然后（参见，例如，【22，21】）（I）存在σ-（q） <0<σ+（q），使得（4.7）q+ψ（η）6∈ (-∞, 0），Imη∈ (σ-（q） ，σ+（q））；（二） Wiener-Hopf因子φ+q（ξ）允许半平面Imξ>σ的解析延拓-（q） ，并可计算如下：对于任何ω-∈ (σ-（q） ，Imξ），（4.8）φ+q（ξ）=exp2πiZImη=ω-ξln（q+ψ（η））η（ξ- η） dη;静态和半静态套期保值19（III）维纳-霍普夫系数φ-q（ξ）允许半平面Imξ<σ+（q）的解析延拓，并且可以计算如下：对于任何ω+∈ （Imξ，σ+（q）），（4.9）φ-q（ξ）=exp-2πiZImη=ω+ξln（q+ψ（η））η（ξ- η） dη.注意，可以使用1+ψ（η）/q代替q+ψ（η）；积分（4.8）-（4.9）不变。当然，在这种情况下，我们需要（4.10）1+ψ（η）/q 6∈ (-∞, 0），Imη∈ (σ-（q） ，σ+（q））。在ψ的附加条件下，Wiener-Hopffactors存在更有效的公式。见第B.4.1.3节。q固定的维纳-霍普夫系数w.r.t.ξ的解析延拓。在假设（X）下，ψ（η）在具有两个切口i的复平面上是解析的(-∞, λ-] 和i[λ++∞), 对于任何ω-, ω+]  (λ-, λ+，Reψ（η）→ +∞ asη→ ∞ 保留在条带中。因此，对于[ω-, ω+]  (λ-, λ+，存在σ>0 s.t.如果Re q≥ σ、 然后（4.7）保持不变。因此，对于秦，半平面{Re q≥ σ} ，（1）（4.8）在半平面{Imξ>ω上定义φ+q（ξ）-}, φ的解析延拓-q（ξ）到条带S（ω-,ω+）可由（4.11）φ定义-q（ξ）=q（q+ψ（ξ））φ+q（ξ）；（2） （4.9）定义φ-半平面{Imξ<ω+}上的q（ξ），以及φ+q（ξ）到条带S（ω）的解析延拓-,ω+）可由（4.12）φ+q（ξ）=q（q+ψ（ξ））φ定义-q（ξ）。备注4.1。因此，φ+q（ξ）（分别为φ-q（ξ））允许解析延拓w.r.t.ξtoC\\i(-∞, ω-] （分别为C\\i[ω++∞)).对于ω，ω∈ R和b>0，引入函数C 3 y 7→ χ（ω，ω，b；y）=iω+b sinh（iω+b）∈ C、 曲线L（ω，ω，b）=χ（ω，ω，b；R），是χ（ω，ω，b；·）下实线的图像。

如果ω=0（>0，<0），则曲线为FL（机翼分别向上和向下）。为了简单起见，我们将使用ω∈ [-仅π/2，π/2]；如果ψ允许解析延拓到适当的黎曼曲面，则ω6∈ [-可以使用π/2，π/2]，然后曲线位于该曲面上。详见【14、13、53、17】，图示见图2。根据情况，我们需要Wiener-Hopf因子，要么在机翼朝上（ω>0）的曲线L（ω，ω，b）上，要么在机翼朝下（ω<0）的曲线L（ω，ω，b）上。在前一种情况下，我们变形积分轮廓（在我们使用的维纳-霍普夫因子公式中），使变形轮廓L（ω，ω，b）的翅膀向下（ω<0），在后一种情况下，向上（ω>0）。这一简单的要求很容易满足，第二个要求也很容易满足：曲线不相交。的确，如果ω∈ （0，π/2）和ω∈ [-π、 2，0），当且仅当20 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIifmer与虚轴的交点位于后者与同轴的交点上方时，曲线不相交：（4.13）ω+b sinω>ω+bsinω。关于L（ω，ω，b）的最后一个条件是，对于感兴趣的q，函数L（ω，ω，b）3η7→1+ψ（η）/q∈ C（或η7→ q+ψ（η））定义良好，在积分初始线变形为L（ω，ω，b）的过程中，图像不相交(-∞, 0]. 如果曲线参数固定，则如果重新q≥ σ和σ>0非常大。有关详细信息，请参见[53]，其中使用了不同的变形族（方向抛物线变形族）。

在sinh加速度和分数抛物线变形的情况下，实际上，曲线稳定为射线，因此，如果q>0，可以使用[53]中的分析推导变形参数的条件。如果应用Gaver-Stehfest方法，那么我们只需要对q>0使用维纳-霍普夫分解技术，并在[53]中进行分析。[13]中使用的另一种方法是变形Bromwich积分中的积分轮廓；在这种情况下，维纳-霍普夫因子公式中后者的变形和轮廓的变形必须在某种程度上一致。我们概述了C节中对变形参数的限制。对于正q，对于金融中使用的所有流行的l'evy过程，很容易找到最大（绝对值）σ±（q）。正如文献[21]所证明的那样（另见文献[53]），方程q+ψ（ξ）=0在具有两个切口i的复平面中具有0或1或两个根(-∞, λ-] 和i[λ++∞).每个根都是纯粹虚构的-iβ±q，其中-β-q∈ （0，λ+）和-β+q∈ (λ-, 0).如果根-iβ±qexists，然后σ（q） =-β±q顺σ±（q）=λ±。4.2. 使用sinh加速度计算维纳-霍普夫系数。如果对于平面反演，使用Gaver Stehfest方法或其他仅使用正q的方法，那么我们可以取任意ω∈ [-π/2，π/2]和ω=-ω. 如果ψ允许解析延拓到适当的黎曼曲面（就像某些类的L'evy过程一样），那么ω6∈ [-可以使用π/2，π/2]。曲线位于复杂平面中，但在y坐标系中，曲线周围的“锥形”区域是黎曼曲面的子集。详见【14、13、53、17】。

在[14，13，53]中，与两个切口的复杂平面变形相比，黎曼曲面积分轮廓的分数抛物线变形显著增加了被积函数的衰减速率；simpli fiedTrapezoid规则中的术语数量减少了10-1000倍甚至更多（详细分析见[54]）。如果使用sinh加速度，则增益不会太大（如果有的话）：simpli fiedTrapezoid规则中的项数最多会减少1.5-2倍，但需要计算的解析表达式会变得更加复杂。因此，在本文中，我们使用ω，ω∈ [-π/2，π/2]，符号相反。与分馏抛物线变形相比，sinh加速度还有另一个优点。如【53】所示，如果q>0很小（如果T很大，则Gaver Stehfest公式中的某些项也是如此），则第4.1.2小节中的σ±（q）之一或两者的绝对值都很小，则被积函数的分析性条带太窄。因此，如果应用变量的分数抛物线变化，则简化梯形规则中的网格大小ζ必须满足所需的误差容限 太小，且项数N太大。双重空间中的重缩放可以增加分析性条带的宽度，但乘积∧：=Nζ必须增加，N的减少是静态和半静态对冲21-40-30-20-10 0 10 20 30 40-30-20-100102030图2。KoBoL模型的等高线示例。参数：ν=1.4，c=0.1466，λ-= -30, λ+= 25. 十字和圆形：-iβq、 破折号：L（15.0、0.71、8.1）。点划线：L（0，0.76，12.2）。圆点：L(-1.-0.35, 8.6). 实线：L(-15, -0.71，12.1）22斯维特拉娜·博亚琴科和谢尔盖·列文多斯基IInsignic。如果使用sinh加速度，则重缩放（使用适当的小B）不会显著增加∧。

粗略地说，在选择∧的建议中，1/ 应替换为1/ + a ln（1/b），其中a是一个中等常数，与, b和其他参数。如【16】中的数值示例所示，即使初始解析性条带宽度为10，这种重新校准效率也是有效的-6及以下。因此，在本文中，我们将使用带有Rho-Wynn加速度的Gaver Stehfest方法。对于每个q，我们使用以下版本的（4.8）-（4.9）：（i）对于ξ∈ L（ω，ω，b），（4.14）φ+q（ξ）=expb2πiZRξln（q+ψ（χ（ω，ω，b，y））η（ξ- χ（ω，ω，b，y））bcosh（iω+y）dy;（ii）对于ξ∈ L（ω，ω，b），（4.15）φ-q（ξ）=exp-b2πiZRξln（q+ψ（χ（ω，ω，b，y））η（ξ- χ（ω，ω，b，y））bcosh（iω+y）dy.应用简化梯形规则对每个积分进行评估。4.3. 数值示例。在表8中，我们应用上述方案计算ν=1.2阶的φ±q（ξ）inKoBoL模型。如果在30点处计算系数，则需要大约1.5毫秒才能满足误差容限 = 10-15和1.0-1.2毫秒，以满足误差容限 = 10-10、第一种情况下，术语数量在350-385之间，第二种情况下，术语数量在159-175之间。满足10级误差容限-20，大约500个术语就足够了，但自然需要高精度的算术运算。无接触选项的计算和无接触产品的期望5.1。无接触选项的通用公式。在[10，13，53]中，证明了V（G；T，x）=erTV（G；T，x）w.r.T.T的Laplacetransform▄V（G；T，x）由（5.1）▄V（G；q，x）=q给出-1（E）-q（h+∞)E+qG）（x）。结果在比假设（X）和（Gemb）更一般的条件下得到证明。设F表示傅里叶变换的算子，并设∏+h：=F1（h+∞)F-算子∏+系统地出现在维纳-霍普夫分解理论和边值问题中。

有关多维问题应用中的一般设置，请参见[35]。考虑到E±q=F，使用F和∏+手-1φ±qF，我们将（5.1）改写为（5.2）~V（G；q，x）=q-1（F-1φ-q∏+hφ+qFG）（x）。引理5.1。设f是条带S（σ）中的解析函数-,σ+，其中σ-< σ+，衰减为|ξ|-s、 s>1，如ξ→ ∞ 保留在条带中。那么（π+hf）（ξ）在半平面{ξ| Imξ<σ+}上是解析的，并且可以通过以下三个公式中的任何一个来定义：a）对于任何ω+∈ （Imξ，σ+）（5.3）π+hf（ξ）=2πiZImη=ω+eih（η-ξ） f（η）ξ- ηdη；任何ω的静态和半静态对冲23b）-∈ (-∞, Imξ，（5.4）π+hf（ξ）=f（ξ）+2πiZImη=ω-eih（η-ξ） f（η）ξ- ηdη；c） （5.5）π+hf（ξ）=f（ξ）+2πiv.p.ZImη=Imξeih（η-ξ） f（η）ξ- ηdη，其中v.p.表示积分的Cauchy主值。证据a） 应用∏+hand-Fubini定理的定义，我们得到∏+hf（ξ）=（F1（h+∞)F-1f）（ξ）=Z+∞他-ixξ（2π）-1ZImη=ω+eixηf（η）dηdx=ZImη=ω+f（η）（2π）-1Z+∞hei（η-ξ） xdxdη=2πiZImη=ω+eih（η-ξ） f（η）ξ- ηdη，（5.6），证明了（5.3）。b） 我们将（5.6）中的集成线向下推。在η=ξ处通过简单极点时，应用柯西剩余定理，得到（5.4）。c） 设ω：=Imξ，a=Reξ。我们使轮廓Imξ=ωintoL变形= iω+((-∞, 一- ) ∪ （a+, +∞)) ∪ {ei| 0≤ φ ≤ π} 然后到达极限 ↓ 0。结果为（5.5）。备注5.1。a） 设ω=h=0。那么（5.5）可以写成∏+=I+2iH的形式，其中I是单位算子，H是希尔伯特变换。因此，∏+的实现本质上等同于H.b）的实现。类似公式在多维情况下有效，对于∏+hacting在适当的广义函数空间中有效。特别是，可以放宽关于衰减速率的条件。

在f上适当的正则条件下，可以证明方程（5.5）在iω+R线上定义的f，其结果是同一条线上的函数，允许解析延拓到该线下的半平面。见【35】。以下定理是[20，21]中无接触期权定价一般定理证明的一部分；我们将根据（5.2）概述证明。定理5.2。假设（X）和（Gemb）成立，假设ω-∈ (λ-, -β） 和ω+∈(ω-, -β). 然后存在σ>0，使得对于半平面中的所有q{Re q≥ σ} ，且所有x>h，~V（G；q，x）=2πqZImξ=ω+dξeixξφ-q（ξ）2πZη=ω-dηeih（η-ξ） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η） （5.7）+2πZImξ=ω+dξeixξ^G（ξ）q+ψ（ξ）。（5.8）24 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIProof。我们可以选择σ，这样，对于半平面{Re q中的固定q≥ σ} ，φ±q（η）和^G（η）区域分析带η∈ S[ω-,ω+]. 因此，乘积φ+q（η）^G（η）在同一条带中是解析的，并且通过引理5.1，函数（πhφ+q^G）（ξ）在半平面{Imξ）中是解析的∈ (-∞, ω+)}.应用（5.4），我们得到（5.7）-（5.8）。更详细地说，在（5.8）的RHS上，我们首先得到2πqZImξ=ω+dξeixξφ-q（ξ）φ+q（ξ）^G（ξ），然后应用维纳-霍普夫分解公式（4.6）。（5.7）（5.8）的RHS上的积分绝对收敛（或在振荡积分w.r.t.ξ中按部分积分后绝对收敛），其和等于V（G；q，x）。参见【20、21、9】。用M表示Gaver Stehfest公式中的q集，用q（q）表示权重。我们有一个近似值（5.9）V（G，T；x）=e-rTXq公司∈MQ（q）eqTV（G；q，x）。仍然需要设计一个有效的数值程序来评估￠V（G；q，x），q>0.5.2。（5.7）-（5.8）RHS上积分的Sinh加速度。

首先，我们将（5.7）-（5.8）改写如下：对于x>h，V（G；q，x）=2πqZImξ=ω+dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）2πZImη=ω-dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η） （5.10）+2πZImξ=ω+dξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ），（5.11），其中a≥ h和^g满足假设条件（Gemb）。Asη→ ∞,^G（η）→ 如果顺序ν∈ [1，2]或u=0，然后φ±q（ξ）→ 0为ξ→ ∞ 在分析性领域；如果ν<1且u6=0，则其中一个维纳-霍普夫因子稳定不变，另一个因子衰减为1/|ξ|。自x起- h>0时，有利于在（5.10）的RHS上变形外轮廓，使变形轮廓的机翼指向上：L+：=L（ω，ω，b）=χ（ω，ω，b；R），其中ω>0。在这个阶段，我们对轮廓进行变形，使被积函数的极点（如果存在的话）不交叉，然后考虑交叉的情况。在所有情况下，在变形过程中，曲线必须保持在S（λ）内-,λ+)∪ Cγ，其中Cγ是假设中的圆锥体（Gemb），S（λ-,λ+={ξ| Imξ∈ (λ-, λ+)}. 如果假设（G）成立，那么我们可以取任意γ∈ (0, π/2); 在我们的数值实验中，我们将取γ=π/4。内轮廓的变形类型取决于- h、 如果a≥ h、 在看跌期权和看涨期权的情况下，这意味着走向在障碍上方或障碍处，然后我们可能会使轮廓向下变形。变形轮廓的形状为L-:= L（ω，ω，b）=χ（ω，ω，b；R），其中ω<0；与外轮廓变形的情况一样，我们选择变形的参数，以便在变形过程中，内被积函数的极点不交叉，并在以后考虑交叉的情况。选择两个指针的参数，使L+严格高于L-. 当a<h（走向低于屏障）时，可简化为G（x）=1[h+∞)eβx。我们有^G（ξ）=eβh-ihξφ+q(-iβ）/（iξ-β） ，静态和半静态套期保值25因此，假设（G）在a=h时有效。

如果G是嵌入期权的价值函数，则a<h是可能的（例如，嵌入欧洲看跌期权或看涨期权的行权低于屏障）。我们在第5.4节中单独考虑了这种情况。（5.11）RHS上积分轮廓的变形类型取决于x的符号- a、 如果x- a>0，我们使用L+，如果x- a<0，则L-. 如果x- a=0，则可以使用其他变形。我们的结论是，对于大多数不涉及嵌入选项的应用程序，我们可以在外积分中使用形式L+的变形轮廓和形式L-在内积分中，当x>h时，写▄V（G；q，x）（5.12）=2πqZL+dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）2πZL-dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η） +2πZLdξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ），其中变形轮廓的类型取决于x的符号-a： L=L+如果x-一≥ 0，L=L-如果x- 一≤ 为了对积分进行数值计算，我们对变量ξ=iω+b sinh（iω+y）和η=iω+bsinh（iω+y）进行了更改，并应用简化的类曲律w.r.t.y和y.5.3。交叉杆。为简单起见，我们考虑q>0的情况。因此，只有在应用Gaver Stehfest方法或其他类似方法的情况下，才能应用本小节中的结果。假设两种解决方案-iβ±qexist。5.3.1. 案例h≤ 一≤ x、 x>h。如果G（x）=（ex-ea）+或G（x）=（ea-ex）+，条件x≥ AME表示对应的欧洲呼叫是ITM或ATM，而put是OTM或ATM。重新调用初始积分线和变形轮廓位于被积函数的解析带中，围绕实轴。因此，L+（分别为L-) 虚线iR在下面-iβ-q（分别如上-iβ-q） 。在（5.12）的RHS上，我们将L+向上移动（分别为L-向下），在-iβ-q（分别位于-iβ+q），并在CUI[λ+]之前停止+∞) （分别为i(-∞, λ-]) 已到达。

在穿越极点时，我们应用留数定理和等式（5.13）limξ→-iβ±qq-1φ±q（ξ）（ξ+iβ±q）=ψ(-iβ±q）φq(-iβ±q），从（4.11）-（4.12）开始。表示新轮廓L++和L--. 在（5.12）的RHS上的最后一个积分中，我们将Linto L++（或具有L++特性的轮廓）变形。在变形过程中，我们可能必须穿过{Imξ=ω线上方的^g的极点-} 但低于轮廓线L++。设Z（^G；ω）-, L++）这些极点的集合，并且在过程的其他假设下，如果应用Bromwich积分中的轮廓变形，则可以应用类似的构造。例如，参见[55]，其中应用了分数抛物线变形。26斯维特拉娜·博亚琴科（SvetlanaBoyarchenko）和谢尔盖·列文多尔斯基（SergeiLevendorski）波兰人很简单，不同于-iβ-q那么▄V（G；q，x）=2πqZL++dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）2πZL--dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η)(5.14)-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） 2πZL--dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）η+iβ-q-e-β+q（a-h） ^G(-iβ+q）φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）2πZL++dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）ξ+iβ+q-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） e类-β+q（a-h） ^G(-iβ+q）φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）（β+q- β-q） +2πZL++dξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ）+ieβ-q（x）-a） ^G(-iβ-q） ψ(-iβ-q） +Xz∈Z（^G；ω）-,L++）ie-iz（x-a） q+ψ（z）limz→z^G（z）（z- z） 。请注意，如果-iβ±qdo在变形过程中不存在或不交叉，在移除所有β±qa项后，大于（5.14）的值有效。在认购期权定价的应用中，^G（η）=e-iaη^G（η），其中a=ln K，且^G（η）=-Ke公司-rTη（η+i）在-i、 0，即使两极-iβ±qare未交叉：~Vcall（q，x）=-Ke公司-rT（2π）qZL+dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）ZL-dηe-iη（a-h） φ+q（η）η（η+i）i（ξ- η)(5.15)-Ke公司-rT2πZL+dξei（x-a） ξ（q+ψ（ξ））ξ（ξ+i）+Ke-rT公司前任-aq+ψ(-（一）-q.5.3.2. 情况h<x<a。在典型示例中，G（x）=（ex- ea）+或G（x）=（ea- ex）+，对应的欧洲电话是OTM，并输入ITM。

在案例x中≥ a、 （5.14）的RHS上的最后两项出现在我们推高RHSof（5.12）上最后一个积分中的积分线时。现在x≥ a、 因此，我们将这条线向下变形，并通过以下修改获得（5.14）：RHS上的最后三项替换为总和（5.16）2πZL--dξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ）-ieβ+q（x-a） ^G(-iβ+q）ψ(-iβ+q）5.3.3。宽条解析性情况下的近似公式。如果-λ-, λ+较大，qis不较大，因此-iβ±qare的绝对值不大，x-h和x-a的绝对值也不是很小，那么我们可以选择变形L++和L--所以积分覆盖了L++和L--都很小，可以省略（我们不复制粘贴结果以节省空间）；结果出现一个小错误。由此得出的公式由简单的分析表达式静态和半静态套期保值27以β±qandφ表示-q(-iβ+q），φ+q(-iβ-q） ，ψ(-iβ±q）（见【53】）。E、 g.，如果h<x<a，则V（g；q，x）（5.17）=-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） e类-β+q（a-h） ^G(-iβ+q）φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）（β+q- β-q）-ieβ+q（x-a） ^G(-iβ+q）ψ(-iβ+q）5.4。G的情况是嵌入看跌期权的价值函数，其行使低于障碍。设a<h；然后是x- a>0。我们在（5.10）以上的RHS上变形两个轮廓。首先，我们将外轮廓变形为L+=L（ω，ω，b），然后将内轮廓变形为L+=L（ω，ω，b）。我们选择后者的参数（ω，ω，b），使L+严格低于L+，而且，使两个轮廓的渐近线之间的角度为正：0<ω<ω。与（5.12）相反，我们有▄V（G；q，x）（5.18）=2πqZL+dξeiξ（x-h） φ-q（ξ）2πZL+dηe-iη（a-h） φ+q（η）^G（η）i（ξ- η） +2πZL+dξei（x-a） ξ^G（ξ）q+ψ（ξ）。可能的极点交叉可以类似于案例a≥ h、 5.5。数值示例。5.5.1. 无触摸选项和首次触摸数码产品的定价，down case（表9）。

让Vnt（T，x）和VFT（T，x）分别为无触摸和首次触摸数字选项的价格。那么，对于任何ω∈ (σ-（q） ，0）和ω+∈ （0，σ+（q）），~Vnt（G；q，x）由~Vnt（G；q，x）=e给出-rT2πqZImξ=ωei（x-h） ξφ-q（ξ）-iξdξ=e-rTq+e-rT2πqZImξ=ω+ei（x-h） ξφ-q（ξ）-iξdξ。（5.19）Vft（T，x）的类似公式为（5.20）~Vft（G；q，x）=-e-rT2π（q- r） ZImξ=ω+ei（x-h） ξφ-q（ξ）-iξdξ，其中ω+∈ （0，σ+（q- r） ）。（5.19）和（5.20）RHSs上的积分与积分前面的标度因子不同，因此，可以同时评估这两个选项。如果-β-qexists与λ++β-q> 0不小，将积分线向上移动并穿过-iβ-q、 在这两种情况下，积分线在上半平面内变形为轮廓L+：=L（ω1+，ω+，b+），机翼朝上。评估φ-q（ξ），ξ∈ L+，我们使用（4.8）计算φ+q（ξ）（积分线变形为下半平面的轮廓，机翼向下），然后（4.11）。我们在与表2相同的KoBoL模型中计算非接触式选项和接触式数码产品的价格。我们的数值实验表明，对于维纳-霍普夫因子积分和傅立叶反演，使用[17]中关于误差容限的一般建议，可以满足E-8阶和更好阶（价格）的相对误差 = 10-10; 如果 = 10-如果使用15，定价错误将显著减少。因此，在本例中，GWR方法的误差约为10-10-10-8、CPU28 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIItime（7个点）的容错时间小于10毫秒 = 10-6，且误差公差小于25 ms = 10-10

大部分CPU时间用于计算选定网格点处的维纳-霍普夫系数；这种计算可以很容易地并行化，总CPU时间显著减少。使用更有效的维纳-霍普夫因子表示，可以进一步减少CPU时间。5.5.2. 向下和向外看涨期权定价（表10-11）。我们考虑相同的模型，在这两种情况下，调用选项的罢工K=1.04，1.1，屏障H=1，T=0.1，0.5。在（5.15）中，我们对变量进行相应的更改，并应用简化的梯形规则。在表10中，我们可以看到，即使在点接近屏障的情况下，也可以在中等的CPU时间成本下满足E-05级及以下的容错性：7点的计算约为0.1毫秒。在表11中，我们显示了非常接近势垒H（x：=ln（S/H））的S的价格Vcall（H，K；T，S）∈ [0.0005，0.0035]和价格除以xν/2。我们看到该比率近似为常数，这与向下和向外期权vCall（H，K；T，S）价格的渐近性一致~ c（K，T）xν/2，x↓ 0.6. first touch选项的定价和first touch产品的期望流程和支付功能的条件与第3.3节中的相同。我们考虑了下一步和以防万一；H=EH是障碍，T是到期日，G（τ，Xτ）是首次进入时间τ的支付(-∞, h] 。我们需要计算V（G；T；x）=Ex[G（τ，xτ）1τ<T]。6.1. 最简单的情况。设G（τ，Xτ）=e-rτ+βXτ，其中β∈ [0, -λ-). 对于β=0，V（G；T；x）是首次触摸数字的时间-0价格，对于β=1的股票，如果τ<T，则为时间τ。向下和向内向前的情况通过线性获得。

如果我们需要计算这种形式的两种支付的乘积的期望值，β可以假定值β=2；在这种情况下，我们需要用2r替换r。自β∈ [0, -λ-), φ-q(-iβ）=对于右半平面中的任何q，βxtqi是有限的。此外，对于任意σ>0，存在ω>0，因此，对于半平面Re q中的任意q≥ σ,φ-q（ξ）允许半平面{Imξ<ω}的解析延拓。对于这种σ和ω，在[20，10]中导出的向下和向外选项的一般公式（另见[13，53]）适用：forx>h，（6.1）V（G；T；x）=eβh-rT2πiZRe q=σdq eqTφ-q(-iβ）-12πZImξ=ωei（x-h） ξφ-q（ξ）β- iξdξ。假设我们使用Gaver Stehfest方法来计算Bromwich积分（RHS上的外积分（6.1）），我们需要计算q>0的内积分。在没有触摸选项的情况下，我们向上变形轮廓，并在-iβ-qifβ-qexists和-β-qis不接近λ+：2πZImξ=ωei（x-h） ξφ-q（ξ）β- iξdξ=2πZL++ei（x-h） ξφ-q（ξ）β- iξdξ-qeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） 。静态和半静态对冲29If x- h>0不是很小，q不是太大，λ+和-λ-如果较大，则可以使用上面RHS上的最后一项并忽略L++上的积分来获得良好的近似值。6.2. 一般情况。即使在一个简单的向下和向内期权的情况下，在时间τ变成了具有行使K和时间T的看涨期权- τ至到期日，G（τ，Xτ）=e-rτVcall（K；T- τ、 由于[20，10]中的定价公式是在假设G（τ，Xτ）对τ的依赖关系为最简单形式e的情况下推导出来的，因此，时间τ的payoff比[20，10]中的payoff函数更复杂-rτG（Xτ）。如果我们计算买入期权e中的A向下和A向下的产品的期望值-rτVcall（K；T- τ、 Xτ）和e-rτ+βXτ，然后G（τ，Xτ）=e-2rτ+βXτVcall（K；T-τ、 Xτ）。

在欧洲期权贴现价格产品的预期情况下，G（τ，Xτ）的结构更为复杂。首先，我们以一般形式计算期望V（G；T；x）=Ex[1τ<TG（τ，xτ）]，然后针对上述特殊情况采取进一步的步骤。我们重复了[20]中初始证明的主要步骤，省略了Fubini定理应用的技术细节；它们与[20，9]中的相同。设L=-ψ（D）是X的整数生成器。回想一下，带符号ψ的伪微分算子ψ（D）是傅里叶变换、函数ψ的乘法算子和逆傅里叶变换的组合。如果^u在条带中定义良好且具有解析性，则ψ允许解析连续到同一条带，并且乘积ψ（ξ）^u（ξ）的衰减速度与ξ一样快→ ∞ 对于条带中的ξ，条带中的等效定义为\\（ψ（D）u）（ξ）=ψ（ξ）^u（ξ）。有关详细信息，请参见[35、21、20]。函数V（G；t，x）：=V（G；t- t；x） 是边值问题的有界充分正则解(t+ψ（D））V（G；t，x）=0，t>0，x>h；（6.2）V（G；t，x）=G（t，x），t>0，x≤ h；（6.3）V（G；0，x）=0，x∈ R、 （6.4）通过拉普拉斯变换w.R.t.t，我们得出，如果σ>0足够大，那么，对于半平面{Re q中的所有q≥ σ} ，V（G；q，x）解边界问题（q+ψ（D））~V（G；q，x）=0，x>h；（6.5）~V（G；q，x）=~G（q，x），x≤ h、 （6.6）在充分正则有界函数类中。如果{V（G；q，·）}Re q≥σ是R上边界问题族（6.5）-（6.6）的（有效正则）解，那么可以使用拉普拉斯反演公式求出V（G；t，x）。最后，V（G；t，x）=V（G；t- t、 x）。问题族（6.5）-（6.6）与[20]中的问题类似；唯一的区别是▄G对q的依赖性更为复杂（在[20]中，▄G（q，x）=G（x）/（q- r） ）。

因此，我们可以应用[20]中的维纳-霍普夫分解技术，得到（6.7）~V（G；q，·）=E-q(-∞,h] （E）-q）-1G（q，·）。Letω∈ (0, λ+). 如果σ>0足够大，那么对于半平面中的q{Re q≥ σ}, φ-q（ξ）在半平面{Imξ）上是解析的≤ ω}. 对于该半平面中的ξ，V（G；t，x）w.r.t.（q，x）的双Laplace-Fourier30 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIItransform由（6.8）V（G；q，ξ）=φ给出-q（ξ）\\(-∞,h] W（q，·）（ξ），其中\\(-∞,h] W（q，·）（ξ）是1的傅里叶变换(-∞,h] W（q，·），W（q，·）=（E-q）-1G（q，·）。我们取ω<-β、 与引理5.1的证明类似，计算\\(-∞,h] W（q，·）（ξ）=Zh-∞dx e-ixξ（2π）-1ZImη=ωdηeixηφ-q（η）-1^G（q，η）=ZImη=ωφ-q（η）-1^G（q，η）（2π）-1Zh-∞ei（η-ξ） xdxdη。结果是：对于（q，ξ）s.t.Re q≥ σ和Imξ>ω，（6.9）\\(-∞,h] W（q，·）（ξ）=2πiZImη=ωeih（η-ξ)φ-q（η）-1^G（q，η）η- ξdη。应用傅里叶逆变换，我们得到▄V（G；q，x）=2πZImξ=ωdξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωeihη^G（q，η）φ-q（η）（η）- ξ） dη。（6.10）自x起- h>0时，我们将外轮廓向上变形，新轮廓为L+（意思：形式为L（ω，ω，b），其中ω>0）：~V（G；q，x）=2πZL+dξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωeihη^G（q，η）φ-q（η）（η）- ξ） dη。（6.11）如果-iβ-qexists和-β-qis不接近λ+，我们将轮廓向上推，在ξ=-iβ-q、 并得到V（G；q，x）=2πZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωeihη^G（q，η）φ-q（η）（η）- ξ） dη（6.12）+qeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iφ-q） 2πZImη=ωeihη^G（q，η）φ-q（η）（η+iβ-q） 。（6.13）（6.12）的RHS上的内积分的容许变形类型和（6.13）的RHS上的积分取决于eihη^G（q，η）的性质。如果G是avanilla期权的价格或两个普通期权价格的乘积，则可容许变形由障碍的相对位置和所涉及期权的行使决定。因此，我们不得不考虑几个案例。6.3.

看跌期权和看跌期权。静态和半静态套期316.3.1。看涨期权，罢工是在或以上的障碍。首先考虑向下和向内调用选项。由于走向位于或高于屏障，a：=ln K≥ h=ln h。我们必须有λ-< -1、设ω∈ (λ-, -1） σ>0，如果Re q，则Re（q+ψ（ξ））>0≥ σandImξ∈ [ω, -1). 然后贴现价格g（t，x）=e的双拉普拉斯傅立叶变换w.r.t.（t，x）-r（T-t） Vcall（t，K；t- t、 x）在{（q，η）| Re q区域内定义良好≥ σ、 Imη∈[ω, -1） }，由^G（q，η）=e给出-rTZ公司+∞e-qtK1-iηe-tψ（η）iη（iη- 1） dt。积分得到^G（q，ξ）=e-iaξ^G（q，ξ），其中a=ln K，（6.14）^G（q，η）=Ke-rT（q+ψ（η））iη（iη）- 1)= -Ke公司-rT（q+ψ（η））η（η+i）。在条件（X）下，对于每一个q＞0，^G（q，·）是复平面上具有两个割i的亚纯函数(-∞, λ-], i[λ++∞) 和0的简单极点，-i（和-iβ±q，如果后者存在）。由于h<a，我们可能会使（6.12）RHS上的积分内轮廓变形，使（6.13）RHS上的积分轮廓变形。关于（4.6）的强度，^G（q，η）φ-q（η）=-Ke公司-rTφ-q（η）（q+ψ（η））η（η+i）=-Ke公司-rTφ+q（η）qη（η+i）。因此，（6.11）变为▄V（G；q，x）=-Ke公司-rT2πqZL+dξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωei（h-a） ηφ+q（η）η（η+i）（η- ξ） dη，（6.15）和（6.12）-（6.13）可以重写为▄V（G；q，x）=-Ke公司-rT2πqZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）2πiZImη=ωei（h-a） ηφ+q（η）η（η+i）（η- ξ） dη（6.16）-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iφ-q） Ke公司-rT2πZImη=ωei（h-a） ηφ+q（η）η（η+i）（η+iβ-q） dη。如果-如果存在，我们可以在-iβ+q，并获得▄V（G；q，x）=Ke-rT2πZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）-2πiZL--ei（h-a） ηφ+q（η）qη（η+i）（η- ξ） dη（6.17）+eβ+q（h-a） φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）β+q（β+q- 1） （iβ+q+ξ）！-eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iφ-q） Ke公司-rT2πZL--ei（h-a） ηφ+q（η）qη（η+i）（η+iβ+q）dη+eβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） Ke公司-rTeβ+q（h-a） φ-q(-iβ+q）ψ(-iβ+q）β+q（β+q- 1） （β+q- β-q） 32 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKII6.3.2。

看跌期权，行权处于或高于障碍。在看跌期权的情况下，我们有（6.16）和ω∈ (0, ω). 因此，将积分w.r.t.η的轮廓变形为L--,我们不仅在-iβ+qbut简单极点0，-我也是。因此，对于（6.17）的RHS，我们需要添加▄V1，添加（G；q，x）=-Ke公司-rT2πZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）iqξ+eh-aφ+q(-i） q（1- 我ξ）！(6.18)-Ke公司-rTqeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） qβ-q+eh-aφ+q(-i） q（1- β-q） 哦！6.3.3. 看涨期权，罢工是低于障碍。我们从轮廓{Imη=ω}开始，其中ω∈ (-β+q，-1). 由于a<h，我们需要对RHSof（6.12）上的积分内轮廓和（6.13）上的积分轮廓进行变形。因为φ+q（η）是解析的，并且有界于半平面{Imη≥ ω} ，在（6.16）的RHS上的内被积函数在η=-i、 0，ξ和（6.16）的RHS上的1D被积函数在-i、 0，-iβ-q极点交叉后，我们可以将积分线向上移动到整数，并显示交叉后的积分为零。因此，我们得到▄V（G；q，x）=-Ke公司-rT2πZL++ei（x-a） ξdξ（q+ψ（ξ））ξ（ξ+i）（6.19）+Ke-rTeβ-q（x）-a） ψ(-iφ-q） qβ-q（β-q- 1)-V1，添加（G；q，x）。备注6.1。如果-iβ±Q不存在或不交叉，在所有情况下，均使用L±型轮廓，并且在上述所有公式中，应省略包含β±Q的所有术语。6.3.4. 看跌期权，行权低于屏障。显然，价格与欧洲看跌期权的价格相同。6.3.5. 欧洲看涨期权或看跌期权的贴现产品和eXτ的情况。对于看涨期权，我们有G（t，x）=e-2rTex+2rtVcall（T，K；T- t、 x）。

假设λ-< -2，我们取ω∈ (λ-+ 1.-1） ，和writeG（t，x）=e-2rTex+rt2πZImξ=ωeixη-tψ（η）K1-iηiη（iη- 1） dη=e-2rtt2πZImξ=ωeix（η-（一）-tψ（η）K1-iηiη（iη- 1） dη=e-2rtt2πZImξ=ω-1eixη-tψ（η+i）K2-iη（iη- 2） （iη- 1） dη。Letλ-< -2并选择ω∈ (λ-, -2） σ>0，因此Re（q-如果Re q，r+ψ（ξ））>0≥ σandImξ∈ [ω, -2). 然后，G（t，x）w.r.t.（t，x）的双拉普拉斯傅立叶变换在{（q，η）| Re q区域中得到了很好的定义≥ σ、 Imη∈ [ω, -2） }，由^G（q，η）=e给出-2rTZ公司+∞e-（q）-r） tK2-iηe-tψ（η+i）（iη）- 2） （iη- 1） dt。静态和半静态套期33因此，^G（q，η）=e-iaη^G（q，η），其中a=ln K，且^G（q，η）=Ke-2rT（q- r+ψ（η+i））（iη- 2） （iη- 1).如果走向位于屏障或屏障上方，其余步骤基本上与第6.3.1-6.3.2节相同。被积函数的极点位于-2i和-我宁愿-i和0，以及轮廓L-必须低于-2i而不是-i、 此外，由于不同的因素q-r+ψ（η+i）在分母中，我们对σ和L有一个额外的限制--. 此外，不是等式φ-q（η）（q+ψ（η））=q/φ+q（η）我们有一个更复杂的等式φ-q（η）（q- r+ψ（η））=q（q- r+ψ（η））/（φ+q（η）（q+ψ（η）），因此，一些极点和相应的剩余项是不同的。在put的情况下，计算结果仅相同ω∈ （0，ω）必须在第一步选择，并且在积分等值线的变形过程中w.r.t.ηdown，η=-我，-2i交叉，而不是η=0，-i、 如果罢工低于屏障，则上述论点的修改与第6.3.3.6.4小节中的修改类似。两个欧洲看涨期权或看跌期权的乘积。6.4.1. 一般公式。在调用的情况下，g（t，x）=e-2rTe2rtVcall（T，K；T- t、 x）Vcall（t，K；t- t、 x），其中Kj≥ H、 设置aj=ln Kj。

假设λ-< -我们取ω，ω∈ (λ-+ 1.-1） ，并首先计算G（t，x）的拉普拉斯变换：=e2rtVcall（t，K；t- t、 x）Vcall（t，K；t- t、 x）=（2π）ZImη=ωdηeixη-tψ（η）K1-iηiη（iη- 1） ZImη=ωdηeixη-tψ（η）K1-iηiη（iη- 1).利用Fubini定理，我们得到▄G（q，x）=KK（2π）ZImη=ωZImη=ωei（η+η）xe-iaη-iaηdηdη（q+ψ（η）+ψ（η））iη（iη）- 1） iη（iη- 1).自（E）起-q）-1ei（η+η）x=φ-q（η+η）-1ei（η+η）x，我们导出（E-q）-1G（q，x）=KK（2π）ZImη=ωZImη=ωei（η+η）xe-iaη-iaηdηdηφ-q（η+η）（q+ψ（η）+ψ（η））η（η+i）η（η+i）。接下来，1的傅里叶变换(-∞,h] （x）半平面Imξ中的eiβxis定义良好>-β再见（β-iξ）/（β- iξ），因此取ω∈ (0, -β-q） ，我们可以表示V（G；q，x）：=E-q(-∞,h] （E）-q）-1▄G（q，x），形式为▄V（G；q，x）=KK（2π）ZImξ=ωdξei（x-h） ξφ-q（ξ）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i），其中Φ（q，ξ；η，η）=φ-q（η+η）i（η+η）- ξ） （q+ψ（η）+ψ（η））。34 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIISince x- h>0时，我们将外轮廓变形为L++形式的轮廓，在ξ=-iβ-如果它存在：△V（G；q，x）（6.20）=KK（2π）ZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i），+KK（2π）iqeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，-iβ-qη、 η）η（η+i）η（η+i）。如果第一个选项是看涨期权，另一个是看跌期权，那么ω∈ (-β+q，-1） 和ω∈(0, -β-q） 应满足ω1+-b+sin（ω+）-（ω+ω）>0，其中ω1+、ω+、b+是确定曲线L++的参数（回想一下，后者的最低点是i（ω1+- b+sin（ω+））。在两个看跌期权的情况下，计算是相同的，但我们取ω，ω∈(0, -β-q） ，和（6.20），如果ω1+- b+sin（ω+）- (ω+ ω) > 0.6.4.2. 减少。这三种情况都可以相互简化。我们从两个看涨期权的乘积开始。我们移动积分线{Imηj=ωj}，ωj∈ (-β+q，-1） ，j=1，2，向上，在穿过极点时，应用留数定理。

设ω，ω>0，ω+ω<Imξ。然后，将积分的最内线向上移动，我们得到（2π）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i）（6.21）=（2π）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i）+2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；η，0）η（η+i）-呃-a2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；η，-i） η（η+i）RHS上的第一项是看涨期权和看跌期权的积分，其余两项的计算方法与看跌期权公式中的积分类似。如果a- h类≤ 0时，线{Imη=ω}变形为形式为L的轮廓-, 若a<h，则表示L+或L++。新轮廓必须严格低于积分轮廓L++w.r.t.ξ，并且两个轮廓的渐近线之间的角度必须非零。将积分线w.r.t.η向上推，我们得到了一个重复积分，当考虑puts的乘积时（加上4个一维积分）：（2π）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i）（6.22）=（2π）ZImη=ωZImη=ωe-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i）+2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；η，0）η（η+i）-呃-a2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；η，-i） η（η+i）+2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；0，η）η（η+i）-呃-a2πZImη=ωe-i（a）-h） ηdηΦ（q，ξ；-i、 η）η（η+i）。静态和半静态对冲35下面，我们考虑上述重复积分的计算，表示它们J（ξ；ω，ω），用于低于或高于屏障的打击。根据具体情况，可以方便地计算J（ξ；ω，ω）或J（ξ；ω，ω）或J（ξ；ω，ω），然后在必要时使用（6.21）和（6.22）。由于如果积分等值线w.r.t.η，η在下半平面内，则积分等值线参数的选择更简单，因此我们建议减少两次调用的情况，除非β+q- 1比-β-q、 6.4.3。两次打击都在屏障处或以上。

自aj起≥ h、 积分等值线w.r.t.η和η向下变形，形成L型等值线-= L（ω1j，ωj，bj），其中ωj<0与（6.20）中的不同。在变形过程中，这两个轮廓都不会穿过切口i(-∞, λ-]. 此外，对于等高线上的所有η，因子q+ψ（η）+ψ（η）必须与0分离。一个简单的一般要求（适用于较大的Re q；如果Re q>0不是很大，则需要对变形过程中轮廓的行为进行额外控制）如下所示。根据假设（X），ψ的形式为ψ（η）=-iuη+ψ（η），其中u∈ R和ψ（η）~ c∞|η|νeiνγ，其中γ=argη∈ (-π/2、π/2）和c∞> 因此，如果ν∈ （1、2）或u≤ 0然后0>ωj>-min{π/2，π/（2ν）}；（2） 如果ν=1且u>0，则0>ωj>-arctan（c∞/u).如果ν∈ （0，1）和u>0，则只可能出现不太有效的共形变形和变量变化（在[15]中标记为子多项式，其中开发了评估稳定分布的有效方法）。保留符号L-对于这种情况，我们也得到了∧V（G；q，x）（6.23）=KK（2π）ZL++dξei（x-h） ξφ-q（ξ）ZL-ZL公司-e-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，ξ；η，η）η（η+i）η（η+i），+KK（2π）iqeβ-q（x）-h） φ+q(-iβ-q） ψ(-iβ-q） ZL公司-ZL公司-e-i（a）-h） η-i（a）-h） ηdηdηΦ（q，-iβ-qη、 η）η（η+i）η（η+i）。如果特征指数是有理函数，那么我们可以将轮廓L++向上推，然后L-向下。在所有极点交叉后，我们将得到一个可表示为a、a、h、特征指数参数及其根和极点的三重和，而不是三重积分。贝塔模型也可以这样做【50】；然而，最终的总和将是有限的，我们必须解决一个非常重要的问题，即对这些有限的总和进行精确的截断。6.4.4.

其中一次打击低于屏障的情况。设K<H≤ K、 然后a-h<0≤ a、 积分线w.r.t.η的sinh变形是不可能的，因此，我们将简化的梯形规则应用于初始积分w.r.t.η（fl iFT）。被积函数的计算速度非常慢，因此，简化梯形规则中的项数太大。使用完整类人猿规则i=ζXj中各部分的总和，可以显著减少NCA的数量∈Ze公司-iaζjfj。36 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIif f（y）的下降速度比f（y）的下降速度快→ ±∞ （与当前纸张的设置一样）。事实上，那么最终的差异fj=fj+1-fjdecay比fjas j更快→ ±∞ 还有。分部求和公式如下。我们选择ζ>0，以便1- e-iaζ不接近0。然后ζXj∈Ze公司-iaζjfj=ζ1- e-iaζXj∈Ze公司-iaζj福建。如果每次差异都会增加衰减率，那么可以迭代部分求和。在本论文的背景下，衰变率随着每次差异的增加大约增加1。在数值算例中，我们采用了分3次求和的方法，使项数减少了许多倍，并且使项数与可以应用sinh加速度时的项数相似。6.4.5. 两次打击均低于屏障的情况。在这种情况下，积分w.r.t.η和η中的sinh加速度是不可能的，因此，我们将简化的梯形规则应用于初始积分w.r.t.η和η。使用有限梯形规则中的各部分求和，可显著减少N，nca的数量，以评估（6.23）RHS上的重复积分。7.

半静态对冲与方差最小化的下跌期权和买入期权对冲：一个数值示例和定性分析在本节中，我们以下跌期权和买入期权为例，详细介绍和讨论了几个重要的观察结果和实际重要的结论。该过程（KoBoL）与表2相同，成熟度为T=0.1，但走向K=1.04比表2中距离屏障更远。原因有两个：1）表明如果半静态套期保值的限制性正式条件得到满足，那么半静态程序对于跳跃成分衰减相当缓慢的跳跃过程来说相当有效，即使从障碍到支持艺术性外来支付的距离相当大（约40%）；2） 如果这种支持过于接近屏障，则除非使用高精度算法，否则部分过程的求和可能不够精确。本文采用双精度计算。我们考虑的是标准情况：代理人出售看跌期权，并将收益投资于无风险债券。我们假设点S=e0.04几乎在走向上。也就是说，代理人打赌在期权有效期内不会突破该障碍。图3显示，这种幸福结果的概率不是很大；甚至在τ=0.05之前突破屏障的概率也约为42%。然而，当投资组合违约时，其概率约为50%，投资组合价值为正。这部分是因为投资组合中的债券部分增长非常快。然而，如果在接近0的时间突破了屏障，则portfoliovalue的损失可能相当大（见图4）。因此，经纪人对赌注进行对冲是很自然的。假设代理人使用本文构造的半静态套期保值。

标准静态和半静态参数构建了模型和现货不变的投资组合，这使得即使跳跃成分的小不对称也要求无风险利率相当大，以便正式调整半静态程序。静态和半静态对冲37不可能考虑对冲组合需要融资。如果我们考虑3个看跌期权的投资组合，并忽略为头寸融资而借入的无风险债券，那么，在任何时候τ都会突破障碍，在任何级别Sτ≤ H、 投资组合价值为正或非常接近零（图5）。因此，即使投资组合只有3个选项，半静态对冲似乎也能很好地工作。此外，如果只使用一种期权，则投资组合价值会下降，除了远离障碍和接近到期的相对较小区域（图6）。由于期权在该地区到期的可能性很小，一个天真的论点可能会表明，增加对冲组合中的期权数量将提高投资组合的整体对冲绩效。然而，回想一下，该机构借入无风险债券为看跌期权头寸融资。如果突破了这一障碍，无风险债券中的这一空头头寸必须与投资组合中的其他头寸一起清算，使整体情况变得复杂。图7表明，当Sτ接近屏障（以突破屏障为条件的高概率事件）时，对冲组合的价值为负值且较大。因此，对冲远不是完美的。此外，inFig。8我们可以看到，如果τ>0.037且Sτ离障碍不太远，则仅由一个行使在奇异期权转折处的看跌期权组成的半静态投资组合的价值大于由3个看跌期权组成的半静态投资组合的价值。

图9显示了带有一个看跌期权的对冲组合的价值。表12显示，如果在期权有效期内未突破该障碍，两个投资组合的价值都为负值，但有3个期权的投资组合的损失是有3个期权的投资组合的两倍。因此，最好使用较少的期权，除非代理人押注于概率非常低的事件实现：如果在期权中投资更大的财富份额，这些期权的成本更高，侵蚀了更精确的半静态对冲的优势。图10表明，相同三个认沽期权的方差最小化组合对冲了下跌期权和买入期权的风险，但仅部分对冲：如果τ<0.06（大约），且τ离障碍不远，则组合的价值为负值；对于接近到期的τ，投资组合价值变得相当积极。对比图12和图10，我们观察到，首次接触数字的加入在一定程度上提高了投资组合的套期保值绩效。图11、13和14显示，具有一个看跌期权或一个一键数字的投资组合的表现与具有三个选项的投资组合大致相同，并且具有一键数字作为唯一享乐工具的投资组合优于具有一个看跌期权的投资组合（无论是在障碍处还是在扭结处）。我们再次强调，由于对冲组合并非无成本的，因此对对冲效率的适当分析应包括无风险债券空头头寸的支付和对冲组合在到期时的价值，以防突破障碍。在3个看跌期权的形式上完美的半静态对冲的情况下，在未突破障碍的情况下，投资组合的损失相当大（约为0.6倍于0时对冲期权的价值）；相反，如果只使用一个期权，那么损失大约是对冲期权价值的0.3。

相反，如果我们使用具有3个或1个看跌期权的方差最小化投资组合，则在未突破障碍时的收益是相当大的（大约是对冲期权的价值）；如果使用第一触数字，则增益接近0（如果除第一触数字外，还使用了两个看跌期权，则增益为正值，如果仅使用第一触数字，则增益为负值）。综上所述：一旦我们考虑到对无风险的SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIbond的投资，任何现实的对冲投资组合都会用另一个替代最初的非对冲押注，这可能比最初的押注更具风险。特别是，具有3个看跌期权的半静态对冲投资组合，从复制看跌期权和看涨期权的支付角度来看，这似乎是完美的，忽略了对冲工具的预付款，事实上，这是另一个风险更大的赌注：只有当障碍被打破，且标的在当时大大低于障碍时，对冲投资组合为黑色；否则，它就是红色的，而且很有可能是红色的。因此，半静态对冲投资组合可以被视为反向押注：如果基础的变现非常糟糕（发生概率很小），投资组合会获得很多收益，但在其他情况下会失去很多。具有首次接触数字产品的投资组合的收益最为集中。表12说明了不同对冲投资组合中隐含的赌注结构，显示了突破障碍时障碍附近的近似收益，以及未突破障碍时的到期收益。我们看到，用基于半静态论证的投资组合替换初始押注（即做空和买入期权），可能会导致相当大的损失，概率超过90%。

同时，如果跳远突破了障碍，则获得显著收益的可能性很小。我们认为，表12表明，最有效的套期保值是使用First touch digital。在表13中，我们显示了不同投资组合的标准化标准差，计算值为障碍的1%~7%。半静态hedgingportfolio支付的不规则结构意味着投资组合的波动性必须很高，如表13所示。其他投资组合的波动率都是相同的数量级，尽管包含首触式数字的投资组合的波动率要小得多，这是首触式数字优势的额外体现。在表14中，我们展示了用于构建多个边缘投资组合的方差-协方差矩阵；读者可以检查矩阵是否非常接近秩为2-3而不是5的矩阵。这解释了为什么我们构建的不同投资组合的差异非常接近，以及为什么就小波动的对冲而言，使用几种期权没有收益；而且使用多个选项的成本可能会非常高。8、结论8.1。对冲：结果和扩展。我们开发了新方法，用于构建欧式exotics的静态套期保值组合，以及欧式exotics和L'evy模型中障碍期权的方差最小化套期保值组合；在这两种情况下，计算都是在双空间中进行的。特别是，我们构建了近似奇异期权的近似静态投资组合，该投资组合近似于具有适当权重的H¨olderspace范数中Vanilla的线性组合的奇异支付；选择H¨older空间的阶，使得具有相同权重的连续函数空间连续嵌入到加权H¨older空间中，因此，我们得到了C范数的近似值。

权重很容易计算，因为加权H'older空间是Hilbert空间，该空间元素的标量积可以通过计算对偶空间中的积分来轻松计算。当障碍物被突破时，障碍物附近的付款会显示几个小的时间间隔。对于省略的时间间隔，可以使用插值重建近似概率和收益；Sτ在离势垒较远的地方实现的概率较小，因为L′evy密度的尾部呈指数衰减，且衰减速率不小。静态和半静态对冲39我们讨论了障碍期权静态对冲/复制的局限性，以及在应用于列维模型时，列出了对模型参数的相当严格的限制，在这种限制下，障碍期权与适当的欧洲奇异期权的近似复制是合理的。我们解释了为什么在存在跳跃的情况下，完美的半静态套期保值是不可能的，并使用Bobol模型中的向下和向内看涨期权的示例，证明了（a）基于后者与奇异欧式期权近似的形式半静态对冲障碍期权程序和本文的静态对冲算法，即使仅使用3个看跌期权，也能产生良好的超复制投资组合；（b） 然而，如果考虑到为对冲组合融资所需的借入无风险债券，则短期和买入期权、3看跌期权和无风险债券的对冲组合具有类似反向押注的支付结构。投资组合很有可能承受相当大的损失（初始时下跌期权和买入期权价值的几十%甚至更多）。

如果在期权有效期内未突破障碍，或者在突破障碍时，该点未跳到障碍下方太远，则会发生这种情况。只有当跳降幅度较大时，对冲投资组合才会出现收益，收益可能非常大；（c） 如果只有一个看跌期权用于对冲，那么投资组合的绩效会显著提高，尽管超级复制资产自然会变得不完美。这种观察破坏了半静态对冲/复制背后的一般想法。准确复制需要在对冲/复制投资组合中有更多的选择，但相关成本可能超过无模型复制/对冲的形式优势；（d） 在我们考虑的示例中，方差最小化对冲组合的风险低于半静态对冲组合，而具有首次接触数字的对冲组合是最好的。这一观察结果表明，令人惊讶的是，对于障碍期权而言，方差最小化目标即使在预计不会被方差表征的规模下，也会导致较小的损失；（e） 在做空和卖出看涨期权的情况下，自然对冲组合是欧洲看涨期权中的空头头寸；类似地，下跌和不动的自然对冲组合是欧洲看涨期权中的多头头寸。图15、图16、图17显示了裸下和裸出期权、不考虑债券成分的半静态对冲组合以及考虑债券成分的半静态对冲组合的（标准化）收益。虽然前者会亏损，除非违约正好发生在屏障上，但后者的收益在到期时为0.3（如果没有违约发生），如果违约发生，则在屏障附近的一个小区域为正。