关于与之相关的原动力值函数和对偶动力值函数的正则性

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收藏 2022-05-11

英文标题：
《On regularity of primal and dual dynamic value functions related to
investment problem》
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作者：
Michael Mania and Revaz Tevzadze
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
We study regularity properties of the dynamic value functions of primal and dual problems of optimal investing for utility functions defined on the whole real line. Relations between decomposition terms of value processes of primal and dual problems and between optimal solutions of basic and conditional utility maximization problems are established. These properties are used to show that the value function satisfies a corresponding backward stochastic partial differential equation. In the case of complete markets we give conditions on the utility function when this equation admits a solution.
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中文摘要：
研究了在整条实线上定义的效用函数的最优投资原问题和对偶问题的动态值函数的正则性。建立了原问题和对偶问题的值过程分解项之间的关系，以及基本效用最大化问题和条件效用最大化问题的最优解之间的关系。利用这些性质证明了该值函数满足一个相应的倒向随机偏微分方程。在完全市场的情况下，当这个方程允许解时，我们给出了效用函数的条件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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On_regularity_of_primal_and_dual_dynamic_value_functions_related_to_investment_problem.pdf
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大多数88

2022-5-11 04:26:59

关于与投资问题有关的原始和对偶动态价值函数的正则性。Mania和R.TevzadzeAbstract。我们研究了在整条实线上定义的效用函数的最优投资的原始和对偶问题的动态值函数的正则性。建立了原问题和对偶问题的值过程分解项之间的关系，以及基本效用最大化问题和条件效用最大化问题的最优解之间的关系。这些性质被用来表明价值函数满足相应的倒向随机偏微分方程。在完全市场的情况下，当这个方程允许解时，我们给出效用函数的条件。2010年数学学科一班。90A09，60H30，90C3 9关键词：效用最大化，完全和不完全市场，对偶性，倒向随机偏微分方程，价值函数。1引言我们考虑一个金融市场模型，其中资产价格的动态由定义在完备概率空间上的连续半鞅描述(Ohm, F、 P）连续过滤F=（Ft，t∈ [0，T]），其中F=T和T<∞. 我们使用贴现条款，即假定债券为常数。用Me（分别为Ma）表示概率测度的集合Q等价于P（分别为绝对连续与resp ect），使得S是Q下的局部鞅。在本文中，我们假设过滤F是连续的（即所有F-局部鞅是连续的），Me6=. （1） F的连续性和满足结构条件的等价mart ingale测度的存在性，即。

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kedemingshi

2022-5-11 04:27:02

S允许分解st=Mt+ZtλsdhMis，ZtλsdhMis<∞对于所有的tp-a.s.，其中M是一个连续的局部鞅，λ是一个可预测过程。设U=U（x）：R→ R是一个效用函数，在实线R的所有点上取有限值，使得U连续可差、递增、严格凹，并满足Inada条件su′(∞) = 利克斯→∞U′（x）=0，U′(-∞) = 利克斯→-∞U′（x）=∞ . （2）我们还假设满足合理的渐近弹性条件（见[6]和[13]），即lim supx→∞xU′（x）U（x）<1，lim infx→-∞xU′（x）U（x）>1。（3）我们考虑效用最大化问题，即发现交易策略（πt，t）的问题∈ [0，T]），使得终端财富Xx，πT的预期效用达到最大。财富过程由自我融资交易策略π和初始资本x决定，定义为随机积分lxx，πt=x+ZtπudSu，0≤ T≤ T.可预测的，可预测的-可积过程π如果随机积分（RtπudSu，t∈ [0，T]）从下面一致有界。与问题相关的值函数V由V（x）=supπ给出∈πEUx+ZTπudSu, （4）其中∏是可容许策略的类别。对于U函数，我们用它的凸共轭表示U（y）=supx（U（x）- xy），y>0。（5）（4）iseV（y）=infQ的对偶问题∈MeE[eU（yρQT）]，y>0，（6）其中ρQT=dQt/dpt是测量Q的密度过程∈ 与基本度量P相关。设τ为停止时间，取值为[0，T]。用∏τ表示容许过程的类别，使得π=π1[τ，T]。定义Zτ，y={y:y=yρTρτ，ρT=dQdP，Q∈ 我}。原问题和对偶问题的动态值函数定义为asV（τ，x）=ess supπ∈πτEUx+ZTτπudSu英尺, （7） eV（τ，y）=ess infY∈Zτ，yEheU（Y）|Fti，Y>0。（8）对于V（0，x）和V（0，y），我们分别使用符号V（x）和V（y）。在[13]之后，我们做了一个假设。

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大多数88

2022-5-11 04:27:05

对于每个y>0，双值函数EV（y）是有限的，且最小值为Q*（y）∈ Me（称为极小极大鞅测度）存在。设∏xbe可预测的S可积过程类π，使得u（x+（π·S）T）∈ L（P）和π·S是每个Q下的上鞅∈ Ma表示单位期望值EeU（dQdP），其中符号π·S表示余弦积分。表示Q（x）=Q*（y） =Q*（V′（x））。在[12]中证明了选择imal策略π（x）∈ 存在∏xof问题（4），它是唯一的，且V（x）=EU（XT（x）），其中最优解XT（x）=x+RTπu（x）是一致可积的Q（x）-马氏体。此外，以下二元关系几乎可以肯定成立：u′（XT（x））=ZT（y），y=V′（x），（9）V′t、 x+Ztπu（x）dSu= Zt（y），t∈ [0，T]，（10），其中y=V′（x）（参见[13]和[11]中的命题A3，了解动态版本）。此后，我们将使用这些结果，无需进一步评论。我们的目标是研究动态价值函数V（t，x）和最优财富过程Xt（x）的性质。众所周知（参见[10]）对于任何x∈ R过程（V（t，x），t∈ [0，T]）是一个允许RCLL（左极限右连续）修改的超鞅。因此，使用Galchouk–Kunita–Watanabe（GKW）分解，值函数表示为V（t，x）=V（0，x）- A（t，x）+Ztψ（s，x）dMs+L（t，x），（11）其中∈ R过程A（t，x）是递增的，而L（t，x）是与M正交的局部鞅。让我们考虑以下假设：A）V（t，x）在xp-A.s是连续可微的两倍。

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kedemingshi

2022-5-11 04:27:08

无论如何∈ [0，T]，b）对于任何x∈ 过程V（t，x）是一个特殊的半鞅，其有界变量部分相对于hMi绝对连续，即a（t，x）=Zta（s，x）dhMis，对于某些实值函数a（s，x），它对任何x都是可预测和hMi可积的∈ R、 c）对于任何x∈ R过程V′（t，x）是分解为V′（t，x）=V′（0，x）的特殊半鞅-Zta′（s，x）dhMis+Ztψ′（s，x）dMs+L′（t，x），其中V′、a′、ψ′和L′分别是V、a、ψ和L的x的偏导数。我们可以说（V（t，x），t∈ [0，T]）是一个正则的半鞅族，如果V条件a）、b）和c）满足，我们还将考虑以下条件：d）条件优化问题（7）允许解，即anyt∈ [0，T]和x∈ 存在一个策略π（t，x），使得v（t，x）=E每个s的U（x+ZTtπU（t，x）dSu）| Ft，（12）e）∈ 函数（Xs（t，x）=x+Rstπu（t，x）dSu，s≥ t）在（t，x）P连续-a、 s。[8,9,10]中显示，如果价值函数满足条件a）-e），那么它将求解以下后向随机偏微分方程（BSPDE）V（t，x）=V（0，x）+Zt（~n′（s，x）+λ（s）V′（s，x））V′（s，x）dhMis+Zt洋（s，x）dMs+L（t，x），V（t，x）=U（x）。（13）我们的目标是研究基本对象（资产价格模型和目标函数U）的条件，这将保证价值函数V（t，x）是一个正则的半鞅族，条件d）和e）也满足，以证明方程（13）的解存在。在第5节的定理3中，我们在完全市场的情况下提供了这样的类型条件。满足所有条件a）-e）的主要例子是指数效用函数U（x）=-E-带有风险规避参数γ的γx∈ (0, ∞).

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能者818

2022-5-11 04:27:11

在这种情况下，相应的值函数为for mV（t，x）=-E-γxVt，其中vt是一个特殊的半鞅。此外，eU（y）=yγlnyγ- 1.假设1等价于Q的存在∈ 具有有限相对熵EZQTln ZQT（见例[1]）。我们首先研究假设1是否意味着条件最大化问题（7）存在非最优策略，以及该策略与基本问题（4）的最优策略之间的关系。[13]中显示，如果我们从时间τ开始，以最佳财富xτ（x）为起点，那么（7）中的最佳值由π（τ，x）=π（0，x）I]τ，t]得到，即e[U（XT（x））|Fτ]≥ E[U（Xτ（X）+ZTτπudSu）| Fτ]，π∈ πτ，从贝尔曼原理可以很好地理解。在附加条件下，我们将证明（见定理1），如果westart在时间τ上的财富等于任意数量的x，那么（7）的最优策略π（τ，x）表示为最优策略π（x）=π（0，x），而（4）在时间τ上的最优财富xτ（x）=xτ（0，x）表示为πt（τ，x）=πt（x）-1τ（x）），t≥ τuhSi- a、 e.其中X-1t（x）是最优财富Xt（x）的倒数。在第三节中，我们建立了价值过程V（t，x）（11）的分解项与对偶价值过程V（t，y）的相应项之间的关系。[5]研究了与条件a）相关的问题，针对时间0时在正实线上定义的效用函数，以及[11]研究了与整个实线上定义的效用函数相关的动态价值函数V（t，x）。与条件b）和c）有关的问题，我们联系到反流X的存在性-1吨（x）的最佳财富。[11]给出了当f或任意t时，最优财富是xp-a.s的增函数，且存在Xt（x）的自适应逆的条件。

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大多数88

2022-5-11 04:27:14

在第4节的命题2中，我们推导了最优财富ψt（x）=x的逆的随机微分方程-根据这一结果，我们给出了当b）和c）被填满时的3个假设条件。最后，在第5节中，在完全市场的情况下，我们给出了满足所有条件a）-e）的效用函数的条件，以及满足BSP DE（13）的价值函数V（t，x）。在本文[3]中，提出了一种新的方法，将问题（4）的解简化为前向后方程组的可解性，这也是一项艰巨的任务。注意，他们表明，在完全市场的情况下，该系统允许在类似于第5.2节条件r1）的条件下解决基本和条件效用最大化问题之间的关系。在本节中，我们研究了不完全市场中基于整条实线定义的效用函数的基本和条件效用最大化问题，并建立了关系在这些问题的最优策略之间。为此，我们首先给出一些定义和辅助断言。我们可以说，一个适应的随机过程（Xt，t∈ [τ，T]）是广义鞅（分别为上鞅）如果1）E（|Xt |/Fτ）<∞, 无论如何∈ [τ，T]2）E（Xt/Ft′）=Xt′（分别为。≤ Xt′）表示任何t′≤ t、其中t′，t∈ [τ，T]（参见[14]定义中的广义条件期望和离散时间广义超鞅的定义）。如果E（U（x+RTτπudSu）/Fτ）是有限的且（（π·S）t，t），则可预测的S可积过程π在∏x，τ中≥ τ）是每个Q下的广义超鞅∈ 有明确预期的最大产量（dQdP）。我们还需要两个补充假设。过滤是连续的、有限的→∞对于进程ZT（y）=ydQ，ZT（y）/y>0*（y） dP=yρ*T（y）。第三章。

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mingdashike22

2022-5-11 04:27:17

效用函数U是可微分的两倍，常数c>0和c>0使得c<-U′（x）U′（x）<c，x∈ R.（14）最后一个条件类似于[5]中介绍的相对风险规避条件。对于指数效用函数，风险规避系数-U′（x）U′（x）=γ是一个常数，对于具有不同风险规避参数的指数效用函数的线性组合，条件（14）也满足。以下断言的证明来自[11]的定理4.1和命题3.1。提议1。假设1-3是满足的，那么对于任何∈ [0，T]最优财富过程（Xt（x），x）存在修正∈ R）（Zt（y）的对应）几乎所有的路径都是严格递增的，并且相对于dx（对应dy）是绝对连续的。除此之外，x′t（x）>0，等式（x）（x′t（x））≤ C、（15）limx→∞Xt（x）=∞, 利克斯→-∞Xt（x）=-∞ （16）任何t的P-a.s∈ [0，T]和适应的逆X-1t（x）（分别为Z）-存在最优财富过程的1t（y））。我们还需要平方特征Shx（x）的连续性- X（y）i可以从命题1中推导出来。引理1。假设命题1b的条件满足，那么，对于任何∈ [0，T]随机场（hX（x）- X（y）它，X，y∈ R）允许持续修改。Proo f.根据命题1，Xt（b）- Xt（a）=RbaX′t（x）dx和ZbaEQ（x）hX′（x）iTdx=ZbaEQ（x）x′t（x）dx<∞通过Fubini定理Rbau′（XT（x））V′（x）hX′（x）iTdx<∞, P- a、美国。

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何人来此

2022-5-11 04:27:21

因此，通过v′（x）U′（XT（x））的连续性，我们得到了zbahx′（x）iTdx≤ 马克斯∈[a，b]V′（x）U′（XT（x））ZbaU′（XT（x））V′（x）hX′（x）iTdx<∞, P- a、因此，利用渡边坤田不等式和H¨older不等式，我们得到Hx（b）- X（a）it=ZbaZbahX′（X），X′（y）itdxdy≤≤ZbaZbahX′（x）i1/2thX′（y）i1/2tdxdy=ZbahX′（x）i1/2tdx≤≤ （b）- a） ZbahX′（x）itdx<∞, P- a、它由不等式hx（b′）得出- X（a′）it- hX（b）- X（a）它≤ hX（b′）- X（b）i1/2thX（b′）- X（a′）+X（b）- X（a）i1/2t+hX（a′）- X（a）i1/2thX（b′）- X（a′）+X（b）- X（a）i1/2thx（bn）- X（an）it→ hX（b）- X（a）它，P- a、当bn→ b、安→ a、因此，由Hx（x）定义的随机场-X（y）i*t=limr→a、 r′→bhX（r）- 如果极限不存在于hX（X）的连续且随机等价的t，则它，r，r′是有理的，0- X（y）它。定理1。假设1-3是满足的。那么在∏τ，x和Zτ，y分别和等式XT（τ，x）=XT（x）中存在（7）的最大值和（8）的最小值-1τ（x）），πt（τ，x）=πt（x-1τ（x）），t≥ τ、（17）Y（τ，Y）=ZT（Z）-1τ（y）），ρQ*T（τ，y）=ρQ*τ（y）ZT（Z）-1τ（y））y（18）满足。此外，P-a.s.V（τ，x）=EUx+ZTτπu（x-1τ（x））dSu| Fτ, （19） eV（τ，y）=EheU（ZT（Z-1τ（y））| Fτi，以下对偶关系x+ZTτπu（x-1τ（x））dSu= ZT（Z）-1τ（y）），y=V′（τ，x）（20）和过程zt（Z-1τ（y））Xt（X-1τ（x）），t∈ [τ，T]，其中y=V′（τ，x），（21）是广义鞅。根据最优性原理（参见[10]），V（t，Xt（x））是一个鞅，因为V（t，x）=U（x），我们对任何x都有它∈ RV（τ，Xτ（X））=EU（XT（x））/FτP- a、 s.（22）因为对于任何τ，函数V（τ，x）和xτ（x）对于几乎所有ω都是连续的∈ Ohm, 这个等式（22）对所有x持有P-a.s∈ R和X-1τ（x）在这个等式中，我们得到v（τ，x）=EU（XT（X）-1τ（x））/FτP- a、这意味着XT（X）的最大值-1τ（x））。

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kedemingshi

2022-5-11 04:27:24

让我们显示XT（X-1τ（x））等于随机积分xt（x-1τ（x））=x+ZTτπu（x）-1τ（x））dSu（23）和π（x-1τ（x））属于∏τ类，xIn为了表示等式（23），表示rtτπu（x）dSu就足够了x=ξ=RTτπu（ξ）dSu，对于ξ=x-1τ（x）。让我们考虑简单随机变量序列ξn=P∞k=-∞ckAk，其中Ak=（kn≤ ξ<k+1n），ck=kn。我们有ξn→ ξ统一与ztτπu（ξn）dSu=∞Xk=-∞ZTτπu（ck）1AkdSu==∞Xk=-∞AkZTτπu（ck）dSu=ZTτπu（x）dSux=ξn。另一方面，ztτπu（x）dSux=ξn-ZTτπu（x）dSux=ξ==XT（ξn）- Xτ（ξn）- （XT（ξ）- Xτ（ξ））→ 0，作为n→ ∞, 因为Xt（x）是连续的，而ztτ（πu（ξn）- πu（ξ））dhSiu==hX（x）- X（y）它- hX（x）- X（y）iτ| X=ξn，y=ξ→ 0，P- a、 s.as n→ ∞, 通过hX（x）的连续性-X（y）它。HenceRTτπu（ξn）dSu→RTτπu（ξ）dSu概率和RTτπu（x）dSux=ξ=RTτπu（ξ）dSu- P.a.s。。自从E|U（XT（x））|<∞ 和等式| Xt（x）|<∞, T∈ [0，T]对于任何Q∈ 马兰德X-1τ（x）是Fτ-可测的，我们有-1τ（x））|Fτ]<∞, EQ（| Xt（X）-1τ（x））|/Fτ）<∞ P-a、科技部≥ τ另一方面，因为对于任何t∈ [0，T]函数（Xt（x），x∈ R）连续且递增的超马氏不等式EQ（Xt（x）/Ft′）≤Xt′（x），t′≤ T≤ T意味着eq（Xt（X-1τ（x））/Ft′）≤ Xt′（X）-1τ（x）），τ≤ t′≤ T≤ t任何问题∈ 因此π（τ，x）=π（x-1τ（x））属于∏τ类，x（19）适用。

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大多数88

2022-5-11 04:27:28

类似地，我们可以展示ZT（Z）的最小值-1τ（y）），所以问题（7）的极小极大鞅测度的条件密度为zt（Z）-1τ（y））对于任何t∈ [0，T]函数V′（T，x），x∈ R和Zt（y），y>0是连续的，并且Zt（y）的逆存在，从（10）我们有P-a.s.Z-1τ（V′（τ，x））=V′（x）-1τ（x））（24），与（9）一起表示条件对偶关系（20）。还要注意，由于Zt（y）Xt（x）是一个鞅（见[13]中的定理1），通过x（x）和Z（y）t的连续性，过程（Zt（V′（x））-1τ）Xt（X-1τ（x）），t≥ τ）这将是一个广义鞅，通过等式（24）这相当于（21）。3原问题和对偶问题的值过程的分解项之间的关系在本节中，除了过滤F的连续性之外，我们假设任何正交局部鞅l表示为关于给定连续局部鞅M的随机积分⊥. 因此，值过程V（t，x）允许分解V（t，x）=V（0，x）- A（t，x）+Ztа（s，x）dMs+Ztа⊥（s，x）dM⊥s、其中A（t，x）是任意x的递增过程∈ R、а和а⊥是M和M吗⊥可积可预测过程。由于对偶问题的值processeV（t，y）是每个y>0的子鞅，因此它可以分解为aseV（t，y）=eV（0，y）+eA（t，y）+Zteа（s，y）dMs+Zteа⊥（s，y）dM⊥s、（25）带M和M⊥可积可预测过程eа和eа⊥和一个递增的过程a（t，y）。已知原问题和对偶问题的价值过程由等式v（t，-eV′（t，y））=eV（t，y）- 是的（t，y）。（26）我们感兴趣的是分解项A、φ和φ之间的关系⊥带ea、eа和eа⊥分别地定理2。假设过滤F是连续的，并且与M局部鞅L正交的任何部分都表示为与M局部鞅M相关的随机积分⊥.

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何人来此

2022-5-11 04:27:32

假设V（t，x）是引入的半鞅（即满足条件a）-c）的正则族，并且eV′（t，y）是一个分解为eV′（t，y）=eV′（0，y）+eB（t，y）+Zte~n′（s，y）dMs+Zte~n′的半鞅⊥（s，y）dM⊥s、（27）其中eb（t，y）是任何y的有限变化过程。那么（eV（t，y），y>0）是半鞅的正则形式，且eа（s，y）=а（s，-eV′（s，y）），uhMia。e、，（28）e~n⊥（s，y）=~n⊥（s），-eV′（s，y）），uhMia。e、，（29）eA（t，y）=Zta（s，-eV′（s，y））dhMis-Zt（ν′s，-V′（s，y）））V′（s，-eV′（s，y））dhMis--Zt（ν′）⊥（s），-V′（s，y）））V′（s，-eV′（s，y））dhM⊥是（30）除满足BSPDEeV（t，y）=eV（0，y）+Zt外yλse~n′（s，y）-yλseV′（s，y）dhMis+Zt（ν′）⊥（s，y）eV′（s，y）dhM⊥is+Zteа（s，y）dMs+Zteа⊥（s，y）dM⊥s、 eV（T，y）=eU（y）。（31）Proo f.使用对偶关系（26）和It^o-Ventzel公式（参见[7]或[15]），我们得到了v（t，-eV′（t，y））=V（0，-eV′（0，y））+Ztа（s，-eV′（s，y））dMs+Ztа⊥（s），-eV′（s，y））dM⊥s--ZtV′s，-eV′（s，y））e~n′（s，y）dMs-ZtV′s，-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）dM⊥s-+中兴通讯(s)，-eV′（s，y））dhMis-ZtV′s，-eV′（s，y））deB（s，y）++ZtV′（s，-eV′（s，y））eа′（s，y）dhMis++ZtV′（s，-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）dhM⊥是-Zt~n′s，-eV′（s，y））eа′（s，y）dhMis--Zt~n′⊥（s），-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）dhM⊥is==eA（t，y）+中兴通讯（s，y）dMs+中兴通讯⊥（s，y）dM⊥s-- 是（t，y）- yZte~n′（s，y）dMs- yZte~n′⊥（s，y）dM⊥s、（32）自V′以来，-eV′（s，y））=y，从（32）我们得到了，-eV′（s，y））dMs+Ztа⊥（s），-eV′（s，y））dM⊥s+Zta（s，-eV′（s，y））dhMis+ZtV′（s，-eV′（s，y））（eа′（s，y））dhMis++ZtV′，-eV′（s，y））（e~n′⊥（s，y））dhM⊥是-Zt~n′s，-eV′（s，y））e~n′（s，y））dhMis--Zt~n′⊥（s），-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）dhM⊥is==eA（t，y）+中兴通讯（s，y）dMs+中兴通讯⊥（s，y）dM⊥s

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能者818

2022-5-11 04:27:35

（33）将（33）中的鞅部分相等，我们得到等式（28）和（29）。因为Ceev（t，y）是两倍可微的andeV′（t，y）=-V′（t，-eV′（t，y）），（34）我们有eа（s，y）和eа⊥（s，y）也是可区分的，且，-eV′（s，y））eV′（t，y）=~n′（s，-eV′（s，y））V′（t，-eV′（s，y）），uhMia。e、，（35）eа′⊥（s，y）=~n′⊥（s），-eV′（s，y））eV′（t，y）=~n′⊥（s），-eV′（s，y））V′（t，-eV′（s，y）），uhM⊥伊莉亚。e、（36）因此，-eV′（s，y））e~n′（s，y））=V′（s，-eV′（s，y））（e~n′（s，y）），uhMia。e、，~n′⊥（s），-eV′（s，y））e~n′⊥（s，y）=V′s，-eV′（s，y））（e~n′⊥（s，y）），uhM⊥伊莉亚。e、将（33）中的有限变量部分相等，我们推断等式（30）成立。现在让我们展示EV（t，y）满足BSPDE（31）。由（13）可知，a（s，x）=（λsV′（s，x）+~n′（s，x））V′（s，x）。因此，使用等式V′s，-eV′（s，y））=y，（34）和（35）Zta（s，-eV′（s，y））dhMis=Zt（yλs+~n′（s，-eV′（s，y）））V′（s-,eV′（s，y））dhMis==Ztyλse~n′（s，y）-yλseV′（s，y）dhMis+Zt（φ′s，-V′（s，y）））V′（s，-eV′（s，y））dhMis。这（和（30）一起）意味着ea（t，y）=Ztyλse~n′（s，y）-yλseV′（s，y）dhMis+Zt（ν′）⊥（s，y）eV′（s，y）dhM⊥是（37）现在，（25）和（37）意味着EV（t，y）满足（31）。评论由（25）、（30）和（34）可知，EV（t，y）满足[4]中导出的前向SPDE，在这种情况下，采用以下形式EV（t，y）=Zta（s，-eV′（s，y））dhMis+Zt（~n′（s，-eV′（s，y））eV′（s，y）dhMis+Zt（ν′）⊥（s），-eV′（s，y））eV′（s，y）dhM⊥is++Zte~n，-eV′（s，y））dMs+中兴通讯⊥（s），-eV′（s，y））dM⊥s4根据建议1得出的最佳财富倒流的微分方程，如果过滤F是连续的，且假设1-3满足，则适用的逆X-存在最优财富过程的1t（x）。

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可人4

2022-5-11 04:27:40

在更强的条件下，我们将推导逆过程X-1t（x）一个随机微分方程（SDE），用于显示V（t，x）和V′（t，x）的有界变差部分相对于平方特征<S>的绝对连续性。对于随机过程ξt（x）乘ξ′t（x）（或ξt（x））我们表示相对于x的导数，uhSi表示对hSi的Dolean度量，即[0，t]×上被测量的hsidpOhm. 如果F（t，x）是一个半马氏格族，则rtf（ds，ξs）表示广义随机积分（见[7]），或[2]中的随机线积分。如果F（t，x）=xGt，其中gt是一个半鞅，那么广义随机积分与通常用byRTξsdGsor（ξ·G）t表示的积分一致。现在我们将推导出一个关于最优财富ψt（x）=x的逆的SDE-式中的1t（x）ψt=σt（ψt）dSt+ut（ψt）dhSit，ψ=x，（38），其中σt（z）=-πt（z）X′t（z），ut（z）=2X′t（z）πt（z）X′t（z）′.提议2。设X′t（X），π′t（X）存在uhSi-a.e.并且是关于XuhSi的局部lipschitz函数-a、 e。。那么SDE（38）或等价的ydψt=-πt（ψt）X′t（ψt）dSt+π′t（ψt）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit-X′t（ψt）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit，（39）ψ=X（40）存在唯一的最大解，且与X-1t（x）。证明：SDE（38）在τ（x）之前允许唯一的最大解≤T，其中|ψτ（x）-| = ∞ 如果τ（x）<T（见[7]）。应用Ito-Ventzel公式计算Xt（ψt）≡ X（t，ψt）（见[7]或[15]）并使用tψt系数（39），我们得到dx（t，ψt）=X（dt，ψt）+X′（t，ψt）dψt+X′（t，ψt）dhψit+dZ·X′（dr，ψr（X）），ψ（X）t=πt（ψt）dSt+X′t（ψt）[-πt（ψt）X′t（ψt）dSt+π′t（ψt）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit-X′t（X）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit]+X′t（X）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit-π′t（ψt）πt（ψt）X′t（ψt）dhSit=0，ψ（X）=X。因此X（t，ψt（X））=X在[0，τ（X））。因为|X-1τ（x）（x）|<∞, 我们有τ（x）=TP-a、 s.和ψt（x）=x-1t（x）。备注1。设πt（x）=Ht（Xt（x））。

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kedemingshi

2022-5-11 04:27:43

然后dψt=-Ht（Xt（ψt））X′t（ψt）dSt+H′t（Xt（ψt））Ht（Xt（ψt））X′t（ψt）dhSit-X′t（ψt）Ht（Xt（ψt））X′t（ψt）dhSit。使用等式Xt（ψt（x））=x，x′t（ψt（x））=ψ′t（x），和-X′t（ψt（X））X′t（ψt（X））=ψ′t（X）ψ′t（X）我们得到了线性部分SDE（线性PSDE）dψt（X）=-Ht（x）ψ′t（x）dSt+H′t（x）Ht（x）ψ′t（x）dhSit+Ht（x）ψ′t（x）dhSitor散度形式为dψt（x）=-Ht（x）ψ′t（x）dSt+（Ht（x）ψ′t（x））′dhSit。让我们定义马丁加随机场SM（t，x）=E[U（XT（x）| Ft]，M（t，x）=E[U′（XT（x）|Ft]。提议3。假设命题2的条件是满足的。i）如果M（t，x）是与x有关的两个连续可差的时间，那么V（t，x）=M（t，ψt（x））的有限变量部分相对于hSi是绝对连续的。ii）如果M（t，x）对x是两次连续可微的，那么V′（t，x）是一个特殊的半鞅，且有限变分pa r tof V′（t，x）=M（t，ψt（x））对hSi是绝对连续的。此外，V′（t，x）允许分解V′（t，x）=V′（0，x）-Zta′（s，x）dhMis+Ztψ′（s，x）dMs+L′（t，x）。（41）Proo f.i）根据o pt imality原理，V（t，Xt（x））是一个巧妙的输入，因为V（t，x）=U（x），我们得到V（t，Xt（x））=E[U（Xt（x））|Ft]=M（t，x）。因此，通过对偶关系（9）M′（t，x）=V′（t，Xt（x））x′t（x）=Zt（y）x′t（x）（42）是鞅，而letM′（t，x）=V′（x）+Zthr（x）dMr+Lt（x），L（x）⊥M′（t，x）的GKW分解。从（39）开始，我们有Z·M′（dr，ψr（x）），ψ（x）t=-Zthr（ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））dhSir。（43）因为V（t，x）=M（t，x-1t（x）），通过伊藤-文策尔公式，我们得到V（t，x）=V（0，x）+ZtM（ds，ψs）+ZtM′（s，ψs）dψs（44）+ZtM′（s，ψs）dhψ是+Z·M′（dr，ψr（x）），ψ（x）（39）和（43）的三角视图可以验证（44）的所有有限变量都是关于hSi的积分。

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nandehutu2022

2022-5-11 04:27:46

即- A（t，x）=ZtM′（r，ψr（x））π′r（ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））-X′r（ψr（X））πr（ψr（X））X′r（ψr（X））dhSir+ZtM′（r，ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））- hr（ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））先生。ii）由（9）和（10）可知，M（t，x）=E[U′（XT（x））|Ft]=E[ZT（y）|Ft]=ZT（y）=V′（t，XT（x）），（45），这（与（42）一起）意味着M和M是相关的sM′（t，x）=M（t，x）x′t（x）（46）和V′（t，x）=M（t，x）-1t（x））。由（45）可知，M′（t，x）=Z′t（y）V′（x）是鞅，且Z·M′（dr，ψr（x）），ψ（x）t=-Zt′hr（ψr（x））πr（ψr（x））x′r（ψr（x））dhSir，（47）其中m′（t，x）=V′（x）+Rt′hr（x）dMr+\'Lt（x），\'L（x）⊥M是M′（t，x）的GKWdecomposition。因此，伊藤-文策尔公式意味着v′（t，x）=M（t，x）-1t（x））是一个特殊的半鞅，与i）类似，我们可以证明V′（t，x）的有限变分部分相对于hSi是绝对连续的。因此，V′（t，x）可分解为asV′（t，x）=V′（0，x）+Ztb（r，x）dhMir+Ztg（r，x）dMr+N（t，x），（48）对于任意x的局部mart-ingale N（t，x）正交t-o-M∈ R和Mand hMi可积过程分别为g和b。该命题的It^o-Ventzel公式和条件也意味着b（r，x）和g（r，x）在x处是连续的。因此，将方程（48）与todx（在有限区间内）积分，并使用随机Fubini定理（考虑分解（11）），5完全市场的情况在本节中，对于完全市场的情况，我们提供了效用函数U的充分条件，以保证SPDE（13）解的存在。此后，我们将假设市场是完整的，即dQ=ZTdP，其中ZT=ET(-λ·M）是唯一的鞅测度。LetR（x）=-U′（x）U′（x），R（x）=-U′′（x）U′（x），x∈ R

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大多数88

2022-5-11 04:27:49

（49）我们将使用以下条件之一：r1）U是三次可微的，R（x）有界远离零且不完整，R（x）有界且Lipschitz连续。r2）U是四次可微的，唯一鞅测度的密度是有界的。引理2。假设市场是完全的，条件r1）是满足的，那么最优财富XT（x）是二次可微的，并且导数x′T（x），x′T（x）是有界的且Lipschitz连续的。Proo f.由于eU（y）和U（x）是共轭的，因此eU（y）也是三次可微的andeU′（y）=-U′（x），eU′（y）=-U′′（x）（U′（x）），y=U′（x）。（50）因此，函数B（y）和B（y）也是有界的，其中B（y）=yeU′（y）=1/R（x），B（y）=yeU′（y）=R（x）/R（x）（51）。这意味着Eu（yZT）的二阶和三阶导数是有界的，因此函数ev（y）=Eu（yZT）是三次可微分的andeV′（y）=EQeU′（yZT）ZT。因为ev（y）和V（x）是共轭的，所以V（x）也是可微分的三倍。在这种情况下，对偶关系（9）采用的是以下公式‘（XT（x））=yZT，XT（x）=-eU′（yZT），y=V′（x）。（52）这种关系意味着函数XT（x）对于所有ω都是两倍可微的∈ Ohm′= （ZT>0）与P(Ohm′) = 1.对（52）中的第一个等式进行微分，我们得到了t hatU′（XT（x））x′t（x）=V′（x）ZT，（53）U′（XT（x））（x′t（x））+U′（XT（x））x′t（x）=V′（x）ZT。（54）从m（52）和（53）得到x′T（x）=V′（x）V′（x）U′（XT（x））U′（XT（x））。根据条件r1）和命题1.2f[11]c≤ -V′（x）V′（x）≤ c、因此，这意味着X′T（X）是有界的，尤其是rcc≤ X′T（X）≤cc，（55）式中，cand care常量fr om（14）。比较方程（53）和（54），我们得到了x′T（x）+U′′（XT（x））U′（XT（x））（x′T（x））=V′（x）V′（x）x′T（x）。

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kedemingshi

2022-5-11 04:27:52

（56）由于EQX′T（x）=1和EQX′T（x）=0，对方程（56）中的度量Q进行期望，我们得到V′′（x）V′（x）=eq′（XT（x））U′（XT（x））（x′T（x））（57），这与（55）和条件r1）一起意味着V′（x）V′（x）V′（x）是有界的。因此，从（56）可以看出X′T（X）也是有界的，因此X′T（X）是Lipschitz连续的。因为有界Lipschitz连续函数的乘积是Lipschitz连续的，所以从（57）可以看出V′（x）V′（x）是Lipschitz连续的，（56）意味着x′T（x）也是Lipschitz连续的，因为（56）中的所有项都是有界的和Lipschitz连续的。引理3。假设市场完全且条件r2）满足，则最优财富XT（x）是三次可微的，x′T（x）是严格正的，并且导数x′T（x）、x′T（x）和x′T（x）在每个紧[a，b]上一致有界∈ RProo f.由于U（x）和U（y）是共轭的，条件r2）意味着eu（y）也是四次可微的，并且U（yZT）的导数对于任何y都是有界的∈ R、因此，函数ev（y）=EeU（yZT）是四倍可微分的。那么V（x）也是四次可微的，因为V′（x）是-eV′（y）。因此，对偶关系xt（x）=-eU′（V′（x）ZT）意味着最优财富XT（x）是可微的三倍，并且导数x′T（x）、x′T（x）和x′T（x）在每个紧[a，b]上有界∈因此导数X′T（X），X′T（X）满足局部Lipschitz条件。此外，X′T（X）=-V′（x）ZTeU′（V′（x）ZT））>0，因为V′（x）<0和u′（y）>0。推论1。过程（X′t（X），（t，X）∈ [0，T]×R）允许持续修改。因为X′t（X）是Q-鞅，通过Doob不等式和中值定理得到≤T|X′T（X）- X′t（X）|≤ cEQ|X′T（X）- X′T（X）|≤ c | x- x | EQsupα∈[0,1]|X′T（αX+（1）- α）十）|≤ c | x- x |对于某些常数c，c。

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mingdashike22

2022-5-11 04:27:55

根据K-olmogorov定理，映射器十、→ X′′·X（X）∈ C[0，T]允许连续修改，这意味着X′T（X）相对于变量（T，X），P的连续性-a、 s。。提议4。假设市场是完整的，并且满足条件r1）或r2）中的一个。那么，对于所有t，P，最优财富Xt（x）、最优策略πt（x）（uhSi-a.e.）、鞅流M（t，x）和M（t，x）在x处是连续可差的两倍-a、方程（39）的系数满足局部Lipschitz条件。Proo f.首先假设条件r1）满足。根据表2，最优财富XT（x）是两倍可微的，并且导数x′T（x），x′T（x）是有界的且Lipschitz连续的。为了证明π′（x）的存在性，我们使用分解x′T（x）=1+RTπ（x）rdsr和一些可预测的S-可积被积函数π（1）（x）和不等式eqztπ（1）t（x+ε）- π（1）t（x）dhSit=EQhX′（x+ε）- X′（X）iT=EQ（X′T（X+ε）- X′T（X））≤ εEQmax0≤s≤1|X′T（X+sε）|≤ εConst，根据Ko-lmogorov定理，π（1）（x）相对于xuhSi-a.e是连续的。注意，如果满足条件r2），则我们认为π（1）（x）在R的每个紧度上存在uhSi-a.e连续修正，这意味着在整个实线上存在连续修正。因此，通过随机Fubini定理（见[15]）x- x+ZT（πr（x）- πr（x））dSr=XT（x）- XT（x）=ZxxX′T（x）dx=x- x+ZTZxxπ（1）r（x）dxdSrandπr（x）- πr（x）=Rxxπ（1）r（x）dxuhSi-a.e。。因此，对于所有x P，π（1）（x）=π′（x）uhSi-a.e.和x′T（x）=1+ZTπ′r（x）dSr（58）-a、 s。。它来自于（58）和f，来自于Fubini定理thatXt（x）- Xt（x）=x- x+Zt（πr（x）- πr（x））dSr=x- x+ZtZxxπ′r（x）dxdSr=ZxxX′t（x）dx对于任何x≥ xP-a、 [11]中的引理A3表示，对于每个固定的t，存在（Xt（x），x）的修正∈ R）这对于勒贝格测度dx是绝对连续的。

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mingdashike22

2022-5-11 04:27:58

自（X′t（X），t∈ [0，T]）是Qmartingale | X′T（X）- X′t（X）|≤ EQ（|X′T（X）- X′T（X）|/英尺）≤ C | x- x |（59）对于任何x≥ xP-a、引理2和推论1暗示存在Ohm′ Ohm, P(Ohm′) = 1，使得每个ω∈ Ohm′不平等性（59）对所有人（t，x）来说都是充分的。由于EX′T（x）=0且市场是完全的，所以对于一些可预测的S-可积被积函数π（2），我们有x′T（x）=RTπ（2）r（x）dsr。与上述类似，我们可以证明π（2）（x）在xu<S>-a.e.处是连续的，π（2）（x）=π′（x）uhSi-a.e.因此，x′t（x）允许表示x′\'t（x）=Ztπ′r（x）dSr。同样，我们可以证明，我们可以选择两倍可微的Xt（x）的一个修正，使得x′（x）是Lipschitz连续的。如果条件r2）已满，而不是r1），则X′（X）将满足局部Lipschitz条件。因此，在这两种情况下（即，如果条件r1或r2满足），方程（39）的系数将是局部Lipschitz连续的。由于市场是复杂的（t，x）=V′（x）zt，很明显m（t，x）是连续可微的两倍。此外，等式（46）意味着M（t，x）在x处也是两次连续可微的。定理3。假设市场是完整的，并且满足条件r1）或r2）中的一个。然后条件a）-e）完全满足，价值函数V（t，x）满足BSP DE（13）。事实证明，很明显，B（y）和B（y）（由（51）定义）的有界性意味着双值函数ev（t，y）=E（eU（yZTZt）/Ft）是连续可微分的两倍。

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能者818

2022-5-11 04:28:02

因为v′（t，x）=-eV′（t，y），y=V′（x），值函数V（t，x）也是两次连续可微的，因此条件a）已满。从命题4可以看出，在存在性假设下，命题2和命题3的所有条件都是满足的，因此这些命题简单地说，V（t，x）满足条件b）和条件c），因此V（t，x）是一个正则半鞅族。让我们证明，对于任何t，最优性原则（见[10]）也满足条件e）∈ [0，T]过程（V（s，Xs（T，x）），s≥ t）是一个鞅，其中Xs（t，x）=x+Rstπu（t，x）dsui是条件优化问题（13）的解。这意味着P-a.s.V（t，x）=E（V（s，Xs（t，x））/Ft。（60）另一方面，再次使用最优性原则，我们有V（t，Xt（x））=E（V（s，Xs（x））/Ft，并在这个等式中替换最优资本Xt（x）wegetV（t，x）=E（V（s，Xs（x））的逆-1t（x））/Ft）。（61）因为对于任何t函数（V（t，x），x∈ R）是严格凸的，比较（60）和（61）我们得到P-a.s Xs（t，x）=Xs（x-1t（x））。通过x的连续性（t，x）-1t（x）作为SDE（39）的解，我们得到条件e）是满足的。因此，定理3.1 fr[10]的所有条件都是满足的，这意味着V（t，x）是BSP DE（13）的解。推论假设满足定理3的条件，则过程v（t，y）=E（eU（yZTZt）/Ft），t∈ [0，T]满足BSPDE（31）。根据定理2，有必要验证过程v′（t，y）=E（ZTZteU′（yZTZt）/Ft∈ [0，T]是一个特殊的半鞅。乐视电视（t.y）=E（ZTeU′（yZT）/Ft）。很明显，ev′（t，y）=ZtV（t，yZt）。但是通过对偶关系（9）V（t.y）=E（ZTeU′（yZT）/Ft）=-ZtXt（x）和mart ingale场V（t.y）在命题4上是可区分的两倍。

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大多数88

2022-5-11 04:28:05

因此，It^o-Ventzel公式暗示ztv（t，yZt）是一个特殊的半鞅，因此过程v′（t，y）也是如此。参考文献[1]F.Bellini和M.Fritelli，关于极小极大鞅测度的存在性，数学。《金融学》第12期（2002年），第1期，第1-21期。[2] R.Chitashvili，《受控随机过程理论中的鞅思想》。概率论和数学统计。过程。4thusr Jap。症状。，第比利斯，1982年，数学课堂讲稿。1021年，73-92年，柏林斯普林格等地，1983年。[3] U.Horst，Ying Hu，P.Imkeller，A.Reveillac和J.Zhang，《预期效用最大化的前向-后向系统，随机过程及其应用》，第124卷，2014年第5期，第1813-1848页[4]N.El Karoui和M.Mrad，两个可解SDE和非线性效用随机PDE之间的精确联系，暹罗金融数学杂志。第4卷第1期（2013），69 7-736。[5] D.Kramkov和M.Sirbu，关于不完全市场最优投资问题中价值函数的两次可微性。《应用概率年鉴》，第16卷，第3期（2006），第13 52-1384页。[6] D.Kramkov和W.Schachermayer，效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资。《应用概率年鉴》，第9卷，第9期，（1999），904-950。[7] H.Kunita，《随机流动和随机微分方程》，剑桥大学出版社，（1990）[8]M.Mania和R.Tevzadze，《反向随机偏微分方程和不完全对冲》，国际理论与应用金融杂志，第6卷，第7期，（200 3），663-692页。[9] M.Mania和R.Tevzadze，反向随机偏微分方程与效用最大化和套期保值有关。鞅理论及其应用，J.数学。Sci。《纽约》153（2008），第3291-380号。[10] M.Mania和R.Tevzadze，《与效用最大化问题相关的反向随机偏微分方程》，格鲁吉亚数学。期刊，第卷。

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nandehutu2022

2022-5-11 04:28:08

17，第4号，（2010），第705-741页。[11] M.Mania和R.Tevzadze，关于不完全市场最优投资问题中动态价值函数的性质，GeorgianMath。《华尔街日报》，第22卷，第1期，（2015）[12]W.Schachermayer，《财富可能为负时不完全市场中的最优投资》，《应用概率年鉴》，第11卷，第3期，（2001），694-734[13]W.Schachermayer，最优投资组合过程的超级马丁格尔性质。《金融与随机》，第7卷（2003年），第4期，第433-456页。[14] A.N.Shiryaev，《随机现象的本质》，世界闪烁，1999年。[15] M.Veraar，《重新审视随机富比尼定理》，《随机学》国际概率与随机过程杂志，第84卷，第4期，（2012），第543-551页。

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