因此，如果将债券成分考虑在内，忽略不可忽视的巨额亏损概率，这些半静态投资组合看起来几乎是一个很好的对冲工具。本文的结果表明，将半静态对冲组合视为独立类别的衍生证券，具有非平凡的支付结构，这是模型依赖的，这可能是很自然的。本文中的数值例子表明，对于卖空期权和卖空期权，半静态套期保值组合的支付性质与卖空期权和卖空期权的半静态套期保值组合的性质有根本不同。对于本文考虑的过程期权和下跌期权，下跌期权和退出期权的半静态对冲组合的性质确实接近于良好对冲组合的性质：在40个SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIi的高概率下，到期（或到期）时的支付为正，尽管支付为负的可能性很小。然而，对于向下和向外的期权，其性质是相反的：高概率的小损失和小概率的大收益（本质上是反向投资）。对于同一过程下的up期权，“out”期权的半静态对冲组合是好的，但“in”期权的对冲组合是反向押注。这些性质也随漂移符号的变化而变化。对于屏障选项，图片变得更加复杂。综上所述，形式半静态论点仅在相当严重的限制条件下适用，在存在跳跃的情况下不可能准确，可能会导致非常高风险的投资组合，并且方差最小化投资组合的对冲误差可能相当大（尽管小于形式半静态对冲投资组合的误差）。这两种类型的混合投资组合的不足都源于这两种投资组合都是静态的。

如果我们同意模型独立套期保值受到严重影响（半静态套期保值忽略了套期保值的成本），并且方差最小化没有明确考虑违约时投资组合的支付，然后，一种自然的选择是在合理的短时间间隔后重新平衡的对冲投资组合，以便在不确定的违约时刻的收益与下一次再平衡时刻的收益大致相等。可以使用H¨older空间标准中的近似值计算投资组合，以下版本似乎是自然的：I.短视对冲，当对冲工具在下一次再平衡时到期。二、准静态套期保值，当第一个套期保值组合使用与障碍期权相同到期日的期权构建时，其他期权在每个再平衡时刻添加到现有组合中。三、 仅使用First touch digitals进行套期保值。可能的版本：每个周期，购买在再平衡周期结束时到期的数码产品；每个时期，购买在到期日到期的First touch Digitals。如图1所示，我们的数值实验证实，使用首次触摸数字具有一定的优势，而收益（s/H）γ、γ>0的首次触摸选项将是更好的对冲工具。我们将这些对冲版本的研究留给未来。8.2. 本文所用的方法是对具有障碍特征及其自然扩展的期权进行定价。

障碍期权方差最小化投资组合的构建基于评估维纳-霍普夫系数和定价障碍期权的新数值方法，这些方法比对冲应用更具普遍意义。特别是，可以在相对误差小于E12的情况下评估维纳-霍普夫系数，并且可以在毫秒分数内评估相对误差小于E-08的屏障选项。和几毫秒。，分别地维纳-霍普夫因子的有效评估，以及在许多情况下，期权定价公式中傅里叶逆变换的数值实现，基于[17]中开发的广泛类积分评估的sinh加速方法，尤其是高阶振荡积分。在某些情况下，sinh加速度法不适用。在这些情况下，标准傅立叶反演技术可能需要数百万项或更多项的总和；当希尔伯特变换方法应用于有限变量的L'evy模型时，也会出现同样的问题。在本文中，静态和半静态套期保值41我们提出并成功地应用了有限梯形规则中的部分求和技巧。因此，有限和的收敛速度显著提高，需要在有限梯形规则中增加数千项，而不是数百万项。

请注意，当Hilbert变换用于计算Discrete barrier选项时，以及在其他情况下，可以应用相同的部分求和。与[53]类似，可以推导出简化的渐近公式，如果光斑不太靠近势垒，并且跳跃密度的尾部衰减很快，则该公式相当精确。如果特征方程q+ψ（ξ）=0的根和极点可以有效计算，并且零和极点的数目不多，则具有较大项数的类似精确公式在有理指数ψ的模型中是有效的。[58、57、47、48、49、63、59]中使用的双指数跳跃扩散模型（DEJD模型[47]）就是这种情况，其推广，超指数跳跃扩散模型（HEJD模型）在[52]中详细介绍和研究（并在[57]中独立概述），随后在[41、26、7、8]和许多其他论文中使用。对于贝塔模型【50】，可以推导出具有级数而非有限SUM的类似公式；但目前尚不清楚如何截断重复序列以满足所需的误差容限。本文的方法可用于构建回望期权、美式期权、障碍期权和具有离散监控的亚洲人、百慕大群岛的对冲组合，其中期权价格的傅立叶变换可以有效计算。为此，可以在离散时间模型或卡尔随机化方法中重新制定反向归纳程序，在对偶空间中进行计算，如[56]所示，其中亚洲期权在对偶空间中定价进行计算。应使用【56】中介绍的双螺旋方法以及sinh加速度来减小每个时间步的阵列尺寸。

sinh加速也允许在regimeswitching模型中快速计算（可以使用sinh加速技术计算矩阵情况下的维纳-霍普夫因子），因此，可以考虑具有随机利率和随机波动率的模型近似，类似于[23、24、18]，其中，Americanoptions在状态空间中使用Carr的随机化进行定价。双势垒选项可以通过在双空间中重新制定[11]的方法来处理。参考文献【1】J.Abate和P.P.Valko。多精度拉普拉斯反演。国际工程数值方法杂志，60:979–9932004。[2] J.Abate和W.Whitt。用于数值反转拉普拉斯变换的统一框架。INFORMSJournal on Computing，18（4）：408–4212006。[3] H.Albrecher、J.Dhaene、M.Goovaerts和W.Schoutens。L’evymodels下亚洲期权的静态对冲。衍生工具杂志，12（3）：63–722005。[4] 安徒生、安德烈森和埃利泽。屏障选项的静态复制：一些一般结果。《计算金融杂志》，5（1）：1252002年。[5] O.E.巴恩多夫-尼尔森。正态逆高斯型过程。《金融与随机》，2:41–681998。[6] O.E.Barndor Off-Nielsen和S.Z.Levendorskiˇi.正常逆高斯型Feller过程。《定量金融》，1:318–3312001。[7] M.Boyarchenko和S.Boyarchenko。双屏障选项用户指南。第一部分：寇的模型及其推广。工作文件，2008年9月。SSRN提供：http://papers.ssrn.com/abstract=1272081.42SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKII[8]M.BOYARCHENKO和S.BOYARCHENKO。体制转换超指数跳跃扩散模型中的双屏障选项。《国际理论与应用金融杂志》，14（7）：1005–10442011。[9] M.Boyarchenko、M.de Innocentis和S.Levendorskii。

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设ψ在条带S（λ）中是解析的-,λ+，其中λ-< -1、取ω∈ (λ-, -1） ，表示X=Xτ，表示（A.1）的LHS，形式为（A.3）Eτ[G（XT）1XT>h]=2πZImξ=ωeixξ-（r+ψ（ξ））（T-τ） \\ G1（h+∞)（ξ） dξ。静态和半静态对冲45（A.1）的RHS可以表示为重复积分2πZImξ=ωdξeixξ-（r+ψ（ξ））（T-τ） ZRdy e公司-iyξeβ（y-x） G（2x- y） 12倍-y> h.ifω∈ 可以选择R，以便重复积分收敛（这对ψ施加了一个附加条件，该条件将在一瞬间显式）。更改变量2x-y=y，然后-ξ - iβ=ξ，我们得到τheβ（XT-Xτ）G（2Xτ- XT）12Xτ-XT>hi=2πZImξ=ωdξeixξ-（r+ψ（ξ））（T-τ） ZRdye公司-i（2x-y） ξeβ（x-y） G（y）1y>h=2πZImξ=ωdξe-（r+ψ（ξ））（T-τ） Zrdeyei（x-y）(-ξ-iβ）G（y）1y>h=2πZImξ=-ω-βdξe-（r+ψ）(-ξ-iβ））（T-τ） Zrdeyei（x-y） ξG（y）1y>h=2πZImξ=-ω-βeixξ-（r+ψ）(-ξ-iβ））（T-τ） \\ G1（h+∞)（ξ） dξ。我们看到ω和β必须满足-ω-β ∈ (λ-, -1） ，并且，与（A.3）相比，我们看到特征指数ψ和β必须满足（A.4）ψ（ξ）=ψ(-ξ - iβ）。给定一类L'evy过程，方程（a.4）对扩散部分施加一个条件，对跳跃部分施加第二个条件；因此，如果同时存在扩散和跳跃分量，则容许参数空间的维数将下降2，如果仅存在其中一个分量，则容许参数空间的维数将下降1。如果X是漂移u和波动率σ的BM，则（A.4）等于β=-u/(2σ).等效地，ψ(-i） =0（股票是鞅），因此δ=r（股息率等于无风险率）。对于嵌入KoBoL分量的BM：ψ（ξ）=σξ- iuξ+c-Γ(-ν+)(λν++- （λ++Ⅰξ）ν++c+Γ(-ν-)((-λ-)ν-- (-λ-- iξ）ν-),条件变为：1）c+=c-（因此，要么没有跳跃，要么两个方向都有跳跃），且ν+=ν-; 和2）β=-u/(2σ) = -λ+- λ-. 3) ψ(-i） +r- δ = 0.

我们看到，如果没有扩散成分，则“漂移”u=0，如果有扩散成分，且u>0（分别为u<0），则λ+>-λ-（分别为λ+<-λ-), 这意味着跳跃密度在漂移方向上衰减较慢。在本节结束时，我们讨论了套期保值误差的可能大小，该误差是由假设过程不会通过跳跃跨越障碍而引起的，而事实上它确实会跨越障碍。在向下和向内选项的情况下，当λ+增加时，超调的预期大小减小；对于up和in选项，-λ-绝对值增加。因此，如果差异成分很大：σ>0不小，则条件β=-u/(2σ) = -λ+- λ-表示强对称λ+≈ -λ-正跳跃分量和负跳跃分量。46 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIIfσ很小，则可能存在强烈的不对称性；但u的绝对值必须非常大。综上所述：允许将半静态套期保值程序正式应用于带跳跃的L'evy过程的模型参数条件相当严格。附录B.维纳-霍普夫因子的其他表示在ν<1阶过程（即有限变化过程）具有非零漂移的情况下，维纳-霍普夫因子的公式（4.8）-（4.9）可以更有效地用于计算目的。

设置（B.1）ψ（q，η）=（1+ψ（η）/q）/（1- iuη/q）。（四） 如果ν<1且u>0，则对于与上述相同的ξ和ω±，φ+q（ξ）=（1- iuξ/q）-1exp2πiZImη=ω-ξlnψ（q，η））η（ξ- η） dη（B.2）φ-q（ξ）=exp-2πiZImη=ω+ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη.（B.3）（V）如果ν<1且u<0，则对于与上述相同的ξ和ω±，φ+q（ξ）=exp2πiZImη=ω-ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη（B.4）φ-q（ξ）=（1）- iuξ/q）-1exp-2πiZImη=ω+ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη.（B.5）公式（B.2）-（B.5）比（4.8）-（4.9）更有效，因为如果q或η（或两者）中的任何一个∞ 使（B.1）中的RHS不交叉(-∞, 0]和（q-iuη）-1=O（（| q |+|η|）-1，则lnψ（q，η））定义良好，并趋向于零，即|η|ν/（| q |+|η|）。因此，积分收敛得更快。（六） 类似地，如果过程具有波动率σ的BM分量，且ν<2是纯跳跃分量的顺序，我们引入（B.6）ψ（q，η）=（1+ψ（η）/q）/（1+ησ/（2q）），设置β±q=±√2q/σ，表示形式为φ+q（ξ）=β+qβ+q的维纳-霍普夫因子- iξ2πiZImη=ω-ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη（B.7）φ-q（ξ）=β-qβ-q+iξexp-2πiZImη=ω+ξlnψ（q，η）η（ξ- η） dη.（B.8）（VII）最后，如果过程有波动率σ的BM分量，u是漂移，ν<1是纯跳跃分量的阶数，我们引入（B.9）ψ（q，η）=（q+ψ（η））/（q- iuη+ησ/2），β±q=(-u±（u+2qσ）1/2）/σ，表示形式（B.7）（B.8）中的维纳-霍普夫系数。积分的收敛速度进一步提高。静态和半静态套期保值47附录C.拉普拉斯反演公式中的Sinh加速度σ、ω、b>0和σ- bsinω>0。引入函数（C.1）C 3 q=χ（σ，ω，b，y）：=σ+ibsinh（iω+y）∈ C、 用L=L（σ，ω，b）表示R在映射χ（σ，ω，b，·）下的图像。We fixω∈ （0，π/4），kd∈ （0，1），并设置d=kd |ω|，γ±=ω±d。

如果使用ω>0的轮廓L（ω，ω，b）来计算维纳-霍普夫因子，我们设置d=kd |ω|，并选择ω∈ (0, π/4).用S表示条带S的图像(-d、 d）地图下方y 7→ χ（σ，ω，b，y）和条带S的图像(-d、 d）地图下方y 7→ ψ（χ（ω，ω，b，y））。我们选择变形的参数，使S+S={q∈ S、 η∈ S} 不相交(-∞, 0]在两条初始积分线的变形过程中；然后可以应用初始公式（4.8）-（4.9）（前提是ξ低于S）。上述维纳-霍普法系数的其他公式可以在较弱的条件下应用。有关分数抛物线变形的类似情况，请参见[13，53]。ω和ω对上的必要条件，确保S+S与C中的一个大球体的外部的交点不相交(-∞, 0]. 实际上，S稳定到圆锥体C∪其中，z表示复共轭，C：{eiφR++|φ∈ (-ω- d- π/2, -ω+d- π/2)}.Salso稳定为C型圆锥体∪C，但Cis的描述比C更复杂。我们需要考虑3种情况：（1）ν∈ （1，2）或ν∈ （0，1）和u=0；（2）ν=1和u6=0；(3) ν ∈ （0，1）和u6=0。（1） 我们使用（3.5）得出结论C：={eiφR++|φ∈ （ν（ω+d），ν（ω- d） ）}。Letω≥ 0，然后（C∪\'\'C）+（C∪(R)C）不相交(-∞, 0]，当且仅当ν（ω+d）+ω+d∈(0, π/2). ω<0的情况是对称的。在这两种情况下，如果kd<1可以任意选择接近1，那么（ω，ω）上的必要和有效条件∈ （0，π/2）是ω+ν|ω|<π/2。（2） 设Д=arg(-iu+c∞) = -arctan（u/c∞). ThenC：={eiφR++|φ∈ （ω+d+Д，ω- 因此，条件是：|ω|+d+ω+d<π/2- |φ|.（3） 形式上，我们具有与（2）中相同的条件，即|Д|=π/2。显然，对于任何正ω和ω，该条件都失效。

因此，在这种情况下，不可能使用sinh加速度。r、 t.q和η，并应用（4.8）-（4.9）。但是，可以选择变形，使S+S63为0。此外，如果参数的选择使得对于q，η的兴趣，| 1-ψ（q，η）|<1，那么我们可以将（B.2）-（B.5）中的sinh加速度和积分中的sinh加速度用于拉普拉斯反演。48 SVETLANA BOYARCHENKO和SERGEI LEVENDORSKIIAppendix D.Gaver-Stehfest方法如果f（q）是f:R的拉普拉斯变换+→ R、 然后，Gaver-Stehfest对fis的近似值为（D.1）f（M；T）=ln（2）T2MXk=1ζk（M）~fk ln（2）T,其中M为正整数，（D.2）ζk（M）=(-1） M+kmin{k，M}Xj=b（k+1）/2cjM+1M！Mj公司2jj公司jk公司- jbac表示小于或等于a的最大整数。如果可以高效准确地计算|Μf（q），那么在许多情况下，Gaver-Stehfest近似具有中等数量的项（M≤ 8） 即使使用双精度算术（有时，甚至可以使用M=9），对于实际目的来说，也是非常精确的。然而，可能需要更大的M值，因此高精度算法变得必不可少。要求的系统精度约为2.2* M、 大约0.9* 对于具有良好变换的f（t），生成M个重要数字。“良好”表示f属于C类∞, 变换的奇点位于负实轴上。如果变换不好，那么重要数字的数量可能不会太多，也可能与M不成比例。参见【2】。正如【1】所示，在设置定价障碍期权和CDSs确认的数值实验中【53】，Wynn的rho算法比Gaver-Stehfest方法更稳定。给定一个收敛序列{f，f，…}，Wynn算法估计极限f=limn→∞fnviaρN-1，其中N为偶数，ρjk，k=-1, 0, 1, . . . , N，j=1，2。

N- k+1的计算如下：（i）ρj-1= 0, 1 ≤ j≤ N（ii）ρj=fj，1≤ j≤ N（iii）在双循环中，w.r.t.k=1，2，N、 j=1，2，N- k+1，计算ρjk=ρj+1k-2+k/（ρj+1k）-1.- ρjk-1).我们将Wynn算法应用于Gaver函数Fj（T）=j ln 2T2jj公司jX`=0(-1） jj`~f（（j+`）ln 2/T）。附录E.表E。表1-7：欧洲期权的双重静态与方差最小化套期保值，付息Gex（S）=（S/H）β（H/S- K） 。E、 2。维纳-霍普夫系数（四舍五入）和障碍期权价格表。E、 3。第7节的表格。静态和半静态套期49表1。