具有确定性和随机利率的确定性收入

2022-5-11 04:15:05

具有确定性和随机利率的确定性收入Julia Eisenberg*维也纳理工大学经济数学方法研究所。我们考虑一个拥有初始资本和收入的个人或家庭，将其建模为一个具有连续漂移率的确定性过程。首先，我们将贴现率建模为零息债券的价格，假设短期利率演变为Ornstein-Uhlenbeck过程。然后，以年龄计量布朗运动为偏好函数，以Ornstein-Uhlenbeck过程为短速率。假设经济主体的主要剩余部分是最大化从给定时间到确定时间的（预期）贴现消费的累积价值∈ R+或者，在随机环境中，在有限的时间范围内。在前两种情况下，我们找到了价值函数和最优策略的明确表达式。在第三种情况下，我们必须应用粘度ansatz。关键词：最优控制，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，瓦西塞克模型，几何布朗运动，利率2010年数学主题分类：主要93B05次要49L20，49L251简介近年来，出现了大量关于股息，消费，注资，其中，回报函数定义为预期贴现值，贴现率或优惠率为常数。例如，与S chmidli[10]、Albrecher和Thonhauser[1]、Cox和Huang[6]、Eisenberg[7]协商。我们的目标不是回顾现有文献。

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2022-5-11 04:15:08

因此，我们仅参考上述出版物中的参考文献。在上述例子中，贴现率是一个常数，不依赖于时间，这使得它成为一个偏好率，在所考虑的模型中描述管理者的投资偏好。实际上，通常的做法是，经济模型假设一个恒定且严格正的优惠率，这意味着*电子邮件：jeisenbe@fam.tuwien.ac.atThe作者的研究得到了奥地利科学基金会的资助，该基金资助P26487“为当前和/或近期的遥远未来”项目。这一事实导致了对经济过程的描述发生了变化，更不用说对所考虑的时间段内市场闲置的不切实际假设了。这种模型的一个可能扩展是引入随机利率。模型的简化可以用两种方式来解释。第一种方法是将随机利率视为宏观经济市场变化的可能性，这将影响独家经济代理的消费行为。一个合适的例子是最近的美国“财政政策”，它仍然影响着美国所有个人和企业的收入。第二种方法是将利率的随机性解释为经济主体个人偏好变化的不确定性。例如，寒冷的天气基本上会影响农民家庭的收入。

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2022-5-11 04:15:12

这可能会导致“投资行为”发生相当大的变化：在家庭富裕的年代，今天的钱可能比明天的钱更受欢迎。但如果我们引入随机利率会发生什么呢？在精算数学中，由于保险系统发展的不确定性，保险实体的盈余通常通过随机过程建模：随机模型比确定性模型更接近真实过程。在一个有随机盈余的模型中加入一个随机利率将使优化问题复杂化，即使我们假设这两个过程是独立的。相比之下，确定性建模更易于计算。因此，首先，在本文的第一部分中，我们将盈余建模为具有连续漂移函数的确定性过程。此外，假设贴现函数是由Vasicek模型导致的即期汇率变化下，时间零点的纯贴现债券价格给出的。有关债券价格理论的详细描述，请参见Brigo and Mercurio[5，第58页]。在[8]Eisenber g中，Grandits和Thonhauser考虑了恒定偏好率下任意漂移函数的消费最大化问题。在那里，有可能建立一种算法来确定值函数。在目前的问题中，我们使用了一个类似的原则：从成熟度T开始，以相反的顺序计算价值函数和最优策略。首先，我们考虑限制性消费支付的情况，然后研究非限制性情况。由于限制支付的情况更加复杂，我们用一个例子来说明。

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2022-5-11 04:15:15

在一个注释中，我们讨论了任意确定漂移函数的问题。在本文的第二部分中，我们将盈余建模为一个具有常数drif t的确定性过程，但贴现函数现在是一个随机过程。首先，我们考虑被考虑的经济主体的消费与价格遵循几何布朗运动的阿斯托克有关的情况。然后，我们将短期利率建模为具有特定参数的O rnstein-Uhlenbeck过程。就在第一种情况下，可以确定最优策略和价值函数。在第二种情况下，我们必须应用粘度ansatz。此外，在第二种情况下，我们只考虑消费率受限的情况。必须单独考虑不受限制费率的情况，并将在我们未来的研究中进行研究。据你所知，利率理论是保险数学中一个未经修饰的领域，可以开辟许多研究可能性。其中一些在结束语中提到。2确定性偏好函数考虑s urplus过程，其中su rplus率由非负常数u：Xt=x+utasume给出，个人或家庭根据零息债券在时间零点的价格消费商品。s短期利率是一个随机量，由Vasicek模型给出。我们的目标是最大化折扣消费的累积价值，从给定时间到确定的时间范围T∈ R+。我们不允许消费导致毁灭，这意味着我们旅程的终点将永远不会结束。消耗过程C={cs}下的剩余过程是xct=x+ut-ZTCDS。我们称策略C={cs}可容许，如果cs∈ [0，ξ]和XCt≥ 0代表所有t∈ [0，T]。

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大多数88

2022-5-11 04:15:18

对应于容许策略C={cs}的返回函数定义为VC（t，x）=ZTtEhe-Ursicsds+XCTEhe-UrTi，其中Urs=Rsrudu和{rs}是一个r=r的Ornstein-Uhlenbeck过程，即{rs}完全满足以下积分方程RT=re-在+b（1）处- E-at）+σe-atZteasdWs，其中r=r是过程的初始值，a，*σ>0，b∈ R是常数，{Ws}是标准布朗运动。在这里，由于Brigo和Mercurio[5]EE-乌尔斯表示零息债券（或纯贴现债券）的零价格，到期日s.Wet目标是最大化贴现消费的预期价值。V（t，x）=supCVC（t，x）。对应于该问题的HJB方程由VT+uVx+s up0给出≤C≤ξcEE-城市轨道交通- Vx= 0 .在Borodin和Salminen[4，第525页]中，我们找到了E[E]的封闭表达式-Urs]：E[E]-Urs]=expn- 学士学位-R-~ba1.- E-像+■σ4a2as+1- (2 - E-as）o、图1：f（t）的可能开发场景。让σ：＝σ√2a和b:=~b-■σ2a，我们有-Urs]=expn- 学士学位-R- 文学士1.- E-像-σ2a（1）- E-as）o.（1）租赁基金：-学士学位-R- 文学士1.- E-像-σ2a（1）- E-as）。（2）然后，HJB方程变成svt+uVx+s up0≤C≤ξcef（t）- Vx= 0 . （3）根据参数选择，函数f（s）将具有不同的属性。2.1 f（t）的性质首先考虑f（t）的导数。f′（t）=-B-R- b+σaE-at+σae-2at。因此，为了确定f（t）的行为，替换e-考虑二次函数g（t）：=-B- （r）- b+σa）t+σat。很明显，g（t）是一条向上张开的抛物线。特别地，g（t）最多有2个0，u:D:=（r+b）-σa）+4σabu:=（r）-b+σa）-√D2σa（4）u:=（r）-b+2σa）+√D2σa.o如果D≤ 0，那么f（t）在[0，t]上增加如果D>0，那么我们必须考虑u<u的uand和uw。假设D>0。可能出现以下5种情况1。U≤ E-阿坦德大学≥ 1.然后，f（t）在[0，t]上递减。U≤ E-aTor u>1。在这种情况下，f（t）在[0，t]上增加。

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nandehutu2022

2022-5-11 04:15:21

U∈ （e）-在，1）和u≥ 1.那么，f（t）在[0，w]上减小，在（w，t）上增大，其中w:=-ln（u）a.（5）4。U≤ E-阿坦德大学∈ （e）-至少，1）。然后，f（t）在[0，w]和d上增加，其中w:=-ln（u）a.（6）5。u、 u∈ （e）-至少，1）。然后，f（t）在[0，w]上增加∪ （w，T]和（w，w）上的递减。f（t）的可能开发场景如图1所示。注2.1特别地，f（t）是上的内射(-∞, w），[w，w]和（w，∞), 因此，我们可以定义f的反函数，作用于上述一个区间：h:[f（w），1]→ (-∞, w） f（t）7→ t、 h:[f（w），f（w）]→ [w，w]f（t）7→ t、 h:[f（t），f（w）]→ （w），∞) f（t）7→ t、在情况3中，我们只使用函数hon[f（0），f（w）]和hon[f（t），f（w）]。考虑到4，我们仅定义hon[f（w），f（0）]和hon[f（w），f（T）]。为了简单起见，我们引入：=h（f（T）），对于给定f（T）的情况4和5≤ f（0）；（7） t:=h（f（t）），对于给定f（t）的情况3和5≥ f（0）（8）或f（T）≥ f（w）对应。首先，我们将考虑支出受某个正常数ξ限制的情况，最后一部分我们将考虑无限制的情况。3零债券贴现的最优策略和价值函数我们只考虑第五种情况，其中f有一个最大值和一个最小值。上述其他情况也可以用类似的方式处理。3.1 ξ ≤ uξ≤ u，即使我们以最高税率支付，该过程仍为非负。因此，对于给定的一对（t，x）∈ [0，T]×R+我们必须比较ef（T）和ef（T）。最佳策略C*= {c*s} 然后是byc*s=（ξ，ef（t）≥ ef（T）0，ef（T）<ef（T）。（9）然后，值函数由v（t，x）=ZTtef（s）c给出*sds+（x+ZTtu）- C*sds）ef（T）。（10）特别是，它保持Vx（t，x）=ef（t）。

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2022-5-11 04:15:24

很容易检查，价值函数解相应的HJB方程（3）对于t和x是连续可微的。注意，在所有五种情况下，最优策略都不依赖于初始资本x.3.2ξ>u，这里，最大支付边界ξ超过漂移u。让wand wbe对应于（6）和（5）中定义的f（t）的最大点和最小点。注意如果f（w）≤ f（T）最好等到T，然后在那里支付所有费用。显然，相应的函数将解HJB方程（3）。现在假设f（w）>f（T），即T，见（8），已经定义好。如果t（7）存在，我们在区间[t，t]，[t，w]，[w，t）和[0，t]上应用反向算法，或者在区间[t，t]，[0，w]，[w，t）上应用反向算法，或者在区间[t，t]，[0，w]，[w，t]上应用反向算法，如果f（0）存在，我们构造了一个候选策略≥ f（T）。我们假设f（0）<f（T）。让我们先∈ [t，t]，然后，f（t）≤ f（T）表示所有T。T为)ct=0∈ [t，t]，也就是说，我们等到t，然后在那里付你所有的钱。相应的返回函数v（t，x）：=x+u（T）- （t）ef（T）显然在[T，T]×R+上解HJB方程（3）。对于t∈ [w，t）设ct=（ξ，x>0u，x=0，得到返回函数v（t，x）=ξRttef（s）ds+Vt、 x+（u）- ξ）（t）- （t）,xξ-u+t≥ tξRxξ-u+ttef（s）ds+uRtxξ-u+tef（s）ds+V（t，0），xξ-u+t<tddxV（t，x）=ef（T），xξ-u+t≥ 特氟醚t+xξ-u,xξ-u+t<t，这表明Vsolves HJB方程（3）。现在考虑一下t∈ [t，w）。策略将取决于dxv（w，x）的值。定义[t，w）×R+χ（t，x）：=infnu>0:f（t+u）>ft+u+x+uuξ- uo、注意，函数χ（t，x）是一个定义良好的、关于tox和t函数的连续可区分函数。

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mingdashike22

2022-5-11 04:15:28

它包含t+χ（t，x）≤ wand f（t+χ（t，x））=ft+χ（t，x）+x+μχ（t，x）ξ-u.对于t∈ [t，w）设ct=（ξ，χ（t，x）=00，χ（t，x）>0和相应的返回函数full filsv（t，x）=ξZtt+χ（t，x）ef（s）ds+Vw、 x+χ（t，x）ξ+（u）- ξ）（w）- （t）ddxV（t，x）=ef（T），x+χ（T，x）ξξ-u+t≥ 特氟醚t+x+χ（t，x）ξξ-u,x+χ（t，x）ξ-u+t<t。因此，由于χ（t，x）：ef（t）的定义，HJB方程中的关键条件成立-ddxV（t，x）=（ef（t）- ef（T）>0，x+χ（T，x）ξ-u+t>tef（t）- ef（t+χ（t，x））≤ 0，x+χ（t，x）ξξ-u+t≤ t、结果表明，V在（t，w）×R+上解HJB方程。还有待考虑[0，t]。在那里，每一个t就有f（t）<f（t）。设ct=0，相应的r eturn函数在[0，t]×r+：V（t，x）=V（t，x+u（t）上- t））。很容易看出函数v（t，x）：=V（t，x），t∈ [t，t]V（t，x），t∈ [w，t）V（t，x），t∈ [t，w）V（t，x），t∈ [0，t）（11）对于x和t是连续可微的。命题3.1Ifξ≤ u，最优策略和价值函数分别在（9）和（10）中给出。如果ξ>u，则最优策略为C，如第3.2小节所述，其值在（11）中给出。证明：由于证明方法是众所周知的，我们只参考弗莱明和索纳[9]。接下来，我们将考虑无限制支付的情况，即ξ→ ∞.无限制支付无限制支付的情况非常简单。基本上，一小时可以等到当地的最高限额，然后在那里支付可用资本。相应的HJB方程为VT+uVx+supc≥0c{ef（t）- Vx}=0。再次考虑第f种情况（f有最大值和最小值），我们必须区分f（w）≥ f（T）和f（w）<f（T）。如果f（w）≤ 那么对于所有的T∈ [0，T]最好等到T，然后支付所有费用，作为价值函数x+u（T）- （t）ef（T）。现在假设f（w）>f（T）。

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大多数88

2022-5-11 04:15:31

对于t∈ [t，t]，最好等到t，然后在那里支付所有费用：V（t，x）=x+u（T）- （t）ef（T）。对于t∈ [w，t]，立即支付初始资本，按照u直到t的利率支付，然后直到t，并在那里支付收集到的漂移：V（t，x）=xef（t）+uZttef（s）ds+V（t，0）。最后，对于t∈ [0，w]我们必须区分f（0）≥ f（T）和f（0）<f（T）。我们让f（0）<f（T），也就是德克萨斯主义者。尽管如此，t∈ [t，w]，必须等到最大值w:V（t，x）=x+u（w）- （t）ef（w）+V（w，0）.64x20070,1s0,20390,40501113图2：值函数V（s，x）。对于t∈ [0，t）一直等到t.V（t，x）=V（t，x+u（t- t））。由于证明方法是众所周知的，我们省略了进一步的解释，仅参考施密德利[10，第102页]。请注意，限制支付和非限制支付的反向算法都可以应用于任意连续可微分利率函数，例如正弦或余弦。示例3.2设置r=-0.2，b=-0.1，a=1，σ=1，u=2，ξ=4，T=4。因此，w=0.2611和w=2.0414，t=0.1134和t=0.4388。注意，它保持f（w）>f（4）>f（0）。对于（s，x）∈ [t，t]×R+，f在s中增加。我们一直等到t和p在这里出现。该区域的值函数由图E2中的右（黑色）部分给出。在[w，t]中，我们按最大可能的速率支付，直到图中的t，白色切片（右二）∈ [t，w），我们要么等待，直到t+χ（t，x）或s开始立即支付速率ξ，直到w：图2中左边的第二个切片。在黑色区域我们等待，在灰色区域我们支付。s的值函数∈ [0，t）由左s虱子给出。如fort∈ 我们在黑色区域等待，在白色区域付款。

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2022-5-11 04:15:34

备注3.3（任意漂移函数）考虑processXt=x+Ztu（s）ds，其中u（s）是一个任意连续函数，在[0，T]中有无数个零。允许策略C表示现在的累计消耗量，即C`adl`ag，增加和铯≤ XCs-. 在这种情况下，HJB方程为ismax{Vt+u（t）Vx，ef（t）- Vx}=0。[8]中考虑了确定不变利率δ>0的无限制支付的消费最大化问题。在那里，有可能建立一种算法，以找到最优策略和价值函数的显式表达式。这里，来自[8]的恒定利率算法必须与本文前面描述的纯贴现债券的恒定漂移算法相结合。然而，价值函数的查找过程将非常耗时和浪费空间。感兴趣的读者可以联系作者以获取更多信息。4随机利率在本节中，我们考虑一个具有随机贴现率和固定期限的模型。和前面一样，我们假设所考虑的家庭的sur plus是xt=x+ut。4.1几何布朗运动作为贴现过程，在本小节中，我们让rt=r+mt+σWt，其中{Wt}是标准布朗运动。我们的目标是最大化所有可容许策略C={cs}的预期折扣消费，前提是折扣过程由几何布朗运动给出。这意味着，我们假设所考虑的家庭的消费行为与几何布朗运动模拟的股价有关。作为一个可接受的策略，我们定义了所有C={cs}，使cs∈ [0，ξ]，C被调整为过滤{Fs}，由{Ws}和XCt=Xt生成-RTCSD≥ 0代表所有t≥ 0（即消费不会导致破产）。

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2022-5-11 04:15:37

对应于策略c={cs}的返回函数和值函数定义为vc（r，x）=EhZ∞E-rscsds | r=ri（r，x）∈ R×R+，V（t，x）=supCVC（R，x）（R，x）∈ R×R+。注意E[eru]=E-R-（m）-σ） u.为了保证值函数的精确性，我们假设e m>σ。显然，V（r，x）≤ ξEhZ∞E-R-（m）-σ） tdti，上述积分对所有r都是有限的∈ R.与问题对应的HJB方程为uVx+mVr+σVrr+s up0≤C≤ξcne-R- Vxo=0。（12）首先考虑边界ξ小于或等于drif tu的情况。在这里，我们可以按照最大速率ξ支付到∞ 不用担心。对应于这种策略的返回函数vξ由vξ（r，x）=ξEhZ给出∞E-rsdsi=ξZ∞E-R-M-σsds=ξe-rm-σ.Vξ不依赖于x，明显地解决了HJB方程（12）。现在考虑ξ>u。现在，直到时间结束之前，都不可能按汇率ξ付款。相反，我们考虑策略^C={^cs}^cs=（ξ0≤ s≤xξ-us>xξ-u. （13）相应的返回函数由v^C（r，x）=ξZxξ给出-ue-R-（m）-σ） sds+uZ∞xξ-ue-R-（m）-σ） sds。命题4.1（13）中定义的策略^C是最优策略，V^C（r，x）是价值函数。证明：考虑函数V^C（r，x）。它保持sv^Cx（r，x）=e-R-（m）-σ） xξ-u.因此，对于所有x≥ 0它保持不变-R- V^Cx（r，x）=e-R1.- E-（m）-σ） xξ-u≥ 0 .很容易看出，函数V^Csolves HJB方程（12）。需要证明V^C（t，x）=V（t，x）。设C={cs}为任意可容许策略，则holdsV^C（rt，XCt）=V^C（r，x）+Zt（u）- cs）V^Cx（rs，XCs）+mV^Cr（rs，XCs）+σV^Crr（rs，XCs）ds+σZtV^Cr（rs，XCs）dWs≤ -中兴通讯-rscsds+σZtV^Cr（rs，XCs）dWs。因为V^Cis有界，所以上面的随机积分是一个期望为零的鞅。此外，EV^C（rt，XCt）≤ EE-R-mt-σWt= E-重新-（m）-σ）因此，要满足期望，让→ ∞ yieldsEhZte-rscsdsi≤ V^C（r，x）。

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何人来此

2022-5-11 04:15:40

对于无限制支付，HJB方程为max{uVx+mVr+σVrr，e-R- Vx}=0，很容易看出值函数由v（r，x）=e给出-rx+e-ruZ∞Ehe-mt-σWtidt=e-rx+e-rum-σ.这意味着，我们必须立即支付初始资本，并在限定时间内按利率支付。对于证明方法，例如Schm idli[10，第102页]。4.2 Ornstein-Uhlenbeck过程与第2节中的短速率类似，我们再次用{rs}表示Ornstein-Uhlenbeck过程rs=re-as+~b（1）- E-as）+σe-AszSoudwu，其中{Wu}是一个标准布朗运动，a，~σ>0，并让Urs=Rsrudu，r=r。我们的目标是最大化所有可容许策略的预期贴现消费C={cs}，如果利率由{rt}给出。一个策略C={cs}如果cs∈ [0，ξ]，适用于过滤{Fs}，由{rs}和xct=Xt生成-RTCSD≥ 0代表所有t≥ 0.在这里，我们假设过程{rs}full fils的长期平均值为：~b>σ2a。对应于策略C={cs}的返回函数和值函数由VC（r，x）=EhZ定义∞E-URSCDS | X=xi，（r，X）∈ R×R+，V（R，x）=supCVC（R，x），（R，x）∈ R×R+。由于r现在是一个变量，而不是第3节中所述的常数参数，我们通过为（2）中定义的函数f编写f（r，s）而不是f（s）来证明这一事实。再次表示σ：＝σ√2a和b:=~b-~σ2a>0，我们有E[E]-Urs]=ef（r，t）。与该问题对应的HJB方程为uVx+a（~b）- r） Vr+∑Vrr-rV+sup0≤C≤ξcn1- Vxo=0。

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mingdashike22

2022-5-11 04:15:43

（14）此外，可以将函数ef（r，s）估计为如下ef（r，t）=expn- 英国电信-R- 文学士（1）- E-在）-σ2a（1）- E-at）o≤ 扩展- 英国电信- 闵R- 巴，0o、利用上述估计和事实b>0，我们找到了价值函数的以下边界：V（r，x）≤ ξEhZ∞E-Ursdsi=ξZ∞ef（r，s）ds≤ξbexpn-闵R- 巴，0o、 V（r，x）≥ ξZxξ-u∨0ef（r，s）ds+uZ∞xξ-u∨0ef（r，s）ds。（15）对于a的每个选择，σ>0和全部（r，x）∈ R×R+.4.2.1限制利率，含ξ≤ u.假设第一ξ≤ u. 在这种情况下，过程Xξt=X+（u- ξ） t永远不会达到零。对应于常数策略cs的函数Vξ≡ ξ由以下公式得出：Vξ（r，x）=ξEhZ∞E-Ursdsi=ξZ∞ef（r，s）ds。注意，在这种情况下，Vξ不依赖于x。特别是：1- Vξx（r，x）=1。证明Vξ解ODEa（~b）是一个简单的练习- r） vr+∑vrr- rv+ξ=0。对于Vξ（r，x），可以交换积分和微分，使Vξr（r，x）=ξZ∞-1.- E-asaef（r，s）ds，Vξrr（r，x）=ξZ∞(1 - E-as）aef（r，s）ds。因此，a（~b）- r） Vξr（r，x）+σVξrr（r，x）- rVξ（r，x）=ξZ∞fs（r，s）ef（r，s）ds=-ξef（r，0）=-ξ，这证实了你的主张。这里，函数Vξ成为值函数的候选者。4.2.2ξ>u的限制速率。现在假设ξ>u。对应于策略^cs=（ξ0）的返回函数≤ s≤xξ-us>xξ-u（16）由v^C（r，x）=E表示ξZxξ-ue-Ursds+uZ∞xξ-ue-厄尔兹= ξZxξ-uef（r，s）ds+uZ∞xξ-uef（r，s）ds。显然，V^Cis对于x是连续可微的，对于r是两次连续可微的，比如在ξ的情况下≤ u，我们可以交换积分和求导，得到a（~b- r） V^Cr+■σV^Crr- rV^C=ξZxξ-ufs（r，s）ef（r，s）ds+uZ∞xξ-ufs（r，s）ef（r，s）ds=（ξ）- u）efr、 xξ-u-ξ .V^cw对x的导数由V^Cx（r，x）=ef给出r、 xξ-u.我们可以得出结论，V^c解决了PDE（μ- ξ） vx+a（~b）- r） vr+∑vrr- rv+ξ=0。注意1- V^Cx≥ 0 i fffr、 xξ-u≤ 0

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2022-5-11 04:15:47

为了确定V^c是否可以成为值函数的一个很好的候选者，我们必须研究函数f（r，s）的性质。根据第2.1小节，对于固定的r和b>0，函数fs（r，s）在s=w（r）=-aln（u（r））与u（r）=r- b+σa+qR- b+σa+ 4bσa2σ/a>0。请注意，fss（r，s）=-afs（右、南）- A.b+σae-2as. 这意味着，对于固定的r，它保持着其他fs（r，s）≤ [0]上的0，∞), 如果u（r）≥ 1，或[0，w（r）]上的fs（r，s）>0，以及（w（r）上的fs（r，s）<0，∞), 如果u（r）<1。因此，我们只考虑第2小节中的情况1和4。1，如图1中的图1和图4所示。很容易看出，函数u（r）在r中增加，u（0）=1。它意味着f（r，s）<0表示所有（r，s）∈ R+。因此，对于（16）中定义的策略^C，它保持sv^Cx（r，x）=efr、 xξ-u≤ 1（r，x）∈ R+。如果r<0且s>0，则对于每个固定的r∈ R-函数f（r，s）达到其最大值w（r）。此外，因为f（r，0）=0表示所有r∈ R和lims→∞f（r，s）=-∞ 曲线α（s）：=a1- E-asn- 学士+学士（1）- E-as）-σ2a（1）- E-as）ois与f是唯一的α（s），s≡ 0.使用对数函数的幂级数表示，例如[2，p.381]，它适用于s>0：α（s）=a1- E-asn-文学士∞Xn=1（1- E-as）nn+ba（1）-E-as）-σ2a（1）- E-as）o=-B∞Xn=1（1- E-as）nn+1-σ2a（1）- E-as）<0，α′=-ba·e-像∞Xn=1（1- E-as）n-1nn+1-σe-as<0。因此，α为负且严格递减。设β（r）表示r的α（s）的反函数∈ (-∞, 0）（定义明确，因为α严格递减），即β（α（s））=s，然后是β（r），r∈ R-, 是正的，严格地说是递减的。特别是，f（r，s）>0表示s<β（r），f（r，s）<0表示s>β（r），V^Cxx（r，x）<0表示x≥ β（r）。

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2022-5-11 04:15:50

因此，函数V^c不能是值函数。命题4.2值函数V（r，x）是局部Lipschitz连续的，严格递增且凹于x；局部Lipschitz连续、递减且在r上凸。它保持limr→∞V（r，x）=0。证明：o让第一个h>0，r∈ 对于（R+h，x），R和C是一个可容许的ε-最优策略。然后，C也是（r，x）的一个可接受策略（该参数也适用于另一种情况），它保持sv（r+h，x）- V（r，x）≤ VC（r+h，x）+ε-VC（r，x）=EhZ∞E-UrscsE-哈（1）-E-as）- 1.dsi+ε≤ 0 .考虑（r，x）的ε最优策略，并应用相同的参数yieldsV（r+h，x）- V（r，x）≥ -V（r，x）ha≥ -hξbaexp- 闵R- 巴，0.因此，V是s的局部Lipschitz连续，r的局部连续∈ R、 λ∈ （0,1）设z=λr+（1）-λ）对于（z，x）而言，q和C是ε-最优策略。然后，V（z，x）- ε ≤ V~C（z，x）=z∞E-Uzscsds=Z∞E-λUrs-(1-λ） UqsCSD≤ λZ∞E-Urscsds+（1）- λ） Z∞E-UqsCSD。注意，对于（r，x）和（q，x），C是一个可接受的策略。Thu s，V（z，x）≤ λV（r，x）+（1）-λ） V（q，x），即V在r中是凸的。对于每一个h>0，很明显，（r，x）的容许策略∈ R×R+对于（R，x+h）也是容许的，这意味着V在x分量中增加。另一方面，假设C是起点（r，x+h）的ε-最优策略，并将C={cs}定义为cs=（0s<hucs）-hus≥hu。显然，对于起点（r，x），C是一个可接受的策略。然后，我们得到v（r，x+h）- V（r，x）≤ VC（r，x+h）+ε-V~C（r，x）=EhZ∞E-乌尔西-呃∞h/ue-Urscs-h/udsi+ε=EhZ∞E-Urscs1.- E-相对湿度/urs+ududsi+ε。设<<Ursh/u：=Rh/urs+udu，注意<<Ursh/u仅通过rs依赖于Ursh。

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2022-5-11 04:15:54

然后说明随机变量RSI是正态分布的（平均值为re-as+~b（1）-E-as）和方差∑2a（1）-E-2as），使用1-前任≤ -x和（2）中f的定义，我们得到以下估计hz∞E-Urscs1.- E-~Ursh/udsi=Z∞EhEE-Urscs1.- E-~Ursh/u|rsids=Z∞EhEE-Urscs | rsn1- ef（rs，hu）OID≤ -Z∞EhEE-Urscs | rsFrs，huids=Z∞Ehe-Urscsnbhu+σ2a（1- E-ah/rs- 文学士（1）- E-ah/u）OID≤b+σ2ahξbue-闵R-巴，0+Z∞Ehe-Urscsrs- 文学士1.- E-啊/u身份证。现在考虑函数Θ（r，s，y）：=EE-Urs | rs=y. 使用Borodin和Salminen[4，第525页]，我们发现Θ（r，s，y）=表达式-~bs-r+y- 2巴丹像+σa像- 2谭像o=expn- 学士学位-R- 巴坦人像-Y- 巴坦人像o≤ 扩展- 学士学位- 闵R- 巴，0- 闵Y- 巴，0o、因此，它持有SZ∞Ehe-Urscsrs- 文学士1.- E-啊/u身份证≤hξuZ∞EhEE-乌尔斯· （卢比）- b） 1I[rs>b]id≤hξe-闵R-巴，0Z∞E-疯牛病（卢比）- b） 1I[rs>b]ds。请注意，由于RSI是正态分布的，因此上述预期值可按以下方式估算（卢比）- b） 1I[rs>b]=（r）-)b）e-as+~b- B1+erf（r）-)b）e-as+~b- bσp2（1）- E-2as）+σ√1.- E-2as√2πe-（（r）-)b）e-as+~b-b） 2（1）-E-2as）σ≤ σ +（r）-)b）e-as+~b- b:为了所有人≥ -自然对数~b-bb-R/a和d r≤ b、（r）-)b）e-as+~b- b:为了所有人≥ 0和r>b，0：否则。因此，定义∧：=σ（a+b）b+ab- bb+（a+b）bb+σ2a我们得到v（r，x+h）- V（r，x）≤hξu（a+b）麦克斯（r）-b、 0）+∧E-闵R-巴，0.o 为了证明x分量的凸性，让x，y≥ 0，Cxbe是（r，x）的ε-最优策略，Cybe是（r，y）的ε-最优策略。那么，对于z=λx+（1-λ） y:0≤ λx+ut- Cxt+ (1 - λ)y+ut- 中青旅= z+ut-λCxt+（1）- λ）中青旅.因此，λCx+（1-λ） cy是（r，z）的可容许策略。由于ε是任意的，我们可以把λV（r，x）+（1-λ） V（r，y）≤ V（r，z），即。

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2022-5-11 04:15:59

V在x上是凹的。此外，我们知道值函数是有界的，并且利用单调收敛定理（因为f（r，s）在r上是递减的）我们得到了limr→∞V（r，x）≤ limr→∞ξZ∞ef（r，s）ds=0.o估计值函数相对于r的微分商。现在定义一个辅助函数VC（r，x）：=EhR∞E-Urscs（1）- E-as）dsian并让C bean接受策略，h>0。ThenVC（r+h，x）=EhZ∞E-Ur+hscsdsi=EhZ∞E-Urscse-哈（1）-E-as）dsi≥ VC（r，x）-haVC（r，x），VC（r，x）=EhZ∞E-URSCDSI=EhZ∞E-Ur+hscseha（1-E-as）dsi≥ VC（r+h，x）+haVC（r+h，x）。设h>0，C为（r，x）的h-最优策略≥VC（r，x）- VC（r+h，x）h+h≥V（r，x）-V（r+h，x）h.因为，V在r上是凸的，我们得到V（r，x）-V（r+h，x）h≥V（r）-h、十）- V（r，x）h≥VC（r）-h、十）- VC（r，x）h- H≥a~VC（r，x）- H已经证明，值函数在r中是凸的，在x中是凹的。我们猜想最优策略是障碍类型的，即我们在某个障碍上支付最大速率，在该障碍下不做任何事情，而x的障碍应该等于0，r的障碍应该由某个常数r给出*. 然后，我们必须考虑两个函数，描述障碍上下的值函数。不幸的是，我们无法找到与这种屏障策略对应的返回函数的闭合表达式。

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2022-5-11 04:16:02

这就是为什么，我们切换到粘度安萨茨。定义4.3我们说连续函数u:R×R+→ R+是（3）在（R，x）处的粘度亚解∈ R×R+如果有函数ψ∈ C2,1R×R+，R+ψ（r，x）=u（r，x），使得u- ψ在满足ψx+a（~b）时达到最大值- r） ψr+■σψrr- rψ+sup0≤C≤ξc1.- ψx≥ 我们说一个连续体的函数u:R×R+→ R+是（14）在（R，x）处的粘度上解∈ R×R+如果有函数φ∈ C2,1R×R+，R+φ（\'r，\'x）=\'u（\'r，\'x），使得\'u- φ在满足φx+a（~b）时达到最小值- r） φr+~σφrr- rφ+sup0≤C≤ξc1.- φx≤ 0 .（14）的粘度解是一个连续函数u:R×R+→ R+如果它在任意（R，x）处既是粘性子解又是粘性上解∈ R×R+。命题4.4值函数V（r，x）是（14）的粘度解。证明：Let（\'r，\'x）∈ R×R+，\'x>0，0<h<\'x和{Xct}恒定策略c下的剩余过程∈ [0, ξ]. 进一步，我们让τ：=inf{t≥ 0:Xct/∈\'x- h、 \'x+h},τ：=inf{t≥ 0:rt/∈\'r- h、 \'-r+h} dτ=τ∧ τ.因为，值函数V是逻辑Lipschitz连续的，所以存在一个n∈ N使得v（r，x）- V（rk，xk）≤ ε/2（r，x）∈ [rk-1，rk]×[xk，xk+1]，一些ε>0，rk:=\'r-h+2h（k+1）与xk:=x-h+2HKK∈ N.现在，让kk成为起点（rk，xk）的ε/2-最优策略。与命题（4.2）一样，可以证明与策略Ck相对应的返回函数VCk可以应用于初始值（rτ∧t、 Xcτ∧t）。特别是，如果rτ∧t、 Xcτ∧T∈ [rk-1，rk]×[xk，xk+1]VCkrτ∧t、 Xcτ∧T≥ VCk（rk，xk）≥ V（rk，xk）- ε/2 ≥ V（rτ）∧t、 Xcτ∧（t）- ε .因此，对于每一个c∈ [0，ξ]并且给定ε>0，我们可以找到一个可测量的策略C，比如VCrτ∧t、 Xcτ∧T≥ 五、rτ∧t、 Xcτ∧T- ε.首先，我们证明了V是一个上解。

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2022-5-11 04:16:05

现在，按照以下方式构造一个策略C={cs}：让τ像上面一样定义，C∈ [0，ξ]和t∈ [0, ∞) 固定，确定cs=Cfors≤ τ ∧T如果rτ∧t、 Xcτ∧T∈ [rk-1，rk]×[xk，xk+1]从τ中选择∧t在战略上，即-τ∧t=~css表示s>τ∧t、显然，构建的策略C是可接受的。设φ是关于r的两次连续可微函数，对于x检验函数是一次连续可微函数，即V（r，x）≥ φ（r，x）表示所有（r，x）∈ R×R+和V（\'R，\'x）=φ（\'R，\'x）。由于φ足够光滑，我们得到了极限→0Ehe-U′rτ∧tφrτ∧t、 x+（u）- c） τ∧ T- φ（\'r，\'x）τ∧ ti=（u）-c） φx（\'r，\'x）+a（~b- \'r）φr（\'r，\'x）＋∧σφrr（\'r，\'x）- \'rφ（\'r，\'x）。（17）此外，它适用于构造的策略C：φ（\'r，\'x）=V（\'r，\'x）≥ V＠C（\'r，\'x）≥ cEhZτ∧te-U\'rsdsi+Ehe-U′rτ∧TV（rτ）∧t、 Xcτ∧（t）- ε我≥ cZtEE-美国ds+Ehe-U′rτ∧tφ（rτ）∧t、 Xcτ∧t）我- εEE-U′rτ∧T.因为，期望值EE-U′rτ∧T由于τ和ε的定义是任意的，所以有φ（\'r，\'x）≥ cZtef（右、南）ds+Ehe-U′rτ∧tφ（rτ）∧t、 Xcτ∧t） i.在下一步中，我们重新排列上述不等式中的项，并将其除以τ∧ t、在上面的不等式yields0中，让t变为0≥ Φx（\'r，\'x）+a（~b）- \'r）φr（\'r，\'x）＋∧σφrr（\'r，\'x）- \'rφ（\'r，\'x）+sup0≤C≤ξc1.- φx（\'r，\'x）,这就产生了想要的结果。还有待证明V是一个亚解。在这里，像往常一样，我们用矛盾来证明。这意味着，我们假设V不是（14）在某个（\'r，\'x）处的一个解。特别地，存在一个q>0和一个C2,1（R×R+，R+）函数ψ，使得ψ（\'R，\'x）=V（\'R，\'x），ψ（R，x）≥ V（r，x）表示（r，x）∈ R×R+和L（ψ）（\'R，\'x）<-第二季度，someg在哪里∈ C2,1R×R+，R+L（g）（r，x）：=sup0≤C≤ξ~L（g）（r，x）~L（g）（r，x）：=ugx（r，x）+a（~b）- r） gr（r，x）+σgrr（r，x）+c1.- gx（r，x）.进一步定义ψ（r，x）=ψ（r，x）+q（x- \'x）+q（r）- “-r”）。

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mingdashike22

2022-5-11 04:16:08

那么，ψ∈ C2,1（R×R+，R+）和ψ（\'R，\'x）=V（\'R，\'x），ψ（R，x）≥ V（r，x）+q（x）- \'x）+q（r）- 对于所有人（r，x）∈ R×R+。此外，L（ψ）（\'r，\'x）=L（ψ）（\'r，\'x）<-第二季度。自ψ∈ C2,1（R×R+，R+），函数L（ψ）是连续的，因此可以用L（ψ）（R，x）<-（r，x）的q∈ B√2h（\'r，\'x）。W.l.o.g.假设r>0且0<h<兰德定义 :=e（`r+h）h/u`r-手ε=minnqh, qo。进一步假设C是任意容许策略，XCt=^Xt，τ的定义如上所述。注意，（rτ，^Xτ）∈ [r]- h、 \'r+h]×x- h、因为路径是连续的。因此，我们得到v（rτ，^Xτ）≤ ψ（rτ，^Xτ）- ε .显然，L（ψ）rs，^Xs≥L（ψ）rs，^Xs.现在考虑函数ψ。它通过伊藤的公式成立-U′rτψ（rτ，^Xτ）- ψ（\'r，\'x）=Zτe-U¨rsn¨L（ψ）rs，^Xs- csods+～σZτe-U′rsψrrs，^XsdWs≤Zτe-U′rsL（ψ）rs，^Xsds-Zτe-U¨rscsds+¨σZτe-U′rsψrrs，^XsdWs。使用ψ（rτ，^Xτ）≥ V（rτ，^Xτ）+ε和L（ψ）（rs，^Xs）≤ -ε、我们在这里-U′rτV（rτ，^Xτ）+ε- ψ（\'r，\'x）≤ -εZτe-U-rsds-Zτcse-U¨rsds+¨σZτe-U？rsψr（rs，^Xs）dWs。这尤其意味着rzτcse-U-rsds+e-U′rτV（rτ，^Xτ）- ψ（\'r，\'x）≤ - εZτe-U-rsds- εe-U′rτ+σZτe-U′rsψr（rs，^Xs）dWs。因为ψr（rs，^Xs）对于s是有界的∈ [0，τ]且τ为a.s.有限，上述随机积分的期望值为0。

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2022-5-11 04:16:11

我们可以估计上述不等式右边的项，如下所示-U\'rsdsi≤ 呃- H1.- E-（`r）-h） τ我≤\'r- h、 Ehe-U’rτi≥ Ehe-（\'r+h）τi≥ E-（`r+h）hu。（18）因此，我们已经展示了nehzτcse-U-rsds+e-U′rτV（rτ，^Xτ）i- ψ（\'r，\'x）≤ε′r- H- εE-（`r+h）hu=-2ε′r- h、同样的方法也适用于“r”≤ 0，只需更改（18）中的估计值即可。假设C={cs}现在是起点（\'r，\'x）的任意允许策略，那么以下估计成立：VC（\'r，\'x）=EhZτcse-U-rsds+Z∞τcse-U’rsdsi=EhZτcse-U-rsds+Z∞cs+τe-U\'rs+τdsi≤ EhZτcse-U-rsds+e-U’rτVrτ，XCτi、现在，我们可以在上述不等式的两边建立所有可容许策略的上确界。特别是，对于每一个ε>0，都有一个可接受的策略\'C={\'C}，这样的策略是supcehzτcse-U-rsds+e-U’rτVrτ，XCτ我≤ EhZτ′cse-U-rsds+e-U’rτVrτ，X′Cτi+ε。设ε=εr-h、我们得到nV（\'r，\'x）- ψ（\'r，\'x）≤ -ε′r- h、这与假设ψ（\'r，\'x）=V（\'r，\'x）相矛盾。下一个结果是粘性解的唯一性。命题4.5假设u是HJB方程（14）的子解，v是上解，满足命题4.2，（15）和u（r，0）的条件≤ v（r，0）表示所有r∈ 然后它保持u（R，x）≤ v（r，x）在r×r+上。证明：假设有一对（r，x）∈ R×R+这样∞ > u（r，x）- v（r，x）>0。然后，有一个s>1，对于vs（r，x）=sv（r，x），它仍然保持u（r，x）-vs（r，x）>0。下面的估计是直接向前的：u（r，x）- vs（r，x）≤ ξZ∞ef（r，s）ds- sξZxξ-uef（r，s）ds- suZ∞xξ-uef（r，s）ds，这意味着∈ R有一个x∈ R+使得对于x>~x，它保持su（R，x）-vs（r，x）≤ 0

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2022-5-11 04:16:14

另一方面，由于函数f的性质，对于allx∈ R+1有limr→-∞呃-ba{u（r，x）-vs（r，x）}≤ 显然，函数VS是一个上解，使用命题4中的符号。2我们还得到了u（r，x）- vs（r，x）=u（r，x）- u（r，0）+u（r，0）- sv（r，x）≤xξe-min（r）-ba，0）u（a+b）麦克斯（r）-b、 0）+∧+ v（r，0）-sv（r，0）≤xξe-min（r）-ba，0）u（a+b）麦克斯（r）-b、 0）+∧+ (1 -s） ube-麦克斯（r）-ba，0）-σ2a。首先假设≤ b和r≤ 屋宇署（r）：=（s）- 1）（b+a）ubξ∧er-文学士-σ2a和A：=（r，x）∈ R+：x>d（R），R≤ B.请注意，函数d（r）是正的，并且随着r的增加而增加≤ b、像往常一样，我们让m:=sup（r，x）∈阿尔-ba{u（r，x）- vs（r，x）}。特别是，我们知道∞ > M≥ 呃-ba{u（r，x）- vs（r，x）}>0。让（r）*, 十、*) 使M=u（r）*, 十、*) - vs（r）*, 十、*) （由于上述论点，它持有r*> -∞ 安德斯*< ∞) η>0和k的定义：=2sξu（a+b）∧H:={（r，q，x，y）：d（r）<x<y，d（q）<y<∞, -∞ < R≤ b、 r<q≤ b} ，fη（r，q，x，y）：=er-bau（r，x）- 情商-BAV（q，y）-η（x）- y）-kη（y）- x） +η，Mη：=sup（r，q，x，y）∈Hfη（r，q，x，y）。注意fη是连续的，这保证了（rη，qη，xη，yη）的存在∈其中H表示H的闭包，使得Mη=fη（rη，qη，xη，yη）。通过定义（r*, 十、*)它保持（r）*, R*, 十、*, 十、*) ∈因此，Mη≥ fη（r）*, R*, 十、*, 十、*) = 呃*-文学士u（r）*, 十、*) - vs（r）*, 十、*)-kη=er*-砰-kη。因此，我们可以得出结论，存在η*对于所有η>η，Mη>0*andlim infη→∞Mη≥ 呃*-砰。另外，很明显，因为VS在y中有界，所以它保持粘性→∞fη（r，q，x，y）=-∞.显然，fη在q中递减，这意味着我们可以假设rη=qη，即我们考虑（r，r，x，y）∈“H.代表（r，r，x，x）∈\'H和H>0我们有→0fη（r，r，x，x）- fη（r，r，x，x+h）h≤ sξu（a+b）∧- 因此，有一个ε>0，使得fη（r，r，x，y）>fη（r，r，x，x）表示y∈ （x，x+ε]和x∈ [d（r），∞).

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2022-5-11 04:16:18

为了你≥ ε+x一具有，与x和y的值无关：fη（r，r，x，y）=u（r，x）- vs（r，y）-η（x）- y）-kη（y）- x） +η≤ (ξ - su）Z∞ef（r，s）ds-ηε<0表示η>ξ-sεR∞ef（r，s）ds。因此，fη（r，r，x，x）≤ fη（r，r，x，x+ε）<0。出租人（r）：=（s）- 1）（b+a）ubξ（r）- b+λ）e-R-文学士-σ2aH:={（r，q，x，y）：d（r）<x<y，d（q）<y<∞, b<r<∞, b<q<r}对于r>b，也可以证明其唯一性。备注4.6确定性线性盈余和Ornstein-Uhlenbeck过程作为短期利率的问题似乎非常简单。然而，我们无法找到一个明确的解决方案来解决这个优化问题。证明了价值函数在r中是凹的，在x中是凸的，这表明最优消费策略应该是Barrier型的。但是，与几何布朗运动作为折扣因子的情况相比，计算与某种障碍策略对应的返回函数并不是那么容易。参考文献[1]Albrecher，H.和Thonhauser，S.：保险中红利p问题的最优性结果。拉克萨姆雷夫。R.阿卡德。西恩。意甲垫子。103（2），295–320（2009）[2]Amann，H.和Escher，J.：分析I，Birkh–auser Verlag，巴塞尔。（2002）[3]Azcue，P.和Muler，N.：克拉姆-伦伯格模型中的最优再保险和股息分配政策。数学《金融》杂志15261–308（2005）[4]博罗丁，A.N.和萨尔米宁，P.：布朗运动手册——事实和公式。Birkh–Ausergrag，巴塞尔。（1998）[5]Brigo，D.和Mercurio，F.：利率模型——理论与实践。斯普林格，海德堡。2.条件。（2006）[6]Cox J.C.和Huang C.F.：资产价格遵循效用过程时的最优消费和组合政策。《经济理论杂志》49，33–83（1989）[7]艾森伯格J.：再保险和投资对注资的最优控制。Bl.DGV FM31（2），329–345，（2010）[8]艾森伯格，J.，格兰迪斯，P。

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