双重风险模型中最优红利的渐近分析

2022-5-10 14:57:58

值函数V（x）表示方程：（1.6）V′（x）=1，对于任意x>b，对于任意x<b，（1.7）- ρV′（x）+λZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy- δV（x）=0，其中V（0）=0。对于x>b，很明显V（x）=x- b+V（b），因此我们可以将其插入（1.7）并获得（1.8）-ρV′（x）-λV（x）+λZb-xV（x+y）p（y）dy+λZ∞B-x（x+y）-b+V（b））p（y）dy-δV（x）=0。通过C-fit，对于x=b，我们有（1.9）- ρ - λV（b）+λZ∞yp（y）dy- δV（b）=0，这给了我们V（b）（1.10）V（b）=λE[Y]- ρδ.继Avanzi等人[4]关于双风险模型中最优红利的开创性工作之后，双风险模型中有许多相关工作。在[3]中，Avanzi等人研究了双重风险模型的红利屏障策略，当红利决策仅周期性做出，但破产仍允许在连续时间发生时。Ng[12]研究了一个双重模型，该模型采用了一种超低股息策略，具有指数级的互斥时间。在其他相关工作中，阿方索等人[1]研究了双重风险模型和经典风险模型之间的联系，并用它们计算了各种利息。C he ung和Drekic[8]在双重风险模型中考虑了股息变动。他们推导出了总贴现股息的积分微分方程，该方程可以通过假设跳跃大小分布具有拉普拉斯变换来明确求解。Rodriguez等人[14]研究的双重风险模型3对假设利润服从阶段型分布的预期贴现股息进行了符号分析。Yang和Sendova[15]推导了Spare-Andersen对偶模型的破产时间的拉普拉斯变换、预期损失红利。

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能者818

2022-5-10 14:58:02

当创新转化为利润存在随机延迟时，对偶风险模型变得时间不均匀，朱[19]研究了破产概率和破产时间分布。最近，Fahim和Zhu[9]考虑了双重风险模型的最优研发投资，以最小化破产概率。[9]中还考虑了对r isky市场指数的额外投资，以及对s状态相关双r isk模型的推广。除了特殊情况，包括Yi，p（y）的概率密度函数是指数函数或指数函数之和，一般来说，（1.5）中定义的值函数V（x）没有封闭形式的公式，最优势垒b也没有封闭公式。在本文中，我们将重点讨论双风险模型中最优分割问题的a辛解。尽管通用问题不适用于封闭形式的公式，但渐近性是非常明确和直观的。他们还提供了有用的见解，帮助我们更好地理解双重风险模型中最优红利问题的本质。对于双风险模型中的最优股利问题，我们知道最优策略是一种障碍策略。但在实践中，sha再持股人更喜欢连续股息收益率，大多数上市公司不使用障碍股息策略。我们将证明，在某些渐近条件下，连续股息收益率策略可以是接近最优的，即使不是完全最优的。本文将在下一节给出所有主要结果，并在附录中给出所有证明。2.主要结果Avanzi等人[4]假设ρ<λE[Y]。在此条件下，Px（τ=∞) > 0和Ex[τ]=∞. 他们还假设δ>0。一般来说，最优值V（x）没有封闭形式的公式。但在某些特殊情况下，例如。

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2022-5-10 14:58:06

当Yi呈指数分布时，可以显式计算最佳值V（x）和最佳势垒b，参见Avanzi等人[4]。来自Avanzi等人[4]等人，当p（y）=νe-νy，我们有（2.1）V（x）=λνerx- esx（ρr+δ）erb- （ρs+δ）esb[0，b]（x）+（V（b）+x- b） 1（b），∞)（x）式中，r，s是（2.2）ρξ+（λ+δ）的解- νρ)ξ - νδ=0，最佳b由（2.3）b=r给出- 苦干srρs+Δρr+δ.在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设s>r，因此从（2.2）中，我们有=-(λ + δ - νρ）+p（λ+δ）- νρ）+4ρνδ2ρ，r=-(λ + δ - νρ) -p（λ+δ）- νρ)+ 4ρνδ2ρ.（2.4）4 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu假设（2.5）ρ≥ λE[Y]，然后Px（τ<∞) = 1，即破产发生的概率为1。直觉上，它说，当你确信公司会破产时，最大限度地向股东支付股息的最佳策略是立即将公司的所有额外收益给予股东。因此，在假设（2.5）的情况下，对于有限水平，我们得出了相同的结论。也就是说，对于任何T>0，（2.6）supD∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#=x。注意，当λ→ 当ρ→ ∞.因此，这两种交感神经是三元的。我们将研究in而不是λ→ ∞渐近性与ρ→ 0渐近性。还要注意，在通常的条件ρ<λE[Y]下，Px（τ=∞) > 0 andEx[τ]=∞. 因此，如果δ=0，那么（2.7）supD∈德克斯ZτdDt= ∞.这是因为我们总是可以选择一种不变的股息支付策略，即Dt≡^D，其中^D>0是一个非常小的正常数，因此ρ+^D<λE[Y]。那么，让^τ是这个财富过程的破产时间，用Dt表示≡^D，我们有^τ<∞ a、 s.和Ex[^τ]=∞. 然后，我们有（2.8）个supD∈德克斯ZτdDt≥^DEx[^τ]=∞.因此，我们预计当δ→ 0，（2.9）supD∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#→ ∞.我们将研究值函数接近单位sδ的速度→ 0

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2022-5-10 14:58:10

这也具有实际意义，因为一般分布的Yi的值函数不产生封闭形式的公式，并且渐近行为在低利率环境中特别有用，因为贴现因子δ的常见选择是让δ=r，其中r>0是无风险利率。当δ=0时，我们已经从（2.7）中看到，值函数是∞.但我们也可以研究有限水平T>0的有限水平n情况。在有限地平线的情况下，（2.10）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#<∞.但从（2.7）可以看出，（2.11）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#→ ∞,作为T→ ∞. 所以我们有兴趣研究这种方法的速度∞ 作为T→ ∞.当δ→ ∞, 从直觉上看，很明显，公司应该立即将所有盈余作为股息支付给股东，因为套利的成本是固定的。双风险模型5t的渐近分析→ 0，几乎没有时间积累新的财富，公司可以支付给股东的几乎是公司的初始财富。总之，在本文中，我们将重点讨论以下一个交感区：（i）小δ区；（ii）大型系统；（iii）小ρ区；（iv）大λ区；（v）大δ区；（六）小T体制。这里我们使用符号V（x；p）来强调值函数V对参数p的依赖性；例如，对于小δ区域，我们使用V（x；δ）。在本文中，标准概念f~ g表示fg等于1。众所周知，如Avanzi等人[4]，最优股息问题（2.12）的最优策略是supD∈德克斯Zτe-δtdDt这是一种障碍策略。但在实践中，对于双重风险模型，大多数公司按季度进行分红，投资者更喜欢连续收益率，而不是障碍红利。

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2022-5-10 14:58:13

我们论文的一个有趣发现是，在许多非强制性制度中，当公司盈余足够大时，人们可以找到一个几乎最优的策略来支付持续股息。我们将介绍的接近最优的策略，在surplus达到一个较大的值，然后开始持续派息之前，不会派息。换句话说，一家初创公司应该等到它成为一家成熟的公司，然后持续派发股息。这与现实世界的数据是一致的。许多高科技公司在成功IPO（首次公开募股）后，仍然是成长型股票，在很长一段时间内不派息，直到它们变得更成熟，或者有时响应大股东和活跃分子的要求，它们开始持续派息，股息收益不变，而且股息收益率通常会逐年小幅持续增长。因此，我们将提出的接近最优的策略更符合真实世界的数据。它还表明，企业界最常见的股息策略可能不是最优的，但至少是接近最优的。更准确地说，我们将近乎最优的股息策略DM定义如下：定义1。策略DM，∈ D在τM:=inf{t之前不支付股息≥ 0:Xt≥ M}，即。

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2022-5-10 14:58:17

该过程在单位时间之前第一次跳到M以上。在τM之后，一个恒定的股息收益率（1-）（λE[Y]-ρ）支付给股东。设τ为过程Xt=x的破产时间- ρt+jt，无股息。以τM<τ为条件，一个恒定的股息收益率（1- ）（λE[Y]- ρ）支付给股东直至破产时间τ，其定义为（2.13）τ：=inf{t>0:Xt≤ 0}，其中（2.14）dXt=-ρdt- (1 - ）（λE[Y]- ρ） dt+dJMt，其中X=Xτ，JMt:=JτM+t- JτM.设τM，为具有红利策略DM，的过程的破产时间。当τM>τ时，我们有τM，=τ，当τM<τ时，我们有τM，=τM+τ。我们将证明，对于小δ、大T和大λ区域，对于足够大的M和足够小的，DM，是最佳的。6阿拉什·法希姆和林炯柱2。1.小δ区。让我们考虑一下这个函数中的小δ渐近性。当利率较低时，这实际上是相关的，这是一个新的环境，例如2008年美国金融危机之后。回想一下λE[Y]>ρsothat Px（τ=∞) > 0和Ex[τ]=∞. 因此，通过考虑常数分割收益率策略，很容易得出（2.15）V（x；δ）=supD∈德克斯Zτe-δtdDt→ ∞, asδ→ 0.我们想看看它的速度有多快∞ asδ→ 0.为了获得一些直觉，让我们首先考虑p（y）=νe的情况-因此，最优值函数和最优势垒有明确的公式。让我们为x重新计算所有这些≤ b、（2.16）V（x；δ）=λνerx- esx（ρr+δ）erb- （ρs+δ）esb，其中r，s由（2.4）给出，最优b由（2.3）给出。因此，作为δ→ 0，我们有→ 0和r→ ν -λρ和b→ ∞.通过定义最优b，我们得到了（2.17）rs（ρr+δ）ebr=（ρs+δ）ebs。这意味着对于x≤ b（2.18）V（x；δ）=λνerx- esx1.-rs（ρr+δ）ebr。注意（2.19）ebr=err-苦干s（ν）-r） r（ν）-（s）=s（ν）- r） r（ν）- （s）rr-s~λρsν（ν）-λρ），asδ→ 0

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2022-5-10 14:58:20

因此，我们有（2.20）V（x；δ）~λ(1 - e（ν）-λρ）x）rν（ρν- λ)λρνν -λρs、 asδ→ 0.注意~νλ-νρδasδ→ 因此，我们得出结论（2.21）limδ→0δV（x；δ）=λ- νρν(1 - e（ν）-λρ）x）。对于一般分布的Yi，我们提供了一些启发式参数。注意，对于优化问题（2.22）V（x；δ）=supD∈德克斯Zτe-δtdDt,最优策略是势垒策略，即（2.23）V′（x；δ）=1，对于任何x>b，对于任何x<b，（2.24）- ρV′（x；δ）+λZ∞[V（x+y；δ）- V（x；δ）]p（y）dy- δV（x；δ）=0，其中V（0；δ）=0。双风险模型7Asδ的渐近分析→ 0，最佳选择→ ∞. 因此，对于固定x，我们有x<< b和V（x；δ）大致满足以下等式：（2.25）- ρV′（x；δ）+λZ∞[V（x+y；δ）- V（x；δ）]p（y）dy=0，其中V（0；δ）=0，得到（2.26）V（x；δ） c（1）- E-αx），其中α是方程的唯一正解：（2.27）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。接下来，让我们确定正常数c。回想一下，对于任何x>b，（2.28）V（x；δ）λE[Y]- ρδ+（x）- b）。这意味着对于x固定的和较大的，V（x；δ）δ~ λE[Y]- ρasδ→ 因此，我们有c=λE[Y]-ρδ和（2.29）limδ→0δV（x；δ）=（λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。事实上，我们可以严格地证明它：定理2。对于小δ，我们有以下渐近结果：（2.30）limδ→0δsupD∈德克斯Zτe-δtdDt= （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。提议3。对于任何ε>0，设δ>0为（2.31）δsupD∈德克斯Zτe-δtdDt- （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）≤ ε.然后，对于足够大的M和足够小的，DM，是εδ最优策略，即（2.32）δExZτe-δtdDM，t- （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）≤ ε.2.2. 大型T型结构。

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2022-5-10 14:58:24

让我们考虑一下这一节中的大t渐近。表示值函数as（2.33）V（x；T）：=supD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#。让我们区分两种情况：δ>0和δ=0。当δ>0时，直观地看，有限视界值函数将收敛到有限视界值函数，即T→ ∞:（2.34）V（x；T）=supD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#→ 苏普德∈德克斯Zτe-δtdDt.实际上，我们可以给出收敛速度的上界，并严格地展示以下结果：8 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu4定理。当s umeδ>0时，我们有（2.35）V（x；T）- 苏普德∈德克斯Zτe-δtdDt≤ （x+λE[Y]T）E-δT+λE[Y]δE-δT。接下来，让我们考虑δ=0的情况，即（2.36）V（x；T）=supD∈德克斯“ZT∧τdDt#。然后，我们预测（2.37）极限→∞V（x；T）T=（λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。稍后我们将严格展示这个结果。在我们继续之前，让我们先给出一些启发性的论证，并获得这个结果背后的一些直觉。请注意，当δ=0时，未来股息的现值不会随着支付时间的变化而衰减。更重要的是，λE[Y]>ρ，因此有一个上升趋势，如果公司持有财富而不是支付股息，那么公司破产的可能性很小。另一方面，我们已经认识到，股息的价值不会随着时间的推移而衰减，因为δ=0，因此，最佳策略是在到期日t之前不支付任何股息，前提是此时公司没有破产。作为T→ ∞, 公司没有破产的概率是最终的生存概率，即1- E-αx.另一方面，忽略破产可能性，通过Dynkin公式，我们可以计算出公司在T时的预期财富为（2.38）Ex[XT]=x+ZTEx[AXs]ds=x+（λE[Y]- ρ） T，其中A是工艺Xt的装置。

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2022-5-10 14:58:27

对于大T，平均λE[Y]- ρ是公司的增长率。因此，我们希望g et（2.39）limT→∞V（x；T）T=（λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。严格的结果如下。定理5。作为T→ ∞, 我们有（2.40）个supD∈德克斯“ZT∧τdDt#=（λE[Y]-ρ)\"(1 - E-αx）T+e-αxxρ- λR∞E-αyyp（y）dy+o（1）#。当δ=0时，最佳策略是在T之前分配任何红利∧ τ. 但在实践中，这并不是很现实。事实上，我们将证明，在盈余达到M水平以上后支付连续除法和收益率的DM，策略几乎是最优的：命题6。对于任何ε>0，让T>0等于（2.41）特苏普德∈DEx“Zτ∧TdDt#- （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）≤ ε.双风险模型9中的渐近分析那么，对于足够大的M和足够小的，DM，是εt最优策略，即（2.42）TEx“Zτ∧TdDM，t#- （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）≤ ε.2.3. 大λ区。让我们考虑一下本节中的大λ渐近。这与该公司拥有巨大增长率和快速扩张时的制度相对应。现在，让我们假设yi是指数分布的，比如p（y）=νe-νy.让我们回忆一下x的情况≥ 我们有（2.43）V（x；λ）=x- b+V（b；λ）。现在是λ→ ∞, 我们很容易从（2.4）中看出→ 0和r→ -∞ 到（2.3）b→ 值函数的渐近性完全由（2.44）V（b；λ）决定~λνδ，asλ→ ∞.更一般地说，我们有（2.45）V（b；λ）~λE[Y]δ，作为λ→ ∞.直觉如下。Asλ→ ∞, 破产概率将趋于零。让我们假设X=X。在任何给定的时间t，经过一个小的时间步长t、预期财富增加到x+（λE[Y]- ρ)t、然后在时间t+t、您立即支付金额（λE[Y]- ρ )然后你就开始了财富x并继续这个过程。让T→ 0，我们得到（2.46）V（x；λ）~ （λE[Y]- ρ） Z∞E-δtdt=λE[Y]- ρδ~λE[Y]δ。定理7。

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2022-5-10 14:58:31

（i）假设δ>0。我们有（2.47）个supD∈德克斯Zτe-δtdDt~λE[Y]δ，作为λ→ ∞.（ii）假设δ>0，对于任何T>0，我们有（2.48）supD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#~λE[Y]δ（1）- E-δT），asλ→ ∞.（iii）假设δ=0，对于任何T>0，我们有（2.49）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#~ λE[Y]T，asλ→ ∞.最优策略总是障碍策略。但在实践中，股东更喜欢连续分红。考虑股息策略DM，从定义1来看，它支付持续股息收益率（1- ）（λE[Y]- ρ）在剩余进程达到M以上之后。我们将证明DM，策略几乎是最优的：命题8。给出定理7中的任何一种情况。对于任何ε>0，存在一些M，>0，使得DM，策略是ελ-最优的。备注9。也可以采用接近最优的离散股息策略，见备注19.10 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU2。4.小ρ区。让我们在本节中考虑小ρ渐近。我们将看到，当ρ=0时，对于任何x>0，（2.50）V（x；ρ）=x+λE[Y]δ。直觉是，当ρ→ 破产概率可以忽略不计，如果δ>0，则将几乎所有盈余立即作为股息分配给股东而不是持有它是最优的。然后，每次盈余增加时，我们都会把盈余作为股息。更准确地说，对于>0，让D成为支付股息x的策略- 在开始时，任何超过的盈余在0时，初始财富x，你给出x- 美元作为股东的股息。然后在过程J，τ（n）的第n次跳跃时，财富增长到Yn+，然后你给Ynas分红。因此，当ρ=0时，（2.51）V（x；ρ）=x+Z∞E-δtλE[Y]dt=x+λE[Y]δ。为了得到更严格的证明，请注意，对于x>b，V（x；ρ）=x- b+V（b；ρ）。回想一下（1.10），V（b；ρ）=λE[Y]-ρδ. 因此，对于ρ=0，我们有（2.51）。

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何人来此

2022-5-10 14:58:35

事实上，对于最终的地平线情况，最佳策略应该是相同的。定理10。假设ρ=0。（i）对于任何δ>0，我们有（2.52）supD∈德克斯Zτe-δtdDt= x+λE[Y]δ。（ii）对于任何δ>0和T>0，我们有（2.53）supD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#=x+λE[Y]δ（1）- E-δT）。（iii）对于δ=0和任何T>0，我们有（2.54）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#=x+λE[Y]T.命题11。给出定理10中的任何一种情况。对于ε>0，存在>0，因此策略D是ε-最优的。对于p（y）=νe的特殊情况-νy，我们甚至可以找到二阶近似值ρ→ 让我们回忆一下，对于x>b，V（x；ρ）=x- b+V（b；ρ），其中b由（2.3）给出。从（2.4）中，很容易看出~-（λ+δ）ρ~νδλ+δ. 这意味着（2.55）b~ρ-（λ+δ）对数νδλ+δ-ρλ + δδ-λ~-ρlogρλ+δ，作为ρ→ 因此，我们得出结论，对于任何x>0的情况，（2.56）V（x；ρ）~ x+λνδ+ρlogρλ+δ，作为ρ→ 0.双重风险模型中的渐近分析112.5。大δ区。让我们在本节中将大δ视为符号。当δ→ ∞, 直觉上，很明显，如果公司等待，未来股息的现值将几乎为零，因为这是一个极端的折扣因素。因此，不难看出，最佳策略是尽早将盈余作为股息分配给股东，而不是晚些时候。直觉上，人们可能会猜测，所有盈余都应该在z ero和supD（2.57）时作为股息分配给股东∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#~ x、 asδ→ ∞.稍后我们将证明这确实是真的。此外，我们可以得到δ的二阶近似值→ ∞ 当它们呈指数分布时。让我们考虑当p（y）=νe时的特殊情况-当除以（1.10）时，对于anyx>b，我们有（2.58）V（x；δ）=x- b+λE[Y]- ρδ=x- b+λν- ρδ.最佳势垒b由（2.3）给出。然后从（2.4）中，很容易看出这一点~ -Δρasδ→ ∞ 和s~ νasδ→ ∞.

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kedemingshi

2022-5-10 14:58:39

此外，我们可以计算ρr+δ=-(λ + δ - νρ)-p（λ+δ）- νρ)+ 4ρνδ+ δ(2.59)=δ - λ + νρ -p（δ）- λ + νρ)+ 4δλ=-2δλδ - λ+νρ+p（δ）- λ + νρ)+ 4δλ~ -λ、 asδ→ ∞. 因此，插入（2.3），我们得到（2.60）b~ρlog（λνρ）δ，asδ→ ∞.因此，我们得出结论，对于任何x>0的情况，（2.61）V（x；δ）=x- b+λν- ρδ~ x+δλν- ρ - ρlogλνρ,asδ→ ∞.我们确实可以严格地证明一般分布函数的一阶近似，并得到以下结果：定理12。（2.62）supD∈德克斯Zτe-δtdDt~ x、 asδ→ ∞.2.6. 小T区。让我们将小T视为本节中的症状。当T→ 0，公司几乎没有时间积累新的财富，因此公司可以支付给股东的全部金额大约为x。在小时间间隔[0，T]内，对于足够小的时间间隔，破产概率为零，因为直到时间xρ之后才会发生。所以在这个短时间间隔内，不存在破产风险。对于小T，很容易计算Ex[XT]=x+（λE[Y]- ρ） T。对于任何股息，在时间0和时间T支付股息之间的差异最多只是一个盘数因子e-δT.由于没有ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHUrisk，初始财富x应作为股息提前支付给股东。（λE[Y]- ρ） T是O（T）阶，因此贴现因子对新财富数量的影响是O（T）阶，可以忽略不计。因此，我们有以下结果：定理13。假设λE[Y]>ρ。作为T→ 0，我们有（2.63）个supD∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#=x+（λE[Y]- ρ） T+O（T）。附录：证据3。1.小δ区。定理2和命题3的证明。

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2022-5-10 14:58:42

（i）首先，让我们来证明我们找到的答案。让我们回忆一下（3.1）分钟δV（x；δ）+ρV′（x；δ）- λZ∞[V（x+y；δ）- V（x；δ）]p（y）dy，V′（x；δ）- 1.= 0，V（0）=0。让我们定义U（x）：=δV（x；δ），使U满足（3.2）minδU（x）+ρU′（x）- λZ∞[U（x+y）- U（x）]p（y）dy，U′（x）- δ= 0，U（0）=0。我们想证明，对于δ>0非常小的情况，U（x）≤ U（x）：=（λE[Y]- ρ)(1 - E-α（δ）x）+δx，其中α（η）是（3.3）F（α）=αρ的最大正根- λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy+η=0。如果η>0，则α（η）存在。对于η<0且非常小的情况，F（α）=0至少有一个正函数。在加法中，α（δ）是一个连续函数。让我们展示一下≤ U.考虑一个任意可容许的红利str ategyDt，用D=0增加c`adl`ag函数。U（x）=Ex[e-δ（t）∧τ） U（Xt）∧τ） [（3.4）+前“Zt”∧τe-δsρU′（Xs）- λZ∞[U（Xs+y）- U（Xs）]p（y）dy+δU（Xs）ds#+ExZt∧τe-δsU′（Xs）dDs- 前任Xs≤T∧τe-δs[U（Xs+）- U（Xs）- U′（Xs）[Ds].在一个双风险模型中，直接计算的渐近分析表明δU+ρU′- λZ∞（U（x+y）- U（x））p（y）dy=δx≥ 0，（3.5）U′（x）≥ δ.（3.6）因此（3.7）U（x）≥ 告密-δ（t）∧τ） U（Xt）∧τ） i+δExZt∧τe-δSDDC.注意这里我们用了U′≥ δ, Ds≥ 0和Xs+≤ Xs，（3.8）Xs≤T∧τ[U（Xs+）- U（Xs）- U′（Xs）Ds]e-δs≤ 0.由SENT提供↑ +∞, 我们得到（3.9）U（x）≥ 极限→∞告密-δ（t）∧τ） U（Xt）∧τ） i+δExZ∞E-δtdDt.注意limt→∞前任E-δ（t）∧τ） U（Xt）∧τ)= 0.因此，如果服用过量∈ D、我们得到（3.10）U（x）≥ δsupD∈德克斯Z∞E-δtdDt= δV（x；δ）=U（x）。从U（x）≤ U（x），由此得出（3.11）lim supδ→0δV（x；δ）≤ （λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。（ii）现在让我们考虑下限（命题3也将遵循）。对于任何M>0和>0的情况，让我们回顾一下股息策略DM的定义，定义1：直到流程第一次跳过M，然后以连续利率支付股息（1- ）（λE[Y]- ρ），还记得τM、Xt、τ、τM、和τ的定义。

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2022-5-10 14:58:46

因此，我们支持∈德克斯Zτe-δtdDt(3.12)≥ Ex“ZτM，e-δtdDM，t#≥ 前任E-ΔτMτM<τE“ZτE-δt（1）- ）（λE[Y]- ρ） dtX=M#=ExE-ΔτMτM<τ(1 - ）（λE[Y]- ρ)δ1.- Ehe-δτX=Mi,其中，上面的第二个不等式使用了XτM这一简单事实≥ M和一个下限由X=M而不是X=XτM开始给出。注意，（3.13）limδ→0Ehe-δτX=Mi=P（τ<∞|X=M）和u（X）：=P（τ<∞|X=X）满足方程（3.14）- ρu′（x）- (1 - ）（λE[Y]- ρ） u′（x）+λZ∞[u（x+y）- u（x）]p（y）dy=0,14 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu，边界条件u（0）=1，这意味着（3.15）p（τ<∞|X=M=e-αδ，M，其中α是满足以下等式的唯一正值：（3.16）ρα- (1 - ）（λE[Y]- ρ） α+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。此外，我们还有（3.17）limδ→0ExE-ΔτMτM<τ= Px（τM<τ）。因此，我们有（3.18）lim-infδ→0δsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥ Px（τM<τ）（1）-）（λE[Y]-ρ)(1-E-αM）。因为它适用于任何M>x，所以我们可以让M→ ∞ 由此得出（3.19）lim-infδ→0δsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥ Px（τ=∞)(1 - ）（λE[Y]- ρ).最后，注意Px（τ=∞) = 1.- E-αx对任何>0都有效，我们可以让→ 0.这将产生所需的下限。3.2. 大号T型雷吉我。定理4的证明。对于任何D∈ D前“ZT∧τe-δtdDt#- 前任Zτe-δtdDt= 前任ZτT∧τe-δtdDt(3.20)≤ 前任Z∞Te-δtdDt.ρ的预期贴现股息总额≥ 当ρ=0时，0的上边界为大小写。在ρ=0的情况下，不存在破产风险，任何盈余应立即支付给股东。因此，对于任何D∈ D、前的上限R∞Te-δtdDt具体如下。如果在时间T之前没有支付股息，那么当ρ=0时，时间T的盈余预期值为x+λE[Y]T，并且盈余在时间T支付，之后，任何盈余都会立即支付，因此对于任何D∈ D、（3.21）ExZ∞Te-δtdDt≤ （x+λE[Y]T）E-δT+λE[Y]Z∞Te-δtdt，它产生des-ired结果。

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mingdashike22

2022-5-10 14:58:50

现在让我们来看定理5的证明，它将由Emma 14和引理15直接隐含。首先，让我们证明，如果公司在到期前没有破产，那么最优策略是在到期前不支付任何股息，到期时的所有盈余都作为股息分配给股东。引理14。（3.22）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#=Ex[XT∧τ] ，其中Xt:=x- ρt+jt，设τ为过程X的破产时间。对偶风险模型的渐近分析。设D为任意可容许的红利策略，使得XT∧τ=0，其中τ是processdXt=-ρdt+dJt- dDt，X=X。然后，将t<t的股息策略D定义为Dt=0∧ τ和∧DT∧τ=XT∧τ.对于t<t，我们有Xt=Xt- Dt。然后，前“ZT”∧τdDt#=Ex[XT∧τ] - Ex[XT∧τ] =Ex[XT∧τ] 另一方面，由于λE[Y]-ρ>0，Xis是次鞅，因此，Ex[XT∧τ] ≤Ex[XT∧τ]. 这里我们使用了τ≥ τ. 这意味着“ZT”∧τdDt#≤ Ex[XT∧τ] =Ex“ZT∧τdDt#。上述《mma法》主张，在没有折扣的情况下，在期末支付盈余作为股息是一种最佳策略。这使得我们只关注最终的股息支付策略。当股息在最后时间支付时，预期股息等于Ex[XT]∧τ] ，我们将在下一步估算为T→ ∞.引理15。（3.23）Ex[XT∧τ] =（λE[Y]- ρ)\"(1 - E-αx）T+e-αxxρ- λR∞E-αyyp（y）dy+o（1）#，as T→ ∞.证据通过Dynkin公式，我们可以计算出（3.24）Ex[XT∧τ] =x+（λE[Y]- ρ）前[T]∧ τ].注意（3.25）Ex[T∧ τ] =Ex[τ·1τ<T]+tpx（τ>T）。通过引理16，我们得到了（3.26）Ex[τ·1τ<∞] =xρ- λR∞E-αyyp（y）dy.此外，（3.27）limT→∞Px（τ>T）=Px（τ=∞) = 1.- E-因此，我们证明了（3.28）limT→∞TEx[XT∧τ] =（λE[Y]- ρ)(1 - E-αx）。最后，注意Ex[τ·1τ<∞] < ∞.

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2022-5-10 14:58:55

因此，（3.29）Ex[τ·1τ<∞] =Z∞Px（t≤ τ< ∞)dt<∞,这意味着（3.30）Px（τ≥ （T）- Px（τ=∞) = Px（T≤ τ< ∞) = o（T）-1），16阿拉什·法希姆和凌炯·朱斯T→ ∞. 因此，我们得出（3.31）Ex[XT∧τ] =（λE[Y]- ρ)\"(1 - E-αx）T+e-αxxρ- λR∞E-αyyp（y）dy+o（1）#，as T→ ∞. 引理16。在ρ<λE[Y]的条件下，我们有（3.32）Ex[τ·1τ<∞] =xρ- λR∞E-αyyp（y）dy.证明。当Px（τ=∞) > 0，我们可以考虑计算（3.33）v（x）：=Ex[e-θττ<∞],满足方程：（3.34）- ρv′（x）+λZ∞[v（x）- v（x）]p（y）dy- θv（x）=0，边界条件v（0）=1。很容易看出tV（x）=e-α（θ）x，其中α（θ）>0是方程的唯一解：（3.35）ρα（θ）+λZ∞[e]-α（θ）y- 1] p（y）dy- θ = 0.通过对θ的微分，我们得到（3.36）ρα′（θ）- λα′（θ）Z∞E-α（θ）yyp（y）dy- 1 = 0.另一方面，（3.37）Ex[ττ<∞] = α′（0）xe-α（0）x.通过让θ=0 in（3.36），我们得出结论（3.38）Ex[ττ<∞] =E-αxxρ- λR∞E-αyyp（y）dy，其中α>0是方程的唯一解：（3.39）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。因此，（3.40）Ex[τ|τ<∞] =xρ- λR∞E-αyyp（y）dy。备注17。注意，Ex[τ·1τ<∞] < ∞ 要求条件（3.41）ρ- λZ∞E-αyyp（y）dy>0是令人满意的。这可以通过以下方式轻松检查。回想一下，α是方程（3.42）ρα+λZ的唯一正解∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。在一个双重风险模型中，将（3.42）代入（3.41），条件（3.41）等价于：（3.43）Z∞[1 - E-αy- E-αyαy]p（y）dy>0。设F（x）：=1- E-十、- E-xx代表x≥ 很容易计算出F（0）=0和F′（x）=e-xx>0，这意味着对于任何x>0的情况，F（x）>0，因此（3.41）成立。备注18。在Yi呈指数分布的情况下，假设p（y）=νe-对于某些ν>0，我们可以计算α=λρ- ν和（3.44）Ex[τ|τ<∞] =xρ（1）-ρνλ).命题6的证明。对于任何M>0和>0，让我们回顾一下τM、Xt、τ、τM、和τ的定义。

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mingdashike22

2022-5-10 14:59:04

根据定理m2和命题3的证明中类似的论点，我们已经∈DEx“Zτ∧TdDt#≥ Ex“ZτM，∧TdDM，t#≥ Px（τM<τ∧ T）（1）- ）（λE[Y]- ρ） E[τ∧ （T）- τM）|X=M，τM<τ∧ T]=Px（τM<τ∧ T）（1）- ）（λE[Y]- ρ)·E[（T- τM）1τ=∞|X=M，τM<τ∧ T]+E[τ∧ （T）- τM）1τ<∞|X=M，τM<τ∧ [T].因此，我们已通知→∞特苏普德∈DEx“Zτ∧TdDt#（3.45）≥ Px（τM<τ）（1）- ）（λE[Y]- ρ） P（τ=∞|X=M）。因此，我们得出结论：Lim→0毫米→∞lim infT→∞特苏普德∈DEx“Zτ∧TdDt#（3.46）≥ Px（τ=∞)（λE[Y]- ρ) = (1 - E-αx）（λE[Y]- ρ).3.3. 大λ区。定理7和命题8的证明。（i）首先，让我们证明上界。请注意，最佳策略是（3.47）V（x；λ）=x的势垒策略- b+V（b；λ），对于x>b，对于x<b和V（0；λ）=0，V′（x；λ）>1。因此，很容易看出，对于x<b，我们有V（x；λ）≤ 十、- b+V（b；λ）。另一方面，通过（1.10），V（b；λ）=λE[Y]-ρδ. 因此，对于任何x，（3.48）V（x；λ）≤ 十、- b+λE[Y]- ρδ≤ x+λE[Y]- ρδ.18 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhuh给出了上限。接下来，让我们证明下限。对于任何M>0和>0，让我们重新定义股息策略DM的定义，定义1：直到过程第一次跳到M以上，然后以连续利率（1）支付股息，才支付股息- ）（λE[Y]- ρ），还记得τM、Xt、τ、τM、和τ的定义。

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kedemingshi

2022-5-10 14:59:09

那么，谢谢∈德克斯Zτe-δtdDt≥ Ex“ZτM，e-δtdDM，t#（3.49）≥ 前任E-ΔτMτM<τ(1 - ）（λE[Y]- ρ） E“ZτE-δtdtX=M#=ExE-ΔτMτM<τ(1 - ）（λE[Y]- ρ)δ1.- Ehe-δτX=Mi= 前任E-ΔτMτM<τ(1 - ）（λE[Y]- ρ)δ1.- E-β，λM,式中，β，λ是满足方程（3.50）ρβ，λ+（1）的唯一正值- ）（λE[Y]- ρ） β，λ+λZ∞[e]-β，λy- 1] p（y）dy- δ=0，很容易检查β，λ→ β,∞, 在那里，∞是满足以下条件的唯一正值：（3.51）（1）- E[Y]β，∞+Z∞[e]-β,∞Y- 1] p（y）dy=0。自τM→ λ时为0→ ∞, 根据有界收敛定理（3.52）limλ→∞前任E-ΔτMτM<τ= 1.因此，（3.53）lim infλ→∞λsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥ (1 - ）E[Y]δ（1）- E-β,∞M）。最后，让我→ ∞ 先是然后→ 0，我们得到（3.54）lim infλ→∞λsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥E[Y]δ。（ii）假设δ>0，T>0。让我们先跳过上限。设（3.55）V（x，t；λ）：=supD∈德克斯“ZT∧τte-δtdDt#。然后，V（x，t）满足方程：（3.56）max五、T- ρ五、x+λZ∞[V（x+y，t；λ）- V（x，t；λ）]p（y）dy- δV，-五、x+1= 0，终端条件V（x，T；λ）=x。现在定义函数U（x，T）：=x+λE[Y]-ρδ(1 - E-δ（T-t））和考虑套利股息策略∈ D.双风险模型中的再灌注交感神经分析，即dXt=ρdt+dJt- 滴滴涕。因此，通过I t^o公式，我们得到u（x，0）=Ex[e-δ（T∧τ）U（XT）∧τ、 T∧ τ） ]+Ex“ZT∧τe-δs-Ut（Xs，s）+ρUx（Xs，s）（3.57）- λZ∞[U（X+y，s）- U（Xs，s）]p（y）dy+δU（Xs，s）ds#+Ex“ZT∧τe-δsUx（Xs，s）dDs#- 前任Xs≤T∧τe-δsU（Xs+，s）- U（Xs，s）+Ux（Xs，s）Ds.通过直接计算，上面的黎曼积分和termEx[e-δ（T∧τ）U（XT）∧τ、 T∧ τ） ]是非负性的。同样对于第一个术语，我们有（Xs+，s）- U（Xs，s）-Ux（Xs，s）Ds=0。因此，我们可以写eu（x，0）≥ 前“ZT∧τe-δSDD#在D上取supr emum∈ D给出了我们想要的结果。接下来，让我们证明下界。

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mingdashike22

2022-5-10 14:59:12

对于任何0<<1的情况，考虑以固定利率（1）支付股息的定义1中的策略dm- ）（λE[Y]- ρ）在盈余达到M以上之后。那么，谢谢∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#（3.58）≥ 前任E-ΔτMτM<τ∧T(1 - ）（λE[Y]- ρ） E“Z（T-τM）∧τe-δtdtX=M，τM<τ∧ T#=ExE-ΔτMτM<τ∧T(1 - ）（λE[Y]- ρ)·δ1.- Ehe-δ（（T-τM）∧τ)X=M，τM<τ∧ 钛,这意味着（3.59）lim infλ→∞λsupD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#≥ (1 - ）E[Y]δ1.- E[E]-δ（T∧τ）|X=M].现在，首先让我→ ∞ 然后是→ 0，并遵循与（i）中相同的参数，我们得到所需的下限。20 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU（iii）假设δ=0，T>0。通过使用函数U（x，t）：=x+（λE[Y]，上界与（ii）中类似- ρ）（T）- t）。我们可以展示（3.60）supD∈德克斯“ZT∧τdDt#≤ x+（λE[Y]- ρ） T.下限与（ii）中的类似。我们可以证明（3.61）lim infλ→∞λsupD∈德克斯“ZT∧τdDt#≥ (1 - E[Y]E[T∧ τ| X=M]。现在，让我→ ∞, 我们有→ ∞ 在概率论和有界收敛定理中，我们有（3.62）lim infλ→∞λsupD∈德克斯“ZT∧τe-δtdDt#≥ (1 - ）E[Y]δT，因为它对任何>0都成立，所以我们得到了期望的下界。备注19。实际上，对于大λ区域，我们也可以有一个近似最优的离散红利策略，作为定理7证明中定义的连续红利策略D的替代方案。让我们考虑一个特定的策略D*这是一种屏障策略，屏障x>0，与初始的s urplus相同。那么，谢谢∈德克斯Zτe-δtdDt≥ 前任Zτe-δtdD*T(3.63)≥∞Xn=1Exhe-τ（n）xδn[τ（n）]-1） x，τ（n）-1） x+[t]≥1Yn>ρt（Yn）- ρt） i其中τ（n）xis是过程跳到阈值x以上的第n次，τ（0）x:=0，并且y是i.i.d.之前的分布。本质上，我们通过计算之前发生跳转的事件来提供一个下限在过程开始后，跳变大小大于ρ它保证了进程超过阈值x并支付红利。

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2022-5-10 14:59:16

因此，我们支持∈德克斯Zτe-δtdDt(3.64)≥ E[1Y>ρt（Y）- ρt） ]∞Xn=1告密-τ（1）xδN[0，[t]≥1τ（1）x=inf{t>0:Nt=1}in、这很容易计算-τ（1）xδN[0，[t]≥1τ（1）x=inf{t>0:Nt=1}i=Zte-δsλe-δsds（3.65）=λδ+λh1- E-(λ+δ)ti，这意味着（3.66）supD∈德克斯Zτe-δtdDt≥ E[1Y>ρt（Y）- ρt） ]λδ+λ1.- E-(λ+δ)T1.-λδ+λ1.- E-(λ+δ)T.双风险模型的渐近分析t>0，我们有（3.67）lim infλ→∞λsupD∈德克斯Zτe-δtdDt≥δE[1Y>ρt（Y）- ρt） ]。让T→ 0，我们得到了期望的下限。3.4. 小ρ区。定理10和命题11的证明。（i）根据我们的假设，ρ=0。设v（x）=x+λE[Y]δ。然后，我们可以计算出麦克斯λZ∞[v（x+y）- v（x）]p（y）dy- δv（x），1- v′（x）（3.68）=最大值{-δx，0}=0。因此，v（x）=x+λE[Y]δ是上述问题的经典解。经典化定理，如[10，定理8.4.1]表明v（x）≥ V（x；ρ）表示ρ=0。因此，有足够的证据表明，存在一系列策略D∈ 德苏克·塔林·苏普→0ExZτe-δtdDt= v（x）。回想一下支付股息x的策略D- 在轧棉机上进行轧棉，然后在轧棉机上进行任何超过轧棉机的盈余。然后，安第斯山脉就再也不会发生毁灭Zτe-δtdDt= 十、- +Ex“∞Xn=1e-Δτ（n）Yn#=x- +E[Y]∞Xn=1Exhe-Δτ（n）i=x- +E[Y]∞Xn=1Exhe-nΔτ（1）i=x- +λE[Y]δ，其中n≥ τ（n）是过程J第n次跳跃的时间。因此，（2.52）成立。（ii）对于δ>0和有限T>0，设v（T，x）=x+λE[Y]δ（1）- E-δ（T-t））。然后v（T，x）=x和max五、t（t，x）+λZ∞[v（t，x+y）- v（t，x）]p（y）dy- δv（t，x），1-xv（t，x）= 麦克斯{-δx，0}=0。因此v（t，x）=x+λE[Y]δ（1）- E-δ（T-t））是一个经典的解决方案。因此，可以对函数v（t，x）重复上述参数，得到（2.53）。（iii）当δ=0时，函数v（t，x）=x+λE[Y]（t）- t）应该使用toobtain（2.54）。3.5. 大δ区。定理12的证明。

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2022-5-10 14:59:19

当初始盈余在时间0完全支付时，该策略给出了值x。因此，这给了我们一个下限。接下来，让我们证明上界。无需说明，对于任何x（3.69）V（x；δ），最优策略是具有最优势垒b的势垒策略≤ 十、- b+λE[Y]- ρδ≤ x+λE[Y]- ρδ.这给了我们上限。22 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU3。6.小T区。定理13的证明。让我们先证明一下上限。很明显，（3.70）supD∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#≤ 苏普德∈DEx“Zτ∧TdDt#=Ex[Xτ∧T] =Ex[XT]，对于非常小的T>0，因为当不存在dis count因子时，支付股息永远不是最优的，如果不支付股息，则破产时间τ≥xρ>T表示非常小。我们可以很容易地计算出（3.71）Ex[XT]=x+（λE[Y]- ρ）这给了我们上限。现在让我们来看看下限的证明。让我们考虑一种股息策略，即-在时间0时支付，剩余盈余为，不支付股息。对于任何一个T，如果它足够小，使得T<ρ，那么在时间T之前就不会发生破产，即τ>T。考虑到这一特殊策略，我们∈DEx“Zτ∧Te-δtdDt#≥ Ex“Zτ∧Te-δtdDt#（3.72）=x- +e-δT[+（λE[Y]- ρ） T]=x- δT+O（T）+（λE[Y]- ρ） T+O（T），表示T<ρ。以=2ρT为例，它将给出所需的下限。参考文献[1]阿方索、L.B.卡多佐、R.M.R.和A.D.如idio dos Reis。(2013). 双重风险模型中的Divi-dend问题。保险：数学和经济学。53, 906-918.[2] 阿尔布雷彻，H.，巴德斯库，A.和D.兰德里奥。(2008). 关于纳税的双重风险模型。保险：数学和经济学。42, 1086-1094.[3] Avanzi，B.，Cheung，E.C.K.，Wong，B.和J.K。沃奥（2013）。在偿付能力连续监测的双重模型中，研究了一种周期性的股利限制策略。保险：数学和经济学。

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