关于带风险的保险风险模型的最优红利问题

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收藏 2022-05-11

英文标题：
《On the Optimal Dividend Problem for Insurance Risk Models with
Surplus-Dependent Premiums》
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作者：
Ewa Marciniak and Zbigniew Palmowski
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
This paper concerns an optimal dividend distribution problem for an insurance company with surplus-dependent premium. In the absence of dividend payments, such a risk process is a particular case of so-called piecewise deterministic Markov processes. The control mechanism chooses the size of dividend payments. The objective consists in maximazing the sum of the expected cumulative discounted dividend payments received until the time of ruin and a penalty payment at the time of ruin, which is an increasing function of the size of the shortfall at ruin. A complete solution is presented to the corresponding stochastic control problem. We identify the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation and find necessary and sufficient conditions for optimality of a single dividend-band strategy, in terms of particular Gerber-Shiu functions. A number of concrete examples are analyzed.
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中文摘要：
本文研究了一类保险公司的最优股利分配问题。在没有股息支付的情况下，这种风险过程是所谓的分段确定性马尔可夫过程的特例。控制机制选择股息支付的规模。目标在于使破产前收到的预期累计贴现股息支付和破产时的罚金支付之和最大化，这是破产时短缺规模的递增函数。给出了相应的随机控制问题的完整解。我们确定了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并根据特定的Gerber-Shiu函数，找到了单红利带策略最优性的充分必要条件。分析了若干具体实例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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On_the_Optimal_Dividend_Problem_for_Insurance_Risk_Models_with_Surplus-Dependent.pdf
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mingdashike22

2022-5-11 06:03:12

Noname手稿第号（将由编辑插入）关于具有额外相依保费的保险风险模型的最优红利问题Marciniak·Zbignie w PalmowskiReceived:date/Accepted:date摘要本文研究了具有剩余相依保费的保险公司的最优红利分配问题。在没有股息支付的情况下，这种风险过程是所谓的分段确定性马尔可夫过程的特例。控制机制选择股息支付的规模。目标在于最大化破产前收到的预期累计预期股息支付和破产时的罚款支付之和，这是破产时短缺规模的一个递增函数。对相应的随机控制问题给出了一个完整的解。我们确定了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并根据特定的Gerber-Shiu函数，找到了单红利带策略最优性的必要和充分条件。分析了若干具体实例。关键词最优策略 PDMP 障碍策略积分微分HJB方程Gerber-Shiu函数随机控制数学学科i类职位（2010）60G51、60G50、60K25、93E20Ewa Marciniakah科学技术大学克拉科夫PolandZbigniew Palmowski，相应作者Wroc LawRoc law大学，PolandE邮件：zbigniew。palmowski@gmail.com2Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowski1引言在经典的集体风险理论中，保险公司的盈余是由Cram’erLundberg模型描述的。

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kedemingshi

2022-5-11 06:03:15

在单位时间保费收入大于平均索赔额的假设下，克拉姆-隆伯格模型中的盈余具有正的第一时刻，因此具有不现实的性质，即它以概率1收敛。为了回应这一反对意见，德·费内蒂[1]引入了股息壁垒模型，在该模型中，所有高于a级的额外收益都被转移到了一个收益中，并提出了优化这一壁垒的问题。在数学金融和精算文献中，有大量关于分割障碍模型的工作，以及寻找支付股息的最优政策的问题。Gerber和Shiu[2]以及Jeanblanc和Shiryaev[3]考虑了布朗环境下的最优红利问题。Irb–ack[4]和Zhou[5]的研究一直存在障碍。Asmussen等人[6]在不同的背景下调查超额损失再保险和股息分配政策。Azcue和Muler[7]采用粘性方法，使用HamiltonJacobi-Be-llman（HJB）方程组，在Cram＠er-Lundberg模型中研究最优再保险和股息政策。Avram等人[8,9]、Kyprianou和Palmowski[11]、Loe ff en[12,13]、Loe ff en和Renaud[14]以及许多其他作者从概率的角度分析了Levy风险过程的设置。在本文中，我们将使用分段确定马尔可夫过程（PDMP）的理论来研究储备相关风险过程的红利问题。我们还考虑了破产的“严重性”，因此我们考虑了所谓的Gerber-Shiu惩罚函数（参见Schmidli[15]或Avram等人[9]及其参考文献）。对于这种设置，在没有交易成本的情况下，我们找到了正确的HJB系统。我们分析了障碍策略，对于该策略，超过给定水平的所有盈余都被转移到股息中。

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nandehutu2022

2022-5-11 06:03:18

特别是，我们发现了障碍策略优化的必要条件和充分条件。我们认为，PDMP模型可以更好地描述保险公司的情况，因为例如，他们可以将盈余投资到固定利率的债券中。这种情况由具有线性溢价的PDMP模型描述（见[10]）。关于具有剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，本文组织如下。在第2节中，我们将介绍基本符号，并描述我们处理的模型。第三部分专门讨论相关的单边和双边问题。在第4节中，我们给出了验证定理，以及屏障策略达到最优的必要条件和充分条件。在第6节中，我们给出了所有的证明。第5节和第7节介绍了一些例子和结论。2在本文中，我们假设初始资本为x的保险公司（不支付股息）的盈余R由以下微分方程描述：Rt=x+Ztp（Rs）ds-N（t）Xk=1Ck，（1）其中p是给定的确定性正溢价函数，{Ck}∞i=1是一系列i.i.d.正态变量，其中d.f.代表索赔，N是一个独立的泊松过程，强度λ模拟索赔发生的时间。我们假设→ ∞ a、美国、欧盟∞ 对于一般索赔C，保险费率p是单调的、绝对连续的，并且满足以下“速度条件”：Z∞E-qtp（rxt）dt≤ 对于某些常数A，B，Ax+B（2）≥ 0和一个函数rx，使方程rxt=x+Ztp（rxs）ds满意。（3）请注意，RxD描述了R的确定轨迹，沿该轨迹没有出现任何声明。备注2.1常数和线性保费函数满足上述假设。

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大多数88

2022-5-11 06:03:22

对于恒常极值函数，我们得到了经典的克拉姆-伦德伯格模型。4 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowskit为了研究红利问题，我们考虑了满足以下随机微分方程的调节风险过程：Xπt=X+Ztp（Xπs）ds-N（t）Xk=1Ck- Lπt，（4）其中π表示从所有“可接受”股息控制的∏类中选择的策略，导致截至时间t的累计股息金额Lπt。请注意，破产可能是外生的，也可能是内生的（即，由索赔或股息支付引起）。如果破产总是外生的，或者更准确地说，是一个可容许的红利策略Lπ={Lπt，t，则红利策略y是可容许的∈ R+}是一个完全连续的随机过程，它适应于满足通常条件的风险过程R的自然过滤，因此，在破产纪元之前的任何时候，股息支付都小于可用准备金的规模（Lπt- Lπt-< Xπt-).利息对象是截至破产时间的贴现累计股息：D（π）：=ZTπe-qtdLπt，其中tπ：=inf{t≥ 0:Xπt<0}是破产时间和q≥ 0是给定的折扣率。注意，unlessit是必要的，我们将写T而不是Tπ来简化符号。目标是最大化eexd（π），其中Exis是关于Px（·）=P（·| Xπ=X）的期望。

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mingdashike22

2022-5-11 06:03:25

我们将使用符号P=P和E=E。为了考虑破产的“严重性”，我们还考虑了所谓的Ger ber Shiu惩罚函数[E]-qTw（XπT）I{T<∞}]对于满足可积条件的一般非正惩罚函数≥0E[-w（y）- C） |C>y]<∞.请注意，对于q=0和w=-1我们推导了破产概率。关于具有剩余相依保费5的保险风险模型的最优红利问题，红利问题包括找到由v（x）：=supπ给出的所谓价值函数v∈其中vπ（x）：=Ex中兴通讯-qtdLπt+e-qTw（XπT）I{T<∞}（6）以及最优策略π*∈ 使v（x）=vπ*（x）为了所有的x≥ 0.3准备对于红利问题的解决，两个函数WQ和Gq，w是至关重要的。它们与R:Exhe的双边和单边退出问题有关-qτ+aI{τ+a<τ-}i=Wq（x）Wq（a），（7）Gq，w（x）：=Exhe-qτ-w（Rτ）-)I{τ-<∞}i、（8）其中x∈]0，a[，τ+a:=inf{t≥ 0:Rt≥ a} 和τ-:= inf{t≥ 0:Rt<0}。从现在开始，我们将假设函数Wq的存在性，例如，它遵循以下极限的存在性：Wq（x）=limy→∞例如-qτ+yI{τ+y<τ-}]/E[E]-qτ+yI{τ+y<τ-}].

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mingdashike22

2022-5-11 06:03:28

实际上，利用只有负跳跃的强马尔可夫性质，我们推导出wq（x）=limy→∞告密-qτ+aI{τ+a<τ-}哎呀-qτ+aI{τ+y<τ-}耶-qτ+yI{τ+y<τ-}i=Exhe-qτ+aI{τ+a<τ-}iWq（a），它给出了所需的标识（7）。关于Gq函数的性质，请读者参考[18]，其中研究了许多例子。6 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowski4主要结果为了证明dividendproblem（5）的所有可容许策略∏中一个特定策略∏的最优性，我们考虑以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）系统：max{Am（x）- qm（x），1- m′（x）}≤ 0表示所有x>0，m（x）=w（x）表示所有x<0，（9）其中A是r的完整生成器，Am（x）=p（x）m′（x）+λZ∞（m（x）- y）- m（x））dF（y），作用于绝对连续函数m，使得Xσi≤t | m（Rσi）- m（Rσi）-)|< ∞ 无论如何≥ 0，其中{σi}i∈N∪{0}表示索赔发生的时间（见Davis[16]和Rolski等人[17]）。在这种情况下，m′表示m的密度。请注意，任何绝对连续且最终由一个函数支配的函数都在完整生成器a的域中，这是假设EC<∞. 回想一下，对于A域中的任何函数m，pro c essE-qtm（Rt）-中兴通讯-qs（A）- q） m（Rs）ds，t≥ 0这是一个鞅。定理4.1（验证定理）假设π是一个可容许的红利策略，使得vπ是绝对连续的，最终由某个函数控制。

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mingdashike22

2022-5-11 06:03:31

如果（9）对vπ成立，那么vπ（x）=v（x）对所有x成立≥ 这里给出的所有定理的证明将在第6节给出。引理4.1假设索赔额的分布函数（d.f.）f是绝对连续的。那么函数wqa和Gq对于所有x都是连续可差的≥ 0.关于具有剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，从现在起，我们假设索赔额分布是密度为f的绝对连续的。我们将重点讨论所谓的壁垒政策π，即将高于给定a级的所有盈余转移到不同地区。定理4.2我们haveva（x）：=vπa（x）=Wq（x）W′q（a）（1）- G′q，w（a））+Gq，w（x），x≤ a、 x- a+va（a），x>a.（10）此外，对于所有x，VAI都是连续可微的≥ 0.LetH′q（y）：=1- G′q，w（y）w′q（y）。现在确定最佳股息基础bya的候选人*:= 啜饮A.≥ 0:H′q（a）≥ 所有x的H′q（x）≥ 0, （11）其中H′q（0）=limx↓0H′q（x）。最后，利用上述两个定理，我们可以给出barr-ier策略最优的必要和充分条件。定理4.3势垒策略下的值函数πa*在全世代的范围内。壁垒政策πa*是最优的和va*（x） =v（x）表示所有x≥ 0当且仅当（A）- q）弗吉尼亚州*（十）≤ 0表示所有x>a*. （12）定理4.4假设H′q（a）≥ H′q（b）表示所有a*≤ A.≤ b、（13）然后是在一个*是最优的，即v（x）=va*（x）为了所有的x≥ 0.8 Ewa Marciniak，Zbigniew PalmowskiTheorem 4.5假设f是凸的，p是凹的。然后在一个*是最优的，即v（x）=va*（x）为了所有的x≥ 定理4.6考虑没有罚函数（w）的问题≡ 0). 假设f是递减的，p′（x）≤ q+λ，x≥ A.*,其中p′是保险费率p的密度。

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mingdashike22

2022-5-11 06:03:34

然后在一个*是最优的，即v（x）=va*（x）为了所有的x≥ 0.5示例在本节中，我们将假设溢价函数p是可微分的，并且一般索赔规模是具有有理拉普拉斯变换的密度f。也就是说，存在m∈ N和常数{βi}m-1i=0，使密度f满足以下矿脉：Lddyf（y）=0，初始条件为f（k）（0）=0（k=0，…，m- 2）式中，l（x）=xm+βm-1xm-1+ · · · + β.注意，根据定理4.5，如果我们取p凹，那么对于指数级的laim大小，势垒策略是最优的（在这种情况下，L（x）=x+u）。根据引理4.1及其证明，如果索赔规模分布是绝对连续的，那么Wq，Gq，wand va*是可区分的，并且对于x是可满足的wq（x）=qWq（x）≥ 0，Wq（x）=0表示x<0，（14）andAGq，w（x）=qGq，w（x）表示x≥ 0，Gq，w（x）=w（x）表示x<0。（15）关于具有剩余相关保费的保险风险模型的最优红利问题9，我们的目标是找到几个保费函数示例的价值函数v。Gerber-Shiufunction Gq，WWA在Albrecher等人[18]中确定。我们可以证明，如果Gq，wis是可微的，那么实际上Gq，w∈ 厘米+1（见[17]）。Wq也是如此。Albr echer等人[18]证明，Gq，wsatis通过m+1阶可变系数确定了以下矿脉：TGq，w（x）=u（x）（16），使用不同的运算符：ddxQ- p（x）ddx+λ- λβ和右手边u（x）：=λLddxω（x），其中ω（x）：=R∞xw（x- z） dF（z）。一般来说，求解上述方程的主要思想是找到（16）的基本系统的稳定解Sk（即在单位消失的解），然后使用表示式Gq，w（x）=γs（x）+···+γmsm（x）+Gu（x），其中G是格林算子，常数γ可以从初始条件计算得出。此外，格林算子的形式见[18，Thm]。

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大多数88

2022-5-11 06:03:39

3.4].如果索赔金额呈指数分布且强度为u，则我们可以证明Gq、Wsolvest的ODE如下：ddu+u+p′（x）p（x）-λ+qp（x）ddu-qup（x）Gq，w（x）=u（x），其中u（x）=-λp（x）（ddu+u）ω（x）。这让我们可以明确地找到Gq。此外，请注意（14）是一个Gerber-Shiu函数，带有z-ero惩罚函数。与（7）中的theone不同，我们现在有limx→∞Wq（x）=+∞. 这意味着，在10 Ewa Marciniak、Zbigniew Palmowskimild条件下的最优值函数是两个Ge-rber-Shiu函数的线性组合：一个不稳定的函数在负半直线上消失，并趋于一致（对应于股息支付，Wqinour符号），另一个稳定的函数，最终消失（对应于罚金支付、Gq、winour符号）。从[18]我们知道Wqequals是（16）基本系统的不稳定解。可以证明存在唯一的不稳定解（详见[18]）。在本节的其余部分中，我们将假设索赔规模具有指数分布，强度为u.5.1线性PremiumWe ta ke这里p（x）=c+x。根据定理4.5，在*这是最优的。在这种情况下（x）=Uq+1，λ+q+1，ux+uc（x+c）（λ+q）/exp(-ux）和gu（x）=Γ（q/+1）Γ（（q+λ）/（1+））u（λ+q）/（x+c）（λ+q）/exp(-ux-uc）×- U（x）ZxM（v）U（v）dv- M（x）Z∞xU（v）u（v）dv+M（0）u（0）u（x）Z∞U（v）U（v）dv,其中U（U）和M（U）是Kummer函数。这就给出了q，w（x）=s（x）+Gu（x）代表u（x）=-λp（x）（ddu+u）ω（x）。此外，Wq（x）=CMq+1，λ+q+1，ux+uc（x+c）（λ+q）/exp(-ux）+CUq+1，λ+q+1，ux+uc（x+c）（λ+q）/exp(-ux），由边界条件Wq（0）=1和W′q（0）=（λ+q）/c确定c。关于具有剩余相依保费11的保险风险模型的最优红利问题，因此我们可以找到最优屏障a*通过求解H′q（a*) = 0

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nandehutu2022

2022-5-11 06:03:42

在没有幂函数的情况下，即当w（x）=0时，我们可以对a的值进行一些数值分析*.在表1、2和3中，我们给出了a的一些值*对于不同的参数。表1 q对a的依赖性*.u = 0.3, = 0. 02，λ=0.1，c=1q 0.025 0.03 0.04 0.05 0.06a*17.82 13.42 8.42 5.33 3.18表2u与*.q=0.05，=0.02，λ=0.1，c=1u0.25 0.30.40.50.6 1.1a*3.97 5.33 5.92 5.7 5.3 3.72表3λ对a的依赖性*.u=0.3，q=0.05，=0.02，c=1λ0.05 0.12 0.15 0.17 0.2a*4.84 5.03 4.08 3.1 1.075.2合理保费在本小节中，我们考虑p（x）=c+1/（1+x）的合理保费。可以解方程（14）并找到函数Wq。如果我们拿w≡ 然后，为了使用REM 4.6获得屏障策略的最优性，我们将使用≤ q+λ。因此，在没有惩罚函数的情况下，我们可以找到*对于不同的参数。在表4、表5和表6中，我们给出了在合理溢价的情况下的一些结果。表4 q对a的依赖性*.u=0.3，λ=0.1，c=1q 0.005 0.01 0.015 0.02a*37.03 23.98 17.16 12.77表5 q对a的依赖性*.q=0.01，λ=0.1，c=1u0.15 0.20.25 0.3a*0 23.98 22.39 20.05表6λ对a的依赖性*.q=0.01，u=0.3，c=1λ0.05 0.12 0.15 0.2 0.25a*17.73 20.55 20.8 19.16 13.29注意*似乎在线性保费和理性保费示例中都具有类似的属性。12埃瓦·马西尼亚克，兹比格纽·帕尔莫夫斯基6号职业选手。1验证定理的证明4.1证明基于v作为HJ B方程一类“受控”超解的逐点最小值的表示。

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可人4

2022-5-11 06:03:46

我们认为价值函数满足动态规划方程。引理6.1当x<0时，将v t扩展到负半轴v（x）=w（x）后，对于任意停止时间τ，v（x）=supπ∈πExE-qτ∧Tv（Xπτ）∧T） +Zτ∧Te-qtdLπt.接下来是对经典论点的直接改编（参见[7，第276-277页]）。我们将证明v是HJB方程的上解。引理6.2过程vπt:=e-q（t）∧ T）v（XπT∧T） +Zt∧Te-qsdLπs（17）是一致可积（UI）超鞅。任意π的证明∈ π，x≥ 0和s，t≥ s<t时为0。过程Vπ为Ft可测量，且为isUI。实际上，通过引理6.1，我们得到了[Vπt]≤ supπ∈πExE-q（t）∧ T）v（XπT∧T） +Zt∧Te-qsdLπs= v（x）。现在通过部分积分，w a的非正性和非外生破产假设V（x）≤ 前任Z∞量化宽松-QSRXSD≤ x+Z∞E-qtp（rxt）dt≤ （A+1）x+B，（18）其中（3）中给出的函数Rx满足（2）。关于具有剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，设Wπt为以下值过程：Wπs:=ess sup)∈πsJπs，Jπs:=EZT∧πe-qudLπu+e-qTπw（XπTπ）财政司司长, （19） πs：=π=（π，π）={Lπ，πu，u≥ 0} :π ∈ Π, Lπ，πu：=Lπu，u∈ [0，s[，Lπs+Lπu]-s（Xπs），u≥ s、其中，Lπ（x）表示与初始资本x相对应的策略π的累积红利过程。Vπ是超鞅的事实是以下P-a.s.关系的直接结果：（a）Vπs=Wπs，（b）Wπs≥ E[Wπt|Fs]，其中Wπ是（19）中定义的过程。点（b）后面是经典参数，因为{J!πt，!π∈ 随机变量的∏t}是向上的；详见Neveu[19]和Avram等人[9，Lem.3.1（ii）]。为了证明（a），需要注意的是，由于Xπ的马尔可夫性质，它也遵循了条件on Xπs，{X∧πu- Xπs，u≥ s} 独立于Fs。

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大多数88

2022-5-11 06:03:50

作为一个推论e，以下恒等式适用于集合{s<T!π}:ZT∧πe-qudLπu+e-qTπw（XπTπ）财政司司长= E-qsEXπsZTπe-qudLπu+e-qTπw（XπTπ）+Zse-qudLπs=e-qsvπ（Xπs）+Zse-qudLπu，然后我们有下面的表示：Jπs=e-q（s）∧T）vπ（Xπs）∧T） +Zs∧Te-qudLπu，它完成了对相关策略族取本质上确界的证明。14 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowski我们证明了值函数v是HJB方程的解。我们将用G表示函数G的族，其中，TI:={e-q（t）∧ TI）g（Rt）∧TI），t≥ 0}，TI:=inf{t≥ 0:Rt/∈ 一} ，（20）是任何闭区间I的超鞅 [0, ∞[，诸如此类的g（x）- g（y）x- Y≥ 1代表所有x>y≥ 0，g（x）≥ 对于x<0（21）和g，w（x）通常由一些线性函数控制。引理6.3我们有v∈ G.证明采用不支付任何股息的策略，通过引理6.2，我们发现G=v的过程（20）是一个超鞅。我们将证明v（x）- v（y）≥ 十、- y代表所有x>y≥ 0.设x>y，对于xπ=y的情况，用π（y）表示一个-最优策略。然后我们采用支付x的策略- y立即并随后遵循策略π（y）（注意，这样的策略是可接受的），因此以下情况成立：v（x）≥ 十、- y+vπ（y）≥ v（y）- +x- y、由于该不等式适用于任何>0的情况，因此规定的下限如下。v由某些函数的线性控制遵循m（18）。现在我们给出了闭区间I上的值函数的对偶表示。假设hi是一个函数族k，对于它，πt:=e-q（t）∧ τπI）k（Xπt∧τπI）+Zt∧τπIe-剩余相依保费保险风险模型最优红利问题的qsdLπs（22）是τπI:=inf{t的一个UI超鞅≥ 0:Xπt/∈ 一} andk（x）≥ v（x）代表x/∈ I.Thenv（x）=水貂∈HIk（x）代表x∈ I.（23）的确，le tπ∈ π，k∈ HIand x∈ 我

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能者818

2022-5-11 06:03:53

然后将可选停止定理应用于UI Dynkinmartingale yieldsk（x）≥ 极限→∞前任E-q（τπI）∧t） k（XπτπI）∧t） +ZτπI∧te-qsdLπ（s）≥ 前任E-qτπIv（XπτπI）+ZτπIe-qsdLπ（s）,大会在哪里举行{-∞} = 使用0。在所有π上取上确界∈ πk（x）是怎样的≥ v（x）。自从k∈ 他是武断的，这就是INFK∈HIk（x）≥ v（x）。这个不等式实际上是一个等式，因为v是HIby引理6.2的成员。价值函数是验证定理4.1的一个更重要的表示形式。建议6.1我们有v（x）=ming∈Gg（x）。（24）自v.以来的证据∈ 根据引理6.3，由（23）证明 H[0，∞这个事实的证明类似于移位引理的证明[9，Lem.5.5]。为了完整性，我们给出了ma脚背。固定套利y g∈ G、 π∈ π和s，t≥ 注意，fmg，π是由引理6.2证明中的线性增长条件和参数以及[9，第8节]调整和使用的。此外，16个Ewa Marciniak、Zbignew Palmowski的等式都是正确的：EfMg，πt财政司司长∧T（a） =林→∞EfMg，πnt财政司司长∧T（b）≤ 画→∞fMg，πns∧T（c）=fMg，πs∧T（d）=fMg，πs，其中序列（πn）n∈Nof策略由πn={Lπnt，t定义≥ 0}带Lπn=Lπ和Lπnu：=sup{Lπv:v<u，v∈ Tn}，0<u<T，LπnT-, U≥ T、 Tn:=tk:=s+（t- s） kn，k∈ Z∪ {0}∩ R+，其中上述T是针对策略π计算的。由于s和t是任意的，因此，fMg，π是超鞅，这将完成证明。点（a）、（c）和（d）遵循单调收敛和支配收敛定理。

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kedemingshi

2022-5-11 06:03:57

为了证明（b），让Ti:=T∧ ti，表示fmg，πn=M，Lπn=L，并观察- Ms=nXi=1Yi+nXi=1Zi，其中yi=e-qTigXTi-- E-qTi-1g（XTi）-1），Zi:=e-qTi（g（XTi）- g（XTi）-) + LTi）我{LTi>0}。R的强Markov性质与Xπ内隐[Yi | FTi]的定义-1] =e-qTi-1EE-q（Ti）-钛-1） g（XTi）-) - g（XTi）-1)FTi-1.= E-qTi-1EXTi-1[e]-qτig（Rτi）- g（R）]，（25），其中τi:=Tio θTi-1，其中θ表示移位运算符。（25）的右侧是非正的，因为∈ G.此外，从（21）可以看出，所有的Zi都是非正的。具有条件经验的剩余相依保费17的保险风险模型的最优红利问题的塔性质[Mt]- Ms | Fs]≤ 这建立了不等式（b），证明是完整的。验证定理4.1的证明。由于vπ是绝对连续的，并且由一个函数控制，因此vπ在R的完全生成元的域中。这意味着过程vπ（Rt∧TI）e-Rt∧TIAvπ（Rs）vπ（Rs）ds是任意闭区间I的鞅∈ [0, ∞由（9）可知vπ∈ G、这就完成了屋顶。6.2引理的证明4.1取任意x≥ 0.然后fix a>0，使得x<a。根据（7）中给出的wq定义，在第一次索赔到达时间σ的条件下，我们得到wq（x）=e-（λ+q）hWq（rxh）+λZhZrxtWq（rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt，（26）对于足够小的h，使得rxh<a.作为h↓ 0我们发现WQI在x处是连续的。此外，重新排列（26）中的项会导致toWq（rxh）- Wq（x）rxh- x=1- E-（λ+q）hhhrxh- xWq（rxh）-hrxh- xλhZhZrxtWq（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt。让h↓ 0我们得出结论，WQI的右可微性与导数ew′q，+（x）=p（x）（λ+q）Wq（x）- λZxWq（x- z） dF（z）. （27）18 Ewa Marciniak，Zbigniew PalmowskiNow取任意x>0。方程（26）可以改写为Wq（~rx）=e-（λ+q）hWq（x）+λZhZ~rxtWq（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt，式中rxis是向后方程drxt=p（rxs）ds，~rxh=x的解。

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nandehutu2022

2022-5-11 06:04:00

我们把h取得足够小，所以≥ 因此我们得到了左连续性和wq（x）- Wq（~rx）x- ~rx=1- E-（λ+q）hhx- ~rxWq（x）-hx- ~rxλhZhZ~rxtWq（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt。让h↓ 0我们看到WQI与导数ew′q是可微分的，-（x） =p（x）（λ+q）Wq（x）- λZx-Wq（x）- z） dF（z）. （28）由于F是绝对连续的，（27）和（28）意味着WQI持续可区分和可满足（14）。使用相同的论据和定义（8），我们可以证明函数Gq是连续可微分和可满足的（15）。这就完成了证明。6.3关于势垒策略的值函数，注意，对于势垒策略，直到第一次击中势垒a，受调节的过程Xπ与过程R类似。通过PDMP RTA的强马尔可夫性，对于X为（7）∈ [0，a]我们有va（x）=Wq（x）Wq（a）va（a）+ExE-qτ-w（Rτ）-)I{τ-<τ+a}.此外，我们再次证明了强马尔可夫性，我们可以导出E-qτ-w（Rτ）-)I{τ-<τ+a}= Gq，w（x）- Gq，w（a）Wq（x）Wq（a）。亨塞瓦（x）=Wq（x）Wq（a）（va（a）- Gq，w（a））+Gq，w（x）。（29）关于具有剩余相依保费19的保险风险模型的最优红利问题，我们将证明v′a（a）=1，（30），定理4.2的断言紧随其后。注意，对于障碍策略y a，我们有va（x）=x- a+va（a）表示x>a.（31）取任意a>0和x∈ [0，a[.根据（6）和固定a中对vagiven的定义，以首次索赔到达时间σ为条件，我们得出Va（x）=e-（λ+q）hva（rxh）+λZhZrxtva（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt+λZhZ∞rxtw（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt，（32），其中h足够小（因此rxh∈]0，a[）。让h↓ 0我们发现VAI在所有x上都是右连续的∈ [0，a[。

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nandehutu2022

2022-5-11 06:04:04

此外，重新排列（32）中的术语会导致Va（rxh）- va（x）rxh- x=1- E-（λ+q）hhhrxh- xva（rxh）-hrxh- xλhZhZrxtva（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt+hrxh- xλhZhZ∞rxtw（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt。让h↓ 我们得出结论，Vai在[0，a]上是右可微的，导数满足p（x）v′a，+（x）=（λ+q）va（x）- λZxva（x- z） dF（z）- λZ∞xw（x- z） dF（z）。（33）现在取任意一个x∈]0，a]。方程（32）可以重写为asva（~rx）=e-（λ+q）hva（x）+λZhZ~rxtva（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt+λZhZ∞~rxtw（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt，20 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowski，其中rxis是后向方程drxt=p（rxs）ds，rxh=x的解。我们把h取得足够小，所以rx≥ 因此我们得到[0，a]和va（x）的左连续性- va（~rxh）x- ~rxh=1- E-（λ+q）hhx- ~rxhva（~rxh）-hx- ~rxhλhZhZ~rxtva（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt+hx- ~rxhλhZhZ∞~rxtw（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt。让h↓ 0我们推断vais在[0，a]上是可微的，有导数ep（x）v′a，-（x） =（λ+q）va（x）- λZx-va（x）- z） dF（z）- λZ∞十、-w（x）- z） dF（z）。（34）在假设F是绝对连续的情况下，函数va在[0，a]上是可微分的。[现在我们将证明它在x=a时是可微分的。取x=a。然后从va的定义出发，对于x=a，以我们获得的第一次索赔到达时间va（a）=e为条件-（q+λ）hva（a）+e-λhZhe-qtp（a）dt+λZhZava（a）- z） dF（z）e-（q+λ）tdt+λZhZ∞啊（a）- z） dF（z）e-（q+λ）tdt+λp（a）ZhZte-qse-λtds dt。（35）区分（35）分辨率为h，设置h=0 g ives0=-（λ+q）va（a）+λZav（a）- z） dF（z）+λz∞啊（a）- z） dF（z）+p（a）。（36）通过在（34）中设置x=a，并使用（36）得到v′a，-（a） =1。这与（31）一起证明了a和（30）处的vahasa导数成立。6.4障碍策略最优性的必要和充分条件证明定理4.3的证明。为了证明效率，我们需要证明va*满足验证定理4.1的条件。

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mingdashike22

2022-5-11 06:04:08

从定理4.2可以看出*最终是线性的。此外，通过选择最佳屏障a*我们知道v\'a*（十）≥ 1.最后，通过定义wqa和Gq，讨论了具有剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，并证明了风险过程R的强马尔可夫性质-q（t）∧ T）Wq（Rt）∧T∧τ+a*), E-q（t）∧ T）Gq，w（Rt）∧T）是鞅。亨西-q（t）∧ T）弗吉尼亚州*（Rt）∧T∧τ+a*)这是一杯马丁酒。这意味着弗吉尼亚*在退出[0，a]时停止的R的完整ge发电机的域中*] 那（A）- q）弗吉尼亚州*（x） =0代表x≤ A.*.为了证明必要性，我们假设函数X 7的连续性不满足条件（12）→ （A）- q）弗吉尼亚州*（x）存在一个开且有界的区间J]A.*, ∞例如：（A）- q）弗吉尼亚州*（x） >0表示所有x∈ J.如果储备过程sxπ取J中的一个值，则设π为不支付任何费用的策略，并遵循策略πa*否则如果我们延长va*到负半轴*（x） =w（x）当x<0时，我们有vπ（x）=例如-qTJva*（RTJ）]，x∈ J、弗吉尼亚州*（x），x 6∈ J、其中TJI由（20）定义。通过应用于过程e的可选停止定理-qtva*（Rt），对于所有x∈ J、我们得到vπ（x）=Ex[e-qTJva*（RTJ）]=va*（x） +前ZTJ（A）- q）弗吉尼亚州*（Rs）ds> 弗吉尼亚州*（x）。这导致了与s策略πa的最优性相矛盾*证据是完整的。定理4.4的证明。在第一步中，我们将展示Limy↑x（A）- q）（弗吉尼亚州）*- vx）（y）≤ 0表示所有x>a*. （37）22 Ewa Marciniak，Zbigniew PalmowskiLet x>a*. 利用支配收敛定理，我们得到↑x（A）- q）（弗吉尼亚州）*- vx）（y）=p（x）（v′a*- v′x）（x）- q（va）*- vx）（x）+Z∞[（弗吉尼亚州）*- vx）（x- z）- （弗吉尼亚州）*- vx）（x）]λF（dz）。到（10）时，我们有：i.（v′a）*- v′x）（x）=0。二、（v′a*- v′x（b）=W′q（b）H′q（a）*) - H′q（x）≥ 0代表b∈ [0，a]*] 通过定义*.iii.（v′a）*- v′x（u）=W′q（u）H′q（u）- H′q（x）≥ 0代表你∈ [a]*, x] 根据假设（13）。四、

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kedemingshi

2022-5-11 06:04:11

（弗吉尼亚州）*- vx）（a）*) ≥ 0，因此由iii（va）得出*- vx）（x）≥ 0.v.（弗吉尼亚州）*- vx）（x- z）≤ （弗吉尼亚州）*- vx）（x）代表所有z≥ 由ii和iii得出的0。因此，我们已经展示了（37）。现在假设（12）不成立。然后存在x>a*以致于- q）弗吉尼亚州*（x） >0。通过（A）的连续性- q）弗吉尼亚州*我们推断出limy↑x（A）- q） vx（y）>0，这与（37）相矛盾。定理4.5的证明。根据定理4.3，证明va的最优性*我们需要验证g（x）≤ 0代表x>a*, 式中g（x）：=Ava*（十）- qva*（x）。（38）回想一下G（x+a）*) = p（x+a）*) - qva*（a）*) - qx+λZ∞（弗吉尼亚州）*（x+a）*- y）- 弗吉尼亚州*（x+a）*))f（y）dy.一旦验证了以下三个事实，期望的断言就会出现：（i）g在R+\\{0}上是凹的，（ii）g（a）*) = 0和（iii）g′（a）*) = 0.关于剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，证明（i）对于所有x，g（x）=0≤ A.*（见第4.3款的证明）。此外，表示k（x，y）：=va*（x+a）*- y）- 弗吉尼亚州*（x+a）*) 注意到xk（x，y）=yk（x，y），我们有xZ∞k（x，y）f（y）dy=Z∞yk（x，y）f（y）dy=yk（x，y）f（y）|∞- k（x，y）|∞+Z∞k（x，y）f′（y）dy≤ 自弗吉尼亚州以来*（x+a）*- y）- vx+a*（a）*) ≤ 0，f′（y）≥ 0,yk（x，0）=v′a*（x+a*) = 1和f（0）=0。第（ii）点很简单，第（iii）点来自于任意x<a的g′（x）=0这一事实*g是连续可微分的。定理4.6的证明。让g定义为（38）。回想一下，通过定义*我们有g（a）*) = 0.对于x≥ A.*我们有g′（x）=p′（x）+λZxva*（y） f′（x）- y） dy- （q+λ）。注意，在w的情况下≡ 0，vx≥ 0代表所有x≥ 因此，假设g′（x）≤ 0代表x≥ 0和定理4.3策略πa*这是最优的。7结论在本文中，我们解决了破产时带有惩罚函数的红利问题。我们发现了一些使屏障策略达到最优的充分条件和必要条件。不幸的是，其中一些，如（12）和（13），可能很难验证。

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能者818

2022-5-11 06:04:16

此外，我们只分析了d单障碍策略。因此，可以考虑“多波段战略”（见[9]）。考虑增加支付股息时必须支付的固定交易成本的影响也很有趣。下一步，我们有理由研究所谓的“双重模型”，即负溢价函数和正跳跃。在这种模型中，保费被视为成本，索赔被视为利润。这种模型可能适用于专门从事发明和发现的公司（见[20]）。然而，我们将这些观点留给未来的研究。24 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowskia承认这项工作部分得到了国家科学中心2013/09/B/ST1/01778号拨款的支持。第二作者衷心感谢第七届欧洲共同体框架计划中的玛丽·居里·伊尔斯研究金项目REVER-318984的部分支持。参考文献1。德费内蒂，B.，苏恩·恩帕塔齐奥·德拉特奥里亚·科莱蒂瓦·德尔里希奥，Trans。实习医生。《国会法案》，2433–443（1957）2。《最优股息：布朗运动分析》，北美精算杂志，8，1-20，（2004）3。Jeanblanc，M.和Shiryaev，A.N.，股息流动的优化，俄罗斯数学。调查，50257-277（1995）4。Irb–ack，J.，《具有高红利壁垒的风险过程的渐近理论》，Scand。精算杂志，297-118（2003）5。Zhou，X.，关于具有恒定股息壁垒的经典风险模型，北美精算杂志，9,1–14（2005）6。Asmussen，S.，Hojgaard，B.和Taksar，M.，最优风险控制和股息分配政策。保险公司Finance Stoch的超额损失再保险示例。，4, 299–324 (2000)7. 阿兹库，P。

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能者818

2022-5-11 06:04:19

和Muler，N.，克拉姆-伦德伯格模型中的最优再保险和股息分配政策，数学金融，15261–308（2005）8。Avram，F.，Palmowski，Z.和Pistorius，M.R.，关于谱负L′evy过程的最优红利问题，Ann。阿普尔。Probab。，17, 156–180 (2007)9. Avram，F.，Palmowski，Z.和Pistorius，M.R.，关于存在惩罚函数的Gerber-Shiu函数和Alevy风险过程的最优股息分配，Ann。阿普尔。Probab。，出现在2014年第10期。塞格达尔，C.¨Uber einige risikotheoretische Fragestellungen，Skandinavisk Aktuartidsskrift，25,43–83（1942）11。Kyprianou，A.和Palmowski，Z.，《一般L’evy保险风险过程中De Finetti红利问题的分布研究》，J.Appl。Probab。，44, 428–443 (2007)12. Loe Offen，R.，关于谱负L’evy过程的de Finetti红利问题中障碍策略的最优性，Ann。阿普尔。Probab。，18, 1669–1680 (2008)13. 罗夫恩，R.，《带交易成本的光谱负列维过程最优红利问题》，保险：数学与经济学，45,41–48（2009）14。Loe ffen，R.和Renaud，J-F.，De Finetti的最优红利问题，破产时具有一个有效的惩罚函数。，《保险：数学与经济学》，46，98–108（2009）15。施密德利，H.，保险中的随机控制，斯普林格·维拉格，伦敦（2008）16。Davis，M.H.A.，马尔可夫模型和优化，统计学和应用概率专著，伦敦查普曼和霍尔（1993），关于剩余相依保费保险风险模型的最优红利问题2517。Rolski，T.，Schmidli，H.，Schmidt，V.和Teugels J.，保险和金融的随机过程，John Wiley&Sons，Chichester（1999）18。H.阿尔布雷彻，C.康斯坦丁内斯库，Z.帕尔莫夫斯基，G.雷根斯堡。

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mingdashike22

2022-5-11 06:04:22

和Rosenkranz，M.，《具有剩余相依保费的保险风险模型的精确和渐近结果》，暹罗应用数学杂志，73,47–66（2013）19。Neveu，J.，离散参数鞅，北荷兰，阿姆斯特丹（1975）20。Avanzi，B.，Gerber，H.U.，具有差异的双重模型中的最优股息，阿斯汀公报，38653–667（2008）

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