杠杆效应和粗波动的微观结构基础

2022-5-25 16:20:23

“杠杆”这个名字来源于Black和Christie对这一现象的以下解释：当资产价格下跌时，关联公司自动变得杠杆化，因为其债务相对于权益价值的比率变得更大。因此，资产的风险，即其波动性，应该变得更加重要。杠杆效应的另一个经济学解释是，逆转因果关系，即波动性增加的预测应该通过更高的回报率来补偿，而回报率可以通过资产价值的下降来获得，参见【19、29、31】。从实证角度来看，文献中已经对杠杆效应及其合理解释进行了深入研究，例如参见【12、15、27、60】。此外，我们还建立了一些能够使用高频数据的统计方法来对其进行测量，参见[3，59]。从建模角度来看，产生杠杆现象的意愿一直是开发复杂时间序列模型的关键动机，例如ARC Hty pe，参见【14、24、53、55、61】。最后，在金融工程领域，80年代末已经很清楚，有必要在衍生品定价框架中引入杠杆效应，以便准确再现隐含波动率表面的行为。这导致了著名的s-tochastic波动率模型的出现，其中驱动波动率的布朗运动与驱动价格的布朗运动（负）相关，例如，参见SABR、Heston、Hull和White以及Stein和Stein随机波动率模型的[33、39、41、56]。如上所述，杠杆效应的传统解释是基于金融经济学的“宏观”观点。

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2022-5-25 16:20:28

在本文中，我们希望解决以下问题：代理人之间的微观相互作用能否自然地在更大的时间尺度上产生杠杆效应？因此，我们想知道杠杆效应的部分基础是否可能是微观结构。要做到这一点，我们的想法是考虑一个非常简单的基于代理的模型，对显微镜下市场参与者的行为进行充分记录和理解。然后，我们的目标是，从长远来看，这种模式会导致价格动态的杠杆效应。这将表明，高频市场参与者的典型策略自然会产生杠杆效应。有人可能会说，交易是以最频繁的频率进行的，价格是通过订单类型的机制显示的。因此，杠杆效应源自高频特性，这是一个显而易见的事实。然而，我们希望在此表明的是，在某些市场条件下，典型的高频行为可能与前面提到的金融经济学概念无关，可能会在低频尺度上产生一些杠杆效应。需要强调的是，我们并不认为杠杆效应应该用高频特性来充分解释。我们只是说，其中一部分可能来自资产的微观结构。另一个重要的社会数据类型化事实，即[32]最近强调的ich，是波动过程的粗糙性质。事实上，文献[32]表明，对于各种资产，历史波动率时间序列表现出比布朗运动更为粗糙的行为。更准确地说，对数波动率的动力学通常很好地由分数布朗运动建模，Hurst参数约为0.1，这是一个具有0.1阶H¨older正则性的过程。

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2022-5-25 16:20:31

此外，使用带有小赫斯特指数的分数布朗运动也使我们能够非常准确地再现波动率表面的特征，见[11，32]。事实上，对于基本上所有合理流动的资产，波动率都是粗糙的，与粗糙度参数具有相同的数量级f，这当然是非常有趣的。因此，我们在这项工作中还旨在了解如何生成这样一个令人惊讶的特性。[44]中已经提供了该方向的一些元素。在这里，我们想进一步研究微观模型中长期波动的行为，包括现代市场微观结构的主要类型化因素。我们希望表明，波动性的粗糙本质自然地从市场参与者在高频尺度上的典型行为中显现出来。我们的逐点定价模型基于二维霍克斯过程，深受[6、7、43]中方法的启发。二维Hawkes过程是一个二元点过程（N+t，N-t） t型≥0取（R+）和强度（λ+t，λ）的值-t）表格的λ+tλ-t型=u+u-+Zt公司^1（t-s） ^1（t-s） ^1（t-s） ^1（t-s）.dN+sdN-s.此处为u+和u-为正常数，函数（Дi）i=1，。。。4与称为内核矩阵的关联矩阵为非负矩阵，有关更多详细信息，请参阅第2.1节。霍克斯进程由霍克斯在[36]中引入。据说它们是自激的，因为惯性跳跃的概率取决于过去事件的位置。

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2022-5-25 16:20:34

霍克斯过程如今已成为金融领域的标准应用，不仅在微观结构领域，而且在风险管理或传染建模领域，参见其他许多领域【2、6、10、16、20、26、28、43、44】。文献[6]解释说，大型蜱类资产价格的超高频动态相关模型简单地由pt=N+t给出- N-t、因此，在这种方法中，N+t对应于时间间隔[0，t]和N内资产向上跳跃的次数-t向下跳跃的次数。因此，获得向上（向下）跳跃的瞬时概率取决于过去向上和向下ju MP的到达时间。此外，通过构造，价格过程处于一个离散的网格上，这显然是高频价格在实践中的一个重要特征。文献[6]详细研究了该模型的统计性质。特别是，为了再现常见的买卖反弹效应，这种动态非常方便。这种简单的逐点定价模型使我们能够在高频交易的背景下非常容易地对现代电子市场的以下重要类型化事实进行编码：i）市场是高度内生的，这意味着大多数订单没有真正的经济动力，而是通过算法对其他订单作出反应，更多详情请参见[30，34]和第2.1.3节。ii）防止统计套利发生在高频市场的机制。事实上，在高频率范围内，构建平均收益率的策略是完全可能的，见【1】。iii）订单买卖双方的流动性存在一些不对称。这种模拟意味着买卖不是对称的行为。事实上，考虑一个做市商，其库存通常为正。

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mingdashike22

2022-5-25 16:20:37

他很可能会在购买订单后降低价格，而不是在相同的销售订单后降低价格。这是因为它的库存在收到BUY订单后会变小，这对他来说是件好事，而在收到卖出订单后会增加，请参见[17、18、38、40、57]。大型勾号资产是指其买卖价差几乎总是等于一个勾号的资产，因此基本上会移动一个勾号跳跃，参见【23】。iv）很大一部分交易是由称为元订单的大额订单引起的，这些订单不是一次执行的，而是通过交易算法在时间上进行分割的，参见[4，47]。在霍克斯过程框架中，这些性质中的第一个对应于所谓的几乎不稳定的霍克斯过程，即稳定条件几乎饱和的霍克斯过程。这意味着核矩阵积分的谱半径小于但接近于单位，请参见[30，34，43，44]。第二个和第三个函数在核矩阵上构成了特殊结构，第四个函数生成了带有重尾的函数，参见【44】。第2.1节和第3.1节详细介绍了与上述四个属性相对应的价格过程参数化。在这项工作中，我们研究了基于Hawkes的超高频价格模型的长期行为，其参数与市场微观结构的四种常规特性一致。这样，我们就研究了上述四个因素共同作用下的宏观价格动态。更准确地说，我们从霍克斯模型开始，该模型仅满足属性i、ii和iii。我们的研究结果表明，在这种情况下，价格的宏观动态是[39]中引入的赫斯顿-托卡斯特波动率模型，其中波动率与价格（负）相关。

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可人4

2022-5-25 16:20:41

因此产生杠杆效应。这扩展了[43]中的一些结果，其中获得了一个非相关的赫斯顿极限。然后，当附加属性iv编码在我们的微观模型中时，我们表明所谓的粗糙Heston模型，其中波动率是彻底的，并且与价格负相关，是在低频率下产生的。更准确地说，如[32]所述，波动过程由分数布朗运动驱动，赫斯特参数sm aller大于1/2。当然，我们的结果并不是第一个将高频动力学与随机波动性的长期行为联系起来的结果。最著名的例子可能是Nelson的例子，他在[52]中指出，在特定的环境中，GARCH过程收敛到（不相关的）随机波动率模型，另见[22、25、48]。然而，据我们所知，我们提供了自然的、非特别的方法，允许在价格动态的长期限制下产生杠杆效应，甚至粗略波动。本文的组织结构如下。在第2节中，我们对基于霍克斯（Hawkes）的微观价格模型进行了参数化，以使属性i、ii和iii得到满足。然后，我们表明，在适当的比例调整后，该价格从长期来看收敛于赫斯顿随机波动率模型，在该模型中，杠杆效应得到了体现。在第3节中，我们将属性iv纳入了我们的微观模型，并证明它在宏观尺度上导致了一个粗糙的赫斯顿模型，在这个模型中仍然会产生杠杆效应。一些证明被归入第4节，一些有用的技术结果在附录中给出。2从高频特征到利用效应，我们在本节中构建了一个基于霍克斯的微观逐点模型，其中属性I、ii和iii是令人满意的。这使我们对霍克斯过程进行了具体的参数化。我们表明，在适当的重新缩放后，长期价格动态将变为赫斯顿模型的价格动态。

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能者818

2022-5-25 16:20:44

我们首先确定微观价格模型。2.1建立合适的微观价格模型2.1.1霍克斯过程框架我们考虑基于二维霍克斯过程Nt=（N+t，N）的逐点价格模型-t），w，强度λt=（λ+t，λ-t）定义人λ+tλ-t型=u+u-+Zt公司^1（t-s） ^1（t-s） ^1（t-s） ^1（t-s）.dN+sdN-s,其中u+和u-是正常数和φ=РИД: R+→ M（R*+)是一个核矩阵，其分量为正且局部可积。受[6，7，43]的启发，我们的超高频交易价格模型简单地由pt=N+t给出- N-t、因此，N+是指在时间间隔[0，t]和N内，资产的一个刻度向上跳跃的次数-是指资产在时间间隔【0，t】内一个刻度向下跳跃的次数。现在让我们解释强度过程λ+t（λ的解释-tgo es类似）。在时间t时，在t和t+dt之间获得新的一次向上跳跃的概率由λ+tdt给出。该概率可分解为三项s：ou+dt，这是强度的泊松部分，因此对应于价格因某种外部原因上涨的可能性ZtИ（t-s） dN+sdt，是过去向上跳跃引起的向上跳跃的概率ZtИ（t- s） dN-sdt，是过去向下跳跃引起的向上跳跃的概率。特别是，我们在这里看到，当Иi具有合适的形状时，很容易通过在向下（或向上）跳跃之后施加高概率的向上（或向下）跳跃来再现买卖反弹效应。2.1.2编码属性ii和iiiWe现在提供了强度过程参数的特定结构，以便在我们的模型中满足属性ii和iii。

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可人4

2022-5-25 16:20:47

性质ii是n-o统计套利条件。在高频环境中，这相当于说，在任何给定的时间段内，基本上都应该有许多向上和向下的跳跃。我们在我们的霍克斯框架内进行翻译，注意E[N+t]=中兴通讯[λ+s]ds，E[N-t] =中兴通讯[λ-s] ds，andE[λ+t]=u++ZtД（t-s） E[λ+s]ds+ZtД（t-s） E[λ-s] ds，E[λ-t] =u-+ZtИ（t-s） E[λ+s]ds+ZtД（t-s） E[λ-s] ds。因此，我们得出实现无统计套利条件的一种简单而自然的方法是将E[λ+t]=E[λ-t] 通过施加u+=u-和Д+Д=Д+Д。就微观价格变动而言，房地产iii表明，买方比买方更具流动性，可将其转化为：在向上跳跃后立即观察到向上跳跃的条件概率小于在向下跳跃后立即观察到向下跳跃的条件概率。在我们的Hawkes框架中，当x接近零时，其数量为Д（x）<Д（x）或类似的Д（x）>Д（x）。为了简单和技术上的方便，我们实际上作出了更严格的假设，即存在一些β>1，使得Д=βД。因此，我们假设强度过程的结构如下：λ+tλ-t型= u+Ztφ（t-s）。dN+sdN-s, （1）其中φ=ИβИИ+（β- 1） ^1,u>0和dβ≥ 1、我们现在解释如何处理物业i.2.1.3处理物业i：几乎不稳定的霍克斯过程物业i指出，现代市场是高度内生的。为了理解如何通过基于Haw-kes的价格模型来转换这种高度的内生性，为了简单起见，让我们考虑一个一维Hawkes过程Nt，强度λt=u+ZtД（t-s） d▄Ns，其中▄u>0且▄是一个非负可测函数，其Lnorm▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄满足▄▄▄▄▄▄▄▄小于1。

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2022-5-25 16:20:51

最后一个约束称为稳定性条件，其作用与一阶自回归过程的系数必须小于一的条件相同，见【43】。特别地，这个条件确保了强度的平稳解的存在（当时间开始于-∞). 这种一维Hawkes过程通常被视为序流模型，见[9]及其参考文献。因此，ntt通常可以被视为时间间隔[0，t]内的事务数。从概率v观点来看，霍克斯过程的集群表示，参见[37]，能够将▄N视为一个总体过程。在这一人群中，移民的到来遵循着一个泊松过程，其意图为u。每一个移民都会根据非均匀泊松过程生孩子，其强度为。然后，每个孩子也会根据强度为等的齐次泊松过程生孩子。回到金融市场，让我们考虑一下“经济”（或外生）订单和内生订单之间的二分法，前者是因为一些市场参与者有购买或出售的基本意愿而执行的，后者只是对其他订单作出反应而发出的。在霍克斯的背景下，因此很自然会做出以下解释：外生秩序对应于移民，内生秩序对应于移民的后代，参见[30，34，43]。现在请注意，每个移民或移民的后代平均都有kkchildren。因此，移民h的平均值为xk≥1kkk=kk1- kkdescendants。现在，一个“家庭”中的人口数是后代的数量1（与最初的移民相对应的正1），后代在整个人口中的比例是由| | | | | | | | |给出的。在我们的财务解释中，这意味着| | | | | |Д| |对应于市场中内生订单的比例。

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2022-5-25 16:20:54

因此，为了得到一个与属性i一致的模型，我们需要取| | | | | | | | | | |小于但接近统一。这种情况被称为几乎不稳定的情况，实际上与[5，30，34]中对| | | | | | | |的经验测量结果一致。现在让我们回到我们感兴趣的二维霍克斯过程，其强度由（1）定义。与一维情况相同，在e上可以确定内生性程度作为核矩阵积分的谱半径，即isS（Z∞φ（s）ds）=kхk+βkхk，其中s表示光谱rad-ius算子。我们想假设光谱半径小于但接近单位。为此，我们在[43，44]的精神中引入了一个简化的框架。更准确地说，我们研究的是一系列概率空间(OhmT、 FT，PT），按T>0索引，其中NT=（NT，+，NT，-) 是一个二维Hawkes过程，定义为[0，T]，强度形式为λTt=λT，+TλT，-t！=uT+ZtφT（T-s）。dNTs。（2）对于给定的T，概率空间配备过滤（FTt）T≥0，其中ftt是由（NTs）s生成的σ-代数≤t、考虑到（1）中给出的参数约束，并考虑到上述关于市场内生性的讨论，我们对λTt做出以下假设。假设2.1。我们有uT>0和φT=aTφ，φ=ИβИИ+（β- 1） ^1,其中β≥ 1、Д和Д是两个正的可测函数，如s（Z∞φ（s）ds）=kхk+βkхk=1，且aTis是一个正整数的递增序列，收敛为1。从现在起，我们的微观价格过程由PTT=NT给出+- NT，-.因此，在假设2.1下，我们确实在几乎不稳定的情况下工作，因为（Z∞φT（s）ds）=在。因此，我们的微观价格过程Pt再现了性质i、ii和iii。

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2022-5-25 16:20:57

我们现在关注PT的渐近行为。2.2利用高频模型的宏观极限我们在本节给出了微观价格向赫斯顿模型的收敛结果。事实上，在β=1的情况下，可以在[43]中找到这样的结果。如【43】中所述，我们需要考虑以下关于渐近框架和核函数的假设。假设2.2。存在正参数λ、u和m，使得t（1- aT）→T→∞λ、 uT=u，和（Z∞xφ（x）dx）=m<∞.在[43]中有很好的解释，假设核Lnorm在如此远的距离内达到统一，那么T（1- aT）是一阶的，是使我们能够恢复非退化极限的唯一渐近框架。现在让ψT=Xk≥1（φT）*k、式中（φT）*1=φTand，k>1，（φT）*k（t）=Rtφt（s）（φt）*（k）-1）（t- s） ds。【43】中还需要以下技术假设。假设2.3。函数ψ一致有界且φi可微分，使得每个分量φij满足| |φ′ij||∞< ∞ 和| |φ′ij | |<∞.这里的一致有界性假设并没有真正的限制性。事实上，从第2.3.2节的计算中可以清楚地看出，一个有效条件是φ的最大特征值不增加，另请参见[43]。

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2022-5-25 16:21:00

在我们的模型中，例如，如果Д和Д都是非递增的。当β=1时，在假设2.1、2.2和2.3下，在[43]中证明了重新标度的价格过程tpttt=NT，+tT- NT，-TTT在[0，1]上收敛到由PT=1定义的赫斯顿模型- （kхk-kхk）ZtpXsdWs，DXT=λm（2uλ- Xt）dt+mpXtdBt，X=0，其中W和B是两个独立的布朗运动。然而，当β=1时，关于订单买卖双方之间流动性不对称的重要性质iii不会在微观价格动态中再现。我们下面的第一个主要定理表明，β>1这一事实编码的这一特性是低频杠杆效应起源处的微观特征。定理2.1。在假设2.1、2.2和2.3下，当T趋于完整时，重新标度宏观价格tpttt=NT，+tT- NT，-tTT，t∈ [0，1]，Skorokhod拓扑在法律上收敛到以下H eston模型：Pt=1- （kхk- kхk）r1+βZtpXsdWs，dxt=λm（β+1）uλ- Xt公司dt+ms1+β1+βpXtdBt，X=0，其中（W，B）是与dhw相关的二维布朗运动，Bit=1- βp2（1+β）dt。因此，以简单但合理的方式（通过微观价格PT）将房地产i、ii和iii组合在一起，我们自然会获得长期的随机波动率和杠杆效应。事实上，当β>1时，微观结构层面的流动性不对称在低频价格回报和波动增量之间产生负相关。然而，属性i和ii对于获得定理2.1也是至关重要的。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:21:04

在f act中，无需属性i即可获得怀旧波动率，属性ii的失效将导致极限内的漂移过程。最后，请注意，从技术角度来看，据我们所知，这一结果是微观价格过程的不可压缩极限，从长远来看，它以非特定的方式诱导杠杆效应。我们现在在下一节给出一个关于几乎不稳定多维Hawkes过程收敛性的一般结果。这一结果是定理2.1.2.3几乎不稳定多维Hawkes过程的收敛性证明的关键要素2.3.1设置为了说明定理2.1，我们研究了定义在[0，T]上的一般近不稳定d维Hawkes过程序列的收敛性，其中T趋于一致。我们保留了我们感兴趣的霍克斯过程的符号Ntf，其强度λ由λTt=uT1+ZtφT（T）定义-s）。dNTs，其中uT>0且φT=aTφ，其中a是一个正数递增序列，收敛为一，矩阵φ：R+→ Md（右*+) 具有s（Z）的可积分量∞φ（s）ds）=1。我们进一步假设，对于任何t≥ 0，φ（t）在R上可对角化。我们写λ（t）≥ .. ≥φ（t）的特征值λd（t）*（此处*表示转置运算符）和v。。。，VD对应的特征向量。我们假设这些特征向量不依赖于t（如假设2.1所示）。我们还记得Froben-ius-Perron定理，f-ori≥ 2，|λi（t）|<λ（t）=Sφ（t）并且可以在Rd+中使用VCA。2.3.2结果和理论的直觉我们现在提供一些非严格的发展，这些发展有助于理解多维过程的不对称行为。我们在假设2.2和2.3下工作。LetMTt=NTt-ZtλTsdsbe与NT相关的鞅。

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2022-5-25 16:21:08

我们有λTt=uT1+ZtφT（T-s）。dMTs+ZtφT（T-s）。λTsds。使用Lemma。以及Fubini定理和卷积积ψT* φTsatis fiesψT* φT=ψT- φT，我们得到λTt=uT1+uTZtψT（T-s） ds。1+ZtψT（T- s）。dMTs，（3），其中ψT=Xk≥1（φT）*k=Xk≥1akTφ*k、因此[λTt]=uT1+uTZtψT（T-s） ds。1（4）andE[λTtT]=uT1+uTTZtψTT（T- s）ds。1、当函数ψT一致有界且uT常数等于u>0时，我们得到了T阶λTtTis。因此，在时间和空间上的自然重缩放导致我们考虑t∈ [0，1]过程ctt=TλTtT。从（3）中，我们得到CTT=uT1+uZtψTT（T- s）ds。1+ZtψTT（T- s）.dMTs，MTT=MTtT/T。注意，由于hMT，MTit=diag（ZtλTsds），我们得到e[hMT，MTit]=TEdiag（ZtTλTsds）= diag（中兴通讯ds）已启用。现在请注意，对于每个∈ {1，…，d}，使用递归，我们很容易看到对于任何k≥ 1，v*i、 φ*k（t）=λ*ki（t）v*i、因此，定义i∈ {1，…，d}ψTi=Xk≥1akTλ*ki，我们有*i、 ψT=ψTiv*i、因此我们可以写出v的动态*i、 CTTA如下：v*i、 CTt=uT（v*i、 1）+u（v*i、 1）ZtψTiT（T- s）ds+ZtψTiT（T- s）（五）*i、 dMTs）。（5）因此，要理解v的渐近行为*i、实际上，我们需要研究函数ψTi（T.）。为此，可以计算每个j的ψTj（T.）的傅里叶变换^ψTj（T∈ {1，…，d}。我们有^ψTj（T.）（z）=Zx∈R+ψTj（T x）eixzdx=TXk≥1克拉^λj（z/T）k=aT^λj（z/T）T1.- aT^λj（z/T）.现在，随着T趋于完整，^λj（z/T）趋向于kλjk，回想一下，j的kλjk<1≥ 2.

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2022-5-25 16:21:12

因此，对于j≥ 2，ψTj（T.）应渐近vanish，因此v的情况也应如此*j、 CT。对于j=1，使用假设2.2，我们有limt→∞T（λ（z/T）- 1） =izZ∞xλ（x）dx=izm。因此，在这种情况下，^ψT（T.）（z）=aT^λ（z/T）T（1- aT）- 附件（λ（z/T）- （1）→T→∞λ-izm，是x的傅里叶变换∈ R+→我-λmx。因此，我们可以预期ψ（T x）收敛到-λmx。现在让我们从前面的计算中推断出v的行为*.CT。从（5）中，该数量可以是wr ittenv*.CTt=uT（v*.1） +u（v*.1） ZtψTT（T- s）ds+ZtψTT（T- s）q（v）*.CTsdBTs，（6），其中v=（v1，i）1≤我≤dandBTt=ZtTv*.dMTspT（v）*.λTs.（7）由于相关的二次变化序列收敛到恒等式，因此已专门选择过程序列bt。因此，Bt的极限是布朗运动。现在确定RDE的正交基（e，…，ed），使e*.v> 0和span（e，…，ed）=span（v，…，vd）并设置v′=e-e*.vv。注意，v′属于span（v，…，vd）。将vin分解为基（e，…，ed），我们得到（v）*.CTt=e*.ve公司*.v（v*.CTt）+（e*.五）（v′）*.CTt公司+X2个≤我≤d（e*i、 v）（e）*i、 CTt）。因此，对于任何向量v∈ 量程（v，…，vd），v*.CTT收敛到零，我们推导出（v）*.CTthas具有相同的渐近行为ase*.ve公司*.v（v*.CTt）。因此，让T进入（6）中的完整性，我们可以预期v*.CTT是以下随机微分方程的解：Xt=umZte-λm（t-s） ds（v*.1） +毫秒*.ve公司*.中兴通讯-λm（t-s） PXSDB。这正好对应于Cox-Ingersoll-Ross过程，因为它可以重写xt=λmuλ（v*.（1）- Xt公司dt+mse*.ve公司*.vpXtdBt，X=0。因此，使用CTtin的分解，基（e，…，ed）由CTT=e给出*.v（v*.CTt）e+（v′）*.CTt公司e+X2≤我≤d（e*i、 CTt）ei，我们最终得到以下定理，其严格证明见第4.1节。定理2.2。

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能者818

2022-5-25 16:21:15

在第2.3.1节的设置以及假设2.2和2.3下，多维过程（CTt、BTt）t∈[0,1]对于Skorokhod拓扑，在定律上收敛为（e*.其中，B是布朗运动，X满足以下（一维）Cox-Ingersoll-Ross动力学：dXt=λmuλ（v*.（1）- Xt公司dt+mse*.ve公司*.vpXtdBt，X=0。定理2.2是关于多维近不稳定Hawkes过程渐近beh-avior的一般结果。我们特别看到，非简并度集中在第一个特征向量周围。此外，从定理2.2中，我们得到了下面给出的直接推论，这将使我们能够证明定理2.1.2.3.3在微观模型中的应用让我们考虑一个二维Hawkes过程序列NT=（NT，+，NT，-) 强度λT=（λT，+，λT，-) 如假设2.1所示。在这种情况下，λ=Д+βД，λ=Д- ^1、andv=β, 五=-1..因此，我们有以下定理2.2的推论，这将导致我们得出微观价格模型的长期极限。推论2.1。在假设2.1、2.2和2.3下，过程（CT、+t、CT、，-t、 BTt）t∈【0,1】Skorokhod拓扑在定律上收敛到（β+1X，β+1X，B），其中B是布朗运动，X满足以下（一维）Cox-Ingersoll-Ross动力学：dXt=λm（μλ（β+1）- Xt）dt+ms1+β1+βpXtdBt，X=0。这里X基本上对应于一个极限波动过程。X动力学中的布朗运动来自于BT的极限，这个过程定义于（7）中，由v驱动*.dMTs。在我们的微观模型中，MT=（MT，+，MT，+）。从定理2.1的证明中可以清楚地看出，定理2.1中驱动价格的布朗运动是由MT的极限行为产生的+- MT，+。

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2022-5-25 16:21:19

因此，杠杆效应在限额内的出现是由于v*.DMT和MT+- MT，+。3从高频特征到粗略波动性3.1编码属性，在第2节中，我们构建了一个与属性i、ii和iii兼容的基于微观霍克斯的价格模型。Theorem2.1指出，从长远来看，它收敛于经典的赫斯顿模型。然而，属性iv，即市场上广泛存在的元指令，这是高f频率市场的一个关键特征，并没有编码在这种模型中。如[44]所述，这可以通过考虑Ass umption2.1定义的模型在Haw-kes框架中进行转换，但在实际观察到的核矩阵呈现重尾的情况下，请参见[8，34]。因此，我们需要替换假设2.2，以获得核矩阵的缓慢递减行为。这也意味着修改渐近设置，以检索非退化标度极限，见【44】。更准确地说，在本节中，我们不考虑假设2.2，而是考虑以下假设：假设3.1。存在α∈ （1/2，1）和C>0，因此αxαZ∞xλ（s）ds→x个→∞C、此外，对于某些λ*> 0和u>0，Tα（1- aT）→T→∞λ*> 0，T1-αuT→T→∞u。当然，假设2.1下的第一个特征值为Д+βД，假设3.1下的λ也可以用Д和Д的渐近Behavior表示。注意，在实践中，α的估计值实际上接近1/2，请参见[8，34]。现在，我们给出了在假设3.1.3.2高频模型λ=αλ的粗略宏观极限下，价格模型的渐近行为*/CΓ（1- α). 对于符合性质i、ii、iii和iv的微观模型的长期极限，我们有以下结果。定理3.1。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:21:22

在假设2.1和3.1下，由于T趋于完整，重新标度的微观价格1- 在uTαPTtT，T∈ [0，1]在有限维定律的意义上收敛于以下粗略的赫斯顿模型：Pt=1- （kхk- kΓk）rβ+1ZtpYsdWs，Y的唯一解为yt=Γ（α）Zt（t-s） α-1λ（1+β）- Ys公司ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1λs1+βλ*u（1+β）pYsdBs，其中（W，B）是与dhw相关的二维布朗运动，位=1- βp2（1+β）dt。此外，该过程具有H¨older正则性α- 1/2- ε对于任何ε>0的情况。备注3.1。定理3.1说明了有限维定律意义下的收敛性，而不是Skorokhod拓扑意义下的收敛性。后者一般不成立。尽管如此，我们对集成价格ZTR1的Skorokhod拓扑具有一致性- 在uTαPTsTdstoRtPsds。在附加假设下，这种收敛也适用于重新调整的微观价格本身。与理论2.1相比，这里限制动态的唯一显著差异是内核（t- s） α-1出现在波动过程Yt中的两个积分中。这种内核类似于允许定义分数布朗运动的内核。事实上，回想一下带有赫斯特参数H的分数布朗运动∈ （0，1）可通过曼德尔布罗特-范尼斯表示法构建：WHt=Γ（H+1/2）Z-∞（t-s） H类--(-s） H类-dWs+Γ（H+1/2）Zt（t-s） H类-dWs。（8）因此，定理3.1中的尾部指数α对应于赫斯特参数α-1/2。我们的α属于（1/2，1），实际上接近1/2，与我们的极限波动率相关的赫斯特参数（远）小于1/2。

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2022-5-25 16:21:26

因此，波动率的轨迹比布朗运动的轨迹要通透得多，这就是为什么我们称我们的过程为粗糙Hestonmodel。因此，我们最终表明，当将房地产i、ii、iii和iv放在一个简单但切实可行的框架中时，它们是市场微观结构的明显类型化事实，会导致风险波动和杠杆效应。据我们所知，这是第一次从基于代理的角度（尽管是简化形式）解释波动率的粗略随机性以及杠杆效应。第4.4节给出了定理3.1的证明。至于定理2.1，它是基于一般多维霍克斯过程的结果（但这里有重尾），我们将在下一节中解释。3.3重尾几乎不稳定多维Hawkes过程的收敛本节给出了重尾几乎不稳定多维Hawkes过程渐近行为的一般结果。这个结果将是证明ORM3.1的关键。我们考虑的设置与第2.3.1节中的设置相同，但我们在假设3.1下工作。这将意味着我们可以得到的结果比理论2.2的结果稍微弱一些。特别是，强度序列通常不紧密，因此不收敛。然而，与第2.3.2节相同的非严格计算使我们能够获得下面解释的结果的直觉。3.4直觉对于第2.3.2节中的结果和理论，我们考虑强度的适当重整化，即我们使用过程Ctt=1- 在uTλTtT，T∈ [0，1]。请注意，在第2.3.2节的设置中，强度乘以1/T。由于在假设2.2下，系数（1- aT）/uTis，1/T级。

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2022-5-25 16:21:29

假设3.1下的情况不再如此。根据与第2.3.2节中相同的计算，我们得到V*i、 CTt=（1- aT）（五）*i、 1）+（v*i、 1）ZtρTi（t-s） ds+ZtρTi（t-s）（五）*i、 dMTs），其中ρTi=T（1- aT）ψTi（T.）和▄MTt=MTtT/（TuT），这是一个鞅，使得e[h▄MT，▄MTit]是有界的。因此，我们需要研究ρTi的行为。与第2.3.2节中的方法相同，使用其拉普拉斯变换，我们得到ρT应在T变为i的单位时消失≥ 对于i=1，我们有^ρT（z）=z∞ρT（x）e-zxdx=（1- aT）^ψT（z/T）=（1）- aT）aT^λ（z/T）1- 在λ（z/T）处。然后，通过分段积分并使用kλk=1，我们得到^λ（z）=z∞λ（x）e-zxdx=1- zZ公司∞Z∞xλ（u）到期-zxdx。因此，^λ（z）=1- zαz∞（xz）αZ∞x/zλ（u）dux-αe-xdx。因此，使用假设3.1和支配收敛定理，我们得到^λ（z）=1-CαΓ（1- α） zα+盎司→0（z）。由此，我们很容易推断出，对于z>0，^ρT（z）→λλ+zα，这是附录A中定义的Mittag-Le-fluer密度函数fα的拉普拉斯变换。因此，使用与第2.3.2节中相同的参数，我们得到CTT应基本满足CTT→T→∞e*.vYte，其中Y是以下粗糙随机微分方程的解：Yt=（v*.1） Fα，λ（t）+√uλ*se公司*.ve公司*.vZtfα，λ（t- s） pYsdBs，Fα，λ（t）=Ztfα，λ（s）ds。事实上，这最后一个方程相当于一个roughCox-Ingersoll-Ross过程：Yt=Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（v*.1.- Ys）ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1λ√uλ*se公司*.ve公司*.vpYsdBs，见命题4.9。因此，前面的计算似乎表明，在重尾情况下，重整化强度过程应收敛到粗糙的Cox-Ingersoll-Ross过程。与轻尾情况相反，当内核矩阵具有缓慢递减的行为时，这种直觉通常是不正确的。然而，如果我们考虑积分强度而不是强度本身，它仍然成立。

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mingdashike22

2022-5-25 16:21:34

我们现在给出严格的结果。对于t∈ [0，1]，让u定义t=1-aTTαuNTtT，∧Tt=1- aTTαuZtTλTsds，ZtT=rTαu1- aT（XTt- ∧Tt）。我们有以下定理。定理3.2。在第2.3.1节的设置和假设3.1下，过程（λTt，XTt，ZTt）t∈[0,1]对于Skorokhod拓扑，在定律中收敛到（λ，X，Z），其中∧t=Xt=e*.v（ZtYsds）EAN和1≤ 我≤ d、 Zit=Ztre1，即*.vYsdBis，其中（B，…，Bd）是d维布朗运动，Y是以下粗糙随机微分方程的唯一解：Yt=Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（v*.1.- Ys）ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1λ√uλ*se公司*.ve公司*.vpYsdBs，其中B=pe*.vdXi=1qe1、iv1、iBi。此外，Y具有H¨older正则性α-- ε对于任何ε>0的情况。第4.3.3.4.1节给出了定理3.2的严格证明。对于定理2.2，定理3.2有一个直接的推论，这对定理3.1的证明至关重要。让我们考虑一个BI-d隐式Hawkes过程序列NT=（NT，+，NT，-) 强度λT=（λT，+，λT，-) 如假设2.1所示。我们得到以下结果。推论3.1。在假设2.1和3.1下，过程（λTt，XTt，ZTt）t∈[0,1]将Skorokhod拓扑的i nlaw收敛到（X，X，Z），其中xt=β+1ZtYsds, Zt=Ztrβ+1YsdBsdBs数据库,其中（B，B）是二维布朗运动，Y是以下粗糙随机微分方程的唯一解：Yt=Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（（1+β）- Ys）ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1λs1+βλ*u（1+β）pYsdBs，其中B=B+βBp1+β。4证明从现在起，c表示一个独立于T的正常数，该常数可能因行而异。4.1理论证明2.2本证明深受【43】的启发，第2.3.2节中定义的符号是有效的。我们从续集中经常使用的引理开始。4.1.1一个有用的引理我们得到以下结果。引理4.1。

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2022-5-25 16:21:37

让fT：R+→ R是一系列可测函数，对于某些C>0和任何x≥ 0，x∈ R、 x≥ 0，x≥ 0和T>0：a）fT∈ L（R+）∩ L（R+）和Rx≥0 | fT（x）| dx→T→∞0，b）|英尺（x）|≤ c、 c）|^fT（x）|≤ c（1∧|x |），d）|英尺（x）- 英尺（x）|≤ cT | x- x |。然后，在第2.3.1节的设置以及假设2.2和2.3下，过程（ZtfT（t-s） dMTs）t∈[0,1]当T趋于完整时，概率收敛到零，在紧集（u.c.p.）上一致。引理4.1的证明见附录ix A.1.4.1.2 v的收敛性*i、 CTfor i公司∈ {2，…，d}我们现在考虑向量空间跨度（v，…，vd）上cTo的收敛性。以下主张成立。提案4.1。让2≤ 我≤ d、根据第2.3.1节以及第2.2节和第2.3节的规定，vi*.当T变为整数时，CTU.c.p.收敛为零。证明：回顾第一个方程式（5）：v*i、 CTt=uT（v*i、 1）+u（v*i、 1）ZtψTi（T（T- s））ds+ZtψTi（T（T- s））（五*i、 dMTs）。因此，为了得到结果，可以证明函数族（ψTi（T.））T>0满足引理4.1的四个点。点b）很容易从以下事实中获得：*i、 ψT=ψTiv*根据假设2.3，得到ψt的一致有界性。现在注意，根据假设2.3，我们推断λi（x）随着x趋于完整而趋于零。然后，在假设2.3的情况下，对λitogether的傅里叶变换进行分部积分，得到|^λi（ω）|≤（|λi（0）|+Z∞|λ′i（x）| dx）|ω|∧ kλik。

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2022-5-25 16:21:42

（9）点c）使用|ψTi（T.）（ω）|=| aT^λi（ω/T）| T1.- aT^λi（ω/T）|≤|aT^λi（ω/T）| T（1- kλik）≤ c（1∧|ω|）。我们还从前面的不等式中得到，^ψTi（T.）是平方可积的，ψTi（T.）也是平方可积的。此外，通过Parseval等式，我们得到了zx≥0 |ψTi（T x）| dx=2πZω∈R |ψTi（T.）（ω）| dω≤ cZω∈R |^λi（ω/T）| T（1-kλik）dω≤cTZz公司∈R |^λi（z）| dz。由于^λiis s q uare可积，最后一个不等式的右侧趋于零，从而得到thusa）。最后d）用ψTi=aTλi+aTλi表示* ψTito write |（ψTi）′（T x）|=T | aTλ′i（T x）+aT（λ′i* ψTi（T x）+λi（0）ψTi（T x）|≤ T（kλ′ik∞+ kλ′ikkψTik∞+ |λi（0）| kψTik∞).4.1.3 v的收敛性*.CTW我们刚刚展示了v*i、对于i，Ct趋向于零∈ {2，…，d}。kλik<1 fori的事实∈ {2，…，d}对于获得此结果至关重要。我们现在处理术语v*.CT，重新校准kλk=1。我们得到以下结果。提案4.2。在第2.3.1节以及假设2.2和2.3的设定下，过程（v*.CTt、BTt）t∈[0,1]在定律f中，Skorokhod拓扑收敛到（X，B），其中Bis是布朗运动，X满足以下Cox-Ingersoll-Ross动力学：dXt=λm（μλ（v*.（1）- Xt）dt+mse*.ve公司*.vpXtdBt，X=0。证明：重写v*.CTLetSTt=dXi=2（e*i、 CTt）（e*i、五）+（v′）*.CTt公司（e）*.v）。根据命题4.1，我们得到STttends u.c.p.为零。我们有（五）*.CTt=STt+e*.ve公司*.vv型*.CTt，与（6）一起导致v的以下表达式*.CT：v*.CTt=uT（v*.1） +u（v*.1） ZtψT（ts）ds+ZtψTT（T- s）sSTs+e*.ve公司*.v（v*.CTs）dBTs。ψT（T.）对x的收敛性≥ 0，让我们定义（x）=ψT（T x）-mexp(-λxm）。我们在第2.3.2节中看到，当T变为单位时，fT（x）应接近于零。更准确地说，我们有以下命题，其证明见[43]：命题4.3。

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2022-5-25 16:21:45

根据第2.3.1节的设置以及假设2.2和2.3，fTsatis属性a）、b）、c）和d）Lemma4.1。v的Cox-Ingersoll-Ross样动力学*.CTWe可以写入*.CTt=RTt+um（v*.1） Ztexp公司(-λsm）ds+mse*.ve公司*.vZtexp公司(-λ（t-s） m）qv*.CTsdBTs，RTT=uT（v*.1） +u（v*.1） ZtfT（s）ds+ZtfT（t-s）（五）*.dMTs）（10）+mZtexp(-λ（t- s） m）sSTs+e*.ve公司*.v（v*.CTs）-se公司*.ve公司*.v（v*.CTs）dBTs。然后，使用分部积分，我们得到了ZTExp(-λ（t- s） m）qv*.CTsdBTsis等于ZTQV*.CTsdBTs-λmZtZsexp(-λ（s- u） m）qv*.CTudBTuds。这可以重写ZTQV*.CTsdBTs- λse*.ve公司*.vZtv*.CTs公司- RTs-uλ（v*.（1）1.- 经验值(-λsm）ds。因此，v*.CTt=UTt+Ztλmuλ（v*.（1）- v*.CTs公司ds+mse*.ve公司*.vZtqv*.CTsdBTs，（11）UTT=RTt+λmZtRTsds。UT的收敛我们现在证明UT将u.c.p.收敛到零。这种消失的行为来自于fTand和ST。当然，这足以证明RTconvergence为零。从命题4.3和引理4.1中可以明显看出，前三项sin（10）趋向于零。我们现在讨论最后一个学期。首先，注意| qSTs+βv.CTs-qβv.CTs |≤q | STs |，由于命题4.1，当T趋于完整时，其趋于零。此外，从hMT开始观察，MTi=diag（R.λT）和λT≥ u1，我们有EHZTT（v）*.dMTsT（v）*.λTsi=EhZtT（v）*.λTsdsT（五）*.λTs我≤ EhZtT（v）*.λTsdsTu（五）*.λTsi、（12）我们得到，这小于c/T，因此为零。因此，BT是具有有界jum-ps的鞅序列，其二次变化由[BT，BT]T=T+ZtT（v）给出*.dMTsT（v）*.λTs，趋向于恒等式。利用[42]中的g定理VII-3.11，这意味着对于Skorokhod拓扑，Bt在定律中收敛于布朗运动B。

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2022-5-25 16:21:51

从[45]中的第2.6节开始，MtExp的收敛为零(-λ（t-s） m）sSTs+e*.ve公司*.v（v*.CTs）-se公司*.ve公司*.v（v*.CTs）DBTSfollowing，最终我们得到UTtends为零。命题4.2的证明结束了，我们有v*.CTTCA可以写成（11），而且（BT，UT）在Skorokhod拓扑的规律上收敛到（B，0）。命题4.2主要遵循【46】中的定理5.4。4.1.4定理2.2在基（e，…，ed）中分解Ct的证明结束：CTt=dXi=2（e*i、 CTt）ei+（v′）*.CTt公司e+e*.v（v*.CTt）e，我们立即从命题4.1中获得定理2.2，以及命题4.2.4.2定理2.14.2.1的证明。方便地重写PTT。我们首先方便地编写重新调整后的价格PTT/T。我们有TPTTT=NT，+tT- NT，-tTT=ZtTdMT，+s- dMT，-sqT（λT，+s+λT，-s） sλT，+s+λT，-sT+ZtTλT，+s- λT，-性病。此外，λT，+T- λT，-t=ZtaT（Д（t-s）- ^1（t- s））（dNT，+s-dNT，-s） =ZtaTλ（t- s）（dMT，+s- dMT，-s） +ZtaTλ（t-s）（λT，+s- λT，-s） ds。因此，来自Lemma。1，我们得到λT，+T- λT，-t=Ztψt（t-s）（dMT，+s-dMT，-s）。然后，利用Fubini定理，我们得到zxλT，+s- λT，-sds=ZxZx公司-sψT（u）du（dMT，+s- dMT，-s）。因此，我们重新调整的价格过程PTtT/T最终可以写入ZTQCT、+s+CT、，-sdWTs公司-ZtZ公司∞T（T-s） ψT（u）du（dMT，+s-dMT，-s） +Z∞ψT（u）du（MT，+T-MT，-t），WTT=ZtTdMT，+s- dMT，-sqT（λT，+s+λT，-s），且前移PTTT=1-aT（kхk- kхk）ZtqCT，+s+CT，-sdWTs公司- RTt，（13），RTt=ZtZ∞T（T-s） ψT（u）du（dMT，+s- dMT，-s）。4.2.2 RTWe的收敛性我们有以下主张。提案4.4。在假设2.1、2.2和2.3下，RTU.c.p.趋于零。证据从引理4.1可以看出，函数的序列gt（x）=Z∞引理4.1的T xψT（u）dusaties性质a）、b）、c）和d）。b）成立的事实是显而易见的，因为| gT（z）|≤Z+∞|ψT（x）| dx≤||λ| | 1- ||λ| |。然后我们注意到^gT（z）=Za≥0ψT（a）eiza/T- 1izda，这就是属性c）的含义。

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2022-5-25 16:21:55

性质d）由|（gT）′（x）|=T |ψT（T x）|这一事实得出≤ cT。最后，我们使用Fubini定理来编写≥0 | gT（x）| dx=Zx≥0；a、 b>T xψT（a）ψT（b）dadbdx=TZa，b≥0（a∧ b） ψT（a）ψT（b）dadb。因此，Zx≥0 | gT（x）| dx≤TZa公司≥0a |ψT（a）| daZb≥0 |ψT（b）| db≤cTXk公司≥1Za≥0a |λ|*k（a）da。通过递归，我们得到k≥ 1，Za≥0a |λ|*k（a）da=k | |λ| | k-1Za≥0a |λ|（a）da<∞.最终YZX≥0 | gT（x）| dx≤ c/Tand a）容易遵循。4.2.3（WT，BT）的收敛性与BT的q值变化相同在定理2.2的证明中，我们容易得到以下概率收敛性：[WT，WT]t→T→∞t、 [英国电信，英国电信]t→T→∞t、此外，我们有以下主张。提案4.5。在假设2.1、2.2和2.3下，[WT、BT]t→T→∞1.- βp2（1+β）tin概率。证据使用[MT，MT]=diag（NT），我们写[WT，BT]t=ZtTdNT，+s- βdNT，-sTqλT，+s+λT，-sqλT，+s+βλT，-s=ZtCT，+s- βCT，-sqCT，+s+CT，-sqCT，+s+βCT，-sds+εTt，εTt=ZtTdMT，+s- β-dMT，-sTqλT，+s+λT，-sqλT，+s+βλT，-s、自hMT起，MTi=diag（R.λT）和λT≥ u1，我们很容易得到E[（εTt）]=EZtTT（λT，+s+λT，-s）≤2uT→T→∞此外，根据推论2.1，（CT，+，CT，-) Skorokhod拓扑的定律收敛β+1X，β+1X. 对于有限区间上Cox-Ingersoll-Ross过程的零点集为Lebesgue测度零，我们推导出Ct，+t- βCT，-tqCT，+t+CT，-tqCT，+t+βCT，-t将u.c.p.转至1- βp2（1+β）。因此我们推断，[BT，WT]t→T→∞1.- βp2（1+β）t.4.2.4定理2.1的证明结束考虑（13）。从命题4.4来看，Rt趋于零。然后利用[42]中的定理VII-3.11和命题4.5，我们得到（WT，BT）在定律上收敛于相关的二维布朗运动（W，B），使得Hw，Bit=1- βp2（1+β）t。此外，从推论2.1我们得到(√CT，++CT，-, BT）在定律上收敛于（qβ+1X，B），其中X是由推论2.1中定义的带驱动的Cox-Ingersoll-Ross过程。

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