综合规模和价格优化问题

2022-5-16 09:45:52

综合规模和价格优化问题Miriam KiesslingSascha Kurz和J¨org RambauUniversit¨位于德国贝鲁特95440号贝鲁特。我们提出了一个包含多个分支机构的时尚折扣店的综合规模和价格优化问题（ISPO）。基于一个有追索权的两阶段随机规划模型，我们开发了一个精确算法和一个产生小的最优性差距的符合生产要求的启发式算法。在现场研究中，我们表明，基于ISPO解决方案的分支机构和规模的供应分配明显优于忽略最优定价可能性的一阶段分配优化。关键词：供应链、时尚折扣店、批次类型、降价、预包装、有追索权的随机优化、现场研究MSC:90B90、90B051。简介我们想为一个拥有多个分支机构的现实世界时装店一次性供应服装，以使销售过程中可能的降价预期收益最大。我们合作伙伴的供应流程和销售流程有几个特点。其中最重要的是以下几点。某一尺寸的分支机构的供应不能独立于其他供应来决定：订购和交付是基于预先包装好的产品品种，即所谓的批次。每种型号的批量规格都会在预包装中标明该尺寸的商品数量。

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2022-5-16 09:45:56

另一个重要的限制是，只能对所有分支机构和所有尺寸的产品降价，因此不可能对所有分支机构和所有尺寸的产品单独使用动态定价策略。此外，大多数时尚产品只转售一次，再也不会出售。因此，历史销售数据只能在更高的聚合级别上使用，例如。，在商品组层面或主要商品组层面上，价格以销售周的价格计算。由于在大多数情况下，每个分支机构的平均供应量和单个产品的大小是零、一或两个，我们可以预期histor icalsales数据只会给我们提供非常粗略的信息。因此，使用一种考虑到预测准确性和偏离正常行为的方法似乎是合理的。尽管如此，我们仍需要设计一个模型，其随机部分足够简单，能够快速生成解决方案，同时克服不可或缺的操作方面的限制。一家大型时尚折扣店（大约1000件产品，总计每月约1000万件）仅处理的商品量就需要供应计算，并得到巴伐利亚州商品交易委员会（Bayerische Forschungsstiftung）、Az-727-06.2 M.KIESSLING、S.KURZ和J.RAMBAUno的资助，平均每件商品的供应计算时间超过15分钟，才能跟上运营。这个巨大的吞吐量实际上意味着对环境中使用的任何算法都有实时性要求。在本文中，我们试图在建模精度和实时合规性之间找到一个平衡点，只在模型中加入产品的几个总体成功场景，但坚持对所有其他变量进行点预测，比如对分支或大小的需求进行相互比较。1.1. 令人兴奋的工作。[3,6,9,18]中讨论了inventor y与动态定价决策的关联。

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2022-5-16 09:46:00

最近的方法考虑了稳健性考虑[1]或博弈论方面，如竞争和均衡[2]。这些结果的共同点是通过流体近似和/或动态编程方法的最佳控制方法。公司的实际设置通常涉及额外的副约束（在我们的案例中：对使用的批次类型数量的限制）和成本（在我们的案例中：批次类型处理和开放成本），这将导致违反最优控制中的重要假设，并且在动态编程中需要非常大的状态空间。在收入管理文献中，动态定价是一个经过充分研究的问题（例如，参见[5,12,13,17,21]作为示例）。同样，复杂的操作侧约束通常被忽略，而倾向于对隔离光谱进行更具原则性的研究。同样，我的工作是从博弈论的角度进行的，比如战略客户（参见[20]）。经典的库存管理研究与我们的主题不太相关，因为大多数政策都涉及补充库存的最佳方式。在我们的环境中，不可能有任何改变。我们在获取基于批次的供应[11,15]构成的运营侧约束方面的第一步并没有考虑定价，而是通过供应和估计需求之间的距离度量来估计创新决策的后果。由此产生的随机批量设计问题（不涉及定价）将作为我们规模优化阶段模型的模板。由于可能的批次类型的数量可能非常大，我们在[15]中开发了d abranch和price算法。

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2022-5-16 09:46:05

然而，在本文中，我们将自己限制在一个可管理数量的适用批次类型上。我们没有发现任何已发表的现场研究将动态定价和/或库存控制的任何理论结果应用于实际环境，并在计划的受控实验中分析该方法的影响。1.2. 你的贡献。我们提出了一个现实世界中的时装折扣店的库存和动态定价问题，该问题有一组迄今尚未研究的操作方面的约束。对于这个问题，我们提出了一个新的解决方案用于基准测试的精确分枝定界算法生产使用的快速启发式现场实验得出的计算结果，以及对统计意义的稳健评估。与之前研究的问题相比，我们的组合库存和动态定价问题是一个新问题，原因是以下几个方面的组合：o季节性商品。o没有补充。综合尺寸和价格优化问题3o没有遗留物品（所有物品都以一定价格出售）。o一些分行可能会提前缺货，而另一些分行仍有库存供应必须按数量有限的s类批次（单个产品尺寸的预包装组件）进行订购和交付；因此，每个分支机构和规模的可能库存决策受到严格限制所有分支机构和规模的价格都必须持续降低价格必须从一小部分可能的价格中选取有处理批次类型的成本，使用其他批次类型的边际成本，以及降低成本。我们首次将这个综合规模和价格优化问题（ISPO）建模为一个两阶段随机规划问题。我们认为记录决策是对产品微小成功的追索行动。

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2022-5-16 09:46:09

在分支机构和规模上进行商品分销的实际效益取决于产品的成功：与其他分支机构和规模相比，收到的商品太少的分支机构和规模在高成功场景中会产生较高的机会成本，但在小成功场景中则不会——因为需求低，平均而言，商品太少会变得非常正确。相反，与其他品牌相比，一家分店和一家分店收到的商品太多，在小规模的成功销售中会产生较高的降价损失，但在大规模的成功销售中则不会。两阶段设置近似于多阶段设置：ISPO是决定库存的模型。它忽略了销售过程中成功信息的流动（开环）。这是可以接受的，因为ISPO中的价格优化阶段只是对库存决策引起的追索成本的估计。当销售流程实际运行时，我们将ISPO的价格优化阶段规划为滚动期，以利用每周的销售信息。因此，在价格优化阶段，ISPO的准确度低于现有模型，因为它通过开环价格分配来估计预期收益。在规模优化阶段，ISPO的准确度远高于现有模型，因为它考虑了许多运营方面的约束。作为对现实问题建模的一个贡献，我们为ISPO的两阶段随机规划模型引入了扩展混合整数线性规划公式。对于这个模型，我们设计了两种算法：一种是精确分支定界法，另一种是启发式方法：乒乓启发式。尽管这两种方法都是为我们的现实问题量身定制的，但其背后的思想可以用于其他环境。

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2022-5-16 09:46:12

我们在备注2和备注3中陈述了一些问题的特点，这些问题可能会受到类似想法的攻击。此外，我们还进行了一项真实的现场研究，作为一项对照统计实验（类似于临床研究）。我们在一组控制分支上并行使用了现有的优化方法（“旧”方法），在一组测试分支上并行使用了基于ISPO模型的尺寸优化方法（“新”方法）。一个分支被认为是测试分支还是控制分支是随机决定的。从这项研究中，我们得出结论，在五个月的时间内，我们可以将平均相对化收入（总收入的平均值除以最大可能收入）增加约两个百分点（当只考虑一小部分高度清理的数据时，分别增加超过一个百分点）。这意味着在规模经济中有大笔资金。4 M.KIESSLING、S.KURZ和J.RAMBAUThe受控测试设置的优势产生了更多：通过使用利用实验设计的稳健排名统计数据，我们可以说，这些改进极不可能（约4%的概率）是偶然发生的，并且没有假设误差分布。我们还没有看到任何公开的结果来调查这种（或任何其他）统计方法的实际结果的重要性，我们认为将受控统计实验引入零售收入管理领域本身就是一种贡献。注：我们将“新”方法（来自本文）与“旧”方法进行比较的“旧”方法不是我们合作伙伴开发的历史手动解决方案，而是基于[11]中概念的单站规模优化方法；这种“旧”方法是我们的合作伙伴在开发后立即采用的，因为与之前的手动解决方案相比，它产生了明显的好处。

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nandehutu2022

2022-5-16 09:46:15

之前，我们的现场研究结果评估了使用带有纯货币目标函数的随机两阶段模型的益处，而不是基于供应和预测需求之间距离的带有非货币目标函数的确定性单阶段模型。1.3. 这篇论文的第一行。我们在第2节中正式说明了ISPO。第3节描述了我们用于模拟ISPO的两站随机程序的扩展MILP公式。在第4节中，我们介绍了两种算法：MILP的精确分枝定界求解器和快速乒乓启发式算法。在第5节中，我们概述了现实世界实地研究的设置。第六部分是计算结果：一部分是乒乓球可以快速解决现实世界中的ISPO问题，但存在很小的优化差距，另一部分则展示了在实践中使用ISPO的影响。我们在第7节结束。2.形式问题陈述我们将单个时装产品的供应分布视为两阶段优化问题。在尺寸优化阶段（第2.1节），我们基本上决定批量类型设计（见[11,15]）。在价格优化阶段（第2.2节），我们决定在销售过程中降价，并根据第一阶段的决定和在第一个销售期后观察到的文章的总体成功率确定存货。我们希望最大化预期收益，即价格优化阶段的收益率减去两个阶段中各种行动的成本（第2.3节）。2.1。尺寸优化阶段。数据：B是我们时装折扣店的分支机构集合。

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2022-5-16 09:46:19

设L是一组适用的批次类型：对于一组利用的规模，批次类型是一个向量（ls）∈s∈ N | S |；它规定了该批次类型的任何预包装批次中每种尺寸的piec e的数量。我给出了所有分支和大小的产品总供应量的上限和下限。此外，还有一个上限κ∈ N取决于使用的批次类型数量。数据的典型范围为| B |≈ 1000 | L |≈ 1000,3 ≤ |S|≤ 7和2≤ κ ≤ 5.I和I的总边界通常为10000左右。我们通常有我≈ 我- 100.由于总供应量只能作为所选批次类型的基数之和来实现，因此，总供应量的微小变化会绕过数论问题。综合规模和价格优化问题5决策：考虑一个独特的l（b）类型地块的分配∈ L和唯一重数m（b）对每个分支b的赋值∈ B.这些决策规定m（B）批l（B）将交付给B分支机构。决策相关实体：在给定分配l（B）和m（B）的情况下，B分支机构的库存大小为s，由Ib给出，s（l，m）=m（B）l（B）s。此外，l（B）和m（B）的总供应量由I（l，m）=Pb给出∈BPs∈同胞，s（l，m）。2.2。价格优化阶段。数据：我们获得了每个分支b的Ib供应∈ B码和s码∈ 由第一阶段决策l和m.Letk引起的∈ K={0，1，…，kmax}是周期的指数，设{πp}p∈Pbe是一组可能的价格。在每一次的成功中∈ 我们知道每个价格πp，每个分支b和每个大小s的（分数）平均需求dek，p，b，s∈ R≥0对于周期k内的产品，给出了起始价格π和残值πkmax。需求流程的实现：成功场景的实现在kobsth阶段结束时进行。在所有时段0，1，2。

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2022-5-16 09:46:27

，科布斯- 1对于Yetuna rio，必须使用起始价格。因为在所有有价格选择的时期，我们都知道我们所处的成功情景，只有第一阶段的发明决策是非预期的。（这模拟了一种情况，即一篇文章的成功与否可以在销售几段时间后得到很好的评估。）第一个kobsperiods可以合并为一个时期，但随后折扣会变得混乱。决策：对于已知的成功场景e，我们决定每个时段k∈ K\\{0，kmax}在一个价格指数pe（K）上，也就是说，我们想要在所有分支和大小的K周期内求出价格πpe（K）的乘积。这一决定是在成功场景实现后的周期性KOB开始时做出的。决策相关实体：假设Ie0，b，s:=Ib，s对于所有e，b，s。然后，对于每个周期k，价格指数的选择p（k）和初始（分数）平均库存水平，用Iek，b，s（p）表示，在该周期诱导（分数）平均销售，用Alesek，b，s（p）表示，在周期k，在分支b和场景e中的大小s，导致下一个周期k+1.2.3的新平均库存水平。两阶段目标。在分支机构b中使用l类批次中的m批次会产生cl、b、m的特定批次处理成本，例如，与m成比例的拣选成本：必须大量使用数量较少的批次，因此，总供应需要更多的拣选。对于第i个使用的批次类型，我们必须支付δi的边际批次类型开启成本。

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2022-5-16 09:46:31

分支b中k期的（分形）平均收益率和价格组合p（k）产生的规模由yieldk，b，s（p）=πp（k）Salsek，b，s（p）给出。价格的每一次变动都会产生1u的成本。目标是确定第一阶段的决策，以便在每种情况下，对于最佳的第二阶段决策，预期利润最大，即总产量减去批次处理成本减去批次类型开放成本减去减价成本。我们将这种带追索权的两阶段随机优化问题称为综合规模和价格优化问题（ISPO）。备注1。部分存货、销售和需求被解释为预期存货的近似值。原则上，我们可以使用多（整体）需求场景和整体库存记账。然而，在一个高工资国家，必要数量的减少是从一个低工资国家开始批量交货的原因。6 M.KIESSLING、S.KURZ和J.Rambausencarios对这样一个模型的支持将是巨大的。因此，我们的场景只模拟了本文总体成功所引起的总需求的变化。它们不会对实际需求在周期、分支和规模方面的可变性进行建模。通过使用表示预期值近似值的分数来忽略这些变量。在这些情况下，我们说的是平均值，而不是预期值，以便将分数表示的预期值与我们在所有成功场景中明确计算的预期值区分开来。3.建模在下面，我们开发了扩展形式的ISPO确定性等价物的ILP公式。对于第一阶段（SOP），我们使用二进制赋值变量xb，l,mto编码独立的分配决定l（b）=l m（b）=m。

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2022-5-16 09:46:36

在第二阶段，我们为独立的第二阶段ass ignmentdecision pe（k）引入二进制赋值变量。为了计算利润和成本，我们需要更多的依赖变量。我们先列出完整的模型，然后再评论细节。最大值-Xb∈BXl∈LXm∈Mxb，l,m·cb，l,M-κXi=1δi·zi（1）+Xe∈EProb（e）Xk∈Kexp(-ρk）Xb∈BXs∈斯雷克，b，s- uknek（2）尺寸优化阶段（SOP）：Xl∈LXm∈Mxb，l,m=1b（3）Xm∈Mxb，l,M≤ YlBl（4） Xl∈利索l≤κXi=1zi（5）zi≤ 子-1.i（6）Ib，s=Xl∈LXm∈嗯·ls·xb，l,Mb、 s（7）I=Xb∈BXs∈兄弟姐妹，s（8）I∈ [I，I]（9）xb，l,M∈ {0, 1} Bl, m（10）yl∈ {0, 1} l（11）子∈ {0, 1} i（12）Ib，s，i∈ Zb、 s.（13）通过初始库存进行耦合：Ib，s- ve0，b，s=0b、综合规模和价格优化问题7价格优化阶段（POP）：Xp∈普克，p=1k、 e（15）uek，0=1k<kobs，e（16）uekmax，pmax=1e（17）uek-1，p+uek，p≤ 1.k、 e，p，p<p（18）nek≥ uek-1，p+uek，p- 1.k、 e，p，p6=p（19）vek-1，b，s- vek，b，s=Xp∈普韦克-1，b，s，pk、 b、s、e（20）Xp∈普韦克，b，s，p≤ 韦克，b，sk、 b，s，e（21）wek，b，s，p≤ uek，p·dek，p，b，sk、 b，s，p，e（22）rek，b，s=Xp∈PπP·wek，b，s，Pk、 b，s，e（23）uek，p∈ {0, 1} k、 p，e（24）nek∈ {0, 1} k、 p，e（25）wek，b，s，p≥ 0k、 b，s，p，e（26）vek，b，s≥ 0k、 b，s，e（27）雷克，b，s≥ 0k、 b、s、e（28）我们首先对SOP阶段模型进行了评论：我们通过等式（3）强制将批次类型和多重性分配给每个分支。为了解释批次类型的开始，我们引入了批次类型变量yl指示是否为批次类型l 当且仅当使用第i个新批次类型时，才使用值为1的批次类型计数变量。等式（4）保证yl= 1无论何时l分配给至少一个分支b。不等式（5）意味着使用的不超过κ型。不等式（6）规定zi=1意味着使用的LOT类型的数量至少为i。

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2022-5-16 09:46:39

我们使用另一个因变量Ib，SFO作为b区和s区的库存，等式（7）将该变量与分配决策联系起来。然后，总库存由另一个因变量I给出，由等式（8）计算，并通过不等式（9）强制保持在给定的范围内。所有独立变量都必须是二进制的，即se（10）到（12），而依赖变量是整数（13）。接下来，让我们看看通过startinventories Ib连接到SOP阶段的POP阶段模型（14）。等式（15）强制每个场景中每个时段只分配一个价格。方程（16）和（17）表示起始价格和残值是固定的。我们可以通过等式（18）来提高价格。独立二元变量nek表示周期k中的减价，如果价格与前一周期相比发生变化，则该变量在不等式（19）中被迫为1。以下限制使用一些相关变量对销售过程的动态进行建模。分数变量vek，b，s表示情景e中分支机构b和规模k期间的平均库存水平。fr行动变量wek，b，s，p表示情景e中价格p在分支机构b和规模s期间的平均销售额。rek，b，s表示情景e中的平均产量8 M。s.KURZ，KIESSLING，以及分支b中的J.RAMBAUin周期k和场景e中的大小s（关于我们在此处使用分数变量的原因，请参见备注1）方程式（20）描述了股票价格从一个周期到另一个周期的变化。

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2022-5-16 09:46:43

不等式（21）模型中，销售不可能超过库存，在不等式（22）中，我们要求，只有选择价格p，才能以价格p销售，价格p最多等于pric e p的需求。因为目标倾向于更大的销售，在非最优解中，以价格销售的变量将恰好成为该价格下库存和需求的最小值。在平均值水平上，这高估了平均销售额；因此，这只能得到一个近似值。最后，我们通过等式（23）计算货币的收益率。在这个流行阶段，只有独立的价格分配变量被认为是二进制的（24）。在（26）到（28）中，捕获平均库存、销售和收益动态的因变量必须是非负的。目标函数减去处理m批类型的成本l b区和地块类型使用第一、第二、，第i个新的彩票类型（1）来自预期的贴现平均收益率减去预期的折扣成本（2）。这种与ISPO具有确定性的ILP模型——尽管只是一种近似值——包含了许多现实世界的限制和成本因素。因此，标准解算器（cplex，scip）的分支和绑定阶段在我们所有的现实世界中都没有取得任何进展，这并不奇怪。通常的真实规模实例有1500个分支，5个大小，大约2000个批次类型，其中最多5个可以使用，4个价格，在13个周期（通常是几周）的时间范围内进行优化，预期超过3个成功场景（成功率高于/大约/低于平均水平）。

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2022-5-16 09:46:46

这就产生了一个庞大而复杂的DILP，目前还不能用商业化的货架方法来解决。因此，在下一节中，我们将介绍一个精确的算法（相当快，但对于日常操作来说还不够快）和一个启发式算法（对于日常生产使用来说足够快，并且在所有实际测试中只有极小的最优性g AP）。第3节中给出的ILP公式无法直接求解。我们在本节中给出了一个精确的分枝定界算法。其主要思想是对价格优化阶段的决策进行分析。由于价格优化阶段的变量（见第3节）过于细粒度，我们考虑更广泛的决策。一个自然的想法是将每个时间段内的降价决策浓缩为给定场景e的整个价格轨迹∈ E.我们可以通过插入Pmax对可行的降价策略或价格轨迹进行编码- 1表示标记的符号，如e。G, 进入序列1，kmax- 1（0期价格π是固定的）。下面给出了一个例子1, 2, , 3, 4, 5, 6, 7, , , 8, 9, 10, 11, 12, ,这意味着我们在销售第3期之前降价一次，在销售第8期之前降价两次。第四种可能的降价在批发期结束后延迟。更准确地说，不同销售周期的具体价格如下所示：IBM ILOG CPLEX版本12.1SCIP版本2.1。0综合规模和价格优化问题9销售期0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12价格ππππππππππππππππππππππππππππππππππ|K |+|P |- 4 | P |- 2.=kmax+pmax- 2pmax- 1.可行的降价策略或价格轨迹，即在我们的示例中= 1820每种情况下的价格轨迹。分支步骤和边界步骤的具体细节见第4节。6.

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2022-5-16 09:46:50

作为剩余尺寸优化阶段的上界，我们使用定制的组合边界（见第4.2小节，可以有效计算）和线性松弛。从算法上讲，这些下限的高效计算是基于某个子问题的快速解，见第4小节。1.为了消除这些小细节导致的一些并发症，我们也可以假设我们通过直接使用c对应的ILP公式来解决SOP子问题，见第4小节。4.不计算任何更便宜的界限。在第6节中，我们给出了所提出的brand and Bounder算法的计算结果。作为一种启发式，也可以在分支和边界的开头使用，我们在第4小节中介绍了所谓的乒乓启发式。7.结果表明，它在只需要很少计算时间的情况下，就可以获得非常好的解决方案质量。其基本思想是迭代求解尺寸优化和性能优化阶段的分离子问题。然后将一个子问题的临时解作为另一个子问题的输入。为此，我们提出了一种精确但相当简单的精确算法，用于子节4的有奖优化阶段。5.为了提高乒乓球的速度，我们可以使用[11]中关于尺寸优化子问题的SOP的启发式方法，我们在第4.3小节中回顾了这个问题。本节的剩余部分安排如下。首先，我们介绍了解决子部分4中固有子问题的方法。1–4.5.对于第一次阅读，可以跳过这些内容。在4.6小节中，我们介绍了我们的主分支定界算法，在4.7小节中介绍了乒乓球启发式算法。4.1. 工作内容1：以最低成本将供应量调整到总供应量限制。

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2022-5-16 09:46:53

假设我们想要解决以下相当普遍的二元线性问题：minXv∈ VXa∈常闭触头∈Bψ（v，a，B）·xv，a，bXa∈常闭触头∈Bxv，a，b=1五、∈ V（29）Xv∈ VXa∈常闭触头∈B~n（a，B）·xv，a，B∈ [R，R]（30）xv，a，b∈ {0, 1} 五、∈ 五、 a∈ A、 b∈ B、（31）式中（1）ψ（a，B）在B中单调增加，（2）ψ（v，a，B）在B.10 M.基斯林，S.库尔兹和J.兰巴瑟。这个问题的连续松弛可以通过贪婪的方法解决：在初始化阶段，我们确定每个v∈ V和每个a∈ A最佳值bv，A∈ B，最小代价ψ（v，a，B）使用二进制搜索。这可以是一个在O|V | | A | log（|B |）台阶。我们用v（a）表示元素a∈ A使ψ（v，A，bv，A）最小化，并通过v（b）相应的值bv，v（A）。用这个我们设置xv，v（a），v（b）=1表示所有的v∈ V.所有其他值均设置为零。如果不等式（30）由纯偶然性满足，那么xv，a，b变量的当前分配将产生全局最优解。否则我们必须调整xv，a，bin以满足资源建设。简而言之，我们只讨论以下情况：∈ VPa∈APb∈B~n（a，B）·xv，a，B>R。另一种情况类似。在这里，我们必须反复地从一些v∈ V.为此，我们引入了相对成本-v、每个v∈ V和每个备选方案a∈ A.使用（32）βv（A）=max{b∈ B |~n（a，B）<~n（v（a），v（B））}，对于给定的a∈ A、换一对的相对成本v（a），v（b）到a、 βv（a）由（33）给出-v、 a=ψv、 v（a），v（b）- ψv、 a，βv（a）φv（a），v（b）- φa、 βv（a）每个资源项。如果{b∈ B |~n（a，B）<~n（v（a），v（B））}= 我们将相应的相对成本设置为-v、 a=∞.

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2022-5-16 09:46:56

B yω（v）∈ A我们用较小的相关费用来表示替代者-1v:=min{-v、 a | a∈ A} =-v、 ω（v）和v我们用V表示元素，其中ω（v），βv（ω（v））实现全球最小的相对成本。作为缩写，我们使用R=Pv∈ Vа（V（a），V（b））和δ=а五、（a），v（b）-φω（v）), βv（ω（v）)). 由于目标函数的凸性，我们可以陈述如下：（a）如果-五、= ∞, 那么这个问题就不可行了。（b）如果R- δ ≥R、然后在对这一对进行了最佳重演后五、（a），v（b）通过ω（v）), βv（ω（v）))新的赋值对应于问题m的最优解，其中不等式（30）被PV取代∈ VPa∈APb∈B~n（a，B）·xv，a，B≤ R- δ.（c）如果R- δ<R我们利用新旧赋值的适当线性组合，得到了分数变量xv，a，bby的松弛问题的最优解。因此，在经过有限次迭代后，根据初始总体资源消耗a和R之间的差异，我们得到了问题的最优解，最多有两个分数变量xv，a，b。我们注意到，利用abranch和bound方法也可以解决积分问题——我们不在这里详细讨论。4.2. 2：Si-ze优化问题的上界。在算法的其他部分，我们需要一个计算上廉价的dua l，即SOP的上限，具有固定的场景e和价格轨迹t。

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2022-5-16 09:47:00

我们根据每个规模的每个分支机构的单个供应的完整性来确定我们的第一个上限，从而放松了基于批次的分配所产生的限制。综合规模和价格优化问题11如果我们向规模为s的分支b提供Ib，sitems，那么我们可以计算成本λe，tb，s（Ib，s）：=Pk∈Kexp(-ρk）rek，b，s∈ R≥0直接使用e、t和Ib来评估依赖变量rek、b、s。在多重性m中，供应带有l类型批次的分支b会导致cb、l、m的处理成本。让cb、s（i）≥ 0是可与大小为s的分支机构A的应用与i项目相关联的成本的一部分。λe，tb，swe表示λe，tb，s（Ib，s）的最大值- ■cb，s（Ib，s）对于所有可实现的供应量Ib，s。我们仅就如何快速计算这些值做出简要评论：最简单的事情总是有效的，就是详尽地列举可能的Ib，s（如果我们假设它是有限的）。一次，b，沙-■cb、sare凹函数inIb、swe可以使用嵌套区间更精确地计算最大值。因为我们必须使用至少一种批次类型，我们假设δi≥ 0时，与轨道t相关的ISPO目标函数的成本由（34）Xe确定∈EProb（e）-δ+Xb∈BXs∈S^λe，tb，S.使用第4小节中的一般方法。1.我们还可以对总体供应进行限制（我们假设凸度条件满足，我们的设置就是这样）。这里，V是分支和大小的对（b，s），A是由一个元素组成的使用集合，b是大小为s的分支b的可能供应Ib和b的集合。进一步收紧上限的另一种可能性是将分支必须以一定的多样性使用批次ty pes供应的事实结合起来。因此，在初始化阶段，可以分别计算每个分支的局部最佳匹配批次类型和多样性。

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2022-5-16 09:47:04

如果地块类型和可能的多重性的数量足够小，那么这可以通过穷举枚举来实现。对于基于适用批次类型集合的适当参数化的更复杂方法，我们参考[15]。然后，通过使用第4.1小节中的算法，可以合并对整体供应的限制，其中V是分支B的集合，A是批次类型s L的集合，B是多重性M的集合。换言之，我们放宽了对一定数量不同批次pes的限制，忽略了相应的成本。在我们的具体应用中，我们使用了上述三个上界。因此，我们的计算结果依赖于凸性；在所有其他情况下，算法只能使用第一个界限，通常速度较慢。4.3. Wo rkhorse 3：尺寸优化问题的启发式算法。在[11]中，针对批次类型设计问题（LDP）提出了所谓的分数-固定-调整（SFA）启发式算法。自民党与ISPOW的SOP阶段密切相关，有固定的情景和固定的降价策略。为了将SFA应用于停止阶段，我们需要修改SFA以应对批次类型的打开和处理成本。例如，这可以通过适当修改普通LDP的成本系数来实现：将处理成本纳入LDP的成本系数，只需添加处理成本cb，l,M以xb的成本系数计算，l,m、对于每种可能数量的标段类型1到κ，可以通过使用规定数量的已用标段类型来求解单个LDP，将相应的开盘成本添加到最优目标函数中，并在事后选择最佳选项，从而考虑标段类型c的开盘成本。12 M.基斯林、S.库尔兹和J。

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nandehutu2022

2022-5-16 09:47:07

为了完整性，我们以特殊形式简要描述了LDP的SFA启发法的基本思想，我们在SOP阶段随时使用它。对于每个牧场，我们确定了三种当地最佳配置地块类型，最佳配置地块类型加100分，次优配置地块类型加10分，次优配置地块类型加1分，次优配置地块类型加1分。（当然，这可能会影响到最适合的批次类型和不同的评分模式。）有了这个，我们就隐式地为每一个批次类型l签署了一个分数∈ 五十、大多数地段类型的得分为零。我们可以通过对单个分数求和，将这个循环推广到L的k-子集，从而隐式地得到L的n阶|L|k许多可行的彩票组合。这样，我们就可以按降序遍历L的k-子集，其中一个结可以任意断开。（关键的观察结果是，这可以在不事先明确生成所有此类子集的情况下实现。）在筛选步骤中，我们假设适用的批次类型仅限于L的当前k子集。现在我们可以应用第n4子类中的算法。1.在初始化中，我们从批次类型和多样性的局部最优分配开始。我们选择V=B，A=L，B=M。我们注意到，SFA启发式算法在实际情况下可靠地产生接近最优的解，见[11]。4.4。Wo rkhorse 4：尺寸优化问题的精确解。对于给定的情景e和给定的价格轨迹t，ISPO被简化为具有修改的共同成本系数的LDPO。例如，这个子问题可以通过使用第3节中给出的ILP公式的限制版本来解决，我们这样做是为了获得本文中的计算结果。

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2022-5-16 09:47:10

对于更复杂的算法，我们参考[15]，其中有一个定制的分支和价格算法，可以处理数百万种批次类型。4.5. Wo rkhorse 5：价格优化问题m的精确解。对于给定的场景e、给定的降价策略t和给定的初始供应量B，对于所有分支机构和规模，我们可以轻松计算每个分支机构、规模和周期的售出商品数量。由于在任何合理的设置下，除残值外的所有价格都是正的，因此我们得出结论，在任何最优解决方案中，售出商品的数量恰好是每个周期内库存和需求的最小值。由此，可以计算第3节中POP的ILP公式的所有其他因变量。因此，我们可以通过穷举可能的降价策略来解决POP阶段。这可以通过O（|B |·| S | | | K | | T |）步骤完成，这在所有实际情况下都是可能的（|B |≈ 1 000,3 ≤ |S|≤ 7、|K |=13、|T |=1820）到目前为止我们已经遇到了。4.6. 一个精确的分支定界算法。在本小节中，我们提出了一种主要算法——一种定制的分支定界算法。我们分为“地图”场景7→ 价格轨迹”。然后，深度j处的节点对应于所有这样的贴图，其中第一个j的图像是固定的。树叶是所有场景的固定图像地图。一片叶子的成本可以通过解决第4节的anLDP问题来计算。4（工作区SE4），具体取决于第4.1节（工作区1）的方法。作为双重边界，我们使用第4.2小节（Workhorse 2）中的上界。作为原始边界，我们采用了第4小节中的启发式解。3（Workhorse 3），再次使用第4.1节（Workhorse 1）中的方法。

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2022-5-16 09:47:14

在分支步骤中，我们通过下一场景的所有可能价格轨迹，在节点中扩展部分定义的映射。在下文中，我们将详细介绍上述概念的实现。在初始化步骤中，我们使用子部分4中的算法计算每个场景e和每个价格轨迹ta的组合上界。2.为每对（e，t）保存绑定Γ（e，t），并可能在以后更新。使用这些边界，我们按升序标注价格轨迹：te，te | T |。接下来，我们在深度j的节点处考虑分支步骤，其中价格轨迹ξj∈ 对于第一个j情景，我们已经做好了准备。如果j<| e |，那么我们考虑s cenario j+1的可能价格轨迹。我们从i=1toi=|T |循环，并考虑价格轨迹tj+1i。现在我们计算上界jxh=1Prob（h）·Γ（h，ξh）+Prob（j+1）·Γ（j+1，tj+1i）+E | Xh=j+2Prob（h）·maxΓ（h，t）|t∈ T（35）对于第一个j+1价格轨迹固定为ξh的ISPO。如果该边界小于ISPO的最佳积分解，则我们可以修剪所有价格轨迹tj+1h≥ i、否则，我们检查如何计算界Γ（j+1，tj+1i）。如果它是使用子节4中的组合松弛计算的。2，然后我们根据受限ILP模型计算LP界，参见第4小节。4，并可能更新界Γ（j+1，tj+1i）。如果更新后的上界（35）仍然很弱，无法修剪子树，则我们确定ξj+1=tj+1并继续下一个节点。在叶中，当所有价格轨迹都确定时，我们解决了剩余价格，见第4.4.4.7小节。乒乓球启发。由于精确算法的速度还不足以满足日常生产（见第6.1节），我们开发了一种快速启发式算法。

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2022-5-16 09:47:17

其主要思想是交替确定一个阶段的自变量，并计算最佳剩余变量；然后，确定其他阶段的自变量，并优化计算剩余变量。等等。更简单地说，如果给出了第一阶段的独立决策，即具有一定多样性的批次类型的分支机构的供应量——换句话说：xb、l、m，那么可以通过在所有场景中分别详尽地列举所有可能的降价策略，轻松解决第二阶段的定价优化问题。如果在另一个方向上，第二阶段（即ae，t）的独立决策已确定，则剩下的问题将减少到最后阶段，这基本上是一个具有修改成本函数的LDP。现在的想法是使用这两个子问题中的一个子问题的（clo-se-to-）最优解作为另一个子问题的输入，并进行迭代，直到算法保持在一个解。我们希望不再改变的解决方案是一个好的解决方案。更具体地说，我们执行以下步骤：在这里，我们应用热启动技术，并使用相同场景中类似价格轨迹的基本解决方案（如果可用）初始化LP。提高上限（35）的另一种可能性是，用ISPO产生的LP的最佳目标值（仅限于第一个j+1场景）替换第一个和和和中心总结——我们在计算结果中没有使用这种改进。14 M.基斯林、S.库尔兹和J。

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2022-5-16 09:47:21

RAMBAU（1）初始化：在所有场景中，我们都会选择产生最佳组合边界的降价策略，即Section4。2（主力2）。（2）考虑到所有场景的降价策略，我们使用SFA启发法试探性地解决剩余的SO P阶段，见第4节。3（主力3）。（3）考虑到分支的初始供应，我们精确地解决了第二阶段的优化问题，见第4节。5（主力5）。（4）只要第2步和第3步的解没有收敛，并且迭代次数低于一定的阈值，我们就继续第2步。最后，我们输出了在步骤2中找到的ISPO的最佳解决方案。备注2。我们的分支定界方法的细节也涉及其中。然而，这个问题有一个关键的特性，正是因为这个特性，这个方法才有效：我们的问题有一个可逆的两阶段结构。这意味着：独立的第二阶段变量（在我们的案例中，从情景到价格分配的映射）可以解释为独立的第一阶段决策。独立的第一阶段变量和所有因变量可以被视为第二阶段变量。在我们的设定中，一个阶段的独立决策变量甚至不意味着对另一个阶段的独立变量可行集有任何限制。我们称之为可逆完全追索权。在一般情况下，如果将一个阶段的独立变量筛选出另一个阶段的可行集，希望总是包含改进的解决方案，那么像乒乓球这样的启发式方法是很有希望的。在我们的案例中，将价格轨迹与情景联系起来并不影响供应的可行性。这是所有库存问题的情况，价格相关需求可以事先确定。备注3。乒乓球启发式的原理类似于进化算法的原理，例如[16]。

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何人来此

2022-5-16 09:47:24

进化算法的思想是为解分配一个所谓的fifility函数，并在一个选择步骤中迭代组合最佳解，以获得更高fififility的解。这是do neuntil收敛。在我们的案例中，根据批次类型的供应能力由价格优化统计的预期收入给出。通过将局部最优供应和局部最优减价策略相结合，我们可能会得到一个更高的收益。我们还可以将乒乓球试探法的原理与双层规划的原理联系起来。双层规划由上层和下层优化问题组成。下层问题将变量x视为计算变量y最佳值的参数，而上层问题则通过使用下层问题中计算的y值来获得x的最佳值[8]。在我们的例子中——通过可逆完全追索权的vir tue——我们可以将规模优化阶段和价格优化阶段同时视为上层和下层子表ms.5。现场研究的设置——一项对照实验我们进行了一项真实的世界现场研究，作为一项对照统计实验。一方面，我们在一组控制分支上使用我们的业务合作伙伴当前使用的方法（以下称为“旧”方法）。我们对此进行了比较。“旧”方法代表了一种批次类型优化方法，该方法不考虑定价阶段，而是通过批次设计引起的供应与预测平均需求之间的距离度量来估计供应分配的收益和损失。这不是我们的商业伙伴在合作之前最初使用的方法。

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2022-5-16 09:47:32

旧方法是综合规模和价格优化问题15供应策略，其结果是ISPO在一组测试分支上得出的（以下称为“新”方法）。该实地研究从2011年5月底一直持续到9月底，共有81篇文章来自三个不同的商品类别——女装时尚（wof）、女装经典（woc）和女装内衣（wu）。有必要为现场研究选择一部分物品，因为订单已经按批次类型下单，而且根据新方法的结果调整tes t分支机构的供应是一项成本太高的物流操作，无法针对每件物品进行。由于对于所有广告产品，尤其是研究领域的产品，为每个分支机构提供至少一件每种尺寸的产品都是不公平的，因此供应分配的自由度受到严格限制：小分支机构很可能会收到一件每种尺寸的产品，因为总供应量基本上是固定的，因此大分支机构的选择较少。现场研究中的文章的销售流程始于2011年5月至2011年6月中旬，因此所有文章都可以观察15至17周。表1中说明了所用供试品的其他相关性质。商品类别物品数量大小WOF 9 WOC 9 WU 5表1。供试品的性质。为了获得统计上可评估的结果，我们根据经济关键数据，如门店规模和收入，将现场研究中涉及的分支机构分为30对。然后随机决定是否将一个分支指定为测试分支或控制分支。

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2022-5-16 09:47:36

在第6节。2.我们将受益于这一受控测试，并在不假设任何潜在误差分布的情况下应用稳健的排名统计。测试分支是根据乒乓球启发式算法计算的接近最优解的结果提供的。测试选择中每一篇文章的ISPO都是针对所有分支和大小的测试。由于供应项目的总数量存在全局限制，我们实际上用新方法计算了所有分支的供应量，我们的项目合作伙伴也用旧方法计算了供应量。然后，我们提议的供应仅用于测试分支机构；控制分支（以及所有剩余分支）的供应由我们的项目合作伙伴按照旧方法进行计算。需求dek、p、b、SWA是根据同一商品组商品的历史销售数据估算的。这是高度非triv ial的，没有针对这一重要构建块的“最佳”方法的出版物。我们基本上了解了商品组平均值的准度量估计，以及线性观测太少的插值，结果证明更可靠。这基本上是[11]中提出并在[15]中定义的分数修正调整启发式。这种方法比没有优化的手动解决方案表现得好得多，因此立即投入使用。16 M.KIESSLING，S.KURZ和J.Rambautan参数估计：相应的假设（股票指数递减，需求对价格的等弹性依赖性，…）在我们的环境中，似乎充其量只是猜测。表2显示了我们在ISPO中用于现场研究的参数设置。为了不透露公司内部情况，我们打印了与艺术相关的价值，但货币单位一致。

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2022-5-16 09:47:40

重要的是处理成本，l,mcontainsa多重性m中的线性术语：这样一来，优化就有了一些动机，可以选择在仓库中产生较少拣货的货物，这是一开始真正的批指定。我们的批次类型的期初成本δi是在全面成本核算的基础上估算的。这项统计还显示，只有当内部库存周转面积大幅增加时，才能处理四种以上的地块类型。贴现率rρ是根据资本约束成本估算得出的。无论何时，除利息以外的其他原因都有利于快速储蓄，这一点可以增加。我们没有考虑降低成本这一事实正好反映了这样一个事实，即在设计实验时，我们的合作伙伴根本无法为此提供现实的价值。（同时，我们对此也有麻醉。）参数设置κ4cb，l,收购价格+m·0.0545（选择成本）Δδi，i>150e{低、正常、高}（0期销售∈ [0,10%）/[10,30%]/（30,100%]）d正常，p，b，s来自商品组中历史销售额的经验分布和插值dek，p，b，sα×正常，p，b，s（情景e中的历史销售额与情景正常值相比的α）Prob（e）商品组Kobs2中历史销售额的经验分布（即实现e和两个时期后的最早减价）Kmax（=周）到季末（取决于物品）ρ0.000974868pmax4（五个价格，包括起始价格和残值）ukTable 2。

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