积分，我们需要计算Payoff函数乘积的傅里叶变换。直接计算得出（1）\\（G）（ξ）=e-iξ（2h-k） ^G（ξ），对于半平面中的ξ{Imξ>2（1- β） +，式中（2.10）^G（ξ）=2H2βK2（1-β)(-iξ+2β- 2)(-iξ+2β- 1)(-iξ+2β）；（2）对于j=1，2，半平面Imξ>（1）中的N和ξ- β） +，\\GGj（ξ）=e-ikjξ^G0j（ξ），其中（2.11）^G0j（ξ）=（Kj/H）β（H/K）-iξ+β香港-iξ+β- 1.-千焦-iξ+β+1.静态和半静态套期保值11（3）如果Kj≤ K`，则Gjk（x）=（Kj）的傅里叶变换- ex）+（K`- ex）+（2.12）^Gj`（ξ）=Kje-ikjξiξ- 1.K`iξ-Kjiξ- 2.在半平面{Imξ>0}中定义良好。2.4.3. 数值实验。在E.1节收集的表格中，我们研究了静态套期保值和方差最小化套期保值的相对性能。我们考虑支付系数=（S/H）β（H/S）的奇异欧洲期权- K） +；对冲投资组合包括行使Kj=hk的看跌期权-（j）-1） 0.02，j=1#K、式中#K=3，5。对于套期保值的不同变量，我们列出了套期保值投资组合中的期权数量。构建静态投资组合，使Hs中的套期保值误差最小化；ω范数；ω=2（1）的结果基本相同- β)++ 0.1, ω = 2(1 - β） ++0.2，弱依赖于s=0.5，0.55。静态投资组合独立于到期时间T和过程，但nStd确实依赖于两者以及现场S。我们研究了静态对冲投资组合和方差最小化投资组合的标准偏差nStd（通过奇异期权的价格Vex（T，x）归一化）对过程的依赖性，到期时间T和x：=log（S/K）∈ [-0.03, 0.03]. 对于静态套期保值组合，对于每个过程和成熟时间，我们将nStd的范围显示为x的函数∈ [-0.03, 0.03].

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2022-6-11 15:25:54

在方差最小化套期保值的情况下，NJ通过构造依赖于x，我们在表格中显示了NJ和nStd foreach x。我们考虑方差最小化投资组合的两种变体：V M1表示n（与静态投资组合相同）是固定的，V M2表示所有nj可能会变化。在所有情况下，H=1，K=1.02，基本St=ext不支付股息，X是KoBoL；在两个表中，BM带有嵌入式KoBoL组件。第二瞬时动量m=0.1或0.15，c由m，λ+，λ确定-和σ。无风险率可从EMM条件ψ中找到(-i） +r=0；由ψ（ξ）=ψ得出的β(-ξ - iβ）。如果X是KoBoL，则β仅在u=0时存在，然后β=-λ--λ+. 如果存在BM成分，则我们选择σ和u，以便β=-λ+-λ-= -u/(2σ). 表1-5给出了两种情况下存在此类β的结果；在表3和表5中，KoBoL接近BM（ν=1.95），在表1、2、4中，接近NIG（ν=1.2）。BM部分在表4和表5中是非常重要的。读者可能会注意到，参数集不是很自然；原因是很难找到确保（1）β满足ψ（ξ）=ψ的自然参数集(-ξ - iβ）， ξ ∈ R、存在；（2） EMM状态保持不变。在表6和表7中，我们给出了u6=0的相当不对称的三次Kobol的结果，并考虑了β=-λ-- λ+. 当然，这种奇异期权甚至不能正式用于对冲障碍期权，但可以用于比较奇异欧洲期权的两种对冲变体。表格说明了以下一般性意见。（1）如果静态对冲投资组合中的Vanilla数量足够大，则该投资组合在广泛的现货和行权范围内提供统一（近似）对冲。

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大多数88

2022-6-11 15:25:57

因此，如果跳跃密度缓慢衰减，人们预计，在远离现场的地方，静态hedgingportfolio将优于方差最小化投资组合。表1表明，即使跳跃密度的衰减率只是中等程度的小，并且过程离BM不远，静态投资组合的方差与最小方差投资组合的方差不同（在中等范围内分别为每个点构建，并使用有关过程特征的信息），由12 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKI（仅为平均百分比）；如果跳跃密度衰减较慢和/或过程距离BM较远，则相对差异较小。因此，如果跳跃密度的衰减率不大，且密度近似对称，则静态投资组合在对冲小波动风险方面具有竞争力。很明显，尾部静态投资组合的套期保值性能必须更好。（2）然而，如果跳跃密度衰减速度适中，则静态投资组合的方差可以大大大于方差最小化投资组合的方差（表2-3），并且添加了ifa中等BM成分，则相对差异变大（表4-5）。（3）在表1-5中，跳跃密度近似对称。在表6-7中，我们考虑了跳跃密度适度不对称的纯跳跃过程。在这种情况下，静态投资组合的方差远大于方差最小化投资组合的方差。（4）当使用5个Vanilla时，方差最小化投资组合VM1和VM2的质量在大多数情况下基本相同，尽管投资组合权重可能会有所不同。

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2022-6-11 15:26:01

因此，根据经验，可以建议在理想静态投资组合的整体表示中使用与度量的原子部分相关的Vanilla，前提是这些Vanilla在市场上可用。观察结果（1）-（2）对障碍期权半静态对冲的含义如下。如果BM成分的方差对过程的瞬时方差做出了不可忽视的贡献，则使用连续期权的理想半静态套期保值会提高，但用有限和近似期权积分的质量会降低。因此，人们应该预计，在所有情况下，障碍期权的方差最小化对冲将明显优于近似的半静态对冲。3、对冲向下和向内、向下和向外期权3.1。半静态对冲。Carr和Lee[29]在参考测度P下对正鞅M给出了几个等价条件，将这些鞅的类称为PCSprocesses，并为各种类型的障碍选项设计了半静态复制策略。由于[29]中定理5.10的证明强烈依赖于这样一个假设，即在随机时间τ，当势垒H被突破时，基础恰好位于势垒处，在[29]中的Remark5.11中，作者指出，这些策略复制了所有PCS过程（包括有跳跃的过程）的有问题选项，前提是跳跃不能跨越势垒。然而，定义PCS过程的一个等效条件是M下MT/Munder P和M/MT的分布相等，其中dM/dP=MT/M。该条件意味着M具有正跳跃当且仅当M具有负跳跃时。因此，如果跳跃inM没有穿过障碍物，等效地，在障碍物的方向上没有跳跃，那么在相反的方向上没有跳跃，因此，M没有跳跃。

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2022-6-11 15:26:04

进一步放宽PCS条件，Carr和Lee[29]将其推广到各种非对称动力学，但单向跳跃的性质是不可能的，这意味着这些非对称动力学下障碍期权的半静态复制结果只有在不存在跳跃的情况下才有效。Carr和Lee【29】给出了额外的条件，以确保“in”期权的半静态投资组合的超级复制性；但[29]中推荐的“out”选项的相应组合将复制该选项。静态和半静态套期保值13为了进一步澄清这些问题，在A节中，我们根据特征函数ψ推导了L'evy过程X的广义对称条件：β ∈ Rs.t.ψ（ξ）=ψ(-ξ - iβ）表示ψ域中的所有ξ，并表明该条件意味着X是布朗运动（BM），无风险利率等于股息率，或者在两个方向上都有跳跃，跳跃分量的不对称性由波动率σ和漂移u唯一定义。此外，如果σ=0，则u=0。对于DOWN和带有Payoff G（XT）=G（eXT）和barrier H的期权，我们重新推导了奇异欧式期权的Payoff公式，在存在跳跃的情况下，仅复制barrier期权约：（3.1）Gex（ST）=（G（ST）+（S/H）βG（H/S））1ST≤H、上面的数值例子表明，如果BM分量为0，则静态投资组合或带付息（3.1）的奇异期权的套期保值误差的方差接近方差最小化投资组合的方差，跳跃密度不会快速下降，并且近似对称；如果BM分量相当大和/或跳跃密度不对称或快速衰减，则静态投资组合的方差显著大于方差最小化投资组合的方差。

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2022-6-11 15:26:07

因此，当理想化的半静态复制奇异期权与障碍期权的近似值很差时，静态投资组合是一个很好（甚至是最好）的选择。3.2. 方差最小化套期保值的一般方案。我们考虑单因素模型。基础利率为eXt，没有股息，无风险利率r为常数。设V（t，Xt）为EMM Q chosenfor定价下到期日为t的待套期或有权益的价格。设Vj（t，Xt），j=1，2，N、是用于对冲的期权的价格。我们假设后一种期权不会在τ之前到期∧ T，其中τ=τ-他第一次进入down和in选项的激活区域U（在down和out选项的提前到期区域）。正如关于半静态套期保值的论文中所述，我们假设，在时间τ∧ T，对冲组合被清算。让(-1，n，nN）是对冲组合中证券数量的向量。清算日的投资组合τ∧ T是随机变量p（τ∧ T、 Xτ∧T） =-V（τ∧ T、 Xτ∧T） +NXj=1njVj（τ∧ T、 Xτ∧T），且清算日的贴现投资组合为P（τ∧T、 Xτ∧T） =e-rτ∧TP（τ∧T、 Xτ∧T）。可以考虑P（τ）的方差最小化问题∧ T、 Xτ∧T）或P（τ∧T、 Xτ∧T），我们可以计算用于定价的EMM Q或历史度量P下的方差。我们考虑P（τ）方差的最小化∧ T、 Xτ∧T）在Q下，设x=x，对于j，k=0，1。

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2022-6-11 15:26:10

，N，设置Cj`（x）=Vj（0，x）V`（0，x）和（3.2）Cj`（x）=Exhe-2rτ∧TVj（τ∧ T、 Xτ∧T） V`（τ∧ T、 Xτ∧T） i.14 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIUsing E[（U-E[U]]=E[U]-E【U】，我们表示P（τ）的方差∧T、 Xτ∧T）形式V arP（x）=C（x）- C（x）- 2njNXj=1（C0j（x）- C0j（x））（3.3）+NXj=1wj（Cjj（x）- Cjj（x））+Xj6=`，j，`=1,2，。。。，Nnjn`（Cj`（x）- Cj`（x）），并将最小n=n（x）确定为（3.4）n（x）=A（x）-1B（x），其中B（x）=[C0j（x）- C0j（x）]j=1，。。。，Nis是一个列向量，a=[Cj`（x）- Cj`（x）]j，`=1，。。。，如果随机变量Vj（τ∧ T、 Xτ∧T），j=1，2，N、不相关。要计算Cj`（x），必须计算Vj（0，x）和V`（0，x）。我们将Vj（0，x）分解为第一次接触选项Vjft（x）与支付Vj（τ，xτ）1τ之和≤T、和无接触选项Vjnt（x），Payoff Vj（T，XT）1τ>T。给定x的模型，我们可以计算无接触和首次接触选项的价格。同样，我们可以将Cj`（x）分解为第一个触摸选项Cft的总和；j`（x）带payoff Vj（τ，xτ）V`（τ，xτ）1τ≤T、无触摸选项Cnt；j`（x）的payoff Vj（T，XT）V`（T，XT）1τ>T。如果可以显式计算选项Vjand V`的payoff函数gj和GjG`的傅立叶变换，则可以有效地计算无接触选项；然后可以应用几种基于傅立叶反演的方法。首先，可以将[21、10、8、11]中开发的Carr随机化方法应用于L'evy模型中的期权定价。在没有触摸选项的情况下，有必要进行简单的推广，因为在本文的设置中，Payoff函数依赖于（t，Xt），而不是像[21，10，8，11]中那样仅依赖于Xt。除了Wiener-Hopf因子的计算（对于一般的L'evy过程，必须在对偶空间中进行）外，【21、10、8、11】中的其余计算都是在状态空间中进行的。

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2022-6-11 15:26:13

状态空间[10、8、11]中的计算对于小型t和ν，如果L′evy密度的尾部衰减非常快。在第4.2节中，我们设计了计算维纳-霍普夫系数的新有效程序。这些程序具有普遍意义。第二种方法是卡尔随机化的更有效版本。反向程序条的每一步计算——最后一步——都保留在dualspace中。这些步骤的形式与希尔伯特变换法（Hilbert transform method）[39]中针对具有离散监控的路障选项的形式相同，每个时间步骤使用不同的运算符。在[39]中，运算符为（1- e-rt）（一）- et型(-r+L）），其中L是所用概率测度下X的最小生成元；在Carr的随机化设置中，运算符为q-1（q- 五十），其中q=r+1/t、以及t是时间步长。如果t不小和/或过程的阶数ν接近2，则（1-e-rt）（一）-et型(-可以使用快速希尔伯特变换有效地实现r+L）。否则，可能需要过长的网格。q的有效数值实现-1（q-五十）在对偶空间中，对于稳定的L'evy过程，需要比有效的数值演算长得多的网格，对于具有指数键合跳跃密度的过程，在[21]中定义的过程顺序是Blumenthal-Getoor指数静态和半静态对冲15实现（1- e-rt）（一）- et型(-如果使用快速希尔伯特变换。因此，这种简单的方案可能非常有效。相反，我们可以应用双螺旋法（Double Spiralmethod）[56]，在每个时间步计算两个等高线上期权价格的傅立叶变换。在【56】中，考虑了离散抽样的亚洲期权，并且在反向归纳过程的每个步骤中产生的复杂函数结构要求使用积分的FL at等值线。

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能者818

2022-6-11 15:26:16

在屏障选项的应用中，双螺旋方法中的轮廓可以有效变形，并应用了[17]中开发的有效sinh加速技术。也就是说，我们可以使用ξ=iω+b sinh（iω+y）形式的变量变化和简化的梯形规则。因此，每个时间步的精确积分数值计算需要在简化的梯形规则中求2-3打的项的和。我们将使用两种版本的Carr随机化来设计明确的套期保值程序。本文直接应用双傅里叶/拉普拉斯反演的一般公式。在无接触选项的情况下，这些公式与[13]中的公式相同，但有以下改进：使用了sinh加速度，而不是变量的分数抛物线变化。在第一次触摸选项的情况下，需要进行额外的推广，因为与[13]中考虑的情况相反，支付取决于（t，Xt）而不是Xtonly。可以使用在状态空间中使用近似的其他方法。任何这样的方法都有几个错误源，不容易控制。即使在欧洲和障碍期权定价的情况下，也可能会导致严重的错误（参见[14、12、54]的示例），并且通常需要在状态空间中使用很长很细的网格。【43、45、44】中关于截断参数选择的建议依赖于一系列论文中使用的截断参数的特别建议【37、38、36】。正如【14，32】中的示例所示，即使只应用一次，该特别建议也可能不可靠。在本文提出的套期保值框架中，对于初始问题的时间离散化，需要多次应用截断，因此，误差控制几乎是不可能的。3.3.

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大多数88

2022-6-11 15:26:19

流程和支付功能的条件。我们考虑的是彻底失败的情况；H=EH是障碍，T是到期日，G（XT）是到期付款。如果特征指数允许解析延拓到条锥的并集，并且表现出有效的规律性，则定价/对冲公式的最有效实现是可能的。有关相应类别的列维过程（称为SINHregular）的一般定义，以及列维模型和有效模型中欧式期权定价的应用，请参见【17】。在本文中，为了简单起见，我们假设特征指数对具有两个割点的复平面进行分析延拓。假设（X）。X是一个L'evy过程，其特征指数ψ允许解析延拓到复平面，其切割i(-∞, λ-], i[λ++∞);2、ψ允许表示ψ（ξ）=-iuξ+ψ（ξ），其中u∈ R、 ψ（ξ）具有如下渐近性，即ξ→ ∞: 对于任何∈ (-π/2，π/2）：（3.5）ψ（ρeiД）=c∞eiννρν+O（ρν），ρ→ +∞,16 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIwhereν∈ （0，2），ν<ν独立于Д和c∞> 0.然后（3.6）Re c∞eiνν>0，|ν|<π/（2ν）。条件（3.6）意味着如果ν∈ （0，1），然后|Д|≥ π/2可以接受。对于金融中使用的L'evy过程的标准类，如果我们考虑适当的黎曼曲面的解析延拓，这是可能的。详见【14，53】。在本文中，我们将不使用黎曼曲面的解析延拓。示例3.1。

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2022-6-11 15:26:22

（1）基本上，定量金融中使用的所有L'evy过程都是椭圆正弦L'evy过程：布朗运动（BM）；默顿模型【60】；NIG（正态逆高斯模型）[5]；双曲过程[34]；双指数跳跃扩散模型【57、58、47、48、49】；其推广：超指数跳跃扩散模型，在[51，57]中介绍，并在[51，52]中详细研究；β类的大多数过程[50]；广义Koponen族[19]及其子类KoBoL[21]。KoBoL的一个子类（称为CGMY模型-见[28]）由特征指数（3.7）ψ（ξ）=-iuξ+cΓ(-ν)[λν+- （λ++Ⅰξ）ν+(-λ-)ν- (-λ-- iξ）ν]，其中ν∈ （0，2），ν6=1（在ν=1的情况下，分析表达式不同：见[19，21]）。[6]中构造的NTS过程的特征指数由（3.8）ψ（ξ）=-iuξ+δ[（α+（ξ+iβ））ν/2- (α- β） ν/2]，其中∈ (0, 2), δ > 0, |β| < α.（2）对于KoBoL、VG和NTS，ψ允许解析延拓到适当的黎曼曲面。当SINH加速度用于计算维纳-霍普夫系数时，此扩展可能有用，而对于欧式期权的定价则不太有用。（3）渐近系数c∞（argξ）是（i）如果X是BM，DEJD和HEJD，c∞= σ/2;（ii）如果X由（3.7）给出，c∞= -2cΓ(-ν） cos（πν/2）；（iii）如果X由（3.8）给出，c∞= δ.（4）在[19]中，我们构造了更一般的L'evy过程类，其特征指数的形式为（3.9）ψ（ξ）=-iuξ+c+Γ(-ν+)[λν++- （λ++Ⅰξ）ν+]+c-Γ(-ν-)[(-λ-)ν-- (-λ-- iξ）ν-],其中c±≥ 0，c++c-> 0, λ-< 0 < λ+, ν±∈ （0，2），ν±6=1，修改为ν+=1和/或ν-= 对于这些过程，更涉及分析性和界限的领域。特别是，一般来说，圆锥曲线不是对称的w.r.t。

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2022-6-11 15:26:27

真正的轴。注意，在KoBoL的强不对称版本中，尤其是在光谱单侧酪蛋白中，条件c∞> 0不成立，应替换为arg c∞∈(-π/2, π/2).假设（G）。1.G是一个可测函数，它有一个界（3.10）| G（x）|≤ C（1+eβx），其中C>0和β∈ [0, -λ-) 独立于x∈ R静态和半静态对冲172。（i）G（x）=eβx，x∈ R、或（ii）G^G（ξ）=ZRe的傅里叶变换-ixξG（x）dx在半空间{Imξ<-β} ，并允许表示^G（ξ）=e-iaξ^G（ξ），其中a∈ R和^G（ξ）是一个在单位衰减的有理函数。请注意，只有值G（x），x>h才重要，因此，我们可以将G替换为1（h+∞)G、此外，没有必要单独考虑（i）的情况。示例3.2。（a） G=1(-∞,h] ：无接触选项的Payoff函数和该Payoff的平方；（b） G（x）=ex：到期日T和XT=x的标的价值，以及后者的产品和非接触数字的支付；（c） G（x）=e2x：到期日T时标的物的平方，XT=x；（d） G（x）=（ex- K） +：看涨期权的支付函数。^G（ξ）=e-ikξG（ξ），其中K=ln K，且^G=K/（iξ（iξ- 1）在0和-i、（e）G（x）=（ex- Kj）+（ex- K`）+：两个看涨期权的支付函数的乘积。当Kj=K时，我们有一个有动力看涨期权的payoff函数。^Ghas 3 simplepoles at 0，-我和-2i。如果Kj≥ K`，^G（ξ）由（2.12）给出。（f） G（x）=（K- ex）+：看跌期权的支付函数；^G（ξ）=e-ikξ^G（ξ），其中K=ln K，^G=K/（iξ（iξ- 1）在0和-i、（g）g（x）=（ex- Kj）+（K`- ex）+：看涨期权和看跌期权的支付函数的乘积。当Kj=K时，我们有一个动力看跌期权的payoff函数。^Ghas三个简单极点位于0，-我和-2i。如果Kj≤ K`，^G（ξ）由（2.12）给出。备注3.1。

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2022-6-11 15:26:30

在（a）和（f）（乘以1（h+∞)), G满足条件2，β=0，在（b）和（d）中-β=1，在其他情况下-β=2.3.4。更通用的支付功能和嵌入式选项。在嵌入期权的情况下，在假设（G）中形式化的^G的简单结构是不可能的。下面的概括允许我们考虑瓦尼拉和一些奇异选项的价格。对于γ∈ （0，π/2），在复平面C+γ={z）中定义圆锥体∈ C | arg z∈ (-γ、 γ）}，Cγ=C+γ∪ (-C+γ）。对于u-< u+，设置S（u-,u+：={ξ| Imξ∈ (u-, u+)}.假设（Gemb）。1.G是一个可测函数，它允许有界（3.10）；2、存在∈ R、 δ>0和γ∈ （0，π/2），使得^G（ξ）=e-iaξ^G（ξ），其中^G（ξ）在S（λ）中是同构的-,λ+)∪ Cγ具有一定数量的极点，衰减为|ξ|-δ或更快，如ξ→ ∞ 剩余S（λ-,λ+)∪ Cγ。4、维纳-霍普夫分解4.1。维纳-霍普夫分解：在[20，21，10，13，53]中使用和推导的基本事实。【20、21、10、13、53】中根据维纳-霍普夫系数推导了非接触式和首次接触式期权通用定价公式的几个等效版本。在这一小节中，我们列出了本文中使用的符号和事实。18 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKII4.1.1。维纳-霍普夫分解的三种形式。设X是具有特征指数ψ的L'evy过程。上确界和内确界过程由Xt=sup0定义≤s≤tXsandXt=inf0≤s≤tXs。设q>0，且tq是平均值为1/q的指数分布随机变量，与X无关。

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