一个关于红利支付的最优期望效用的注记

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收藏 2022-05-25

英文标题：
《A note on optimal expected utility of dividend payments with
proportional reinsurance》
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作者：
Xiaoqing Liang and Zbigniew Palmowski
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
In this paper, we consider the problem of maximizing the expected discounted utility of dividend payments for an insurance company that controls risk exposure by purchasing proportional reinsurance. We assume the preference of the insurer is of CRRA form. By solving the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we identify the value function and the corresponding optimal strategy. We also analyze the asymptotic behavior of the value function for large initial reserves. Finally, we provide some numerical examples to illustrate the results and analyze the sensitivity of the parameters.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了通过购买比例再保险来控制风险敞口的保险公司的股息支付的预期贴现效用最大化问题。我们假设保险人的偏好是CRRA形式。通过求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们确定了价值函数和相应的最优策略。我们还分析了大初始储量价值函数的渐近行为。最后，我们提供了一些数值例子来说明结果并分析参数的敏感性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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A_note_on_optimal_expected_utility_of_dividend_payments_with_proportional_reinsurance.pdf
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何人来此

2022-5-25 07:47:26

关于比例再保险股息支付最优预期效用的注记梁晓青和ZbigniewPalmowskiaBStract。在本文中，我们考虑了通过购买比例再保险来控制风险敞口的保险公司，如何最大化预期的分期付款贴现率的问题。我们假设保险人的优先权是CRRA形式。通过求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们确定了价值函数和相应的最优策略。我们还分析了大初始储量价值函数的渐近行为。最后，我们给出了一些数值算例来验证结果并分析参数的敏感性。关键词。随机最优控制 Hamilton-Jacobi-Bellman方程最优股息比例保险金额1。导言22。HJB方程33。非廉价再保险64。廉价再保险135。数值示例156。结论16参考文献17日期：2018年9月12日。这项工作得到了国家科学中心2015/17/B/ST1/01102拨款的部分支持。第一作者获得了中国国家自然科学基金（11571189）和河北省高中国家科学基金（QN2016176）的部分资助。两位作者都很感谢第七届欧洲共同体框架计划中的玛丽·居里研究金项目REVE-318984的部分支持。2 X.LIANG-Z.PALMOWSKI1。近年来，人们越来越关注随机控制理论在保险相关问题中的应用。

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kedemingshi

2022-5-25 07:47:30

这是因为一家公司，如财产责任保险公司或养老基金管理公司，可以控制再保险策略或投资策略，并可以在不同约束条件下支付股息以最大化（或最小化）某个目标函数。考虑了两种风险过程。第一个涉及经典的Cram'erLundberg过程，即dr-ift过程减去复合泊松过程，参见Buhlmann[9]，Hipp and Plum[17]，Azcue and Muler[6，7]。后来，这种情况被归纳为光谱负L'evy风险过程，见Avram等人【4，5】、Kyprianou和Palmowski【23】、Loeffen【25，27】、Loeffen【26】以及其中的参考文献。本文还考虑了第二个风险过程，即扩散剩余风险模型。在该模型中，公司的流动资产过程由布朗运动驱动，具有恒定的裂谷和扩散系数。漂移项对应于单位时间的预期收益，而扩散项则被解释为风险。关于这一主题的经典研究有：Gerber和Shiu【16】、Jeanblanc和Shiryae v【21】、Cadenilas等人【11】、Asmussen和Taksar【3】、Asmussen等人【2】、Bai和Guo【8】、Hojgaard和Taksar【18、19】、Paulsen【30、31】、Zhou【34】、David Promislow和Young【14】等。有关详细信息，请参见调查论文Albrecher和Thonhauser【1】以及bookSchmidli【33】。本文的目标是最大化一家保险公司股息支付的预期贴现效用，该保险公司的准备金按照扩散过程随时间变化，并通过购买比例再保险来控制风险敞口。

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可人4

2022-5-25 07:47:33

也就是说，在本文中，我们正式考虑以下优化问题。让(Ohm, F、 P）表示具有信息过滤{Ft}t的完整概率空间≥0和{Bt}t≥0是适应过滤的标准布朗运动。设R为漂移布朗运动的风险过程：Rt=（1+θ）at- Yt，R=x（1.1），对于截至时间t的累计索赔总额：dYt=adt- bdBt，Y=0，其中a和b为正常数，x≥ 0是初始盈余，（1+θ）a是安全负荷θ>0时的保险费率。除风险流程外，我们还将考虑股息支付。设C=（Ct）t≥0是一个适应且不减损的过程，代表截至时间t的所有累计股息支付。在我们的模型中，我们假设（Ct）t≥0相对于Lebesgue测度是绝对连续的。因此，我们假设过程C几乎可以肯定地接受由ct表示的密度过程≥ 0对连续时间内分期付款的强度进行建模。在我们的模型中，我们添加了另一个新的非常重要的特征，即效用函数的股息支付。我们考虑再保险保单，其中部分保费率（1+η）qta为一定比例qt∈ [0，1]被转移给一些再保险人，这些再保险人将承担qtof到达索赔Yt。通过这种方式，保险公司可以减少其风险敞口，因此对再保险进行了广泛的研究，例如Asmussen等人[2]，Azcue和Muler[6]，Choulli等人[12]，Chen等人。

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mingdashike22

2022-5-25 07:47:36

[10] ，Hojgaard和Taksar【18，19】，Liang和Young【24】，Zhou和Yuen【32】，以及其中的参考文献。因此，储备过程Xπt如下所示：dXπt=（（1+θ）a- （1）- qt）a）dt+b（1-qt）dBt- （1+η）qtadt- CTDT比例再保险红利支付的最优预期效用3=（θ- ηqt）adt+b（1- qt）dBt- ctdt，（1.2），其中上标中的π表示一种策略，该策略由二维随机过程（qt，ct）描述，该过程应以最优方式进行选择，其中最优性的标准将在后面具体说明。我们假设tη≥ θ。当η>θ时，转移给再保险人的保费的金额大于再保险人承保的每项索赔的金额，这称为非廉价再保险。当η=θ时，我们说再保险很便宜。本文将考虑这两种情况。在破产时间之前，我们观察调节过程xUT：τ=inf{t≥ 0:Xπt<0}。我们将目标值函数定义为（1.3）V（x）=maxπ∈∏ExZτe-βsu（cs）ds,其中，β（>0）是贴现因子，u是某个固定效用函数，表示关于toPx（·）=P（··| X=X）的期望，最大值取所有容许策略∏。如果（qt，ct）是逐步可测量的且满足0，则称策略π是允许的≤ qt≤ 1，ct≥ 0表示所有t≥ 最后，我们假设破产不是由股息支付引起的。通常假设u:R≥0→ R≥0是可微且非负的。事实上，在本文中，我们将只考虑常数相对风险规避（CRRA）效用函数：（1.4）u（c）=cpp，p∈ （0，1）。对于上述红利问题，我们将证明产生最优值函数的Hamilton JacobiBellman（HJB）方程的验证定理。这在第2节中完成。

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可人4

2022-5-25 07:47:39

稍后（在一些额外的技术假设下）我们将解决它，产生一个似乎是马尔可夫策略的最优策略，即对于一些明确给定的函数q和c，qt=q（Xπt）和ct=c（Xπt）。特别是，对于效用函数（1.4），我们将证明当储量足够小（小于确定的x级）时*), 保险公司愿意购买部分再保险并转移部分保费。当储备大于x时*然后，保险公司能够支付所有到达的索赔，而最优策略不包括购买再保险。继Hubalek和Schachermayer【20】之后，我们还确定了大型储量的最佳策略为x→ ∞. 第3节和第4节分别讨论了非廉价和廉价再保险保单的情况。我们还提供了一些数值例子来说明第5节中的结果。我们以结论6.2结束本文。非负v的HJB方程∈ C在我们的优化问题中，我们将以下Hamilton JacobiBellman（HJB）方程关联起来：max0≤Q≤1，c≥0（θ- ηq）av′（x）+b（1- q） v′（x）- cv′（x）+u（c）- βv（x）= 0，（2.5），边界条件v（0）=0；（2.6）请参见Fleming和Soner【15】的美丽概述。从现在起，我们只寻找上述HJB方程的解v，它可以等于值函数v。换句话说，我们排除了那些由于任何原因不能成为值函数的解。我们从经典的验证引理开始。4 X.LIANG-Z.PALMOWSKILemma 1。假设v（x）∈ Cis边界条件为（2.6）的HJB方程（2.5）的非负解。然后v（x）≥ V（x）开（0，∞) 其中V是（1.3）中定义的值函数。证据固定x>0，然后选择一对可接受的策略c（·）和q（·）。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:47:42

选择0<ξ<x<ξ。定义τx=inf{t≥ 0:Xπt=X}和w（t，X）=e-βtv（x）。通过将It^o公式应用于过程w（t，Xπt），我们得到了T∧ τξ∧τξ，Xπt∧τξ∧τξ= v（x）+Zt∧τξ∧τξe-βs（θ- ηqs）av′（Xπs）+b（1- qs）v′（Xπs）- csv′（Xπs）- βv（Xπs）ds+Zt∧τξ∧τξe-βsv′（Xπs）b（1- qs）dBs≤ v（x）-Zt公司∧τξ∧τξe-βsu（cs）ds+Zt∧τξ∧τξe-βsv′（Xπs）b（1- qs）dBs，（2.7），其中不等式源自HJB方程（2.5）。由于再保险策略qs介于0和1之间，因此（2.7）的随机积分项实际上是一个鞅。考虑到（2.7）双方的期望，我们得到WT∧ τξ∧ τξ，Xπt∧τξ∧τξ+Zt公司∧τξ∧τξe-βsu（cs）ds≤ v（x）。（2.8）现在让ξ↓ 0，ξ→ ∞ 和t→ ∞, 然后t∧ τξ∧ τξ↑ τ几乎可以肯定。因此，通过将Fatou引理应用于（2.8）中预期的第一项，我们得到了LIM inf ExwT∧ τξ∧τξ，Xπt∧τξ∧τξ≥ Exhlim inf w公司T∧ τξ∧ τξ，Xπt∧τξ∧τξi=0，通过应用单调收敛定理，（2.8）中的第二项Zτe-βsu（cs）ds.因此，我们可以得出结论：ExZτe-βsu（cs）ds≤ v（x）。所有可接受策略c（·）和q（·）的最大化给出了最终结果。注：如果（1.4）保持不变，则（2.5）中无约束的上确界在q（x）=1+ηabv′（x）v′（x）（2.9）和（2.10）c（x）=（v′（x））时实现-1.-p、采用策略π=（q（Xπt），c（Xπt））使过程Xπt成为扩散。表示：α=1+2bβηa.（2.11）比例再保险股息支付的最优预期效用5我们将在两组假设下解决我们的优化问题：假设1。η>θ，α（1- p） >1和（2- α（1- p））η- 2θ<0，用于非廉价再保险和假设2。η=θ和α（1- p） >1这是廉价再保险。对于最优值函数V，我们还可以推导出以下性质，Choulli等人[12]也得出了类似的结果。引理2。最优v值函数v是递增且严格凹的。证据

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nandehutu2022

2022-5-25 07:47:46

很明显，V在增加。为了证明凹度，我们将遵循[12，Prop.2]的证明思想。根据动态规划原理，我们知道V（x）满足以下等式V（x）=maxπ∈∏ExZτye-βsu（cs）ds+e-βτyV（y）,（2.12）其中0<y<x且τy=inf{t:xπt=y}。对于h>0，让∏hbe为策略集π，使得zζ（θ- ηqs）ads+Zζb（1- qs）dBs-ZζCSD=-关于集合{ζ<∞}, 式中，ζ是由ζ=inf定义的停止时间T≥ 0:Zt（θ- ηqs）ads+Ztb（1- qs）dBs-ZTCDS=-H.通过将h=x- y（因此y=x- h）从（2.12）我们得到v（x）=maxπ∈∏hEx“Zζe-βsu（cs）ds+e-βζV（y）#。（2.13）ThenV（x）- V（x）- h） =最大π∈∏hEx“Zζe-βsu（cs）ds+（e-βζ- 1） V（x）-h） #。（2.14）自e-βζ<1，V（x）是x的非减函数，（2.14）的右侧是x的减函数。因此V（x）- V（x）- h）因此，V′（x）也在减小，V是严格凹的。如上所述，解决原始优化问题的想法是，首先用边界条件（2.6）找到HJB方程（2.5）的递增、凹和非负解v，然后构造策略，使其可以实现导出函数v。因此引理1的逆不等式适用于这个候选解v。因此，v确实是我们正在寻找的值函数。6 X.LIANG-Z.PALMOWSKI3。非廉价再保险我们将证明存在一个x点*当x>x时，（3.15）q（x）=0*.这意味着当保险公司的财富大于x*然后，最佳策略将是不对到达的索赔进行再保险。换句话说，保险公司可以独自承担所有的索赔。因此，我们在两个区间（0，x）分析值函数*] 和（x*, ∞), 分别地LetB=-2bηa1- p1级- α+αp>0，（3.16）D=2bαηa（η- θ） >0。（3.17）提案3。假设假设1。

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何人来此

2022-5-25 07:47:49

然后打开（0，x*] 函数v解（2.5）由v（x）=e给出-ξβ-（η）- θ） a+ηa2bBeξ1-p+ηa2bD+1- ppeξ1-P,（3.18）其中B和D是（3.16）和（3.17）中的giv en，ξ=g-1（x），其中g-1是函数g的逆：g（ξ）=（1- p） Beξ1-p+Dξ+Q，（3.19）对于Q=-（1）- p） Beξ1-P- Dξ和ξ=（1- p） ln（η- θ）（α- 1.- αp）apα（1- p）。（3.20）以上，x*= g（ξ*),（3.21）式中ξ*= （1）- p） ln公司B- ηaDηaB.（3.22）证明。将（2.9）和（2.10）代入（2.5）得到：（3.23）- （η）- θ） av′（x）-ηa2b（v′（x））v′（x）+1- pp（v′（x））-p1级-P- βv（x）=0。我们选择以下变量transformx=g（ξ），v′（g（ξ））=e-ξ。（3.24）实际上，请注意（3.25）v′（g（ξ））=-E-ξg′（ξ）。将其插入（3.23）产品中-（η）-θ） ae-ξ+ηa2be-ξg′（ξ）+1- ppep1-pξ- βv（g（ξ））=0。（3.26）取ξ的导数和集合项，导出ηa2bg′（ξ）-ηa2b+βg′（ξ）+（η）- θ） a+eξ1-p=0。（3.27）比例再保险股息支付的最优预期效用7表示h（ξ）=g′（ξ）。然后a b ove方程可以改写为：h′（ξ）-αh（ξ）+2bηa（η- θ） +2bηaeξ1-对于某些Q=h（0），p=0（3.28）。通过求解上述常微分方程（ODE），我们可以观察到H（ξ）=Qeαξ-Zξ2bηa（η- θ） eα（ξ-u）杜邦-Zξ2bηaeαξe（1-P-α） udu。（3.29）仔细计算并重新排列所有项giveh（ξ）=Aeαξ+Beξ1-p+DforA=Q-2bαηa（η- θ） +2bηa1- p1级- α+αp。鉴于（3.25）和v的凹度，A的值应为非负。则h（ξ）=Aeαξ+Beξ1-p+D>0。（3.30）回想h（ξ）=g′（ξ）和（3.26），我们得到v（x）=e-ξβ-（η）- θ） a+ηa2bg′（ξ）+1- ppeξ1-P=E-ξβ-（η）- θ） a+ηa2bAeαξ+ηa2bBeξ1-p+ηa2bD+1- ppeξ1-P.（3.31）注意，如果我们允许QT的一般值不受约束，那么我们只增加值函数，使我们有可能将极限视为x→ ∞. 从（3.24）、（3.30）和（3.31）中，如果A严格为正，我们得到V（x）~ Kxα-1α，其中Kis是一些固定常数和a（x）~ b（x）表示limx→∞a（x）/b（x）=1。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:47:53

但是，以下上界v（x）≤ EZ∞E-βsu（x+（θ+1）as+bB+s）ds表明存在常数K>0，使得（3.32）V（x）≤ Kxp。因此，如果我们想让v（x）=v（x），根据假设1，我们必须选择A等于零。因此，我们得到（3.18）中给出的函数v的表示。在下文中，我们将推导（3.20）中给出的ξ值，满足度g（ξ）=0。事实上，如果我们将ξ代入（3.31），回顾v（0）=0，那么：-（η）-θ） a+ηa2bg′（ξ）+1- ppeξ1-p=0。因为g′（ξ）=Beξ1-p+D得到表达（3.20）。注意，h（ξ）=g′（ξ），A=0，我们从（3.30）中得到（3.19）。我们将证明0<q（x）≤ 1因为它应该来自再保险保单的构建。替代V′（x）=e-ξ和v′（x）=-E-ξ/g′（ξ）到（2.9），我们得到q（x）=1-ηabg′（ξ）≤ 1.8 X.LIANG-Z.Palmowskit为了满足所需条件q（X）>0，我们需要满足以下不等式ηabg′（ξ）<1。我们将证明ξ*（3.22）给出了方程的唯一解：ηabg′（ξ）=1。很容易验证ξ*求解上述方程。此外，sinceg′（ξ）=B1- peξ1-p> 0时，函数g′（ξ）严格递增。因此，ξ*当ηabg′（ξ）<1时，唯一地解上述方程。（3.33）将（3.20）插入不等式（3.33）的左侧，我们可以得出ηabg′（ξ）=ηa的结论-1.- p1级- α+αpeξ1-p+（η）- θ） aα=ηa-1.- p1级- α+αp（η- θ）（α- 1.- αp）apα（1- p） +（η- θ） aα=2（η- θ） αη（1- p）。因此，如果2（η- θ） /（αη（1- p））<1，即（2- α（1- p））η- 2θ<0，则（3.33）成立。最后，我们将检查v确实是一个C函数，在（0，x）上求解HJB方程（2.5*]. 从（3.31）我们得到v′（x）=v′（ξ）·g′（ξ）=-E-ξβ-（η）-θ） a+ηa2bg′（ξ）+1- ppeξ1-P+E-ξβηa2bg′（ξ）+peξ1-P·g′（ξ）=e-ξβg′（ξ）（η）- θ） a-ηa2bg′（ξ）+eξ1-p+ηa2bg′（ξ）= E-ξ、其中最后一个等式由（3.27）获得，ndv′（x）=-E-ξg′（ξ）<0。因此，v是递增的，并且是严格凹的。

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何人来此

2022-5-25 07:47:56

将v′和v′的值代入HJB方程（2.5）的左侧，得到Max0≤Q≤1，c≥0（θ- ηq）av′（x）+b（1- q） v′（x）- cv′（x）+u（c）- βv（x）= 最大值0≤Q≤1，c≥0（θ- ηq）ae-ξ-b（1- q） e类-ξg′（ξ）- ce公司-ξ+u（c）- βv（x）.（3.34）由于u（·）是一个增凹函数，且0<g′（ξ）≤ ξ<ξ的b/ηa≤ ξ*, 因此，最大值q*和c*由byq提供*（x） =1-ηabg′（ξ），c*（x） =eξ1-当x=g（ξ）时，比例再保险红利支付的预期效用为9。因此，方程式（3.34）可改写如下：-（η）- θ） ae-ξ+ηa2be-ξg′（ξ）+1- ppepξ1-P- βv（x）=0。（3.35）（3.35）的验证很简单，包括（3.18）和（3.19）。备注4。为了求解方程（3.23），我们也可以使用勒让德变换方法。也就是说，我们定义v（z）=maxx>0{v（x）- xz}（3.36），其中（3.36）中x的最大v值是v′的反函数I（z）。然后可以通过v（x）=minz>0{v（z）+xz}（3.37）恢复v（x），并且（3.37）中z的最小值等于v′（x）。S将x=I（z）代入（3.23）产生：ηa2bz^v′（z）+βz^v′（z）- β^v（z）+1- ppz公司-p1级-P- （η）- θ） az=0。（3.38）在（3.38）的两侧取导数得到：ηa2bz^v′（z）+ηab+βz^v′（z）- Z-1.-P- （η）- θ） a=0。（3.39）表示h（z）=^v′（z），z=e-t、然后（3.39）可以重写为ηa2bh′（t）-ηa2b+βh′（t）- et1-P- （η）- θ） a=0。（3.40）通过将h（t）=h′（t）代入（3.40），我们得到h′（t）- αh（t）-2b（η- θ） ηa-2bηaet1-p=0。（3.41）（3.41）的解由以下公式得出：h（t）=-Aeαt- Bet1-P- D、（3.42）此外，从（3.23）和Le Gendre变换的定义中，我们可以发现βv（x）=-（η）- θ）az+ηa2bz^v′（z）+1- ppz公司-p1级-p=-（η）- θ） ae-T-ηa2be-th（t）+1- ppept1-p、与（3.31）一致。现在我们将考虑区间（x）上的值函数v*, ∞) 在哪个q上*（十）≡ 0

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2022-5-25 07:48:00

很容易验证，在假设t q（x）=0 on（x）的情况下*, ∞) HJB方程等价于以下方程：θav′（x）+bv′（x）+1- pp（v′（x））-p1级-P- βv（x）=0（3.43），边界条件为sv′（x*) = E-ξ*,（3.44）v′（x）*)v′（x）*)= -bηa.（3.45）现在需要验证的是，如果v解方程（3.43），那么最优再保险比例指数等于零。10 X.LIANG-Z.Palmowski5号提案。假设假设1成立。假设v在（x）上*, ∞) 求解（3.43）-（3.45）。（x）上的v′（x）>0且v′（x）<0*, ∞) 最大inmax0≤Q≤1.（θ- ηq）av′（x）+b（1- q） v′（x）= 在这种情况下，q=0时达到0（3.46）。证据我们首先表明v′（x）>0。假设（x）上存在一个点x*, ∞) 使得v′（x）<0。这意味着我们可以找到一个点–x，x*< ¨x<x满足v′（¨x）=0。T henv′（¨x-) = 林克斯↑¨十五’（x）- v′（¨x）x- ¨x<0。将¨x代入方程（3.43）中，得到：bv′（¨x-) = βv（¨x）>0，这是一个矛盾。因此v确实是一个递增函数。函数v也是凹的，即v′（x）<0。实际上，表示y（v）=v′（x）>0。然后v′（x）=y（v）y′（v），并将其插入（3.43）中，产生θay（v）+x（v）y′（v）+1- ppy（v）-p1级-P- βv=0（3.47），边界条件为y′（v*) = -ηa/b<0和y（v*) = E-ξ*. 此外，方程（3.47）可以改写为：y′（v）=bβvy（v）- θa-1.- ppy（v）-1.-P.（3.48）根据Hubalek和Schachermayer[20]的定理3，微分方程（3.48）具有精确的递减凸解。

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2022-5-25 07:48:03

因此，（3.49）y′（v）<0，y′（v）>0。因此，v′（x）<0。现在我们将证明（3.46）在零处达到最大值，即-ηabv′（x）v′（x）>1（3.50）或thaty′（v）>-ηab.（3.51）表示Q（v）=θ-ηay（v）+1- ppy（v）-p1级-p、由于y（v）满足方程（3.47），因此q（v）可以重写为s:q（v）=βv-ηay（v）-通过（v）y′（v）。因此，证明（3.51）相当于证明q（v）<βv，对于v>v*.（3.52）基于边界条件y′（v）的比例再保险红利支付的最优预期效用11*) = -ηa/b，我们可以观察到q（v*) = βv*. 我们还声称（3.53）q′（v*) < β。实际上，q′（v*) =θ-ηay′（v）*) - y（v*)-1.-py′（v*)= -ηabθ-η+ηabeξ*1.-p=-ηabθ-η+ηabBbηa- D= β-ηa2αb（1- p）（ηα- 2（η- θ），其中通过替换y（v）的值获得第二个等式*) 和y′（v*). 第三个等式来自ξ的形式*最后一个等式是通过插入B、D和α的值得到的。现在不等式ηα- 2（η- θ） >αpη>0意味着（3.53）。为了证明（3.52），假设一个反例，存在v∈ （五）*, ∞) 使得q（v）=βv，即y′（v）=-ηa/b，且q（v）<βv on（v*, v）。因为q（￠v）=β￠v和q（v）<βv on（v*, ~v），我们有q′（~v）>β。这意味着θ-ηay′（~v）- y（￠v）-1.-py′（~v）>β。（3.54）另一方面，通过在（3.47）的两侧取v的导数，并通过替换v的值，我们得到θay′（~v）+b（y′（~v））+乘以（~v）y′（~v）- y（￠v）-1.-py′（~v）- β=0，因此θay′（~v）- y（￠v）-1.-py′（~v）=β-b（y′（~v））-通过（~v）y′（~v）。现在，将上述恒等式代入（3.5 4）givesy′（~v）<0，因为y′（~v）=-ηa/b。这与（3.49）y（v）是递减凸函数这一事实相矛盾。这就完成了证明。

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何人来此

2022-5-25 07:48:06

当x>x时，方程（3.43）满足v*类似于Hubalek和Schachermayer【20】中的方程式（15）。因此，正如Hubalek和Schachermayer[20]所做的那样，我们可以确定值函数的渐近解和相应的最优策略。定理6。v（x），c（x），q（x），as（x）的渐近行为→ ∞ , 由：v（x）给出~1.- pβ1.-pxpp，c（x）~β1- px，q（x）≡ 总结命题3、5和定理6给出了本文的第一个主要结果。12 X.LIANG-Z.PALMOWSKITheorem 7。假设假设1。然后值函数V（x）由（3.55）V（x）给出=E-ξβh-（η）-θ） a+ηa2bBeξ1-p+ηa2bD+1-ppeξ1-pi，0<x≤ 十、*,v（x），x>x*,B和D在（3.16）和（3.17）中给出，x=g（ξ），其中g在（3.19）中定义。此外，x*在（3.21）中给出，v（x）解（3.43）-（3.45）。相应的最优股利策略isc（x）=（V′（x））-1.-pand最优再保险比例isq（x）=1.-ηabg′（ξ），0<x≤ 十、*,0，x>x*.证据注意，c（x）和q（x）在（0，x）上有界连续导数*]. 对于x>x*, 我们有Q（x）≡ 0和c（x）渐近等价于βx/（1- p）当x趋于∞. 因此，它们的导数在（x）上有界*, ∞). 因此，在最优策略下，SDE中的经典结果保证了SDE（1.2）解的存在性和唯一性。此外，从命题3和命题5可以看出，（3.55）的右侧v（x）是HJB方程（2.5）在边界条件（2.6）下的非负凹解。

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可人4

2022-5-25 07:48:09

类似于引理1的证明，将It^o公式应用于过程W（t，Xπ*t）采用命题3和命题5中确定的相应策略：π*= （q）*t、 c类*t）=q（Xπ*t），c（Xπ*t）产品：wT∧ τξ∧τξ，Xπ*T∧τξ∧τξ= v（x）+Zt∧τξ∧τξe-βs（θ- ηq*s） av′（Xπ*s） +b（1- Q*s） v′（Xπ*s）- C*sv′（Xπ*s）- βv（Xπ*s）ds+Zt∧τξ∧τξe-βsv′（Xπ*s） b（1- Q*s） dBs=v（x）-Zt公司∧τξ∧τξe-βsu（c*s） ds+Zt∧τξ∧τξe-βsv′（Xπ*s） b（1- Q*s） dBs，（3.56），其中最后一个等式通过HJB方程（2.5）获得。通过对（3.56）两侧的预测，我们得到WT∧ τξ∧τξ，Xπ*T∧τξ∧τξ+Zt公司∧τξ∧τξe-βsu（c*s） ds公司= v（x）。我们声称w（t，Xπ*t）T≥0是一致可积的。然后让ξ↓ 0，ξ→ ∞ 和t→ ∞, 通过应用控制c收敛定理和单调收敛定理，我们得到了Zτe-βsu（c*s） ds公司= v（x）。因此v（x）≤ V（x）来自值函数的定义。将上述不等式与验证引理1中得到的结果相结合，完成了证明。为了验证分红与比例再保险的最优预期效用的一致可积性13w（t，X*t），足以表明最大f函数w*（T，Xπ*T） =sup0≤T≤Tw（t，Xπ*t）对于每个t是可积的≥ 根据v的凹度，我们得到了v（x）≤ v′（0）x。因此，Exw*（T，Xπ*T）≤ Ex公司sup0≤T≤电视Xπ*T≤ v′（0）Exsup0≤T≤TXπ*T.（3.57）我们现在引入一个新的随机过程，该过程具有以下动力学：（3.58）dYt=θadt+b（1- Q*t） dbt的初始值与保留过程Xπ的初始值相同*t、也就是说，Y=x。然后一个c可以观察到{Yt}0≤T≤Tis a次鞅与Xπ*T≤ YT适用于任何t≥ 0.我们表示Y*T=sup0≤T≤TYt。然后，Exsup0≤T≤TXπ*T≤ Ex（Y*T）≤qEx（Y*T）≤ 2qEx（年初至今）≤ KT+K√T<∞,（3.59）其中K，kar是一些固定常数，第二个不等式由Cauchy-Swartz不等式得到，第三个不等式由Doob的子鞅最大不等式得到。

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能者818

2022-5-25 07:48:12

因此，在v ie wof（3.57）和（3.59）中，我们可以得出结论w（t，Xπ*t）T≥0是一致可积的。这就完成了我们的证明。廉价再保险在本节中，我们考虑c aseη=θ，即廉价再保险成立。相应的Jb方程可以重写如下：max0≤Q≤1，c≥0θ（1- q） av′（x）+b（1- q） v′（x）- cv′（x）+u（c）- βv（x）= 0。（4.60）如前一节所述，我们假设HJB方程（4.60）具有递增的凹解V。然后，对于没有限制的q，（4.60）的左侧达到其最大值atq（x）=1+θabv′（x）v′（x）（4.61）和c（x）=（v′（x））-1.-p、同样，在非廉价再保险案例中，我们将发现x点*对于所有x>x，q（x）=0*.因此，我们这里还必须考虑两个区间（0，x*] 和（x*, ∞). 在开始时，我们将分析（0，x*] 其中q（x）>0。我们回顾了（2.11）中α的定义，η=θ。莱克斯*=b（1- p） θa.（4.62）命题8。假设假设2成立。那么对于x∈ （0，x*],v（x）=mxp，其中m=β1- P-θa2bp（1- p）-（1）-p）。（4.63）14 X.LIANG-Z.PALMOWSKIProof。注意，（4.60）可以重写如下：（4.64）-θa2b（v′（x））v′（x）+1- pp（v′（x））-p1级-P- βv（x）=0。ODE（4.64）的通解为b y（详见Merton【28】）：v（x）=M（x- N） pp+Q.Thenv′（x）=M（x- N） p-1，v′（x）=-M（1- p）（十）- N） p-将其插回（4.64）会产生（4.63）中给出的Q=0和M。注意α>1/（1- p），即1+2bβ/θa>1/（1- p），这意味着β>θap/（2b（1- p））。因此，M>0。最后，从边界条件v（0）=0，我们得到N=0。这样证明就完成了。现在我们将考虑间隔（x*, ∞) 其中有q（x）≡ 0

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何人来此

2022-5-25 07:48:16

与非廉价再保险情况类似，从HJB方程（4.60）中，我们可以推导出该区间上的值函数所满足的方程：θav′（x）+bv′（x）+1- pp（v′（x））-p1级-P- βv（x）=0（4.65），边界条件为Sv′（x*) = M（x*)P-1，（4.66）v′（x）*)v′（x）*)= -十、*1.- p、（4.67）注意，除两个边界条件外，二阶ODE（4.65）与ODE（3.43）相同。以与命题5的p屋顶相同的方式，可以验证x>x时q（x）=0*. 要做到这一点，就必须消除不平等-θabv′（x）v′（x）>1，其中v（x）=M xp/p为（3.50）的对应物。提案9。假设假设2。假设v在（x）上*, ∞) 求解（4.65）-（4.67）。然后v满足v′（x）>0且v′（x）<0且最大imum inmax0≤Q≤1.θ（1- q） av′（x）+b（1- q） v′（x）= 在这种情况下，q=0时达到0。备注10。由于（4.65）与（3.43）相同，我们将得到廉价再保险情况下的sa me渐近结果与非廉价再保险情况下的sa me渐近结果。基于以上分析，我们给出了本文的第二个主要结果。定理11。假设假设2。值函数V（x）由V（x）给出=Mxpp，0<x≤ 十、*,v（x），x>x*,15倍比例再保险红利支付的最优预期效用*和（4.62）和（4.63）中的M，v（x）解（4.65）-（4.67）。相应的最优分割策略isc（x）=（V′（x））-1.-pand最优再保险比例isq（x）=1.-θab（1-p） x，0<x≤ 十、*,0，x>x*.证据与定理7的证明类似，可以证明所选最优策略的SDE（1.2）解的存在性和唯一性。此外，为了确认候选解v（x）确实是值函数，只需验证w（t，Xπ*t）0≤T≤一致可积，其中π*是命题8和命题9中给出的相应策略。

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kedemingshi

2022-5-25 07:48:20

然而，由于limx→0v′（x）=∞, 我们不能直接使用定理7的p屋顶，此处需要进一步修改。通过（3.32），我们可以找到一个大常数K，使得f或x>0，v（x）≤ Kxp。然后，Exw*（T，Xπ*T）≤ Ex公司sup0≤T≤电视Xπ*T≤ KEx公司sup0≤T≤TXπ*TP≤ KEx[（Y*T） p]，其中Ytis在（3.58）和Y中给出*这是它最大的过程。此外，由于p∈ （0，1），我们可以找到两个正积分，使得p≤ m/n.因此，Ex[（Y*T） p]≤ Ex[（Y*T）男/女]≤nEx（Y*T） 2mo2n≤2m2m- 1.mnnEx（YT）2mo2n≤ HTmn+HTm2n<∞,式中，H为一些固定常数。因此w（t，Xπ*t）0≤T≤它是一致可积的。这就完成了证明。5、数值示例在本节中，我们提供数值示例来演示第3节和第4节中获得的结果。我们重点研究了功率p a和索赔波动率b对最优策略和阈值x的影响*对于廉价和非廉价再保险案例。在图1中，我们绘制了从0到50的盈余x的最优股息和最优再保险比例。在图1（a）中，我们考虑了非累积再保险情况。根据定理7，我们确定了最佳阈值x*等于11.2578，这意味着当盈余大于11.2578时，保险人将承担所有索赔，而不进行任何再保险。从这张图中，我们还可以观察到最佳的ivid结束率c*（x）与盈余x呈线性增长，而最优再保险比例则与x呈线性下降。当盈余足够小时，保险人会将索赔产生的大部分风险转移给再保险人，这从直觉上看是合理的。相比之下，廉价再保险案例如图1（b）所示，其表现出与图1（a）类似的现象。根据定理11，在这种情况下，最佳阈值x*等于20.6250，比图1中的大。

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大多数88

2022-5-25 07:48:23

发生这种情况的原因是，在廉价再保险情况下支付给再保险人的保费低于非廉价再保险情况下支付给再保险人的保费。这意味着，在廉价再保险的情况下，保险公司将更愿意将索赔风险转移给再保险人，即使其准备金相对较大。16 X.LIANG-Z.Palmowski图2显示了作为p∈ [0，1]对于固定x=5。从该图中，我们可以观察到，最优股息率随着p的增加而增加，而最优再保险比例则下降。可以通过注意参数1来解释这种现象- p代表保险人的风险厌恶，表示保险人对风险的态度。我们还发现，对于固定p，chea p再保险情况下的最优股息率和最优再保险比例大于非固定p再保险情况下的最优股息率和最优再保险比例。这种财产背后的原因是，根据廉价的再保险合同，保险人通常支付较少的费用，而且它往往会将大部分风险转移给支付额外股息的再保险人。图3显示了x的值*关于改变参数p和b。在图3（a）中，我们将b设置为0.5，并改变p的值。注意x*随着p的增加而减少。因为p反映了保险人对风险的承受能力，所以当p变大时，保险人对风险的厌恶程度就会降低。在图3（b）中，我们确定p=0.01，并观察到x*随着b的增加而增加。事实上，这可以通过以下事实来解释：保险单的价值越大，保险人承担的风险就越大。

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何人来此

2022-5-25 07:48:26

在图3（a）和3（b）中，x的值*在廉价再保险情况下，盈余x 10 20 30 40 5000.511.522.533.544.55q*（x）c*（x）（a）η=0.8，θ=0.40 10 20 30 40 5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91盈余x 0 10 20 30 40 5000.511.522.533.544.55q*（x）c*（x）（a）η=0.8，θ=0.40 10 20 30 50.50.60.80.91盈余x 0 10 20 30 40 5000.511.522.544.55q*（x）c*。（x）（b）η=θ=0.4图1。Q*（x）和c*（x）当a=0.03、b=0.5、p=0.01、β=0.1.6时，用x改变。结论在本报告中，我们设法找到最大化截至破产时间已支付的贴现累积分割付款的价值函数，其中策略基于股息支付的选择和再保险保单的比例。我们只分析了常数相对风险厌恶效用函数。未来的研究将涉及其他效用函数。还可以选择受监管风险流程的更多一般停止时间。例如，我们可以考虑巴黎的毁灭时间，就像在察那和帕尔莫夫斯基（CzarnaandPalmowski）[13]所做的那样。最后，在价值函数中加入所谓的Gerber-Shiu函数也是非常有趣的，正如Avram等人所实现的那样。人们也可以将投资分析为风险资产，参见Paulsen和Gjessing【29】。所有这些问题都更为复杂，有待进一步研究。比例再保险股息支付的最佳预期效用170 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.40.50.60.70.80.91幂pc*（x）η>θη=θ（a）c*（x） vs p0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.500.10.20.30.40.50.60.70.8功率pq*（x）η>θη=θ（b）q*（x） vs P图2。C*（x）和q*（x） a=0.03，b=0.5，β=0.1，η=0.8，θ=0.4，x=5.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.546810121416182022功率px*η>θη=θ（a）x*b=0.50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.505101525挥发性bx*η>θη=θ（b）x时的vs p*p=0.01时的vs b图3。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:48:29

十、*a=0.03、β=0.1、η=0时，分别随p和b变化。8，θ=0.4。参考文献[1]Albrecher H.和Thonhauser S.（2009）。保险红利问题的最优性结果。RACSAM版本。R、 Acad。西恩。A级材料。，103（2）：295–320。[2] Asmussen，S.、Hojgaard，B.和Taksar，M.（2000年）。最优风险控制和股利分配政策。保险公司超额损失再保险示例。《金融与随机ics》，4（3）：299–3 24。[3] Asmussen，S.和Taksar，M.（1997年）。最优股利分配的受控扩散模型。保险：数学与经济学，20（1）：1–15。[4] Avram，F.、Palmowski，Z.和Pistorius，M.R.（2007年）。关于一类特殊负L'evy过程的最优红利问题。安。Ap pl.Probab。，17： 156–180.18 X.LIANG-Z.PALMOWSKI【5】Avram，F.、PALMOWSKI，Z.和Pistorius，M.R.（2015）。关于存在罚函数的L'evy风险过程的Gerber-Shiu函数和最优分割分布。安。应用程序。概率。，25（4）：1868-1935年。[6] Azcue，P.和Muler，N.（2005年）。Cram'erLundberg模型中的最优再保险和股息分配政策。数学金融，15（2）：261–308。[7] Azcue，P.和Muler，N.（2015）。复合泊松风险模型中的最优股利支付和制度转换。《暹罗控制与优化杂志》，53（5）：3270–3298。[8] Bai，L.和Guo，J.（2010）。经典风险模型中支付同时受交易成本和税收影响的最优股息支付。《斯堪的纳维亚精算杂志》，2010（1）：36–55。[9] Buhlmann，H.（1970年）。风险理论中的数学方法。斯普林格·维拉格：柏林。[10] Chen，M.，Peng，X.和Guo，J.（2013年2月）。具有非线性正则奇异随机控制的最优红利问题。保险：数学与经济学，52（3）：448–456。[11] Cadenilas，A.、Choulli，T.、Taksar，M.和Zhang，L.（2006年）。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:48:33

用于优化保险公司股息和风险政策的经典和脉冲随机控制。《金融数学》，16:181–202。[12] Choulli，T.、Taksar，M.和Zhou，X.Y.（2003）。风险控制约束下公司最优股利分配的扩散模型。暹罗控制与优化杂志，41（6）：1946-1979。[13] Czarna，I.和Palmowski，Z.（2014）。谱负风险过程的巴黎时滞红利问题。优化理论与应用杂志，161:239–256。[14] Da vid Promislow，S。和Young，V.R.（2005年）。当索赔服从布朗运动且具有ift时，最小化破产概率。《北美精算杂志》，9（3）：110–128。[15] Fleming，W.H.和Soner，H.M.（2006）。受控马尔可夫过程和粘度解，第25卷。纽约斯普林格。[16] Gerb er，H.U.和Shiu，E.S.W.（2004年）。最优红利：布朗运动分析。北美精算杂志，8:1-20。[17] Hipp，C.和Plum，M.（2000年）。保险公司的最佳投资。保险：数学与经济学，27:215–228。[18] Hojgaa rd和Taksar，M.（1999年）。控制风险敞口和股息支付计划：保险公司示例。数学金融，9（2）：153–182。[19] Hojgaa rd，B.和Taksar，M。（2004年）。风险可控的公司最优动态投资组合选择及分拆分配策略。定量金融，4（3）：315–327。[20] Hubalek，F.和Schacher mayer，W.（2004）。aBrownian风险过程和一个特殊的非线性常微分方程的股利支付期望效用优化。保险：数学与经济学，34（2）：193–225。【21】Jeanblanc，M.和Shiryaev，A.N.（1995年）。优化股息流量。俄罗斯数学。调查，50:257–277。[22]Ka ratzas，I.、Lehoczky，J.P.、Sethi，S.P.和Shreve，S.E.（1986）。

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kedemingshi

2022-5-25 07:48:36

一般消费/投资问题的显式解决方案。运筹学数学，11（2）：261–294。【23】Kypria nou，A.和Palmowski，Z.（2007年）。一般L’evy保险风险过程的De Finetti红利问题的分布研究。J、应用程序。概率。，44:428–443。[24]Liang，Z.和Young，V.R.（2012）。破产罚款下的股息和再保险。保险：数学与经济学，50（3）：437–445。[25]Loeffen，R.（2008）。关于谱负L'evy过程的de Finetti红利问题中障碍策略的最优性。安。应用程序。概率。，18： 1669年至1680年。比例再保险股息支付的最优预期效用19【26】Loeffen，R.和Renaud，J-F.（2009）。De Finetti的最优红利问题，破产时具有一个精确的惩罚函数。保险：数学与经济学，46:98–108。【27】Loeffen，R.（2009年）。具有交易费用的最优红利问题f或谱负L'evyprocess。保险：数学与经济学，45（1）：41–48。[28]Merton，R.C.（1969）《不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例》。《经济学与统计评论》，51（3）：247–2 57。[29]Paulsen，J.和Gjessing，H.K.（1997）。具有仓促投资回报的风险过程中股息壁垒的最佳选择。保险：数学与经济s，20:215–223。[30]Paulsen，J.（2003）。具有偿付能力约束的扩散的最优股息支付。《金融与随机》，7（4）：45 7–473。[31]Paulsen，J.（200 8）。具有固定成本和比例成本的扩散过程的最优股息支付和再投资。《控制与优化杂志》，47（5）：2201–2226。[32]Zhou，M.和Yuen，K.C.（2012）。具有资本注入的扩散模型的最优再保险和红利：方差保费原则。经济建模，29（2）：198–207。[33]Schmidli，H.（2008）。

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mingdashike22

2022-5-25 07:48:40

保险中的随机控制。Springer Verlag，伦敦。[34]周，X.（2005）。关于一个具有常数红利壁垒的经典风险模型。《北美精算杂志》，9:1-14。河北工业大学理学院，天津300401，中国电子邮箱：liangxiaoqing115@hotmail.comFACULTYWYB WROCLAW科技大学纯数学和应用数学专业。WYSPIA\'NSKIEGO27，50-370 WROCLAW，POLANDE邮箱：zbigniew。palmowski@gmail.com

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