虽然托宾税牺牲了交易量而不会对网络拓扑产生最佳影响，但SRT允许在给定所需交易量的情况下将系统风险降至最低。图4提供了定理1以及命题2和命题3的简单说明。我们对模型参数做出了与图3相同的假设：（a）和（b）部分显示了两种可能的无税平衡（如图3a-b所示）。第（c）和（d）部分显示了托宾式税收κ下的平衡，这导致rκ>rκ>和rκ<rso，因为现在收取的利率超过了银行5的保留利率，所以2号银行和5号银行之间的交易变得过于昂贵。然而，托宾类税κ使rκ低于银行4的违约概率。因此，托宾税使第一个平衡点保持不变（（c）vs（A）），而减少了第二个平衡点的数量（（d）vs（b））。另一方面，第（e）部分显示了通过SRT T的性质可以实现的唯一平衡匹配。对于两笔贷款的交易量而言，这种独特的均衡是系统性风险系数。T的一个简单选择是简单地设置τ=0，τ=τ>>0，而τ=0，τ=τ>>0和τ>>0。所需的匹配项不征税，而不需要的匹配项征税（在这个简单的示例中，任意）。这保证了理想的贷款人在每个借款人的偏好列表中处于首位，并允许这种系统性风险匹配作为一种独特的平衡得以维持，而不会减少数量。在优化问题中使用命题3的一种方法是，在给定目标交易量水平的情况下，最小化系统风险。这将在下一节中完成。3.4.2数字调查作为一种特定交易税，SRT允许监管机构（如中央银行）在实现一定交易量的同时，将系统风险降至最低。假设她希望实现交易量ν。

然后在时间t，她可以通过解决以下提前一个周期的优化问题来设置SRT^t。^T∈ argminT：V ol（u*,Tt）=νESL（(R)A*,Tt，~ Et）（17）其中*,Tt=(R)At-1+Xi：i∈Lt，i6=u*,Tt（i）{i，u*,Tt（i）}-Xj:j∈Bt，j6=u*,Tt（j）{j，u*,Tt（j）}（18）是由平衡匹配u形成的净暴露矩阵*,Ttat时间t，ESL（·）是时间t前一个时期的预期系统性损失，如定义4所定义。“”在-1时间t的净风险敞口矩阵- 1在移除将于时间t到期的贷款后，监管机构将因此选择时间t，以使所需的系统性风险效率匹配保持平衡，即*,^Tt=^ut。请注意，可以有许多t产生相同的u*,Tt=ut。设计该SRT的一种经济上有意义的方法是对偏离预期均衡的任何偏离征税，该偏离与所产生的系统性风险量成比例匹配。理想的平衡本身仍然是免税的。因此J∈ Bt，设置T^uT（j），j=0，设置tij=r^uT（j），j- rij+ + ζmax（0，ESL（ij））（19）这是在Poledna和Thurner（2016）中使用基于代理的模型进行研究的。图4：一个玩具示例：系统风险税（SRT）导致系统风险效率均衡。我们对模型参数做出了与图3相同的假设：（a）和（b）部分显示了两种可能的无税平衡（如图3a-b所示）。第（c）部分和第（d）部分显示了托宾式税收κ下的平衡，该税收κ导致rκ>rκ>和rκ<r，从而导致借贷银行2和借贷银行5之间的交易变得过于昂贵，因为所收取的利率现在超过了银行5的保留利率。然而，类托宾税κ使rκ低于银行4的违约概率。因此，托宾税使第一个平衡点保持不变（（c）vs（A）），而减少了第二个平衡点的数量（（d）vs（b））。

另一方面，第（e）部分显示了通过适当选择SRT T可以实现的唯一平衡匹配。对于两笔贷款的交易量而言，这种独特的均衡是系统性风险。T的一个简单选择是简单地设置τ=0，τ=τ>>0，而τ=0，τ=τ>>0和τ>>0。所需的匹配项不征税，而不需要的匹配项征税（在这个简单的示例中，任意）。这保证了理想的贷款人在每个借款人的偏好列表中处于首位，并允许这种系统性风险匹配作为一种独特的平衡得以维持，而不会减少数量。哪里 > 0和ζ是一些缩放参数。这样做的效果是，按照借款人对系统性风险的贡献的递减顺序，对借款人的参考进行重新排序。因此，rTijnow会将所需匹配项放在最上面，重新确定借款人的偏好，并根据其他匹配项所产生的风险按比例征税。方程中的极小化问题。（17） -（18）有一个解决方案，因为它只是有限集合LTT和Bt之间的有限可能匹配集合上的一个组合优化问题。为了提供一个说明，我们现在在一个动态演化的复杂网络上解决这个问题。图5显示了3种不同情景下预期系统性损失和累计交易量的演变：（i）不含税；（ii）使用Tobin liketax；和（iii）SRT。在后一种情况下，调节器通过解决等式中的优化问题来确定SRT^T。（17） -（18）每次t。本例中的银行间系统由| N |=10家银行组成。在上面板中，我们看到类似托宾税（蓝色曲线）对减少预期系统性损失的影响有限。此外，在下方的面板中，我们看到这是以交易量减少为代价的，即贷款数量减少。

另一方面，SRT（绿色曲线）允许以系统风险有效的方式重新配置风险敞口网络。因此，它不会减少交易量，同时大幅减少预期的系统性损失。此处，约束设置为ν=V ol（u*t） ，即监管机构发现系统风险效率均衡匹配u*,^t实现与未征税的系统性风险效率均衡匹配u相同的交易量*t、 托宾税并不能让监管机构实现这一目标。类似托宾的税收κ只是通过使某些借款人的交易过于昂贵来阻止某些交易的发生（即rκij'rjforcin j∈ 英国电信）。有了托宾税，系统性风险的降低是由于贷款风险数量的减少。另一方面，SRT是由于在交易对手之间更有效地分配这些贷款风险。这意味着SRT激励交易对手进行特定匹配，从而将预期的系统性损失降至最低。4结论在本文中，我们通过分析表明，在不借助计算或模拟技术的情况下，拥有资产和负债金融网络拓扑信息的监管机构（如中央银行）可以设计特定交易的税收，以激励机构（如银行）创建一个对破产级联更具弹性的网络。这种交易特定的系统风险税（SRT）允许监管机构选择一种非均衡网络配置，在给定目标交易量的情况下，将系统风险降至最低。如果没有这种SRT，可能会出现许多均衡网络，它们通常是有效的，也就是说，它们可能会带来更高的系统风险。我们还分析表明，标准金融交易税（FTT）（如托宾税）减少了交易量，但对降低系统风险的影响微乎其微。

事实上，托宾式税收失败并不意味着，对于大型系统，这个问题可能会带来计算困难。在这种情况下，可以使用近似方案来找到近似解。这样的方案包括将bt分割成更小的子集，然后将这些子集依次匹配到Lt。这超出了本文的范围。0 100 200 300 400 500T0246810预期系统性损失（十亿美元）无类税RT0 100 200 300 400 500T0500100015002000累计交易量（#交易）无类税RTF图5：预期系统性损失的演变：（i）无税（红色）；（ii）托宾利克斯税（蓝色）和（iii）系统风险税（SRT）（绿色）。在每个时间t，调节器通过解决等式中的优化问题来确定SRT^t。（17） -（18）。目标体积ν设置为V ol（u*t） ，通过无税均衡匹配获得的量。顶部面板显示了假设违约事件（即t=t条件下）的预期系统性损失。底部面板显示累计交易量（随时间延长的累计贷款数量）。银行间系统有| N |=10家银行。共有500个时间步，每笔贷款的到期日为S=30期，价值10亿美元。模型参数为：y=1，Z=0.5，Yi~ U（0.5，2.5）（所有价值均以十亿美元计），ri~ U（0，8%）和γi~ 在t=0时随机选择U（0，0.09%）。？ri=9%。类托宾税设置为κ=3%。为简单起见，该模拟假设银行形成信念ρjt，S=(R)ρjS。第5.1节讨论了这种情况。考虑到不同的交易对系统风险的产生有不同的影响，因为它们涉及不同系统重要性的机构。我们注意到本文与Poledna和Thurner（2016）之间存在一些差异，其中引入了SRT的概念。

在那篇论文中，RT的有效性是通过基于代理的模型（危机宏观金融模型）来证明的，也就是说，与所有这些模型一样，基于一些可能难以验证的假设和参数。本研究的主要贡献在于表明，SRTworks独立于所选的数值模型，并且在该税种下存在一个均衡，并且在总体系统风险水平方面与未征税均衡有着显著的不同。这里的分析框架允许我们独立于数值验证来证明SRT的几个额外有趣的特性。即，平衡匹配的多样性以及SRT可以选择唯一且有效的匹配这一事实。它还提供了一种直觉，即托宾税减少了交易量，因为它阻止了某些匹配的形成，而SRT有一个很好的解释，即允许在不同匹配配置下交换相同的交易量。此外，Polednaand Thurner（2016）涵盖了借款人顺序（一次一个）从众多贷款人中选择一个的情况。这可以看作是当前模型的一个特例，该模型在双边市场中同时检查多个借款人和多个贷款人。虽然我们通过一个简单的银行间网络信息设置来说明这些结果，但重要的是要强调，SRT的概念更普遍地适用于任何信贷市场。事实上，我们对推动不同机构相互交易的原因做出了最低限度的假设。SRT的概念基于这样一种想法，即交易对手对彼此的偏好可以任意改变，从而达到交易对手之间的任何期望平衡匹配。

该系统性风险分类采用基于主体的模型（危机宏观金融模型，seePoledna和Thurner（2016））进行了广泛模拟，并在各种不同条件和参数下表现良好。系统性风险税的概念也适用于涉及衍生工具合同的更复杂的银行间系统（Leduc et al.（2016）），并且表现良好。它也可以应用于其他类型的网络系统，这有待于将来的研究。5附录5。1有限信息到目前为止，我们假设在任何时候，关于系统的所有信息都是常识。换句话说，我们假设金融系统的拓扑结构，即-1和Et-所有银行都知道。实际上，尽管-1可以从公开可用的资产负债表信息、银行间系统的整体拓扑结构（即-1） 可能并非所有银行都可以使用。有两种方法可以解决这个问题。一是假设一些关于传染风险的常见先验知识。因此，某些借款人的总失败概率j为ρjt，S=(R)ρjS+（1- \'ρjS）\'q.我们还可以假设银行实际上忽略了传染风险，在这种情况下，他们对某个借款人的总破产概率j的信念就是ρjt，S=\'ρjS。虽然在第二种情况下，我们可以预测更高的交易量，但这并不影响通过本文得出的结果。事实上，当贷款银行设定风险溢价时，未考虑交易风险，这必然导致风险溢价降低，从而提高贷款需求（超过银行准备金率的银行减少）。5.2严格偏好借款的风险管理策略在本节中，我们表明，我们的结果自然延伸到贷款人对借款人有严格偏好的情况。

在这里，我们允许贷款人通过帮助信用风险最低的借款人来管理其风险。我们让贷款人的预期收益∈ 贷款给借款人的贷款∈ Btbe∏iλ（j）=（1+ri）S（1- ρjt，S）（1+ri）S- 1.（20）在此，贷款人不收取风险溢价，以对冲借款人的信用风险。因此，该支付严格按照ρjt，S（借款人违约概率）递减。因此，我更愿意向最安全的银行贷款，即违约概率最低的j银行。因此，当ρjt可以严格排序时，贷款人ih在潜在借款人Bt集合上是一个严格排序的偏好列表Piλ。Lenderi的偏好形式为Piλ=d，e，f。。。，表明其第一选择是贷款给借款人d，第二选择是贷款给借款人e等，其中借款人是根据其违约概率ρdt、S<ρet、S<ρft、S<。。。，他们要求的贷款。下一个结果表明，在这种制度下，总是存在一个独特的平衡。命题4（具有严格偏好的均衡唯一性）。鉴于偏好严格的任何流动性市场（Bt、Lt、P），存在唯一的稳定匹配u*t时间t。此外，在时间t时交换的流动性金额的界限如下：V ol（u*t）≤ 最小值（| Bt |，| Lt |）。这种平衡通常是系统性风险不足的，这将在后面的命题5中显示。这个案例类似于盖尔和夏普利（1962）的经典场景，在那里，市场的每一方都有严格有序的偏好。然而，在我们的案例中，独特性源于市场双方的同质偏好。由于市场双方都有严格的偏好，稳定的匹配自然可以从反复谈判的过程中融合。各借款人按其偏好的递减顺序征求贷款人，即。

他们首先招揽提供最低利率的贷款人，以此类推。如果借款人比之前向其征求贷款的借款人更安全（即违约概率更小），则被征求的贷款人会给予临时批准。这一过程在有限的迭代次数中导致唯一稳定的匹配u*t、 这种唯一性结果也适用于类托宾税κ的情况，因为后者不影响偏好的排序。通过一个类似于定理1的论点，它还允许在适当选择的SRT T下，任何可行的匹配，使得ri<\'rj可以维持为唯一平衡。下一个命题类似于命题3，但是对于严格的偏好设置。提案5（严格优惠的系统风险税下的系统风险）。设（Bt、Lt、P）为时间t的流动性市场。给定净敞口矩阵-1时间t-1，让“A”*,Tt，’A*,κtand'A*t时间t形成的净风险敞口矩阵具有系统性风险交易税矩阵t，具有类托宾税κ，且不含唯一均衡的税收u*,Tt，u*,κ和u*t、 分别为。然后，（i）如果V ol（u*t） =ν，存在t使得ESL（(R)A*,Tt，~ Et）≤ ESL（(R)A*t、 ~Et）和V ol（u*,Tt）≥V ol（u*t） ；特别是，不存在这样的情况：*,TTI的系统风险系数。（ii）如果V ol（u*,κt）=ν，存在t使得ESL（(R)A*,Tt，~ Et）≤ ESL（(R)A*,kt，~ Et）和V ol（u*,Tt）≥V ol（u*,kt）.5.3可变贷款规模我们假设，家庭客户要求贷款的银行必须从银行间市场（家庭客户刚刚存款的另一家银行）获得该笔资金。因此，银行间贷款的规模是外生的，取决于银行必须从银行间市场借款的数量，以满足家庭客户的借款需求。因此，贷款金额完全由外来家庭冲击决定。

在第2.2.1节中，我们假设该金额为1，允许在每次t时对匹配过程进行简单分析。由于网络由许多重叠匹配组成，两家银行之间的净敞口AIJT可以具有可变（整数）大小。因此，任何t的净敞口矩阵“Atat any t”可以被视为加权图。5.3.1具有可变贷款规模的更复杂模型可以使用更复杂的匹配模型来说明可变贷款规模。例如，Baiou和Balinski（2002）考虑了一个稳定的分配问题，该问题可用于研究一组每个人都有一定数量的可用工作时间的员工，而这组员工只会使某些借款利率对某些借款人来说太高（即rκi>’rj，对于某些借款人来说，rκi>’rj∈ Ltandsome j公司∈ 英国电信）。每个雇主都寻求一定的工作时间。这种分配问题可能适用于试图交换不同数量流动性的贷款人和借款人的情况。银行间体系中存在的主要道德风险问题仍然存在：银行在终止/借款时不考虑对其他银行施加的系统性风险。这种更现实的匹配模型主要会使分析复杂化，因此将留作将来的工作。5.3.2考虑可变贷款规模的简单扩展当前匹配模型可以通过以下方式扩展到可变贷款规模：在时间t，让每家银行∈ N收到流动性冲击it=它γit，其中γ呈指数分布并控制流动性冲击的大小，而如第2.2.1节所述，并管辖银行在此期间是贷款人还是借款人。

那么，在贷款人i贷款给借款人j的匹配中，两个贸易伙伴i和j之间可以交换的最大流动性为min（~it，k，|it，k |）。因此，很明显，贷款人和借款人之间的单轮匹配将不允许交换所有可用的流动性。因此，我们可以允许在时间段t内进行多轮匹配。然后，对于任何一轮k，每个贷款人i和借款人j的供需可以更新如下（假设k轮中i和j之间存在匹配）~it，k+1=it，k- 最小值（▄it，k，|jt，k |）~jt，k+1=jt，k+最小值（~it，k，|jt，k |）由于在任何匹配中，一个交易对手要么借出其当前的全部供应，要么借出其当前的全部需求，因此在下一轮中，它将从贷款人或借款人中删除。因此，Bt，k+1 Bt、kand Lt、k+1 Lt，k，当第k轮中至少存在一个稳定匹配时，一个包含项是严格的。因此，我们可以匹配更新的贷款人和借款人集合，直到最后一轮，其中一个集合变为空或不存在稳定匹配（例如，因为剩余贷款人的利率超过剩余借款人的保留利率）。该过程在一定数量的轮次中结束。请注意，在此多轮模型中，匹配仅在单轮中稳定（代理近视，不考虑后续轮）。结果是一个在t期形成的二分图，但该二分图与图1中的二分图在两个方面有所不同：（i）每个借款人或贷款人可能有多个事件发生在其上；以及（ii）边缘由每轮交换的流动性金额（实数）加权。然而，该模型对分析几乎没有任何补充。事实上，在原始模型中，随着时间的推移，重叠匹配会在任何两家银行之间产生可变（整数）规模的净敞口。

例如，图2中的银行间网络具有等式（6）中的净暴露矩阵。在此矩阵中，2号银行过去曾向1号银行贷款两次，因此净敞口为2号。从系统性风险的角度来看，这可以看作是一个规模为2.5.4的孤岛，在一个时期内与多个合作伙伴进行交易。网络形成模型在每个时期都被视为一个二方匹配。事实上，家庭贷款必须由银行间贷款提供服务，银行只能使用当前家庭存款来发放银行间贷款。假设银行的流动性冲击它实际上是所有家庭存款的总和减去家庭所需的所有贷款的总和。然后，银行利用其家庭存款发放家庭贷款。如果差异为正，则银行有流动性供应(它可以在银行间市场上放贷。如果差异为负(它<0），则银行必须在银行间市场借款，以延长剩余的家庭贷款。5.4.1更复杂的模型然而，在现实中，促使银行在银行间市场借贷的原因更为复杂。银行可以在同一时期借贷。在一个好的利率下，银行可能也更愿意借贷，即使它有流动性供应。为了模拟更多的再分配银行间借贷决策，可以使用更复杂的匹配技术，如Hat field et al.（2013）或Fleiner et al.（2016）中的多边匹配市场研究。这种匹配模型可能更现实，但也可能掩盖我们感兴趣的分析，即关注贷款对系统性风险的影响。无论如何，道德风险问题仍然存在：银行在借贷时不考虑其他银行所面临的系统性风险。

然后，还可以研究用于纠正此类不足的SRT理念。因此，使用更通用的匹配模型来研究银行间市场可以作为未来的工作。5.4.2风险分散我们研究的基本模型仅允许贷款银行通过设定风险溢价来抵消对方风险，该风险溢价会增加借款人的违约风险。在第5.2节中，我们还考虑了不同的风险管理策略，其中贷款银行有严格的偏好，并试图向最安全的借款人贷款。银行可以使用一种更复杂的风险管理策略来分散借款人的信用风险。建模的一种方法是使用类似于Alkan和Gale（2003）的匹配过程，其中每个贷款人都可以有一个选择函数，考虑到市场另一端的借款人集合，选择Bt中包含的最优先子集S=C（Bt）。然后，据说S比Bt的所有其他子集都更优先。然后，贷款人可以选择向给定数量的借款人提供小额贷款，从而分散其信用风险。这将导致更密集的网络，尽管重量更小。另一方面，出于与前面所述相同的原因，效率和道德风险仍然存在是这样一个模型，研究SRT如何在这种特定环境中应用可能很有意思，尽管它会按照相同的想法运行。这可能会在未来的研究中进行探索。5.5可变到期时间到目前为止，我们假设所有贷款的到期时间都是固定的。我们可以再次解释这一点，即贷款期限（就像规模一样）由借款者的需求决定。在这里，我们将其添加到S。

当一家银行的家庭客户想要借贷多于存款时，该银行必须利用银行间市场来满足这一净家庭需求，并在s期内获得贷款。由于在市场的另一端，假设存款人也在S期存款，因此这两种流动在到期日之间是匹配的。这一假设简化了会计。我们之所以这么做，主要是因为我们希望从决定aloan成熟度的个人决策中抽象出来。这取决于我们对建模不感兴趣的东西，这些东西会模糊分析。在使用更通用匹配技术的更复杂模型中，贷款人可以对到期日有偏好（例如，偏好较短的到期日），但这在本文中没有探讨。此外，目前尚不清楚，到期日基准的驱动因素与在这种背景下研究系统性风险有何直接关系。然而，请注意，我们可以为每笔贷款指定一个随机到期日（在配对形成后，假设到期日是在双方同意交易后进行谈判的结果）。这不会改变均衡行为，但会允许每笔贷款具有随机（如泊松分布）到期日。

但这对分析没有什么帮助，因为在任何给定的时间，当前模型创建的银行间网络是一个不同到期时间的重叠贷款网络（因为这些贷款在过去的不同时间创建）。5.6其他数字结果我们现在提供了第3节中模拟的银行间系统的其他网络统计数据。4.2.5.6.1度分布图6显示了银行间网络的经验内外度分布。in degree是指银行向其借款的交易对手数量（不考虑风险敞口的大小），out degree是指银行向其借款的交易对手数量（不考虑风险敞口的大小）。我们看到，虽然SRT下的交易对手数量平均似乎有所减少，但三种情况下的分布并没有显著差异。因此，交易对手的数量不是了解SRT如何重塑银行间网络的有用指标。5.6.2系统性影响SITO要了解网络在三种不同情景下的性质变化，我们必须查看不同的统计数据。最相关的统计数据是SIi，即定义3中定义的银行的系统性影响。这确实是一个中心性指标，因为它衡量的是如何将风险敞口的双边净额计算考虑在内，即如果两家银行相互借贷了等量的资金，那么风险敞口就会被取消。0 1 2 3 4 5 6 7 8in-degree00。10.20.3频率细胞蛋白样类群分类群0。10.20.3 Frequencytobin-like taxno taxSRTFigure 6：第3.4.2节模拟的银行间网络未加权邻接矩阵中的入度和出度的经验分布。in degree表示银行向其借款的交易对手数量。

out等级代表银行贷款给的交易对手数量。许多其他银行受到银行i破产的影响。图7显示了SIII的经验分布。我们清楚地看到，SRT极大地将系统性影响的分布转向了较低的值。另一方面，托宾税只会对其产生根本影响。5.6.3聚类系数和光谱半径其他更标准的网络统计数据可以为SRT如何重塑银行间网络提供有用的见解。图8显示了平均局部聚类系数的分布。局部聚类系数衡量银行的邻居与小集团（相互关联）的距离，并间接提供有关风险周期存在的信息。这种风险周期可能会产生相当大的系统性风险，因为一家银行的破产可能会导致周期内的其他银行破产（例如，见Duffee和Zhu（2011））。然后，银行的局部聚类系数由其邻域内银行之间的链接比例除以它们之间可能存在的链接数量得出。为了进行此计算，我们忽略了链接的权重（曝光的大小）。然后取网络中所有节点的平均值。由于我们有500个时间步（因此有500个网络），我们可以计算平均聚类系数的分布。从图8可以清楚地看出，SRT降低了银行间网络的聚集系数，而Tobin-liketax仅略微降低了聚集系数。图7和图8表明，SRT具有风险削减周期的影响。这种风险周期可能导致多家银行破产，其中一家银行违约。在图9中，我们查看光谱半径。

这是银行间网络的无权无向邻接矩阵的最大特征值的大小。我们再次看到SRT如何降低光谱半径，而托宾税对0 2 4 6 8 10 12 Sii00没有明显影响。050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 Frequencytobin-like分类单元图7：第3.4.2.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1节中模拟的银行间网络系统影响SIiof的经验分布平均聚类系数00。050.10.150.20.25 FrequencyTobin-like taxno taxSRTFigure 8：第3.4.2.1 2 3 4 5 6 7 8 9节中模拟的银行间网络无加权无向邻接矩阵中平均聚类系数的经验分布光谱半径（λmax）00.050.10.150.20.25 FrequencyNo-taxTobin-like taxSRTFigure 9：无加权，第3.4.2节中模拟的银行间网络的无向邻接矩阵。信息技术5.7引理1的证明。贷款人i的预期收益为∏iλ（j）=（1+ri）s（1- ρjt，S）（1+ri+hij）S- 1.（21）如果ρkt，S=0（无风险贷款），则风险溢价为hik=0。贷款人i将通过收取风险溢价来对冲其风险，即该贷款的预期价值与无风险贷款的预期价值一样高。然后，对于违约概率ρjt，S>0的借款人j，我们得到∏iλ（j）=∏iλ（k）。解决此问题将产生hij=1+ri（1-ρjt，S）1/S- 1.- 国际扶轮社。命题1的证明。让j∈ B和i∈ Ltand让utbe为一个匹配，其中任何ut（i）=j的rij<rj，任何m的rij<rmj∈ l确保ut（m）=m。我们将验证itful满足稳定匹配的所有条件（参见定义2）：条件（I）基本满足，因为贷款人是不同的Piλ（k）~ Piλ（j）。

缺乏严格的优惠意味着他们没有动机改变他们贷款的银行。满足条件（II），因为所有借款人都有同质的偏好，因此不能是给定的借款人子集∈ 英国央行将同意交换与之匹配的贷款人。确实对于任何j∈ B和i，l∈ Lt，如果ri<RL，则rij<rlj（由于riskpremia hijand Hljd不影响借款人优先权列表中贷款银行的排序，因此它们仅由ri决定）。条件（III）满足，因为我们假设uTWA是一种匹配，其中rij<rj，因此Pjβ（j） Pjβ（ut（j））=Pjβ（i）。此外，由于我们假设rij<rkjforany k∈ 使ut（k）=k，Pjβ（k） Pjβ（ut（j））。因此，u是一个稳定的匹配，我们可以用u来表示它*t、 V ol（u）上的上限*t） 可以解释如下：假设smallerset中的所有银行（Bt或Lt）都与较大集合中的一个交易对手匹配，这样rij<\'rj。在外壳内，V ol（u*t） =最小值（| Bt |，| Lt |）。另一方面，如果较小的一组是BTA，而一些借款人无法找到rij<rj的可用贷款人，那么他们将保持不匹配，在这种情况下，V ol（u*t） <最小值（| Bt |，| Lt |）。因此，通常V ol（u*t）≤ 最小值（| Bt |，| Lt |）。引理2的证明。设Naggt=Pj∈NNJT是所有计数过程的总和，设Tbe为Naggt的第一跳时间。紧接着T~ exp（γagg），其中γagg=Pj∈Nγj.让tibe为Nit的第一个跳跃时间。那么，银行i在未来S期内发生外部破产的概率ρis可以表示为ρis=P{T=ti，T≤ S} （22）=P{T≤ S} ·P{T=ti | T≤ S} （23）=ZSγagge-γagg·tdt·γiγagg（24）=1.- E-γagg·Sγiγagg（25）定理1的证明。现在，我们引入一个定义，这将有助于证明这一结果。定义6。对于每个j∈ Bt，设Ljt是j愿意向其借款的贷款人的缩减集，即Ljt={i:rij<\'rj}。

我们用EQtbe表示借贷者bt集和借贷者qj约化集之间的可行匹配集（不一定稳定）∈BtLjt，即一对一对应关系u的集合，以便：（i）J∈ Bt，u（j）=i，其中i∈ Ljt（如果u（j）6=j）。（二）我∈ Lt，u（i）=j，其中j∈ Bt（如果u（i）6=i）。在上述定义中，eqt是一组可行匹配，即借贷者支付的利率低于其保留利率rj。请注意，根据定义，EQt EQt。Wenow显示任何匹配u∈ 在适当选择特定交易税的情况下，EQT可以保持稳定。对于任何j∈ B和i∈ Ljt，letτij∈R+是lenderi向借款人j发放的贷款所征收的税款。由于rTij=ri+hij+τij，因此对于所有i∈ LJT可以任意重新排列借款人j的偏好列表Pjβ。现在给出所需的匹配^ut∈ EQt，我们可以为所有借贷者构建首选项Pjβ∈ bt以便得到的稳定匹配为u*t=^ut。要看到这一点，让τut（j）jbe表示rT^ut（j）j<rTkj，K∈ Ljts。t、 k 6=ut（j），并且使得rTut（j）j<rj（如果要匹配j）和Rtk，j>rjK∈ Ljtif^ut（j）=j（如果j保持不匹配）。那么，Pjβ={ut（j），π（Ljtut（j））}，其中π（Ljtut（j））是j的贷方简化集Ljt的某种置换，不包括期望的对方。这将导致首选项{Pjβ}j∈Bt，以便所需的交易对手^ut（j）位于每个借款人j的首选列表的顶部。我们现在表明，在这些税收优惠下{Pjβ}j∈Bt，匹配的^uTistable。让所有借款人在其优先选择名单的顶部征求贷款人的意见，那么所有贷款人都将接受延长贷款，因为他们与哪些借款人的交易不同。我们将验证定义2的每个条件是否满足。条件（I）基本满足，因为贷款人的偏好并不严格，即：。

Piλ（k）~所有i的Piλ（j）∈ Lt和k，j∈ Bt.条件（II）已满足，因为没有借款人能够提高其交易对手的预期付款。这样做将迫使他支付更高的rTij利率。因此，没有一组借款人~b BTA同意交换交易对手。条件（III）满足，因为对于任何匹配的借款人j，rT^ut（j）j<rj，对于任何其他借款人，rT^ut（j）j<rtmj∈ Lt.我们现在证明唯一性：假设存在另一个稳定匹配u*t6=u*t、 然后，通过构造ofT，a集~b Btof借款人与各自纳税诱导优惠名单上的贷款人不匹配。如果某些借款人j的税收优惠是保留一项（即rTij>(R)rj），则违反了条件（III），并且*t不稳定。否则，b的成员可以同意交换对方，以便他们与他们的RTOP选择相匹配，从而违反条件（II）。因此u*t不稳定，我们认为存在唯一的稳定匹配*t、 其中，各借款人与其（税务诱导的）优先贷款人或自身相匹配（即保持不匹配）。因此，eqt是一组匹配，在适当的税收选择下，可以作为一种独特的均衡来维持。命题2的证明。设κ>0为类托宾税，即rκij=ri+hij+κ（26），对于某些贷款人i∈ 贷款和一些借款人j∈ Bt.第（i）部分：该证明与命题1（i）相同，但ut是一个匹配，其中对于任何m∈ l使得ut（m）=m。第（ii）部分：此外，对于每个j∈ Bt，我们可以定义一组简化的贷方Lj，κt={i：rκij<\'rj}。紧接着Lj，κt Ljt，其中Ljt={i:rij<\'rj}。然而，相对于贷款人的优先权清单保持不变。设“v”为EQt中某些匹配可达到的最高体积，并设EQt（\'v）为达到该体积的平衡集。

然后EQκt（(R)v） SEQt（(R)v），注意等式κt（(R)v）可能为空。因此，最大u*,κt∈EQκtV ol（u*,κt）≤ 最大u*T∈当量ol（u*t） 。命题3的证明。第（i）部分：考虑集合{ut∈ EQt：V ol（ut）≥ V ol（u*t） ，其中eqt是定理1（定义6）证明中定义的可行性匹配集。自u起*T∈ EQt，这一组不是空的。现在让我们写下^ut∈ argmin{ut∈EQt：V ol（ut）≥V ol（u*t） }ESL（At（ut））（27），其中At（ut）是在时间t与匹配ut（不一定稳定）形成的净暴露矩阵。至少存在一个这样的极小值ut，因为只能有很多匹配ut∈ EQtand{ut∈ EQt：V ol（ut）≥ V ol（u*t） } EQt。现在根据定理1，存在T，使得u*,Tt=ut。因此，ESL（A*,Tt）≤ ESL（A*t） 和V ol（u*,Tt）≥ V ol（u*t） 。第（ii）部分：让κ>0为托宾税，即对于某些贷款人i，rκij=ri+hij+κ（28）∈ 贷款和一些借款人j∈ Bt.在命题2（ii）的证明中，我们可以定义EQκtas，即类似原子的taxκ和EQκt下的可能匹配集（不一定稳定） eqt因为κ是T的一个特例。Letu*,κt∈ EQκtbe类托宾税κ下的均衡匹配。然后u*,κt∈EQκt EQt。从定理1出发，我们可以设计T，使^u*,Tt=ut，对于任何ut∈ EQt，然后是一个类似于（i）部分的论点，我们可以找到一个T，这样ESL（a*,Tt）≤ ESL（A*,κt）和V ol（u*,Tt）≥ V ol（u*,κt）。命题4的证明。我们将首先构建一个平衡匹配u*然后展示它的独特性。各借款人j∈ Bthas优惠严格降低贷款人的利率ri，对于i∈ Lt.各贷款人i∈ l借款人违约概率ρjt，S，对于j，偏好严格降低∈ Bt.让我∈ Lt表示提供最低利率ri的贷款人。让所有借款人（ri<rj）向该优先贷款人申请贷款。

然后我会选择借贷者∈ Bt违约概率最低ρjt，S。这种jt与iis的匹配是稳定的：定义2的充分条件（I），因为双方都与其首选对手匹配，不想偏离。它也满足条件（III），因为我们假设。条件II不适用于此处，因为贷款人的偏好是严格的。现在，让我们来处理布茨和莱蒂中尉剩下的无与伦比的成员∈ Lt表示提供第二低利率ri的贷款人。让所有不匹配的借款人（ri<rj）向第二优先贷款人申请贷款。然后我会选择借款人j作为回应∈ b第二低违约概率ρjt，S。对于前一种情况，jt与iis的匹配是稳定的，因为它完全符合定义2的条件。迭代进行，直到jNand iN，其中N=min（| Bt |，| Lt |）是借款人和贷款人集合的小规模，我们发现了一个稳定的匹配u*各银行与其首选可用交易对手匹配的tin（如果没有合适的可用交易对手，则保持不匹配）。现在我们将显示u*这是唯一稳定的匹配。让ut成为jis与i不匹配的任何匹配。然后jand和iwouldbene fit放弃其当前指定的交易对手（在匹配ut下），转而一起交易。因此，违反了条件（I），ut不稳定。设utnow为jis与i匹配但jis与toi不匹配的任何匹配。然后，jand和iwould都将从放弃当前指定的交易对手（在匹配ut下）和一起交易中获益。因此，违反了条件（I），且不稳定。

反复进行，直到jNand iN，其中N=min（| Bt |，| Lt |）是借款人和贷款人中较小者的大小，我们在每一步都会发现违反了条件（I），因此任何匹配差异都不同于u*它不稳定。由于这涵盖了所有可能的匹配，我们已经表明u*这是唯一稳定的匹配。命题5的证明。我们首先证明，如定理1所示，在适当选择SRT T下，任何可行匹配都可以保持为唯一平衡。在定理1的证明中，给定任何期望的可行匹配ut∈ EQt，我们可以将期望的贷款人i=u（j）放在每个借款人j的优先权列表的顶部。调用此匹配u*,Tt，我们现在证明它是唯一的稳定匹配。为了证明稳定性，我们使用了与命题4证明相同的直觉。让j∈ Btbe违约概率最低的借款人ρjt，S。然后借款人j与贷款人i的匹配=u*,Tt（j）是稳定的，因为两个jand都在对方的偏好列表上。现在我们可以应用相同的逻辑来显示j的匹配∈ Bt，第二低违约概率ρjt，S的借款人，对贷款人i=u*,Tt（j）稳定。

继续迭代直到jNand iN，其中N=min（| Bt |，| Lt |），我们显示u*,TTI是一种稳定的匹配，在这种匹配中，每家银行都与SRT T下的首选可用交易对手匹配（如果没有合适的可用交易对手，则重新匹配）。应用与命题4的唯一性证明完全相同的逻辑，我们得出以下结论：*,TTI是SRT T下唯一的稳定匹配。我们现在证明命题的（i）和（ii）部分。第（i）部分：证明与命题3（i）的证明相同，因为通过适当选择SRT，eqt中的任何可行匹配都可以作为唯一均衡来维持。第（ii）部分：类似托宾税的借款利率κ在此简单定义为rκij=ri+κ。命题4的唯一性结果在类似托宾的税收κ下成立，因为它既不影响贷款人的偏好，也不影响借款人偏好的排序。它只会减少借款人愿意与之进行交易的一组贷款人（因为rκij可能比rκij更大，对于某些贷款人而言，rκij可能比rκij更大）∈ Lt）。然后，证明与命题3（ii）的证明相同。参考Abdulkadiroglu，A.和S¨onmez，T.2003。学校选择：一种机制设计方法。《美国经济评论》93，3729–747。2.2.4Acemoglu，D.、Ozdaglar，A.和Tahbaz Salehi，A.2013年。金融网络中的系统性风险和稳定性。国家经济研究局技术代表。1阿尔坎，A.和盖尔，D.2003年。显示偏好下的稳定时间表匹配。《经济理论杂志》112，2289–306。5.4.2MINI，H.，Cont，R.，和Minca，A.，2013年。金融网络的抗传染能力。数学金融。1 Nufriev，M.、Deghi，A.、Panchenko，V.和Pinotti，第2016页。隔夜银行间市场的网络信息模型。CIFR纸张103。2016年，Abus，A。金融网络的形成。兰德经济杂志47，2239–272。1Ba–ou，M。

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