准确地说，这需要计算依赖于X轨迹的过程的条件期望。为了应用经典方法，我们将τ的F-生存过程作为一个附加状态过程，由p（τ>t | Ft）=1给出- Ft=e-Rtγ（u，Xu）du，对于每个t∈ [0，T]，并用Yt表示。y的动力学＝{Yt，t∈ [0，T]}，由dyt=-γ（t，Xt）Ytdt，Y=1。备注5.6。通过对三元组（S，X，Y）执行引理5.1的相同计算，可以很容易地验证向量过程（S，X，Y）是一个（F，bP）-马尔可夫过程，其生成器为ls，X，Ygiven bybLS，X，Yf（t，S，X，Y）=Ft型+b（t，x）- ρu（t，s，x）a（t，x）σ（t，s）F十、- yγ（t，x）Fy+a（t，x）Fx+ρa（t，x）σ（t，s）sF十、s+σ（t，s）sFs、 22 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola针对每个函数f∈ C1,2,2,1b（[0，T]×R+×R×R+）。因此，过程{f（t，St，Xt，Yt），t∈[0，T]}具有以下se半鞅分解f（T，St，Xt，Yt）=f（0，s，x，1）+ZtbLS，x，Yf（u，Su，Xu，Yu）du+Mft，T∈ [0，T]，其中Mf={Mft，T∈ [0，T]}是dmft给出的（F，bP）-鞅=Fxa（t，Xt）hρdcWt+p1- ρdBti+Fsσ（t，St）StdcWt。对于每个可测函数f（t，s，x，y），其为[| f（t，St，Xt，Yt）|]<∞, 对于每个t∈ [0，T]，我们定义了滤波器π（f）={πT（f），T∈ [0，T]}关于tobP，通过设置πT（f）：=bEf（t，St，Xt，Yt）| FSt, T∈ [0，T]。众所周知，π是一个概率测度值过程，具有cádlág轨迹（参见，例如Kurtz和Ocone[31]），并提供了

函数b、a、γ、u和σ是联合连续的，并满足以下生长和局部Lipschitz条件：（G）对于一些非负常数C、a和f（t、s、x）∈ [0，T]×R+×R，| b（T，x）|+| a（T，x）|+|γ（T，x）|≤ C（1+| x |），|u（t，s，x）|≤ C（1+| s+| x）和|σ（t，s）|≤ C（1+| s |）；（LL）对于所有r>0，存在一个常数L，使得对于每个t∈ [0，T]，s，s′，x，x′∈ Br（0）：={z∈ R：| z |≤ r} ，| b（t，x）- b（t，x′）|+| a（t，x）- a（t，x′）|+|γ（t，x）- γ（t，x′）|≤ L | x- x′，|u（t，s，x）- u（t，s′，x′）≤ L（| s- s′|+| x- x′|）和σ（t，s）- σ（t，s′）|≤ L | s- s′|。提案5.8。根据假设2.1、假设5.7和条件（5.1），对于每个函数f∈ C1,2,2,1b（[0，T]×R+×R×R+）和T∈ [0，T]，滤波器π是下列方程的唯一强解πT（f）=f（0，s，x，1）+Ztπu（bLS，x，Yf）du+ZtρπuA.F十、+ Suσ（t，Su）πuFsdcWu。（5.7）证明推迟至附录B.2。现在，我们可以描述给定养老保险合同（ξ，Z，τ）在部分信息下的最优套期保值策略，如下所示。与单位挂钩的人寿保险单23定理5.9。假设Sτ和NT∧τarebP平方积分，设g为问题（5.4）的解。第一分量θ*在（FS，eG）中，与单位关联人寿保险合同（ξ，Z，τ）相关的支付流的局部风险最小化策略由θ给出*t=πt田园诗Gs+ρσ（t，St）Stπt田园诗G十、πt（idy），（5.8）每t∈ J0，T∧ τK，其中idy（t，s，x，y）：=y.Proof。通过定理4.15和（5.5）中的方程（4.16），我们得到θ*t=bp，FSθFte-Rtγ（u，Xu）dubp，FS（e-Rtγudu）=bp，FSE-Rtγ（u，Xu）duGs（t、St、Xt）bp，FS（e-Rtγudu）+bp，FSE-Rtγ（u，Xu）duρa（t，Xt）Stσ（t，St）Gx（t、St、Xt）bp，FS（e-Rtγudu），每t∈ J0，T∧ τK.最后，（5.8）后面是过滤器的定义。5.2。具有不相关布朗运动的示例。

在本节中，我们选择ρ=0，这对应于W和B是P独立的，而thereferecw和B是bp独立的情况。在这种情况下，最优套期保值策略θ的第一个组成部分的简单表达式*下面提供了部分信息。关于概率空间(Ohm, F、 bP）向量过程（S，X，Y）的动力学如下所示：dSt=Stσ（t，St）dcWt，S=S>0，dXt=b（t，Xt）dt+a（t，Xt）dBt，X=X∈ R、 dYt=-Ytγ（t，Xt）dt，Y=1。此外，我们为每个（t，s）选择一个恢复函数，即for m U（t，s）=δs∈ [0，T]×R+，其中δ是给定的正常数。然后，支付流N由Nt=δZtSudHuift给出∈ [0，T）和NT=G（T，ST）1{τ>T}。在这个简单的例子中，我们希望在（5.5）中给出的完全信息和（4.16）中给出的部分信息下描述最优套期保值策略。这需要在方程（5.6）中进行计算。X和S underps之间的独立性（在条件化为Ft时也适用），这意味着behg（T，ST）e-RTtγ（u，Xu）duFti=bE【G（T，ST）| Ft】bEhe-RTtγ（u，Xu）duFti=eg（t，St）bE[YT | Ft]YT=eg（t，St）bE[YT | Ft]eRtγ（r，Xr）dr，24 C.CECI，K.COLANERI，和A.Cretarola每t∈ [0，T]，其中通过Feynman-Kac定理，函数eg可以表示为问题的解eg公司t（t，s）+eg公司s（t，s）σ（t，s）s=0，（t，s）∈ [0，T）×R+，eg（T，s）=G（T，s），s∈ R+。然后，对于（5.6）中条件期望的剩余部分，利用（X，Y）和S之间的bP独立性以及S是（F，bP）-鞅的事实，我们得到δbE中兴通讯-Rrtγ（u，Xu）duSrγ（r，Xr）dr | Ft= δbEZTtYrYtSrγ（r，Xr）dr | Ft= -δYtbEZTtSrdYr |英尺= -δYtbEZTtd（SrYr）|英尺+δYtbEZTtYrdSr |英尺= -δYtbE[STYT- StYt | Ft]=δStYt年初至今-bE[年|英尺].这意味着g（t，Xt，St）=eg（t，St）bE[YT | Ft]eRtγ（r，Xr）dr+δStYt年初至今-bE[年|英尺]= （例如（t，St）- δSt）eRtγ（r，Xr）drbE[YT | Ft]+δSt.备注5.10。

注意，对于每个t∈ [0，T]，bE[YT | Ft]=e-Rtγ（u，Xu）dubEhe-RTtγ（u，Xu）duFti=e-Rtγ（u，Xu）dubEhe-RTtγ（u，Xu）duFBti，其中最后一个等式后面是X和W underbP的独立性。由Feynman-Kactheorem证明，如果存在函数Φ∈ C1,2b（[0，T]×R），解决了问题Φt（t，x）+Φx（t，x）b（t，x）+Φx（t，x）a（t，x）-Φy（t，x）γ（t，x）=0，（t，x）∈ [0，T）×R，Φ（T，x）=1，x∈ R、 那么，Φ（t，Xt）=bEhe-RTtγ（u，Xu）duFBI和流程-Rtγ（u，Xu）duΦ（t，Xt），t∈ [0，T]ois-an（FB，bP）-鞅。因此g（t，St，Xt）=eg（t，St）Φ（t，Xt）+δSt（1- Φ（t，Xt）），并利用（5.5）给出了全信息下的最优混合策略，即θFt=eg公司s（t，St）- δΦ（t，Xt）+δ，t∈ J0，T∧ τK。最后，通过（4.16），我们得到（FS，eG）-局部风险最小化策略可以写成θ*t型=eg公司s（t，St）- δπt（idyΦ）πt（idy）+δ，t∈ J0，T∧ τK.（5.9）单位关联人寿保险单25注意，由于（X，Y）和S的BP独立性，以及概率测量值从P tobP变化不影响X定律的事实，我们发现过滤器的计算降低到了普通期望值，与Pπt（Φidy）=bEhΦ（t，Xt）e相对应-Rtγ（u，Xu）duFSti=bEhΦ（t，Xt）e-Rtγ（u，Xu）dui=Φ（0，x）=E[YT]，πt（idy）=bEhe-Rtγ（u，Xu）duFSti=bEhe-Rtγ（u，Xu）dui=bE[Yt]=E[Yt]，对于每t∈ [0，T]。那么我们可以把（5.9）写成θ*t型=eg公司s（t，St）- δE[YT]+δE[YT]E[YT]，t∈ J0，T∧ τKwhere E[Yt]=Ehe-Rtγ（u，Xu）对，t∈ [0，T]。致谢作者感谢Monique Jeanblanc教授提出的宝贵意见和建议。作者还感谢国家阿尔塔材料研究所（INdAM）的laProbabilitáe le loro Applicationi（GNAMPA）通过2016/000371号项目提供的财政支持。附录A。

τ次部分信息的危险过程和鞅危险过程我们定义了τ相对于FSt的条件分布，对于每个t∈ [0，T]，asFSt=P（τ≤ t | FSt），t∈ [0，T]。根据塔式法则，很容易检查FSt=E英尺| FSt, 对于每个t∈ [0，T]。因此，对于每t，假设ft<1∈ [0，T]，也意味着每T FSt<1∈ [0，T]。现在我们介绍了P，ΓS={ΓSt，t下τ的FS危险过程∈ [0，T]}，通过设置ΓSt=- ln（1- FSt），t∈ [0，T]。（A.1）备注A.1。请注意，F-hazard过程Γ、s ee（2.7）和F-hazard过程Γ之间的关系，请参见（A.1），为giv e n bye-ΓSt=EE-Γt | FSt, T∈ [0，T]。如果Γ是连续且递增的，由Bielecki和Rutkowski[7，命题5.1.3]提出- ΓSt∧τ、 t型∈ [0，T]}是（eG，P）-鞅。然而，如果没有这些假设，我们将证明命题A.6（FS，eG）-鞅风险过程的存在性。为清楚起见，我们回顾了在我们的环境中鞅风险过程的定义。26 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLADe定义A.2。FS可预测的递增过程∧={∧t，t∈ [0，T]}称为随机时间τ的（FS，eG）鞅风险过程当且仅当过程{Ht- ∧t∧τ、 t型∈ [0，T]}遵循（例如，P）-鞅。通常，（FS，eG）-鞅风险过程与FS风险过程ΓS不一致。如果鞅不变性性质成立，即任何（FS，P）鞅都是（eG，P）-鞅，则该性质完全成立。在这种情况下，（FS，eG）-鞅危险过程唯一地规定了τ的FS生存概率。

尽管如此，我们在本文中并没有做出这一假设。为了推导τ的（FS，eG）-鞅风险过程，我们需要一些初步的结果。回想一下，给定任何细分H={Ht，t∈ G，o，HY（分别为P，HY）的[0，T]}表示给定的可积、G-适应过程Y相对于H和P的可选（分别为可预测）投影。引理a.3。给定一个P-可积、G-适应过程Y，我们得到{τ>t}o，eGYt=1{τ>t}o，FSYt{τ>t}o、 FS{τ>t}，（A.2）{τ≥t} p，eGYt=1{τ≥t} p，FSYt{τ≥t}p、 FS{τ≥t} ，（A.3）对于每个t∈ [0，T]。此外，如果Y是F-可预测的，则{τ≥t} p，eGYt=1{τ≥t} p，FSYte-Rtγudup、 FS（e-Rtγudu），t∈ [0，T]。（A.4）证明。Bielecki和Rutkowski【7，引理5.1.2】给出了如何得到公式（A.2）。为了证明（A.3），首先观察到，由于所有t∈ [0，T]，存在FS predictableprocesseY={eYt，T∈ [0，T]}使得Eyt{τ≥t} =p，eGYt{τ≥t} ，P-a。s、 对于每个t∈ [0，T]。根据可预测的投影属性，对于任何FS可预测的进程Д={Дt，t∈ [0，T]}和∈ [0，T]，我们得到ZtИseYsp，FS{τ≥s} ds公司= EZtИseYs{τ≥s} ds公司= EZtДs{τ≥s} p，eGYsds= EZtДs{τ≥s} Ysds公司= EZtИsp，FS{τ≥s} Ys公司ds公司,由于过程{Дt{τ≥t} ，t∈ [0，T]}是可预测的。现在考虑Y是F-可预测的情况。因为{o，F{τ>t}=e-Rtγudu，t∈ [0，T]}是一个连续的过程，我们得到，F{τ>T}=o，F{τ≥t} =p，F{τ≥t} ，t∈ [0，T]。单位关联人寿保险单27最后，等式（A.4）是以下等式链的结果p，FS{τ≥t} =p，FSp、 F{τ≥t}=p、 FS公司E-Rtγudu,andp，FSYt{τ≥t}=p、 FS公司Ytp，F{τ≥t}=p、 FS公司Yte-Rtγudu,每t∈ [0，T]。备注A.4。请注意，FS危害过程ΓS={ΓSt，t∈ [0，T]}，可以写成ΓSt=- ln公司o、 FS公司E-Rtγudu, T∈ [0，T]。备注A.5。

给定a（G，P）-鞅m={mt，t∈ [0，T]}和G-渐进可测过程ψ={ψT，T∈ [0，T]}使得ehrt |ψu | dui<∞, 流程编号，eGmt=Ehmt | eGti，t∈ [0，T]o和（o，eGZtψudu-Zto，例如ψudu=EZtψudueGt公司-ZtEhψueGuidu，t∈ [0，T]）是（例如，P）鞅，参见例如Ceci和Colaneri[12，备注2.1]。最后，我们给出了τ的（FS，eG）-鞅风险过程。提案A.6。死亡时间τa dmits an（FS，eG）-鞅危险过程∧={∧t，t∈[0，T]}，其中∧T：=RtγSudu，其中γS={γSt，T∈ [0，T]}是一个非负性的FS可预测过程。此外，对于每t∈ [0，T]，γSt{τ≥t} =p，eGγt{τ≥t} P- a、 s.（a.5）和γSt=p，FSγte-Rtγudup、 FS公司E-Rtγudu, T∈ J0，T∧ τK.证明。通过将备注A.5应用于（G，P）-martinga le M，见（2.8），我们得到Ht公司-Zto，例如λudu，t∈ [0，T]是（例如，P）-鞅，这意味着，考虑引理B.1，也Ht公司-Ztp，例如λudu=Ht-Zt公司∧τp，eGγudu，t∈ [0，T]是一个（如P）-鞅。因为所有t的Ft<1∈ [0，T]，对于任何一个可预测过程，h={ht，T∈ [0，T]}存在anFS可预测进程eh={eht，T∈ [0，T]}使得eht{τ≥t} =ht{τ≥t} ，每个t的P-a.s∈ [0，T]。这意味着存在一个满足（A.5）的FS可预测过程γSsuch。28 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola因此，过程{∧t=RtγSudu，t∈ [0，T]}是τsinceHt的（FS，eG）-鞅风险过程- ∧t∧τ=Ht-Rt公司∧τγSudu，对于每个t∈ [0，T]是一个（eG，P）-鞅。完成证明问题，应用引理A.3中的关系（A.4）。注意，由于Dellacherie和Meyer【2 2，第6.78章】，建议A.6确保τ是一个完全不可访问的EEG停止时间。附录B.技术成果B。1、关于部分信息下的可选和可预测预测预测。引理B.1。

给定一个G-渐进可测过程ψ={ψt，t∈ [0，T]}使得ehrt |ψu | dui<∞, thenZto，eGψudu=Ztp，eGψudu P- a、 s.t公司∈ [0，T]。证据首先，我们证明了过程U={Ut，t∈ [0，T]}由Ut给出：=Rt（o，eGψu-p、 eGψu）du，t∈ [0，T]是一个（eG，P）-鞅。根据可预测和可选预测的性质，对于任何一个可预测过程，μ={μt，t∈ [0，T]}我们得到了ZTД向上，例如ψudu= EZTДuψudu= EZTИuo，例如ψudu.通过选择Дu=1A（s，t）（u），s<t，A∈eGs，我们得到了AZts（p，eGψu-o、 eGψu）du= 最后，由于U是Revuz和Yor的有限变化过程【40，第四章，命题1.2】，U必然是常数，等于U=0，从而得出结论。为方便读者阅读，我们提供了一个版本的Kallianpur-Striebel公式，用于预测。引理B.2。如果G={Gt，t∈ [0，T]}是一个F适应的过程，因此E[GtLt]<∞, 对于anyt∈ [0，T]，然后是bp，FSGt=p，FS（GtLt）p，FSLt，T∈ [0，T]，其中L是（2.3）中给出的密度过程。与单位挂钩的人寿保险单29证明。为了证明这一结果，我们需要检查每个FS可预测流程的fo llowingQuality保持不变Zt^1sbp、FSGsp、FSLSD=是ZtДsp、FS（GsLs）ds,每t∈ [0，T]。通过两次应用Fubini定理和可预测投影的性质，对每个FS可预测过程和每个t∈ [0，T]，我们得到了Zt^1sbp、FSGsp、FSLSD=是Zt^1sGsp、FSLSD=ZtbEhИsGsp，FSLsids=ZtEhДsGsLsp，FSLsids=ZtEhДsp，FS（GsLs）p，FSLsids=ZtEhДsp，FS（GsLs）Lsids=bEZtДsp、FS（GsLs）ds,这就是证明。如果过程G是G适应的，但不一定是F适应的，那么下面的引理中会显示类似的结果。引理B.3。如果G={Gt，t∈ [0，T]}是一个G-适应过程，因此E[GtLt]<∞, 对于anyt∈ [0，T]，然后{τ≥t} bp，eGGt=1{τ≥t} p，eG（GtLt）p，eGLt，t∈ [0，T]。证据

与引理B.2的证明类似，对于每一个G-适应过程G和每一个G-可预测过程Д，我们都有Zt{τ≥s} ^1sbp、eGGsp、EGLSD=是Zt{τ≥s} ^1sGsp、eGLsds=ZtbEh{τ≥s} ^1sGsp，eGLsids=ZtEhLτs{τ≥s} ^1sGsp，eGLsids=ZtEh{τ≥s} ^1sp，eG（GsLs）p，eGLsids=ZtEh{τ≥s} ^1sp，例如（GsLs）LSID=bEZt{τ≥s} ^1sp，例如（GsLs）ds,每t∈ [0，T]。请注意，在第二行中，我们使用了Lτt=lteveryt的事实∈ J0，T∧ τK，其中Lτ是（4.8）中给出的密度过程。推论B.4。设θ={θt，t∈ [0，T]}是一个F-可预测的过程。然后，{τ≥t} bp，eGθt=1{τ≥t} bp，FS（θte-Rtγudu）bp，FS（e-Rtγudu），t∈ [0，T]、30 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAProof。通过引理B.3，我们得到{τ≥t} bp，eGθt=1{τ≥t} p，eG（θtLt）p，eGLt=1{τ≥t} p，FSθtLte-Rtγudup、 FS公司E-Rtγudu·p、 FS公司E-Rtγudup、 FS公司E-RtγuduLt（B.1）=1{τ≥t} bp，FS（θte-Rtγudu）bp，FS（e-Rtγudu）（B.2），其中在第（B.1）行中，我们使用引理A.3，在第（B.2）行中，我们使用引理B.2。B、 2。一些专业ofs。引理3.2的证明。首先，请注意Iτ是一个具有连续轨迹的平方可积过程，并且由于以下等式成立，因此Iτt=Ztσ（u，Sτu）SτudSτu-Ztp，例如uuσ（u，Sτu）du，t∈ [0，T]，结果是比格适应了。现在我们证明了Iτ是（eG，P）-鞅。由于附录B中的表B.1，我们可以使用（例如，P）-可选投影u，t ha t iso，例如u，而不是（例如，P）-可预测投影P，例如u。因此，对于每0≤ s≤ T≤ T，我们有hiτT- IτseGsi=E“Zt∧τs∧τu（u，Sτu，Xτu）-o、 eGuuσ（u，Sτu）dueGs#+EhWτt- WτseGsi。通过条件期望的性质，我们得到了hiτt- IτseGsi=ZtsEEu（u，Sτu，Xτu）σ（u，Sτu）{τ>u}-o、 eG公司uuσu{τ>u}eGu公司eGs公司du+EhEhWτt- WτsGsi公司eGsi。自E[Wτt- Wτs | Gs]=0，最终我们得到- IτseGsi=ZtsEo、 eG公司uuσu{τ>u}-o、 eG公司uuσu{τ>u}du=0。最后，考虑到hIτi=hWτi，我们应用了Lévy定理。引理5.1的证明。

回想一下，（2.4）和B中给出的过程cw是独立的（F，bP）布朗运动。由于概率测度f r om P tobP的变化是马尔可夫的，所以这对（S，X）仍然是（f，bP）-马尔可夫过程，参见Ceci和Gerardi【14，命题3.4】。然后，通过将其公式应用于函数f（t，S，X），可以很容易地计算出这对（S，X）的马尔可夫生成函数。与单位相关的人寿保险单31引理证明5.2。注意，对于任何有界可测函数f：{0，1}→ R我们得到，任何t∈ [0，T]f（Ht）=Zt（f（Hs-+ （1）- f（Hs-))dHs=Zt（f（Hs-+ （1）- f（Hs-))dMs+Zt（f（Hs-+ （1）- f（Hs-)（1）- Hs）γ（s，Xs）ds，正弦τt=ZtSrdHr+St（1- Ht），Xτt=ZtXrdHr+Xt（1- Ht），T∈ [0，T]我们得到dSτT=（1- Ht公司-)Dsand dXτt=（1- Ht公司-)dXt，T∈ [0，T]。然后，将通过It^o公式获得的马尔可夫生成函数bls，X，His应用于任何函数f（t，s，X，z）∈bC1,2,2b。命题5.8的证明。首先，观察cw是（FS，bP）布朗运动，因为以下等式保持cwt=IFSt+Ztp，FSuuσ（u，Su）du，t∈ [0，T]，其中{IFSt：=Wt+Rtu（u，Su，Xu）-p、 FSuuσ（u，Su）du，t∈ [0，T]}是所谓的创新过程，已知为（FS，bP）布朗运动（参见Liptser和Shiryaev[34]）。回顾（5.3）中给出的f（t，St，Xt，Yt）的半鞅分解，我们可以按照Ceci等人的证明进行[18，命题A.2]，并证明filterπ解方程（5.7）。滤波方程解的强唯一性，其次是算子bls，X，Y的滤波鞅问题的唯一性（参见，例如Kurtz和Ocone【31】、Ceci和Colaneri【12】、Ceci和Colaneri【13】）。准确地说，通过应用Kurtz和Ocone【31，定理3.3】，我们得到了算子bls，X，yh的过滤鞅问题的唯一解，这意味着方程（5.7）的唯一性。参考文献[1]J.Ansel和C.Stricker。

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