条件McKean-Vlasov方程的线性二次最优控制

2022-5-11 14:02:56

随机系数条件下的线性二次型最优控制及其应用*法国巴黎大学，CNRS，UMR 7599，法国巴黎大学。巴黎迪多大学。frand CREST Ensamarch 9，2017Abstracts我们考虑了一个具有二次c ost泛函的线性条件McKean-Vlasov方程的最优控制问题。系统系数和成本函数中的加权矩阵可以在与常见噪声过滤相关的过程中进行调整。引入了半闭环策略，并遵循[32]中的动态规划方法，通过一个解耦的后向随机riccati微分方程组来解决该问题并刻画时间一致性最优控制。我们介绍了几种具有明确解决方案的金融应用，并特别回顾了不完全市场模型中价格影响的最优跟踪问题和条件均值-方差投资组合选择。理学硕士分类：49N10、49L20、60H10、93E20。关键词：随机McKean-Vlasov SDE，随机系数，线性定量优化控制，动态规划，Riccati方程，倒向随机微分方程。*这项工作是ANR项目CAESARS（ANR-15-CE05-0024）的一部分，也得到了FiME（能源市场金融研究中心）和“金融与发展持久性-认可性”EDF-CACIB主席的支持。1简介和问题公式让我们用随机系数（简称LQCMKV）对条件（也称为随机）McKean-Vlasov方程进行线性优化控制。考虑由dxt=bt（Xt，E[Xt | W]，αt）dt+σt（Xt，E[Xt | W]，αt）dWt+σt（Xt，E[Xt | W]，αt）dWt（Xt，E[Xt | W]，αt）dWt，0≤ T≤ T、 X=ξ。

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2022-5-11 14:03:00

（1.1）这里，W，Ware在概率空间上的两个独立的一维布朗运动(Ohm, F、 P），F=（英尺）0≤T≤这是由W，F=（Ft）0产生的自然过滤≤T≤这是由（W，W）生成的自然过滤，并加上独立的σ-代数ξ∈ L（G；Rd）是一个平方可积的G-可测随机变量，其值在Rd中，E[Xt | W]表示给定ftw的整个σ-代数的条件期望，并且控制过程α是一个F-逐步可测过程，其值等于Rmor到L（Rd；Rm）。控制集的这种区别将在后面的介绍中讨论，但目前，我们可以大致解释A=RMA为开环控制建模时的情况，以及A=L（Rd；Rm）为闭环控制建模时的情况。当A=Rm时，我们要求α满足平方可积条件L(Ohm ×[0，T]），即e[RT |αT | dt]<∞,我们用一组控制过程来表示。系数bt（x，\'x，a），σt（x，\'x，a），σt（x，\'x，a），0≤ T≤ T是F适应的过程，其值为Rd，对于任何x，\'x∈ Rd，a∈A、线性形式和线性形式：bt（x，\'x，x，A）和线性形式：bt（x，x，A）和线性形式：bt（x，x，A）和线性形式：bt（x，x，A）和线性形式：bt（x）和线性形式：bt（x，x，x，A）和线性形式：bt（x，x，x，A）和（x，A）和（x，A）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x，A）和（x）和（x）和（x，A）和（x）和（x，A）和（x，A）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x，A）和（x，A）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）和（x）其中，b，γ，γ是f-适应过程，向量值为Rd，满足平方可积条件L(Ohm ×[0，T]：E[RT | bt |+| bt |+|γT |+|γT | dt]<∞, B、 “B，D，”“D，D，”“D本质上有界的F-适应过程矩阵，值为Rd×D，而C，F本质上有界的F-适应过程矩阵值为Rd×m。

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2022-5-11 14:03:04

对于任何α∈ A、存在唯一的强解X=Xα到（1.1），它是F适应的，并且满足平方可积条件S(Ohm ×[0，T]）：Esup0≤T≤T | Xαs|≤ Cα1+E |ξ|< ∞, （1.3）对于依赖于α的某些正常数Cα：当A=Rm时，Cα依赖于αviaE[RT|αt|dt]<∞, 当A=L（Rd；Rm）时，Cα通过其Lipschitz常数依赖于α。最小化为α的成本函数∈ A是：J（α）=EhZTft（Xαt，E[Xαt|W]，αt）dt+g（Xαt，E[Xαt|W]）i，→ V:=infα∈AJ（α），其中{ft（x，\'x，a），0≤ T≤ T}，是一个F-适应实值过程，g（x，\'x）是一个可测的随机变量，对于任何x，\'x∈ Rd，a∈ A、重力形式：ft（x，\'\'x，A）=（xQtx+-x“Qt”x+Mtx+a如果A=Rmx，则为NtaQtx+-x“Qt”x+Mtx+a（x）如果A=L（Rd；Rm）g（x，\'\'x）=x，则为Nta（x）Px+-x“P”x+Lx、（1.4）式中，Q，`Q本质上是有界的F-适应过程，SDR中的值Rd×d，P，`P中的对称矩阵集本质上是有界的FT-可测随机矩阵在Sd中，N是有界的F-适应过程，Sm中的值，M是有值Rd的Fadapt过程，满足平方可积条件L(Ohm×[0，T]），L是Rd中的FT可测平方可积ran dom向量，且表示任何向量或矩阵的转置。上述随机McKean-Vlasov方程的控制公式为一些重要的控制问题提供了一个统一的模型。特别是，在普通噪声（参见，例如[17]，[19]）下，在平均场相互作用中，大量粒子（参与者）的合作平衡的渐近形式（参见[17]，[19]）激励了这种合作平衡，并且当成本函数涉及状态过程（条件）定律的第一和第二矩时，也会发生这种合作平衡，例如，在（条件）均值-方差组合选择问题中（参见[27]、[7]、[10]）。

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2022-5-11 14:03:07

当A=L（Rd；Rm）时，这对应于（代表性）代理的问题，即基于她/他在时间t的当前私有状态x使用控制α，以及公共噪声Ft带来的信息，通常是条件平均值E[Xt | W]，在大种群均衡解译中，当所有参与者的数量因混沌传播而趋于一致时，所有参与者状态的经验平均值的极限。换句话说，控制α可以被视为半闭环控制，即闭单桅帆船w.r.t.状态过程和开环w.r.t.公共噪声w，或者可以被视为F-逐步可测量的随机场控制α={αt（x），0≤ T≤ T、 x∈ Rd}。这类s emi闭环控制扩展了McKean-Vlasov方程（或平均场随机微分方程）的LQ控制的闭环策略类别，没有公共噪声W，正如最近在[28]中研究的那样，其中控制在任何时间t以线性形式W.r.t.选择当前状态值Xt和确定性预期值E[Xt]。当A=Rm时，LQCMKV问题可能被视为（1.1）中状态动力学的一个特殊部分观测控制问题，其中控制是开环形式的，并且是自适应的w.r.t。由w驱动的一些外部随机因子过程I生成的观测滤波FI=fG。在σ=0的情况下，我们看到过程X是F自适应的，因此E[Xt | w]=Xt，LQCMKVP问题被简化为具有随机系数的经典LQ控制问题（参见[40]），其中A=RMO为开环控制，A=L（Rd；Rm）为闭环控制。注意，对于LQ控制问题，开环和闭环策略之间的这种区别最近在[36]中引入，其中闭环控制假设为线性形式。r、 t。

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2022-5-11 14:03:10

当前状态值，而它被认为是ly Lipschitz w.r.t.的先验值。当前状态值。McKean-Vlasov方程的最优控制是随机控制和应用概率领域的一个相当新的课题，例如在[4]、[11]、[8]、[15]、[31]中讨论过。在这种McKean-Vlasov背景下，线性二次型最优控制的类别为可解应用提供了非典型案例，已经在几篇论文中进行了研究，其中[24]、[39]、[25]、[35]，其中系数被假定为确定性的。人们经常争论说，由于状态定律以非线性方式存在（这里是LQ问题，是期望值的平方），这个问题是时间不一致的，从这个意义上说，从今天看的非最优控制在明天看时不再是最优的，这将先验地阻止使用动态规划方法。为了解决时间不一致性问题，人们通常会关注承诺前的两种策略，即。

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2022-5-11 14:03:13

对于在初始时间观察到的问题来说是最优的，但在未来日期可能不是最优的控制，或者博弈均衡策略，即，控制决策被认为是针对控制器将要做出的所有未来决策的博弈。在本文中，我们将关注具有随机系数的初始值Vof theLQCMKV问题的最优控制，但遵循[32]中提出的方法，我们强调，对于预承诺策略，时间一致性实际上可以恢复，前提是将状态过程的条件律而不是状态本身视为状态变量，因此，可以使用动态规划方法。我们发现，由随机场值函数定义的LQCMKV控制问题的动态版本，相对于状态过程的条件定律，具有二次结构，将最优控制归结为一个时滞随机Riccati方程（BSREs）的解耦系统，其存在性和唯一性与一个标准的LQ控制问题有关。这种推导的主要成分是沿条件测度流的It^o公式，以及关于概率测度的可微性的合适概念。我们用几个财务应用来说明我们的结果。对于一般的价格和目标过程，我们重新研究了具有价格影响的最优交易和基准跟踪问题，得到了封闭形式的解，扩展了文献中的一些已知结果。接下来，我们解决了

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2022-5-11 14:03:16

第2节给出了一些关键的准备工作：我们将LQCMKV问题重新表述为一个涉及状态过程的条件律的问题，作为状态变量，其中陈述了动态编程验证定理，并且时间一致性成立。我们还可以通过一系列条件度量来调用It^o公式。第3节讨论了在控制集a=RMAN和a=L（Rd；Rm）的情况下，通过BSREs系统对最优控制的刻画。我们开发了应用程序。我们用一些符号来结束这篇介绍。符号。我们用P（Rd）表示Rd上的集概率测度u，它是平方可积的，即kuk:=RRd|x|u（dx）<∞. 任何情况下∈ P（Rd），我们用Lu（Rq）表示可测函数的集合→ Rq是squ，可积于u，byLuu（Rq）可测函数组ψ：Rd×Rd→ Rq，对于乘积测度u是平方可积的 u，我们设置u（u）：=Zu（x）u（dx），\'u：=Zxu（dx），u u（ψ）：=Zψ（x，x′）u（dx）u（dx′）。我们还定义了∞u（Rq）（分别为∞uu（Rq））作为元素的子集∈ Lu（Rq）（分别为Luu（Rq））是有界的u（分别为u u）a.e.和kаk∞是他们必不可少的补充。对于任意随机变量X(Ohm, F、 P），我们用L（X）表示其在P下的概率律（或分布），用L（X | W）表示其给定FT的条件律，我们假设W.L.o.g.在P（Rd）={L（ξ）：ξ的意义上，g足够丰富∈ L（G；Rd）}.2任何α的预备∈ A、 Xα=（Xαt）0≤T≤在（1.1）的解中，我们定义ραt=L（Xαt | W）为Xαt对ft0的条件定律≤ T≤ T

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2022-5-11 14:03:20

由于Xα是F适应的，并且是a（P，F）-维纳过程，我们注意到ραt（dx）=P[Xαt∈ dx | FT]=P[Xαt∈ dx | Ft]，因此{ραt，0≤ T≤ T}承认一个F-逐步可测量的修正（参见[5]中的定理2.24），该修正将在序列中与自身一致，并在P（Rd）中通过（1.3）进行估值，即：sup0≤T≤TkραTk≤ Cα1+E |ξ|.

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2022-5-11 14:03:23

（2.1）此外，我们提到过程ρα=（ραt）0≤T≤在P（C（[0，T]；Rd）中取值的是连续轨迹。从[0，T]到Rd的连续函数的sp aceC（[0，T]；Rd）上的平方可积概率测度集。现在，根据迭代条件期望定律∈ A是渐进可测量的，我们可以重写成本函数asJ（α）=EhZTE英尺Xαt，ραt，αt英尺dt+EGXαT，ραT英尺i=EhZTραtft（，，ραt，αt）dt+ραTg（，ραT）i=EhZT^ft（ραt，αt）dt+^g（ραt）i，（2.2），其中我们在第二个等式中使用了{ft（x，\'x，a），x，\'x这一事实∈ Rd，a∈ A、 0≤ T≤ T}是一个随机场F-适应过程，g（x）是FT-可测量的，F-适应过程{^FT（u，a），0≤ T≤ T}，FT可测量的随机变量^g（u），表示u∈ P（Rd），a∈ A、定义为（^ft（u，A）：=u英尺（μ，a）=Rft（x，\'u，a）u（dx）^g（u）：=ug（，°u）=Rg（x，¨u）u（dx）。根据f，g in（1.4）的二次形式，随机场^ft（u，a）和^g（u），（t，u，a）∈[0，T]×P（Rd）×A由^ft（u，A）给出=Var（u，Qt）+v（u，Qt+\'Qt）+v（u，Mt）+a如果A=RmVar（u，Qt）+v（u，Qt+\'Qt）+v（u，Mt）+Z[A（x），则为Nta如果A=L（Rd；Rm），^g（u）=Var（u，P）+v（u，P+\'P）+v（u，L），（2.3），我们定义P（Rd）×sda和P（Rd）×Rdby:Var（u，k）：=Z（x）上的函数- u)k（x）- u）u（dx），u∈ P（Rd），k∈ Sd，v（u，l) := ulu, u ∈ P（Rd），l ∈ Sdv（u，y）：=yu, u ∈ P（Rd），y∈ Rd.我们都会对模型的系数做出以下假设：（H1）Q，Q+\'Q，P，P+\'P，N是非负的a.s。；（H2）以下两个条件之一成立：（i）N是一致正定义，即Nt≥ δIm，0≤ T≤ T，a.s.对于某些δ>0；（ii）P或Q是一致正定义，F是一致非退化的，即。

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2022-5-11 14:03:28

|英尺|≥δ, 0 ≤ T≤ T，a.s.，对于某些δ>0。让我们定义随机McKean-Vlasov控制问题的动态公式。无论如何∈ [0，T]，ξ∈ L（G；Rd）和α∈ A、存在一个唯一的强解，用{Xt，ξ，αs，t表示≤ s≤ T}，对于从时间T的ξ开始的方程（1.1），通过注意Xt，ξ，α在定律中也是唯一的，我们可以看到，Xt，ξ，α的条件定律仅通过其定律L（ξ）=L（ξ| W）依赖于ξ（回想一下，G独立于W）。然后，为了使G足够丰富，关系式ρt，u，αs:=L（Xt，ξ，αs | W），t≤ s≤ T、 u=L（ξ），定义任何T∈ [0，T]，u∈ P（Rd）和α∈ A、 F-逐步可测量的连续过程（直到修改）{ρt，u，αs，t≤ s≤ T}，其值在P（Rd）中，作为解{Xt，ξ，αs，T的路径唯一性序列≤ s≤ T}，我们有条件定律的流动性质（详见[32]中的引理3.1）：ραs=ρT，ραT，αs，T≤ s≤ T、 α∈ A.（2.4）然后我们考虑条件成本函数ljt（u，α）=EhZTt^fs（ρt，u，αs，αs）ds+^g（ρt，u，αt）Fti，t∈ [0，T]，u∈ P（Rd），α∈ A、由（2.1）和二次成本函数加权矩阵的有界性假设很好地定义。接下来，我们定义F适应的随机场值函数VT（u）=ess infα∈AJt（u，α），t∈ [0，T]，u∈ P（Rd），所以v:=infα∈AJ（α）=v（L（ξ）），（2.5），这可能需要一个先验值-∞.

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2022-5-11 14:03:31

我们将在后面看到，假设（H1）和（H2）将确保最终结果，并且存在最优控制。（2.5）的动态对应项由vαt:=ess infβ给出∈At（α）Jt（ραt，β）=vt（ραt），t∈ [0，T]，α∈ A、（2.6）式中，At（α）={β∈ A：βs=αs，s≤ t} （2.6）中的第二个等式来自于流动特性（2.4）和观察到的ρβt=ραt或β∈ At（α）。通过使用[22]中关于动态编程的一般结果，可以证明（在随机场v（u）有限的条件下）过程{vt（ραt）+Rt^fs（ραs，αs）ds，0≤T≤ T}是任意α的（P，F）-次鞅∈ A、和α*∈ A是Vif的最优控制，且仅当{vt（ρα*t） +Rt^fs（ρα）*s、 α*s） ds，0≤ T≤ T}是一个（P，F）-鞅。我们将使用一个相反的结果，即动态规划验证定理，它在我们的上下文中采用以下公式。引理2.1假设可以找到一个F适应的随机场{wt（u），0≤ T≤ T、 u∈P（Rd）}满足二次增长条件| wt（u）|≤ Ckuk+It，u∈ P（Rd），0≤ T≤ T、 a.s.（2.7）对于某些正常数C，以及带有E[sup0]的非负F适应过程I≤T≤T|It |]<∞, 使（i）wT（u）=^g（u），u∈ P（Rd）；（ii）{wt（ραt）+Rt^fs（ραs，αs）ds，0≤ T≤ T}是任意α的（P，F）局部次鞅∈ A.（三）存在^α∈ A使得{wt（ραt）+Rt^fs（ραs，αs）ds，0≤ T≤ T}是（P，F）局部鞅。那么α是V的最优控制，即V=J（α），V=w（L（ξ））。此外，α在vαt=Jt（ραt，α）的意义上是时间一致的，0≤ T≤ T.证明。

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2022-5-11 14:03:34

根据条件（ii）中的局部子鞅性质，存在F-停止时间（τn）n，τnT a.s.的非减量序列，使得e[wτn（ρατn）+Zτn^ft（ραT，αT）dt]≥ w（ρα）=w（L（ξ）），α ∈ A（2.8）从（1.4）中f的二次型，我们很容易看到，对于所有n，呃Zτn^ft（ραt，αt）dt我≤ Cα1+Esup0≤T≤TkραTk,对于某些依赖于α的正常数Cα（当A=Rm时，Cα依赖于αviaE[RT |αt | dt]）∞, 当A=L（Rd；Rm）时，Cα通过其Lipschitz常数依赖于α。再加上w的二次增长条件和（2.1），我们可以通过将n发送到（2.8）的单位和getw（L（ξ））来应用优势收敛定理≤ E[wT（ραT）+ZT^ft（ραT，αT）dt]=E[g（ραT）+ZT^ft（ραT，αT）dt]=J（α），其中我们使用了终端条件（i）和成本函数的表达式（2.2）。由于α在A中是任意的，这表明w（L（ξ））≤ V.在条件（iii）中，利用^α的局部鞅性质得到等式。根据流动特性（2.4），由于ρβt=ραt或β∈ 在（^α）处，我们注意到（ii）和（iii）中的局部次鞅和鞅p性质在区间[t，t]上表示为：o{ws（ρt，ραt，βs）+Rst fu（ρt，ραt，βu，βu）du，t≤ s≤ T}是任意β的（P，F）局部s次鞅∈ 在（α）；o{ws（ρt，ραt，ραs）+Rst^fu（ρt，ραt，ραu，^αu）du，t≤ s≤ T}是一个（P，F）局部鞅。通过与初始日期相同的参数，这意味着V^αt=Jt（ρ^αt，^α）=wt（ρ^αt），这意味着一旦我们从初始状态ρ^αt在时间t开始，即^α的时间一致性，^α就是对[t，t]的最优控制。

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2022-5-11 14:03:38

引理2.1的实际应用包括找到一个随机场{wt（u），u∈P（Rd），0≤ T≤ T}，光滑（在某种意义上是精确的），因此我们可以将It^o’s公式应用于{wt（ραT）+Rt^fs（ραs，αs）ds，0≤ T≤ T}，并检查任何α的有限变化项是否为非负∈ A（局部次鞅条件），对于某些^α等于零∈ A（局部鞅条件）。为此，我们需要一个关于概率测度的导数概念，并将依赖于P.L.Lions在法国学院的课程[29]中介绍的概念。我们简要回顾了基本定义，并参考[14]了解详细信息，另请参见[12]、[21]。该概念基于通过设置u（X）=u（L（X））将P（Rd）上定义的函数提升为L（G；Rd）上定义的函数。我们说，如果升力U在L（G；Rd）上是Fr’echet可微的（对于连续导数是Fr’echet可微的），那么U在P（Rd）上是可微的（分别是C）。在这种情况下，根据Riesz定理被视为L（G；Rd）元素DU（X）的Fr’echet导数可以表示为DU（X）=uu（L（X））（X），对于某些函数uu（L（X））：Rd→ Rd，在u=L（X）时被称为u的导数。此外uu（u）∈ Lu（Rd）代表u∈ P（Rd）={L（X）：X∈ L（G；Rd）}。在[21]之后，我们说u是完全Cif，它是C，映射（u，x）∈ P（Rd）×Rd7→ uu（u）（x）是连续的，（i）对于每个固定的u∈ P（Rd），映射x∈ Rd7→ uu（u）（x）在标准意义上是可区分的，梯度表示为十、uu（u）（x）∈ Rd×d和s.t.映射（u，x）∈ P（Rd）×Rd7→ 十、uu（u）（x）是连续的；（ii）对于每个固定的x∈ 第三，地图∈ P（Rd）7→ uu（u）（x）在上述意义上是可区分的。它的导数，因此被解释为映射x′∈ Rd7→uuu（u）（x）（x′）∈ Rd×din Lu（Rd×d）用x′表示∈ Rd7→ uu（u）（x，x′）和。T

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mingdashike22

2022-5-11 14:03:41

映射pin g（u，x，x′）∈ P（Rd）×Rd×Rd7→ uu（u）（x，x′）是连续的。我们说你∈ Cb（P（Rd））如果它完全是C，十、uu（u）∈ L∞u（Rd×d），uu（u）∈ L∞uu（Rd×d）表示任何u∈ P（Rd），对于P（Rd）的任何紧集K，我们有supu∈赫兹德uu（u）（x）|u（dx）+十、uu（u）k∞+uu（u）k∞我∞.接下来，我们需要一个It^o公式，以及[16]中针对常见噪声过程证明的一系列条件测度。在我们的上下文中，对于条件定律ραt的流动，0≤ T≤ T，α∈ A、它的表述如下。让你∈ Cb（P（Rd））。那么，尽管如此∈ [0，T]，我们有u（ραT）=u（L（ξ））+ZtραTLαttu（ραt）+ ραt ραtMαttu（ραt）dt+ZtραtDαttu（ραt）dWt（2.9），其中为（t，u，a）∈ [0，T]×P（Rd）×A，Latu（u），Datu（u）是由Lu（R）定义的Ft可测量的随机函数（u）（x）：=bt（x，\'u，A）。uu（u）（x）+tr十、uu（u）（x）（σtσt+σt（σt）)（x，\'u，a）,达图（u）（x）：=uu（u）（x）σt（x，¨u，a）和Matu（u）是以Lu表示的Ft可测量的随机函数由Matu（u）（x，x′）定义的u（R）：=truu（u）（x，x′）σt（x，\'u，a）（σt）（x′，μ，a）.引理2.1中的动态规划版本结果和It^o公式（2.9）对于一般的随机McKean-Vlasov方程（超越LQ框架）是有效的，并且通过结合随机场过程的It^o-Kunita型公式（类似于[26]中的公式），可以将其应用于{wt（ραt）+Rt^fs（ραs，αs）ds，0≤ T≤ T}为了推导一种形式的随机Hamilton-Jacobi-Bellman，即wt（u）的反向随机部分微分方程（BSPDE），如[30]f中所做的，或具有随机系数的受控微分过程。

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mingdashike22

2022-5-11 14:03:45

为了进一步研究，我们推迟了这种一般方法，在下一节中，我们将回到LQCMKV问题的重要特例，对于这个问题，我们将BSPDE简化为经典LQ框架中的倒向随机Riccati方程（BSRE）。3反向随机Riccati方程我们搜索LQCMKV问题的F适应随机场解，其二次形式为WT（u）=Var（u，Kt）+v（u，λt）+v（u，Yt）+v（u，Yt）+χt（3.1），用于一些F适应过程（K，λ，Y，χ），其值为Sd×Sd×Rd×R，且为反向SDE形式dKt=˙Ktdt+ZKtdWt，0≤ T≤ T、 KT=Pd∧T=˙∧tdt+Z∧tdWt，0≤ T≤ T、 ∧T=P+\'PdYt=˙Ytdt+ZYtdWt，0≤ T≤ T、 YT=LdχT=˙χT+ZχtdWt，0≤ T≤ T、 χT=0，（3.2）对于一些F适应过程˙K，˙∧，ZK，Z∧，其值在Sd中，˙Y，zy，其值在Rd中，以及˙χ，Zχ，其值在R中。注意，（3.2）中的终端条件通过（2.3）确保w在（3.1）中满足：wT（u）=g（u），接下来我们将确定生成器˙K，˙Y，∧和˙以满足局部条件。注意，函数Var，v，vare光滑w.r.t。

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2022-5-11 14:03:48

他们的论点和我们的uVar（u，k）（x）=2k（x- u), 十、uVar（u，k）（x）=2k=-uVar（u，k）（x，x′），kVar（u，k）=Var（u）：=R（x- u（x）- u)u（dx）uv（u，l)（x） =2lu, 十、uv（u，l)（x） =0，uv（u，l)（x，x′）=2l,lv（u，l) = uuuv（u，y）=y，十、uv（u，y）=0=uv（u，y）（x，x′），yv（u，y）=u。（3.3）对于任何α∈ A、通过Sα，F适应过程等于Sαt=wt（ραt）+Rt^fs（ραS，αS）ds，0≤ T≤ 然后通过它的公式（2.9）观察，它的形式是DαT=Dαtdt+αtdWt，漂移项DαT=Dt（ραT，αT，Kt，λT，Yt），由Dt（u，a，k，l, y） =^ft（u，a）+uLatVar（u，k）+Latv（u，l) + Latv（μ，y）+ u uMatVar（u，k）+Matv（u，l) + Matv（μ，y）+ tr(kVar（u，k）˙Kt）+tr(lv（u，l)˙∧t+yv（μ，y）˙Yt+˙χt+trkuDatVar（u，k）ZKt+ trluDatv（u，l)Z∧t+ yuDatv（u，l)ZYt，尽管如此∈ [0，T]，u∈ P（Rd），k，l ∈ Sd，y∈ Rd，a∈ A.（二阶激励术语SW.r.t.k.），l 因为函数v，Var和vare在k中分别是线性的，l 和y）。根据Var、vand vin（3.3）、wethen haveDt（u，a，k，l, y） =^ft（u，a）+Zbt（x，\'u，a）[2k（x）- u) + 2l\'u+y]u（dx）+Z[σt（x，\'u，a）kσt（x，\'u，a）+σt（x，\'u，a）kσt（x，\'u，a）]u（dx）+Zσt（x，\'u，a）u（dx）(l - （k）Zσt（x，\'u，a）u（dx）+ Var（u，˙Kt）+v（u，˙∧t）+v（u，˙Yt）+χt+Zσt（x，\'u，a）[2ZKt（x- \'u）+2Z∧t\'u+ZYt]u（dx）。

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mingdashike22

2022-5-11 14:03:52

（3.4）我们现在区分控制集A为Rm（LQCMKV1）或Rd（Rd；Rm）（LQCMKV2）的情况。3.1控制集A=Rm根据bt的线性形式，σt，σtin（1.2），以及^ftin（2.3），经过一些简单的计算，我们得到：，l, y） =Var（u，Φt（k，ZKt）+v（u，ψt（k，l, Z∧t）+˙∧t）+v（u，Θt（k，l, Z∧t，y，ZYt）+Yt+t（k，l, y、 ZYt）+˙χt+aΓt（k，l)a+[2Ut（k，l, Z∧t）¨u+Rt（k，l, y、 ZYt）]阿维思Φt（k，ZKt）=Qt+Btk+kBt+DtkDt+（Dt）kDt+（Dt）ZKt+ZKtDtψt（k，l, Z∧t）=Qt+\'Qt+（Dt+\'Dt）k（Dt+\'Dt）+（Dt+\'Dt）l（Dt++Dt）+（Bt++Bt）l + l（Bt++Bt）+（Dt++Dt）Z∧t+Z∧t（Dt+\'Dt）Θt（k，l, Z∧t，y，ZYt）=Mt+（Bt+？-Bt）y+2lbt+2（Dt+Dt）kγt+2（Dt+\'Dt）lγt+（Dt+？-Dt）ZYt+2Z∧tγtt（k，l, y、 ZYt=ybt+γtkγt+（γt）lγt+（ZYt）γtΓt（k，l) = Nt+FtkFt+（英尺）lFtUt（k，l, Z∧t）=（Dt+\'Dt）kFt+（Dt+？-Dt）l英尺+lCt+Z∧tFtRt（k，l, y、 ZYt=2Ftkγt+2（英尺）lγt+Cty+（英尺）ZYt。（3.5）然后，在条件th atΓt（k）下完成方形后，l) 在Sm中为正定义，我们有（u，a，k，l, y） =Var（u，Φt（k，ZKt）+v（u，ψt（k，l, Z∧t）- Ut（k，l, Z∧t）Γ-1t（k，l)Ut（k，l, Z∧t）+˙∧t）+v（u，Θt（k，l, Z∧t，y，ZYt）- Ut（k，l, Z∧t）Γ-1t（k，l)Rt（k，l, y、 ZYt）+˙Yt）+t（k，l, y、 ZYt）-Rt（k，l, y、 ZYt）Γ-1t（k，l)Rt（k，l, y、 ZYt）+˙χt+A.- ^at（°u，k，l, y）Γt（k，l)A.- ^at（°u，k，l, y）,式中，^at（°u，k，l, y） =-Γ-1t（k，l)Ut（k，l, Z∧t）¨u+Rt（k，l, y、 ZYt）.因此，只要˙Kt+Φt（Kt，ZKt）=0，˙∧t+ψt（Kt，λt，Z∧t）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Ut（Kt，λt，Z∧t）=0，˙Yt+Θt（Kt，λt，Z∧t，Ys，ZYt）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）=0，˙χt+t（Kt，λt，Yt，ZYt）-Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）Γ-1t（Kt，λt，Yt）Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）=0，适用于所有0≤ T≤ T，我们有αT=Dt（ραT，αT，Kt，∧T，Yt）（3.6）=αt- ^at（ραt，Kt，λt，Yt）Γt（Kt，λt）αt- ^at（ραt，Kt，λt，Yt）,哪个小鬼撒谎说Dαt≥ 0, 0 ≤ T≤ 总的来说，T∈ A、即。

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2022-5-11 14:03:56

Sαt=wt（ραt）+Rt^fs（ραS，αS）ds，0≤ T≤ 满足所有α的（P，F）-局部子鞅性质∈ A.然后我们要考虑BSDE系统：dKt=-Φt（Kt，ZKt）dt+ZKtdWt，0≤ T≤ T、 KT=Pd∧T=-[ψt（Kt，λt，Z∧t）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Ut（Kt∧t，Z∧t）]dt+Z∧tdWt，0≤ T≤ T、 ∧T=P+`PdYt=-Θt（Kt，λt，Z∧t，Yt，ZYt）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）]dt+ZYtdWt，0≤ T≤ T、 YT=L，dχT=-t（Kt，λt，Yt，ZYt）-Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）dt+ZχtdWt，0≤ T≤ T、 χT=0。（3.7）定义3.1 BSDE系统（3.7）的解是F适应过程对（K，ZK），∧，Z∧，（Y，ZY），（χ，Zχ）的四重解，其值分别为Sd×Sd，Sd×Sd，Rd×Rd，R×R，使得rt | ZKt |+| Z∧t |+| ZYt∞a、矩阵过程Γ（K，λ）与Smis正定义a.s.中的值，以及以下关系Kt=P+RTtΦs（Ks，ZKs）ds-RTtZKsdWs，∧t=P+\'P+RTtψs（Ks，λs，Z∧s）+Us（Ks，λs，Z∧s）Γ-1s（Ks，λs）Us（Ks，λs，Z∧s）ds-RTtZ∧sdWs，Yt=L+RTtΘs（Ks，λs，Z∧s，Ys，ZYs）- Us（Ks，λs，Z∧s）Γ-1s（Ks，λs）Rs（Ks，λs，Ys，ZYs）ds-RTtZYsdWs，χt=RTts（Ks，λs，Ys，ZYs）-Rs（Ks，λs，Ys，ZYs）Γ-1s（Ks，λs）Rs（Ks，λs，Ys，ZYs）ds-RTtZχsdWs，适用于所有∈ [0，T]。以下验证结果表明s y杆（3.7）和LQCMKV1控制之间存在连接问题。命题3.1假设（K，ZK），∧，Z∧，（Y，ZY），（χ，Zχ）是BSDE（3.7）的解，使得K，λ，Γ-1（K，λ）本质上是有界的，Z∧位于L中(Ohm ×[0，T]），即e[RT|Z∧T|dt]<∞, Y在于S(Ohm ×[0，T]），即e[|sup0≤T≤T|Yt|]<∞, 而χ位于(Ohm ×[0，T]），即。

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2022-5-11 14:04:01

E[| sup0≤T≤T|χT|]<∞ 然后，控制过程α*t=^at（E[X*t | W]，Kt，∧t，Yt）（3.8）=-Γ-1t（Kt，λt）Ut（Kt，λt，Z∧t）E[X*t | W]+Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）, 0≤ T≤ T、 X在哪里*= Xα*是反馈控制^at（，Kt，λt，Yt）的状态过程，是LQCMKV1问题的最优控制，即V=J（α）*), 我们有v=Var（L（ξ），K）+v（L（ξ），λ）+v（L（ξ），Y）+χ。证据考虑（K，ZK），∧，Z∧，（Y，ZY），（χ，Zχ）是BSDE（3.7）的解，W是二次型（3.1）的解。首先，注意w满足四次增长（2.7），因为K，λ基本上是有界的，和（Y，χ）∈ S(Ohm ×[0，T]）×S(Ohm ×[0，T]）。此外，我们还有终端条件wT（u）=^g。接下来，通过构造，过程Dαt=Dt（ραt，αt，Kt，λt，Yt），0≤ T≤ T是非负的，这意味着SαT=wt（ραT）+Rt^fs（ραS，αS）ds，0≤ T≤ T是（P，F）-局部子鞅。此外，通过选择控制α*在表（3.8）中，我们注意到X处的th*, 线性随机McKean-Vlasov动力学的解满足平方可积条件：E[sup0≤T≤T | X*t |]<∞, 因此E[RT |α*t|dt]<∞, 因为U（K，λ，Z∧）继承了Z∧的平方可积条件L(Ohm ×[0，T]），Γ-1（K，λ）本质上是有界的，所以α*∈ 最后，fr om（3.6）我们看到Dα*= 0给出了Sα的（P，F）-局部鞅性质*, 我们以动态编程验证引理2.1作为结论。现在让我们证明，在假设（H1）和（H2）下，满足命题3.1可积条件的BSDE（3.7）解的存在性。我们指出这个系统是解耦的：（i）首先考虑（K，ZK）的BSDE，其生成器（K，z）∈ Sd×Sd7→ Φt（k，z）∈ SDS是线性的，具有本质上有界的系数。由于终端条件P本质上也是有界的，线性BSDE的标准结果表明，存在一个单位为Sd×Sd，s.t的u nique解（K，ZK）。

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2022-5-11 14:04:05

K本质上是有界的，ZK位于L中(Ohm ×[0，T]）。此外，由于P和Φt（0，0）=qt在（H1）下是非负的，我们还通过BSDE的标准比较原理得出，对于所有0≤ T≤ T（ii）给定K，我们接下来考虑带生成器的（λ，Z∧）的BSDE：(l, z）∈ Sd×Sd7→ψt（Kt，l, z）- Ut（Kt，l, z） Γ-1t（Kt，l)Ut（Kt，l, z）∈ Sd和终端条件P+-P。这是一个倒向随机Riccati方程（BSRE），众所周知（参见[9]），它与一个随机标准LQ控制问题（具有ou-Tmcken-Vlasov依赖性）有关，具有受控线性动力学：dXt=[（Bt+）~Xt+Ctαt]dt+[（dt+）~Xt+Ftαt]dWt和二次成本泛函JK（α）=EhZT~XtQKtXt+αtNKtαt+2XtMKtαtdt+~XT（P+\'P）~XTi，其中QKt=Qt+\'Qt+（Dt+\'Dt）Kt（Dt+-Dt），NKt=Nt+FtKtFt，MKt=（Dt+？-Dt）KtFt。在NK为正定义的条件下，我们可以在s q uare完成后将该代价函数重写为JK（α）=EhZT~XtQKtXt+~αtNKtαtdt+~XT（P+\'P）~XTi，其中~QKt=QKt-MKt（NKt）-1（MKt）, §αt=αt+（NKt）-1（MKt）~Xt。注意到≥ Qt+-Qt，由此得出对称矩阵qk和P+-P是非负的欠条件（H1），并且进一步假设NK是一致正的定义，我们从[37]中得到该BSRE的解（λ，Z∧）的存在唯一性，其中∧是非负的且本质上有界的，Z∧平方可积于L中(Ohm ×[0，T]）。这尤其意味着Γ-1（K，λ）定义明确，基础基本。

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2022-5-11 14:04:08

由于K在（H1）下为非负，请注意，在（H2）下，NK上的一致正性条件是满足的：当N为一致正性定义时，这一点很明显（正如LQ问题中通常假设的那样），当F为一致正性定义，且K为一致正性定义时，这一点也成立，当P或Q是线性BSDE f或K的比较原理的一致正定义时发生。（iii）给定（K，λ，Z∧），我们考虑（Y，ZY）的BSDE和生成器：（Y，Z）∈ Rd×Rd7→ Gt（y，z）：=Θt（Kt，λt，z∧t，y，z）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，∧t，y，z）的值在Rd和终端条件L中。这是一个线性BSDE和{Gt（0，0），0≤ T≤T}位于L中(Ohm ×[0，T]）（回想一下，b，γ和γ是可积的）。对于BSDE的旁观者结果，我们知道存在唯一解（Y，ZY）s.t。

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大多数88

2022-5-11 14:04:12

Y在于S(Ohm ×[0，T]），Z位于L中(Ohm ×[0，T]）。（iv）最后，在给定（K，λ，Y，ZY）的情况下，我们求解了χ的倒向随机方程，其显式形式为χt=EhZTts（Ks，λs，Ys，ZYs）-Rs（Ks，λs，Ys，ZYs）Γ-1s（Ks，λs）Rs（Ks，λs，Ys，ZYs）dsFti，0≤ T≤ T、而χ满足了S(Ohm ×[0，T]）可积条件。综上所述，我们证明了以下结果：定理3.1在假设（H1）和（H2）下，满足命题3.1可积条件的BSDE（3.7）存在唯一解（K，ZK），∧，Z∧，（Y，ZY），（χ，Zχ），因此我们对LQCMKV1问题给出了一个最优控制（3.8），（3.4）给出了^ftin（2.3）的quadratic形式，在通过dt（u，a，k，l, y） =Var（u，Φt（k，ZKt）+v（u，ψt（k，l, Z∧t）+˙∧t）+v（u，Θt（k，l, Z∧t，y，ZYt）+Yt+t（k，l, y、 ZYt）+˙χt+Var（a） u，Γt（k，k））+a uΓt（k，l)A. u+2Z（x- u)Vt（k，ZKt）a（x）u（dx）+[2Ut（k，l, Z∧t）¨u+Rt（k，l, y、 ZYt）]A. 无论如何∈ [0，T]，u∈ P（Rd），k，l ∈ Sd，y∈ Rd，a∈ L（Rd；Rm），其中a u ∈ P（Rm）表示图像的μ u=Za（x）u（dx），Var（a u，k）=Za（x）-A. uKa（x）-A. uu（dx），我们使用与（3.5）中相同的符号表示附加术语：Vt（k，ZKt）=DtkFt+（Dt）kFt+kCt+ZKTF。

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2022-5-11 14:04:15

（3.9）然后，在条件th atΓt（k）下完成方形后，l) 在Sm中为正定义，我们有（u，a，k，l, y） =Var（u，Φt（k，ZKt）- Vt（k，ZKt）Γ-1t（k，k）Vt（k，ZKt）+Kt）+v（u，ψt（k，l, Z∧t）- Ut（k，l, Z∧t）Γ-1t（k，l)Ut（k，l, Z∧t）+˙∧t）+v（u，Θt（k，l, Z∧t，y，ZYt）- Ut（k，l, Z∧t）Γ-1t（k，l)Rt（k，l, y、 ZYt）+˙Yt）+t（k，l, y、 ZYt）-Rt（k，l, y、 ZYt）Γ-1t（k，l)Rt（k，l, y、 ZYt）+˙χt+Var（a）-^at）（，\'u，k，l, y） u，Γt（k，k）+（a）-^at）（，\'u，k，l, y） uΓt（k，l)（a）-^at）（，\'u，k，l, y） u其中^at（，？，k，l, y）：Rd→ 由^at（x，\'u，k，l, y） =-Γ-1t（k，k）Vt（k，ZKt）（十）- u)- Γ-1t（k，l)Ut（k，l, Z∧t）¨u+Rt（k，l, y、 ZYt）, 十、∈ Rd.然后我们考虑BSDE系统：dKt=-Φt（Kt，ZKt）- Vt（Kt，ZKt）Γ-1t（Kt，Kt）Vt（Kt，ZKt）dt+ZKtdWt，0≤ T≤ T、 KT=Pd∧T=-ψt（Kt，λt，Z∧t）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Ut（Kt，λt，Z∧t）dt+Z∧tdWt，0≤ T≤ T、 ∧T=P+`PdYt=-Θt（Kt，λt，Z∧t，Yt，ZYt）- Ut（Kt，λt，Z∧t）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）]dt+ZYtdWt，0≤ T≤ T、 YT=L，dχT=-t（Kt，λt，Yt，ZYt）-Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）Γ-1t（Kt，λt）Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）dt+ZχtdWt，0≤ T≤ T、 χT=0，（3.10），通过与命题3.1相同的参数，我们得到了以下验证结果，证明了系统（3.10）与LQCMKV2控制问题之间的联系。命题3.2假设（K，ZK），∧，Z∧，（Y，ZY），（χ，Zχ）是BSDE（3.10）的解，如K，λ，Γ-1（K，λ）本质上是有界的，Y位于s中(Ohm ×[0，T]），并且χ位于s中(Ohm ×[0，T]）。

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2022-5-11 14:04:19

然后，控制过程α*用L（Rd；Rm）和定义的Byα表示*t（x）=^at（x，E[x*t | W]，Kt，∧t，Yt）（3.11）=-Γ-1t（Kt，Kt）Vt（Kt，ZKt）（十）- E[X*t | W]）- Γ-1t（Kt，λt）Ut（Kt，λt，Z∧t）E[X*t | W]+Rt（Kt，λt，Yt，ZYt）, 十、∈ Rd，0≤ T≤ T、 X在哪里*= Xα*是反馈控制^at（，，Kt，∧t，Yt）的状态过程，是LQCMKV2问题的最优控制，即V=J（α）*), 我们有v=Var（L（ξ），K）+v（L（ξ），λ）+v（L（ξ），Y）+χ。现在让我们讨论满足命题3.2可积条件的BSDE（3.10）解的存在性。至于（3.7），这个系统是解耦的。差异。r、 LQ CMKV1问题的t在（K，ZK）的BSDE中，其中发电机（K，z）∈Sd×Sd7→ Φt（k，z）- Vt（k，z）Γ-1t（k，k）Vt（k，z）∈ SDI现在是Riccati类型。一般来说，它不属于与LQ控制问题有关的BSR Es类，但在某些特殊情况下，它是存在的：（1）系数B、C、D、F、D、F、Q、P、N是确定性的。在这种情况下，K的BSRE被简化为矩阵Riccati普通微分方程：-dKtdt=Φt（Kt，0）- Vt（Kt，0）Γ-1t（Kt，Kt）Vt（Kt，0），0≤ T≤ T、 KT=P。这个问题与LQ P问题有关，LQ P问题具有受控线性动力学dXt=（BtXt+CtαT）dt+（dtXt+FtαT）dWt+（dtXt+FtαT）dWt，其中控制过程α是一个F自适应过程，其值为Rm，且在α上最小化的成本函数为J（α）=EhZT（X）tQtXt+~αtNtαt）dt+~XTPXTi。在[38]的假设（H1）和条件（H2）（i）中解决了这一问题，即如果定义为正定义，则为非正定义，这就给出了K的存在性和唯一性∈C（[0，T]；Sd），它是负的n。（2） D≡ F≡ 0

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2022-5-11 14:04:23

在这种情况下，（K，ZK）的BSRDE与LQ问题相关联，LQ问题具有受控线性动力学D＠Xt=（Bt＠Xt+Ct＠αt）dt+（dt＠Xt+Ft＠αt）dWt，其中控制过程＠α是一个F适应过程，其值为Rm，且在＠α上最小化的成本函数为＠J（＠α）=EhZT（＠X）tQtXt+~αtNtαt）dt+~XTPXTi。从[37]可知，在假设（H1）和（H2）（i）下，BSRDE存在唯一对（K，ZK）解，K为非负，本质上是有界的。（3） N≡ 0，P是一致正的，m=d，F与F是可逆的-1.边界。在这种情况下，K的BSDE减少为线性BSDE:dKt=-Φt（Kt，ZKt）- （CtF）-1tDt）Kt+Kt（CtF）-1tDt）- DtKtDt- KtCt（F）tKtFt）-1CtKtdt+ZKtdWt，0≤ T≤ T、 KT=P，已知存在一个K为正且本质有界的u nique解（K，ZK）。在一般情况下，BSRE（3.10）的K解是否成立，这是一个悬而未决的问题。总之，一旦解K存在，给出d，对（λ，Z∧），（Y，ZY），（χ，Zχ）的BSDE与（3.7）相同，然后在相同条件下得到它们的存在性和唯一性。4.申请4。1具有价格影响和基准跟踪的交易我们考虑在金融市场中的代理人交易，其存货为Xt，即在时间t持有的风险y股票中的大量股份，由DXT=αtdt控制，其中控制α是L(Ohm ×[0，T]），表示交易率。

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2022-5-11 14:04:26

给定实值F-适应股价过程（St）0≤T≤锡L(Ohm ×[0，T]），实值F-适应目标过程（It）0≤T≤锡L(Ohm ×[0，T]），而最终基准H作为平方可积FT可测随机变量，代理的目标是最小化过度控制过程αa，形式为：J（α）=EhZT的成本函数αtSt+ηαt）+q（Xt- （它）dt+λ（XT）- H） i，（4.1）式中η>0，q≥ 0和λ≥ 0是常量。这种公式与存在价格冲击等流动性摩擦时的最优交易和套期保值问题有关，近年来得到了广泛研究：当≡ = （4.1）中的成本函数出现在存在暂时价格影响的期权套期保值中，参见，例如[34]，[3]，[6]，也与最优VWAP执行问题有关（参见[23]，[20]），或与基准跟踪有关，参见[13]。当q=0时，（4.1）中的成本函数的最小化对应于极限订单簿（LOB）中出现的最优执行问题，如[2]中针对S的特定Bachelier模型最初所述，并且在文献中已被讨论过（LOB中有一般形状函数），但主要是通过假设价格过程的martin gale性质，参见，例如[1]，[33]。通过在平方完成后重写代价函数asJ（α）=EhZTηαt+q（Xt- （它）dt+λ（XT）- H）我- EhZTSt4ηdti，随着∧αt=αt+St2η，我们看到这个问题会进入LQCMK V1框架（使用bt=-St2η，无McKean-Vlasov依赖性，但具有随机系数），并满足假设（H1），（H2）。根据定理3.1，最优控制由α给出*t=-η∧tX*t+Yt-St2η，0≤ T≤ T、（4.2）其中∧是（普通微分）Riccati方程的解∧T=-（q）-∧tη）dt，0≤ T≤ T、 λT=λ，（4.3），Y是线性方程的解=2qIt+tηSt+tηYtdt+ZYtdWt，0≤ T≤ T、 YT=-2λH。

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2022-5-11 14:04:29

（4.4）Riccati方程的解为∧tη=pq/ηpq/ηsinh（pq/η（t- t））+λ/ηcosh（pq/η（t）- t） λ/ηsinh（pq/η（t）- t））+pq/ηcosh（pq/η（t）- t）），0≤ T≤ T、而线性BSDE的解由YT=-2他-RTt∧sηdsλH+ZTte-Rst∧uηduqIs+λsηSsdsFti，0≤ T≤ T.通过积分函数∧/η，我们得到-Rst∧uηdu=∧t/ηpq/ηpq/ηcosh（pq/η（t- s））+λ/ηsinh（pq/η（T）- s））pq/ηsinh（pq/η（T）- t））+λ/ηcosh（pq/η（t）- t））=t∧spq/ηsinh（pq/η（t）- s））+λ/ηcosh（pq/η（T）- s））pq/ηsinh（pq/η（T）- t））+λ/ηcosh（pq/η（t）- t））t≤ s≤ T、然后将（4.2）中的最优控制插入Y的期望形式，表示为α*t=-∧tη（X）*T-^IHt）+2ηEZTt∧tηω（t，t）ω（s，t）Ssds | Ft- 圣=: α*,IHt+α*,圣，0≤ T≤ T、（4.5）式中^IHt=Ehω（T，T）H+（1）- ω（t，t））ZTtIsK（t，s）ds权重值为[0,1]ω（t，t）=λ/ηpq/ηsinh（pq/η（t- t））+λ/ηcosh（pq/η（t）- t））和核鹿（t，s）=pq/ηpq/ηcosh（pq/ηt- t））+λ/ηsinh（pq/η（t）- t））pq/ηsinh（pq/η（t）- t））+λ/η（cosh（pq/η（t- t） )- 1), 0 ≤ T≤ s≤ T.将（4.5）中的最优交易规则分解为两部分：（i）第一项α*,IH规定代理人以最佳方式向加权平均值^IHt交易，而不是当前目标位置I。实际上，^IH是终端随机目标H的预期未来和运行目标I的加权平均值的凸组合（注意K（t，.）是一个非负核函数，积分为[t，t]）。该目标利率与当前投资者头寸的距离成比例，比例系数由成本参数η、q、λ和到期时间t决定-t、在λ=0（终端位置无约束）和λ=∞ （终端位置XT=H上的约束）。

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何人来此

2022-5-11 14:04:32

在q=0的情况下，我们有∧t/η=λ/（η+λ（t- t），^IHt=E[H | Ft]，我们特别检索表达式α*,IH=-十、*t/（t）- t） n=0时的最优交易率，以及λ→ ∞ 对应于终端清算XT=0的最优执行问题。（ii）第二项α*,与股票价格相关，是一种购买或出售股票的动机，取决于股票预期未来价值的加权平均值是否大于或小于当前价值。特别是，当价格过程是马丁盖尔过程时，α*,St=-St2ηpq/ηpq/ηcosh（pq/η（T- t））+λ/ηsinh（pq/η（t）- t））这对于非负p rice St来说是非正的，因此这意味着由于价格的影响，必须出售。此外，在极限情况下→ ∞, i、例如，限制最终库存XT以实现目标H，然后是α*,Sis zero：我们得到了当它是鞅时，最优交易率d不依赖于价格过程的结果，见[1]，[33]。另一方面，通过将g It^o公式应用于（4.2），并使用（4.3）-（4.4），我们已经α*t+St2η=qη（X）*T- 它）ds-2ηZYtdWs，这意味着显著的性质：α*t+St2η-qηZt（X）*s- 是）ds，0≤ T≤ T、这是一场m artin gale。4.2不完全市场中的条件均值-方差投资组合选择我们考虑一个代理人，他可以投资于一个金融市场模型，其中一个价格过程债券和一个价格过程风险资产由DST=Str（It）dtdSt=St（（b+r）（It）dt+σ（It）dWt）控制，其中I是一个动态由Br ownian运动W控制的因子过程，假设与驱动资产价格过程的布朗运动W无关，r利率、b超额收益率和σ波动率是I的可测有界函数，σ（It）≥ ε对于某些ε>0的情况。

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