与单位挂钩的人寿保险政策：部分

2022-5-25 15:23:47

简介在过去几年中，单位挂钩人寿保险合同取得了巨大的成功，其驱动因素是低利率，这大大降低了传统管理层的回报率，以及关于保险监管资本的新Solvency II规则，这使得单位挂钩人寿保险在较低的资本吸收率方面对公司更有利。在这些保险产品中，保费由保险公司代表保单持有人在金融市场进行投资。因此，收益取决于股票或投资组合的表现，包括意大利佩斯卡拉市基耶蒂佩斯卡拉“G.D\'Annunzio”大学经济系Caudia Ceci（B），42岁，I-65127佩斯卡拉。卡蒂娅·科拉内里，佩鲁贾大学经济系，Via Alessandro Pascoli，20，I-06123佩鲁贾，意大利。Alessandra Cretarola，佩鲁贾大学数学和计算机科学系，Via Luigi Vanvitelli，1，I-06123佩鲁贾，意大利。电子邮件地址：c。ceci@unich.it，卡蒂亚。colaneri@unipg.it，亚历山德拉。cretarola@unipg.it.2C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola金融市场。在这些合同中，我们可以根据支付结构区分至少三种不同类型的政策：o纯捐赠合同，承诺在投保人在指定的未来日期仍然活着的情况下支付约定金额；o定期保险合同，如果保单持有人在保单期限之前死亡，则支付福利；o捐赠保险合同，是上述合同和保证保险公司将在保单期限或投保人死亡后支付福利的组合。死亡时间建模是在这种情况下需要解决的一个基本问题。

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2022-5-25 15:23:51

在此，我们提出了一个人寿保险负债建模框架，该框架也非常适合描述可违约索赔，因为死亡时间的处理方式与企业的违约时间类似。然后，我们考虑死亡率和信用风险之间的类比，并遵循简化形式方法中基于强度的方法，参见Bielecki和Rutkowski【7】及其参考文献。本文的目的是在基于一般强度的模型中研究养老保险合同的套期保值问题，其中保险公司无法观察到死亡率强度以及影响投保人利益的风险价格动态漂移。这个问题需要考虑一个合适的组合金融保险市场模型，在该模型中，我们考虑到股票价格趋势和保险组合之间的相互依赖性。准确地说，我们考虑了一个简单的金融市场模型，其中无风险资产的贴现价格等于1，风险资产的贴现价格过程由S表示。价格过程S由几何差异表示，其漂移取决于外部不可观测的

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2022-5-25 15:23:54

该技术广泛应用于信用风险的简化模型，如Bielecki等人【8、9、11】、Elliott等人【23】、Kusuoka【32】。此外，Bia-gini等人【5】、Barbarin等人【2】、Choulli等人【2 0】、Li和Szimayer等人【33】在一个完整的信息环境中可以找到保险问题的应用。在这里，我们考虑扩大过滤F，使τ成为停止时间，并用G表示。保险公司可用的信息由G的子过滤表示，G包含S的自然过滤，并确保τ仍然是惊人的时间。这意味着，在任何时候，保险人都可以观察风险资产的价格，并知道投保人是否还活着。在金融证券和保险政策给出的不完全混合市场模型中，养老保险合同可以视为未定权益。然后，我们在与货币挂钩的人寿保险单中选择二次套期保值方法，即局部风险最小化方法（有关更多详细信息，请参见Schweizer[43]）。这种技术的思想是在一系列通常不一定是自我融资的可接受策略中，找到一种最佳的对冲策略，以最小的成本完美地重复给定的或有权益。局部风险最小化对冲策略可以通过代表给定未定权益支付的随机变量的F"ollmer-Schweizer分解来描述，参见Schweizer[42，43]了解完整信息案例，以及Ceci等人[15，18]了解不完整信息。这种二次套期保值方法已成功应用于保险产品的套期保值问题，参见Biagini等人【5，6】、Choulli等人【20】、Dahl和Moller【21】、Moller【35，36】、Vandaele和Vanmaele【46】，了解完整信息案例和Ceci等人。

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2022-5-25 15:23:58

[17] 在部分信息下。据我们所知，这是第一次在不假设金融市场和保险市场独立的情况下，在部分信息下研究与单位挂钩的人寿保险单的套期保值问题。与Bielecki等人【10】、Biagini和Cretarola【4】类似，我们假设套期保值在保单持有人死亡τ和到期日T之间的较早者之后停止：这允许使用停止的价格过程，并保证驱动金融市场的停止的布朗运动对于扩大的过滤也是布朗运动。因此，我们不需要假设鞅不变性质，也称为H假设，参见Bielecki和Rutkowski[7]。然后，我们引入了部分信息下的（停止的）F"ollmer-Schweizer分解以及与最小鞅测度相关的Galtchouk-Kunita-Watanabe分解，并且在命题4.9和定理4.13中，我们根据这些分解中的被积函数刻画了最优策略。从这个意义上讲，我们将在Biagini和Cretarola[4]中获得的结果扩展到了部分信息框架。此外，定理4.14和4。15通过可预测的预测，提供最佳套期保值策略次部分信息与完全信息下的关系。在死亡率强度取决于不可观测的

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nandehutu2022

2022-5-25 15:24:01

[17] 在金融和保险市场相互依存的假设下。pap er的组织结构如下。在第2节中，我们通过逐步扩大过滤，在部分信息场景中介绍了组合金融保险市场模型。第3节分别给出了关于扩大过滤G和G的已停止风险资产价格过程的半鞅分解。在第4节中，我们通过可预测的预测为给定养老保险合同在不完全信息下的局部风险最小化对冲策略提供了一个封闭的公式。最后，在第5节中，我们在马尔可夫框架中讨论了该问题，其中死亡率强度取决于不可观察的随机因素，并应用过滤方法计算了最佳Hedging 4 C.CECI、K.COLANERI和a.Cretarola策略。此外，我们在附录A中讨论了限制信息下τ的危险过程和鞅危险过程问题。部分信息下的可选和可预测预测预测的一些技术结果和某些证明可在附录B中找到。2、设置我们考虑的是一家保险公司希望对冲与单位挂钩的人寿保险合同的问题。这类合同与金融市场有着密切的联系。事实上，政策的价值取决于基础股票或投资组合的表现。此外，italso dep在投保人的剩余寿命内结束。因此，解决这一问题的最合适方法是构建一个综合金融保险市场模型，并将人寿保险单视为或有索赔。

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2022-5-25 15:24:04

我们将通过逐步扩大过滤方法来确定合适的建模框架，该方法考虑到金融市场和保险组合之间可能存在的依赖性。首先，我们介绍了基本的金融市场模型。2.1。金融市场模型。让(Ohm, F、 P）是一个完全概率空间，具有过滤F={Ft，t∈ [0，T]}，其中T表示固定和有限的时间范围，例如F=F，F={Ohm, }. 在上(Ohm, F、 P），我们定义了两个一维独立（F，P）布朗运动W={Wt，t∈ [0，T]}和B={Bt，T∈ [0，T]}，W=B=0。Wesuppose thatF=FW∨ FB，其中fw和FB分别表示过程W和B的自然过滤。此外，我们假设F满足完整性和右连续性的通常假设。关于给定概率空间(Ohm, F、 P），我们考虑一个简单的金融市场，其中包括一个无风险资产，其价格过程在任何时候都假定为等于1，以及一个有风险资产，其（贴现）价格过程S={St，t∈ [0，T]}根据以下随机微分方程发展，其中X={Xt，T∈ [0，T]}是一个不可观测的外生

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2022-5-25 15:24:07

这里，系数u，b是R值可测函数，σ，a是R+值可测函数，因此方程组（2.1）和（2.2）允许唯一强解，参见例如Oksendal【38，第5章】。我们假设以下条件在本文中始终有效：假设2.1。与单位挂钩的人寿保险单5（i）EZT公司|u（u，Su，Xu）|+σ（u，Su）杜邦< ∞;（二）u（t，St，Xt）σ（t，St）< c、 P-a.s.，f或每t∈ [0，T]，其中c为正常数。尤其需要假设2.1的条件（ii）以避免技术性问题。我们观察到FS∨ 外汇 F、其中FS={FSt，t∈ [0，T]}和FX={FXt，T∈ [0，T]}分别表示过程S和X的自然过滤，并且（S，X）对是（F，P）-马尔可夫过程。为了排除不利因素，我们假设S的所有等价市场指标集均为非空且包含多个元素，因为X不代表任何可交易资产的价格，因此金融市场是不完整的。精确地说，每个等价概率测度Q都有以下密度LQ={LQt，t∈ [0，T]}，由qt给出：=dQdPFt=EZ-u（u，Su，Xu）σ（u，Su）dWu+Z.ψQudBut、 t型∈ [0，T]，其中ψQ={ψQt，T∈ [0，T]}是一个F-可预测的过程，使得lqt变成（F，P）鞅。这里E（Y）表示（F，P）-半鞅Y的Doléans-Dade指数。对于每t，选择ψQt=0∈ [0，T]对应于S的所谓最小鞅测度（参见F"ollmer和Schweizer[24]），由BP表示，其密度过程L={Lt，T∈ [0，T]}，由T定义：=dbPdPFt=EZ-u（u，Su，Xu）σ（u，Su）dWut、 t型∈ [0，T]。（2.3）假设2.1的条件（ii）表明L是平方可积（F，P）-鞅。

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2022-5-25 15:24:10

作为Girsanov定理的一个序列，我们得到过程cw={cWt，t∈ [0，T]}，由cwt给出：=Wt+Ztu（u，Su，Xu）σ（u，Su）du，T∈ [0，T]，（2.4）是（F，bP）-布朗运动。2.2。综合金融保险市场模型。设τ为a岁个体的剩余寿命。这里τ是一个非负随机变量τ：Ohm → [0，T]∪ {+∞} 对于每t，满足P（τ=0）=0且P（τ>t）>0∈ [0，T]。因为，我们只考虑一个投保人，我们忽略了年龄的限制。然后，我们将相关的死亡指标过程定义为H={Ht，t∈ [0，T]}，其中ht=1{τ≤t} ，t∈ [0，T]，（2.5）和FH={FHt，T∈ [0，T]}表示H的自然过滤。请注意，τ是过滤FH的停止时间，但不一定是过滤F.6的停止时间。C.CECI，K.COLANERI和a.CRETAROLALet G={Gt，T∈ [0，T]}是GT给出的放大过滤：=英尺∨ FHt，t∈ [0，T]。这是包含F的最小过滤，因此τ是G-停止时间。在此框架中，初始市场可能与死亡时间τ相关。金融市场和τ之间的关系用给定Ft的τ的条件分布表示，对于每个Ft∈ [0，T]，定义为过程F={Ft，T∈ [0，T]}由ft=P（τ）给出≤ t | Ft）=E【Ht | Ft】，t∈ [0，T]。（2.6）注意，0≤ 英尺≤ 每t 1个∈ [0，T]。在续集中，我们将假设Ft<1∈ [0，T]；这排除了τ是F-停止时间的情况，更多详情参见Bielecki和Rutkowski【7】。在续篇中，我们定义了所谓的随机时间τ的危险过程。定义2.2。τ在P下的F-hazard过程是n负过程Γ={Γt，t∈ [0，T]}定义为ΓT=- ln（1- Ft），t∈ [0，T]。（2.7）在本文中，我们假设Γ具有密度，即。

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大多数88

2022-5-25 15:24:15

Γt=Rtγudu，对于每t∈ [0，T]，对于一些非负F-可预测过程γ={γT，T∈ [0，T]}使得EhRTγudui<∞. 过程γ称为F-死亡率强度或F-死亡率，F-存活过程由P（τ>t | Ft）=e给出-Rtγudu，t∈ [0，T]。现在，我们引入与τ相关的（F，G）-鞅风险过程的概念。定义2.3。F-p可预测右连续递增过程∧={∧t，t∈ [0，T]}称为随机时间τ的（F，G）-鞅危险过程当且仅当过程mt=Ht- ∧t∧τ、 t型∈ [0，T]是一个（G，P）-鞅。备注2.4。众所周知，一般来说，F-hazard过程和（F，G）-鞅hazard过程并不重合。然而，F-死亡率强度的存在确保了F的过程是连续的和递增的。然后，由Bielecki和Rutkowski[7，命题6.2.1]我们得到，Γ也是一个（F，G）-鞅风险过程，因此，过程m={Mt，t∈ [0，T]}定义为MT=Ht- Γt∧τ=Ht-Zt公司∧τγudu=Ht-Ztλudu，t∈ [0，T]，（2.8），其中λT=γT{τ≥t} =γt（1-Ht公司-), 是（G，P）-鞅。此外，Dellacherie和Meyer【22，第6.78章】，τ是一个完全不可接近的G-停止时间。单位关联人寿保险单7我们假设保险公司发行单位关联人寿保险单。在这些合同中，保险收益取决于金融市场上某些特定交易股票的价格，以及投保人的剩余寿命。因此，保险公司面临财务和死亡风险。确切地说，我们考虑的是到期日为年的养老保险合同，其定义如下。定义2.5。

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2022-5-25 15:24:19

养老保险合同的特征是一个三元组（ξ，Z，τ），其中o随机变量ξ∈ L（FST，P）是到期时支付的金额，如果投保人在T时间T仍然活着；op进程Z={Zt，t∈ [0，T]}表示在死亡时间τ立即支付的金额；这里，Z被认为是平方可积的，FS是可预测的；oτ是死亡时间。备注2.6。如果Z=0，养老保险合同减少为所谓的定期保险合同，在T之前生存的情况下支付金额ξ，如果ξ=0，则获得纯养老合同的支付，如果T之前死亡，则在随机时间τ提供金额Zτ。我们用N={Nt，t表示∈ [0，T]}对最终保险合同产生的支付流进行建模的过程，即Nt=Zτ{τ≤t} =ZtZsdHs，0≤ t<t，且NT=ξ1{τ>t}，t=t.（2.9）2.3。信息级别。我们考虑保险公司没有完整的市场信息的情况。准确地说，我们假设它既不能观察到影响风险资产价格过程S行为的随机因素X，也不能观察到驱动P（S，X）动态的布朗运动W和B。特别是，这意味着保险人并不完全知道τ的F死亡率γ。例如，γ可能依赖于不可观测的

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大多数88

2022-5-25 15:24:24

因此，可用信息由filtrationeg={eGt，t∈ [0，T]}，由egt给出：=FSt∨ FHt，t∈ [0，T]。自FS以来 F、我们有 G、我们在整篇文章中假设，所有过滤都满足完整性和右连续性的常见假设。关于部分信息下τ的风险过程和鞅风险过程的一些结果见附录A.8 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAIn。在续集中，我们将讨论以信息流为特征的部分信息环境下养老保险合同（ξ、Z、τ）的套期保值问题。由于套期保值在时间T或τ（以先到者为准）停止，因此考虑停止的贴现价格过程是有意义的。这也意味着我们可以在不假设过滤F和G之间的所谓鞅不变性的情况下工作，这就确定了每个F-鞅也是一个G-鞅。当考虑过滤的放大时，通常会假设鞅不变性。据我们所知，文献中只有少数论文没有提出这一假设，例如，参见《保险框架》中的Barbarin[3]，Choulli等人[2 0]，以及《信用风险设定》中的Biagini和Cretarola[4]。3、停止风险资产价格过程的半鞅分解在本节中，我们提供了停止过程价格过程的半鞅分解τ={St∧τ、 t型∈ [0，T]}分别针对信息流G和G，我们证明，在适当的条件下，Sτ满足随机区间J0，τ上关于两个ndeG的所谓结构条件∧ T K，参见示例。

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2022-5-25 15:24:27

Schweizer【41，第1节，第1540页】了解更多详情。停止价格过程的结构条件是计算最小鞅测度和正交分解的相关工具，可以刻画完全和部分信息下的最优套期保值策略。此外，Sτ相对于信息流的半鞅分解允许将部分信息下的套期保值问题减少为完全信息问题，其中所有涉及的过程都是自适应的。备注3.1。

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2022-5-25 15:24:31

回想一下，如果（2.6）中给出的过程F在增加，对于任何给定的F-可预测（F，P）-鞅，m={mt，t∈ [0，T]}，停止的进程mτ={mt∧τ、 t型∈ [0，T]}是一个（G，P）鞅，参见Bielecki和Rutkowski[7，引理5.1.6]。由于F在我们的设置中增加，两个过程Wτ={Wt∧τ、 t型∈ [0，T]}和Bτ={Bt∧τ、 t型∈[0，T]}是J0，τ上的（G，P）-鞅∧ 此外，利用Lévy定理，我们得到Wτ和Bτ是J0，τ上的（G，P）-布朗运动∧ 因此，T K和in tegra l过程ZtДsdWτs，t∈ [0，T]和ZtИsdBτs，t∈ [0，T]任何G-可预测过程的（G，P）-（局部）鞅φ={φt，t∈[0，T]}。通过备注3.1，我们得到停止过程Sτ是a（G，P）-半鞅，可分解为局部平方可积（G，P）-局部鞅和a（G，P）-有限变化可预测过程之和，在零处为零，即Sτt=S+Zt∧τSτuu（u，Sτu，Xτu）du+Zt∧τSτuσ（u，Sτu）dWτu，t∈ [0，T]，与单位挂钩的人寿保险单9，其中xτT=x+Zt∧τb（u，Xτu）du+Zt∧τa（u，Xτu）hρdWτu+p1- ρdBτui，t∈ [0，T]。由于SτiseG已调整，因此它还允许对信息流进行半鞅分解，这将在下文通过（3.1）中定义的（停止的）创新过程iτ进行计算。给定任何细分H={Ht，t∈ [0，T]}对于G，我们将使用符号no，HY（分别为P，HY）来表示给定P-可积、G-适应过程Y相对于H和P的可选（分别为可预测）投影，定义为唯一的H-可选（分别为H-可预测）过程，例如o，HYbτ=E[Ybτ| Hbτ]P-a.s。

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2022-5-25 15:24:35

（分别为p，HYbτ=E[Ybτ| Hbτ-] P-a.s.）在{bτ<∞}对于每个H-可选（分别为H-可预测）停止时间bτ。此外，在续集中，我们分别表示过程{u（t，Sτt，Xτt），t∈ [0，T]}关于信息流。引理3.2。在假设2.1下，过程Iτ={Iτt，t∈ [0，T]}由iτT定义：=WτT+Zt∧τu（u，Sτu，Xτu）-p、 eGuuσ（u，Sτu）du，t∈ [0，T]，（3.1）是J0，τ上的（eG，P）-布朗运动∧ T K.证明推迟到附录B.2。引理3.2允许得到以下的半鞅分解：Sτ，Sτt=S+Zt∧τSτup，例如uudu+Zt∧τSτuσ（u，Sτu）dIτu，t∈ [0，T]，即局部平方可积（eG，P）-局部鞅和（eG，P）-可预测的有限变化过程之和均为零。此外，Sτ满足过滤G和G的结构条件。精确地说，Sτt=S+MGt+Zt∧ταGudhMGiu，t∈ J0，τ∧ T K，SτT=S+MeGt+Zt∧ταeGudhMeGiu，t∈ J0，τ∧ T K，其中MG={MGt，T∈ [0，T]}和MeG={MeGt，T∈ [0，T]}分别是局部平方可积（G，P）-局部鞅和（eG，P）-局部鞅，由mgt给出：=Zt∧τSτuσ（u，Sτu）dWτu，MeGt：=Zt∧τSτuσ（u，Sτu）dIτu，t∈ [0，T]，（3.2）10 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，αG={αGt，T∈ [0，T]}和αeG={αeGt，T∈ [0，T]}是G-可预测和G-可预测过程，分别由αGt：=u（T，SτT，XτT）SτTσ（T，SτT），αeGt：=p，eGutSτTσ（T，SτT），T∈ [0，T].4。部分信息下支付流的局部风险最小化第2节中概述的综合金融保险市场模型不完整。

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2022-5-25 15:24:38

这种情况经常发生在保险框架中，由于存在完全无法访问的死亡时间，风险来源的数量通常大于可交易风险资产的数量。此外，不可观察的随机因素X带来了额外的随机性。这意味着经典意义上的自我融资对冲策略不存在。本节的目标是为养老保险合同相关支付流（ξ，Z，τ）提供受限信息下的局部风险最小化对冲策略，并讨论在完全信息下与相应最优对冲策略的关系。在续篇中，我们定义了在完全和部分信息下可接受的套期保值策略的类别。定义4.1。空间ΘF，τ由所有R值F-可预测过程θ={θt，t组成∈J0，T∧ τK}满足“ZT”∧τ（θuσ（u，Sτu）Sτu）du+ZT公司∧τ|θuu（u，Sτu，Xτu）Sτu | du#< ∞.定义4.2。空间ΘFS，τ由所有R值FS可预测过程θ={θt，t组成∈J0，T∧ τK}满足“ZT”∧τ（θuσ（u，Sτu）Sτu）du+ZT公司∧τ|θ向上，例如uuSτu | du#< ∞.备注4.3。注意，对于θ∈ ΘF，τ（分别为θ∈ ΘFS，τ），我们得到（i）Zt∧τθudSu=ZtθudSτu，对于每t∈ [0，T]，见Dellacherie和Meyer[22，第八章，方程式3.3]；（二）整体过程ZtθudSτu，t∈ [0，T]是一个（G，P）-半鞅（分别是（eG，P）半鞅），参见Pro k horov和Shiryaev[39，第3.II章]。定义4.4。

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nandehutu2022

2022-5-25 15:24:41

（F，G）-策略（各自的l y（FS，eG）-策略）是一个双时间过程Д=（θ，η），其中θ∈ ΘF，τ（分别为θ∈ ΘFS，τ）和η是实值G-适应（分别适应）过程，因此相关的值过程V（Д）：=θSτ+η是完全连续的，并且在J0，T上是平方可积的∧ τK.UNIT-LINKED LIFE INSURANCE Policys 11注意，（F，G）-策略（分别为（FS，eG）-策略）的第一个组成部分θ表示投资组合中风险资产的数量，是F-可预测的（分别为FS-可预测的），而投资于无风险资产的金额η是G-ada pted（分别为适应的）。这反映了交易者根据其对资产价格的了解在投资者去世前投资风险资产的自然情况，并根据死亡信息重新平衡投资组合。根据Schweizer【44】，我们为每个可接受的策略分配一个成本过程。定义4.5。（F，G）-策略（分别为（FS，eG）-策略）的成本过程C（Д）Д=（θ，η）由ct（Д）给出：=Nt+Vt（Д）-ZtθudSτu，t∈ J0，T∧ τK，（4.1），其中N在（2.9）中定义。如果（F，G）-策略（分别为（FS，eG）-策略）的成本过程c（ν）是（G，P）-鞅（分别为（FS，eG）-鞅），则称为平均自我融资。文献中众所周知（参见Moller【36】、Schweizer【44】、Biagini和Cretarola【4】），本地风险最小化方法对支付流的自然扩展需要寻找满足0-实现属性的可接受策略，即Vτ∧T（Д）=0，P- a、 s。。然后，通过Schweizer【44，定理1.6】，我们提供了LocalRyrisk最小化策略的以下等效定义。定义4.6。设N为（2.9）中给出的与养老保险合同（ξ，Z，τ）相关的支付流。

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2022-5-25 15:24:46

我们认为，如果（i）ν为0-实现且平均自我融资，（ii）成本过程C（ν）（4.1中定义）与sτ的G-鞅部分MG（分别为eG-鞅部分MeG）强正交，则（F，G）-策略（分别为FS，eG）-策略）为（F，G）-局部风险最小化（分别为（FS，eG）-局部风险最小化）。局部风险最小化对冲策略可以通过部分信息下与人寿保险合同相关的支付流的F"ollmer Schweizer分解来描述。我们回顾了关于G和G的平方可积随机变量的停止F"ollmer-Schweizer分解的定义。定义4.7（停止F"ollmer-Schweizer对G的分解）。给定随机变量ζ∈ L（GT，P），我们说，如果存在过程ssθF，ζ允许停止的F"ollmer-Schweizer分解∈ ΘF，τ，a平方可积（G，P）-鞅AG=12 C.CECI，K.COLANERI和a.CRETAROLA{AGt，t∈ J0，T∧ τK}零，与（3.2）和ζ中给出的Sτ，MG的鞅部分强正交∈ R使得ζ=ζ+ZTθFudSτu+AGT∧τ、 P- a、 s。。（4.2）定义4.8（停止F"ollmer-Schweizer对toeG的分解）。给定随机变量ζ∈ L（eGT，P），我们说，如果存在一个过程θFS，ζ允许停止的F"ollmer-Schweizer分解∈ ΘFS，τ，a平方可积（eG，P）-鞅AeG={AeGt，t∈ J0，T∧ τK}零，与Sτ、MeG的鞅部分强正交，在（3.2）和ζ中给出n∈ R使得ζ=ζ+ZTθFSudSτu+AeGT∧τ、 P- a、 s。。（4.3）在假设2.1下，平均方差权衡过程es K={Kt，t∈ [0，T]}andeK={eKt，T∈ [0，T]}在G和G下，分别由kt定义：=Zt（αGu）dhMGiu，eKt：=Zt（αeGu）dhMGiu，T∈ [0，T]在T和ω中统一有界。

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2022-5-25 15:24:51

这保证了每个平方可积随机变量的分解（4.2）和（4.3）的存在，参见例如Schweizer【41，第5节】和其中的参考文献。F"ollmer-Schweizer分解存在的其他类型的有效条件可以在Schweizer【42】、Monat和Stricker【37】、Choulli等人【19】和Ceciet等人【15】中找到。以下命题给出了最优套期保值策略的特征。提案4.9。设N为与捐赠保险合同（ξ，Z，τ）相关的付款压力。然后，N接受（FS，eG）-局部风险最小化策略*= （θ*, η*) 如果且仅限于ifNT∧τ=ξ1{τ>T}+Zτ{τ≤T}承认F"ollm er Schweizer d与respec T toeG的合成停止，即NT∧τ=ζ+ZTθFSudSτu+AeGt∧τP- a、 s。。（4.4）最后，战略*由θ显式给出*= θFS，η*= V（Д）*) - θFSSτ，（4.5），带值过程vt（Д*) = ζ+ZtθFSudSτu+AeGt- Nt，t∈ J0，T∧ τK，（4.6）和最小成本ct（Д*) = ζ+AeGt，t∈ J0，T∧ τK.（4.7）单位关联人寿保险单13证明。比亚基尼（Biagini）和克雷塔罗拉（Cretarola）[4，Propo sitio n 3.7]的证明如下，分别用EG和FS替换过滤G和F。准确地说，如果NT∧τ停止了F"ollmer-Schweizer分解，关于toeG（4.4），然后（4.5）和（4.6）定义了（FS，eG）-成本策略（4.7）。很容易看到t C（Д*) 是鞅*是0-a实现，因此*是一种（FS，eG）-局部风险最小化策略。对于相反的含义，请注意，如果Д是（FS，eG）-局部风险最小化，那么它是0-实现和平均自我融资，我们得到∧τ=CT∧τ（Д）+ZTθudSτu=C（Д）+ZTθudSτu+（CT∧τ（Д）- C（Д）），相当于（4.4），其中ζ：=C（Д），θFS：=θ，AeG：=C（Д）- C（Д）。最后注意到Aegis与Sτ的theeG鞅部分强正交，从而得出结论。4.1。

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2022-5-25 15:24:54

通过Galtchouk Kunita Watanabe分解的最优策略。当τ连续且满足结构条件时，可以通过切换到最小鞅测度来计算给定平方可积随机变量相对于Sτ的（停止）F"ollmer-Schweizer分解。在下文中，我们提供了适用于第2节中概述的组合金融保险市场模型的最小鞅测度的定义。定义4.10。如果P下的任何平方可积（G，P）-鞅（与（3.2）中给出的Sτ，Mg的可分部分强正交）也是（G，bP）-鞅，则Sτ的鞅测度P等价于具有平方可积密度的P。确定过程Lτ={Lτt，t∈ [0，T]}通过设置lτT=dbPdPGτ∧t： =E-Z·u（u，Sτu，Xτu）σ（u，Sτu）dWτuT∧τ、 t型∈ [0，T]。（4.8）根据假设2.1的条件（ii），我们得到Lτt∈ L（Gt，P），对于每t∈ [0，T]。应用Ansel和Stricker[1]中的结果，我们得到（4.8）中给出的BP对应于最小鞅测度。根据Girsanov定理，过程cWτ={cWτt，t∈ [0，T]}，由cwτT定义：=WτT+Zt∧τu（u，Sτu，Xτu）σ（u，Sτu）du，t∈ [0，T]是（G，bP）-布朗运动。注意，在随机区间J0，T上，Lτ和cwτ与过程L和cw重合，分别在（2.3）和（2.4）中给出∧ τK.14 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLARemark 4.11。我们还可以通过设置Dbqdp来确定Sτ相对于信息流的最小鞅测度BqeGτ∧T： =E-Z·αeGudMeGuT∧τ=E-Z·p，例如uuσ（u，Sτu）dIτu！T∧τ。由于Sτ具有连续的轨迹，bQ与Bp overeGτ的限制一致∧T、参见，例如Ceci等人【18，引理4.3】。

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mingdashike22

2022-5-25 15:25:03

实际上，通过（3.1）Iτt+Zt∧τp，例如uuσ（u，Sτu）du=Wτt+Zt∧τu（u，Sτu，Xτu）σ（u，Sτu）du=cWτt，t∈ [0，T]，因此，这影响了过程（iτT+Zt∧τp，例如uuσ（u，Sτu）du，t∈ [0，T]）是一个（例如，bP）-布朗运动，因为它是g适应的。在下文中，我们表明，与养老保险合同（ξ，Z，τ）相关的支付流N的F"ollmer-Schweizer分解确实与其在最小鞅测度下的Galtchouk-Kunitawatabe分解一致，这更容易描述。为方便读者阅读，我们回顾了一个R值局部鞅的Galtchouk Kunita Watanabe分解的定义，该分解适用于此设置。定义4.12（Galtchouk Kunita Watanabe分解）。

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2022-5-25 15:25:06

任意R值G-局部鞅（分别为bg-局部m-鞅）ζ={ζt，t∈ J0，T∧ τK}允许关于SτunderbP的Galtchouk Kunita Watanabedecomposition，也就是说，它可以唯一地写为ζt=ζ+Zt‘θudSτu+’At，bP- a、 s.，t∈ J0，T∧ τK，其中ζ∈ R、 θ={θt，t∈ J0，T∧ τK}是一个G-可预测（分别为bg-可预测）的过程，例如{Rt\'\'θuσ（u，Sτu）Sτu）du，t∈ J0，T∧ τK}是局部lybp可积的且'A={'At，t∈ J0，T∧ τK}是（G，bP）-局部鞅（分别是（bG，bP）-局部鞅）零，与Sτ强正交。考虑与养老保险合同相关的支付流N（ξ，Z，τ），并确定过程bv={bVt，t∈ J0，T∧ τK}通过设置bvt：=bhnt∧τ| eGti，t∈ J0，T∧ τK，其中eGtidenotes对于每个t，abP可积随机变量Y关于tobP和σ-代数Egt的条件期望∈ [0，T]。由于Sτ是a（例如，bP）-鞅和bvt，因此与单位相关的人寿保险单15∈ L（eGt，bP），每t∈ J0，T∧ τK，则BV允许关于Sτ的Galtchouk Kunita Watanabe分解，在BVT=bE[NT]给出的（例如，bP）下∧τ] +中兴通讯θudSτu+bAt，t∈ J0，T∧ τK，（4.9），其中eθ={eθt，t∈ J0，T∧ τK}是关于Sτ，bA={bAt，t的aeG可预测可积过程∈ J0，T∧ τK}在时间零点是（例如，bP）-鞅零，与Sτ强正交。通常可以用FS可预测的过程bθ替换θ，这样1{τ≥t} eθt=1{τ≥t} bθt，对于每个∈ [0，T]。然后，方程（4.9）可以写成bvt=be[NT∧τ] +ZtbθudSτu+bAt，t∈ J0，T∧ τK.（4.10）定理4.13。设N为（2.9）给出的与最终owmentinsurance合同（ξ，Z，τ）相关的付款流。

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2022-5-25 15:25:09

如果NT∧τ允许一个停止的F"ollmer-Schweizer分解∈ ΘFS，τandbA是时间零点的平方可积（例如，P）-鞅零，与Sτ，MeG的鞅部分强正交，然后（4.10）对于t=t∧ τ给出了NT的stoppedF"ollmer-S c hweizer分解∧τ相对于toeG。证据该证明遵循Biagini和Cretarola【4，定理3.9】或Schweizer【43，定理3.5】的证明，将过滤G和F分别替换为EG和FS。上述定理证明了最优套期保值策略的存在性。现在，我们需要一个更明确的特征，该特征允许计算定义2.5中给出的任何形式（ξ，Z，τ）的单位关联人寿保险合同的局部风险最小化策略。在续集中，给定G的任何细分H，符号bP，HY指的是agivenbP可积G-适应过程Y的（H，bP）-可预测投影。下面的命题4.1 4提供了NT的Galtchouk KunitaWatanabe分解中被积函数的表示∧根据完全信息下相应的Galtchouk Kunita Watanabe分解，以及定理4.15将给出部分信息下保险索赔（ξ，Z，τ）的局部风险最小化策略的特征。提案4.14。设N为（2.9）给出的付款流，与捐赠保险合同（ξ，Z，τ）相关，并假设NT∧τ和Sτ为BP平方可积。考虑NT的Galtchouk-K unita Watanabe分解∧τ相对于（G，bP），即NT∧τ=bE[NT∧τ] +ZTbθFudSτu+bAGT∧τ、英国石油公司- a、 s.，（4.11），其中bθF是一个F-可预测过程RT公司∧τbθFuσ（u，Sτu）Sτu杜邦< ∞ andbAG={bAGt，t∈ J0，T∧ τK}是零处与Sτ16强正交的（G，bP）-鞅零。

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2022-5-25 15:25:14

新界克雷塔罗拉∧τ具有以下关于（例如，bP）NT的Galtchouk Kunita Watanabe分解∧τ=bE[NT∧τ] +ZTbθFSudSτu+bAeGT∧τ、英国石油公司- a、 s.，（4.12），其中bθFSt=bp，FS（bθFte-Rtγudu）bp，FS（e-Rtγudu），t∈ J0，T∧ τK，（4.13）和（eG，bP）-鞅baeg={bAeGt，t∈ J0，T∧ τK}由Baegt=bEhbAGt给出eGti+bEZt（bθFu-bθFSu）dSτueGt公司, T∈ J0，T∧ τK.（4.14）证明。根据推论B.4，如果Bθfssaties（4.13），则BθFSt=bp，eGbθFt，t∈ J0，T∧ τK。通过分解（4.11），我们可以∧τ=bE[NT∧τ] +ZTbp，eGbθFudSτu+eAT∧τ+bAGT∧τ、英国石油公司- a、 s.，（4.15），其中ea={eAt，t∈ J0，T∧ τK}，由eat给出：=Zt（bθFu-bθFSu）dSτu=Zt（bθFu-bp，eGbθFu）dSτu，t∈ J0，T∧ τK是平方积分（G，bP）-鞅。这是Sτ是（G，bP）鞅的结果，并且，根据Jensen不等式，以下等式成立ZT公司∧τbθFSuσ（u，Sτu）Sτu杜邦=是ZT公司bp，eGbθFuσ（u，Sτu）Sτu{τ≥u} 杜邦≤是ZTbp，例如bθFuσ（u，Sτu）Sτu{τ≥u}杜邦=是ZT公司∧τbθFuσ（u，Sτu）Sτu杜邦< ∞.根据（4.14），关于toeGT的调节（4.15）∧τyieldsNT∧τ=bE[NT∧τ] +ZTbp，eGbθFudSτu+bEheAT∧τ+bAGT∧τ| eGT∧τi=bE[NT∧τ] +ZTbp，例如θFudSτu+bAeGT∧τ。这提供了NT的Galtchouk Kunita Watanabe分解∧τ关于（eG，bP），我们证明了平方可积（eG，bP）-鞅baegi与Sτ强正交。请注意，Baegsatiesbe贝格特∧τZT∧τИudSτu= 0，针对alleG可预测流程的单位关联人寿保险17∧τИudhSτiui<∞, i、 e.bAeGiseG-弱正交于Sτ，参见Ceci等人【16】中的定义2.1。

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2022-5-25 15:25:17

事实上，根据塔式规则贝格特∧τZT∧τИudSτu=是巴格特∧τZT∧τИudSτu+是吃∧τZT∧τИudSτu.右侧的两个项均为零：第一个项是因为B与Sτ强烈正交，第二个项后面是下面的计算，即吃∧τZT∧τИudSτu=是ZT公司∧τИu（bθFu-bp，eGbθFu）dhSτiu=是ZT公司∧τИu（bθFu-bp，eGbθFu）σ（u，Sτu）（Sτu）du= 0，因为{σ（t，Sτt）Sτt，t∈ J0，T∧ τK}具有连续的轨迹。最后，Baegiseg和Sτ之间的强正交性之后是自Cebaegiseg适应以来的弱正交性（见Ceci等人[16，备注2.4]）。定理4.15。设N为（2.9）给出的支付流，与养老保险合同（ξ，Z，τ）相关，假设2.1的条件（i i i）成立。然后，NT∧τ允许对bo theG和G进行停止的F"ollmer-Sc-hweizer分解，即NT∧τ=bE[NT∧τ] +ZTθFSudSτu+AeGT∧τ、 P- a、 s.，NT∧τ=bE[NT∧τ] +ZTθFudSτu+AGT∧τ、 P- a、在分解过程中，θFS=bθFS，AeG=bAeG，θF=bθFand AG=bAGgiven（4.11）和（4.12）。Ifin添加，NT∧τ和Sτ是BP平方可积的，那么（FS，eG）-局部风险最小化策略*= （θ*, η*) 因为N由θ给出*t=θFSt=bp，FSθFte-Rtγudubp，FSE-Rtγudu, T∈ J0，T∧ τK，（4.16）η*t=Vt（Д*) - θ*tSτt，t∈ J0，T∧ τK和最优v值过程v（ν*) 由VT（Д）给出*) =bE[新台币∧τ] +Ztθ*udSτu+AeGt- Nt，t∈ J0，T∧ τK，其中Aegt=bEhAGteGti+bEZtθFudSτueGt公司-Ztθ*udSτu，t∈ J0，T∧ τK.18 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAProof。在假设2.1的条件（ii）下，我们得到了NT的F"ollmer-schweizerdecompositions的存在性∧τ相对于G和G。通过定理4.13和命题4.14，我们得到（4.11）和（4.12）给出了NT的F"ollmer-Schweizer分解∧τ分别相对于G和G。最后，结果由命题4.9得出。

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2022-5-25 15:25:20

表示法（4.16）要求了解过程θF，即（F，G）-局部风险最小化策略的第一部分。为了描述过程θF，定义过程bvg={bVGt，t∈ J0，T∧ τK}通过设置bvgt：=bE[NT∧τ| Gt]，t∈ J0，T∧ τK.（4.17），然后通过（4.11）过程bvgadmits Galchouk Kunita Watanabe分解，由bvgt=bE[NT∧τ] +ZtθFudSτu+AGt，t∈ J0，T∧ τK，其中AG=bag是时间零点的平方可积（G，bP）-鞅零，与τw.r.t.bP强正交。通过对等式两边关于Sτ的可预测协变量的分析，我们得到θFt=dhbVG，SτibPtdhSτibPtt∈ J0，T∧ τK，（4.18），其中h·，·ibp表示最小鞅测度下的可预测协变量过程bp。现在我们必须面对计算过程hbVG，SτibP的任务。在下一节中，我们将分析马尔可夫环境中的一些示例，其中我们能够在完全和部分信息下给出对冲策略θFand和θFs的明确表示。一个应用：F-死亡率取决于不可观测的

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2022-5-25 15:25:26

（5.1）下面的引理显示了一对（S，X）underbP的马尔可夫性。引理5.1。在假设2.1和（5.1）的条件（ii）下，该对（S，X）是一个（F，bP）马尔可夫过程，其中包含GENERATORBLS，X由BLS给出，Xf（t，S，X）=Ft型+b（t，x）- ρu（t，s，x）a（t，x）σ（t，s）Fx+a（t，x）Fx（5.2）+ρa（t，x）σ（t，s）sF十、s+σ（t，s）sFs、对于EVERY函数f∈ C1,2,2b（[0，T]×R+×R）。此外，以下半形式的ale分解保持sf（t，St，Xt）=f（0，s，x）+ZtbLS，Xf（u，Su，Xu）du+Mft，t∈ [0，T]，（5.3），其中Mf={Mft，T∈ [0，T]}是dmft给出的（F，bP）-鞅=Fxa（t，Xt）hρdcWt+p1- ρdBti+Fsσ（t，St）StdcWt。证明推迟至附录B.2。计算（FS，eG）-局部风险最小化策略的思想是推导θFvia（4.18）并应用方程（4.16）。因此，我们需要描述过程bvgin（4.17）。首先，观察（2.8）中的过程M在时间零点t是（G，bP）-鞅null，也可以写成asMt=Ht-Zt（1- Hr）γ（r，Xr）dr，其中H是（2.5）中给出的死亡指标过程，即Ht=1{τ≤t} 。然后我们得到，bVGt=bEG（T，SτT）（1- HT）+ZTU（r，Sτr）dHr | Gt=是G（T，SτT）（1- HT）+ZTU（r，Sτr）（1- Hr）γ（r，Xτr）dr | Gt=ZtU（r，Sτr）（1- Hr）γ（r，Xτr）dr+bEG（T，SτT）（1- HT）+ZTtU（r，Sτr）（1- Hr）γ（r，Xτr）dr | Gt.为了计算最后的条件期望，我们使用三元组（Sτ，Xτ，H）的马尔可夫性，这在下面的引理中得到了证明。用bc1,2,2b表示可测有界函数集f:[0，T]×R+×R×{0，1}→ R对于t是连续且可微分的，对于（s，x）是连续且可二次微分的，具有有界导数（所有必要阶）。20 C.CECI，K.COLANERI和A.CRETAROLALemma 5.2。

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2022-5-25 15:25:31

在假设2.1和（5.1）的条件（ii）下，三元组（Sτ，Xτ，H）是一个（G，bP）-马尔可夫过程，其生成器bLS，X，Hgiven bybLS，X，Hf（t，S，X，z）=bLS，Xf（t，S，X，z）（1- z） +{f（t，s，x，z+1）- f（t，s，x，z）}γ（t，x）（1- z）对于每个函数f∈bC1,2,2b，其中bls，Xis在（5.2）中给出。此外，以下（G，bP）-半鞅分解保持SF（t，St，Xt，Ht）=f（0，s，x，0）+ZtbLS，x，Hf（u，Su，Xu，Hu）du+Mft，t∈ J0，T∧ τK，其中Mf={Mft，t∈ [0，T]}是dmft给出的（G，bP）-鞅=Fx（1- Ht）a（t，Xt）hρdcWt+p1- ρdBti+Fs（1- Ht）σ（t，St）StdcWt+{f（t，St，Xt，Ht-+ （1）- f（t、St、Xt、Ht-)}dMt。证明推迟至附录B.2。然后，以下结果给出了在完全信息下保险索赔的局部风险最小化策略的特征。命题5.3（完整信息案例）。让g∈ C1,2,2b（[0，T]×R+×R）是问题（bLS，Xg（T，s，x）的解- γ（t，x）g（t，s，x）+U（t，s）γ（t，x）=0，（t，s，x）∈ [0，T）×R+×Rg（T，s，x）=G（T，s），（5.4）那么（F，G）-局部风险最小化策略是G i venb yθFt=Gs（t，St，Xt）+ρa（t，Xt）Stσ（t，St）Gx（t，St，Xt）t∈ J0，T∧ τK.（5.5）证明。

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