根据命题6，第四和第五项是非负的。因此它遵循GT（y，…，yN）≥a（yτ，τ），因此对于[0，xJ]N中的任何y可能路径，以及每个可能的时间τ∈ 这一策略是重复的。因此，对于这个设置，有一个类似于定理1的例子，但在下一节的末尾，我们将以一个稍微更一般的形式对其进行阐述。3.2 R+×t价格过程的超级对冲在我们当前的假设下，s trikes xJtrade在零价格下的看涨期权，因此在任何与C一致的模型中，价格过程永远不会超过xJ。我们对超级重复应用的证明考虑了与此界有关的路径。尽管如此，理想情况下，我们希望我们的超级复制策略能够对价格过程的所有场景进行超级对冲，而不仅仅是Xtn≤ xJ。在本节中，我们将介绍一种适用于所有路径的SuperEdge，其成本与前一节中最便宜的super hedge相同。这一策略涉及到最初购买s trike XJN的通话，这些通话可以零价格提供。假设4。时间是离散的，取有限集T中的值。价格过程X=（Xt）T∈t以R+表示值。美式期权报酬a:R+×T 7→ R是这样的，除了在其第一个论点中是正的和凸的外，它最多也有线性增长：limx↑∞a（x，tn）/x<R∈ T当价格以R+而不仅仅是X表示时，我们在半静态策略的定义中增加了Θ和Θ有界的要求。然后弱二元性仍然成立。设SR+，T（a）是一组超级复制半静态策略，该策略在所有行使时间和xtn的所有价格路径上超级复制∈ R+。定义7。

除了五倍（E、E、D、D、V）中隐含的投资组合持有/策略，以及定义6中描述的投资组合持有/策略，以及提案6之前的观察中扩展的投资组合持有/策略之外，还应添加≤N≤NβJ，N（Xtn- xJ）+通过添加βJ，n具有成熟度tn的nCall，每个n的走向为xJ。这里βJ，n=I{2≤N≤N} \"inf0≤十、≤xJdn-1（x）-+inf0≤十、≤xJdn-1（x）+R-#+I{1≤N≤N-1}dJ，n+dJ，n+R.这些在货币中到期的额外期权的收益将一直持有到到期日。额外的支付是无成本的，因为cJ，n=0表示所有n。给定[0，xJ]上定义的（\'E，\'E，\'D，\'D，\'V），将定义扩展到R+，通过\'Eδn（y）=\'Eδn（y）Dδn（y）=DδJ，n\'vn（y）=vn（xJ）+R（y）- xJ）对于y>xJ，1≤ N≤ N和δ=1，2。提议8。如果五元组（E、E、D、D、V）对LX是可行的，那么定义7中的交易策略超级复制了xtn在所有路径上的美国主张∈ R+1≤ N≤ N.证据。如果价格过程采用ym值（s，y，…，yN）∈ R+和ifτ∈ {t，…tN}我们发现终端支付GT=GT（y，…，yN）由GT=NXn=1（`en（yN）+`en（yN））+`vN（yN）+R（yN）给出- xJ）++N（τ）-1X（yn+1- yn）~dn（yn）+N-1XN（τ）（yn+1）- yn）~dn（yn）+N-1X英寸dJ，n（yn）- xJ）++inf0≤十、≤xJdn（x）-（yn+1）- xJ）+#+N-1X英寸（dJ，n+R）（yn）- xJ）++inf0≤十、≤xJdn（x）+R-（yn+1）- xJ）+#≥ e（y）+eN（yN）+{vN（τ）（yτ）- a（yτ，τ）}+N（τ）-1Xn¨en（yn）+en+1（yn+1）+（yn+1- yn）~dn（yn）+dJ，n（yn）- xJ）++inf0≤十、≤xJdn（x）-（yn+1）- xJ）++N-1XN（τ）n′en（yn）+en+1（yn+1）+（yn+1）- yn）~dn（yn）+[dJ，n+R]（yn）- xJ）+-\'vn（yn）+\'vn+1（yn+1）+inf0≤十、≤xJdn（x）+R-（yn+1）- xJ）++a（yτ，τ）。我们发现GT≥ a（yτ，τ）对于所有时间τ和所有路径，证明这两个系统中的项都是非负的。我们考虑第二个问题。写出n+1=y和yn=x，并考虑Υ=\'en（x）+\'en+1（y）+（y- x） ~dn（x）+[dJ，n+R]（x）- xJ）+- \'vn（x）+\'vn+1（y）+inf0≤十、≤xJdn（x）+R-（y）- xJ）+根据x或y位于xJ之下或之上，我们可以考虑四种情况。

如果x，y≤ xjΥ的非负性遵循命题6。如果xJ<x，y，Υ=\'en（xJ）+\'en+1（yJ）- \'vn（xJ）+\'vn+1（xJ）+（xJ- x） dJ，n- R（x）- xJ）+[dJ，n+R]（x）- xJ）+（y）- xJ）dJ，n+R（y）- xJ）+{inf0≤十、≤xJdn（x）+R}-（y）- xJ）+和Υ≥ 0，因为此表达式中的三行都是非负的。其他情况也类似。用PR+，T（a，C）表示美国期权的基于模型的最高p价格，该价格与T时的买入价格一致∈ T仅限于非负。然后PR+，T（a，C）=supM∈MR+，T（a，C）φ（M）。设SR+，T（a）表示半静态策略的空间，这些策略沿着价格路径超级复制美国的支付，以R+为单位，设HR+，T（a，C）=inf（B，Θ）∈SR+，T（a）H（B）表示最便宜的超级复制策略的成本。定理2。我们有ΦX，T（a，C）=PR+，T（a，C）=HR+，T（a，C）=ψX，T（a，C）。特别是，在与观察到的买入价格一致的模型中，最昂贵的基于模型的价格是通过价格/制度模型获得的，在该模型中，价格仅取X（MX，T（C）的一个元素）的值。同样，还有一种定义7中所述的超级复制策略，该策略针对所有练习时间进行超级对冲，并且在所有非负面路径上，该策略的成本在所有超级复制半静态策略中是最低的。弱对偶性的证明（命题2）没有使用价格过程取X中的值这一事实，因此适用于这种情况。那么我们有ΦX，T（a，C）=PX，T（a，C）≤ PR+，T（a，C）≤ HR+，T（a，C）=HX，T（a，C）=ψX，T（a，C），其中我们使用T heorem 1表示外部两个等式，即集合包含MX，T（C）MR+，T（C）表示第一个不等式，命题2表示第二个不等式，命题8表示HR+，T（a，C）=HX，T（a，C）。

但是，ΦX，T（a，C）=ψX，T（a，C），因为它们是一对双线性规划（命题4）的值。3.3不受限制的练习时间在前传中，我们假设价格过程由离散时间参数集T定义，收益由R×T定义，停止时间限制为T。现在，我们假设我们获得了一组特定到期日的期权价格∈ 但是我们想考虑更多的一般锻炼时间。首先，我们将允许的锻炼日期集合扩展为toT={0}∪ T然后我们扩展结果，以允许在任何时间进行运动τ∈ T=[0，T]在美国支付函数的单调性（时间）假设下。假设a:R+×是支付函数。定义cj，1=（s）- xj）+andcj，n=cj，n-1.然后满足假设2，分析继续进行。特别是，相应的原始问题和对偶问题有一个解，解是相等的，它们对应于最高的基于模型的价格和最便宜的超级复制策略。现在考虑更有趣的情况，其中τ可以取[0，T]中的任何值。假设5。时间是连续的，取集合T=[0，T]中的值。价格过程X=（Xt）t∈t以R+表示值。美式期权报酬A:R+×T 7→ R在第一个参数中是正的，凸的，每个t的limxA（x，t）/x<R∈ [0，T]并在第二个参数中递减。我们假设我们得到了一组买入价C=cj，xj∈ X和到期日∈ T定义8。MR+，T（C）是一组连续时间模型（即a filtrationf=（Ft）0≤T≤Ta概率测度P与随机过程X=（Xt）0≤T≤t在R+）中设置值，使X=s，和1。过程X与C在E[（Xtn）的意义上是一致的- xj）+]=cj，适用于所有xj∈ X和所有t∈ T2.

X是右连续（P，F）-鞅。我们说这样的模型与C对M的买入价是一致的∈ MR+，Tde fineφA（M）=supτEM[A（Xτ，τ）]，其中τ取T中的值。如果价格过程定义为T=[0，T]，并且允许在任何时候行使，那么我们需要考虑比定义3中给出的更一般的动态对冲策略。特别是，允许的动态策略集必须允许股票中的分段恒定头寸在t时间重新平衡∈ T和运动时间ρ，其中时间T的位置大小取决于（xt∧TxtN∧t） （ρ之前）和（xt∧TxtN∧t、 xρ，ρ（运动后）。设N（t）=min{N:tn≥ t} 假设Θ是这种形式。那么动态套期保值策略的交易收益为gΘT=N（σ）-1Xn=1Θtn（xt，…，xtn）（xtn+1- xtn）+ρ（xt，…，xtn（ρ）-1，xρ，ρ）（xtN（ρ）- xσ）+N-1Xn=N（ρ）+1Θtn（x，…，xρ，…，xtn，σ）（xtn+1- xtn）（12）设SR+，T（A）表示超复制半静态策略的空间，如GT≥ A（xσ，σ）表示[0，T]上的所有非负价格路径，所有执行时间取[0，T]中的值。在连续时间内，我们假设可容许半静态策略的空间动态策略包括（12）中形式的交易收益。特别是，半静态策略的定义必须包括在行使时动态对冲再平衡的可能性。可接受策略的空间可能更大，但任何可接受策略都必须具有两个属性，即trad e GΘT=（Θ·x）的收益可以按路径定义，EM[GΘT]≤ 在任何模型下都为0。后者需要排除加倍策略。

如果是这样的话，我们的能力就弱了∈MR+，T（C）φA（M）≤ inf（B，Θ）∈命题2中的SR+，T（A）H（B）。以下定理背后的直觉是，欧式期权价格决定连续到期之间的价格变动范围-1和TN，但他们没有说明这些价格变动将在何时发生。由于支付函数在t中递减，因此美式期权价格在模型中最高，在模型中，价格变动发生在每个区间（tn）的开始处-1，tn]。通过这种方式，期权持有人可以从A的凸性中获益，而不会因为时间的减少而损失。定理3。假设期权报酬由A（x，t）给出，其中A:R+×t7→R满足假设5。定义a（x，tk）=limt↓tk-1A（x，t）=A（x，tk-1+).假设动态策略空间上的条件是弱对偶成立的。那么ΦX，T（a，C）=supM∈MR+，T（C）φA（M）=inf（B，Θ）∈SR+，T（A）HC（B）=ψX，T（A，C）。特别是，美式期权价格的上确界与看涨期权价格C一致，并且最便宜的超级复制半静态策略的成本都等于ψX，T（A，C）。证据支付函数a在其第一个参数中是正的、凸的，并且limxA（x，t）/x<R。特别是，a满足了对支付函数的所有假设，这些假设要求上一个子部分的结果保持不变。我们将认为，我们可以为支付函数a找到一个超级复制策略，该策略与相关的su PER套期保值pr iceψ=ψ（a，C）相关，并且存在一系列与到期日t的买入价格C一致的模型∈ 对于T，美式期权的关联价格与收益A收敛于Φ（A，C）。

通过WeakDality，我们已经解决了原始问题和双重问题，上一段中概述的超级优势是无限制行使日期的美式期权的超级对冲。首先，我们展示了如何将超边缘策略的概念扩展到连续时间内的过程（和练习时间）。回忆定义3，假设我们得到三个（J+1）×N矩阵E、E和V以及两个（J+1）×N- 1） 矩阵和D.除了第3条中描述的交易策略要素（在第6条中使用DasDas），还应补充一点，即如果美国期权在一个时间τ行使∈ [0，T]以tm<τ<tm+1，且资产价格为Xτ，然后做空a′+（Xτ，tm+1）个股票单位（通过借贷融资），并在tm+1清算该头寸。请注意，因为ais是凸的，所以右导数a′+在任何地方都定义得很好。如果期权在时间τ内行使∈ 然后这个策略就完全照搬了。否则，该策略的这个附加元素的效果就是添加一个术语-a′+（Xτ，tn）（Xtm+1- Xτ），相对于第7位的表达式，它变成（我们加和减a（yτ，tm+1）和a（ytm+1，tm+1），而不是a（yτ，τ））GT=\'e（y）+eN（yN）+{vm+1（ytm+1）- a（ytm+1，tm+1）}+{a（ytm+1，tm+1）- a（yτ，tm+1）- a′+（yτ，tm+1）（ytm+1）- yτ）}+mXn\'en（yn）+\'en+1（yn+1）+（yn+1）- yn）~dn（yn）o+N-1Xm+1n’en（yn）+’en+1（yn+1）+（yn+1- yn）~dn（yn）- vn（yn）+vn+1（yn+1）o+a（yτ，tm+1）因为a是凸的，所以我们有a（ytm+1，tm+1）≥ a（yτ，tm+1）+a′+（yτ，tm+1）（ytm+1）-yτ）和GT≥ a（yτ，tm+1）=a（yτ，tm+）≥ A（yτ，τ），因为A在其第二个参数中是递减的。因此，我们有一系列超级复制策略；将此类策略的成本降至最低（B，Θ）∈SR+，T（A）H（B）≤ ψX，T（a，C）。现在我们转向定价问题。

假设min1≤N≤N{tn- tn-1} = .让（X，) 是一个时间参数设置为T的进程，取值于X×{1，2}，并且E[（Xtn- xj）+]=cj，n.本模型中带支付功能的美式期权基于模型的价格isPj，nA（xj，tn）fj，n.选择（X， ) = （Xa，C，a、 C）因此它是与线性规划1中的优化器有关的离散时间过程，用于支付。设Ftn=σ（Xtm，tm；M≤ n） ：通过设置Ft=∪n:tn≤tFtn。为了∈ （0，）定义F=（Ft）0≤T≤通过Ft=Ffor t<F，Ft=ftn+tn-1.≤ t<（+tn）和n<n和Ft=ftf表示+tn-1.≤ T≤T通过（Yt，Γt）定义一系列分段常数、右连续、连续时间、二元过程（Y，Γ）=（s，1）0≤ t<（Xtn，tn）+tn-1.≤ t<+tn（XT，T） +tN-1.≤ T≤ 当（Y，Γ）是从（X，) 通过将跳转时间从{t，t，…tn=t}改为，+t，+tN-1（通过使过程在这些跳跃时间之间保持恒定，将时域扩展到[0，T]）。此外，通过构造，我们在定律L（Ytn）=L（Xtn）中有一个恒等式，因此Y与交易看涨期权的价格一致（在交易最到期时）∈ T）。如果资产价格/制度对由（Y，Γ）描述（制度过程Γ跳到两个时，通过使用行使策略获得），则带支付A的美式期权的基于模型的价格为X1≤N≤NX0≤J≤JA（田纳西州xj）-1+）fj，N增加到toP1≤N≤NP0≤J≤Ja（xj，tn）fj，n=ΦX，T（a，C）as减为零。亨塞苏姆∈MR+，T（C）φA（M）≥ ΦX，T（a，C）。证明是完整的，因为ΦX，T（a，C）=ψX，T（a，C）。4个无界股票价格，且无零价格调用。在前几节中，我们解决了在相关通话价格为零的大罢工限制下，最昂贵的m模型和最便宜的超级复制策略。

我们在这一节中的目标是放松这个假设，在假设2的其他元素得到加强的情况下，使不等式变得严格。我们回到离散时间的情况，尽管结果可以精确地扩展到连续时间，如第3.3节所示。假设6。时间是离散的，取有限集合中的值，期权的行使时间限制为T。价格过程x=（Xt）t∈t以R+表示值。美式期权报酬a:R+×T 7→ 因此a在其第一个参数中是正的和凸的。它也有最直线的增长：limx↑∞每个tn的a（x，tn）/x<R∈ T同样，我们假设市场上有一个有限的看涨期权家族，每对K中的行权和T中的到期日各一个，我们再次将股票视为一个零行权的看涨期权。这些电话的价格以矩阵形式写为C。我们假设：假设7。期权价格集具有以下属性：o对于1≤ N≤ N、 s=c0，N>c1，N>c2，N>cJ，N>0.o一个人≤ N≤ N、 1>c0，N-c1，nx>c1，n-c2，nx-x> ··>cJ-1，n-cJ，nxJ-xJ-1> 0.o 一个人≤ N≤ N- 1人，1人≤ J≤ J、 cj，n+1>cj，n.回想一下pj，nin（1）的定义。通过^pj引入（J+2）×N矩阵^P，N=pj，n0≤ J≤ J和^pJ+1，n=cJ，n.观察p0≤J≤J^pj，n=1<P0≤J≤J+1^pj，n.进一步，给定一个向量（h，h，…hJ）和一个最终元素hJ+1，定义扩展线性插值¨h:R+7→ R/h×h（x）=hjx=xj∈ Xx-xjxj+1-xjhj+1+x-xjxj+1-xjhj+1x<xJ，xJ<x<xJ+1hJ+（x- xJ）hJ+1x>xJ。设h为向量h=（h，h，…，hJ，hJ+1），设h为h的扩展线性插值。我们可以将h（Xtn）视为具有成熟度tn.引理1的欧式期权的报酬。到期日为TN且付款为h（Xtn）的索赔成本为0≤J≤J+1hj^pj，n.证明。“\'h与X元素的扭结呈分段线性。

特别是，我们可以把“h”写为通话支付的形式：\'h（x）=h+h- hxx+X1≤J≤J-1.hj+1- hjxj+1- xj-hj- hj-1xj- xj-1.（十）- xj）++hJ+1-hJ- hJ-1xJ- xJ-1.（十）- xJ）+。该投资组合的成本为ish+h- hxs+X1≤J≤J-1.hj+1- hjxj+1- xj-hj- hj-1xj- xj-1.cj，n+hJ+1-hJ- hJ-1xJ- xJ-1.cJ，n=h1.-sx+c1，nx+X1≤J≤J-1hjcj-1，n- cj，nxj- xj-1.-cj，n- cj+1，nxj+1- xj+hJcJ-1，n- cJ，nxj- xj-1.+ hJ+1cJ+1，n=X0≤J≤J+1hj^pj，上述引理激励以下线性规划：线性规划3。对冲问题LX，∞,这是为了：找到三个（J+2）×N矩阵E、E和V以及两个（J+2）×N- 1） 使ψ=X0最小的矩阵和数据≤J≤J、 一,≤N≤N（ej，N+ej，N）^pj，N+X0≤J≤J+1vj，N^pj，N对象为V≥ 0和（i）vj，n≥ a（xj，tn）；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ NvJ+1，n≥ 利克斯↑∞a（x，tn）/x为1≤ N≤ N.（ii）ej，N+ek，N+1+（xk）- xj）dj，n≥ 0; 0≤ j、 k≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n- dJ+1，n≥ 0; 0≤ K≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n+1+dj，n≥ 0; 0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n+eJ+1，n+1≥ 0; 0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.（iii）ej，n+ek，n+1+（xk）-xj）dj，n-vj，n+vk，n+1≥ 0; 0≤ j、 k≤ J、 一,≤ N≤ N-1.eJ+1，n- dJ+1，n- vJ+1，n≥ 0; 0≤ K≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n+1+dj，n+vJ+1，n+1≥ 0; 0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n+eJ+1，n+1- vJ+1，n+vJ+1，n+1≥ 0; 1.≤ N≤ N- 1和ej，N=ej，1=0。让最佳值由ψX给出，∞,T=ψX，∞,T（a，C）。引理2。假设等式（E，E，D，D，V）满足线性规划3的可行性条件。对于固定n，设（ej，n）0的扩展线性插值≤J≤J+1，（ej，n）0≤J≤J+1和（vj，n）0≤J≤J+1，并设dδn（x）由（8）给出，表示0≤ 十、≤ xJand代表x>xJ，dn（x）=dn=min{dJ，n，eJ+1，n}dn（x）=dn=min{dJ，n，eJ+1，n- vJ+1，n}。定义“eN（x）=0=”e（y）。然后我们得到了vn（x）≥ a（x，tn）x≥ 0, 1 ≤ N≤ N’en（x）+’en+1（y）+（y）- x） ~dn（x）≥ 0 x，y≥ 0, 1 ≤ n<n\'en（x）+en+1（y）+（y）- x） ~dn（x）- \'vn（x）+\'vn+1（y）≥ 0 x，y≥ 0, 1 ≤ n<n.证据。v的不等式源自a的凸性。

对于另外两个不等式，x，y的情况≤ xJhas已在提案6中涵盖。因此，作为剩余分析的一个例子，考虑W=\'en（x）+\'en+1（y）+（y-x） ~dn（x）。为了你≤ xJ<x我们有w=eJ，n+（x- xJ）eJ+1，n+-en+1（y）+（y）- xJ+xJ- x） ）~dn（x）=（eJ，n++en+1（y）+（y- xJ）~dn）+（x- xJ）（eJ+1，n-~dn）≥ （eJ，n+-en+1（y）+（y）- xJ）dJ，n）≥ 0我们在哪里使用dn≤ dJ，nanddn≤ eJ+1，n代表x≤ 我们有w=\'en（x）+eJ，n+1+（y- xJ）eJ+1，n+1+（y）- xJ+xJ- x） ）~dn（x）=（en（x）+eJ，n+1+（xJ- x） ~dn（x））+（y- xJ）（eJ+1，n+1+~dn（x））≥ 0自eJ+1起，n+1+~dn≥ min0≤J≤J{eJ+1，n+1+dj，n}≥ 0.现在假设xJ<x≤ y，注意dn+eJ+1，n+1=min{dJ，n+eJ+1，n+1，eJ+1，n+eJ+1，n+1}≥ 0:W=eJ，n+（x）- xJ）eJ+1，n+eJ，n+1+（y）- x+x- xJ）eJ+1，n+1+（y）- x） ~dn（x）=（eJ，n+eJ，n+1）+（x- xJ）（eJ+1，n+eJ+1，n+1）+（y）- x） （eJ+1，n+1+~dn）≥ 0.最后f或xJ<y<x，并使用dn≤ eJ+1，n，W=eJ，n+[（y- xJ+x- y） [eJ+1，n+eJ，n+1+（y- xJ）eJ+1，n+1+（y）- x） ~dn（x）=（eJ，n+eJ，n+1）+（y）- xJ）（eJ+1，n+eJ+1，n+1）+（x- y） （eJ+1，n）-~dn）≥ 0.推论1。最佳值ψX，∞,T=ψX，∞,LX的T（a，C），∞,他们存在。这个问题可以解释为寻找（某一类）最便宜的半静态策略，该策略超级复制了美国对T中所有锻炼日期以及所有价格路径的主张。我们有inf（B，Θ）∈SR+，T（a）H（B）≤ ψX，∞,T（a，C）。证据引理2和命题7意味着任何可行的五元组都与一个超复制声明的策略相关联。设（E，E，D，D，V）由E=E=D=0和vj，n=m ax1给出≤N≤Nmax0≤J≤Ja（xj，tn）代表0≤ J≤ J、 vJ+1，n=R，dj，n=0表示0≤ J≤ J和dJ+1，n=-R

那么这五倍是可行的。还要注意的是，目标函数如下所示：任何策略都可以超级复制无界价格路径的声明，也可以超级复制约束在X中的路径的声明。双LX，∞,TP=LX，∞,套期保值线性规划LX的TP（C），∞,这是下面的线性规划。如果M=（F，G，G），我们可以定义φ*（M） =X0≤J≤JX1≤N≤Na（xj，tn）fj，n+X1≤N≤NfJ+1，nlimx↑∞a（x，tn）x（13）和LX的目标，∞,TPI将最大限度地减少*（M） 过于可行的模型。注意φ的定义*（M） 在（13）中，即使模型M不可行，也有意义。线性规划4。定价问题LX，∞,TPis to：找到（J+2）×N矩阵F和两个（J+2）×（J+2）×N- 1） 矩阵和Gwhich最大值x0≤J≤JX1≤N≤Na（xj，tn）fj，n+X1≤N≤NfJ+1，nlimx↑∞a（x，tn）x服从于F≥ 0，克≥ 0，克≥ 0，和（a）P0≤K≤J（gj，k，n+gj，k，n）=^pj，n；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.P0≤K≤J+1（gJ+1，k，n+gJ+1，k，n）=^pJ+1，n；1.≤ N≤ N- 1.（b）P0≤我≤J（gi，J，n-1+gi，j，n-1） =^pj，n；0≤ J≤ J、 二,≤ N≤ N.P0≤我≤J+1（gi，J+1，n-1+gi，J+1，n-1） =^pJ+1，n；2.≤ N≤ N.（c）P0≤K≤J（xk）- xj）gj，k，n+gj，J+1，n=0；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.P0≤K≤JgJ+1，k，n=0；1.≤ N≤ N- 1.（d）P0≤K≤J（xk）- xj）gj，k，n+gj，J+1，n=0；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.P0≤K≤JgJ+1，k，n=0；1.≤ N≤ N- 1.（e）福建，1-P0≤K≤Jgj，k，1≤ 0 0 ≤ J≤ JfJ+1,1-P0≤K≤J+1gJ+1，k，1≤ 0fj，n-P0≤K≤Jgj，k，n+P0≤我≤Jgi，j，n-1.≤ 0 0 ≤ J≤ J、 1<n<NfJ+1，n-P0≤K≤J+1gJ+1，k，n+P0≤我≤J+1gi，J+1，n-1.≤ 01<n<Nfj，n+P0≤我≤Jgi，j，N-1.≤ ^pj，N0≤ J≤ JfJ+1，N+P0≤我≤J+1gi，J+1，N-1.≤ ^pJ+1，N.设ΦX为最佳值，∞,T=ΦX，∞,T（a，C）。由于该程序是LX的双重功能，∞,我们得出的结论是ΦX，∞,T=ψX，∞,T.我们希望将该计划的最佳解决方案解释为MX，T（C）的适当修改中的Pricing模型。然而，没有一致的模型，模型价格等于ΦX，∞,T（a，C）。

相反，我们给出了一系列基于有限状态空间的一致性模型，基于模型的美式期权价格收敛于ΦX，∞,T.设ξ=max1≤N≤N（xJcJ）-1，n-xJ-1cJ，n）（cJ-1，n-cJ，n）>xJ。取ξ>ξ。我们的想法是，我们将考虑一个市场，在这个市场中，在额外的罢工ξ的呼吁被交易为零价格。设Kξ=K∪ {ξ} ，Xξ=X∪ {ξ} 设Cξ为CξJ，N=cj，n0给出的看涨期权价格的（J+2）×N矩阵≤ J≤ J和cξJ+1，n=0。要求ξ>ξ确保Cξ满足假设2的两部分，因此我们可以定义概率矩阵Pξ、空间MXξ、T（Cξ）及其相关子集MXξ、T（Cξ）以及定价和套期保值线性规划Xξ、TP（Cξ）和LXξ、TH（Cξ）。一个人≤ N≤ N我们有pξj，N=^pj，N=0≤ J≤ J- 1，pξJ，n=cJ-1，n- cJ，nxJ- xJ-1.-cJ，nξ- xJ=^pJ，n-^pJ+1，nξ- xJand pξJ+1，n=cJ，nξ-xJ=^pJ+1，nξ-xJ。设M=（F，G，G）对LX是可行的，∞,TP（C）。M没有定义X×T自0以来的模型≤J≤J^pj，nxj=s-cJ，n<s，因此M不能对应于鞅。（如果作为替代方案，我们希望（^pj，n）0≤J≤J+1定义边际定律，然后pj+1j=0^pj，n=1+cJ，n>1，集合（^pj，n）为0≤J≤J+1不是一组概率。）相反，我们的想法是使用M来定义Xξ×T上的模型Mξ，该模型与买入价格Cξ一致。

为此，用gδ，ξj，n=gδj，n0定义（G1，ξ，G2，ξ）≤ J≤ J- 1, 1 ≤ N≤ N，δ=1，2加上gδ，ξj，j，N=gδj，j，N-gδj，j+1，nξ- xJ0≤ J≤ J- 1, 1 ≤ N≤ N、 δ=1，2gδ，ξJ，J，N=gδJ，J，N-gδJ，J+1，nξ- xJ-gδJ+1，J+1，nξ- xJ1≤ N≤ N、 δ=1，2gδ，ξj，j+1，N=gδj，j+1，Nξ- xJ0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N、 δ=1，2gδ，ξJ+1，J，N=gδJ+1，J，Nξ- xJ0≤ J≤ J+1,1≤ N≤ N、 δ=1,2，然后通过Fξj，N=fj，N确定Fξ≤ J≤ J- 1, 1 ≤ N≤ N加上fξJ，1=fJ，1-gJ+1，J+1,1ξ- xJfξJ，n=fJ，n-ξ - xJgJ+1，J+1，n- gJ，J+1，n-1.- gJ+1，J+1，n-1.2.≤ N≤ N-1fξJ，N=fJ，N+ξ- xJgJ，J+1，N-1+gJ+1，J+1，N-1.- cJ，NfξJ+1，n=fJ+1，nξ- xJ1≤ N≤ N.注意，由（c）和（d）gδJ+1，k，N=0表示k≤ J.设Mξ=（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）。引理3。假设M=（F，G，G）满足可行性条件（a）到（e）F或LPX，∞,T（C）。设Mξ=（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）。然后，Mξ满足LPXξ，T（Cξ）的可攻击性条件（a）到（e）。证据我们想证明族（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）满足线性规划1中的有限元条件（a）到（e）（现在X={X，…，xJ，ξ}，sumsrange大于0）≤ i、 j，k≤ J+1，概率由矩阵Pξ=（PξJ，n）0给出≤J≤J+1,1≤N≤N） 。（a） 假设1≤ N≤ N- 1和δ∈ {1, 2}. 为了0≤ J≤ J- 1，X0≤K≤J+1gδ，ξJ，k，n=X0≤K≤J-1gδj，k，n+gδj，j，n-gδj，j+1，nξ- xJ+gδj，j+1，nξ- xJ=X0≤K≤Jgδj，k，nand-soX0≤K≤J+1（g1，ξJ，k，n+g2，ξJ，k，n）=X0≤K≤J（gj，k，n+gj，k，n）=^pj，n=pξJ，n≤K≤J+1gδ，ξJ，k，n=X0≤K≤J-1gδJ，k，n+gδJ，J，n-gδJ，J+1，nξ- xJ-gδJ+1，J+1，nξ- xJ+gδJ，J+1，nξ- xJ=X0≤K≤JgδJ，k，n-gδJ+1，J+1，nξ- xJ=X0≤K≤JgδJ，k，n-X0≤K≤J+1gδJ+1，k，nξ- xJ。然后≤K≤J+1（g1，ξJ，k，n+g2，ξJ，k，n）=^pJ，n-^pJ+1，nξ- xJ=pξj，n.对于j=j+1，X0≤K≤J+1gδ，ξJ+1，k，n=X0≤K≤J+1gδJ+1，k，nξ- xJ=^pJ+1，nξ- xJ=pξJ+1，n.（b）假设2≤ N≤ N代表0≤ J≤ J- 1，X0≤我≤J+1gδ，ξi，J，n-1=X0≤我≤Jgδi，j，n-1+gδJ+1，J，n-1ξ - xJ=X0≤我≤Jgδi，j，n-1自gδJ+1，J，n-1= 0.

然后≤我≤J+1（g1，ξi，J，n）-1+g2，ξi，j，n-1） =X0≤我≤J（gi，J，n-1+gi，j，n-1） =^pj，n=pξj，n.对于j=j，X0≤我≤J+1gδ，ξi，J，n-1=X0≤我≤J-1gδi，J，n-1.-gδi，J+1，n-1ξ - xJ+gδJ，J，n-1.-gδJ，J+1，n-1ξ - xJ-gδJ+1，J+1，n-1ξ - xJ+gδJ+1，J，n-1ξ - xJ=X0≤我≤Jgδi，J，n-1.-X0≤我≤J+1gδi，J+1，n-1ξ - xJThenP0≤我≤J+1（g1，ξi，J，n）-1+g2，ξi，J，n-1） =^pJ，n-^pJ+1，nξ-xJ=pξJ，n.对于J=J+1X0≤我≤J+1gδ，ξi，J+1，n-1=X0≤我≤J+1gδi，J+1，n-1ξ - xJand soX0≤我≤J+1（g1，ξi，J+1，n-1+g2，ξi，J+1，n-1) =ξ - xJX0≤我≤J+1（gi，J+1，n-1+gi，J+1，n-1） =^pJ+1，nξ- 对于鞅条件，现在xJ=pξJ+1，n.（c）和（d）。

修正1≤ N≤ N- 1和δ∈ {1, 2}.为了0≤ J≤ J- 1X0≤K≤J+1（xk- xj）gδ，ξj，k，n=X0≤K≤J-1（xk- xj）gδj，k，n+（xj）- xj）gδj，j，n-gδj，j+1，nξ- xJ+(ξ - xj）gδj，j+1，nξ- xJ=X0≤K≤J（xk）- xj）gδj，k，n+gδj，j+1，n=0。对于j=j，X0≤K≤J+1（xk- xJ）gδ，ξJ，k，n=X0≤K≤J-1（xk- xJ）gδj，k，n+（ξ）- xJ）gδJ，J+1，nξ- xJ=X0≤K≤J（xk）- xJ）gδj，k，n+gδj，j+1，n=0，对于j=j+1X0≤K≤J+1（xk- ξ） gδ，ξJ+1，k，n=X0≤K≤J（xk）- ξ） gδJ+1，k，n=0，因为和中的每个项都是零。（e） 为了0≤ J≤ J- 1，fξj，1-X0≤K≤J+1g2，ξJ，k，1=fj，1-X0≤K≤J-1gj，k，1-gj，J，1-gj，J+1,1ξ- xJ！-gj，J+1,1ξ- xJ=fj，1-X0≤K≤Jgj，k，1≤ 0.对于j=Jfξj，1-X0≤K≤J+1g2，ξJ，k，1=fj，1-gJ+1，J+1，1（ξ）- xJ）-X0≤K≤J-1gJ，k，1-gJ，J，1+（ξ）- xJ）（gJ，J+1,1+gJ+1，J+1,1）-gJ，J+1,1ξ- xJ=fJ，1-X0≤K≤JgJ，k，1≤ 0.对于j=j+1fξj+1,1-X0≤K≤J+1g2，ξJ+1，k，1=fJ+1,1ξ- xJ-P0≤K≤J+1gJ+1，k，1（ξ）- xJ）≤ 0.2美元≤ N≤ N- 1和0≤ J≤ J- 1，fξj，n-X0≤K≤J+1g2，ξJ，k，n+X0≤我≤J+1g2，ξi，J，n-1=fj，n-X0≤K≤J-1gj，k，n+gj，J，n-gj，J+1，nξ- xJ+gj，J+1，nξ- xJ+X0≤我≤Jgi，j，n-1=fj，n-X0≤K≤Jgj，k，n+X0≤我≤Jgi，j，n-1.≤ 0.对于j=j，fξj，n-X0≤K≤J+1g2，ξJ，k，n+X0≤我≤J+1g2，ξi，J，n-1=fJ，n-(ξ - xJ）（gJ+1，J+1，n- gJ，J+1，n-1.- gJ+1，J+1，n-1)-X0≤K≤J-1gJ，k，n- gJ，J，n+（ξ- xJ）（gJ、J+1、n+gJ+1、J+1、n）-gJ，J+1，nξ- xJ+X0≤我≤J-1gi，J，n-1+gJ，J，n-1.-gJ，J+1，n-1+gJ+1，J+1，n-1ξ - xJ=fJ，n-X0≤K≤JgJ，k，n+X0≤我≤Jgi，J，n-1.≤ 0.对于j=j+1，fξj+1，n-X0≤K≤J+1g2，ξJ+1，k，n+X0≤我≤J+1g2，ξi，J+1，n-1=ξ - xJfJ+1，n-X0≤K≤J+1gJ+1，k，n+X0≤我≤J+1gi，J+1，n-1.≤ 0.对于n=n，和0≤ J≤ J- 1，fξj，N+X0≤我≤J+1g2，ξi，J，N-1=fj，N+X0≤我≤Jgi，j，N-1.≤ ^pj，N=pξj，N.对于j=j，fξj，N+X0≤我≤J+1g2，ξi，J，N-1=fJ，N+ξ- xJgJ，J+1，N-1+gJ+1，J+1，N-1.- cJ，N+X0≤我≤J-1gi，J，N-1+gJ，J，N-1.-ξ - xJgJ，J+1，N-1+gJ+1，J+1，N-1.= fJ，N+X0≤我≤Jgi，J，N-1.-cJ，Nξ- xJ≤ ^pJ，N-cJ，Nξ- 对于J=J+1，fξJ+1，N+X0≤我≤J+1g2，ξi，J+1，N-1=fJ+1，N（ξ）- xJ）+X0≤我≤J+1gi，J+1，N-1ξ - xJ≤^pJ+1，Nξ- xJ=pξJ+1，N.推论2。假设M=（F，G，G）对LX是可行的，∞,TP（C）和定义φ*（M） via（13）。

设Mξ=（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）并设φ*（Mξ）=P0≤J≤J+1a（xj，tn）fξJ，其中xj+1=ξ。如果Υ=φ*（Mξ）- φ*（M） 那么Υ=X1≤N≤NfξJ+1，na（ξ，tn）- fJ+1，nlimx↑∞a（x，tn）x+X1≤N≤Na（田纳西州xJ）fξJ，n- fJ，n=X1≤N≤NfJ+1，na（ξ，tn）ξ- xJ- 利马（x，tn）x-a（xJ，tN）cJ，Nξ- xJ-ξ - xJX1≤N≤N-1[a（xJ，tn）- a（xJ，tn+1）]gJ+1，J+1，n+ξ- xJX2≤N≤Na（xJ，tn）gJ，J+1，n-1特别是φ*（Mξ）- φ*（M）≥ -Υξ-对于与ξ无关的常数Υ。证据Υ的计算很简单。对于最终报表，请注意如果Rn=limx↑∞a（x，tn）x既然a（·，tn）是凸的，我们就有a（x，tn）≥ 对于某些αn，αn+rnx，然后是a（ξ，tn）- (ξ - xJ）Rn≥ αn+RnxJ≥ αn，那么我们可以取Υ=a（xJ，tN）cJ，n+X1≤N≤N-1[a（xJ，tn）-a（xJ，tn+1）]gJ+1，J+1，n-X1≤N≤NfJ+1，nαn.给定一个可行的行程le（F，G，G），我们不能用amodel直接识别它。然而，如果我们取ξ>ξ，那么我们可以希望用MXξ，T（C）构造候选模型。但是，矩阵（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）可能不是非负的，因此候选模型Mξ可能不可行。为了避免这个问题，我们将这些候选模型与MR+，T（C）中的其他模型混合，对于这些模型，条目是非负的。我们表明，通过改变这种混合，我们可以找到一个一致的模型，其中美国期权的模型价格任意接近超级复制价格ψX，∞,我们从一个有用的引理开始。引理4。设ν和ν是离散集Y={Y，…，yM}上的概率测度，其中Y<…<嗯。假设ν在凸序中小于或等于ν。然后，e xi在Y×Y上有一个联合定律ρ，使得ρ的ithmarginal为νiandPk（yk- yj）ρ（{（yj，yk）}）=0f或全部j。进一步假设Eν[（Y）}-ym）+]>Eν[（Y-ym）+]适用于所有2个≤ M≤ M-对于i=1，2和所有1，νi（{ym}）>0≤ M≤ 然后，可以选择联合定律，使得ρ（{（yj，yk）}）>0f或全部2≤ J≤ M- 1和1≤ K≤ M.证明。

第一段中的存在性结果是经典的，并遵循Strassen[26]的结果。第二段中的存在性结果遵循了对一个非平凡初始定律的Skorokhod嵌入问题的井式科森解的可预见解释，见Hobson[19]。一种基于Y上的无跳鞅马尔可夫链在依赖于时间的情况下停止的解决方案，见Cox等人[11]。引理5。苏普∈MR+，T（C）φ（M）≥ ψX，∞,T（a，C）。证据给定>0，我们的目的是展示如何选择一个一致的模型，例如φ*（M） >ψX，∞,T（a，C）- . 缩写ψX，∞,T（a，C）到ψ。设M=（F，G，G）是线性规划4中的优化子，因此φ*（M） =ψ。对于ξ>ξ，设Mξ=（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）是引理3之前定义的矩阵的三重。设置ξ=最大值ξ、 xJ+Υ. 然后，通过ξ>ξ的推论2，φ*（Mξ）≥ Ψ - /2.如果所有元素gδj，j，n（带j≤ J） 对于较大的ξ>ξ，Mξ=（Fξ，G1，ξ，G1，ξ）≥ 0，Mξ∈ MXξ，T（Cξ） MR+，T（C）是一个可行的模型，我们已经完成了。更一般地，对于某些0，我们可以有gδj，j，n=0≤ J≤ 对于任何ξ，J和Mξ都是不可行的。固定▽ξ>ξ。设X=Xξ=X∪ {ξ}并让（J+2）×N矩阵＠C由＠cj开始，N=cj，n0≤ J≤ J和▽cJ+1，n=0。因此，我们可以将矩阵P定义为1≤ N≤ N、 ~pj，N=pj，N（1≤ J≤ J- 1） ~pJ，n=pJ，n-cJ，nξ- xJpJ+1，n=cJ，nξ- xJ。让∧νdennote关于∧X的定律，这样∧νn（{xj}）=pj，n。然后，根据命题1 MX，T（~C）是非空的，根据引理4，存在一个模型M∈MX，T（~C），使得每个跃迁（除了那些远离吸收点的跃迁）的概率为正：即。

η>0，其中η=min1≤N≤N-1分钟≤我≤Jmin0≤J≤J+1P~M（Xtn=i，Xtn+1=J）。设置?gi，j，n=P?M（Xtn=i，Xtn+1=j）。定义M∈ M~X，T（~C）乘以~gi，j，n=~gi，j，nN- nN)gi，j，n=)gi，j，nnN)fj，n=)pj，nN注意)gδi，j，n≥ η/N.＠从＠mb获得的Mis，通过使用一个在{1，…，N}上不均匀分布且独立于价格过程的时间跳到状态2的区域过程来扩充价格过程。选择ζ<2ψ和ξ>max{ξ，ξ，xJ+N（1-ζ)ζη}. 设^X=Xξ，ξ=X∪{~ξ, ξ}. 我们构造了一个模型^M∈ 因此，M^X，T与X×Tand上的C一致，是MR+，T（C）的一个元素。设置xJ+1=＠ξ和xJ+2=ξ。对于δ=1,2,1≤ N≤ N和0≤ j、 k≤ J定义^gδJ，k，n=ζgδJ，k，n+（1- ζ） gδ，ξj，k，nand set也^gδj，j+1，n=ζ~gδj，j+1，n^gδj，j+2，n=（1- ζ） gδ，ξj，j+1，n^gδj+1，j+1，n=ζgδj+1，j+1，n^gδj+2，j+2，n=（1）- ζ） gδ，ξJ+1，J+1，n=0=gδJ+2，J+1，与^gδJ+1，J，n=0=gδJ+2，J，n=0≤ J≤ 由此可知，由于gδ，ξJ，J，n≥ -ξ-XJ0我们有≤ J≤ J^gδJ，J，n=ζ~gδj，j，n+（1- ζ） ζgδ，ξj，j，n≥ ζηN-(1 - ζ)ζξ- xJ≥ 0，概率^gδj，k，nde定义了一个模型^M。此外，该模型是两个模型的混合体，它们分别与C onX×T一致，因此^M与C和^M一致∈ MR+，T（C）。最后，φ*（^M）≥ (1 - ζ)φ*（Mξ）>1.-2ΨΨ -> Ψ - .定义PR+，T（a，C）=supM∈MR+，T（C）supτ∈TEM[a（Xτ，τ）]和HR+，T（a，C）=inf（B，Θ）∈SR+，T（a）HC（B）。定理4。我们有ΦX，∞,T（a，C）=PR+，T（a，C）=HR+，T（a，C）=ψX，∞,T（a，C）。特别是，有一系列MR+，T（C）元素，基于模型的价格收敛于ψX，∞,T、 还有一种定义3中描述的超级复制策略，其成本是所有半静态超级复制策略中最低的。证据

我们有PR+，T（a，C）≤ HR+，T（a，C）≤ ψX，∞,T=ΦX，∞,通过弱对偶，线性规划3中的优化器是一个超复制半静态策略，以及LX，∞,THand LX，∞,TP。但是引理是PR+，T（a，C）≥ ψX，∞,T（a，C）。因此，人人平等。5个进一步的例子：美国看跌期权、过滤期权和连续的看涨期权5。1.数字例子：美式推杆本节包含美式推杆的数字例子。这一部分有多个目的：阐明这一理论，证明在实践中界限的严密性，并说明早期运动前有多少可归因于各种特征。我们假设在整个过程中，无风险利率为5%，基础资产的初始固定价值（100），最大到期日T=1。此外，我们假设已交易的欧式期权的价格与年化波动率为20%的恒定波动率Black-Scholes模型一致。美式期权的贴现收益为e-rtaS（St，t）=e-rt（K）- St）=（e）-rtK- Xt）+=a（Xt，t），其中Xt=e-rtSt。我们的目标是为X上的美式期权定价，并支付a（Xt，t）。注意，在任何一致的定价测度下，X都是鞅。让χ（A）表示Black-Scholes模型下的美式期权的价格（波动率为20%）。设φ（A）=φ（A，C）表示同一美式期权A的基于模型的最高价格，其中模型与买入价格C的matirx一致∈ [0，T]设ζ（T，A）=supM∈MR+，T（C）EM[A（Xt，T）]表示到期日为T的相应欧洲价格（注意，模型的唯一相关特征是时间T时X的法律），且ζ（A）=max0≤T≤Tζ（T，A）。χ（A）和ζ（A）提供了两个基准，用于比较模型自由界φ（A）。

差异χ（A）- ζ（A）可以使用传统建模假设作为美国保费的大小。目的是将该量与φ（A）进行比较- ζ（A），当我们搜索与交易期权数据一致的所有模型时，它是最大美国溢价的大小。注：我们使用ζ（A）而不是ζ（T，A）作为欧式期权的基准，因为在某些情况下（高息率和高出击率），在虚拟模型下，美国即时行使货币内看跌期权是最佳选择。使用ζ（T，A）作为基准表明，期权的美式特征价值很大，尽管在几乎所有情况下，最佳策略都是立即行使。我们假设交易期权集有（行使权、到期日）对inK×T。当我们计算带付息a的美式看跌期权的无模型boun d时，我们可以等价地使用付息a=aX，tn≤ t<tn+1，xj≤ x<xj+1a（x，t）=xj+1- xxj+1- xja（xj，tn）+x- xjxj+1- xja（xj+1，tn）。特别是φ（a）=φ（a）。然而，在计算χ时，Payoff函数的这种变化会影响值，通常我们有χ（a）>χ（a）。例如，假设我能用100次击键，使a（x，t）=（e-rt100-x） +。假设T={1/4,1/2,3/4,1}和K={70,80,90,100,110,120,130,140}。然后χ（a）=6.09，而χ（a）=6.74。相比之下，φ（a）=φ（a）=7.66。因此，成熟度的最低-最高区间φ（a）χ（a）ζ（a）%premuum2 100-7.917.807.7722.4270 140 10 7.797.206.8935.3470 140 10 7.666.746.3529.1470 140 2.527.656.576.1329.012 70 140 10 7.556.426.0026 70 140 10 7.516.345.9126.8图3：该表显示了在s trike 100和到期日后的货币p ut的价值。假设欧洲期权的进口波动率为20%。

表格中的行对应不同的网格，随着我们向下移动表格，网格变得更清晰，价格更低。m模型独立溢价与Black Scholespriceφ（a）之间的差异- χ（a）=1.57,6.74- 6.09=0.65归因于Mesh的影响，0.92归因于Black Scholes模型的建模假设。我们还发现ζ（a）=6.35。根据布莱克-斯科尔斯模型，美国特征对索赔人的价值为6.74- 6.35=0.38，而所有模型的上限均为φ（a）- ζ（a）=7.66- 6.35 = 1.31. 因此，布莱克-斯科尔斯对美国保险费的估计仅为美国最大保险费的29%。图3显示了更改网格大小的效果。前四列描述了交易的欧洲期权家族。到期日平均为{1/N，2/N，…，1}。标题“最低”和“最高”指的是最低和最高的罢工，而“间隔”指的是罢工之间的间隔，因此，除第一行和第四行外，K={70、80、90、100、110、120、130、140}。接下来的三列给出了线性化期权的各种价格：美国价格模型的上确界、布莱克-斯科尔斯美国价格和欧洲价格。最后一列给出了比率[χ（a）- ζ（a）]/[φ（a）- ζ（a）]表示为百分比。随着网格变得更细，ζ（a）、φ（a）和χ（a）的值都会下降。然而，布莱克-斯科尔斯估值所反映的美国溢价比例大致保持不变，约为ird的四分之一。在下一个表中，图4我们在一个网格上进行了固定，并考虑了改变期权货币性的影响。我们每季度使用一次网格，每10个单元攻击一次。

主要结论是，Black-Scholes模型未能捕捉到美国溢价的全部价值，这一点在货币外看跌期权中最为明显，并且Black-Scholes模型捕捉到的美国特征的最大可能价值始终不到一半。本节得出的结论是，Black Scholes模型下的定价可能会大大低估期权的美式特征以及期权持有人应对模型不确定性解决方案的能力。走向φ（a）χ（a）ζ（a）%溢价80 1.00 0.92 0.91 15.590 3.25 2.89 2.79 20.6100 7.66 6.74 6.35 29.1110 14.09 12.81 11.73 45.8120 22.02 20.89 20.15 39.6图4：货币性对期权价值的影响。到期日为{1/4,1/2,3/4,1}和K={70,80,90，…，140}。5.2筛选的选择本节旨在说明筛选的选择如何对美式期权的可能价格产生巨大影响。限制对基于自然过滤的模型的关注会导致低估美式期权的价值。在本节中，我们将考虑以下非常简单的示例。时间范围T={0,1,2}。在t=0时，我们有X=2，在t=1时，X取{1,3}中的值，在t=2时，X取{0,2,4}中的值。martin gale性质，再加上状态空间如此简单的事实，意味着如果我们在时间2时得到一个Arrow-Debreu证券的价格，那么X的边际定律是完全特定的。我们假设有一种证券f或价格2/5支付1期（2，4）。然后，在任何一致模型下，Xhas关于{1,3}的统一定律，以及Xhas关于{0,2,4}的定律{2/5,1/5,2/5}。我们想对美国期权进行估值，该期权在州（1，1）和8分期付款（2，4）支付s1，否则支付0。

参见图5。（4,2,8）（2,2,0）（0,2,0）（2,0,0）（3,1,0）（1,1,1）图5：可能路径的空间和美式期权的收益。图中节点处的标签由三个元素组成，三个元素分别是价格水平、时间和美国行动的支付。分别用（p，q，r）表示从（1，1）到（（4，2），（2），（0，2））的转移概率，用（s，t，u）表示从（3，1）到（（4，2），（2），（0，2））的转移概率。（p，q，r）是鞅概率的事实给出了0≤ P≤ 1/4和（q，r）=（1-4p，+p）。同样，1/2≤ s≤ 3/4和（t，u）=（3-4s，s-). 最后，在t=2时对X定律的约束给出了p+s=4/5。有0的任意选项（p，s）≤ P≤ 1/4, 1/2 ≤ s≤ 3/4和（p+s）=4/5导致一致的模型。假设X=1。如果（1，1）的条件转移概率为（p，q，r），那么（1，1）处的即时运动值为1，持续值为8p，因此，如果p≥ 1/8. 通常情况下，在（3,1）处继续是最佳的，其值为8s。美国期权的预期收益为[8（p+s）+（1- 8p）+]=16/5+(- 4p）+。通过将p取得尽可能小，即p=1/20，以给出基于模型的最佳价格7/2，这是最大化的。相比之下，在各州（4,2）、（2,2）、（0,2））支付（8,0,0）的欧式期权的价格为16/5，因此美式期权的溢价为3/10。然而，这并不是一致性模型中最高的模型价格。考虑一对模型^M和^M.S，它们的特征是六元组（^p，^q，^r，^S，^t，^u）=（1/4,0,3/4,3/4,0,1/4）和（~p，~q，~r，~S，~t，~u）=（0,1/2,3/4,0,1/4）。请注意，这两个模型都是m artin gale模型，尽管两个模型都不满足约束p+s=4/5，但混合m=^m+~m确实具有X匹配调用价格的适当性。

我们假设期权持有人在被要求决定是否行使期权之前，了解了t=1时世界是由^M还是^M描述的。我们将证明，美式期权的价格在m模型下是最大一致的。在^m下，在t=2时行使美式期权是最佳的，期权的价值是4。在M下，以（1,1）行使是最佳选择，美式期权的价值为7/2。证明模型不确定性通过t=1解决，混合模型下的价格为18/5，美式保险费为2/5。特别是，在假设过滤是价格过程的自然过滤的情况下，在我们考虑所有模型时，美国保费相对于模型的最大值仅为美国保费最大值的3/4。（此外，如果Arrow Debreu证券在（2，4）的价格上升到7/16，那么欧洲的价格上升到7/2，但在模型中，转换概率在时间零点由（p，q，r，s，t，u）指定，美国期权价格在7/2不变。基于模型的最高价格基于mixtur emodel M=^M+~M，其中美式期权价格为15/4。在马尔可夫模型中，美式保险费为零——在t=2时行使美式期权始终是最佳选择——在混合模型中，美式保险费为1/4。将注意力限制在马尔可夫模型上表明美国没有溢价，但事实并非如此。）现在，我们认为18/5的价格是可能的最高模型价格，因为它展示了一种成本为18/5的半静态超级应用策略。从18/5开始，购买4个Arrow Debreu证券，支付1个州（4，2），总成本为8/5，剩余现金2。

此外，在时间段[0,1]内持有一个单位的资产，如果在t=1时未行使美式期权，则继续持有单位长期头寸，直到t=2；否则在[1,2]上持有股票的零头寸。在t=0时，现金持有量为2。在t=1时，现金持有量为3（3,1）和1（1,1）。这足以弥补行使美式期权的成本（请注意，到期日t=2的Ar row Debreu证券的持有量均为非负，因此没有剩余负债）。如果在t=1时未行使美式期权，如果X=3，则包括Arrow Debreu证券的支付，在t=2时，该策略分别在州（4,2）、（2,2）、（0,2））实现（8,2,0）。如果在t=1时未行使期权，如果X=1，则在t=2时，该策略在状态（（4,2）、（2,2）、（0,2））中再次实现（8,2,0）。因此，给定的策略是一种超级复制策略。上述描述与本文其余部分的注释不太一致。为了了解这个例子如何融入到这个结构中，假设X={0,1,2,3,4}和T={1,2}。将p1,1==p3,1与p0,2=2/5、p2,2=1/5和p4,2=2/5一起设置。所有其他的pj都是零。我们有a·，1=（0，1，0，0，0）和a·，2=（0，0，0，8），尽管a1，1，a3，1，a0，2，a2，2和a4，2只返回相关条目。用ej定义（E、E、D、D、V），2=ej，1=0表示0≤ J≤ 4 ande·，1=（0,1,2,3,4）e·，2=（0,0,0，-2.-4） d·，1=（1,1,1,1,1）d·，1=（0,0,2,2）v·，1=（0,1,2,5,8）v·，2=（0,0,0,4,8）我们立即得到了vj，n≥ aj，n和j，所以（5）成立。此外，如果∧是具有条目λj的矩阵，k=（k-j） 那么ej，1+λj，k=ek，1≥ -ek，2和（6）保持不变。

最后，如果∧是矩阵λj，k=2（k- j） I{j=3,4}然后vj，1-ej，1+λj，k=vj，2+ej，2+λj，k≤ vk，2+ek，2（7）保持不变。因此，（E，E，D，D，V）超级复制中隐含的策略，在成本8×+(-4） ×+3×+1×=.5.3期权价格的双连续统前面章节的方法转移到连续时间设置，我们将通过示例演示。然而，不断的环境带来了新的挑战，我们在本文中不会试图克服这些挑战。相反，本节仅旨在展示这些想法如何扩展到这个更一般的框架。我们假设我们得到了期权价格的双连续统（在行使和成熟度上），目标是找到美式期权价格的无模型上界。一个问题是，为了确定半静态战略，有必要确定每一个可接受价格路径上的可接受动态战略带来的贸易收益。在这个例子中，我们选择了一类非常普遍的可接受价格路径——如果期权支付更复杂，我们不太可能使用这一组路径。假设8。可能的价格路径集是从x开始的具有左极限的右连续函数集Dx（[0，T]）。请注意，要确定交易收益，需要在价格路径上具有一定的规律性，但我们不假设存在（路径）二次变化或价格路径y beyondy的任何其他规律性∈ Dx（[0，T]）。引理6。假设z={z（t）；0≤ T≤ T}∈ D（[0，T]）。那么对于所有0≤ s≤T≤ TZ（s，t]dz（u）I{z（u）-)≥0}≤ z（t）+- z（s）+（14）证明。我们可以写（s，t）∩ I{y（u）-)≥假设（lα，rα）是一个这样的区间，s<lα<rα<t。我们有z（lα，rα）dz（u）I{z（u-)≥0}=z（rα）- z（lα）≤ 0自z（rα）≤ 0≤ z（lα）。

或者，如果区间的形式为[lα，rα]和lα≤ 那么我们必须有z（lα）-) = 0和r[lα，rα]dz（u）I{z（u）-)≥0}=z（rα）≤ 0.（14）右侧的非零表达式来自于考虑跨越s和t的间隔（如有）。考虑一个美式选项，其payoff a（x，t）=|x-x |+b（t），其中b是一个递减可微分函数，使得b（0）- b（T）<x.设x是一个贴现股票价格，x=x.假设我们得到一个买入价格{c（k，T）}0的双连续统（在走向k和到期T中）≤k<∞,0≤T≤对于k，t=0≥ 2xandc（k，t）=（x- k） +RtdsRxx-kdy（k+y）- x） q（y，s）k<xRtdsRxk-xdy（x+y）- k） q（y，s）x≤ k<2x。（15） 这里q:[0，x]×[0，T]是R+×[0，T]上的密度，即q≥ 0和rtdtrxdyq（y，t）=1。这些看涨期权价格与一类模型一致，在这类模型中，除了在随机时间∑发生跳跃外，价格过程是恒定的。跳跃大小和跳跃时间的联合定律具有密度q，并且在时间σ处跳跃大小y的条件下，跳跃概率为1/2向上，概率为1/2向下。我们可以写Xt=x+zyi{t≥∑}其中（Y，∑）具有密度qand Z是{±1}上的均匀随机变量，它与Y和∑无关。请注意，这仍然是一类模型，因为我们还没有具体说明关于这对（Y，∑）的信息何时被披露。可能是（Y，∑，Z）在时间∑时被揭示（“适应”模型），也可能是（Y，∑）在时间0+时被揭示，在时间∑时被揭示（“预知”模型）。然而，还有许多其他模型（过滤概率空间支持amartingale价格过程）与（15）中的买入价格一致。

例如，可以定义一个广义局部波动率模型，该模型的买入价格由（15）给出——广义的意义是，在X时刻有一个原子tof SizertDSRxDyq（y，s），但在X之外，该过程就像一个鞅扩散。我们的主张是，根据（15）中的买入价格数据，美式期权基于模型的最高定价来自“取证”模型。在这个模型中，Y和∑的值显示在t=0+时。一旦知道它们，就可以立即运动（Payoff b（0+）=b（0）），或者在∑下运动，Payoff Y+b（∑），最好选择这些运动时间中产生最高回报的时间。基于模型的pr-ice是φ=ZTdsZxdyq（y，s）max{b（0），y+b（s）}=b（0）+ZTdsZxdyq（y，s）（y+b（s）-b（0））+。该模型隐含了一个区域过程，如果Y+b（σ）<b（0），则在t=0时跳到2，否则在时间∑时跳到2。如果我们能展示出一种成本为φ的超级复制策略，那么模型的最优性就会随之而来。考虑以下（连续时间）半静态策略（假设价格路径为x∈ Dx（[0，T]），并在ρ下锻炼）o购买一种密度（在时间和空间上）的Arrow-Debreu风格的欧洲支付方式，这种支付方式-˙b（s）I{124; x-x |>b（0）-b（s）}如果Xt=x加上购买时间T终端支付b（0）+[|x-x|-（b（0）-b（T））]+；o如果是xs，则做空资产-> x+b（0）- b（T）和s≥ ρ和x时的沿位置-< 十、- b（0）+b（T）和s≥ ρ.观察在一致的模型下，在x±y（远离x）isRtq（s，y）ds处，价格过程定律的时间t密度。然后，对冲策略的成本是ztdszxdy |˙b（t）| I{y>（b（0）-b（t））}Ztq（s，y）ds+ZTdsZxdyq（y，s）{b（0）+[y- （b（0）- b（T））]+}=b（0）+ZTdsZxdyq（y，s）[y]- （b（0）- b（T））]+-ZTsdt˙b（t）I{y>b（0）-b（t）}= b（0）+ztdszdyq（y，s）[y- （b（0）- b（s））]+=φ这仍然需要证明该策略是超级复制的。

为了你∈ Dx（[0，T]）让GT（y，ρ）表示半静态策略的最终收益。然后，使用z（s）=y（s）+b（s）- （x+b（0）），z（s）=b（s）- y(s)- （b（0）- x） 引理6，GT（y，ρ）=b（0）+[|y（T）- x|- （b（0）- b（T））]++ZT |˙b（s）|I{124; y（s）-x |>b（0）-b（s）}ds-Z（ρ，T]dy（s）I{y（s）-)>x+b（0）-b（s）}+Z（ρ，T]dy（s）I{y（s）-)<十、-b（0）+b（s）}≥ b（0）+[y（T）- x|- （b（0）- b（T））]+-Z（ρ，T）˙b（s）I{y（s）-)-x |>b（0）-b（s）}ds-Z（ρ，T]dy（s）I{y（s）-)>x+b（0）-b（s）}+Z（ρ，T]dy（s）I{y（s）-)<十、-b（0）+b（s）}=b（0）+z（T）+z（T）+-Z（ρ，T]dz（s）I{Z（s）-)>0}-Z（ρ，T]dz（s）I{Z（s）-)>0}≥ b（0）+z（ρ）++z（ρ）+=b（0）+[|y（ρ）- x|- （b（0）- b（ρ））]+≥ |y（ρ）- x |+b（ρ）=a（y（ρ），ρ），其中我们使用z（t）++z（t）+=[|y（t）-x|-（b（0）-b（t））]+。因此，半静态策略是超级复制的。我们已经证明，存在一个一致的模型和一个半静态的超级复制策略，模型价格和超级复制策略的成本是一致的。因此，我们找到了最高的型号价格和最便宜的超级应用策略。6结论为了深入了解美国索赔在一系列密切相关的对冲工具（欧洲期权）存在下的潜在价值，本文开发了一种计算索赔最大可能价值的方法。本文的主要信息是，美式期权的大部分价值来自模型的不确定性，以及美式期权持有人在不确定性得到解决时调整其策略的能力，这是欧洲期权持有人所不具备的可能性。在过滤是价格过程的自然过滤的模型中，不可能捕捉到关于未来回报分布的信念的演变，为了捕捉美式期权的全部价值，有必要与更一般的公关机构合作。