基于递推的短期极端收益预测

2022-5-26 20:33:13

基于重现期分析的短期极端收益预测Zhi Qiang Jianga，c，Gang Jin Wangb，c，Askery Canabarrod，c，Boris Podobnike，Chi Xieb，H.Eugene Stanleyc，Wei Xing Zhoua，*A华东科技大学金融系，上海200237，湖南大学中国商学院和金融与投资管理中心，长沙410082，中国波士顿大学，MA 02215，USAdUniversidade Federal de Alagoas，57309-005，巴西萨格勒布经济与管理学院，41000，克罗地亚摘要能够预测极端回报的发生在金融风险管理中非常重要。利用重现期的分布以及连续极端之间的等待时间，我们表明这些极端返回在短期内是可预测的。通过检查一系列不同类型的回报率和阈值，我们发现复发间隔遵循q指数分布，然后我们使用该分布从理论上推导出风险概率W(t | t）。为了最大限度地发挥极端预测的效用，以确定优化的风险阈值，我们指出，当风险概率大于优化阈值时，第二天内会出现财务极端。样本内测试和样本外预测都表明，这些预测比忽略预测信号的基准更准确。这种重复间隔的发现加深了我们对重复发生的极端情况的理解，并可用于预测风险管理中的极端情况。关键词：极端收益率、风险估计、重现期、收益预测、风险概率1。

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2022-5-26 20:33:17

引言预测市场崩盘、银行倒闭和货币危机等极端金融事件对投资者和政策制定者来说非常重要，因为它们会破坏金融系统的稳定，并会大幅缩水资产价值。开展了多项研究，试图发现潜在的脆弱性和金融极端的常见前兆。已经开发了许多不同的模型来预测财务困境的发生，包括使用概率的模型（Martin，1977；Canbas等人，2005；Barrell等人，2010；Tinoco和Wilson，2013；Li和Wang，2014；Lain\'A等人，2015），信号方法（Kaminsky等人，1998年；Edison，2003年；Duan和Bajona，2008年；Christensen和Li，2014年）和智能（Kumar和Ravi，2007年；Demyanyk和Hasan，2010年）。价格的指数增长速度快于价格波动速度，表明存在泡沫（Sornette，2003；Sornette和Cauwels，2015）。可以使用对数周期幂律奇点（LPPLS）模型来描述这些泡沫的行为，该模型能够准确预测泡沫的引爆点（Sornette et al.，2009；Jiang et al.，2010；Sornette et al.，2015）。最近对金融极端事件的发生以及围绕金融崩溃的市场动态的研究，使我们能够更好地预测新出现的金融危机。我们可以通过确定连续财务极值之间的等待时间分布（“复发间隔”）和绘制发生极值内的记忆行为图来了解极值的发生模式。Bogachev和Bunde（2009）；Jiang等人（2016年）建立了该等待时间分布的预警模型，以预测极端情况发生的概率*通讯作者。地址：P.O.梅隆路130号。

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2022-5-26 20:33:20

华东理工大学商学院114号信箱，中国上海200237，电话：+86 21 64253634，传真：+86 21 64253152。电子邮件地址：zqjiang@ecust.edu.cn（姜志强），wanggangjin@hnu.edu.cn（王刚），askery@gmail.com（Askery Canabarro），bp@phy.hr（鲍里斯·波多布尼克），xiechi@hnu.edu.cn（Chi Xie），hes@bu.edu（H.尤金·斯坦利），wxzhou@ecust.edu.cn（周伟兴）2016年10月27日在给定时间内提交给爱思唯尔的预印本。在金融危机之后，金融体系逐渐回归停滞状态（Bussiere和Fratzscher，2006）。金融市场崩溃后的这种放松行为类似于地震后的余震（Lillo和Mantegna，2003；Petersen等人，2010）。Sornette（2003）指出，投机泡沫破裂的一个可能的理论解释是交易员的积极羊群行为，导致局部自激崩溃（Gresnigt et al.，2015）。这与极端聚集、相互依存的现象是一致的。Gresnigt et al.（2015）表明，大约76–85%的极端事件是由其他极端事件触发的，他们开发了一个早期预警模型，将金融崩溃视为地震，并计算在特定时间段内发生极端事件的概率。在此，我们扩展了Jiang等人（2016）提出的极端回报概率框架，通过在固定时间框架内使用未来极端事件的条件概率来预测极端，其中1类和2类错误在当前市场状态下是平衡的。

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2022-5-26 20:33:23

我们作品的贡献有四个方面。（i）我们通过将阈值定位在极值的经验分布和拟合分布之间的最小KS值来识别极值。（ii）通过量化极值阈值，我们将收益分类为极值或非极值，并假设极值是独立的。这简化了建模，降低了估计参数时的计算复杂性，但在进行样本外预测时提供了足够的性能。（iii）我们定义了一个危险概率，该概率取决于事件之间复发间隔的分布公式，这将问题转化为找到一个合适的复发间隔分布形式。与霍克斯点过程不同，我们的建模框架易于实现。（iv）我们不使用预先定义的风险概率阈值，而是预测风险概率超过优化风险阈值时的极端情况，该阈值是通过最大化效用函数获得的，该函数考虑了投资者对1类或2类错误的偏好。我们将论文组织如下。在第2节中，我们简要回顾了复发间隔分析和早期预警模型。在第3节中，我们提供了数据集。在第4节中，我们描述了模型和方法。在第5节中，我们介绍了不同子周期的复发间隔分析结果。在第6节中，我们记录并讨论了样本外预测的性能。在第7节中，我们给出了我们的结论。2、文献综述2.1。复发间隔分析复发间隔被定义为连续极端事件之间的时间段，是许多领域，尤其是金融市场广泛研究的主题。已发表的研究的主要贡献是了解复发间隔的统计规律。

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2022-5-26 20:33:26

潜在过程中的记忆行为强烈影响复发间隔的分布形式（Chicheportiche和Chakraborti，2013、2014）。如果进程没有内存，则区间分布是指数分布。将长内存合并到底层进程中会极大地改变重复间隔分布。例如，在具有长线性记忆的过程中，对拉伸指数和Weibullrecurrence区间分布进行了分析和数值验证（Santhanam和Kantz，2008）。当一个过程具有长的非线性记忆（多重分形过程）时，复发间隔是幂律分布的（Bogachev et al.，2007）。有大量文献研究了金融市场中重现期的经验分布。发现分发表单依赖于数据源、数据类型和数据分辨率。例如，在日本市场的日波动率（Yamasaki et al.，2005）、韩国市场的分钟波动率（Lee et al.，2006）和意大利市场的分钟波动率（Greco et al.，2008）、美国股市的日波动率（Bogachev et al.，2007；Bogachev and Bunde，2009）中发现了具有幂律尾的复发间隔分布，中国市场的分钟回报率（Ren和Zhou，2010a），美国市场的分钟交易量（Li等人，2011）和中国市场的分钟交易量（Ren和Zhou，2010b）。此外，在一系列不同的市场中，在不同分辨率下的金融波动率中也观察到延长的重现期分布（Wang和Wang，2012；Xie等人，2014；Jiang等人，2016）。

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2022-5-26 20:33:29

在财务回报损失之间的重复间隔中也观察到了q指数分布（Ludescher et al.，2011；Ludescher and Bunde，2014），而中国股指期货市场中的相应分布是拉伸指数（Suo et al.，2015）。除了对经验重现期分布的不一致发现外，对于不同阈值过滤的极值，重现期分布中是否存在标度行为也存在争议。分析复发间隔分布表明，极端事件过滤阈值应影响复发间隔分布（Xie等人，2014；Chicheportiche和Chakraborti，2014；Suo等人，2015；Jiang等人，2016）。当发现估计的分布参数最大程度地依赖于阈值时，这一迹象得到了支持，因为复发间隔由三次指数分布（Xie等人，2014；Suo等人，2015；Jiang等人，2016）和q指数分布等分布函数拟合（Ludescher等人，2011年；Chicheportiche和Chakraborti，2014年；Jiang等人，2016年）。Ludescher et al.（2011）和Ludescher and Bunde（2014）提出，复发间隔的分布仅取决于平均复发间隔τQ，而不取决于特定资产或数据的时间分辨率。只有有限的研究使用重复间隔分析来评估和管理金融市场的风险。基于重现期估计风险值（VaR）的改进方法比基于整体或局部收益分布的传统估计方法要精确得多（Bogachev和Bunde，2009；Ludescher et al.，2011）。

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2022-5-26 20:33:33

当潜在过程是多重分形的时，使用复发间隔统计预测极值的另一种方法也优于前兆模式识别技术（Bogachev和Bunde，2009）。Ren和Zhou（2010a）将条件损失概率定义为预期等待时间的倒数，然后观察最新复发间隔确定的极端情况，发现如果最新复发间隔较长或较短，极端损失事件的风险较高。然而，在所有这些研究中，只进行了样本内测试，样本内测试的良好表现不能确保样本外测试的良好结果。相比之下，Jiang等人（2016）最近发现，使用递归区间分析的极端预测方法在样本外测试中确实提供了良好的预测。2.2。金融危机事件（如市场崩溃、货币危机和银行倒闭）的预警模型是指资产价值或金融机构权益迅速缩水的金融危机。金融危机冲击着现实世界的经济，如果不加以控制，可能会导致衰退或萧条。为了减少投资者的损失和对经济的冲击，减少金融动荡，人们在预测金融极端方面做了大量工作。关于预测金融危机，特别是货币危机和银行倒闭的文献很多，大多数研究都依赖于早期预警模型（EWM）（Kumar和Ravi，2007；Demyanyk和Hasan，2010）。

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2022-5-26 20:33:36

EWM确定了合并财务问题的领先指标，并使用logit（或probit）回归和智能方法等技术将其转换为未来发生危机的风险概率，作为指示危机是否迫在眉睫的预警信号。与预测银行倒闭和货币危机的大量EWM研究相比，监测股市并提供市场极端预警信号的预警模型很少受到关注。现有文献的贡献如下。许多指标能够警告即将到来的极端财务状况。Coudert和Gex（2008）表明，风险规避指标在预测股市危机时有用，但在预测货币危机时不有用。Chen（2009）发现，收益率曲线利差和通货膨胀率等宏观经济指标可用于预测股市衰退。Alessi和Detken（2011）表明，全球流动性指标可以预测资产价格的繁荣。Herwartz和Kholodilin（2014）表明，市盈率可以预测正在出现的价格泡沫。Li等人（2015）表明，指数期货和期权的变量，如波动率指数、未平仓利率、美元成交量、看跌期权价格和看跌期权有效价差，可以预测股市危机。Chang等人（2015年）基于ARMA-GARCH模型定义了平均风险价值（AVaRs），并将标准不可分割创新作为预警指标，发现AVaRs可以预测极端事件和高度波动的市场。通过构建基于跨境股权和长期债务证券组合的两个投资网络，Joseph et al.（2014）确定了两个基于网络的指标（代数连接性和边缘密度），它们本可以预测2008年的全球金融危机。Minoiu等人。

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2022-5-26 20:33:40

（2015）表明，全球金融联系网络的互联性可以预测1978-2010年期间发生的金融危机。有人提出用危机相关变量的平均综合指数来预测金融危机。Oh等人（2006年）提出了一个每日财务状况指标，即市场波动率，以确定股票市场是否不稳定。Kim等人（2009年）根据当前市场状况与过去市场稳定时的状况之间的差异，定义并提出了股市不稳定指数。Son等人（2009年）提出了一个预测股市崩溃的模型，当全球机构投资者大规模抛售股票时，该模型会发出信号。Ahn等人（2011年）将所有危机相关变量整合到月度金融市场状况指标中，并发现通过使用支持向量机，该指标可以检测市场危机。Yoon和Park（2014）使用市场不稳定性指数来捕捉风险预警水平，量化当前市场的不稳定性水平，并预测其未来行为。有一种价格轨迹模式预示着近期的市场崩盘。Sornette（2003）通过结合（i）理性预期泡沫的经济理论，（ii）投资者和交易者之间的模仿和羊群行为对市场的影响，以及（iii）分岔和相变的数学和统计物理，开发了一个对数周期幂律奇点（LPPLS）模型来检测泡沫。资产价格的超指数增长（具有有限时间奇点的幂律）伴随着加速振荡，是表明泡沫的主要诊断（Sornette et al.，2009；Jiang et al.，2010；Sornette et al.，2015）。Kurz Kim（2012）也证实了LPPLS模式可以用作市场崩溃的早期预警信号。

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2022-5-26 20:33:43

此外，Yan和van Tuyll van Serooskerken（2015）使用可见图算法将价格序列转换为网络，并使用价格网络的程度来衡量股票价格指数级以上增长的幅度，预测即将发生的金融极端事件。平均而言，该指示器的性能优于LPPLS模式识别指示器。对金融危机的模式进行建模，以预测金融极端事件。Jiang等人（2016年）揭示了连续市场极端之间等待时间的分布模式，并利用它来确定在特定时间段内出现后续极端的风险概率。他们发现，这种危险概率在样本预测之外表现良好。作为地震周围地震活动的类似物，Gresnigt et al.（2015）采用流行病型余震序列模型（一种相互自激的Hawkes点过程）来捕捉股市崩盘的发生动态，可以作为预测中期崩盘概率的预警模型。3、数据集我们分析了1885年2月16日至2015年12月31日的每日道琼斯工业平均指数（DJIA）。道琼斯工业平均指数在一天的时间尺度上的对数回报率为r（t）=ln I（t）- ln I（t- 1）。（1）图1（a）和图1（b）分别显示了对数DJIA及其收益率的曲线图。道琼斯工业平均指数从1885年2月16日的30.92增长至2015年12月31日的17425.03，总对数回报率大于6。尽管该指数在整个样本期内呈上升趋势，但在不同的时段内都有下降趋势和范围界限。

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2022-5-26 20:33:46

图1显示了六个动荡时期（阴影中突出显示），1929-1932年的华尔街崩盘，1973-1975年的石油危机，1987-1989年的黑色星期一崩盘，2000-2003年的网络泡沫，2007-2009年的次贷危机，2008年的金融危机，以及2011-2015年的欧洲主权债务危机。模型和方法4.1。识别极值通常将极值定义为阈值（POT）以上的峰值（Ren和Zhou，2010b；Alessi和Detken，2011；Christensen和Li，2014；Sevim等人，2014；Suo等人，2015），即样本标准偏差的m倍。参数m是一个预先确定的值（见Sevim et al.（2014）表1中的总结）。虽然根据POT识别极端事件在实证分析中得到了广泛应用，但POT存在缺陷。一个小的m值将产生许多“极值”，并非所有的都是真正的极值，而一个大的m值将表示真正的极值，但不一定包括所有的极值。根据极值理论，极值的分布不同于非极值的分布。找到极值相当于找到一组数据（x≥ xt）满足极值分布1885 1911 1937 1963 1989 201546810tln I（t）（a）1885 1911 1937 1963 1989 2015-0.2-0.100.10.2tr（t）（b）图1：（在线彩色）。对数DJIA指数ln I（t）及其差异的曲线图，返回r（t）。（a） ln I（t）。（b） r（t）。（Cumperayot和Kouwenberg，2013）G（x）=exph公司-（1+γx-uσ）-1/γiforγ，0exph- 经验值(-x个-uσ）iforγ=0，（2），其中G（x）是广义极值分布的累积分布，u、σ和γ分别是位置、尺度和形状参数，Xt是极值阈值。

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2022-5-26 20:33:50

形状参数1/γ的倒数只是样本分布的尾部指数。10-610-410-21000246-r、 r，| r | 1/γ（a）-rr | r | 10-610-410-210000.20.40.6-r、 r，| r | dKS（b）-rr | r |图2：（在线颜色）。确定负、正和绝对回报的极值阈值XT。（a）尾部指数1/γ与排序收益的函数关系图。（b） KS统计数据与排序收益的关系图。KS统计数据定义为经验尾部分布和拟合尾部分布之间的最大绝对差异。我们使用Hill估计器（Hill，1975）估计形状参数γ，这是一种非参数方法。对于agiven样本{x，x，···，xn}，我们按照升序x（1）对数据进行排序≤ x（2）≤ · · · ≤ x（n）。（3） Hill估计量给出的γ值为γ=kkXi=1对数x（n+1-k）- 对数x（k）, （4）其中xk对应于将要确定的极值阈值xts。确定阈值XTI的一种方法是：（i）根据xt的所有可能值估计γ值，以及（ii）根据xt绘制1/γ图，以找到一个xt值范围，其中估计的1/γ值是稳定的（Pozo和Amuedo Dorantes，2003；Rebredo等人，2014）。实际上，1/γ和xkis之间的这种“稳定行为”很难量化。例如，图2（a）使用DJIA回报来说明估计的1/γ作为排序的DJIA（负、正和绝对）回报的函数。1/γ值强烈波动，没有稳定范围。另一种方法是使用KS统计来衡量经验尾部分布和拟合尾部分布之间的一致性。KS统计量化两种分布之间的最大绝对差异。

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2022-5-26 20:33:53

最合适的阈值XT与尾部分布的最佳匹配相关，尾部分布的KS统计值最小（Clauset al.，2009；Jiang et al.，2013）。图2（b）显示了KS统计数据与排序（负、正和绝对）回报的关系图。每条曲线中的显著低点使我们能够更容易地确定极值阈值xt。为了进行比较，我们还使用95%、97.5%和99%的分位数来定义极值。基于分位数的定义在风险价值（VaR）分析中很常见。Gresnigt等人（2015年）还将95%的收益分位数和95%的负收益分位数定义为极端和崩溃。4.2。确定风险概率通过仅考虑极端发生的时间，我们根据风险概率W预测极端回报(t | t），它测量了在过去的t时间发生极端返回后，有额外等待时间的概率在另一次极端回归发生之前。Sornette和Knopo Off（1997）以及Bogachev等人（2007）从理论上推导出了危险概率W(t、 t）使用极端事件之间的复发间隔分布，W(t | t）=Rt+ttp（τ）dτR∞tp（τ）dτ，（5），其中p（τ）是重复间隔的概率分布。一旦我们得到p（τ）的分布形式，W的公式(t | t）可从等式。

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2022-5-26 20:33:57

（5）。虽然泊松过程的复发间隔呈指数分布（Yamasaki et al.，2005；Bogachev et al.，2007；Chicheportiche and Chakraborti，2014），但当如果给定t，金融过程总是表现出非泊松特征，如长期依赖性和多重分形相关性（Calvet和Fisher，2002），中期依赖性（例如动量和反转行为（Chan et al.，1996；Shi et al.，2015）），以及收益的多尺度行为（Calvet和Fisher，2002），这导致重现期不再呈指数分布，重现期的紧密分布形式的推导受阻（Chicheportiche和Chakraborti，2013）。非泊松特征也导致了在重复间隔分布公式的实证分析中存在争议的情况。例如，报告的分布范围从幂律分布（Yamasaki et al.，2005；Lee et al.，2006；Greco et al.，2008；Ren and Zhou，2010a）到拉伸指数分布（Wang and Wang，2012；Suo et al.，2015；Jiang et al.，2016），从q指数分布（Ludescher et al.，2011；Ludescher and Bunde，2014；Chicheportiche and Chakraborti，2014）到q-Weibull分布（Rebredo et al.，2014）。在这里，我们使用三个常用函数来拟合递推区间分布。这三个公式是拉伸指数分布，p（τ）=a exp-（bτ）u, （6） q指数分布，p（τ）=（2- q） λ[1+（q- 1） λτ]-q-1，（7）和威布尔分布，p（τ）=αβτβ！α-1exp“-τβ！α#，（8）通过将三个概率分布方程。（6） –（8）转化为等式。

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2022-5-26 20:34:01

（5），我们得到了拉伸指数分布的危险概率WsE(t | t）=bua- Γlu，（bt）u- Γuu，[b（t+t） ]uΓuu，（bt）u , （9）危险概率WqE(t | t）对于q指数分布，WqE(t | t）=1-“1+（q- 1） λt1+（q- 1） λt#1-q-1、（10）和危险概率WW(t | t）对于威布尔分布，WW(t | t）=1- exp“tβ！α-t+tβ！α#，（11），其中Γl（s，x）和Γu（s，x）是上下不完全伽马函数。对于固定t、所有三种风险概率都随着t的增加而降低，这解释了财务回报和波动性中极端的聚集。使用危险概率W(t | t）为了预测极端情况，我们必须设置一个危险阈值，以触发即将到来的极端事件的早期警告指示器。如果危险概率W(t | t）大于危险阈值wt，表示在下一个t时间被激活。风险阈值WT不是任意给定值，而是根据投资者的风险水平偏好进行优化，以平衡错误警报和未检测事件。4.3。评估预测信号危险概率W(当W(t | t）超过危险阈值WT，否则等于零。当将预测的极端情况与实际事件进行比较时，我们看到（i）发生极端回报的正确预测，（ii）发生非极端回报的正确预测，（iii）错过的事件，以及（iv）假警报。通过计算每个结果发生的次数，我们可以计算一系列评估测量值，包括正确的预测率、误报率和准确性。

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2022-5-26 20:34:06

我们这里的首要目标是正确预测率D和误报率A，它们定义为D=nn+n，A=nn+n，（12）其中nis是正确预测的极端回报数，正确预测的非极端回报数，错过事件数和误报数。继Gresnigt等人（2015年）之后，我们使用Hanssen-Kuiper技能评分（KSS）来评估极端预测的有效性。KSS是区别- A正确预测率和虚警率之间的值。KSS包含丢失发生错误和假警报错误。减少这两个错误会增加KSS的值。我们的目标是，当投资者偏好类型1和类型2错误时，为他们找到一个平衡的信号，并考虑他们是否使用或放弃预测信号。继Alessi和Detken（2011）之后，我们定义了当添加危险概率阈值时的损失函数发布极端预测，L（θ）=θ（1- D） +（1- θ） A，（13）其中1- D是缺失事件（1类错误）的比率，A是假警报（2类错误）的比率。参数θ是投资者避免1类或2类错误的偏好（El Shagi等人，2013）。我们进一步确定了极端预测asU（θ）=min（θ，1）的有用性- θ）- L（θ），（14），其中min（θ，1- θ）是投资者忽视预测信号时所面临的损失，而U（θ）是极端预测模型比没有模型表现更好的延伸（Betz et al.，2014）。当U（θ）>0时，极值预测很有用，这意味着使用预测的损失低于忽略预测时的损失。

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2022-5-26 20:34:10

此处的有用性定义忽略了数据不平衡的任何影响，即非极端事件比极端事件更频繁（Sarlin，2013；Betz et al.，2014）。给定危险概率W(t | t），我们需要一个最大化效用U（θ）的危险阈值（Duca和Peltonen，2013；Babeck\'y等人，2014；Betz等人，2014）。Christensen和Li（2014）通过最小化噪声信号比D/A来优化阈值。当我们优化有用性时，类型1和类型2错误之间存在边际替代率，但该边际替代率在噪声信号比优化中并不明确，这可能会导致不可接受的1型和2型错误水平（Alessi和Detken，2011；El Shagi等人，2013；Babeck\'y等人，2014）。4.4。通过在概率密度函数中引入等式（6）的拉伸指数函数来估计分布参数+∞p（τ）dτ=1，weobtainaubΓ（u）=1，（15），其中Γ（x）是伽马函数。Podobnik et al.（2009）和Bogachev and Bunde（2009）描述了平均复发间隔τQ和极端百分比τQ=R之间的一一对应关系+∞mpr（r）dr=1-Rm-∞pr（r）dr=1- Q、（16）其中Q是用于确定极值的分位数。为了使这个方程有效，极值必须是正的。当极端值为负值时，我们将其乘以-Chicheportiche和Chakraborti（2014）发现，无论基础过程的依赖结构如何，平均复发间隔都是普遍的。根据预期的定义，平均重现期也可以写成τQ=R+∞τp（τ）dτ。对于拉伸指数分布，通过求解方程，我们得到了ubΓ（u）=τQ.（17）。（15）和（17），并使用u和τqf作为拉伸指数分布，参数a和barea=uΓ（2/u）Γ（1/u）τQ，b=u（2/u）Γ（1/u）τQ。

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2022-5-26 20:34:13

（18）该策略将估计参数的数量从三个减少到一个。q指数分布的平均值为1/[λ（3- 2q）]。要有一个平均值，q必须小于3/2。然后可以使用q和τq求出参数λ，λ=τq（3- 第2季度）。（19）威布尔分布的期望值为βΓ（1+1/α）。同样，β可以用α和τQ表示，β=τQΓ（1+α）。（20）当三种分布用于拟合重现期时，我们只需要估计一个参数。我们采用最大似然估计（MLE）来估计分布参数。对数似然函数是拉伸指数分布n LsE=n lna-nXi=1（bτi）u，（21）q指数分布n LqE=n ln[λ（2- q） ]-q- 1nXi=1ln[1+（q- 1） λτi]，（22）和Weibull分布LW=n lnαβ+nXi=1“（α- 1） lnτiβ-τiβ！α#，（23），其中n是重复间隔数。以拉伸指数分布为例，对数似然函数ln lse是u的单变量函数。虽然通常我们可以通过取ln-lse对u的一阶导数来求解方程，以找到使可能性最大化的解，但这里很难获得ln-lse对u的导数的解析表达式。因此，我们在（0，1）范围内用10步离散u-6并计算u的每个离散值的对数似然函数。与ln lsels的最大值相关的u是最大似然估计。同样，我们估计参数q∈ （1，1.5）和α∈ （0，1）分别适用于Q指数分布和威布尔分布。5.

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2022-5-26 20:34:17

递推区间分析为了检验我们的极端收益预测模型的有效性，我们使用每个动荡期之前的数据来校准模型以及随后的每个动荡期进行样本外预测。我们获得了六个样本内校准周期：1885-1928、1885-1972、1885-1986、1885-1999、1885-2006和1885-2010。它们的样本外预测周期分别为1929-1932、1973-1975、1987-1989、2000-2003、2007-2009和2011-2015。在每个样本校准周期，我们识别极值阈值xt，并提取与xt相关的极值。我们还根据95%、97.5%和99%的分位数阈值定位极值。对于每组极值，我们估计连续极值之间的等待时间，即重复间隔。我们在分析中考虑了正、负和绝对回报，因为它们可能与特定的交易策略有关。在市场上持有多头头寸的投资者对极端负面回报更为敏感，而持有空头头寸的投资者则不那么敏感。表1列出了不同校准周期的不同阈值的重复间隔。请注意，与分位数阈值的观测不同，极值阈值的观测值不会随着校准周期的延长而单调增加。重现期的数量急剧减少，例如从B组到C组的正收益和从C组到D组的绝对收益，表明极值阈值大幅增加，表明1973年后的市场变得更加不稳定[见图1（B）]。重现期的平均值受到极值的强烈影响，如平均值和中间值之间的巨大差距所示。

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2022-5-26 20:34:22

由于偏度为正且峰度远大于3，因此重复间隔也呈现右偏斜和厚尾分布。这证实了重复间隔服从拉伸指数分布（Xie等人，2014；Suo等人，2015；Jiang等人，2016）或q指数分布（Ludescher等人，2011；Ludescher和Bunde，2014；Chicheportiche和Chakraborti，2014）。我们在面板a的95%栏中看到滞后1的显著正自相关，在0.01水平上，三种类型的回报率都有显著的Ljung-BoxQ统计。此外，当回报为正时，滞后5的自相关也为正。这表明，在95%分位数阈值处的重复间隔中，存在短滞后和长滞后的自相关。在99%列中，自相关系数接近于0，Ljung Box Q统计数据对正、负和绝对回报率不显著，表明复发间隔中没有相关性。两列中的结果还表明，当分位数阈值从95%增加到99%时，复发间隔的自相关性逐渐降低至不显著，这也见于XT和97.5%分位数列。在B组到F组中，滞后1和5处的自相关系数均为正且具有统计学意义，表明在复发间隔中存在强自相关。此外，滞后30的容格盒Q统计在1%的水平上具有统计学意义，这意味着当复发间隔滞后较长时，显著的自相关也很普遍。

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2022-5-26 20:34:25

这些结果得到了重现期去趋势函数分析（DFA）的长记忆行为结果的支持（Ren和Zhou，2010b；Xie et al.，2014；Suo et al.，2015）。重复间隔由每个样本校准周期内的拉伸指数分布、q指数分布和Weibull分布确定。图3显示了1928年至1985年样本校准期间99%分位数内负极端事件之间复发间隔的概率分布。三种拟合分布的最佳拟合也绘制为实心曲线进行比较。请注意，拉伸指数分布给出了最好的函数。还请注意，拉伸指数最有可能，这也与中国市场和美国市场的负极端回报和绝对极端回报之间的重复间隔分布一致（Wang等人，2009；Ren和Zhou，2010a；Xie等人，2014；Suo等人，2015）。由于所有分布曲线都非常相似，因此我们不显示其他校准周期的重复间隔。表2显示了从不同回报类型和不同阈值获得的复发间隔三个拟合分布的估计参数。为了评估分布函数的有效性，还列出了对数可能性。最大值分布的可能性以粗体显示，表示10010110210310-510-410-310-210-1τp（τ）PDFsExpqExpWBLFigure 3：（彩色在线）。重复间隔的分布。该图显示了分位数为99%的负极端回报与三种分布（拉伸指数分布、q指数分布和威布尔分布）的最佳拟合之间的复发间隔的经验分布。

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大多数88

2022-5-26 20:34:28

分析是在1885年至1928年期间进行的。相应的分布给出了最佳的函数。面板A显示，随着阈值的增加，最佳重复间隔从q指数分布过渡到拉伸指数分布。这种分布转换行为也见于中国股市微小波动的重现期（Jiang等人，2016）。请注意，在B–F组中，最大可能性来自所有复发间隔的q指数分布。Ludescher et al.（2011）和Ludescher and Bunde（2014）还发现，极端损失之间的复发间隔由q指数分布捕获。面板B-F中拉伸指数分布缺乏最大可能性的可能解释是，99%分位数阈值对于从q指数到拉伸指数的分布转换来说不够大。表2显示了每种类型回报的估计参数和分位数阈值之间的单调趋势，例如u和α随着分位数阈值的增加而减少，q随着分位数阈值的增加而增加。我们的结果支持复发间隔分布对分位数阈值的依赖性（Xie et al.，2014；Chicheportiche and Chakraborti，2014；Suo et al.，2015；Jiang et al.，2016）。

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2022-5-26 20:34:31

对于相同的分位数阈值和相同类型的收益，我们还发现面板B-F中的估计分布参数彼此接近，这表明复发间隔分布仅取决于分位数（Ludescher et al.，2011；Ludescher and Bunde，2014；Jiang et al.，2016）。当我们获得分布参数时，我们可以通过将参数放入危险概率W的理论公式中，找到WSE、WqW和WW的危险函数的理论曲线(t | t）由等式给出。（9）（10）和（11）分别表示拉伸指数分布、q指数分布和威布尔分布。另一方面，使用公式（5），我们可以评估经验危险函数Wemp，Wemp(t | t）=#（t<τ≤ t+t） #（τ>t），（24），其中分母#（τ>t）是值大于t的重复间隔数，分子#（t<τ≤ t+t）在（t，t+t] 。图4显示了危险概率W的曲线图(t | t）作为从99%分位数阈值获得的极端负回报的持续时间t的函数，当t=1。它显示了根据实际数据（填写的标记）估计的经验危险概率和从理论方程（solidcurves）获得的分析危险概率。注意，尽管所有理论线在同一条曲线上不重叠，但它们都随着时间t的推移而减少，经验危险概率也是如此。统计数据很差，经验危险概率振荡很强，但对于给定的t值，分析危险概率值与经验危险概率值相当，表明分析危险概率与经验危险概率一致。

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2022-5-26 20:34:35

在能源期货（Xie et al.，2014）、现货指数和指数期货（Suo et al.，2015）和股票回报率（Ren和Zhou，2010a；Jiang et al.，2016）中也可以看到风险概率的下降模式，这表明0 15 30 45 6000.020.040.060.080.1tW（1 | t）WEMPWSEWQEWW图4：（彩色在线）。危险概率W图(t | t）带t=1。危险事件对应于从99%分位数阈值获得的极端负回报。分析是在1885年至1928年期间进行的。随着时间t的推移，观察后续极端回报的概率降低。这揭示了极端回报集群的存在和极端回报触发过程中的潜在依赖结构，这支持了“许多极端价格运动是由之前的极端运动触发的”以及“大事件或频繁事件后比平静期后更频繁地发生更大的极端事件”的观点（Gresnigt等人，2015年）。这是由投资者的积极羊群行为和金融市场不稳定性的内生增长造成的（Jiang等人，2010；Gresnigt等人，2015）。由于结果都相似，我们不显示危险可能性W(t | t）用于不同的阈值和其他类型的回报。6、预测极端回报利用风险概率和优化的风险阈值，我们构建了一个模型来预测给定时间段内金融市场中正、负和绝对极端回报的发生情况。风险概率由回归历史中极端事件之间复发间隔的分布参数确定。当危险概率超过优化危险阈值时，将生成即将发生的极端事件的指标，这将最大限度地发挥这些极端预测的效用。

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2022-5-26 20:34:38

我们进行样本外测试，以评估该极端收益预测模型的预测能力，如下所示。1、在给定的样本校准期间，我们根据指定的极值或分位数阈值标记极端事件。2、拟合标记极端事件之间的重复间隔，我们估计拉伸指数分布、q指数分布或威布尔分布参数。3、利用样本校准期内估计的分布参数，我们确定了危险概率W(t | t），并通过最大化有用性U（θ）找到优化的危险阈值wt。4、利用样本校准期内的分布参数和优化的危险阈值，我们预测了时间段内即将到来的极端事件的指标t并评估预测信号。为了找到优化的危险阈值，我们改变[0，1]中的危险阈值，以获得所有可能的（A，D）对。绘制A与D的关系图，我们获得了著名的“接收器-操作员特征”（ROC）曲线（Bogachev和Bunde，2009）。利用ROC曲线，我们衡量了早期预警模型预测能力的有效性。图5显示了样本内测试和样本外测试的极端负回报ROC预测曲线。样本内（样本外）时期为1885年至1928年（1929年至1932年）。对角线是一个随机猜测。请注意，对于样本内和样本外测试，三个拟合分布的ROC曲线在同一条曲线上完全重叠，这表明结果不依赖于用于拟合复发间隔的分布公式。所有ROC曲线都在随机猜测线以上，表明样本内和样本外测试都比随机猜测具有更好的预测能力。

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2022-5-26 20:34:42

还请注意，样本外曲线低于样本内曲线，这证实了样本外预测通常比样本内测试差的观察结果（Lang和Schmidt，2016）。由于它们都表现出非常相似的模式，我们没有显示从不同阈值和不同类型的极端回报中获得的ROC曲线。0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81AD输入：sExpin:qExpin:WBLout:sExpout:qExpout:WBLFigure 5：（在线颜色）。样本内测试和样本外预测的ROC曲线。极端回报率对应于分位数为99%的负回报率。样本期为1885年至1928年。样本期从1929年到1932年。由于所有三个拟合分布都给出了相同的ROC曲线，我们仅评估了q指数分布极端收益预测模型的样本内和样本外性能。我们找到了优化的危险阈值（hazardthreshold），该阈值最大限度地提高了样本内校准期间的有用性，并估计了诸如正确预测率、误报率、有用性以及样本内和样本外期间的KSS分数等性能测量值。结果如表3所示。首先，我们观察到，除了面板A中97.5%分位数的正回报和面板B中95%分位数的正回报外，所有有用性U值均为正，这表明当缺失事件和假警报错误的权重相等时，我们的模型提供了比忽略预测信号的基准更准确的结果。第二，除上述两个例外情况外，所有KSS得分均大于0，这对应于随机猜测，表明正确预测的比率超过假警报的比率。

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2022-5-26 20:34:45

第三，请注意，在大多数结果中，样本内性能的U和KSSSCore大于样本外性能的U和KSSSCore，这与样本外预测低于样本内测试的观察结果一致。我们在面板E中发现了一个例外，在面板F中发现了九个例外，其中样本外预测超过了样本内测试，这表明了测试模型的预测能力。结果还表明，样本内测试的可用数据越多，样本外预测的性能越好，最近两个湍流时期的预测也进一步支持了这一点，这两个时期的预测优于其他时期的预测。第四，请注意，与95%和97.5%分位数相比，99%分位数的极端回报预测产生的误报率和正确预测率更低，这产生了较高的有用性和KSS分数。结果表明，具有高分位数的极值事件可以更准确地预测。表1显示了Ljung-Box Q测试的统计数据，这些测试在所有面板中随着分位数阈值的增加呈现出下降的模式，表明增加分位数阈值可能会降低极端情况下的记忆强度。在我们的模型中，我们忽略了极值中的潜在依赖结构，因为分位数阈值越大，极值中的记忆越弱，预测性能越好。与基于Hawkes过程的模型（Gresnigt et al.，2015）相比，我们的模型具有模型参数更少、估计方法更简单和预测实现更快的优势。结论我们对1885年至2015年期间道琼斯工业平均指数的极端财务状况进行了复发区间分析。

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2022-5-26 20:34:48

我们根据新提出的极端识别方法以及分位数阈值确定极端回报。通过极值识别方法，我们能够找到与尾部分布的最小KS统计量相关的最优极值阈值。我们发现，重复间隔（即不同类型收益和阈值的连续极值之间的时间间隔）遵循q指数分布。这使我们能够分析得出危险概率W(t | t）在时间间隔内自上次极端事件发生在时间t后，我们将观察下一次极端事件。分析W(t | t）值与根据实际数据估计的经验风险概率非常吻合。利用风险概率，我们开发了一个极端回报预测模型，用于预测即将发生的金融极端事件。当危险概率大于危险阈值时，该模型可以在即将发生极端事件时发出警告。通过最大化极端预测的有用性来获得危险阈值。样本内测试和样本外预测均表明，我们的预测模型生成的信号在统计学上优于忽略这些信号的基准，并且用于拟合出现间隔的输入分布公式对我们的预警模型的最终结果没有影响。虽然在大多数情况下，样本内测试的预测性能优于样本外预测，但扩大样本内校准周期可能会产生优于样本内测试的样本外预测。此外，增加极值提取阈值可以提高模型在样本内测试和样本外预测中的预测能力。

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