在上述设置中，根据时间t之前的信息- 1，ρ的一步预测为ρ（Xt | Ft-1） =ut+σtρ（Z），（3.2），其中Z用于表示与Zt具有相同分布的一般随机变量。继McNeiland Frey【2000】和Diebold等人【2000】之后，可以对预测ρ（Xt | Ft）采用两阶段估计程序-1） 。在创新Ztin（3.1）分布的特定假设下，通过最大似然法估计第一u和σ皮重。第二阶段涉及ρ（Z）的估计，ρ（Z）是i.i.d.序列{Zt}t的风险度量∈N、 基于标准化残差样本{^zt=（xt- ^ut）/^σt}。（3.3）我们考虑以下三种方法来处理预测过程的第二阶段：全参数（FP）、过滤历史模拟（FHS）和基于极值理论（EVT）的半参数估计。3.1.1全参数估计在全参数方法下，假设创新序列{Zt}∈N.通常使用的概率分布示例包括正态分布、Student t分布和斜态tAn分布。另一种选择是使用准最大似然估计（MLE）程序，其中假设创新值符合标准正态分布。Bollerslev和Wool dridge（1992）的结果证明了这一点，即即使创新的分布不正常，也可以对utandσtwo进行一致的估计，前提是utandσtar的模型规格正确。Kuester等人（2006）指出，utandσtma的动力学规格在实践中可能很难正确。3数字插图17分布（例如，见Fernandez and Steel[1998]）。

Zt的假定分布参数（表示为FZ）可以基于（3.3）中的标准化残差{Zt}估计，例如使用最大似然法。如果Zt的模型与第一阶段用于估计过滤器的模型一致，则第二阶段无需额外估计，所有模型参数直接来自第一阶段的估计。固定分布用于计算给定风险度量的估计值。在Varα（Z）的ca-se中，这是由α分位数^F给出的-1Z（α），当aτ-表达式eτ（Z）可以按照附录B.1中的讨论进行计算时，我们给出了几种常见分布的期望值的分析表达式。由于我们只考虑连续分布FZ，因此ES可以计算为ν（Z）=E（Z | Z≥ VaRν（Z）），其中我们使用数值积分来评估条件期望。3.1.2过滤历史模拟该方法基于（3.3）中的标准化残差{zt}对风险度量进行非参数估计，可将其视为表示过滤后的时间序列；例如，见Christo Offersen【2003年，第5.6章】。特别地，我们抽取一个样本{^z*我1.≤ 我≤ N}从{^zt；1开始的大尺寸N（例如，N=10000）≤ t型≤ n} 然后将给定风险函数的经验估计作为ρ（Z）的估计。经验lα量化了VaR估计的VaRα（Z）。通过迭代最小化Nxi=1ωi（τ）（^Z），使用最小的对称加权平方s获得经验τ-期望值^eFHSτ（Z*我- eτ），ωi（τ）=τ{^z*i> eτ}+（1- τ） {^z*i<eτ}相对于eτ。假设残差超过正确的VaR估计值，则通过条件期望的经验版本估计ES:cESFHSν（Z）={i:i=1。

，N，^z*i> dVaRFHSα（Z）}NXi=1^Z*i{^z*i> dVaRFHSα（Z）}.3.1.3基于EVT的半参数估计风险自然与极端事件相关，因此风险度量估计依赖于对基础分布尾部的准确估计。然而，关于分布尾部的推断是出了名的困难，因为尾部区域通常没有足够的数据点，既不能对参数模型进行适当的调整，也不能得到可靠的经验估计。因此，除非相对于风险度量估计所需的风险水平有足够长的时间序列可用，否则第3.1.1节和第3.1.2节中概述的两种方法不太可能产生准确的预测。另一种方法是基于极值理论（EVT）的渐近结果进行估计。有关详细说明，请参阅Embrechts等人【1997年】。主要前提是，对于足够高的阈值u，随机变量Z的条件超额满足：Z- u | Z>u~ GP（βu，ξ），（3.4），其中GP（β，ξ）表示标度β>0且s hap e参数ξ的广义帕累托分布∈ R、 在应用中，通常将阈值设置为高阶统计量；i、 e。，对于某些k<n，u=z（k+1），其中3个数字图示18z（1）>z（2）>····>z（n）是从FZ开始的样本{z，…，zn}的降序统计量。这导致了以下基于EVT的VaRα（Z）和ESν（Z）估计（见McNeil和Frey【2000】）：dVaREVTα（Z）=u+βu^ξkαn^ξ- 1.,^ξ6=0，（3.5）和cesevtν（Z）=dVaREVTν（Z）1-^ξ+^β-^ξu（1-^ξ）dVaREVTν（Z）！，（3.6）由于（βu，ξ）是GP分布的参数估计，适用于超过u的部分。本着上述基于EVT的VaR和ES估计量的精神，我们推导了τ-期望值的估计量。

详情见附录B.2。在上面的讨论中，我们假设给出了阈值u或等效k，即upp e r阶统计量的数量，以确保（3.4）中的近似值的充分性。然而，在实践中，必须做出准确的选择来平衡偏差-变量权衡，因为u值太大会增加βuan和ξ参数估计值的可变性，而u值太大则会由于（3.4）的无效性而引入偏差。人们提出了各种技术来帮助选择阈值，例如基于均值过剩函数线性的gr aphical工具。由于这种方法需要在每一个时间步进行判断，在这一步上，有条件地预测风险措施，因此，它们对我们的目的是禁止的。因此，我们采用了inMcNeil和Frey[2000]所述的务实方法，并在样本中选取k=60，样本大小为n=500.3.2模拟研究在实践中，传统的后验测试可能是评估和随后在许多竞争预测过程中进行选择的最常用方法。虽然传统的回溯测试当然适合捕获预测程序的某些方面，但它没有提供关于不同程序在预测准确性方面的相对性能的信息，这似乎是预测方法的自然标准。

pr e sent模拟研究的目的是说明本文中所用的传统和比较回溯测试方法的使用，并强调两种类型的回溯测试传递的不同消息。3.2.1建立和预测方法数据{Xt}t∈用于分析的Zused由AR（1）-GARCH（1,1）过程生成：Xt=ut+t，ut=-0.05+0.3Xt-1，t=σtZt，σt=0.01+0.1t-1+0.85σt-1，（3.7）其中创新{Zt}t∈Z形成一个具有共同斜态t分布的独立随机变量序列（见示例B.6），形状参数ν=5，斜态参数γ=1.5。连铸工艺的质量由各种因素决定。在参数或半参数设置中，小样本中的潜在模式l误判以及估计不确定性可能对预测不利。非参数方法虽然不需要对基础模型进行假设，但也受抽样变量的影响，在处理极端或尾部事件时有很大的局限性。我们在模拟研究中考虑的预测程序旨在涵盖一系列模型和估计方法。We3数字插图19假设基础过程遵循s AR（1）-GARCH（1,1）动力学，具有创新性{Zt}t∈Z从以下三种分布中选择一种：非正态分布、学生t分布和倾斜t分布，作为示例B.6。

然后，我们考虑以下估计程序：o分别在正态、t和斜态t分布新息假设下，使用缩写为“n-FP”、“t-FP”和“s t-FP”的方法进行全参数估计（第3.1.1节）使用缩写为“n-FHS”、“t-FHS”和“st FHS”的方法进行过滤历史模拟（第3.1.2节）；o基于EVT的估算（第3.1.3节），方法缩写为“n-EVT”、“t-EVT”和“st-EVT”。除了上述方法外，我们还使用最佳预测（缩写为“opt”）补充结果，该预测使用了数据生成过程的知识。使用大小为500的movingwindow进行估计，并根据5000个验证观测值的样本外大小评估预测。3.2.2风险度量预测的回测Stable 1包含根据上一节所述程序提前一步进行预测的概述。特别是，我们报告了基于移动估计窗口序列的平均预测，这三个风险度量分别表示为DVARα、eτ和ESν。VaR的α水平是根据用于内部风险管理的ty pic al值（如α=0.90和α=0.95）以及标准巴塞尔VaR水平α=0.99来选择的。对于预测值和E S，水平的计算方式应确保风险度量预测符合标准正态模型。为了与之前使用的评估VaR预测质量的方法相联系（并对这些方法进行比较），我们计算了观测值超过VaRα预测的次数百分比，通常称为违规百分比。

基于列“%Viol”下报告的值在表1中，我们观察到，一些错误定义的模型实际上能够通过匹配风险度量水平（1）达到几乎准确的违规比例-α） 。例如，“n-EVT”和“t-EVT”方法在α=0.99时就是这种情况。虽然与风险度量密度水平的较大偏差确实表明了方法的严重不足（如“n-FP”和“t-FP”方法），但这些值也表明与（1-α） 单是水平不太可能为区分方法在预测方面的表现提供良好的基础。表2说明了第2.2节中介绍的传统回溯测试方法。测试统计Tin（2.11）和Tin（2.12）分别用于双面和单面条件校准测试。VaRα和τ-expectile的单侧测试是用Φ（T）给出的p值进行超级校准的测试。在（VaRν，ESν）的情况下，我们利用Hommel程序，将调整后的p值计算为∧π=q Cqmin{π（m）/m；m=1，2}，并在1处绘制，其中πm=1- Φ（T2，m）用于fsub校准的单侧测试；见（2.13）。（经典的Bonferroni多重试验程序得出了定性相似的结论。）对于简单的条件校准测试，我们将ht设置为1。在本次模拟研究中发现，对于一般条件校准测试，测试函数运行良好=（1，rt）′对于VaRα，^σ-1对于期望值eτ，^σ-1t（（r2，t- r1，t）/（1- ν） ，1）对于（VaRν，ESν）（3.8）3数字插图20，在双面试验的情况下，以及HT=（1，| rt |）\'）对于VaRα，σ-1对于预期eτ，1 | r1，t | 0 00 0 1^σ-1吨′对于（VaRν，ESν）（3.9），在单侧试验的情况下。

测试功能的选择很重要，因为它会影响测试的性能。例如，我们发现，如例1所示，包含识别函数的滞后值会导致tes拒绝所有模型，包括VaR0的最佳预测值。99在双面条件校准测试中。对这种现象的一种可能解释是，对于选定的测试函数，测试统计量的分布变得严重倾斜，使得收敛到渐近分布的速度变慢。另一个由裁判提出的因素可能是比赛的不稳定性Ohm-1由于识别函数滞后值的高度相关性，估计（2.11）。正如Giacomini和White（2006）所讨论的，选择组件太少或太多的测试函数也会直接影响测试的威力。正如预期的那样，表2中的数值结果表明，与相应的简单条件校准测试相比，基于一般条件校准测试的回溯测试决定更加保守，这取决于测试函数的合理选择。在进行双边测试时，这对于一维风险度量（VaR和expectiles）尤其明显。这两种ris k度量的双边条件校准测试表明，AR（1）-GARCH（1,1）滤波器拟合中使用的可能性的正确规格的重要性。即使在测试简单的条件校准时（VaR0.90除外），带有错误模型的完全参数化方法（此处为“n-FP”和“t-FP”）也无法通过传统的回测。

一般的条件测试至少在某些情况下能够检测出错误的可能性；例如，预测VaR0时。90并使用（对称）t分布代替真正不对称的基础模型，同样，对于τ=0.96561和τ=0.98761的τ-期望值。当不同的方法应用于过滤后的一系列创新时，通用条件双侧c校准测试还检测ris k测量预测第二阶段的差异。例如，在最高风险度量级别，基于E-VT的方法倾向于通过条件回溯测试，而不是其经验方法，有时甚至是参数（正确指定）方法；有关VaR0，请参见面板。99和0.99855-expectile。即使在AR（1）-GARCH（1,1）滤波器中的错误概率模型下，这也是正确的。我们还注意到，一维风险度量的测试似乎比二维风险度量的测试（VaRν，ESν）具有更好的幂函数特性，尽管需要对这些测试的单元样本特性进行更彻底的调查，以得出更明确的结论。还可以观察到，单侧测试的结论性不如双侧类似物。这也许并不令人惊讶，因为很可能发生的情况是，一种方法不擅长预测风险度量，但给出了正确的结果，因此不应被单侧校准测试拒绝。除了风险度量平均预测外，表1还使用三个考虑风险度量中的每一个的两个不同（一致）评分函数来表示平均得分以及相应的方法排名。由于我们使用的评分函数要求ris k度量预测为正，因此在预测为负的少数情况下，我们将sco重新交叉所有方法归零。

注意，在（VaRν，ESν）的情况下，只有ESν的预测被限制为正预测。基于平均得分的方法排名似乎是合理的，并就基于预测精度的方法选择提出了一些更一般的数字说明23结论。与传统回溯测试的结果类似，表1中的数值进一步支持了这样一个观察结果，即选择似然模型拟合AR（1）-GARCH（1,1）滤波器对预测精度有显著影响，可能比之前使用类极大似然法时所认为的要多。在每个似然模型中，在ris k测度的较低水平上，全参数和FHS方法往往表现出更好的预测性能，而在较高水平上，基于EVT的方法似乎具有优势，尤其是在VaR的情况下。当似然模型在AR（1）GARCH（1,1）滤波器的拟合上存在错误时，非参数方法（如FHS）和半参数方法（如EVT BasedItation）比全参数方法具有更大的灵活性，可以减少模型误判的影响。虽然在许多情况下，从每对一致的评分函数中获得的评分是一致的，但也存在一些差异。正如巴顿（Patton）[201 4]所指出的，在存在错误指定的模式ls和估计不确定性的情况下，这并不令人意外。对于平均得分不确定的模型，大量数据的不足表明样本平均值（得分）与目标平均值（得分）趋于一致，因为样本量越大，越接近实际。然而，收敛可能相当缓慢。

我们发现，在我们的模拟研究中，至少1000个数据点的样本外大小对于实现某种稳定性是必要的。因此，在有限样本情况下，必须意识到样本可变性对预测方法最终等级的影响。附录D讨论了一项研究的结果，其中仅考虑250个验证性观察结果来执行回测。在小样本中，即使底层数据生成过程是静态的，传统和比较回溯测试的结果也可能会被不具代表性的样本严重扭曲。最后，图s 1-3显示了风险度量的转换矩阵和两种形式的一致性评分函数。这些曲线图仅在平均得分的基础上补充了方法排名，并在测试水平η=5%下进行预测能力测试。沿着垂直轴，我们考虑假设的“标准”模型，研究的“内部”模型沿水平轴显示。红细胞和绿细胞与对比后验失败或通过的情况相关，而黄细胞则表示没有确凿证据可以通过或不通过对比后验的情况。每个图中的行对应于用于比较方法的不同排序函数。如果所有方法都表现良好，或者如果cho senscoring函数的识别能力较差，则可能会产生不确定的转换光矩阵。在VaR的情况下，由于两个chosenscoring函数的判别能力在α=0.99的水平上都很好，因此在α=0.90的水平上，可能有几个模型显示出可预测的能力。这与在α=0.90水平上基本上没有结论的传统回溯测试一致。

在α=0.90时，（2.19）中的评分函数比（2.20）中的评分函数更能识别具有正确规定可能性的模型，对于（2.20）中的评分函数，除了少数例外情况，只有“t-FP”方法无法通过与所有其他可能的标准方法相比的内部方法的比较回溯测试。在α=0.99时，两个评分函数的结果与“n-FP”的预测结果非常一致（即，未能通过与所有其他方法的对比回溯测试），最佳方法是通过与其他方法的对比回溯测试（例外是（2.20）中评分函数下的“st-EVT”）。τ-期望值的情况很清楚。在水平τ=0.96561时，“n-FP”方法在两种评分函数下均未通过与大多数其他方法的比较回溯测试；使用（2.22）中的评分函数表明“t-FP”方法失败。“st-EVT”方法将通过对具有正常似然od和“t-FP”的模型的比较回溯测试。

在τ=0.99855的水平上，两种评分函数对方法没有太大的区别，除了将最佳预测值表示为比大多数其他方法更好3数值说明24n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型α=0.9n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型α=0.99n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型α=0.9n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型α=0.99图1：测试置信度水平η=0.05时VaRα预测的转换光矩阵。顶部和底部行分别基于（2.19）和（2.20）中的sco环函数。3数字插图25和“n-FP”方法失败。作为一种风险度量，预期值的使用要少得多，而且可能目前的方法对于高水平的预期值预测来说确实是次优的。同样，这与传统回溯测试的结果一致，尤其是条件双侧测试。对于（VaRν，ESν），大量确凿的对比后验结果表明，我们可以很好地区分不同的方法，并且，就VaR而言，在较低水平上使用哪种方法似乎不如在较高水平上使用哪种方法重要。特别是，我们再次看到，具有正确指定可能性的方法显示出优异的预测性能。根据（2.23）中的评分函数，“stEVT”方法在较低的ν水平下未通过与其参数和非参数对应物“st FP”和“st FHS”的对比回溯测试。

在ν=0.975.3.3数据分析时，无法得出与这些模型相关的明确结论。我们使用500个数据点的移动估计窗口，对纳斯达克综合指数的负对数收益率建立了AR（1）-GARCH（1,1）模型。我们考虑的时间序列是从1971年2月8日到2016年5月18日，这为我们提供了样本外大小n=10920的pe rform回溯测试。表3总结了六种预测方法（有关这些方法的详细信息，请参阅第3.2节）以及三种风险度量（Va R、expectile和（VaR、ES）对）在其标准巴塞尔水平上的传统和比较回溯测试结果。对于VaR0。99，仅在n-EVT和st-EVT方法下，基于双边简单条件校准测试的传统回测才通过e d。因此，在这里，在AR（1）-GARCH（1,1）滤波器中选择相似lihood函数的影响似乎比在预测第二阶段应用于已确定残差的方法的选择要小。在这一相对较高的风险衡量水平上，基于EVT的方法在传统的回溯测试和平均分数上都优于其他竞争对手。还应注意的是，这两个评分函数导致预测程序的排名相同。全参数方法（n-FP和st-FP）在预测能力方面表现最差。与所有其他方法相比，n-FP属于研发领域，而st-FP与EVT方法相比失败，无法战胜FHS方法；参见图4（顶行）中的交通灯矩阵。另一方面，对于0.99855-expectile，所有使用正态似然的方法都拒绝了简单条件校准测试（5%水平）。

那些使用偏态t似然法的方法也可能排名更高；尽管就重要性而言，大多数方法都属于黄色区域（除了n-FP方法）。对于使用的两个评分函数，fo重铸的排名是不同的。（2.22）处的0-homogeneouschoice清楚地对使用正态似然比使用偏态似然低的方法进行排序，与简单条件校准测试的结果一致，这是一个支持使用（2.22）而不是（2.21）的论点。对于bo th VaR0。99和0.99855-expectile，具有模拟研究中的测试功能的条件校准测试，导致相应的传统回溯测试失败；请参见表3中的预期值。这对于实际目的来说似乎过于保守，建议重新检查GARCH型过滤器对这些数据的适用性，或者使用更合适的测试函数。FOR VaR0。99，我们还使用测试函数ht=（1，V（rt-1，xt-1） ）’（见示例1），表3中给出了结果p值。他们得出的结论与基于简单传统校准试验得出的结论相似。

该示例强调了进一步研究适当选项3数字插图26n的重要性-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型τ=0.96561n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型τ=0.99855n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型τ=0.96561n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型τ=0.99855图2：τ-测试置信度η=0.05的预期预测的转换矩阵。顶行和底行分别基于（2.21）和（2.22）中的评分函数。3个数字插图27n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型ν=0.754n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型ν=0.975n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型ν=0.754n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型ν=0.975图3：测试置信度水平η=0.05时（VaRν，ESν）预测的转换光矩阵。

顶行和底行分别基于（2.23）和（2.24）中的评分函数。4测试功能的讨论28。ν=0.975的（VaRν，ESν）的结果表明，当使用更灵活的模型（如歪斜t）对AR（1）-GARCH（1,1）滤波器进行滤波时，性能更好，尽管使用基于EVT的方法有可能补偿似然误差。在年，与大多数其他更灵活的替代方案相比，全参数方法（n-FP和st-FP）在对比回溯测试中属于这一区域；请参见表3和图4中的底部面板。结果显示了一个有趣的方面，这与理论并不矛盾，但可能令人困惑，值得在未来的研究中进一步研究：条件校准测试拒绝所有使用正态似然的方法，但评分函数将n-EVT方法列为最佳或次优执行方法。条件校准测试中使用的测试函数对AR（1）-GARCH（1,1）滤波器拟合中使用的似然函数敏感，而评分函数对第二阶段的方法更敏感，优先于EVT方法。4讨论在本文中，我们讨论了两种回溯测试风险度量预测的方法。我们区分了传统回溯测试和比较回溯测试，前者对方法是否可接受的问题给出了“是”或“否”的答案，后者专门用于比较不同预测方法的预测性能。一般来说，似乎需要传统的和比较的回溯测试方法。前者提出了风险度量功能的可识别性要求，并遵循基于是否通过回溯测试的分类方法的目的，尽管在某种程度上限制了错误指定模型的失败能力。

然而，在评估新提出的预测程序与现有预测程序的性能时，或在将内部程序与某些标准程序进行比较时，传统的后验测试无法为方法比较提供统计上合理的依据。比较回溯测试提供了一种方法来精确地服务于这些目的。对于在传统回溯测试中被视为可接受的方法，比较回溯测试允许根据所选一致评分函数的预测性能对方法进行排序，前提是考虑的风险度量是可引出的函数。传统的回溯测试（我们以条件校准测试的形式正式化）为当前可用的风险度量回溯测试提供了一个统一的框架。为了评估受控环境中不同校准测试的性能，进行了模拟研究。事实上，许多基于错误分类模型的方法可能会通过传统的回溯测试。虽然在所有此类情况下，回溯测试的结果都是相同的（通过），但不同方法下风险度量预测的差异最终将导致不同的资本要求。这一点的一个实际含义是，此类回溯测试可能会产生一种错误的动机，即在通过回溯测试的情况下，将资本最小化，而不是旨在采用更准确的预测方法。

从模拟研究中，我们还发现，与相应的简单条件校准测试相比，一般条件校准测试在检测具有错误模型的方法方面的能力略好于相应的简单条件校准测试，后者只能反映MOST执行不足的方法。然而，对于实际数据，通常情况下，简单和一般条件校准测试会产生类似的结果，这表明在实践中，使用简单条件校准测试可能是可行的。一般条件校准测试提供了更明确的替代方案，但需要选择测试功能。有必要进行进一步的研究，以深入了解不同风险度量的测试函数的选择，以及这种选择如何影响测试结果。4讨论29表3：基于NASDAQComposite指数的ne门控对数回报的传统和比较回溯测试总结，AR（1）-GARCH（1,1）过滤器在500个观察值的移动估计窗口上进行过滤，样本外大小n=10920；有关详细信息，请参阅第3.3节。第二列表示averagerisk度量预测。“%Viol。”给出VaR0的百分比。99预测值超过NC e s。简单CCT和一般CCT列分别包含双侧简单和一般条件校准测试的p值。最后两列显示了平均sco res，根据特定的评分函数以及相应的methodranks（以br为单位），按1减去风险度量值ConfidenceLevel进行缩放，以便于呈现。方法变量0。99%Viol。简单CCT一般CCT S[公式（2.19）]S[公式。

（2.20）]n-FP 2.363 2.3 0.000 0.000 3.8497（6）1.3017（6）n-FHS 2.758 1.3 0.017 0.028 3.5842（3）1.1604（3）n-EVT 2.774 1.2 0.112 0.152 3.5675（2）1.1550（2）st FP 2.739 1.3 0.004 0.012 3.5976（5）1.1669（5）st FHS 2.785 1.2 0.046 0.108 3.5904（4）1.1609（4）st EVT 2.811 1.1 0.181 0.290 3.5654（1）1.1517（1）e0。99855简单CCT g e ne ral CCT S[公式（2.21）]S[公式（2.22）]n-FP 2.363 0.000 0.000 25.9030（6）0.9660（6）n-FHS 2.986 0.049 0.002 19.7333（2）0.2933（4）n-EVT 2.966 0.023 0.001 19.8196（5）0.3084（5）st FP 3.041 0.163 0.011 19.8159（4）0.2509（1）st FHS 3.078 0.2 27 0.011 19.7533（3）0.2589（2）st EVT 3.037 0.1 12 0.006 19.6963（1）0.2687（3）ES0。975简单CCT g e ne ral CCT S[公式（2.23）]S[公式。

（2.24）]n-FP 2.375 0.000 0.000 1.7020（6）1.0492（6）n-FHS 2.777 0.022 0.035 1.6587（4）0.9637（4）n-EVT 2.813 0.2 61 0.015 1.6560（1）0.9607（2）st FP 2.810 0.001 0.24 8 1.6622（5）0.9691（5）st FHS 2.816 0.1 39 0.067 1.6582（3）0.9617（3）st EVT 2.857 0.3 27 0.117 1.6563（2）0.9597（1）4讨论30n-FP编号-FHS编号-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTst公司-EVTst公司-FHST公司-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型α=0.99n-FP编号-FHS编号-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTst公司-EVTst公司-FHST公司-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型α=0.99n-FP编号-FHS编号-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTst公司-EVTst公司-FHST公司-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型τ=0.99855n-FP编号-FHS编号-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTst公司-EVTst公司-FHST公司-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型τ=0.99855n-FP编号-FHS编号-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTst公司-EVTst公司-FHST公司-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型ν=0.975n-FP编号-FHS编号-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTst公司-EVTst公司-FHST公司-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型ν=0.975图4：基于（2.1 9）（左）和（2.20）（右）中的评分函数的VaRα（顶行）的转换矩阵，基于（2.21）（左）和（2.22）（右）中的评分函数的τ-期望值（中行），以及基于（2.23）（左）和（2.24）（右）中的评分函数的测试置信度η=0.05的（VaRν，ESν）（底行），对于第3.3.4节讨论31中的数据分析，鉴于上述传统回溯测试的局限性，监管机构可在通过传统回溯测试的情况下额外应用比较回溯测试。这就需要一个标准模型来测试银行的内部模式l。这种标准模型不应与监管机构目前为银行交易账簿风险管理采用的标准化方法混淆，因为监管机构无法采用（内部）基于模型的方法，或无法通过监管回溯测试。

这些标准化方法不会产生风险度量预测，因此无法纳入比较回溯测试框架。然而，比较回溯测试将为银行开发风险度量预测方法创造正确的激励，该方法旨在提高预测的准确性，从而能够充分量化风险。如果巴塞尔委员会要引入比较性的背景测试，则应在模型风险低且已知在相当广泛的情况下表现良好的灵活方法中选择一种作为“标准模型”的造林方法。其中一种可能性是使用可变似然模型（如我们的数字样本中的skew-t）对GARCH进行过滤的历史模拟。总之，我们向巴塞尔委员会提出的建议是采用两阶段回溯测试框架。在第一阶段，按照当前实践进行校准测试。就实施而言，最简单的选择是使用双边简单条件校准测试。有条件地，在通过阶段测试后，阶段II将通过比较回溯测试评估银行的“内部模型”与监管机构的“标准模型”。从规范的角度来看，对比回溯测试的统计意义可以通过光矩阵很好地总结出来，强调哪些方法通过或失败了标准程序，以及没有足够的证据来做出结论性陈述。如果监管风险度量是可引出的，则对比回溯测试需要为该风险度量选择一致的评分函数。

在回溯测试ES（银行交易账簿的当前监管风险度量）的情况下，方程式（2.24）中的0齐次评分函数是合理的，因为它是单位一致的，并且与其他正齐次备选方案相比，对基础随机过程的矩限制更为温和。此外，根据数据分析，它产生的排名结果与校准测试的结果更为一致，并导致与所考虑的1/2同质备选方案相比，在传递矩阵条目方面得出更具决定性的结果。值得注意的是，国际金融机构也可以使用比较后验方法，在竞争对手中选择性能更好的方法。这同样适用于寻求比较不同预测方法的学术文献，除了校准外，还根据预测精度进行比较。仍有许多悬而未决的问题和后续问题需要进一步调查，以更好地理解所提出的回溯测试方法的可用性。在传统包装测试的背景下，我们发现条件校准测试能够更好地检测模型错误规格。但是，这些条件测试要求用户选择一组测试函数。在比我们的模拟研究更广泛的背景下，探索潜在的测试函数选择及其对测试的有限样本属性的影响，将有助于指导这些回溯测试的实际适用性。在比较回溯测试的背景下，也会出现一个选择问题，在这种情况下，可以为给定的风险度量函数使用一致的排序函数族中的任何成员。在这里，可以评估结果回溯测试的不同方面。

CONSIDER的一个特殊方面是潜在过程的平均sco re（或差异分数）的存在。金融时间序列往往有相当大的尾部，这将对适当的评分函数的选择产生限制。从这个角度来看，具有0-同质分数差异的拟议sco ringREFERENCES 32函数允许研究比b-同质选择（b>0）更重的尾部过程。最后，我们还没有探索使用条件比较回溯测试的潜在可能性。关于如何制定和实施这些标准以在实践中提供信息，还有许多悬而未决的问题。实际上，实践中使用的一些风险度量是不可能的。ES就是一个突出的例子。在这种情况下，联合可诱导性的概念可能为进行回溯测试的能力打开了大门，在这种情况下，针对多元风险度量函数。我们已经探索了VaR和ES的联合可诱导性，并且，基于我们的模拟研究，ba-cktesting结果显示，凭借正确和错误的模型公式，能够很好地识别和区分不同的方法。然而，需要进行进一步的研究，以便对传统和比较后验提供更清晰的解释。例如，在成对（VaR，ES）的情况下，问题是VaR或ES预测不佳还是两者都导致（传统或比较）回溯测试失败。确认。我们还要感谢Paul Embrechts教授进行了许多富有启发性的讨论，并感谢苏黎世ETH风险实验室在我们开始此项目时的热情款待。感谢加拿大自然科学与工程研究委员会（N.Nolde）和瑞士国家基金会（SwissNational Foundation）通过152609（J.F.Ziegel）拨款提供的财政支持。参考B。Abdous和B.Remillard。

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风险资产的{Xt}t∈Nfollowing a GARCH（1,1）-模型由xt=σtZt（a.1）给出，其中√2zt具有四个自由度的学生t分布，σt=0.20Xt-1+0.75σt-1+0.05。我们对α=0.99和ν=0.975水平的VaRα或ESν预测感兴趣。在这两种情况下，我们考虑四个预报员，根据时间点t的可用信息对时间点t进行预测- 魔术师预测Sr（1）V，α，t=σt√2吨-1（α），对于VaRα（Xt），andR（1）E，t=σt√g（t-1（ν））1- ν4+（t-1（ν））,对于ESν（Xt），其中t-1是四自由度t分布的分位数函数和gitsdensity函数。魔术师的预测是最好的，因为它们对应于X的VaRα和ESν，条件是t- 其他三位预报员被称为historian-n，其中n=250、500或1000。他们预测R（i）V，α，t，i=2，3，4是Varα（Xt）最后n次观测的经验α分位数，R（i）E，t，i=2，3，4是ESν（Xt）的经验预期短缺，即观测值超过经验ν分位数的平均值。就VaRα而言，至少有两种可能性可以比较预测者的表现。首先，我们可以比较R（i）V，t，i=1，其次，对于n个观测时间点，我们可以使用性能标准（i）=nnXt=1S（R（i）V，α，t，Xt）（A.2）评估预测，其中S是VaRα的（严格）一致评分函数；见（2.3）。这里，不同的预测{R（i）V，t}t∈N、 i=1，4、根据其预测性能进行排序，即越低（i），预测程序越好。例如，McNeilet al.（2005年，第2.3.6节）采用了第一种程序。