多期投资组合优化：自相关风险的转换

2022-5-25 10:16:44

最后，我们注意到，所有讨论的动态投资策略，即经典增长最优投资组合、稳健增长最优投资组合（见[7]）和扩展稳健增长最优投资组合（本文提出）都具有类似的计算优势，即，所有这些策略都可以通过解决静态优化问题相对容易地获得。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们解释了如何对金融市场中的分布模糊性进行建模，在第3节中，我们定义了风险度量，即最坏情况下的增长率，以评估每个投资组合的绩效。第4节推导了最坏情况下增长率的分析公式。本节还提供了一些数值实验。最后，我们在第5节中提供了更一般概率设置的近似最坏情况增长率，第6节得出结论。符号我们用Sn表示Rn×nb中对称矩阵的空间。对于任意维数相同的对称矩阵X和Y，我们用hX，Yi表示它们的迹标量积。此外，对于正半定义X∈ Sn，我们定义X1/2为其主平方根。我们还将1定义为1的列向量，将I定义为单位矩阵。其尺寸应与周围环境保持一致。随机变量由带颚化符的符号表示。我们用Rn上所有概率分布P的Pntheset表示，用EP（·）和COVP（·，·）表示输入随机参数相对于概率分布P的期望值和协方差。在本文中，我们假设投资期限由T={1，2，…，T}给出，资产范围由N={1，2，…，N}给出。此外，对于复数c，我们用Re（c）表示其实部。最后，我们定义了t模t的剩余量（t）。

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2022-5-25 10:16:48

注意，对于任何t∈ Z、（t）t从{0，…，t获取一个值- 1} .2。分布设置：平稳均值、方差和自相关在本节中，我们描述了资产收益率概率分布P的设置[~rt]Tt=1。我们定义了歧义集=P∈ PNT：EP（~rt，i）=ui我∈ 我T∈ TCOVP（￠rs，i，￠rt，j）=ρ（t-s） Tσi，ji、 j∈ 我s、 t型∈ T,其中u=[ui]i∈N∈ Rn表示预期资产收益向量，∑=[σi，j]i，j∈N∈ SN代表资产回报的协方差矩阵。u和∑都被假定为静止的，即它们随时间保持不变。[10]中很好地推动了模糊集P的选择。与[7]假设不同交易期资产收益率与t不相关的假设不同，我们允许它们与相关性ρ（t）相关-s） T.接下来，我们考虑由投资组合w生成的固定组合策略（见[7]）∈ W RN+，其中Wis是允许投资组合的凸多面体。也就是说，我们假设投资组合权重在每个再平衡日期t恢复为wat∈ T为了避免混乱，我们将交易期t内的投资组合回报表示为▄ηt=w▄rt。很明显，在资产回报的分布P下，我们有EP（▄ηt）=w▄u和COVP（▄ηs，▄ηt）=ρ（t-s） Tw∑ws、 t型∈ T等效地说，映射ηt=w | rtp将P投影到模糊集P（w）定义的asP（w）=P∈ PT:EP（|ηt）=w|uT∈ TCOVP（￠ηs，￠ηt）=ρ（t-s） Tw∑ws、 t型∈ T.模糊集的投影性质（例如，参见[11，定理1]和[7，命题2]）进一步证明了从P（w）到P的逆映射的存在。因此，从下一节开始，我们将使用投影模糊集P（w）而不是原始模糊集P来研究任意组合w的性能，由于机动P（w）常常导致一个维数较小的优化问题。3.

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2022-5-25 10:16:52

投资组合绩效衡量：最坏情况下的增长率在无摩擦的市场中，固定投资组合在投资期内重复投资，总回报率为∈T（1+w |rt）=expXt∈Tlog（1+w |▄rt）！，这是一个随机数量。因此，该投资组合的一个直观绩效衡量指标是对其对数终端财富E的预测Pt公司∈T（对数（1+w |rt））. 使这种效用函数最大化的投资组合称为增长最优投资组合。该投资组合具有许多令人兴奋的渐近性质，其中一些性质将在第1节中讨论。此外，如果资产回报率分布是连续独立且相同分布的，则可以通过求解静态优化问题maxw来获得增长最优投资组合∈WE（log（1+w |r））。然而，对于有限T（尤其是当T很小时），期望标准变得有风险（因为中心极限定理失败），因此[7]建议使用分位数标准代替期望标准。准确地说，[7]利用分布稳健优化的最新进展（见[12]），通过解决以下优化问题来确定最坏情况下的增长率（w） =最大γ（γ：PTXt∈Tw | rt-（宽| rt）≥ γ！≥ 1.- P∈ P） =最大γ（γ：PTXt∈T§ηt-§ηt≥ γ！≥ 1.- P∈ P（w））。式中，[7]中设置的模糊度是我们的限制，其中ρt=0表示每t=1，T- 1、由于固有的时间对称性，非相关假设允许[7]有效地解决此分布鲁棒程序。我们的工作放宽了这一假设，以适应投资者的信念和市场季节性。特别是，我们表明，尽管注意到-（w | rt）是关于w | rt=0的对数（1+w | rt）的二阶泰勒近似值。

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2022-5-25 10:16:55

随着再平衡频率的增加，近似值变得更加准确。时间对称性被破坏了，我们仍然可以导出G的解析表达式（w）利用循环矩阵线性代数的知识；参见例[13]。我们强调，尽管放松并不能极大地改变问题，但它仍然需要我们开发新的数学技术来适应这些变化。4.最坏情况增长率的推导通过使用[12]中提供的分布稳健二次信道的半定义程序重新公式，我们可以重写（w） asG公司（w） =最大γs.t.M∈ ST+1，β∈ R、 γ∈ Rβ+HOhm（w），密歇根州≤ 0，M 0米-我--|γT- β 0，（1）其中Ohm（w） 0是一系列投资组合收益的投影二阶矩矩阵【ηt】t∈t由P（w）中的任何分布生成，即。，Ohm（w）=w∑w·P+（w |u）·11 | w |u·1w |u·1|P是自相关矩阵，定义为asP=ρρ。ρT-1ρT-1ρ。ρT-2.ρρ。ρ. （2）注意，对于P是一个适当的非退化自相关矩阵，我们需要：ρ=1，ρt=ρt-t对于t=1，T- 1以确保P是对称的同样，我们也假设∑ 0以消除退化情况。我们强调，这些假设是非限制性的，当N中不存在无风险资产时，这些假设几乎总是满足的。从今以后，我们在他们持有的整个文件中都假设了这一点。观察M的尺寸与T的比例。因此，直接为大T求解此程序在计算上是禁止的。幸运的是，在我们的例子中Ohm（w） formsa循环矩阵。定义4.1（循环矩阵）。对于c，c，cT-1.∈ R、循环矩阵C=circ（C，C，…）。

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2022-5-25 10:17:00

，cT-（1）∈ RT×定义的asC=cc···cT-1立方厘米-1c··cT-2.抄送···c.通过利用矩阵的循环性质，我们在求解公式（1）时避免了复杂性问题Ohm（w）。我们在下面的引理4.1中证明了这个结果。引理4.1（循环优化器）。存在一个优化器（M？，β？，γ？）其中（1）m=circ（m，…，mT）-1） mTmT | mT+1对于一些m，mT+1∈ R、证明。对于整数{1，2，…，T+1}的任何置换π，用Pπ表示置换矩阵x，通过[Pπ]i定义，如果π（i）=j，则j=1；=否则为0。用∏表示具有以下性质的置换集。π（T+1）=T+1.2。对于d∈ {+1，-1} ，（π（T）- π（1））T=（π（i）- π（i+1））T=（d）T对于i=1，T- 1、注意∏∏=2T，因为π（1）可以从1、…、中自由选择，T和有两种可能改变方向d。由于Ohm（w），可以观察到pπOhm（w） P |π=Ohm（w）对于任意π∈ ∏。现在这个命题来自一个与[7，命题3]的论点平行的论点。引理4.1不失一般性，允许我们将注意力限制在由循环矩阵、额外列和额外行组成的特定形式的M上。注意M是对称的，这意味着mt=mt-t对于t=1，T- 下面的引理4.2表明，任何对称循环矩阵的特征值都可以解析确定。引理4.2（循环矩阵的特征值）。对称循环矩阵的所有特征值xc=circ（c，c，…，cT-1）阿雷普特-1t=0TCOS2πjtT, j=0，T- 1.证明。C=circ（C，C，…，cT）的特征值-1）阿雷普特-1t=0ctωtjj=0，T- 其中ωjare jth单位根（参见，例如，[13，第3章]）。此外，我们知道所有特征值都是实的，因为C是对称的。

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2022-5-25 10:17:04

去掉特征值表达式中的虚部，下面的声明如下。我们现在准备将（1）从半有限程序简化为二阶锥程序。为了实现这一点，我们考虑第一个半定义约束M 使用引理4.1和引理4。2一起，我们可以将此约束重写如下：M 0<==> mT+1≥ 0，循环（m，…，mT-（1）mTmT+1|<==> mT+1≥ 0，约（m- 公吨/公吨+1，mT公司-1.- 公吨/公吨+1） 0<==> mT+1≥ 0，PT-1t=0mt公司- 公吨/公吨+1cos公司2πjtT≥ 0 j=0，T- 1.<==> mT+1≥ 0，公吨+1公吨-1吨=0吨≥ T mT，PT-1t=0mtcos2πjtT≥ 0 j=1，T- 1，如果由于Schur补码，第一个等价保持不变，则第三个等价遵循引理4。2，最后一个等价于t-1Xt=0cos2πjtT=T-1Xt=0Re（ωtj）=Re1- ωTj1- ωj！=0表示j=1，T- 1，（3）其中ωjr表示单位的jth根。（1）中的另一个半限定约束可以用类似的方式重新表述，因此我们最终得到（1）的以下重新表述。G（w） =最大γs.t.（m，…，mT+1）|∈ RT+2，β∈ R、 γ∈ R（4a）mT+1≥ 0，mT+1- γT+β≥ 0，mt=mt-tt=1，T- 1（4b）当mT+1=0时，最终结果仍然成立，可以通过区分大小写来处理。然而，为了简洁起见，我们省略了这个论点。mT+1PT-1吨=0吨≥ 公吨，（公吨+1- γT+β）M-+PT公司-1吨=1吨≥ T（mT+（4c）m-+PT公司-1t=1mtcos2πjtT≥ 0 j=1，T- 1（4d）β+TPT-1t=0ρtw∑w+（w |u）mt+2T w |umt+mt+1≤ 0（4e）注意，（4）中的所有约束要么是线性的，要么是双曲线的，即二阶锥可表示。因此，我们将公式（1）重新表述为二阶锥程序。下面，我们推导出G的分析解（w）。假设x=（m，…，mT+1，β，γ）>是公式（4）的最优解。构建新的解决方案X=T-1Xt=0mt-!/T+|{z}m，T-1Xt=0mt-!/T |{z}m。

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2022-5-25 10:17:08

T-1Xt=0mt-!/T |{z}mT-1，mT，mT+1，β，γ|.x满足（4）中除（4d）–（4e）之外的所有约束，因为从x到xpreservesPT的转换-1t=0mt，即PT-1t=0mt=PT-1吨=0吨。在下文中，我们认为，从约束（4d）–（4e）的角度来看，xis确实是可行的。对于约束（4d），xis确实可行，因为m-= m=m=…=mT公司-1和PT-1t=1cos2πjtT= -1，如前（3）所述。对于约束（4e），更容易查看（1）中该约束的原始版本，即β+HOhm（w），密歇根州≤ 请注意，有必要显示Circ（m，m，…，mT-（1） circ（m，m，…，mT）-1）。我们让mdenote共享m的值，mT公司-由于两个循环矩阵之间的差异保持循环，因此上述正半限定约束保持循环（m+- m、 m级- MM- mT公司-（1） 0<==> m级+- m+PT-1t=1（m- mt）ωtj≤ 0 j=0，T- 1.<==> m级+- m+PT-1t=1（m- mt）ωtj≤ 0 j=1，T- 1.<==>+ mPT公司-1t=0ωtj≤PT公司-1t=0mtωtjj=1，T- 1.<==>+ M1.-ωTj1-ωj≤PT公司-1t=0mtωtjj=1，T- 1.<==>≤PT公司-1t=0mtRe（ωtj）j=1，T- 1.<== M-+PT公司-1t=1mtcos2πjtT≥ 0 j=1，T- 1.<== x的可行性，其中第一个等价是引理4.2的结果，第二个等价不包括ω=1的情况，因为m的定义是T m+=PT-1t=0mt=PT-1吨=0吨。因此，xis对（4）是可行的，也是最优的，因为它与原始最优解x共享相同的目标函数值。因此，在不损失最优性的情况下，我们可以假设m-= m=···=mT-1英寸（4）。最后，我们得到了定理4中（4）的解析解。1以下。定理4.1（最坏情况增长率）。如果1- w |u>q（1+（T-1） (R)ρ）（1）-)Tk∑1/2周，然后（w）=1.-1.- w |u+r（1- )（1+（T- 1） (R)ρ）Tk∑1/2周！-T- 1.- （T- 1） (R)ρTw∑w,式中，ρ是一个常数，定义为（PT-1t=1ρt）/（t- 1）。证据

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2022-5-25 10:17:11

该定理之前讨论的最新含义表明，存在一个复合对称的最优矩阵M（见[7，定义5]）。因此，（1）将问题归结为具有两个正半定约束的优化问题，其中涉及复合对称矩阵。因此，该主张通过适当的变量替换调用[7，引理1]。下面的引理4.1将定理4.1与[7]中的定理2联系起来，而推论4.1演示了如何实现具有最大最坏情况增长率的投资组合。本着与[7]相同的精神，我们将该投资组合称为扩展的稳健增长最优投资组合。备注4.1。当ρ=0时，我们从[7，定理2]中恢复结果，该结果为ρ=…=ρT-1=0。然而，定理4.1推广了这一结果，并得出结论：【7，定理2】只要asPT-1t=1ρt=0。推论4.1（最大化最坏情况增长率）。如果W是RN中概率单纯形的多面体子集，表示一组允许的投资组合和不等式1- w |u>q（1+（T-1） (R)ρ）（1）-)T·k∑每w保持1/2周∈ W、然后是投资组合W∈ W最大G（w）可以通过求解一个可处理的二阶锥规划来获得，该规划的规模与资产数量N成比例，但与投资期限T无关。证据该主张紧随定理4.1，因此省略了证明。4.1。将自相关风险转换为超额方差我们观察到，在资产回报分布的相同一阶和二阶矩下，只有总的自相关系数ρ=（PT-1t=1ρt）/（t- 1）更改G（w）。即ρt的个别变化，t=1，T- 1在我们的模型中，只要总相关性ρ保持不变，就没有风险。

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2022-5-25 10:17:15

此外，根据定理4.1，我们进行了以下观察，通过资产收益率分布协方差矩阵∑中的自相关来封装金融风险。为了进一步阐述，我们考虑了定理4中结果的另一种表示形式。1、我们考虑-G（w）作为与投资组合w相关的总风险，-G（w） =2w∑w{z}持续风险-1.-1.- w |u+r1- Tk^∑1/2周+Tw |^∑w| {z}复合风险，其中∑是由（1+（T- 1） \'ρ）∑。根据-G（w），术语2w∑w与自相关无关。因此，我们将该术语称为持续风险，将剩余部分称为复合风险。持续风险是直观的，因为它与投资组合方差w∑w成正比，与. 为了更好地理解复合风险，假设有两个投资者共享相同的资产范围N、相同的投资期限T和相同的概率偏好. 第一位投资者认为，资产收益率分布的平均值和协方差矩阵分别由u（1）和∑（1）给出，其总自相关系数为ρ（1）。第二位投资者认为市场是连续不相关的（这意味着她的ρ（2）是0）。如果我们进一步假设两个投资者共享相同的平均信息，即u（2）=u（1），但第二个投资者的协方差矩阵为∑（2）=（1+（T- 1） ρ（1））∑（1）。在第一个投资者的观点下计算的复合风险与在第二个投资者的观点下计算的复合风险相等。

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2022-5-25 10:17:19

这允许我们通过吸收协方差矩阵中的自相关，将一个序列相关市场转换为一个序列不相关市场。进一步观察，当ρ>0时，修正的协方差矩阵∑=（1+（T- 1） ρ）随着ρ的增加，∑islarger（相对于非负半定义锥和正半定义锥），这意味着投资者面临更高的复合风险。因此，他们应该更加谨慎，因为他们更容易遭受潜在损失。事实上，当自相关为正时，市场倾向于向上或向下移动。通过保持稳健，我们考虑到了市场向下移动的可能性，在最坏的情况下，总利润分布的左尾会有更多的质量。因此，我们预计，从推论4.1的角度来看，随着ρ的增加，最优投资组合倾向于风险较小的资产。在下面的第4.2节中，我们用一个基于真实数据的例子来形象化这个论点。4.2。资产偏好在存在自相关的情况下，我们进行了一项实验，以确定在不同的ρ值范围为0%-20%，步长为5%的情况下，每个平均方差组合的最坏情况增长率。在本实验中，u和∑分别校准为Fama Frenchonline数据库中提供的“10Industry Portfolions”数据集（2003年1月至2012年12月）的样本均值和样本协方差矩阵。

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2022-5-25 10:17:23

表1给出了这10项资产月度回报的平均值和标准差。图1显示了当T和分别设置为360个月和20%。可以看出，根据推论4.1，即扩展的robusthttp://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.htmlWe由于缺少空间，从表1中排除协方差。资产范围N1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均值（%）0.85 0.75 0.98 1.25 0.87 0.76 0.89 0.65 0.98 0.45标准差（%）3.44 8.53 5.41 6.19 5.52 4.66 4.24 3.66 3.79 5.62表1：10个行业组合数据集的平均值和标准差。-2.5-2.-1.5-1.-0.500.5（最小值）有效前沿（最大值）最差-案例增长率（%）（w）从左侧的最小方差投资组合到右侧的最大期望投资组合，计算每个平均方差效率投资组合。（右）扩展稳健增长最优投资组合的投资组合权重。随着ρ的增加，增长最优投资组合向最小方差投资组合转移。由于最小方差投资组合是有效前沿上风险规避程度最高的投资组合，我们可以说，所考虑市场的风险随着ρ的增加而增加，这证实了我们之前的假设。在财富分布方面，我们可以看到，方差较小的资产（尤其是#1、#7、#8、#9）是首选资产。4.3。自相关利用我们现在比较稳健增长最优投资组合的两种变体的性能，即扩展稳健增长最优投资组合WC和原始稳健增长最优投资组合wu。

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2022-5-25 10:17:27

回想一下，从推论4.1的角度来看，扩展稳健增长最优投资组合被定义为优化器，而原始稳健增长最优投资组合不知道自相关，因此计算ρ=0。我们再次指出，Wu是在[7]中首次研究的。除非另有说明，否则它紧随其后，在所有实验中，我们假设W是RN中的概率单纯形。存在一系列概率分布的概率设置P（k） P、指数由k确定，因此WC在LIMK意义上优于WU→∞最大γ（γ：P（k）TXt∈T（wc）| rt-（（wc）| rt）≥ γ！≥ 1.- )≥利姆→∞最大γ（γ：P（k）TXt∈T（wu）| rt-（（wu）| rt）≥ γ！≥ 1.- ).然而，P（k）是一个离散分布（参见[14，7]），因此在金融市场中被认为是不现实的。因此，在更合理的分布下比较WC和WU更具有实际意义。在下文中，我们假设资产收益率▄r=【▄r |，…，▄r | T】|遵循基于RNT的多元高斯分布，并将周期平均向量和周期协方差矩阵校准为10个行业投资组合数据集的均值向量和协方差矩阵（见表1）。为了节省计算时间，我们实际上将自己限制在推论4.1所支持的四种资产上，即资产#1、#7、#8、#9（见图1）。对于两个不同的再平衡周期s 6=t，我们假设每对资产的自相关系数为常数ρ（即ρ=…=ρt-1=(R)ρ）。在这种高斯假设下，我们模拟了10000次随机回报的实现。然后，我们比较了投资组合WC和wu的实际增长率，其中投资组合w的实际增长率定义为–PT分位数∈Tw | rt-（宽| rt）.

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何人来此

2022-5-25 10:17:30

下面的图2显示了扩展的robustgrowth最优投资组合优于其原始对应投资组合的表现，即表现优于=2·hbG（wc）-bG公司（吴）ibG公司（wc）+bG公司（吴）（bG（w） =根据Pg计算的w的实际增长率），其中 = 10%和‘ρ=-T、在这个实验中，我们有意将ρ设为负值。这样做，市场被认为风险较小；见第4.1节。因此，我们预计不考虑自相关的投资组合wu将无法与投资组合wc竞争。事实上，图2证实了我们的直觉，即扩展的稳健增长最优投资组合在不同投资领域的实际增长率方面始终优于原始版本。请注意，(R)ρ必须介于-T-1和1表示自相关矩阵P为正定义。12 48 84 120 156 192 22811.522.533.544.5增长率跑赢率（%）T（月）-20-15-10-50510152012 48 84 120 156 192 228T（月）夏普比率跑赢率（%）图2：高斯分布下扩展和原始稳健增长最优投资组合在（左）实际增长率和（右）实现夏普比率方面的比较。从1年到20年。尽管跑赢率随着investmenthorizon T的长度而降低，但只有当T>192个月时，原始稳健增长最优投资组合才具有竞争力（跑赢率<1%）。但在这种情况下，我们得到了'ρ>-≈ -0.5%，即自相关几乎消失。此外，图2还包含一个方框图，该方框图报告了已实现夏普比率的表现，夏普比率定义为每次实现r.5的月度投资组合回报的样本平均值与样本标准偏差之间的比率。

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nandehutu2022

2022-5-25 10:17:33

推广到一般自相关矩阵在本节中，我们观察到，第4节中讨论的结果可以很好地近似于一般自相关矩阵的情况。回想一下，（2）中定义的自相关矩阵P最多由d（T- 1） /2e由于假设ρt=ρt，相关项不同-t、事实上，有人可能会说，这种假设是有限制的。如果我们放松这一假设，那么（弱意义随机过程|η的）自相关将表示为formP的amatrix=ρρ。ρT-1ρρ。ρT-2.ρT-1ρT-2.ρ因为|η砂|ηt之间的相关性仅取决于s和t之间的差异；参见例[15]。在这种情况下，P停止循环。备注5.1。对于一般自相关矩阵，我们定义了ρasT（T-1） PT公司-1t=1（T- t） ρt。然后，我们可以应用定理4.1来近似G（w）通过使用ρ作为模型的输入，我们用G表示近似值（w）。我们注意到，根据定理4.1，近似最坏情况增长率G（w）在自相关矩阵pw下获得，对于所有t=1，…，ρt=(R)ρ，T-1、然后我们可以比较最坏情况下的近似增长率G（w）精确值为G（w）可通过求解半有限程序（1）获得。误差定义的近似误差=2·[G（w）- G（w） ]| G（w） |+| G（w） |如下图3所示。在本实验中，我们假设投资组合收益率和标准差分别为15%和20%，并设置等于15%。请注意，这些参数与其各自的典型年范围一致（见【16】）。此外，我们在区间[0，0.2]上从均匀分布随机生成相关性ρt。对于T的每个值，我们重复实验20次，以获得有意义的近似误差。

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何人来此

2022-5-25 10:17:36

从图3可以看出-15-10-50 x 10-504 08 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72T（年）近似误差图3：T=4、8、…、，72（显示的是10%、25%、50%、75%、90%的数量和异常值）。近似误差非常小。此外，有趣的是，误差都是负的，例如（w）≥ G（w）。我们用下面的命题5.1确定这一观察结果。提案5.1。设ρ表示T（T-1） PT公司-1t=1（T- t） ρt.如果1- w |u>q（1+（T-1） (R)ρ）（1）-)Tk∑1/2周，然后（w）≥ G（w）。证据为了使命题成立，必须证明从G的角度来看，最优解（M，β，γ）（w）在确定G的问题中是可行的（w）；请参见（1）。根据第4节的中间结果，我们可以假设M是以下形式的矩阵M，但不失一般性=m11 |+I mTmT | mT+1 如果可以证明hM，Ohm（w）- Ohm（w） i=0，其中Ohm（w）是一个二阶矩矩阵，对应于一般自相关矩阵xp和Ohm（w）是对应于近似自相关矩阵P=（1- ？（ρ）I+？（见备注5.1）。请注意，由于均值和方差是平稳的，hM，Ohm（w）- Ohm（w） i=0<==>m11 |+I，P- P= 0<== h11 |，P- Pi=0，其中右侧的关系源自P，P共享相同的主对角线1。因此，该定理来自于ρ的定义，ρ确保P中所有元素的总和等于Pas 1中所有元素的总和| P1=T+2PT-1t=1（T- t） ρtand 1 | P1=t+t（t- 1） (R)ρ6。结论受[7]的启发，我们扩展了稳健增长最优投资组合，该投资组合严格提供了针对投资者投资期限的性能保证，以解释市场的自相关性。

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