可引出性和后验性：银行监管的视角

2022-5-25 14:35:28

可启发性和后验性：银行监管前景Natalia Noldeand和Johanna F.Ziegel不列颠哥伦比亚大学统计系，加拿大伯尔尼大学数理统计与精算科学研究所，瑞士，2月22日，2017年摘要风险度量的条件预测在金融机构的内部风险管理以及监管资本计算中发挥着重要作用。为了评估风险衡量程序的预测性能，将风险衡量预测与一段时间内实现的财务损失进行比较，并对程序的正确性进行统计测试。此过程称为回溯测试。这种传统的回溯测试涉及评估一组风险度量估计值的某些最优性质。然而，他们不适合比较不同的风险评估程序。我们研究了比较回溯测试的建议，它更适合基于预测准确性的方法比较，但需要一个可引出的风险度量。我们认为，通过对比回溯测试补充传统的背景测试，可以为风险度量预测的准确性提供正确的激励，从而增强银行现有的交易账簿监管框架。此外，银行内部以及研究人员可以使用comparativebacktesting框架来指导预测方法的选择。

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mingdashike22

2022-5-25 14:35:33

讨论的重点是三个风险度量，即风险价值、预期缺口和预期，并得到模拟研究和数据分析的支持。关键词：预测、回测、可引出性、风险度量程序、风险价值、预期缺口、预期1简介金融机构依赖于风险度量的条件预测，以实现内部风险管理以及监管机构y资本计算的目的。风险衡量的两个核心要素是选择合适的风险衡量和预测方法，在选择fo重估方法之前，通常先选择基础投资组合风险资产（有条件）损失分布的模型和估计方法。传统上，风险度量的选择是基于与实际影响相关的理论考虑。Emmer等人【2015年】最近介绍了流行风险度量的利弊，试图确定实践中的最佳风险度量。另一方面，Cont等人【2010年】强调需要考虑整个“风险衡量程序”，其中不仅包括风险衡量的选择，还包括如何根据数据进行估计。特别是，稳健性的概念作为对外部因素的敏感性被用来比较几种风险度量程序。在风险管理背景下，这还应与稳健的预测模型偏差以及对尾部事件的响应性或敏感性进行平衡。

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2022-5-25 14:35:36

Davis【2016年】提出了ris k指标一致性的概念，以及这在金融风险管理中的相关性。通过将已实现损失与风险度量预测进行比较，可以随时间监控（交易账簿）风险度量程序的绩效，这一过程称为回溯测试；例如，见Christo Offersen【2003】和McNeil等人【2005】。根据回溯测试的结果，风险衡量程序被视为适当或不适当。传统的回溯检验形成了对无效假设的统计检验：H：“风险度量程序是正确的。”如果未拒绝零概率，则认为风险度量程序足够。对于价值atRisk（VaR），国际清算银行【2013年，第103–108页】设计了一种基于超过VaR阈值的二项测试的三区方法。传统的回溯测试涉及评估一组风险度量估计的最优性；详情见第2.2节。它们不适合比较不同的风险估计程序，并且可能对增量信息集不敏感；Holzmann和Eulert【2014年】、Davis【2016年】提供了这一事实的例子。此外，传统的回溯测试可能无法为银行提供开发旨在准确预测风险度量的程序的适当激励；有关说明，请参见附录A。在这个基于模拟的示例中，我们展示了如何优化传统回溯测试的测试统计信息，从而导致预测程序的非合理排序。在经过修订的标准化方法中，该方法“应在银行内部市场风险模型被认为不充分的情况下提供可靠的回退”【国际清算银行，2013年，第5-6页】，Fissler等人。

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2022-5-25 14:35:45

【2016】最近提议，以基于严格一致的评分函数的比较性回溯测试取代传统的回溯测试。lso的比较后验自然会导致三区方法，这将在第2.3节中详细描述。此外，它们允许进行保守测试，并对不断增加的信息集敏感。粗略地说，这意味着，与使用较少信息的简单程序相比，正确纳入更多风险因素的风险衡量程序总是更可取。然而，比较回溯测试需要一个可引出的风险度量。可引出的风险度量的例子有VaR和预期值，而预期差额（ES）是不可引出的。然而，ES证明可以与VaR共同得出，这也允许ES进行比较回溯测试；有关可引出风险措施的详细信息和文献综述，请参见第2.1节。本文提出了区分传统回溯测试（当前监管实践）和比较回溯测试的观点。我们强调了前者在为金融机构提供正确的预测准确性激励方面的不足，并认为可以通过纳入比较后验来增强现有监管框架。在方法论方面，我们表明传统的回溯测试可以以条件校准测试的形式正式化，这为许多流行风险度量的现有回溯测试提供了一个统一的框架。这有助于我们理解那些经常是临时程序，并允许我们将其视为更大图景的一部分。

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2022-5-25 14:35:50

然后，本文对比较回溯测试的建议进行了详细的研究。在我们对传统和比较回溯测试的讨论中，我们重点讨论了以下三种风险度量：VaR，一种可引出的流行风险度量；期望值，唯一一致且可引出的风险度量；ES是一种一致且单调的加性风险度量，它可以与VaR一起共同得出，是银行监管中的新标准度量。α级VaR∈ （0，1），表示2对随机变量X的风险度量3VaRα进行回溯测试，定义为Varα（X）=inf{X | FX（X）≥ α} ，其中fx是X的累积分布函数。从统计学角度来看，VaRα只是基础分布的α-分位数。在本手稿中，X的正值被解释为损失，因此我们对α值接近1的VaRα感兴趣。国际清算银行【2013年，第103–108页】特别要求α=0.99的VaRα值，我们称之为ν级可积随机变量X的标准基础VaR水平∈ （0，1）由ν（X）=1给出- νZνVaRα（X）dα。国际清算银行（2014年）建议ν=0.975作为标准基准水平，即ES0。975应产生与VaR0类似的风险等级。99在标准正态分布下。正如Newey和Powell（1987）所介绍的，具有有限平均值的X的τ-表达式eτ（X）是方程τZ的唯一解X=eτ（X）∞x（y）- x） dFX（y）=（1- τ） Zx公司-∞（十）- y） dFX（y）。（1.1）如Bellini等人【2014年】、Ziegel【2014年】所示，τ-期望值是τ的可诱导一致风险度量∈ 期望值泛化期望值，就像分位数泛化中值一样。

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2022-5-25 14:35:53

考虑到τ=0.99855的水平，风险的大小与VaR0相当。99和ES0。975在标准正态分布下；seeBellini和Bernardino【2015年】。本文的组织结构如下。第2节包含回溯测试风险度量的理论讨论。在第2.1节中，我们定义了可引出性的概念，介绍了可识别性，并回顾了VaR、期望值和（VaR，ES）的一致scor函数的特征。在第2.2节中，我们定义了校准风险测量程序的含义，并描述了该概念与Davis校准概念[2 016]以及基因ral中的传统回溯测试的关系。我们将在第2.3节中进行比较后验，其中我们还介绍了比较三区方法。第2.3.1节讨论了scor ING函数的选择。第3节包含所提议的回溯测试方法的数值说明。我们首先回顾了第3.1节中预测风险度量的一些现有方法。第3.2节介绍了模拟研究，而第3.3节介绍了纳斯达克综合指数收益率的应用。第4节总结并讨论了研究结果，尤其是与银行监管相关的结果。附录B包含计算和估计目标所需的背景材料，并给出了基于极值的估计量的推导；这里的一些结果是他们自己感兴趣的。关于具有正同质得分差异的一致性排序函数的表征的技术结果，请参见附录C。

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2022-5-25 14:35:56

最后，附录D报告了一项模拟研究的结果，该研究考察了在样本外s iz e较小的环境下，回测过程的性能。2风险度量的回溯测试2。1初步风险度量ρ通常在一些随机变量空间上定义。如果ρ是定律不变的，则可以将其视为从某个概率分布集合P到实线R的映射。定律不变2风险度量4的回溯测试意味着对于具有相同分布的两个随机变量X和Y，我们得到ρ（X）=ρ（Y）。本手稿中考虑的所有风险度量都具有法律不变性。因此，我们有时会滥用符号，用ρ（F）代替ρ（X），其中F是X的分布。LetΘ（X）=（ρ（X），ρk（X））是k的向量≥ 1风险措施。定义1。评分函数S:Rk×R→ 对于所有R=（R，…，rk）6=Θ（X）=（ρ（X），…，R称为与P ifE（S（X，X））<E（S（R，X））（2.1）严格一致，ρk（X））和所有分布在P中的X。如果（2.1）中允许相等，则评分函数是一致的。对于Pif，风险度量向量Θ被称为可导出的。它存在一个严格一致的评分函数。可引出性对于模型选择、估计、广义回归、预测排名非常有用，并且，正如我们将在本文中详细介绍的那样，允许进行比较后验。Osband（1985）的主题中已经研究了可引出泛函，尽管该术语是由Lambert等人（2008）创造的。Gneiting[2011]对可诱导性进行了全面的文献综述，其中特别强调了k=1的情况。k案件的最新进展≥ 2见Frongillo和Kash【2015年】、Fissler和Ziegel【2016年】。风险度量的可引出性问题最近受到了相当多的关注。

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可人4

2022-5-25 14:36:01

ca se k=1的所有可用结果都基于一个简单但有力的观察结果，即可导性的必要要求是分布意义上的凸水平集【Osband，1985年】；参见Gneiting【2011年，定理6】。Weber[2 006]是第一个研究凸level集风险度量的人。Bellini和Bignozzi【2015年】利用他的结果研究了广义货币风险度量的可撤销性。在弱正则性假设下，他们表明可引出的货币风险度量是所谓的短缺风险度量【F¨ollmer和Schied，2002年】。对于更具体的风险度量类别，如一致性、凸性或畸变风险度量，可以在没有任何额外规则性假设的情况下显示相同的结果【Ziegel，2014，Delbaen等人，2016，Kou和Peng，2014，Wang和Ziegel，2015】。虽然预期的s hortfall本身是不可激发的，但Fissler和Ziegel【2016】已经表明这对Θ=（VaRα，ESα）是可激发的；另见Acerbi和Szekely【2014年】。对VaRα、τ-期望值和（VaRν、ESν）的（严格）一致评分函数进行了分类。以下命题陈述了（严格）一致性的充分条件。在引用文献中给出的不规则性假设下，直到等价，这些条件也是必要的。这里，如果两个评分函数的差异是实现x的函数，则称其为等价的∈ 仅限R。设Pdenote为R上所有Borel概率分布的类，设P Pdenote具有有限平均值的所有分布类。1号提案（Thomson[1979]，Saerens[2000]）。表格（r，x）=（1）的所有评分函数- α-{x>r}）G（r）+{x>r}G（x），（2.2），其中G是r上的增函数，对于VaRα，α是一致的∈ （0，1），关于P。

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2022-5-25 14:36:05

上述形式的SCORINGFUNCTION对于VaRα而言与P′完全一致 Pif G是严格递增的，G（X）对于分布在P′中的所有X是可积的，并且P′中的所有分布都有唯一的α分位数。2号提案（Gneiting【2011】）。形式（r，x）={x>r}（1）的所有评分函数- 2τ）（φ（r）- φ（x）- φ′（r）（r）-x）（）-（1）-τ）（φ（r）-φ′（r）（r）- x）），（2.3）2风险度量5的回溯测试，其中φ是具有次梯度φ′的凸函数，与τ-期望值τ一致∈ （0，1），相对于顶部。如果φ是严格凸的，那么上述形式的评分函数对于τ-expectile相对于类P′是严格一致的 Psuch证明φ（X）对于分布在P′中的所有X都是可积的。3号提案（Fissler和Ziegel【2016】）。形式（r，r，x）={x>r}的所有评分函数-G（r）+G（x）-G（r）（r）-x）+ （1）-ν）G（r）-G（r）（r）-r） +克（r）, （2.4）其中，G′=G的增长函数和G的增长函数和凹函数，对于（VaRν，ESν），ν是一致的∈ （0，1），关于P。如果Gis严格递增且严格凹，则上述评分函数与P′类严格一致具有唯一ν-分位数和G（X）的Pof分布对于分布在P′中的所有X都是可积的。在风险管理应用中，只考虑严格的积极风险度量预测可能会很有用。如第2.3.1节所示，这为上述命题中同质评分函数的有吸引力选择提供了可能性。如果r∈ （0，∞) 假设在（2.2）或（2.3）中，那么，为了严格一致性，我们只需要在（0，∞), 它们分别在这个域上严格增加或严格凸。在（2.2）的情况下，这可以通过一个相当简单的计算进行检查。

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mingdashike22

2022-5-25 14:36:09

对于权利要求书（2.3），使用在证明花岗质岩石【2011年，定理10】中得出的分数差异的构成是有用的。此外，对于分布在P′中的所有X，需要G（X）{X>0}或φ（X）{X>0}的可积性是足够的。如果我们严格按照（r，r）进行预测∈ R×（0，∞) 在（2.4）中，Gonly必须定义为（0，∞) 在这个域上必须是严格递增和严格凹的。与可诱导性密切相关的是可识别性的概念。事实上，对于k=1，在一些附加假设下，可识别性意味着可获取性；参见Steinwart et a l【2014年】。对于k≥ 2、目前还不清楚这样一个普遍的结果是否成立；参见Fissler和Ziegel【2016年】。定义2。如果存在函数v:Rk×R，则风险度量向量Θ被称为与P的响应可识别→ Rkuch thatE（V（r，X））=0<=> r=Θ（X），对于所有在P中分布的X，识别函数不是唯一定义的。事实上，可以将函数的任何识别函数乘以一个仅依赖于预测r的函数，并在可逆k×k矩阵的s步中取值，以获得相同函数的另一个识别函数。α的VaRα∈ （0，1）可根据PV类识别具有唯一数量且具有识别函数V（r，x）=1的Pof分布-α-{x>r}，（2.5）τ的τ-期望值∈ （0，1）可通过使用识别函数v（r，x）=1来识别-τ-{x>r}|（r- x），（2.6）和（VaRν，ESν）表示ν级∈ （0，1）具有识别功能V（r，r，x）=1- ν-{x>r}r- R-1.-ν{x>r}（r- x）哦！（2.7）关于P∩ PV。2风险度量的回溯测试62.2校准和传统回溯测试使用以下符号。假设Θ=（ρ，…，ρk）是一个可识别的函数，函数V相对于P。

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2022-5-25 14:36:13

设{Xt}t∈Nbe一系列与过滤F={Ft}t相适应的否定对数回归∈Nand{Rt}t∈NaΘ的预测序列，即Ft-1-可测量。因此，预测是基于{Xt}t的信息∈可在时间t导航- 1由西格玛代数Ft表示-1、LetL（Xt | Ft-1）表示给定信息Ft的条件定律XT-1、我们假设所有条件分布为L（Xt | Ft-1）所有无条件分布L（Xt）几乎肯定都属于P。受Davis（2016）富有洞察力的论文启发，我们给出以下定义。定义3。预测序列{Rt}t∈Nis校准为所有t的平均ifE（V（Rt，Xt））=0∈ N如果E（V（Rt，Xt））的平均值为Θ，则为超级校准值≥ 0组件方面，对于所有t∈ N、预测序列{Rt}t∈Nis有条件校准ΘifE（V（Rt，Xt）| Ft-1） =0，几乎可以肯定，对于所有t∈ N对于Θif E（V（Rt，Xt）| Ft，它是有条件超级校准的-（1）≥ 对于所有t∈ N、子校准的定义类似。如果知道条件分布L（Xt | Ft-1）并努力在Ft中对Θba sedon的信息进行最佳预测-1，使用Θ（L（Xt | Ft-1））（2.8）作为预测因子，我们将其称为Θ的最优F条件预测。出于同样的原因，我们称Θ（Xt）=Θ（L（Xt））为最佳无条件预测。回想一下，我们在使用Θ作为随机变量空间或概率分布空间上的函数定义时，随意滥用了符号。校准在以下意义上表征了最佳预测。最佳无条件预测是唯一一种经过平均校准的确定性预测。然而，可能存在其他平均校准为Θ的fo重铸，这些重铸不具有确定性，因此与最佳非条件预测不同。

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2022-5-25 14:36:16

同样，最优条件预测是唯一的F-可预测的条件校准预测，几乎可以确保e等价性。很明显，条件校准意味着根据条件预测的塔性能对平均值进行校准，但通常情况下，这种说法是错误的。她介绍的校准概念类似于Str¨a hland Ziegel【2015】中介绍的概率预测交叉校准概念。我们引入了超校准和次校准的概念，因为它们通常与对手头风险测量的过高或过低估计有关。然而，这取决于规格识别功能，因此必须小心。我们给出了第2.2.2节中VaR、expectiles和（VaR，ES）的正确解释的详细信息。为了简单起见，本文重点讨论了一步ahe ad预测。显然，多步预测同样重要。在某些情况下，相同的理论和概念可以从前者转移到后者。2风险度量的回溯测试7继Fissler等人[2 016]之后，我们将任何认为“风险度量程序正确”类型的无效假设的回溯测试称为传统回溯测试。传统的回溯测试类似于优度测试，也就是说，如果可以拒绝相应的空假设，它们可以证明考虑中的风险度量程序正在做出正确的预测。尽管有如此多误导性的术语，即如果不拒绝无效假设，传统的回溯测试就会通过，但这并不意味着在这种情况下，我们可以确保无效假设是正确的（有预先规定的很小的错误概率），因为这需要我们明确控制测试的权力。

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kedemingshi

2022-5-25 14:36:20

这几乎是不可能做到的，因为备选方案太广泛；另见国际清算银行【2013年，第103-105页】。正如Fis sleret al.（2016）所言，这些问题可能会使监管框架中传统回溯测试的使用受到质疑。然而，正如拟合优度检验在统计学中具有既定作用一样，它们可能对模型验证有用。检验无效假设：预测序列{Rt}t∈Nis平均校准为Θ。（2.9）相当于执行传统的回溯测试。我们在这里描述了如何构建平均校准测试，但我们没有实施这些测试，因为条件校准的更强概念在动态风险管理环境中似乎更合适。在第3.3节的数据示例中，对于更灵活的模型，不能拒绝条件校准的零假设，这表明平均校准的测试非常复杂。然而，在某些情况下，很难实现平均校准，因此可能需要进行以下测试。给定一系列观测值{Xt}t=1，。。。，nand预测{Rt}t=1，。。。，n、我们定义Vn：=（1/n）Pnt=1V（Rt，Xt）。设∑nbe渐近协方差矩阵∑n=cov的异方差自相关一致（HAC）估计量(√n Vn）（参见Andrews【1991】）。那么，我们可以希望√n^∑-在识别函数和数据生成过程的适当假设下，1/2NVN为渐近标准正态。Fork=1，Giacomini和White【2006年，Theo-rem 4】定义了有效的混合假设，但该结果的多变量一般化仍有待解决。

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2022-5-25 14:36:24

Giacomini和White【2006年，定理4】表明，fork=1，测试与备选方案| E一致越南| ≥ 对于所有n个足够大的值，δ>0，对于任何δ>0的值。条件校准是一个比平均校准更强的概念，在动态风险管理背景下，它显得更自然。传统的条件校准回溯测试考虑了无效假设：预测序列{Rt}t∈Nis有条件校准Θ。（2.10）要求E（V（Rt，Xt）| Ft-1） =0，几乎可以肯定，等于表示E（h′tV（Rt，Xt））=0表示allFt-1-可测Rk值函数ht。继Giacomini和White[2006]之后，我们考虑了一个F-可预测序列{ht}t∈Nof q×k矩阵调用测试函数构造Wald型测试统计量：T=nnnXt=1htV（Rt，Xt）′BOhm-1nnnXt=1htV（Rt，Xt）, （2.11）其中bOhmn=nnXt=1（htV（Rt，Xt））（htV（Rt，Xt））’是q向量htV（Rt，Xt）方差的协方差估计量。理想情况下，参数q应选择为htgenerate Ft的行-1、在应用中，测试函数的选择是基于这样一个原则，即它们应该代表在时间点t可用的最重要信息- 1、在我们的风险度量8模拟研究的回溯测试中，我们在q=1或q=2时获得了良好的结果；有关更多详细信息，请参阅第3.2.2节。我们称这种类型的传统回溯测试为条件校准测试。在ht=1的情况下，我们将这些测试称为简单的条件校准测试。Giacomini和White【2006】中的定理1指出，在完全假设（2.10）下，Td→ χqas n→ ∞, 根据对数据生成过程的某些假设∈Nand测试函数序列{ht}t∈N、这个渐近结果正好是一个水平η检验，当T>χq，1时，它拒绝hw-η、其中χq，1-η表示1- ηχqd分布的分位数。

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kedemingshi

2022-5-25 14:36:27

Giacomini a和White【2006年，定理3】提供了如下条件：→ χqas n→ ∞ 对于多步预测，Giacomini和White（2006）的Theorem2考虑了测试与全球备选方案的一致性。Gacomini和White[20 06]的定理根据分数差和非识别函数重新表述，但它们的证明完全依赖于htV（Rt，Xt）的鞅差性质，因此可以在我们的上下文中应用。VaRα和ESν的常用回测与测试函数ht规格选择的条件校准测试密切相关。事实上，在VaRα的情况下，选择ht=1，VaRα的条件校准测试与基于VaR超标数量s的VaRα的标准回溯测试密切相关【国际清算银行，2013年，第103–108页】。在ESν的情况下，（VaRν，ESν）的条件校准测试与Mc Neil和Frey[2000]基于Exceedance r esiduals的ESν回溯测试相关。我们在下面的示例1、2和3中给出了进一步的细节。Davis【2016】的校准ris k度量（或统计）概念与我们的校准预测序列概念密切相关。Davis【2016】考虑了针对哪类esof模型校准的风险度量。也就是说，他试图描述最大的一类数据基因评级过程，例如，VN将a.s.归零为n→ ∞ 如果{Rt}t∈Nis风险度量的一系列最佳条件预测。事实证明，对于分位数，只需要最小的假设，而假设需要更强才能处理平均值。我们的工作重点是更多的统计数据。

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2022-5-25 14:36:31

选择F-可预测测试功能对时间点t的可用信息进行编码-1，我们研究是否以及如何能够测试序列为{Rt}t的有限样本∈Nis有条件校准。2.2.1单侧校准测试在某些情况下，评估超校准或次校准可能是有意义的。例如，【国际清算银行，2013年，第103–108页】中描述的VaRα标准回测是一种条件上校准测试。这是因为就监管机构而言，VaRα的过度估计不是一个问题。应始终允许持有比最低要求更多的资本。假设我们希望检验条件超校准的假设，即E[V（Rt，Xt）| Ft-1]≥ 0分量，对于所有t。也就是说，在k-var-iate风险度量的情况下，我们对H=Tki=1H0，i感兴趣，其中h0，i:E[Vi（Rt，Xt）| Ft-1]≥ 0表示所有t，i=1，k、对于风险度量的每个组成部分i，将hi，t=（hi，t，1，…，hi，t，qi）设为Ft-1-可测（qi×1）-非负测试函数的向量。如果hi，t，1，hi，t，QI生成Ft-1然后H0，i=Tqil=1H0，i，l, 其中0，i，l: E[Vi（Rt，Xt）hi，t，l] ≥ 0表示所有t，i=1，Kl = 1.qi。2风险度量的回溯测试9我们将所有测试函数组合成一个（q×k）矩阵HTQ=Pki=1qi，该矩阵具有以下结构：ht=h1，t0···00 h2，t···0。。。。。。。。。。。。0 0···香港，t.设置Zt=htV（Rt，Xt），上述条件超校准假设也可以表示为H=Tqm=1H0，mwith H0，m:E（Zt，m）≥ 所有t均为0。m=1，q、根据Giacomini和White[2006，Theore ms 1和3]的证明，在Hgiven at（2.10）下，T=（T2,1，…，T2，q）′=√N-1b级Ohm-1/2nnXt=1Ztd→ N（0，Iq），N→ ∞, （2.12）其中IQ表示（q×q）单位矩阵。

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2022-5-25 14:36:35

因此，我们可以得到H0，mw的渐近检验，其p值由πm=Φ给出√N-1（b）Ohmn）-1/2mmPnt=1Zt，m, m=1，q、也就是说，πmis获得比观察到的结果更极端结果的（渐近）概率，假设hy pothesis H0为零，mis true。设π（1），π（q）是有序的p值。经典的Bonferroni多重检验程序拒绝了全局零假设Hif，即p值π（1）<η/q中的最小值，其中η是（全局）检验的期望水平。作为另一种选择，继Hommel【1983】之后，我们通过拒绝至少一个m的全局假设Hif来获得η级检验，我们有π（m）≤mηq Cq，Cq=qXr=11/r，m=1，q、（2.13）Hommel的拒绝规则的优点是允许检测许多组件中影响较小、少数组件中影响较大的情况。也可以使用这种情况下的其他测试程序。2.2.2示例示例1。Christo Offersen【1998年】将一系列VaRα预测称为对F ifE[{Xt>Rt}| Ft有效-1] =1- α、几乎可以肯定，t=1，2。此要求与{Rt}t的条件校准要求相同∈Nby（2.5）。事实上，Kuester等人【2006年】（另见Christo Offersen【1998年】、E ngle和Manganelli【2004年】）的dynamicquantile测试与条件校准测试类似。与它们的测试类似，很自然地考虑r测试函数sht=（1，V（rt-1，xt-1），···，V（rt-p、 xt公司-p），rt）′表示p≥ 这也符合Giaco mini和White[2006]的建议，他们使用ht=（1，V（rt-1，xt-1））’。巴塞尔文件【国际清算银行，2013年，第103–108页】中规定的VaRα的标准后验检验使用了检验统计量β=nXt=1{Xt>Rt}，这是时间点t的超出估计VaRα（表示为Rt）的数量。

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2022-5-25 14:36:38

在条件校准VaRα预测ts的零假设（2.10）下，对于一步预测，β是风险度量10的二项随机回溯测试，参数为n和1-α；见Rosenblatt[1 952]，Diebold等人[1998]，Davis[20 16]。值得注意的是，这个结果在{Xt}t基本上没有假设的情况下成立∈Nor{Rt}t∈N、然而，当从一步超前预测转向多步超前预测时，情况变得更加复杂，人们必须求助于上文所述的一般极限定理来测试β是否具有平均值N（1- α）。该测试是对ht=1的条件超级校准的测试，因为对于VaRα，我们使用（2.5）T：=nXt=1htV（Rt，Xt）=nXt=1（{Xt≤ Rt}- α） =nXt=1（{Xt>Rt}- （1）- α））=-（β-n（1-α），因此，检验β的平均les s或e等于n（1）的无效假设- α）等于测试Thasmean大于或等于零。该无效假设表示，条件VaR预测值至少与真实条件VaR预测值一样大。假设银行有动机陈述倾向于低于真实值的VaR估计值，从监管者的角度来看，一个更为谨慎的零假设将是与条件VaR预测最多与真实条件VaR一样大的单侧假设相反的假设，即条件s ub校准测试。对于提前一步的预测，或者与本节中提出的理论不同，可以利用以下事实：超标指标{Xt>Rt}，t=1，n在零假设的边界上，是成功概率为1的独立伯努利随机变量- α、这样就可以进行比无症状测试更精确的测试。示例2。我们考虑一些ν的风险度量向量Θ（X）=（ρ（X），ρ（X））=（VaRν（X），ESν（X））∈ （0，1）。

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2022-5-25 14:36:42

让r1，tand r2，t分别预测VaRν（Xt）和ESν（Xt）。假设Xt=ut+σtZt，其中utandσ皮重Ft-1-可测量和Zt形成了一个独立且相同分布（i.i.d.）的随机变量序列，平均值为零，方差为1。对于回测ES，McNeil和Frey【2000】介绍了以下基于超越残差的测试统计：T=#{T:Xt>r1，T}nXt=1Xt- r2，tσt{Xt>r1，t}。（2.14）事实证明，McNeil和Frey[2000]的ES回溯测试与以下条件校准测试密切相关。对于相当大的n，我们有{t:xt>r1，t}/n≈ 1.- ν。因此，对于检验统计量Tin（2.14），我们得到≈nnXt=11- νxt- r2，tσt{xt>r1，t}=nnXt=1htV（r1，t，r2，t，xt），ht=σ-1t（（r2，t- r1，t）/（1- ν），1）。当考虑将McNeil和Frey【2000】的试验作为条件校准试验时，用估算值代替σtb是很自然的。估计的波动率σ仅为Ft的一部分-1-可测测试函数序列{ht}t∈n应该对Ft的相关信息进行编码-当然，只有当σt作为预测模型的一部分，在时间点t的信息下进行估计时，该测试才是合理的-1、Acerbi和Szekly【2014】最近提出的ES回溯测试与McNeil和Frey【2000】的测试具有相同的精神。Costanzino和Curra n【2015年】提出的ES回溯检验检验是否正确估计了VaRν水平以外的整个分布尾部。因此，严格地说，该测试不是对（VaRν，ESν）的点预测序列的准确性的测试，而是对明天损失分布的概率预测序列的准确性的测试，重点是左尾。

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2022-5-25 14:36:46

在Gneiting和Ranjan【2011】中可以找到其他具有这种精神但具有比较类型的测试。2风险度量的后验11由于ES只能与VaR一起识别，因此在制定ES的单侧测试时必须小心。Let（r*, R*) = Θ（X）。n表示所有（r，r）的*- R≤ EV（r、r、X）≤ R*- r+ν- F（r）1- ν（r*- r）。这表明，与VaR情况类似，测试ES分量EV（r，r，X）的次校准零假设≤ 0相当于测试r*≤ r、因此，（VaR，ES）的条件次校准测试是一种测试，即条件VaR和ES预测至少与其最佳条件预测一样大。第2.2.1节中所述的霍梅尔过程可在p值πm=1的情况下应用- Φ（T2，m），其中T2，m在（2.12）中定义。示例3。人们也可以设想一个预期的回溯测试框架，其精神类似于McNeil和Frey[2000]提出的回溯测试程序。假设，如上例所示，thatXt=ut+σtZt，其中utandσ皮重为Ft-1-可测量，Zt为i.i.d.，平均值为零，方差为1，条件τ-期望满足τ（Xt | Ft-1） =ut+σteτ（Zt），我们可以看到剩余量xt- eτ（Xt | Ft-1） σt=Zt- eτ（Zt）形成一个i.i.d.序列，该序列由随机变量组成，并带有ze roτ-期望值。这意味着V（eτ（Zt），Zt）和V givenat（2.6）是一个平均值为零的i.i.d.随机变量序列，可以使用自举法进行测试（如inEfron和Tibshirani【1993】第16.4节）。这里有必要用估计值代替真实波动率σtb。这类似于McNeil和Frey[2000]对ES的建议。

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2022-5-25 14:36:50

注意到（2.6）处期望值的识别函数是正1齐次的，我们得到EV（eτ（Zt），Zt）=EV（eτ（Xt），Xt）σ-1t=0。这种等式表明，对具有测试功能HT=σ的EXEC瓷砖进行条件校准测试是很自然的-（2.11）给出了测试统计数据。在inGiacomini和White【2006年，定理1】的假设下，这产生了一个有效的渐近检验。这些假设弱于模型假设Xt=ut+σtZt。在预期值的情况下，与VaR的情况一样，条件超校准测试评估了一个假设，即所有条件预期值估计值至少与真实条件预期值一样大。2.3可诱导性、预测优势和比较回溯测试假设函数Θ=（ρ，…，ρk）对于P.Let{Xt}t是可诱导的∈Nbe一系列负向原木回收，适用于过滤F={Ft}t∈Nas油井至过滤层*= {F*t} t型∈N、设{Rt}t∈Nand{R*t} t型∈NbeΘ的两个预测序列，即F和F*-分别是可预测的。我们假设所有条件分布L（Xt | Ft-1），L（Xt | F*T-1）所有无条件分布L（Xt）几乎肯定都属于顶部。我们参考预测{r*t} t型∈Nas是标准程序，而{Rt}t∈Nis内部模型。两次过滤F和F*承认内部模型和标准模型可能基于不同的信息集。例如，一个模型可能包含比另一个模型更多的风险因素，或者，可以使用某些专家意见来调整一个模型，但不调整另一个模型。2风险度量的后验12定义4。设S是Θ相对于P的一致得分函数。

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2022-5-25 14:36:55

然后，{Rt}t∈NS支配{R*t} t型∈N（平均）ifE（S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt））≤ 0，对于所有t∈ N、此外，{Rt}t∈条件S-支配{R*t} t型∈NifE（S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt）| F*T-（1）≤ 0，几乎可以肯定，对于所有t∈ N、（2.15）就标准程序和内部程序的作用而言，条件优势的定义是不对称的。标准程序和信息F*它基于被视为预测能力的基准，这就是为什么我们选择F*T-1且不在Ft上-1、任何主导基准的方法都比该基准具有更好的预测能力。显然，条件S-优势意味着平均S-优势。Ehm等人【2016年，定义2】引入了一个预测序列优于另一个序列的概念，如果一个S-在所有一致评分函数S的平均值上支配另一个。支配地位的概念很强。也就是说，在Ehm et al.（2016）的数据示例中，几乎从未观察到一种预测主导另一种预测。这使得该概念难以在应用决策环境中使用。此外，目前，对支配地位概念的一个基本理论理解仍然难以捉摸。预测{Rt}t有几个原因∈n应优先于{R*t} t型∈如果前者主导后者。首先，将预测与Respect与描述的优势关系进行比较，与Respect与增加的信息集相一致。也就是说，如果F*T 对于所有t和{Rt}t∈N、 {R*t} t型∈在（2.8）中定义了与过滤相关的最佳条件预测，然后内部程序有条件地和平均地确定了标准程序【Holzmann和Eulert，2014，Theorem1】。

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2022-5-25 14:36:58

如果{Rt}t，情况也是如此∈Nis F公司*-条件最优与{R*t} t型∈Nis只是F*-可预测的【Holzmann-andEulert，201 4，推论2】；另见Tsyplakov【2014年】。其次，在k=1的情况下，对于大多数重要的泛函，包括VaR和expectiles，严格一致的评分函数在以下意义上是顺序敏感的或准确的。本质上，如果Θ（X）<r<r*或r*< r<Θ（X）对于一些随机变量X，则ne（S（Θ（X），X））<E（S（r，X））<E（S（r，X*, 十））；（2.16）详见Nau【1985】、Lambert【2012】。因此，如果风险度量预测{Rt}t∈Nare总是比{R*t} t型∈Nto最佳F*-条件预测，即Θ（L（Xt | F*t））<Rt<R*torΘ（L（Xt | F*t））>Rt>R*t对于所有t∈ N几乎肯定，然后{Rt}t∈条件支配{R*t} t型∈N、对于ca se k中的订单敏感性通知，有不同的建议≥ 2.例如，请参见Lambert等人【2008年】，但这种情况在本案例中并不明显。（2.15）中条件S优势的条件可以等价地表示为asE（（S（Rt，Xt））- S（R*t、 Xt）ht）≤ 0，所有ht≥ 0，F*T-1-可测量，用于所有t∈ N、很容易使用F的向量htof*-可预测的测试功能，以测试条件校准测试中建议的条件S优势。然而，我们致力于将标准程序与内部程序进行比较，并就首选哪种程序得出明确答案。如果E（S（Rt，Xt）-S（R*t、 Xt）ht，i）>0，但E（（S（Rt，Xt）-S（R*t、 Xt）ht，j）<0对于向量ht的风险度量13的不同组分ht，i，ht，j2回测，不能对任何一种方法给出明确的偏好。

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可人4

2022-5-25 14:37:01

因此，我们不再进一步追求这种方法。在对比回溯测试中，我们对无效假设感兴趣-: 内部模型的预测能力至少和标准模型一样好。H+：内部模型预测最多，标准模型预测最多。无效假设H-对正确模型的无效假设和估计过程进行了分析，但现在适应了比较环境。正如导言中所提到的，如果不能拒绝完全夸大，则认为通过回溯测试是反保守或侵略性的，因此在监管实践中可能存在问题。另一方面，如果我们不能拒绝H+，则无效假设H+是这样的，即通过了比较回溯检验。这意味着我们可以显式控制允许较低内部模型优于已建立标准模型的I型错误。在本文的其余部分中，我们假设极限λ：=limn→∞nnXt=1E（S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt））∈ [-∞, +∞] （2.17）存在（但我们允许它取±∞). 很明显，平均S-优势意味着λ≤ 如果得分差异序列{S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt）}t∈一阶平稳，然后λ≤ 0表示平均优势。在假设（2.17）下，我们可以比较风险度量估计值的任意两个序列及其预测性能。这是一个很弱的假设，因为它要求的只是平均预期得分差异最终具有相同的符号。它可能会被削弱，代价是我们选择避免的进一步技术性问题。如果（2.17）中的限值λ为非正，则内部程序至少与标准程序一样好，而内部程序最多可以预测λ≥ 订购风险度量程序是寻求条件决策的一种折衷。

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2022-5-25 14:37:06

一方面，它显然是一个弱于条件支配的概念，但另一方面，它在所有风险度量程序上产生了一个有意义的总顺序，给出了合理的scoringfunction选择；见第2.3.1节。因此，我们重新制定了我们的对比回溯检验假设-: λ≤ 0H+：λ≥ 0、检验统计nS：=nnXt=1（S（Rt，Xt）- S（R*t、 Xt）），对于足够大的n，在H下的期望值小于或等于z ero-, 而在H+下，它的期望值是非负的。H+或H的测试-基于适当重新缩放的版本nS是所谓的Diebold Marianotest；见Diebold和Mariano【1995年】。根据Giacomini和White【2006年，定理4】中详述的特定混合假设，nS系列- E类(nS）σn/√nis渐近标准正态与渐近方差的^σnan HAC估计，σn=var(√NnS）。因此，使用测试统计数据=n^σn/√n、（2.18）2风险度量的回溯检验14如果我们在Φ（T）时拒绝零假设，则我们获得H+的渐近水平η-检验≤ η、 H的和-如果wereject，则无效假设为w he n 1- Φ（T）≤ η。基于H+和H的测试结果-, Fissler等人【2016】提出了以下三个区域方法。我们确定了重要级别η∈ （0，1），例如，η=0.05。如果H-在η级拒收，则在η级不会拒收H+。同样，如果在η级拒绝H+，则H-不会在η级被拒绝。因此，我们说内部程序位于红色区域，即它未通过比较回溯测试ifH-被拒绝。内部程序位于绿色区域，即，如果H+被拒绝，则通过回测。内部程序需要进一步研究，也就是说，如果没有H+，没有r H，则它属于黄色区域-可以拒绝。有关这些决定的错觉，请参见Fissler等人。

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2022-5-25 14:37:09

【2016年，图1】。国际清算银行（Bank for InternationalSettlements）[2013，p.103–10 8]中描述的传统VaR回测三区法与此处描述的Fissler等人[2016]的三区法之间存在一个重要差异。在for mer方法中，区域产生于改变假设检验的置信水平，而在后一种方法中，置信水平是先验确定的，区域产生于不同的情况，其中有足够的证据清楚地判定一种程序优于另一种程序，而无明确证据。2.3.1评分函数的选择基于（2.2）、（2.3）和（2.4），对于VaR、expectiles和（VaR、ES）的严格一致的评分函数，有很多选择。在VaRα的情况下，标准的选择是在（2.2）中取G（r）=r，从而得出经典的对称分段线性损耗，见下文（2.19），也称为linlin、铰链、tick或pinballloss；参见Koe-nker[2 005]，了解其在分位数回归中的相关性。在期望值的情况下，可以推断自然选项e取φ（r）=rin（2.3），这简化了平均值的平方误差函数（直到等价）。这也是Newey和Powell[1987]提出的预期回归得分函数。最近才发现（VaR，ES）的一致评分函数；s ee Acerbi和Szekely【2014年】，Fissler和Ziegel【2016年】。因此，函数G，Gin（2.4）没有自然的经典选择。如果对于所有的r=（r，…，rk）和所有的xS（cr，cx）=cbS（r，x），对于所有的c>0，则称为b阶正齐次函数S（或b齐次函数）。Efron【1991】认为，在回归等估计问题中，得分函数的一个重要性质是正齐次的。

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2022-5-25 14:37:13

巴顿（Patton）[2011]强调了scoringfunction对预测排名的正同质性的重要性。正齐次s-c环函数也是有利的，因为它们被称为“单位一致”；例如，参见Acerbi和Szekely【2014年】。也就是说，如果r和x以美元表示，r=$10，S=$5，那么对于正齐次评分函数S，分数（r，x）=S（$10，$5）=（$）bS（10，5）w将有单位（美元）b。特别是，将单位从，例如，美元更改为百万美元，不会改变该评分函数所认可的预测值，因此，比较回溯测试的结果也将保持不变。关于同质性deg-reeb的选择，Patton【2006】表明，在波动性预测的情况下，对于Diebold-Mariano检验的有效性，b=0需要比b更大的选择更弱的动量条件，而Diebold-Mariano检验在比较回溯检验中使用d。关于Diebold-Mariano检验的威力，Patton和Sheppard【2009】发现b=0选项的波动性预测的最佳总体威力。附录C给出了本文感兴趣的风险度量15的ris k度量2回测的正同质评分函数的特征结果。注意，我们只允许预测r>0或r=（r，r）且r>0。由于我们对损失的风险度量很感兴趣，这不是真正的限制；另见第3.2节。对于同质性b的某些阶，本文中的利息风险度量没有严格一致的评分函数。特别是，通常无法实现有吸引力的选择b=0。然而，对于比较回溯测试，我们对预期分数的绝对值不感兴趣，而只对预期分数的差异感兴趣。

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2022-5-25 14:37:16

因此，有一个评分函数，使得所得分数差异是均匀的是很有必要的。附录c中的结果表明，VaR、expe c tiles和（VaR、ES）存在b=0级的同质得分差异。下面的示例列出了排序函数，随后将在模拟研究和实际数据分析中使用。示例4。对于我们在第3.2节中研究的VaR的比较回溯测试，我们考虑通过在（2.2）中选择G（r）=r获得的经典1同质选择，从而得出评分函数（r，x）=（1- α-{x>r}）r+{x>r}x.（2.19）在上述参数的指导下，我们也可以通过选择g（r）=log r，r>0来考虑0-同质分数差异，从而得出分数（r，x）=（1-α-{x>r}）log r+{x>r}log x，r>0。（2.20）示例5。选择φ（r）=rin（2.3）可得到严格一致的评分函数（r，x）=-{x>r}（1- 2τ）（x- r） +（1- τ） r（r- 2x）（2.21）表示τ-期望值eτ。除了这个2-齐次选择之外，在第3.2节中，我们还研究了通过选择φ（r）=-log（r），r>0，因此我们得到评分函数（r，x）={x>r}（1- 2τ）logxr+1-xr公司+ （1）- τ）日志r- 1+xr. （2.22）示例6。对于（VaRν，ESν），我们考虑通过在第3.2节中选择（2.4）中的（G（x）=0，G（x）=x1/2，x>0进行比较回溯测试得到的（1/2）-齐次评分函数。它由（r，r，x）={x>r}x给出-R√r+（1- ν） r+r√r、（2.23）对于其他风险度量，我们还通过选择G（x）=0，G（x）=log x，x>0来考虑0-齐次备选方案，从而产生评分函数（r，r，x）={x>r}x-rr+（1- ν）rr（右后）- 1+对数（r）. （2.24）Acerbi和Szekely【2014】提出了一类依赖于参数W>0的r（VaRν，ESν）的2-齐次评分函数。

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