第二种方法最近被Gneiting[2011]所推广，在计量经济学文献中很常见；见Diebold和Mariano【19 95】。表4给出了（2.3）中选择G（r）=r的结果。综上所述，在95000次观测的很长时间序列中，VaR超标率和平均得分都表明mag-icianas是最准确的预测者。然而，对于使用VaR超标百分比进行5000次观测的更现实的样本量，历史学家-1000比魔术师更能预测。平均得分不受这个问题的影响，仍然可以清楚地将魔术师视为最佳。A回溯测试和预测比较：示例37长度：95000长度：5000预测者VaR超标百分比平均得分'S VaR超标百分比平均得分'SMagician 1.04 0.0309 1.08 0.0275Historian-2 501.57 0.0427 1.42 0.0303Historian-5 00 1.34 0.0428 1.20 0.0309Historian-1 0001.16 0.0429 0.96 0.0302表4：按VaR0百分比排序预测者。99从（a.1）中给出的模型模拟的时间序列的超越或一致scoringfunction的平均分数。长度：95000长度：5000预测员平均超标残差平均sco re平均超标残差平均得分SMagician-0.0102-0.0610 0.1437-0.658Historian-2 50 0.1067 0.0253 0.0585 0.492 Historian-5 000.0084 0.0246-0.2021 0.457Historian-1 000-0.2227 0.0348-0.4456 0表5：按平均超标残差和一致scoringfunction的平均得分对预测员排序对于从长度为95000的（a.1）中给出的模型模拟的时间序列。对于回溯测试E S，McNeil和Fr ey【2000】引入了以下基于exceedanceresidualsT=#{t:Xt>R（i）V，ν，t}TXt=1Xt的测试统计- R（i）E，tσt{Xt>R（i）V，ν，t}。（A.3）如果模型（A.1）正确，则皮重和i.i.d的非零总和。

平均随机m变量的样本，这可用于准命题测试。人们可能会倾向于使用这种检验统计量进行预测比较，称预测者越准确，测量偏差残差越接近零；例如，见Chun等人【2012年】。在实践中，σtha也可以用估计值代替。在我们的模拟研究中，我们使用了真实σt。比较ES预测性能的第二种可能性是使用（2.5）中给出的性能标准（A.2）中成对（VaRν，ESν）的一致s CoringFunction之一。我们选择G（r）=兰德G（r）=exp（r）/（1+exp（r）），如Fissler等人【2016】所述；有关评分函数选择的讨论，请参见第2.3.1节。结果见表5。对于具有95000个观测值的非现实LON时间序列，historian-500在平均超越残差方面优于魔术师，而对于5000个观测值，historian-250在超越残差方面优于魔术师。在这两种情况下，平均分数直接将魔术师视为最熟练的预测者。这个小型模拟示例说明，用于传统回溯测试的tes t统计数据无法比较不同的风险度量程序，但应使用（a.2）中定义的性能标准和一致的评分函数来获得有意义的排序。我们想强调的是，这个问题并不是用于传统回溯测试的特殊测试统计数据的缺陷，即ES的VaR超标百分比或超标残差。传统的回溯测试只是为了在模式ls之间进行比较而设计的。

当在监管框架中使用传统的回溯测试时，这一事实可能会有问题，因为这可能会刺激优化使用的测试统计数据，而不是优化预测性能。我们的模拟示例表明，这两个目标可能导致风险测量程序的不同选择。这个问题可以使用比较回溯测试来解决。在主要论文中，我们提供了关于传统回溯测试和比较回溯测试之间差异的更多细节，以及它们分别与可识别性和可引出性的关系。B预期B。1基于模型的计算设X为具有有限平均值的随机变量。如果X不是常数，那么e expectle e·（X）是函数gx:R的（广义）逆→ [0，1]，z 7→Rz公司-∞|Z- y | dFX（y）R∞-∞|Z- y | dFX（y）=E（| z- X |{X≤ z} ）E（| z）- X |）；见Abdous和Remillard【1995年】。或者，函数GX（·）可以写成GX（z）=zFX（z）- MX（z）2（zFX（z）- MX（z））+E（X）- z、 （B.1）其中MX（z）=Rz-∞ydFX（y）是X的部分矩。为便于记法，我们将在函数GX的记法中省略表示底层随机变量的下标，当没有歧义时。函数G是右连续的，递增的，G(-∞) = 0，克(∞) = 1、请注意，计算G时无需知道密度的归一化常数。分位数和期望值都表征了X的分布。然而，它们在性质上是完全不同的。预期值与功能相关Ohm Keating和Shadwick【2002】定义为Ohm: R→ [0，∞), r 7→ Ohm（r） ：=r∞r | y- r | dF（y）Rr-∞|Y- r | dF（y）。特别是g（r）=1+Ohm（r） ，则，Ohm（r） =G（r）- 1.（B.2）在以下示例中，我们给出了一些概率分布的函数GX（·）。示例B.1、B.3和B.6用于计算仿真研究中基于模型的期望值。示例B.1（正态分布）。

如果X~ N（u，σ），然后gx（z）=σДZ-uσ+ （z）- u）ΦZ-uσ2σДZ-uσ+ （z）- u）2ΦZ-uσ- 1.式中，Д和Φ表示标准正态随机变量的密度和分布函数。X的τ-期望值由μτ（X）=G给出-1X（τ）。示例B.2（指数分布）。如果X~ EXP（λ）对于某些λ>0，则gx（z）=z-λ+λe-λzz-λ+λe-λz.B期望值39示例B.3（学生t分布）。如果X有一个自由度大于1的t分布，那么gx（z）=ν+zν-1gν（z）+ztν（z）ν+zν-1gν（z）+z2tν（z）- 1.,其中gν和tν表示t分布的密度和累积分布函数。示例B.4（帕累托分布）。对于密度为f（x）=αxα+1，x的帕累托分布≥ 1，其中α>1，我们得到z≥ 1GX（z）=α（1- z） +zF（z）α（1- z） +z（2F（z）- 1） ，其中F是F的累积分布函数。示例B.5（广义帕累托分布）。s标度σ＞0且形状参数ξ的广义Paretodistribution的累积分布函数∈ R、 表示为GP（σ，ξ），由h（y）=1给出-1+ξy/σ-1/ξ，x≥ 0和1+ξx/σ≥ 因此，如果X~ GP（σ，ξ）thenGX（z）=z- （σ+ξz）H（z）σ+z（1+ξ）- 2（σ+ξz）H（z），z≥ 0和1+ξz/σ≥ 0，前提是ξ<1。示例B.6（倾斜t分布）。考虑密度为：f（x）=1/γ+γ的倾斜Student t分布gν（γx）{x≤ 0}+gν（x/γ）{x>0}, 十、∈ R、 （B.3）式中，ν>0和γ>0分别是形状和偏度参数s，与之前一样，gν是学生t分布的密度，fr eedom的ν度；参见Hansen[1994]和Fernandez and Steel[1998]。

这种情况下的反向期望函数由gx（z）=zF（z）+ν给出- 1.νγ+zf（z）zF（z）+ν- 1.νγ+zf（z）+ E（X）- z=：G-X（z）表示z<0，且gx（z）=zF（z）+ν- 1（νγ+z）f（z）-νν- 1（γ- 1/γ）f（0）zF（z）+ν- 1（νγ+z）f（z）-νν- 1（γ- 1/γ）f（0）+ E（X）-z=：G+X（z）表示z≥ 0，其中f和f分别是上述歪斜学生TDi分布的密度和累积分布函数。注：GX（0）=1/（1+γ），因此eτ（X）=（G-X）-1（τ）表示τ<1/（1+γ），eτ（X）=（G+X）-1（τ）表示τ≥ 1/（1+γ）。使用Zhu和Galbraith【2010】中不对称学生t分布的矩表达式，可以看出，如果随机变量X具有密度为（B.3）的倾斜t分布，则X的平均值和方差为（X）=2Kνν- 1.γ-γB期望值40andV ar（X）=hνν- 2.1.- 3γ（1+γ）- 4Kννν- 1.1.-1+γ我γ+γ, ν>2，其中Kν=Γ（（ν+1）/2）/[√πνΓ（ν/2）]。这些表达式可以用来计算均值为零、方差为1的偏态t分布的期望值。示例B.7（不对称学生t分布）。Zhu和Galbraith【2010】介绍了一种更一般的非对称学生t（AST）分布，其中包括前一示例中的一种分布。这类模型允许在分布的上尾端和下尾端使用不同的形状参数。具有偏态参数α的AST分布的密度∈ （0，1）和下部和上部尾部形状参数ν>0和ν>0分别等于tof（x）=α*K（ν）h1+νx2α*我-ν+1{x≤ 0}+1- α1- α*K（ν）h1+νx2（1-α*)我-ν+1{x>0}，（B.4），其中K（ν）=Γ（（ν+1）/2）/（Γ（ν/2）√νπ）和α*= αK（ν）/[αK（ν）+（1- α） K（ν）]。

逆经验函数GX（·）可从GX（z）=zF（z）中获得- M（z）2（zF（z）- M（z））+E（X）- zm（z）给出部分矩函数M（·）=-4（α*)νν- 1h1+νz2α*如果（z），z≤ 0-4（1- α*)νν- 1h1+νz2（1- α*)if（z）-4Bh（α*)νν- 1+（1- α*)νν- 1i，z>0，其中B=αK（ν）+（1-α） K（ν）。如前所述，f和f表示具有AST分布的随机变量X的密度和累积分布函数。X areE（X）=4Bh的期望值和方差- （α*)νν- 1+（1- α*)νν- 1ANDV ar（X）=4hα（α*)νν- 2+（1- α） （1）- α*)νν- 2i- E（X）；见朱和Galbraith【2010】中的方程式（14）和（15）。B、 2 EVT期望估计给出（3.3）中的标准化残差序列{zt；t=1，…，n}，我们现在讨论基于EVT渐近结果的zt期望的半参数估计。为了获得i.i.d.系列{Zt}的期望值的估计量，我们首先推导出（B.1）中函数GZ（z）的估计量，其inver se将为我们提供Zt’s的τ经验值eτ（z）的估计量。回想一下ω比率：OhmZ（Z）=R∞z | z- y | dFZ（y）Rz-∞|Z- y | dFZ（y）。（B.5）我们首先假设Zt的τ-期望值，由eZ（τ）=G给出-1Z（τ）=Ohm-1Z（1/τ- 1） ，超过了chosenthreshold u。τ的大值就是这种情况，从风险度量的角度来看，它强调损失分布的远上尾。B期望值41（B.5）分子中的积分可以写成：Z∞z | z- y | dFZ（y）=E[（Z- z） {z>z}]=FZ（z）E（z- z | z>z）。GP分布的阈值稳定性性质表明，如果X- u | X>u~ GP（βu，ξ）然后，对于anyv≥ u、 X个- v | X>v~ GP（βu+ξ（v- u） ，ξ）。此外，如果X~ GP（β，ξ）然后E（X）=β/（1- ξ） ，前提是ξ<1（参见Embrechts等人[1997]，定理3.4.13（a））。

结合这两个事实，我们发现（Z- z | z>z）=βu+ξ（z- u） 1个- ξ、 ξ<1，z>u，可以通过用参数βuan和ξ的估计值替换参数βuan和ξ来估计。转向（B.5）分母中的积分，writeZz-∞（z）- y） dFZ（y）=zFZ（z）- E（Z{Z≤ z} ）=zFZ（z）- E（Z{Z≤ u} （）- E（Z{u<Z≤ z} ）。上述第一个期望值可以通过经验估计：^E（Z{Z≤ u} ）=nnXt=k+1^z（t）=nnXt=1^zt{^zt≤ u} =：祖。对于第二个期望，我们有e（Z{u<Z≤ z} ）=FZ（u）E（z{z≤ z} | z>u）=FZ（u）E（（z- u） {Z≤ z} | z>u）+uFZ（u），其中，使用峰值超阈值尾部估计器（参见Embrechts et al.（1997），等式（6.45）），e（（z- u） {Z- U≤ Z- u} | Z>u）=Zz-uyβu（1+ξy/βu）-1/ξ- 1dy=βu1- ξn1-1+z- uβu1+ξz- uβu-1/ξo。结合上述推导得出以下ω比率的e刺激值：bOhmZ（Z）=kn^βu1-^ξ1+^ξz- u^βu-1/2^ξ+1z+kn1+^ξz- u^βu-1/^ξ^ξ1-^ξ（z- u） +^βu1-^ξ- U- c、 z>u=^z（k+1），其中c=zu+knu+^βu1-^ξ.根据函数gz和ω比之间的关系，我们得到bgz（z）=1/（1+b）OhmZ（Z）），因此Zt期望值的基于EVT的估计量由逆^eEVTτ（Z）=bG隐式给出-1Z（τ），提供bgz（u）>τ和^ξ<1。IfbGZ（u）≤ τ、 可以使用eτ（Z）的经验估计量。C正齐次评分函数的特征42C正齐次评分函数的特征在本节中，我们对三个风险度量VaR、expe和（VaR、ES）的严格一致的评分函数进行了特征化，以便得出的评分差异是正齐次的。对于VaR，我们考虑由s（r，x）=（1）给出的取芯函数的clas- α-{x>r}）G（r）+{x>r}G（x），（C.1），其中G是严格递增函数；比较命题1。定理4。（风险价值）1。设b>0。

唯一的评分函数S:R×R→ 通过选择G（x）=（C{x）获得b阶正均匀的形式（C.1）的R≥ 0}- c′{x<0}）| x | b，常数c，c′>0.2。设b<0。唯一的评分函数S：（0，∞)×R→ 通过选择G（x）=-cxb，x>0，某些常数c>0。它们不能扩展为在R×R.3上产生严格一致的评分函数。表（C.1）中没有b=0的正齐次评分函数。选择G（x）=c+阻塞x，x>0，c∈ （c.1）中的R和c>0是获得形式（c.1）的scoringfunction S的唯一方法，因此得分差异（0，∞)×（0，∞)×R，（R，R′，x）7→ S（r，x）-S（r′，x）是b=0的正齐次函数。证明Let b∈ R、 如果（2.3）中给出的VaRα的评分函数是b阶正齐次的，那么对于所有R∈ （0，∞), 十、∈ R、 c类∈ （0，∞), 我们得到（cr，cx）=（1-α-{x>r}）G（cr）+{x>r}G（cx）=cb（1-α-{x>r}）G（r）+cb{x>r}G（x）=cbS（r，x）。选择x=0，r=1，我们得到（c）=cbG（1），对于所有c∈ （0，∞).因此，函数G严格递增（0，∞) 如果b 6=0且G（1）>0表示b>0且G（1）<0表示b<0。对于b=0，函数G是常数，因此，b=0的顺序没有严格一致的分数。考虑到得分差异，我们得到了所有r，r′∈ （0，∞), 十、∈ R、 c类∈ （0，∞) 即S（cr，cx）-S（cr′，cx）=S（r，x）-S（r′，x），即x=0，r′=1和所有r，c∈ （0，∞)G（cr）- G（1）=G（c）- G（1）+G（r）-G（1）。当G要求严格递增时，该函数方程的唯一解为（0，∞) 是G（r）=c+带常数c的阻塞r∈ R和c>0。

P对于期望值，我们考虑由s（r，x）={x>r}（1）给出的评分函数类- 2τ）（φ（r）- φ（x）- φ′（r）（r）-x） （）-（1）-τ） （φ（r）-φ′（r）（r）- x） ），（C.2），其中φ是严格凸二次可微函数；比较命题1。定理5。（Expectiles）C正齐次评分函数的特征431。设b>1。唯一的评分函数S:R×R→ 通过选择φ（x）=（C{x），得到了b阶正齐次的形式（C.2）的R≥ 0}+c′{x<0}）| x | b，x∈ 常数c，c′>0.2的R。设b<1，b 6=0。唯一的评分函数S：（0，∞) ×R→ 通过选择φ（x）=cxb/（b（b），获得了b阶正均匀的形式（C.2）的R-1） ），x>0，某些常数c>0。它们不能扩展为在R×R.3上产生严格一致的评分函数。没有b级的正齐次评分函数∈ （C.2）形式的{0，1}。4。选择φ（x）=c-阻塞x+cx，x>0，c，c∈ （c.2）中的R和c>0是获得形式（c.2）的评分函数S的唯一方法，因此评分差异（0，∞) ×（0，∞) ×R，（R，R′，x）7→S（r，x）- S（r′，x）是b=0.5的正齐次函数。选择φ（x）=c+cx log x+cx，x>0，c，c∈ （c.2）中的R和c>0是获得评分函数S的唯一方法，因此评分差异（0，∞) ×（0，∞) ×R，（R，R′，x）7→ S（r，x）- S（r′，x）是b=1的正齐次。证明Let b∈ R、 关系S（cr，cx）=cbS（R，x）必须适用于所有R，c∈ （0，∞), 十、∈ R、 使用（2.4）中评分函数的形式，x=0和R=1的关系表示φ（c）- cφ′（c）=cb（φ（1）- φ′（1））。我们发现φ′′（c）=-（φ（1）-φ′（1））bcb-2、如果φ（1）=φ′（1）或b=0，我们得到φ是线性的，因此不是严格凸，因此不存在b=0阶严格一致的分数。

如果b=1，φ（1）6=φ′（1），我们得到φ（x）=c+cx log x+cx for x∈ （0，∞) 带c，c∈ R和c>0。然而，对应的scoringfunction不是b=1阶的齐次函数，这可以通过插入φin（2.4）的显式表达式来显示。对于b 6∈ {0，1}，我们得到φ（x）=c+cxb/（b（b-1） ）+cx代表x∈ （0，∞) 带c，c∈ R和c>0。通过在（2.4）中插入φ的m，我们发现我们得到了b 6阶的齐次评分函数∈ {0，1}表示c=c=0。对于b<1，函数φ不能扩展为R上的凸函数。对于b>1，我们可以使用x=-2和r=-1取φ(-c）-cφ′(-c） =cb（φ(-（1）-φ′(-1） ）对于所有c∈ （0，∞) 这就产生了与上述论点相同的主张。考虑到b=1时的sc ore差异，我们得到了所有r，r′∈ （0，∞), 十、∈ R、 c类∈ （0，∞) 即S（cr，cx）-S（cr′，cx）=S（r，x）- S（r′，x），即x=0，r′=1和所有r，c∈ （0，∞)φ（cr）- cφ（r）- cr（φ′（cr）- φ′（r））=φ（c）- cφ′（c）- cφ（1）+cφ′（1）。对于r=1时的r微分，我们得到φ′′（x）=cx-1对于某些c>0，因此φ（x）=c+cx log x+cx for x∈ （0，∞) 带c，c∈ R和c>0。我们可以检查得出的分数差异实际上是均匀的，顺序为b=1。

考虑到b=0、x=0、r′=1和所有r、c的得分差异∈ （0，∞), WeAcquireφ（cr）- cφ（r）- cr（φ′（cr）- φ′（r））=φ（c）- cφ′（c）- cφ（1）+cφ′（1）。同样，在r=1时，相对于r的微分得到φ′（x）=cx-2对于s ome c>0，因此φ（x）=c-阻塞x+x的cx∈ （0，∞) 带c，c∈ R和c>0，这会产生均匀的得分差异，顺序B=0。PC正齐次评分函数的特征44对于（VaRν，ESν），我们考虑由（r，r，x）={x>r}给出的评分函数类-G（r）+G（x）-G（r）（r）-x）+（1）-ν）G（r）-G（r）（r）-r） +克（r）, （C.3）如果Gis是一个递增函数，则Gis可二次微分，严格递增且严格凹，且G′=G；比较主pape r中的位置3。下一个结果给出了（VaRν，ESν）的正同质评分函数的特征。它包括巴顿和齐格尔[2016]中考虑的0-均质情况。定理6。（风险价值和预期短缺）1。让b∈ （0，1）。唯一的评分函数S:R×（0，∞) ×R→ 通过选择G（x）=（d{x）获得b阶正均匀的形式（C.3）的R≥ 0}- d′{x<0}）| x | b- candG（x）=cxb+c，x>0，常数为c∈ R、 d，d′≥ 0，c>0.2。让b∈ (- ∞, 0）。唯一的评分函数S:R×（0，∞) ×R→ 通过选择G（x）=-C和G（x）=-cxb+c，x>0，常数c∈ R、 c>0.3。不存在b=0或b的正齐次评分函数≥ 表（C.3）中的1。4。选择G（x）=d{x≥ 0}+d′{x<0}和G（x）=阻塞x+c，x>0，d，d′，c∈ R、 d′≤ d（c.3）中的c>0是获得严格一致的评分函数S的唯一方法，从而使得分差值R×（0，∞) ×R×（0，∞) ×R，（R，R，R′，R′，x）7→ S（r、r、x）- S（r′，r′，x）是b=0.5的正均质性。

对于b≥ 1，不存在形式（C.3）的评分函数，因此评分差异在b级上是正均一的。证明r=x=0∈ R、 c，R>0，我们从S（cr，cr，cx）=cbS（R，R，x）tha tG（0）得到- crG（cr）+G（cr）=cb（G（0）- rG（r）+G（r））。与大鼠的差异r=1 yieldsG′（c）=G′（1）cb-因此，对于b 6=1，我们得到G（x）=-cxb公司-1/（b）-1） +c，x>0。随着Gis的严格减少，我们必须使c>0。条件G>0表明，对于b<1，c=0，对于b，没有解≥ 1、那么forb∈ (-∞, 1） \\{0}，G（x）=-cxb/（（b- 1） b）+c，x>0，带c∈ R、 对于b=0，G（x）=阻塞x+c，x>0，c∈ R、 当x=0，R=R=1时，我们得到所有c>0时，G（c）=cb（G（1）+G（1））- G（c）。对于b 6=0，这意味着G（x）=dxb- c、 x>0，带d≥ 0，因为Ghas将递增。如果b∈ (-∞, 0），除非d=0，否则我们不能将Gto扩展为R上的递增函数。对于b=0，我们得到G（x）=G（x）- 阻塞x，x>0，这是不增加的，因此没有严格一致的评分函数，其同质性顺序b=0。x=r=-1且r=1，我们发现所有c>0(-c） =cb（G(-（1）- 2G（1）+G（1））+2cG（c）- G（c）。D小样本量的回测45这意味着对于b 6=0，G(-x） =d′xb- c、 x>0，带d′≤ b为0∈ （0，1）和d′≥ b为0∈ (-∞, 0）。同样，在案例b中∈ (-∞, 0），我们得到只有选择d′=0可以扩展到所有R上的递增函数。很容易检查所述函数是否产生B阶齐次评分函数∈ (-∞, 1） \\{0}。考虑r、c的得分差异∈ （0，∞), r′=1，r=r′=x=0，我们得到了条件-crG（cr）+G（cr）=cb(-rG（r）+G（r）+G（1）- G（1））- cG（c）+G（c）。与大鼠的差异r=1 yieldsG′（c）=G′（1）cb-2，因此b也没有解决方案≥ 对于b=0，我们得到G（x）=clog x+c，x>0，c>0和c∈ R

对于b=0和c∈ （0，∞), r=r∈ （0，∞), r′=r′=1，x=0，我们得到了函数方程G（cr）+G（cr）=G（c）+G（c）+G（r）+G（r）- G（1）- G（1）。当G+Gis严格增加时，该方程的唯一解为G（x）+G（x）=dlog x+d，x>0，d>0和d∈ R、 以G的形式插入，我们发现G（x）=（d- c） 日志x+d- c、 x>0。如果d=c，函数Gc只能扩展到所有R上的递增函数。对于c∈ （0，∞),r=x=-1，r′=r=r′=1，我们得到条件g(-c）- 2cG（c）- G（c）=G(-（1）- 2G（1）- G（1），表明G（x）=d′，对于某些d′，x<0∈ 带d′的R≤ D- c、 PD小样本大小的回测在本节中，我们总结了模拟研究的结果，其设置与主要文章第3.2.2节中报告的设置相同，但样本大小为250验证观察值，而不是5000。目的是评估用较小的样本量进行比较回溯测试的可行性。我们已经从等式（3.7）中指定的AR（1）-GARCH（1,1）过程中生成了1000个时间序列，并分析了VaRα以及VaRν、ESν对的提前条件预测。结果以等级箱线图的形式总结，基于对每个考虑的风险度量选择两个一致的评分函数；见图5和图6。1000个样本的中值通常与simulationstudy的排名结果一致，其中5000个样本的排名结果要大得多。特别是，与其他方法相比，使用数据生成过程知识的优化方法显示出明显的优势。错误规定的全参数方法（“此处为n-FP”和“t-FP”）的性能再次大大低于其他预测方法。然而，这些曲线图也揭示了很大程度的抽样可变性（在等级中）。

在许多情况下，生成的样本导致了不合理的方法等级，特别是outlyingpoints所示的方法等级。违反VaRα的百分比也存在过度的抽样可变性，VaRα在传统的回溯测试中用作测试统计量；比较图5底部面板中的方框图。D小样本量的回溯测试46可以获得不合理回溯测试结果的情况背后的主要罪魁祸首是估计窗口中的数据显示出与评估窗口相当不同的行为。当样本量不足时，即使基本过程是平稳的，获得非代表性样本的机会也很高。我们通过考虑本模拟研究中生成的1000个样本中的一个样本来说明这一点。图7显示了用250个验证观测值序列拟合模型a的整个时间序列。从图中可以看出，估值窗口不包含任何高波动期，与初始估值窗口相比，通常显示出较低的波动率。表6总结了该样本的传统和对比回溯测试结果，图7底部面板显示了透射光矩阵。对于该样本，最优预测排名最低，而误用的全参数方法“n-FP”在两个变量0中排名最高。99和对（VaR0.975，ES0.975）。违反VaR0的百分比。99表明所有方法都过度估计了该样本的真实条件VaR预测，最接近真实数据生成过程的方法会导致更大的过度估计。我们还注意到，这个特殊的样本导致传统和比较回溯测试的结果都被扭曲。

样本量的大r将缓解这种不具代表性的短样本现象，特别是在存在强或中度时间依赖的情况下。通过以下分析，可以进一步了解预测排名的稳定性。对于每对方法A和B，我们计算了在250次验证观察中，方法A的平均得分优于方法B的次数（1000次中），也就是说，我们计算了平均得分差异的sig nof为负值的次数。表7和表8分别给出了所考虑的风险度量、水平和评分函数的结果（百分比）。除了有关预测链稳定性的信息外，结果还提供了有关方法性能以及排序函数之间差异的信息。我们只列出了几个主要观察结果。对于两个水平的VaRα，在大约70%的案例中，与任何其他方法相比，最佳预测者是正确的。总的来说，0-同质分数（在（2.20）中给出）在确定最佳方法方面稍好一些。它在其他层面上明显优于表现不佳的“t-FP”方法。比较方法“A-FHS”和“A-EVT”，其中A代表所考虑的任何可能性，我们发现它们与其他方法的性能在α=0.9时非常相似，而EVT方法在α=0.99时更高。对于（VaRν，ESν），与70中的所有其他方法相比，最佳预测更为理想- 85%的案件都属于评分功能。在水平ν=0.975时，1/2同质分数（在（2.23）中给出）很好地反映了表现不佳的方法“t-FP”，而0同质sco re（在（2.24）中给出）很好地反映了“n-FP”方法的低预测能力。

关于FHS和EVT方法与相同可能性的比较，在ν=0.754的水平上，FHS方法明显优于EVT方法，而EVT在ν=0.975的水平上具有中等优势。D小样本尺寸的回测47n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 2 4 6 8 10 VaR0等级。9n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 2 4 6 8 10 VaR0等级。99n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 0.05 0.10 0.15 0.20%-违反VaR0。9n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06%-违反VaR0。99图5：顶部的两个面板显示了基于（2.19）（白色背景）和（2.20）（灰色背景）中使用s取芯函数计算的平均得分的VaRα各种预测方法的ra-NK箱线图。底部面板包含不同预测方法下VaRα违规百分比的箱线图。灰色虚线表示α，即风险度量级别。基本数据来自模拟研究，生成了1000个样本，样本大小为250，验证观察结果，以评估预测。详见D节。D小样本大小的回测48n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 2（VaR0.754，ES0.754）n的等级-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHS街-EVT opt 2 4 6 8 10等级（VaR0.975，ES0.975）图6：基于（2.23）（白色背景）和（2.24）（灰色背景）中使用评分函数计算的平均分数，对（VaRν，ESν）的各种预测方法的等级进行箱线图。基本数据来自模拟研究，生成了1000个样本，样本大小为250验证观测，以评估预测。

详见D节。D小样本尺寸的反测试490 200 400 6000 2指数-FP optn-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型α=0.99n-FP编号-FHS编号-EVT t t-FP t-FHS t-EVT st公司-FP st公司-FHST公司-EVTopt opt st-EVTst公司-FHST公司-FP t-EVT t t-FHS t-FP编号-EVT n公司-FHS编号-FP内部模型标准模型ν=0.975图7：顶部面板显示了第D节所述模拟研究中选定样本的时间序列图。垂直虚线表示500个点（灰色）的初始估计窗口和250个验证观察值（黑色）的序列之间的分割。验证观测的曲线表明有条件提前一步预测VaR0。99根据“n-FP”方法（虚线，浅灰色）和“opt”方法（do-T，深灰色）。bo ttom面板包含分别具有0齐次评分函数（2.20）和（2.24）的VaRα（左）和（VaRν，ESν）（右）的η=5%置信水平的相应转换光矩阵。D小样本量的回测50表6：第D.bρ（Xt | Ft）节模拟研究中所选样本的对比和传统回测结果摘要-1） 用d表示给定风险度量ρ的250次验证观测的平均预测值。对于这对（VaRν，ESν），只给出了ES预测的平均值。S（1）和S（2）分别对应于VaR的（2.19）和（2.20）中的评分函数，以及（VaR，ES）的（2.23）和（2.24）中的评分函数。条件校准试验（CCT）如主要条款第3.2.2节所述。双侧CCT p值的遗漏条目是由B的奇异性引起的Ohmn方程式（2.11）中的矩阵。双面C CT单面CCT方法bρ（Xt | Ft-1） %Viol。

S（1）（秩）S（2）（秩）simple general simple generalVaR0。99n FP 0.724 0.8 0.0077（1）-0.003 3（1）-0.723 0.348 0.639 0.958n-FHS 0.901 0.0 0 0.0090（6）-0.0018（3）-1.000 1.000n-EVT 0.899 0.0 0 0.0090（5）-0.0017（6）-1.000 1.000t-FP 0.753 0.4 0.0077（2）-0.0031（2）0.135 0.204 0.9 33 1.000t-FHS 0.896 0.0 0.0090（4）-0.0017（4）-1.000 1.000t-EVT 0.887 0.0 0 0.0089（3）-0.0017（5）-1.000 1.000st-FP 0.925 0.0 0 0.009 3（9）-0.0012（9）-1.000 1.000st-FHS 0.914 0.0 0.0091（8）-0.0014（8）-1.000 1.000st-EVT 0.902 0.0 0 0.0090（7）-0.0015（7）-1.000 1.000选择1.085 0.0 0109（10）0.0006（10）-1.000 1.000（VaR0.975，ES0.975）n-FP 0.728 0.0204（1）-0.0108（1）0.285 0.123 1.000 1.000n-FHS 0.949 0.0209（2）-0.0092（2）0.000 0.102 0.0 91 0.215n-EVT 0.954 0.0210（5）-0.0091（5）0.000 0.200 0.005 0.013t FP 1.135 0.0211（6）-0.0081（9）0.000 0.010 1.00 1.000t-FHS 0.943 0.0209（4）-0.0092（3）0.000 0.032 0.859 1.000t-EVT 0.947 0.0209（3）-0.0091（4）0.000 0.109 0.091 0.227st-FP 0.951 0.0213（9）-0.0082（8）0.000 0.05 0.013st-FHS 0.965 0.0211（8）-0.0086（7）0.000 0.107 0.091 0.208st-EVT 0.970 0.0211（7）-0.0086（6）0.000 0.103 0.91 0.203opt 1.147 0.0225（10）-0.0050（10）0.000 0.317 0.0 00 0.000D小样本量回测51表7：就250次验证观察的平均sco re而言，列中方法优于行中方法预测VaRα的次数百分比。数据的生成如第D节所述。

S（1）和S（2）分别将pond对应于（2.19）和（2.20）中的评分函数。变量0。9S（1）S（2）n-FP 0 48 49 35 52 53 63 56 57 70 0 49 24 49 50 59 54 71 n FHS 52 0 55 32 55 63 59 70 51 0 54 22 54 60 58 71 n EVT 51 46 0 32 50 51 60 55 57 69 51 46 0 22 51 59 55 57 72 T FP 65 68 68 0 73 75 76 76 78 78 0 82 81 84 T FHS 48 47 50 27 0 54 65 60 72 51 18 0 54 63 60 73 T EVT 47 45 27 46 0 62 60 60 49 49 46 46 46 46 0 61 56 72 ST FP 37 37 4025 35 38 0 42 42 66 41 40 41 19 37 0 44 43 67 ST FHS 44 41 45 25 40 43 58 0 51 67 46 42 45 19 40 44 56 0 49 70 ST EVT 43 42 24 39 40 58 0 68 46 42 42 42 19 40 41 57 51 0 71选择30 30 31 28 31 34 32 0 29 28 28 28 33 30 0 VAR0。99S（1）S（2）n-FP 0 79 82 90 79 80 81 78 80 83 0 84 87 92 83 86 84 87 n FHS 21 0 58 36 53 58 59 71 16 0 58 30 56 60 62 56 59 73 n EVT 18 42 0 31 46 54 47 54 70 13 42 0 27 45 55 57 57 70 T FP 10 64 69 0 65 70 64 74 8 70 70 70 72 75 70 78 T FHS 21 47 55 50 50 59 60 61 17 55 60 60 60 60 61 70 T EVT 20 42 30 41 0 53 43 40 45 26 40 50 42 51 71 ST FP 19 38 4330 40 47 0 42 50 70 14 38 43 25 40 48 0 39 49 69st FHS 22 47 53 36 48 58 0 60 71 16 44 51 30 50 58 61 0 60 71 ST EVT 20 41 46 31 39 40 40 0 70 14 41 42 26 39 49 50 70选择17 29 30 26 29 30 30 30 30 30 13 30 22 30 29 31 29 30 0D小样本量回测52表8：在预测（VaRν，ESν）的平均分数超过250验证观察值。da ta的生成如第D节所述。

S（1）和S（2）分别将pond对应于（2.23）和（2.24）中的评分函数。（VaR0.754，ES0.754）S（1）S（2）n-FP 0 86 65 67 84 63 88 85 67 88 0 86 65 57 81 62 83 64 85n FHS 14 0 28 40 55 30 64 62 37 74 14 0 37 54 62 61 41 74n EVT 35 72 0 60 73 77 76 59 84 35 0 52 69 73 59 81 T FP 33 60 0 69 41 70 45 78 43 48 0 72 50 71 77 T FHS 16 46 27 31 0 27 65 62 35 19 46 31 0 30 62 62 62 38 73t EVT 37 70 47 73 0 78 84 38 63 46 50 70 0 74 7359 80 ST FP 12 36 23 29 35 22 0 44 26 72 15 38 27 29 38 26 0 46 30 72 ST FHS 15 38 24 30 38 56 0 28 74 17 39 29 27 54 0 31 71 ST EVT 33 63 41 55 65 41 74 0 82 59 41 47 62 41 70 69 0 80 opt 12 26 16 22 16 16 28 26 18 0 15 26 20 20 20 20 20 0（VaR0.975，ES0.975）S（1）S（2）n-FP 0 82 80 53 81 81 81 80 81 85 84 86 86 86 84 86 89 n FHS 18 0 56 11 59 61 73 16 0 58 23 54 5861 57 59 74n EVT 20 44 0 10 53 57 61 55 60 72 14 42 0 22 45 53 55 49 58 72 T FP 47 89 90 0 94 95 96 96 95 16 77 78 0 79 80 81 77 80 84 T FHS 19 43 47 6 0 55 61 59 72 16 46 55 21 0 60 58 51 63 72 T EVT 19 41 43 0 45 50 55 71 14 47 20 0 52 53 73 ST FP 18 35 39 4 39 41 0 40 40 40 43 70 14 39 45 19 42 48 0 52 71 ST FHS 20 39 45 6 46 50 60 60 60 60 60 56 73 16 51 23 57 60 72 ST EVT 19 3940 4 41 45 57 44 0 71 14 42 20 37 47 48 40 0 73选择15 27 28 5 28 29 30 27 29 0 11 26 28 16 28 29 28 27 27 0

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