这非常方便，特别是对于对偶目的，因为两个函数Ia和τ很容易处理。2闭性和对偶表示空间是一个完全度量，任何L'evy度量的线性空间。如果p≥ 1，范数为kXkp的Lpisa-Banach空间=ROhm|X | pdPpfor 1≤ p<∞ 和kXk∞=对于p=∞. 在下文中，p∈ {0} ∪ [1, ∞] 假设为。命题4以下陈述相当于风险度量 : 有限合伙人→ 红外光谱∪{+∞}:（a） 在每个X∈ Lp， 是低s e微连续的，即。，（十）≤ lim信息→∞（Xn）无论何时→∞Xn=X英寸Lp。（b） {X∈ Lp |（十）≤ r} 每个r关闭∈ IR；（c） A= {X∈ Lp |（十）≤ 0}  Lpis关闭。并行语句适用于通过风险度量进行规划 一个接一个.（a）和（b）的等价性在变分分析中是标准的，而（c）进入图片是因为现金可加性（1）。满足命题4中的一个条件（从而满足所有条件）的风险度量称为闭合。对于p∈ [1, ∞), Lpis的拓扑对偶是Banach空间Lqforp+q=1，q=∞ 当p=1时。如果p=∞ 然后我∞由双对（L，L）生成的弱拓扑提供∞) （对于局部凸空间，请参见[3，第5.14节]），这确保了∞和Lbecome拓扑对偶。请注意，L上的拓扑∞影响了: L上有函数∞对于范数拓扑，它是闭合的，但对于byL生成的（弱）拓扑，它不是闭合的。确保后者与所谓的FatoupProperty等效的条件，见【27，第4.3节】。允许: 有限合伙人→ 红外光谱∪ {+∞} 是一个封闭的凸风险度量。根据定义1，它永远不会获得价值-∞, 它至少有一个真正的价值(0). 这意味着 在凸分析的意义上是适当的（见[55，p。

39]），它满足了Fenchel-Moreau定理的所有假设【55，定理2.3.3】：它与Legendre-Fenchel-biconjugate一致**由两个公式给出*（Y）：=supX∈Lp{E[XY]- （十） }和**（十） ：=supY∈Lq{E[XY]- *（Y）}其中Legendre-Fenchel共轭*: L∞→ 红外光谱∪ {+∞} 属于 定义了Lp的拓扑对偶空间Lqof。代表性 = **仅当可以确定*. 结果是*（Y）=supX公司∈A.E类[-XY）]：E[Y]=1，Y∈ L∞++∞ : 否则（4）表示如下 = IA公司 τ和一个整数卷积的共轭是共轭之和的事实（[55，定理2.3.1（ix）]）：必须计算（IA)*和τ*. 而前者是已知的（这是定义共轭的一个简单结果），后者是I{Y∈Lq | E[Y]=-1}.观察到实现价值+∞ 无论何时Y 6∈ -Lq+（这源于A的单调性) 然后将Y替换为-Y一个获得（4）。（4）中Y的两个条件对对偶r表示公式进行了引人注目的解释 = **. 至Y∈ Lq+满足E[Y]=1可以为a指定一个概率度量Q byQ（a）=ZAY（ω）dP∈ f相对于P是绝对连续的，即dQdP=Y。此外，Q和Y之间的关系是一对一的。

如果其中一个用m（P）表示这种可能性度量的集合，那么LPS上风险度量的对偶表示结果如下所示。定理5函数: 有限合伙人→ 红外光谱∪ {+∞} 是一个闭的凸风险测度，当且仅当存在非空集Q M（P）与函数γ：Q→ IR，以便十、∈ 有限合伙人：（十） =supQ∈Q均衡器[-X]- γ（Q）.此外，γ（Q）=supX∈A.E类[-XY]=supX∈A.均衡器[-十] w henever Q是由Y生成的概率度量∈ Lq+，其中E[Y]=1和*（Y）<+∞.如果 是额外的正齐次（因此是次线性），则γ（Q）=0表示Q∈ Q.最坏情况风险度量最大值：L∞→ IR定义人最大（X）=- essinf X=inf{t∈ IR | X+t1I≥ 0}具有双重表示最大（X）=supQ∈M（P）等式[-十] ，而LCA的平均风险值可以表示为V@Rα（X）=sup均衡器[-十] | Q∈ M（P），dQdP≤α.两者都是次线性（一致）风险度量。请注意，DQDP∈ L∞对于Q∈ QAV@R。该公式的平均值可通过表示AV@Rα（X）=（ν）得出 τ） （X）带Д（X）=αmax{-十、 0}，这是由于[44]，[45]。通过ent（X）=βlog E[经验(-βX）]对于β>0，为风险度量耳鼻喉科：L∞→ 定义IR；它是凸的，但不是正齐次的。其双重表示为ent（X）=supQ∈M（P）均衡器[-X]-βH（Q | P）其中，H（Q | P）=EQ【logdQdP】是Q相对于P的相对熵。3法律不变性和Kusuoka代表性风险度量: 有限合伙人→ 红外光谱∪{+∞} 被称为法律入侵，如果（十） =（Y）当X andY在P下具有相同分布时。法律不变风险度量的标准示例是基于分位数的V@R和AV@R。对于L∞, 法律不变性具有强大的含义。

典型结果如下所示。定理6 Let(Ohm, F、 P）是一个无原子的概率空间，使得Lis是可分的。然后: L∞→ IR是一个定律不变的凸风险测度当且仅当存在一个函数π：M（（0，1））时→ [0, ∞] 因此十、∈ L∞: （十） =supm∈M（（0,1））ZAV@Rα（X）dm（α）- π（m）.式中，M（（0，1））是（0，1）上的（Borel）概率测度集。理论6中的特征化是由于Kusuoka[37]对于次线性情况（积分分位数函数的相互作用），是由于Jouini、Schachermayer和Touzi[36]对于一般凸情况。它表明了风险平均值的重要性。4构建风险度量转换信封。Letφ：L→ 红外光谱∪ {+∞} 是单调函数。然后，函数φ： L→ 红外光谱∪ {+∞} 定义人φ（X）=inf{φ（X）+τ（X）| X+X=X}=inf{φ（X- r1I）- r | r∈ IR}（5）是一种风险度量φ(0) ∈ IR。请注意φ就是两个函数φ和τ的不正卷积（[55，定理2.1.3（ix）]）。此外，可以证明φ是逐点最大的现金相加函数，其逐点不大于φ，因此可以称为φ的（下）现金相加包络。在不同的背景下，在【17】中引入了这种结构，并在【23】中引入了风险度量。此外，在【5】、【6】中引入的所谓“优化确定性等价物”具有φ（X）=E的相同形式[l（十） ]对于单调（非递增）函数l: 红外光谱→ 红外光谱∪ {+∞}. 如上所示，每个风险度量都是其“诱导”接受集指标函数的现金相加包络：IA是单调的，因为是与损失/效用功能相关的风险度量。允许l : 红外光谱→ 红外光谱∪ {+∞}是一个适当的、递增的、非恒常的函数，r∈ 内景l（IR）。定义设置Al= {X∈ L | E[l(-十） ]≤ r} 。

风险度量l定义人l（十） =A.l（十） =inf{s∈ IR | E[l(-十、- s1I）]≤ r} 被称为基于损失的短缺风险度量。如果l 是凸面的。如果l 是实值的，并且l被视为L上的函数∞, 然后它是弱闭的对偶表示十、∈ L∞: l（十） =最大值∈M（P）均衡器[-X]- infλ>0λr+El*λdQdP哪里l*是l : 红外光谱→ IR。短缺风险度量是法律不变量，在某种意义上与分歧风险度量是双重的（在【27，第4.9节】中讨论），后者有一个原始表示，取决于l*) 这反过来也与Ben Tal和Teb oulle提出的“优化确定性等价物”相吻合【5】，【6】。光谱风险度量。关键的观察结果是，两个风险度量的凸组合也是一个风险度量，这甚至可以通过[0，1]上的概率度量推广到混合物，参见[1，proposition 2.2]。Acerbi[1]介绍了以下概念。Letφ：[0，1]→ IR是满足（a）φ（α）的函数≥ 0表示所有α∈ [0，1]，（b）Rφ（α）dα=1，（c）0≤ α≤ α≤ 1表示φ（α）≥ φ(α). 然后，函数φ： L∞→ 红外光谱∪ {+∞} 定义人φ（X）=-Zφ（s）q-X（s）dss是一个一致的、规律不变的风险度量，函数φ被称为风险s pec trum，决策者可以选择它。这里，q-X（α）=inf{t∈ IR | FX（t）≥ α} 是X的下α分位数。V@R和AV@R被证明是特殊的光谱风险度量。比较[12]，了解更多属性、双重表示结果以及与随机优势序的关系。注意，Kusuoka[37，定理7]的结果已经暗示了L∞在无原子概率空间上，与所有弱闭、相干、律不变和共单调风险测度类重合（比较[1]中的备注4.4）。5与风险评估中其他概念的关系随机优势顺序。

概率分布的随机优势序是风险评估的重要工具。因此，风险度量的一个关键性质是关于这些阶的单调性。风险平均值表征了二阶随机优势SSD：如果X，Y∈ 五十、 然后SSDY公司<=> α ∈ （0，1）：AV@Rα（X）≥ AV@Rα（Y）。这一观察可追溯到【42】，另见【27，备注4.49】。以类似的方式，风险价值表征了一阶随机优势。其他翻译功能。值得注意的是，许多其他函数共享属性（1）。特别是，不完全市场中金融头寸的次级和超边际价格是现金相加函数的版本【27，第1.3节】以及所谓的gooddea l界限【34】。在金融之外，D empster的信念函数【14，公式（3.9），第363页】、Choquet积分【15】、不精确的上下期望值【52】、保险费（如【53】中所述）、精确泛函和博弈【39】、【40】以及maxmin期望效用函数【29】，以及其他许多函数，共享属性（1）。扩展。（a） 著名的马科维茨投资组合选择模型[38]将方差作为风险评估工具，它既不是单调的，也不是现金加成的。相反，它在由常数函数构成的线性子空间上是常数。Rockafellar、Uryasev和Zabarankin【47】、【48】引入的偏差度量值共享了该属性，基本上是风险度量值和预期值的差异。它们可以替代回归分析[49]或投资组合选择[48]等程序中的方差。有关概述，请参见[46]。（b） 由于现金加性风险度量是拟凸的当且仅当它是凸的，因此引入了（1）的较弱版本，请参见[19]和[9]。

在[8]、[18]中，可以找到一个简明的动机、关于拟凸风险度量（称为绩效或评估指数）的进一步结果以及许多例子。（c） 在市场条件下，可能需要提供动态风险评估程序。主要问题是时间的一致性，即如果在较早的时候已经可以接受，那么在某个时候可以接受的立场。上述概念对动态案例的扩展始于【16】、【10】、【11】、【43】。最近，L-moduleframework主要受时间相关的条件风险度量的驱动而开发，有关概述和参考文献，请参见【24】。（d） 在有交易成本和流动性不足的市场中，需要评估多变量头寸的风险（另见3.1.5.7）。已经采用了几种方法：例如，多变量支付的标量风险度量[7]、[20]，以及向量和集值风险度量[35]、[30]、[31]、[32]。（e） 条件（1）要求存在作为参考工具的“不可违约”（可贴现）数字。鉴于最近的金融和经济危机，这一假设值得怀疑。[21]、[22]中可以找到更多离开“恒定数量”框架和替代方案的原因。参考文献【1】Acerbi，C.（200 2）。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》26（7）：1505-1518。[2] Acerbi，C.，&Scandolo，G.（2008）。流动性风险理论和一致性风险度量。定量金融，8（7）：681-692。[3] Aliprantis，C.，&Border，K.（200 6）。有限维分析。斯普林格出版社，第3版。[4] Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.M.、Heath，D.（1999）。一致的风险度量。《数学金融》，9（3），203-22 8。[5] Ben Tal，A.，&Teboulle，M.（1986）。

随机非线性规划中的期望效用、惩罚函数和对偶。《管理科学》，32（11），1445-1466。[6] Ben Tal，A.，&Teboulle，M.（2007）。凸风险度量的一个新旧概念：优化确定性等价。《数学金融》，17（3），449-4 76。[7] Burgert，C.，&R¨uschendorf，L.（2006）。投资组合向量的一致风险度量。保险：数学与经济学，38（2），289-297。[8] Cherny，A.，&Madan，D.（2009）。绩效评估的新措施。《金融研究回顾》，22（7），2571-2606。[9] Cerreia–Vioglio，S.、Maccheroni，F.、Marinacci，M.、Montrucchio，L.（20-11）。风险度量：理性和多元化。《数学金融》，21（4），743-774。[10] Cheridito，P.、Delbaen，F.、Kupper，M.（2004）。有界cadlag过程的一致和凸货币风险测度。随机过程及其应用，112（1），1-22。[11] Cheridito，P.、Delbaen，F.、Kupper，M.（2005）。无界cadlag过程的相干和凸货币风险度量。《金融与随机》，9（3），369387。[12] Cheridito，P.，&L i，T.（2008）。Orlicz心脏风险度量性质的双重表征。数学与金融经济学，2（1），29-55。[13] Delbaen，F.（2002年）。一般概率空间上的一致风险测度。《金融与随机科学进展》（第1-37页）。斯普林格出版社。[14] Dempster，A.P.（1966年）。基于样本数据的后验分布推理新方法。《数理统计年鉴》，355-374年。[15] Denneberg，D.（1994年）。非加性测度和积分。Kluwer学术出版社Dordrecht。[16] Detlefsen，K.，&Scandolo，G.（2005）。条件和动态凸风险度量。《金融与随机》，9（4），539-561。[17] Dolecki，S.，&Greco，G.H.（1995）。Niveloids。非线性分析中的拓扑方法，5（1），1-22。[18] Drapeau，S.，&Kupper，M。

( 2013). 风险偏好及其稳健表现。运筹学数学，38（1），28-62。[19] El Karoui，N.，&Ravanelli，C.（2009）。现金次加性风险度量和利率模糊性。《数学金融》，19（4），561-590。[20] Ekeland，I.，&Schachermayer，W.（2011）。L上的法律不变风险测度∞（IRd）。《统计与风险建模及其在金融和保险领域的应用》，28（3），195225。[21]Farkas，W.，Koch Medina，P.&Munari，C.（2014）。可违约证券的资本要求。保险：数学与经济学55:58-67。【22】Farkas，W.，Koch Medina，P.&Munari，C.（2014）。除了现金附加风险度量之外：当更改numraire失败时。金融与随机1 8（1）：1 45173。[23]Filipovi\'c，D.，&Kupper，M.（2007）。单调和现金不变凸函数和外壳。保险：数学与经济学，41（1），1-16。[24]Filipovi\'c，D.、Kupper，M.、Vogelpoth，N.（2012）。条件风险的方法。暹罗金融数学杂志，3（1），402-432。【25】F¨ollmer，H.，&Schied，A.（2002）。风险和交易约束的凸度量。《金融与随机》，6（4），429-447。【26】F¨ollmer，H.，&Schied，A.（2002）。稳健的偏好和凸风险度量。《金融与随机科学进展》（第39-5-6页）。斯普林格出版社。【27】F¨ollmer，H.，&Schied，A.（201 1）。随机金融：离散时间导论。Walter de Gruyter，第3版。【28】Frittelli，M.，&Rosazza Gianin，E.（2002）。对风险措施进行排序。《银行与金融杂志》，26（7），1473-1486年。[29]Gilboa，I.，&Schmeidler，D.（1989）。具有非唯一优先级的Maxmin预期实用程序。J、 数学经济学，18（2），141-153。[30]哈默尔，A.H.，&海德，F。(2010). 集值风险度量的对偶性。西亚姆杰。金融数学，1（1）：66-95。[31]Hamel，A.H.、Heyde，F.、Rudlo Off，B.（2011）。

conicalmarket模型的集值风险度量。数学与金融经济学，5（1）：1-28。[32]Hamel，A.H.，&Kostner，D.（2018）。多变量随机m变量的锥分布函数和分位数，J.多变量分析1 67，97-113。【33】Heath，D.&Ku，H.（2004）。具有一致风险度量的帕累托均衡。数学《金融》，14（2）：1631 72。[34]Jaschke，S.，&K¨uchler，U.（2001）。一致的风险度量和良好的交易界限。《金融与随机》，5（2），181-200。[35]Jouini，E.、Meddeb，M.、Touzi，N.（2004）。向量值一致风险度量。《金融与随机》，8（4），531-552。[36]Jouini，E.，Schachermayer，W.，和Touzi，N.（2006）。法律不变风险度量具有Fato u属性。《数理经济学进展》（第49-71页）。斯普林格出版社。【37】Kusuoka，S.（200 1）。关于法律不变的一致风险测度。《数学经济学进展》（第83-95页）。斯普林格出版社。[38]Markowitz，H.（1952年）。投资组合选择。《金融杂志》，7（1），77-91。[39]Maass，S.（2001）。作为精确泛函及其（Sigma）核的相干下预测。ISIPTA，第1卷，第230-236页。[40]Maass，S.（2002）。精确泛函及其核心。统计论文，43（1），75-93。【41】Ogryczak，W.，&Ruszczynski，A.（1999）。从随机优势到平均风险模型：作为风险度量的半偏差。《欧洲运筹学杂志》，116（1），33-50。[42]Ogryczak，W.，&Ruszczynski，A.（2002）。对偶随机优势和量化风险测度。运筹学国际交易，9（5），661-680。[43]Riedel，F.（2004年）。动态一致性风险度量。随机过程及其应用，112（2），185-200。【44】Rockafellar，R.T.，&Uryasev，S.（2000）。条件风险值的优化。《风险杂志》，2，21-42。【45】Rockafellar，R.T.，&Uryasev，S.（2002）。

一般损失分配的条件风险值。《银行与金融杂志》，26（7），1443-1471。【46】Rockafellar，R.T.，&Uryasev，S.（2013）。风险管理、优化和统计估计中的基本风险四边形。运营研究与管理科学调查，18（1），33-53。【47】Rockafellar，R.T.，Uryasev，S.，&Zabarankin，M.（2006）。风险分析中的广义偏差。《金融与随机》，10（1），51-74。【48】Rockafellar，R.T.，Uryasev，S.，&Zabarankin，M.（2006）。具有一般偏差测度的投资组合分析中的最优条件。数学规划，108（2-3），515-540。【49】Rockafellar，R.T.，Uryasev，S.，&Zabarankin，M.（2008）。使用广义线性回归进行风险调整。运筹学数学，33（3），712-729。[50]Roor da，B.、Schumacher，J.M.、Engwerda，J.（2005）。多周期模型中的一致可接受性度量。《数学金融》，15（4），589-612。【51】Ruszczynski，A.，&Shapiro，A.（2006）。凸风险函数的优化。运筹学数学，31（3），433-452。[52]Walley，P.（1991）。具有不精确概率的统计推理。伦敦：查普曼和霍尔。[53]Wang，S.S.，Young，V.R.，和Panjer，H.H.（1997）。保险价格的公理化描述。保险：数学与经济学，21（2），173-183。【54】Yaari，M.E.（1987）。风险下的双重选择理论。计量经济学，95-115。[55]Zalinescu，C.（2002）。一般向量空间中的凸分析。世界科学论坛。