有关3）、4）和5）等价性的证明，请参见[AP11，命题33]。下一个结果表明，弱时间一致性确实是时间一致性的最弱形式之一，即弱时间一致性由投射更新规则生成的任何时间一致性所隐含；我们参考[BCP14，命题4.5]进行证明。见A节。1.详细信息。16 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Piteraki，5.4号提案。设φ为Lp上的动态LM度量，u为项目更新规则。如果φ为u-接受（或u-拒绝）时间一致，则φ为弱接受（或弱排斥）时间一致。备注5.5。弱时间一致性的一个重要特征是它对tomonotone变换的不变性。具体来说，让g:\'R→“R是一个严格递增的函数，让是一个弱接受/拒绝时间一致的动态LM度量。然后，{go ~nt}t∈这也是一种弱接受/拒绝时间一致的动态LM测量。备注5.6。在一般LM度量的情况下，弱时间一致性可能不像命题5中的2）那样具有特征。3.例如，如果φ是（标准化的）可接受性指数，则φt（R）={0，∞}, 对于t∈ T、 这与命题中的不一致。2.5.2强时间一致性正如引言中所述，强时间一致性的起源可以追溯到[60]。从历史上看，这是动态风险度量文献中首次也是最广泛研究的时间一致性形式。值得一提的是，这种形式的时间一致性也作为迭代性质出现在保险文献中，它与均值原理有关[Ger74，GDV79]。我们从定义连续时间一致性开始。定义5.7。设φ为Lp上的动态LM测量值。

那么，如果φs（X）=φs（Y），则称φ是强时间一致的==> 对于任何X，Y，φt（X）=φt（Y），（5.3）∈ L和s，t∈ T、 因此，s>T.强时间一致性因其与动态规划原理等价而得到了广泛的应用和重视。这种等价性，以及强时间一致性的其他特征，是以下两种观点的主题。提议5.8。设φ为Lp上的动态LM测量值。以下特性是等效的：1）ψ具有很强的时间一致性。2） 存在一个更新规则u，使得u-接受和u-拒绝时间一致。3） 接收时间是否与{Yt}t一致∈T、 其中Yt=Lp。4） 存在更新规则u，因此对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 s>T，uT，s（us（X））=uT（X）。（5.4）5）存在一个一步更新规则u，使得对于任何X∈ Lp，t∈ T、 T<T，uT，T+1（uT+1（X））=uT（X）。关于命题5.8的证明，见附录B。在这个命题中，性质4）被称为贝尔曼原理或动态规划原理。此外，请注意，5）意味着任何时间一致性强的动态LM度量都可以使用向后递归来构造，从T:=, 哪里 这是一个LM度量。参见[CK11]，其中详细讨论了动态风险度量的递归构造。强时间一致性的一种重要且经常被研究的类型是L上动态m-on-etary风险度量的str-on-g时间一致性∞（参见[AP11]及其参考文献）。正如下一个结果所示，在这种情况下，有更多的等价物是有效的。风险和绩效衡量指标的时间一致性：调查第5.9条。设φ为L上的一个可表示的动态货币效用度量∞.

以下特性是等效的：1）ψ具有很强的时间一致性。2） ν是递归的，即对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 对于所有的T，s>T，νT（X）=νT（νs（X））.3）At=At，s+As∈ T、 s>T.4）对于任何Q∈ M（P），t，s∈ T、 s>T，αmint（Q）=αmint，s（Q）+EQ[αmins（Q）| Ft].5）对于任何X∈ Lp，Q∈ M（P），s，t∈ T、 s>T，~nT（X）- α薄荷（Q）≤ 等式[~ns（X）- α分钟（Q）|英尺]。例如，有关证明，请参见[AP11，命题14]。备注5.10。（i） 一般来说，对于动态LM度量，强时间一致性并不意味着弱接受或弱拒绝时间一致性。事实上，让我们考虑一下φ={φt}t∈T、 从而使得φT（X）=T（分别为φT（X）=-t） 为了所有的X∈ L.Sin ce~nt（0）=t6≥ ess inft~ns（0）=s（分别。-t6≤ -s），对于s>t，我们得出结论，ψ不是弱接受（或弱拒绝）时间一致的。然而，因为对于任何X∈ 五十、 那么φ是强时间一致性的。我们注意到，如果定义5中的更新规则。7是投射性的，因为它通常是动态货币风险度量的情况，那么，由于命题5。4.强时间一致性的关键在于弱时间一致性。（ii）值得一提的是，原则上，强时间一致性不适用于可接受性指数[BCZ14、BCC15、CM09]。设φ为标度不变的动态LM度量，设a∈ 对于一些s>0的s，P[A]=1/2∈ T.此外，假设Fis是微不足道的。我们考虑ran dom变量的序列Xn=nA-Ac，n∈ N.根据φ的局部性和尺度不变性，我们得到了φs（Xn）=φs（X），对于N∈ N.如果φ是强时间一致的，那么我们也有φ（Xn）=φ（X），N∈ N

另一方面，任何合理的性能测量都应该随着n的增加在更高的水平上评估Xnat，这与φ（Xn）是一个恒定序列的事实相矛盾。5.3稳健预期、子鞅和超鞅射影更新规则的概念与（有条件的）非线性预期的概念有关（关于非线性预期的定义和性质，参见[Pen97]）。在[RG06，Pen04]中，作者建立了非线性预期和动态测量之间的联系。投影更新规则的一个特别重要的例子是standardconditional Expection操作符。在L中保持一致性∞在[DS05，第5节]中研究了用条件期望定义的框架，并与s上（下）鞅性质相关联。下一个结果介绍了一类由条件透视和确定集合族生成的u更新规则。首先，我们回顾了确定集合族的概念（更多细节参见[Che06]）。18 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera为每个T∈ 定义：={Z∈ L|Z≥ 0，E[Z | Ft]=1}。一类集合D={Dt}t∈这是一个决定性的家庭，如果有任何t∈ T、 设置的数据满足以下属性：Dt6=, Dt 它是L-闭的，Ft-凸的，一致可积的。提案5.11。设D是一个决定性的集合族，设φ是一个动态LM测度。考虑映射族φ={φt}t∈T、 φT:\'L→\'Lt，由以下稳健预期φt（m）=ess infZ给出∈DtE[Zm | Ft]。（5.5）那么，1）族φ是一个投影更新规则；2） 如果φ与验收时间一致，则{go ~nt}t∈这也是φ-接受时间一致的，对于任何递增和凹函数g:\'R→ R.备注5.12。

L定义的经典（静态）一致性风险度量∞对于某些概率度量集Q，允许形式（2.1）的稳健表示。已知该集Q可能不是唯一的。因此，对于定义在“L”上的地图，可能存在ρ的多个扩展（扩展的概念见附录a.3）。然而，正如在[Che06]中，我们可以考虑称为风险度量的确定集的最大集D，它保证了这种扩展的唯一性。（5.5）中定义的地图系列就是此类扩展系列的一个例子。因此，我们看到一致的风险度量构成了生成更新规则的良好起点。为了证明命题。11，见附录B。拒绝时间一致性命题5.11的对应项是通过采用ess su p而不是（5.5）中的ess inf获得的，假设g是凸的。在用Dt={1}确定族的特殊情况下，对于任何t∈ T、 投影更新的形式为uT（m）=E[m|Ft]，m∈这是一个重要的例子，因为它产生了上鞅和下鞅时间一致性的概念。定义5.13。设φ为Lp上的动态LM测量值。如果φt（X），我们说φ是时间一致的上鞅（或下鞅）≥ E[~ns（X）| Ft]，（分别为。≤)对于任何X∈ L和t，s∈ T、 s>T.备注5.14。（i） 注意，任何φ-接受时间一致的动态LM度量，其中φ在（5.5）中给出，也是弱接受时间一致的，因为φ是投影的。特别是，任何超可触发时间一致性LM度量也是弱可接受时间一致性的。对于拒绝时间一致性，类似的说法也适用。（ii）如【BCP14】所述，更新规则的思想可用于加权偏好。从直觉上讲，远未来的损失风险可能比迫在眉睫的损失风险更可取。这个想法在[Che10]中被使用。

例如，形式为ut，s（m，X）的更新规则u=αs-在{E[m|Ft]上的tE[m|Ft]≥ 0}，αt-sE[m|Ft]在{E[m|Ft]<0}上。（5.6）对于固定α∈ （0,1）将实现这一目标。我们所说的Ft凸是指对于任何Z，Z∈ Dt和λ∈ 使0≤ λ ≤ 我们得到λZ+（1）- λ） Z∈ Dt。robu st一词的灵感来源于风险度量的稳健表示。风险和绩效指标的时间一致性：195.4其他类型的时间一致性调查时间一致性的弱、str-on-g和超/次鞅形式在现有文献中吸引了最多的关注。在本节中，我们将介绍已经研究过的其他形式的时间一致性。5.4.1中期一致性中期一致性的概念最初是为L∞（参见[AP11]）。其主要思想是用不平等代替（5.3）中的平等。术语“中间接受”或“中间拒绝”是根据不等式的方向使用的。定义5.15。Lpis中间验收（和中间拒收）上的动态LM测量值在时间上一致，如果≥ ~ns（Y）（分别为。≤) ==> ~nt（X）≥ t（Y）（分别为。≤),对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 s>T和Y∈ Lp∩ 是的。关于基准系列Y={Yt}t，中间接受（或中间拒绝）时间一致性等同于接受（或拒绝）时间一致性∈T、 给定byYt=Lp∩ Lt.在动态凸风险度量的情况下，中间验收时间一致性的其他特征可用，如下所示。提案5.16。设φ为L上的一个可代表的动态货币效用度量∞, 从上面看是连续的。以下特性是等效的：1）ψ是中间验收时间一致的。2） 是--验收时间一致。3） 对于任何X∈ Lp，s，t∈ T、 s>T，~nT（X）≥ ~nt（~ns（X））。

（5.7）4）对于任何X∈ L和t∈ T、 求出T<T，νT+1（X）- ~nt（X）∈ Rt，t+1.5）对于任何X∈ Rtand t∈ T、 求出T<T，νT+1（X）∈ Rt.6）对于任何t∈ T、 使T<T，在 对于任何Q，t+1+At+1.7）∈ M（P）和t∈ T、 T<T，αmint（Q）≥ αmint，t+1（Q）+EQ[αmint+1（Q）| Ft].8）对于任何Q∈ M（P）和t∈ T、 求出T<T，νT（X）≥ 等式[~nt+1（X）|Ft]+αmint，t+1（Q）。自从-对于任何Y，都是φ的LM扩展，且φs（Y）=Y∈ Lp∩Ls，1）和2）之间的等价关系是即时的。所有其他等价物见[AP11，第4.2节]及其参考。命题5中的属性1）。16有时被称为谨慎（见[Pen07]）。见附录A。3.用于定义-20 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera5。4.2由LM度量引起的时间一致性事实证明，任何动态LM度量都会生成更新规则。事实上，正如下一个结果所示，LM度量的任何LM扩展（有关LM扩展的定义，请参见附录A.3）都是s-不变更新规则。提案5.17。动态LM–measure~n的任何LM扩展b~n都是s-不变更新。当且仅当φt（X）=X，对于t∈ T和X∈ Lp∩\'Lt.证据推迟到附加ixB。可以使用LM扩展来提供更强形式的强一致性和中间时间一致性，这尤其适用于动态m-on-etary风险度量。回想一下，对于动态m-on-etary风险度量，L∞, 强时间一致性相当于任意X的|t（X）=|t（νs（X））的性质∈ X，s，t∈ T、 但是，如果X大于L∞, 那么，这种特征化是有问题的，因为我们可能会得到φs（X）6∈ 十、在这种情况下，LM扩展很方便，可以通过以下等式定义强大的时间一致性：^t（X）=^k t（^s（X）），X∈ X，s，t∈ T、 s>T，（5.8），其中^^是^从X到L的延伸。

相应地，我们说φ是*时间一致性，如果存在一个LM扩展^~n，则^是^~n-接受和^拒绝的时间一致性。请注意，由于^~n是一个更新规则，因此*时间一致性意味着定义上的强烈时间一致性5。7.一般来说，相反的含义是不正确的；要看到这一点，我们有必要考虑一个非s-不变的更新规则的强时间一致性。以同样的方式，我们说φ是中间的*验收时间一致，如果存在^的anLM延长，比如说^^^，则^^^-验收时间一致。鉴于命题A。7，这相当于说φ是中间值*验收时间一致（如果是）--验收时间一致。同样，要定义中间层*拒绝时间一致性：我们使用映射+.5.5结果分类法。为了方便读者，在下面的流程图1中，我们总结了第5节中调查的结果。为了透明，我们在流程图中标注了每个箭头（暗示或等效），并将这些标签与相关结果联系起来，在适当的情况下还提供了关于逆转暗示的评论。命题5。3，2）命题5。值得注意。14和5.4号提案。相反的含义一般不成立，见例7。6.命题5。4.一般来说，相反的含义是不正确的。

参见示例7.6：γ<0的动态熵风险度量的负值是弱接受时间一致性，但它不是超平均时间一致性，也就是说，它不是关于投影更新规则ut=Et[m | Ft]的接受时间一致性。风险和绩效指标的时间一致性：调查21图1：随机变量的验收时间一致性结果摘要≥ 0=> ~nt（X）≥ 0if~n是一种货币效用度量单位Фs（X）≥ mt=> ~nt（X）≥ mtDynamic LM Measure洎为弱接受一致性洎t（X）≥ ess inft（~ns（X））动态LM测量洎发布持续性一致性洎t（X）≥ E[~ns（X）| Ft]动态LM测量аisMiddle接受组аs（X）≥ ~ns（Y）=> ~nt（X）≥ νt（Y）代表Y∈ 十、∩\'Ls~nisu–对于X=L，接受一致性u是投影的аs（X）=аt（аs（X））∞, 式中，μ是一个静态公用设施度量单位，μ同时是u–可接受和u–不可接受度量单位。动态LM度量单位是由μs（X）=μs（Y）组成的=> 如果u是投影命题5，则Фt（X）=Фt（Y）ν是标度不变量。8, 4). 相反的应用一般不正确。反例见[AP11，命题37]。命题5。4.另请参见。一般来说，强时间一致性并不意味着弱接受时间一致性，见备注5。10.命题5。16，3）这是一个启发性的陈述。见备注5。10.（二）。命题5。8，5）6随机过程的时间一致性我们为随机变量和随机过程的各种类型的时间一致性保留相同的名称。然而，我们强调，随机过程的时间一致性的本质通常要复杂得多。如果ψ是LM度量，那么V∈ Vp，那么为了比较φt（V）和φs（V），对于s>t，还需要考虑t和s之间的现金流。为了考虑中间现金流，我们适当修改了更新规则的概念。定义6.1。

族u={ut，s:t，s∈ T、 图的T<s}uT，s:\'Ls×X→\'\'LTI称为代理化更新规则（如果适用于任何X）∈ X系列u（·，X）={ut，s（·，X）：t，s∈ T、 T<s}是最新的规则。22 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.PiteraNote注意，定义4中引入了更新规则。2 m可以被认为是广义的dupdate规则，它相对于X是常数，即对于任何X，Y，u（·，X）=u（·，Y）∈ 十、接下来，如果没有歧义，我们就放弃广义这个词。如前所述，如果存在{ut}t族，我们说upd ate规则u是s-不变的∈Tof图ut:\'L×X→\'Lt，使得任何s，t的ut，s（ms，X）=ut（ms，X）∈ T、 s>T，X∈ X和ms∈“是的。我们现在得出了时间一致性的相应定义。定义6.2。设u为广义更新规则。我们说动态LM测量值是u-接受（再sp.u-拒绝）时间一致的，如果≥ ms（分别为。≤) ==> ~nt（X）≥ ut，s（ms，X）（分别为。≤), （6.1）对于所有s，t∈ T、 s>T，X∈ X和ms∈“是的。特别是，如果属性（6.1）满足S=t+1，t=0，T，那么我们说φ是一步u-接受（或一步u-拒绝）时间一致的。在本节中，我们假设X=Vp。我们将把注意力集中在一步更新规则u上，以使ut，t+1（m，V）=ut，t+1（m）+f（Vt），t=0，T- 1，（6.2）式中，μ是随机变量的e步更新规则，d f:\'R→R是一个Borel可测函数，使得f（0）=0。假设属性（6.2）主要是为了在我们的结果和现有文献之间建立直接联系。此外，当使用形式为（6.2）的一步更新函数时，一步时间一致性f或随机变量是随机过程一步时间一致性的一种特殊情况，通过考虑只有最终支付的现金流，即V=（0。

，0，VT）。最后，我们注意到，更新规则允许所谓的嵌套组合属性（cf[RS06b，Rus10]），ut，s（m，V）=ut，t+1（ut+1，t+2（…us）-2.s-1（微秒）-1，s（m，V，V）。V），V），（6.3）我们认为u-接受（分别u-拒绝）时间一致性相当于一步u-接受（分别u-拒绝）时间一致性。这就是为什么我们只考虑随机过程的一步规则的另一个原因。6.1弱时间一致性我们从以下定义开始。定义6.3。VP上的动态LM测量值是弱接受（或弱拒绝）时间一致的，如果φt（V）≥ ess inftаt+1（V）+Vt（分别аt（V）≤ 对于任何V∈ Vpt和Vpt∈ T、 使T<T。下一个结果是命题5的对应结果。2和命题5.3。提议6.4。设φ为Vp上的动态LM测量值。以下属性是等价的：我们记得VP的t元素被解释为折扣dividend进程。风险和绩效指标的时间一致性：一项调查231）~n的时间一致性较弱。2） u是u-接受时间一致的，其中u是s-不变更新规则，由ut（m，V）=ess inftm+Vt.3）为任何V∈ Vp和t<tаt（V）≥ ess infQ∈Mt（P）等式[~nt+1（V）| Ft]+Vt.（6.4）4）适用于任何V∈ Vp、t<t和mt∈\'Lt，аt+1（V）≥ mt=> ~nt（V）≥ mt+Vt。此外，如果φ是一个动态的货币风险度量，则上述属性与任何V的5）等价∈ Vp和t<t，νt+1（V）≥ 0=> ~nt（V）≥ 对于弱的拒绝时间一致性，类似的等价物是正确的。命题的证明。4类似于命题5.2和命题5.3的证明，我们省略了它。如前所述，更新规则，以及随机过程的时间一致性，也取决于时间t的过程值（支付的股息）。

在weaktime一致性的情况下，这个特性被解释为：如果明天，在时间t+1，我们接受V∈ Vp在高于mt+1的级别∈ Ft+1，那么今天在时间t，我们将接受V至少为level-less-inftmtmt+1（即与信息Ft相适应的最差mt+1水平）加上今天收到的股息。最后，我们给出了命题5的对应部分。4对于随机过程的情况。提案6.5。设φ为随机变量的投影更新规则，随机过程的更新规则u由ut，t+1（m，V）=φt（m）+Vt，m给出∈\'Lt+1，V∈ 副总裁。（6.5）如果ν是Vp上的动态一步LM测量，它是u-接受（或u-拒绝）时间一致的，那么Ф是弱接受（或弱拒绝）时间一致的。命题6.5的证明方式与命题5.4的证明方式类似。备注6.6。命题陈述。如果我们将（6.5）替换为ut，t+1（m，V）=φt（m+Vt），m，则5仍然为真∈\'Lt+1，V∈ 副总裁。事实上，值得注意的是，对于任何V∈ Vp和t<t，νt（V）≥ ut，t+1（ut+1（V），V）=φt（ut+1（V）+Vt）≥ φt（ess-inft[~nt+1（V）+Vt]）=ess-inft[~nt+1（V）+Vt]≥ 信息+1（V）+Vt.24 t.R.比莱斯基，I.恰伦科，M.皮特拉6。2半弱时间一致性在本节中，我们介绍了随机过程的半弱时间一致性的概念。我们没有讨论随机变量情况下的半弱时间一致性，因为在这种情况下，半弱时间一致性与弱时间一致性重合。正如[BCZ14]所示，在撰写该论文时，文献中存在的时间一致性形式都不适用于比例不变的地图，如可接受性指数。事实上，在尺度不变映射的情况下，即使随机过程（如本文所定义）的弱接受和弱拒绝时间一致性也太强。

这就是为什么我们引入了一个较弱的时间一致性概念，我们将其称为assemi弱接受和半弱拒绝时间一致性。接下来介绍的随机过程的半弱时间一致性概念非常适合于尺度不变映射；我们请读者参阅[BCZ14]，详细讨论此类地图及其双向表示的时间一致性。定义6.7。设φ为Vp上的动态LM测量值。那么，如果φt（V），则φ是半弱一致的≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））+1{Vt<0}(-∞), f或全部V∈ 副总裁，t∈ T、 T<T，如果φT（V）为半弱排斥时间一致≤{Vt≤0}ess supt（νt+1（V））+1{Vt>0}(+∞), f或全部V∈ 副总裁，t∈ T、 T<T。显然，随机过程的弱接受/拒绝时间一致性意味着半弱接受/拒绝时间一致性。接下来，我们将证明s emi弱时间一致性的定义实际上等同于[BCZ14]中引入的时间一致性。提案6.8。设φ为Vp上的动态LM测量值。以下属性与1）а的时间一致。2） ν是一步u-接受时间一致，其中（广义）更新规则由ut，t+1（m，V）=1{Vt给出≥0}ess inftm+1{Vt<0}(-∞).3） 对所有人来说∈ 副总裁，t∈ T、 T<T和mt∈\'Lt，这样Vt≥ 0ut+1（V）≥ mt==> ~nt（V）≥ mt。对于半弱拒绝时间一致性，类似的结果也是如此。有关证明，请参见[BCP14，命题4.8]。命题6中的属性3）。8，这是[BCZ14]中对（承兑）时间一致性的定义，最能说明半弱承兑时间一致性的财务意义：如果明天我们接受股息流V∈ 在MTA级别，如果我们今天在t时间获得正股息，那么今天我们至少在MTA级别接受现金流V。

对于半弱拒绝时间一致性，相似解释是有效的。接下来的两个结果很重要。特别是，他们概括了[BCZ14]中关于现金附加风险度量和可接受性指数之间的对偶性的研究。在[BCZ14]中，作者将半弱接受和拒绝时间一致性结合到一个单一定义中，称之为时间一致性。风险和绩效指标的时间一致性：调查256.9。设{~nx}x∈R+是Vp上动态LM度量的递减家族。假设每x∈ R+，νxis弱接受（或弱拒绝）时间一致。然后是{αt}t家族∈Tof映射αt:Vp→由αt（V）定义：=ess supx∈R+{x{~nxt（V）≥0}，（6.6）是半弱接受（或半弱拒绝）时间一致的动态LM度量。有关证明，请参见[BCP14，命题4.9]。值得注意的是，（6.6）中定义的αt（V）也可以写成αt（V）=sup{x∈ R+| |xt（V）≥ 0}. （6.7）提案6.10。设{αt}t∈Tbe是一个动态LM度量，它独立于过去和平移不变量。假设{αt}t∈它是半弱接受（或半弱拒绝）时间一致的。那么，对于任何x∈ R+，族аx={аxt}t∈Tof映射аxt:Vp→“”“ltdefined by~nxt（V）：=ess infc∈R{c{αt（V）-c1{t}）≤x} （6.8）是一个弱接受（或弱拒绝）时间一致的动态LM度量。有关证明，请参见[BCP14，命题4.10]。在下面的内容中，我们将使用（6.8）中定义的аxt（V）也可以写成аxt（V）=inf{c的事实∈ R |αt（V）- c{t}）≤ x} 。（6.9）这种双重表征，即（6.6）和（6.8），或等效的（6.7）和（6.9），出现在[CM09]中，作者研究了静态（一段时间）案例。随后，在[BCZ14]中，作者将这些结果推广到具有特殊相位的随机过程的情况。

与[BCZ14]的结果相反，命题6.9和6.10考虑的是任意概率空间，而不仅仅是有限概率空间。6.3强时间一致性让我们从强时间一致性的定义开始。定义6.11。设φ为Vp上的动态LM测量值。那么，如果vt=V′和φt+1（V）=φt+1（V′，则称φ是强时间一致的==> νt（V）=νt（V′，对于任何V，V′）∈ Vpt和Vpt∈ T、 使T<T。现在，让我们介绍命题5的对应部分。8.提案6.12。设φ为Vp上的动态LM度量，它独立于过去。以下特性是等效的：1）ψ具有很强的时间一致性。一个以x为索引的族∈ R+，映射{~nxt}t的∈T、 如果φxt（X），则称为递减≤ 所有X的φyt（X）∈ X，t∈ T和x，y∈ R+，比如x处的th≥ y、 见附录A。1.详细信息。26 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera2）存在一个更新规则u，以便：∈ T′，m∈\'左，右，右\'∈ 满足vt=V′t，我们有ut，t+1（m，V）=ut，t+1（m，V′）；该系列同时具有一步u-接受和一步u-拒绝时间一致性。3） 存在一个更新规则u，使得对于任何t<t和V∈ Vp~nt（V）=ut，t+1（ηt+1（V），1{t}Vt）。与随机变量的情况一样，V上的动态货币风险度量通常考虑强时间一致性∞. 在这种情况下，可以建立其他等效属性。为了简洁起见，我们跳过了细节，只展示了一系列等价属性的一般概念。这一想法植根于一个强时间一致性动态LMmeasures的特定构造。推论6.13。设u为随机变量的更新规则。

设e k为动态LM测量值∞由以下公式给出：△T（V）=VT△T（V）=uT，T+1（△T+1（V））+VT，那么，△是一个在V上的强时间一致性动态LM度量∞.关于这一观点和其他同等性质的更详细解释，请参见[CK11]或[RS06b]。6.4其他类型的时间一致性其他类型的随机过程时间一致性可通过第5节中的类似定义来定义。4 f表示随机变量的情况。为了简洁起见，我们在这里只讨论从动态LM度量导出的更新规则。首先，给定Vp上的动态LM度量，我们用eа表示映射族eаt:Lpt+1→\'-ltt（X）：=int（1{t+1}X），用于t∈ T′。（6.10）由于φ在Vp上是单调的和局部的，因此显然，eφ在Lpt+1上是局部的，而m在otone上是局部的。下一步，对于任何t∈ T′，我们扩展了etto′Lt+1，保留了局部性和单调性（参见RemarkA.8），这个扩展产生了一个一步更新rule。例如，通过将给出的更新规则u取为ut，t+1（m，V）=eu来获得中间接受时间一致性-t（m+Vt），t∈ T′，其中e-t:\'Lt+1→“LTI定义如（A.6）所示，集合Y-A（X）被y取代-t、 A（X）：={Y∈ Lpt+1 | AY≤AX}，X∈\'Lt+1.6.5结果分类在流程图2中，我们总结了第6节中调查的结果。我们将流程图中的每个箭头（含义或等效性）标记为正方形数字，并将标签与相关结果联系起来。

此外，我们会在适当的时候对converse imp应用提供评论。命题6。4,5）风险和绩效度量的时间一致性：调查27图2：随机过程验收时间一致性的结果总结≥ 0=> ~nt（V）≥ Vtif洎是另外一种货币效用度量洎t+1（V）≥ mt=> ~nt（V）≥ mt+VT动态LM测量值为弱接受一致性（V）≥ ess inftаt+1（V）+VT动态LM测量аisSemi弱接受一致性аt（V）≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））+{Vt<0}(-∞)是一步u-接受组成和ut，t+1（m，V）=φt（m）+Vt（φi s投射）是一步u-接受和u-拒绝一致性ut，t+1（m，V）=ut，t+1（m，1{t}Vt）动态LM测量=> νt（V）=νt（V′，对于V，V′）∈ X，使得Vt=V′tifut，t+1（m，V）=φt（m）+Vt，φ是投影命题6。命题。命题。5职位6。5.另请参见。命题6。12.备注6.14。流程图2中的含义和相反一般不成立；可以使用与r和dom变量相同的反例。关于一个反例，显示了事物的逆命题通常不成立，见例7。3.7示例在本节中，我们提供的示例说明了动态风险度量和动态绩效度量的不同类型的时间一致性，以及它们之间的关系。我们认为，根据本文采用的约定，代表风险度量的动态LM度量是经典度量的否定。基于这种理解，在下面代表风险度量的示例标题中，我们将跳过“负面”一词。示例7.1（风险价值(V@R)). 设X=Landα∈ (0, 1). 我们用φαt（X）和Xαt（X）的条件α分位数表示：=ess sup{Y∈ Lt | P[X≤ Y |英尺]≤ α}. （7.1）28 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M。

根据我们的惯例，有条件的V@R定义为V@Rαt（X）：=-αt（X）。映射族{~nαt}t∈这是一个动态的货币效用指标。它在{~nαt}t是众所周知的∈时间一致性不强；详见[CS09]。然而，它是弱接受和弱拒绝时间一致的。的确，如果αs（X）≥ 0，对于某些s>t和X∈ 五十、 对于任意<0，我们得到P[X]≤ | Fs]=E[{X≤}| Fs]≤ α、 安第斯山脉≤}Ft]=E[E[{X≤}| Fs]| Ft]≤ α.由于<0是任意选择的，因此我们得到αt（X）≥ 因此，根据命题5。3，{~nαt}t∈时间是一致的。现在，我们假设αs（X）≤ 然后，由于条件期望的局部性，我们得到了E[{X≤}| Fs]>α，对于任何>0。事实上，如果P[E[{X≤}| Fs]>α]<1，则存在一个Fs可测集，其上有正测度[{X]≤}| Fs]≤ α.拿任何一个Y\'∈ 使得E[{X≤Y′}|Fs]≤ α、 我们知道对于Fs可测随机变量z:=A+AcY′我们得到e[{X≤Z} |Fs]=AE[{X≤Z} |Fs]+AcE[{X≤Z} |Fs]=AE[{X≤}Fs]+AcE[{X≤Y′}|Fs]≤ α.因此，0≥ ess sup{Y∈ Ls | P[X≤ Y | Fs]≤ α} ≥ Z、 这导致了矛盾。因此，对于任何∈ Ltand>0，我们得到[{X≤Y}|英尺]≥ E[{X≤<Y}|Ft]=E[{X≤{Y>}| Ft]={Y>E[E[{X]≤}|Fs]| Ft]，因此，E[{X≤在Ft可测的s{Y>Ft}上Y}Ft]>α。因此，αt（X）=ess sup{Y∈ Lt | E[{X≤Y}|英尺]≤ α} ≤ ess su p{Y∈ 是的≤ } = .由于>0是任意选择的，我们得出结论：αt（X）≤ 0，因此{~nαt}t∈时间是一致的。示例7.2（条件加权风险值）。对于固定α，设X=L∈ （0，1），我们考虑集合{Dαt}t的族∈Tde定义的比亚迪αt:={Z∈ L:0≤ Z≤ α-1，E[Z | Ft]=1}，（7.2），我们设置αt（X）：=ess infZ∈DαtE[ZX | Ft]，t∈ T、 X∈ L.（7.3）MAP s{~nαt}t族∈这是一种动态一致的效用度量（详情参见[Che06]f）。此外，它是次鞅时间一致的。

的确，让我们∈ T、 显然，Dαs Dαt，因此αt（X）=ess infZ∈DαtE[ZX | Ft]≤ ess infZ∈DαsE[ZX | Ft]=ess infZ∈DαsE[E[ZX | Fs]| Ft]。（7.4）现在，使用Dαsis L-闭合的事实（参见[Che06]f了解详细信息），对于任何X∈ 五十、 存在*十、∈ Dα表示αs（X）=E[Z*XX | Fs]。这意味着∈DαsE[E[ZX | Fs]| Ft]≤ E[E[Z*XX | Fs]| Ft]=E[ess infZ∈DαsE[ZX | Fs]| Ft]=E[~nαs（X）| Ft]。（7.5）风险和绩效指标的时间一致性：结合（7.4）和（7.5）的调查，我们得出结论，α是次可分时间一致的。尤其值得注意的是。14，α也是弱排斥时间一致的。另一方面，如[ADE+07]所示，α既不是中间拒绝时间一致性，也不是弱接受时间一致性。示例7.3（过程的动态TV@R可接受性指数）。[CM09]中引入了风险可接受性尾值指数，作为随机变量情况下静态尺度不变性能测量的一个示例。在这里，按照[BCZ14]的思路，我们将这个概念扩展到动态设置，并将其应用到随机过程的情况。设X=V，对于固定的α∈ （0，1），我们考虑集合{Dαt}t∈Tde定义在（7.2）中。我们考虑畸变函数g（x）=1+x，x∈ R+，我们定义ρx={ρxt}t∈T、 x∈ R+，如下ρxt（V）=ess infZ∈Dg（x）tE[ZTXi=tVi | Ft]，V∈ 十、 t∈ T（7.6）那么，ρxis是过程的动态一致效用测度的递增族（相对于x），映射α={αt}t∈t由αt（V）=sup{x驱动∈ R+|ρxt（V）≤ 0}，（7.7）是过程的动态可接受性指数（见[CM09]和[BCZ14]）。此外，ρxt（V）=inf{c∈ R |αt（V+c{t}）≥ x} 。

（7.8）显然，（7.7）和（7.8）分别是（6.7）和（6.9）的对应项。考虑到上述情况，那么，类似于Examp le7。2，可以证明ρxis弱拒绝时间一致，但对于任何固定x，它不是弱接受时间一致∈ R+，因此，根据命题6.9和命题6.10，α是半弱R射血时间一致的，但不是半弱接受时间一致的。示例7.4（动态RAROC）。风险调整后的资本回报率（RAROC）是一种常见的业绩衡量指标；s ee[CM09]表示静态RAROC，而[BCZ14]表示其对动态s设置的扩展。我们考虑空间X=V，对于固定的α∈ （0,1）动态曲线定义如下：ηt（V）：=（E[PTi=tVi | Ft]-ραt（V）如果E[PTi=tVi | Ft]>0,0，否则，（7.9）当ραt（V）<0时，其中ραt（V）=ess infZ∈DαtE[ZPTi=tVi | Ft]和{Dαt}t∈Tgiven in（7.2）和~nt（V）=+∞, 如果ρt（V）≥ 0.[BCZ14]中显示出，ψ是过程的动态可接受性指数。此外，对于任何固定的∈ T、 我们有（cf[BCP15]）~nT（V）=sup{x∈ R+：φxt（V）≥ 0}，其中φxt（V）=fZ中的ess∈BxtE[Z（PTi=tVi）|Ft]，其中Bxt={Z∈ L:Z=1+x+x1+xZ，对于某些Z∈Dαt}。很容易检查族{Дxt}t∈这是一个动态一致的过程效用度量，并通过与示例7类似的参数进行度量。2.对于任何固定的x，我们都能得到∈ R+，νXT弱拒绝时间一致，但不弱接受时间一致。从1∈ Dαt，它在{φxt}t处跟随th∈它在x中增加∈ R+，并使用与示例7类似的参数。3.我们得出结论，issemi弱拒绝时间一致，但不是半弱接受时间一致。30 T.R.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera示例7.5（动态增益损耗比）。

动态盈亏比（dGLR）是另一种常用的性能指标，它从本质上改善了Sharpe rawb rawb Racks的一些性能（例如正回报的Aspenalization），它由预期回报与预期损失的比率给出。正式地说，对于X=V，dGLR定义为φt（V）：=（E[PTi=tVi | Ft]E[（PTi=tVi）-|Ft]，如果E[PTi=tVi |Ft]>0,0，则为。（7.10）有关dGLR的各种属性和双重表示，请参见[BCZ14，BCDK16]。在[BCZ14]中，假设Ohm 最后，作者证明了dGLR是半弱接受和半弱拒绝时间一致的。为了完整性起见，我们将在这里展示dGLR issemi弱接受时间一致性。假设t∈ T′，和V∈ 十、鉴于第6.7条的定义，有必要证明φt（V）≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））+{Vt<0}(-∞). （7.11）在集合{Vt<0}上，不等式（7.11）是微不足道的。由于非负性和局部性，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设其输入（Βt+1（V））>0。自，аt+1（V）≥ 根据信息，我们有[TXi=t+1Vi | Ft+1]≥ ess inft（νt+1（V））·E[（TXi=t+1Vi）-|Ft+1]。（7.12）使用（7.12）我们得到{Vt≥0}E[TXi=tVi|Ft]≥{Vt≥0}E[E[TXi=t+1Vi | Ft+1]| Ft]≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））·E[{Vt≥0}E[（TXi=t+1Vi）-|英尺+1]|英尺]≥{Vt≥0}ess inft（νt+1（V））·E[（TXi=tVi）-|[Ft]。（7.13）注意，ess inft（Фt+1（V））>0意味着Фt+1（V）>0，因此E[PTi=t+1Vi | Ft+1]>0。因此，在集合{Vt≥ 0}，我们有[TXi=tVi|Ft]≥ E[E[TXi=t+1Vi | Ft+1]| Ft]>0。我们将最后一个不等式与（7.13）结合起来，得出结论。示例7.6（动态熵风险度量）。熵风险测度是一种经典的凸风险测度。其动态版本（直至负号）定义如下：=γlne[exp（γX）| Ft]如果γ6=0，E[X | Ft]如果γ=0，（7.14）其中X∈ X=L∞, T∈ T.参数θ=-γ通常被称为风险规避参数。

可以证明，对于γ≤ 0，map是一个动态凹效用度量，风险和绩效度量的时间一致性：调查31和任何γ∈ R、 该映射具有很强的时间一致性（参见[KS09]）。由于它也是一种可加性，所以强时间一致性意味着弱拒绝和弱接受时间一致性。此外（详见[KS09，BCP15]），{~nγt}t∈当且仅当γ时，时间一致≥ 0，且次鞅时间一致当且仅当γ≤ 0.示例7.7（具有非常数风险规避的动态熵风险度量）。在e上，通过采用依赖时间的风险规避参数，可以推广动态熵风险度量（7.14）。设γtt（X）=γtln E[exp（γtX）| Ft]如果γt6=0，E[X | Ft]如果γt=0，（7.15），其中{γt}t∈γt∈ L∞t、 t∈ T.在[AP11]中已经表明，{~nγtt}T∈强时间一致当且仅当{γt}t∈这是一个常数过程，它是中间接受时间一致的当且仅当{γt}t∈这是一个非递增过程，并且它是中间排斥时间一致的当且仅当{γt}t∈这是非递减的。例7.8（动态确定性等效）。动态确定性等价物形成了一大类动态风险度量，其中动态熵风险度量是一个特例。在这个例子中，在[KS09]之后，我们考虑一个有限的时间范围，取T=N和X=L∞. 欢迎你→R是R上的一个严格递增连续函数，即严格递增R上的一个D连续函数，U（±∞) = 画→±∞U（n）。设φ={φt}t∈定义单位：t（X）=U-1（E[U（X）| Ft]），X∈ X，t∈ T.（7.16）可以很容易地检查出ψ是一种时间一致性很强的动态LM测量。它属于所谓的动态确定性等式[KS09]。

在[KS09]中，作者证明了everydynamic LM测度，它是有限的、规范化的、严格单调的、连续的、定律不变的，承认了Fatou性质，并且具有强时间一致性，对于某些情况，它可以表示为（7.16）。我们还参考[BBN14]了解动态确定性等价物的更一般方法（例如，使用随机效用函数U），并参考[BCDK16]了解过程确定性等价物的定义。例7.9（动态风险敏感标准）。在[BCP15]中，作者引入了动态极限增长指数（dLGI）的概念，该指数旨在衡量金融投资组合在离散时间内的长期表现。风险敏感标准的动态模拟（参见[Whi90，BP03，DL14]及其参考文献）是dLGI的一个特例。我们考虑一个有限的时间范围设置，T=N，以及以下适合我们需要的空间PLN:={（Wt）T∈T:Wt>0，ln-Wt∈ Lpt}。为了与[BCP15]保持一致，我们将X元素视为某些金融证券投资组合的累积价值过程，其可积增长表示为累积对数回报（请注意，在本文的其他地方，股票过程代表股息流）。设φγ={φγt}t∈Tbe由t（W）定义=lim infT→∞Tγlne[WγT | Ft]，如果γ6=0，则lim infT→∞TE[ln WT | Ft]，如果γ=0，（7.17），其中γ是固定实数。在[BCP15]中证明，Дγ是性能的动态度量，u-验收时间与ut（m）=E[m | Ft]，t一致∈ T、 当且仅当γ>0，且u-拒绝时间一致，特别是当且仅当γ<0.32 T.r.Bielecki，I.Cialenco，M.Pitera7。1.示例分类下表旨在帮助读者浏览上述与本文研究的各种时间一致性相关的示例。

为了时间一致性，我们将使用以下缩写：WA-弱接受度；WR——弱排斥；sWA——半软验收；sWR——半弱排斥；MA——中等接受度；MR-中间拒绝；STR强；亚-亚马尔代夫；超级马丁纳歌。如果一个单元格标有复选标记，则表示时间一致性的相应属性已满足；否则，该房产总体上不令人满意。我们注意到例子7。由于示例的不同性质，表中未显示9。dGLI评估一个过程V，但它是通过一个限制程序来进行的，这实际上是在评估过程T=∞.” 我们请读者参考[BCP15]来详细讨论该度量的各种属性。X WA WR sWA sWR MA MR STR子示例7.1 LpX X X XExample 7.2 LpX X XExample 7.3 VpXExample 7.4 VpXExample 7.5 VpX XExample 7.6γ≥ 0LpXγ≤ 0 X X示例7.7γt↓LpX*γt↑ X X X X**示例7.8 LpX*如果γt≥ 0,**如果γt≤ 0A附录这里我们简要阐述了本文中使用的三个基本概念：动态度量、条件本质上/下和LM扩展。A.1动态LM测量设X表示第3节所述的随机变量或适应随机过程的空间。我们首先列出动态LM度量可能享有的附加属性。设ψ为动态LM测量值。

如果φt（X+Y），我们说φ是超加性的≥ t（X）+t（Y）；o如果φt（0）=0，则标准化现金加法，如果φ（X+m1{t}）=φt（X）+m如果φt（λ·tX+（1）是准凹的- λ） ·泰）≥ ~nt（X）∧ t（Y）；o如果φt（λ·tX+（1）为凹形- λ） ·泰）≥ λ~nt（X）+（1）- λ） t（Y）；o当φt（β·tX）=φt（X）时的标度不变量如果φt（β·tX）=βφt（X），则为正齐次；风险和绩效指标的时间一致性：调查33o关于拓扑η的下半连续性，如果{Z∈\'Lt||t（X）≤ Z} η是封闭的关于拓扑η的上半连续，如果{Z∈\'Lt||t（X）≥ Z} 对于任意X，Y，η是闭的吗∈ X，t，s∈ T、 使得s>T，和m，λ，β∈ Lpt，因此0≤ λ ≤ 1、β>0和kβk∞< ∞. 此外，如果X=Vp，那么我们说如果φt（X）=φt（X），则φ与过去无关- 0.tX）；o如果φt（X+m1{t}）=φt（X+m1{s}），平移不变量。最后两个p属性会自动满足f或X=Lp。上述大多数房产都有自然的财务解释。例如，准连续性、凹性或超加性对应于投资组合多元化的积极影响。参见[FS10，CM09]了解更多详细信息以及上述其他房地产的财务解释。接下来，我们回顾Fatou性质，Lebesgue性质，以及法律不变性性质。为了简单起见，我们在随机变量的情况下给出了它们。

我们认为，动态LMmeasure~n允许oFatou属性，如果~nt（X）≥ 林尚→∞t（Xn）；oLebesgue性质，如果φt（X）=limn→∞~n（Xn）；o当定律（X）=Law（Y）时，定律不变性质；无论如何∈ T、 X，Y∈ X和任意支配序列{Xn}n∈确认Xn∈ Lpand Xna。s--→ X.A.1.1动态LM度量的类别我们说，动态LM度量是o动态货币效用度量，或者简称为动态效用度量，如果是平移不变的、独立于过去的、标准化的、单调的和现金相加的动态凹面实用性测量，如果φ是动态实用性测量，且为凹面动态一致效用测度，如果是动态效用测度，则为正齐次，且为超加性动态性能度量，如果φ是自适应的、平移不变的、依赖于过去的、单调递增的和尺度不变的动态可接受性指数，如果ψ是一个动态性能度量，并且它是准凹的。需要强调的是，在文献中，通常使用动态（货币、凹形或相干）效用测度的负值，并将其称为动态（货币、凸形或相干）风险测度。关于拓扑η是闭合的；如果η从上下文中是清晰的，我们将简单地写出f是lowersemi连续的。如果X=Lp，则我们使用由k·kpnorm（详见[FS04，附录A.7]）诱导的拓扑结构。这意味着存在着∈ 为所有人祈祷∈ N我们有| Xn |≤ |Y | 34 T.R.Bielecki，I.Cialanco，M.PiteraA。1.2动态货币效用测度的稳健表示研究了一般动态货币效用测度的稳健表示，而不仅仅是动态货币效用测度。

然而，在本文中，我们只使用r和dom变量的动态货币效用度量的鲁棒表示，这就是为什么我们在这里的讨论仅限于这种情况。因此，我们取X=lp表示固定的p∈ {0, 1, ∞}.让~n成为一个动态的货币效用度量。我们与以下对象系列有关：o接受集和拒绝集，用A={At}t表示∈Tand R={Rt}t∈T、 分别，其中：={X∈ Lp:~nt（X）≥ 0}，Rt:={X∈ Lp:~nt（X）≤ 0}.o 用{At，s:t，s表示的条件接受集和条件拒绝集∈ T、 s>T}和{Rt，s:T，s∈ T、 s>T}，其中T，s:={X∈ Lp∩\'Ls:~nt（X）≥ 0}，Rt，s:={X∈ Lp∩\'Ls:~nt（X）≤ 0}.o 由αmin={αmint}t表示的最小惩罚函数∈T、 式中：M（P）→\'R由αmint（Q）给出：- ess infX∈AtEQ[X |英尺]。o由{αmint，s:t，s表示的条件最小惩罚函数d∈ T、 s>T}，其中αmint，s:M（P）→\'LTI由αmint给出，s（Q）：=- ess infX∈在，sEQ[X | Ft]。本文经常使用以下重要定义。定义A.1。让~n成为一个动态的货币效用指标。如果νt（X）=ess infQ，我们称之为Д可表示∈M（P）等式[X | Ft]+α薄荷（Q）, （A.1）对于任何X∈ 十、这种类型的表示称为稳健表示或数值表示。此外，这种表示具有动态凹效用度量的特征，该度量承认了法头属性。A.2条件期望和条件本质上确界/内确界我们在这里介绍了广义条件期望和条件本质上确界和内确界的一些相关性质，在“L.命题A.2”的背景下。

对于任何X，Y∈土地s，t∈ T、 s>T，它认为1）E[λX | Ft]≤ λ的λE[X | Ft]∈ 对于λ，Lt和E[λX | Ft]=λE[X | Ft]∈ Lt，λ≥ 0;2） E[X |英尺]≤ E[E[X | Fs]| Ft]和E[X | Ft]=E[E[X | Fs]| Ft]表示X≥ 0;3） E[X |英尺]+E[Y |英尺]≤ E[X+Y | Ft]和E[X | Ft]+E[Y | Ft]=E[X+Y | Ft]，如果X，Y≥ 0.风险和绩效衡量的时间一致性：调查35有关证据，请参见[BCP14，命题a.1]。备注A.3。命题A中的所有不等式。2可以很严格。假设t=0，k，s∈ T、 k>s>0，设ξ∈ Lkbe使得ξ=±1，ξ独立于Fs，且P（ξ=1）=P（ξ=-1) = 1/2. 我们考虑Z∈ 是这样的≥ 0和E[Z]=∞. 取λ=-1，X=ξZ=-十、 我们在1）、2）和3）中得到了严格的不等式。我们继续介绍与第3节（见a.2）中所述定义相同的条件必要条件的定义。我们首先回顾了有界随机变量的条件本质界的定义。为了X∈ L∞和t∈ T、 wedenote由ess inftX生成唯一的（最多一组测量零）Ft可测量的随机变量，这样对于任何∈ Ft，以下等式成立infω∈AX=ess infω∈A（ess inftX）。（A.2）我们将该随机变量称为X的Ft条件必要变量。因此，我们需要支持（X）：=- ess inft(-十） ，X的Ft条件本质上确界∈ L∞. 读者参考[BCJ03]以证明条件本质上限/下限的存在和不唯一性。因此，对于任何t∈ T和X∈L，我们在FIM byess inftX中定义了Ft条件基本要素：=limn→∞hess inft（X）+∧ n） 我- 画→∞赫斯主管（X）-∧ n） i.（A.3）分别，我们将ess supt（X）：=- ess inft(-十） 。提议A.4。

对于任何X，Y∈\'L，s，t∈ T、 s≥ t、 还有∈ F下列性质成立，1）ess infω∈AX=ess infω∈A（ess inftX）；2） 如果∈AX=ess infω∈为了一些你∈\'Lt，然后U=ess inftX；3） X≥ ess inftX；4） 如果Z∈\'Lt，是这样的≥ Z、 然后ess inftX≥ Z5） 如果X≥ 是的，然后按inftX≥ ess inftY；6） Aess inftX=Aess inft（AX）；7） ess infsX≥ ess inftX；类似的结果适用于{ess supt}t∈T.案例X，Y的证据∈ L∞可在[BCJ03]中找到。因为任何∈ N和X，Y∈“L，我们得到了X+∧ N∈ L∞, 十、-∧ N∈ L∞, 还有X+∧ 十、-= 0，将证明扩展到案例x，Y∈“这很简单。值得一提的是，属性3）和4）来自命题A。4意味着条件感知最小信息（X）可以定义为最大的Ft可测量随机变量，其小于X（参见[BCJ03]）。接下来，我们定义了一个（可能不可数）随机变量族的ess inf和ess sup的广义版本。为{Xi}i∈一、 Xi在哪里∈“L，我们是内奸。”∈IXi:=limn→∞赫斯·英菲∈I（X+I）∧ n） 我- 画→∞赫斯苏比∈I（X）-我∧ n） i.（A.4）36 T.R.Bielecki，i.Cialanco，M.PiteraNote指出，鉴于[KS98，附录A]，ess infi∈伊克西∧ n和ess supi∈伊克西∧ n定义明确，因此ess infi∈IXII定义明确。需要注意的是，（A.4）右侧的操作保持了可测量性。特别是如果Xi∈ 尽管我∈ 一、 然后是英菲∈伊克西∈ Ft.此外，如果有i，j∈ 一、 这里有k∈ 一、 这样Xk≤ xi∧ Xj，那么在∈ 一、 n∈ N、 这样{Xin}N∈Nis非递增和ess infi∈IXi=infn∈NXin=limn→∞欣。类似的结果适用于ess supi∈伊克西。A.3 LM扩展在附录的这一部分中，我们介绍了随机变量动态LM测量的LM扩展的概念。定义A.5。设φ为Lp上的动态LM测量值。

我们称一个族为b~n={b~nt}t∈Tof mapsb~nt:\'L→如果f或任何t∈ T、 b|T|X≡ ηt和bt是局部单调的。我们将在下面展示这种扩展的存在，我们将使用以下辅助集：Y+A（X）：={Y∈ 是的≥AX}，Y-A（X）：={Y∈ 是的≤AX}，为任何X定义∈“着陆”∈ F.定义A.6。设ψ为动态LM测量值。函数的集合φ+={φ+t}t∈T、 式中：φ+T:\'L→\'\'LTI定义为+t（X）：=ess infA∈FthAess infY∈Y+A（X）~nt（Y）+Ac(+∞)i、 （A.5）被称为а的上LM延伸。分别是函数的集合-= {Д-t} t∈T、 在哪里-t:\'L→\'Lt，和-t（X）：=ess supA∈是苏比吗∈Y-A（X）~nt（Y）+Ac(-∞)i、 （A.6）被称为下LM的延伸。n ext resu lt显示，Β±是两个“极端”延伸，任何其他延伸都夹在它们之间。提议A.7。设ψ为动态LM测量值。然后呢-和~n+是~n的LM扩展。此外，设bа是а的LM扩展。那么，对于任何X∈土地∈ T、 ~n-t（X）≤ b~nt（X）≤ ~n+t（X）。（A.7）显然，总体而言，地图（A.5）和（A.6）不相等，因此anLM度量的扩展不是唯一的。备注A.8。让我们∈ T和B“\'Lbe以至于，对于任何∈ 英国航空公司 B、 andAB+AcB B.作为命题a的推广。7，可以证明，对于任何Ft-lo-cal和单调映射f:B→Lt，与（A.5）和（A.6）类似定义的映射f±1是f到L的扩展，保持局部性和单调性。也就是说，它满足了“L”的单调性和局部性，如命题A中的5）和6）所示。4.我们将使用惯例ess sup = -∞ 和ess inf = ∞.也就是说，B.风险和绩效指标的时间一致性：a.9.一项调查。对于一大类LM测度，如前所述，存在一个“鲁棒表示”类型定理，本质上是一个表示，通过凸对偶，作为条件透视的函数。