我们用Iand Ifor short表示I（1，χ）和I（1，χ）。首先，我们分解IintoI=J+J+J+J。这里：=ZDi{（ey+x- χ）+- （安永- χ） +}（例如- 1） p*（dy）ν（dx），i=1，···，4，其中：={（x，y）| x+y≥ 对数χ，y≥ logχ}，D：={（x，y）| x+y≥ logχ，y<logχ}，D：={（x，y）| x+y<logχ，y≥ logχ}，D：={（x，y）| x+y<logχ，y<logχ}。因此，我们有| LRM（χ）- （χ） |=我-σI+Iσ+C=σ+C | CI- J- J- J- J |。（3.5）注意J=0，Ci=ZD∪Dey（ex- 1） p*（dy）ν（dx），我们得到Ci- J- J- J=ZDey（ex- 1） +（ey- χ） （例如- （1）p*（dy）ν（dx）=ZD（ey+x- χ） （例如- 1） p*（dy）ν（dx）=Z-∞Zlogχ-xlogχ（ey+x- χ） （例如- 1） p*（dy）ν（dx）≤Z-∞Zlogχ-xlogχ（ex- 1） p*（dy）ν（dx）≤ χp*（[对数χ，∞))C-. （3.6）同样，我们得到j=Z∞Zlogχlogχ-x（ey+x- χ） （例如- 1） p*（dy）ν（dx）≤Z∞Zlogχlogχ-xχ（ex- 1） p*（dy）ν（dx）（3.7）≤ χp*((-∞, logχ]）C+。（3.8）从（3.5）、（3.6）和（3.8）中，我们可以得出| LRM（χ）- （χ） |≤σ+C{|χp*（[对数χ，∞))C-| + |J |}（3.9）≤χσ+Cp*（[对数χ，∞))C-+ p*((-∞, logχ]）C+=χC-σ+C+χp*((-∞, logχ]）σ+C（C+- C-) .这就完成了定理3.1的证明。接下来，我们给出| LRM（χ）的第二个估计- （χ） |对于大χ。定理3.2假设∞|φT-t（v- 2i）| 1+vdv<∞. （3.10）则存在一个常数C>0，使得| LRM（χ）- （χ） |≤Cχ（3.11）表示任何χ∈ R+。因此，|LRM（χ）- （χ） |≤ O（χ）为χ→ ∞.证据我们使用（3.9）显示（3.11）。为此，我们估计p*（[对数χ，∞)) 和J分开。为了估算p*（[对数χ，∞)), 我们定义了一个函数bgasbg（z）：=ZReizx[对数χ，∞)（x） dx=-eiz logχiz代表z∈ C、 这意味着P*（[对数χ，∞)) =Z∞-∞[对数χ，∞)（x） p*（dx）=πZ∞bg公司(-v+iα）φT-t（v- iα）dv=πZ∞χ-α-ivα+ivφT-t（v- iα）dv，（3.12），其中α∈ （1，2），（3.12）的值与α的选择无关。请注意，（3.12）的第二个等式来自于[1]中的（2.17）。我们可以选择α=2而不丧失一般性。

因此我们有*（[对数χ，∞)) =πZ∞χ-2.-iv2+ivφT-t（v- 2i）dv≤πχZ∞|χ-iv | |φT-t（v- 2i）| | 2+iv | dv=πχZ∞|φT-t（v- 2i）| 1+v1+v2+ivdv。表示f（v）：=1+v2+iv=1+v√4+v电压≥ 0，我们可以看到1+v√4+v≤√对于任何v≥ 0.从（3.10），wehavep*（[对数χ，∞)) ≤√2πχZ∞|φT-t（v- 2i）| 1+vdv<∞. （3.13）接下来我们检查Jpart。（3.7）暗示≤Z∞Zlogχlogχ-xχ（ex- 1） p*（dy）ν（dx）≤ χZ∞p*（[对数χ- x，∞))（例如- 1） ν（dx）。以与上述p估算相同的方式*（[对数χ，∞)), 我们估计p*（[对数χ- x，∞)) 使用（3.12）。用logχ替换logχ- 用2代替α，我们得到*（[对数χ- x，∞)) =πZ∞χ-2.-ive（2+iv）x2+ivφT-t（v- 2i）dv。因此我们有J≤ χZ∞p*（[对数χ- x，∞))（例如- 1） ν（dx）=χπZ∞Z∞χ-2.-ive（2+iv）x2+ivφT-t（v- 2i）（ex- 1） dvν（dx）≤πχZ∞Z∞χ-IVIVX2+ivφT-t（v- 2i）e2x（ex- 1） dvν（dx）≤√2πχZ∞|φT-t（v- 2i）| 1+vdvZ∞e2x（ex- 1） ν（dx）。（3.14）注意到（3.10），andR∞e2x（ex- 1） ν（dx）<∞ 根据假设2.1，我们得到| J |<∞.从（3.9）、（3.13）和（3.14）中，我们得到| LRM（χ）- （χ） |≤√2π（σ+C）χZ∞|φT-t（v- 2i）| 1+vdv×C-+Z∞e2x（ex- 1） ν（dx）.备注3.3对于σ=0的情况，条件（3.10）不一定满足，尽管σ>0时，条件（3.10）仍然成立。因此，[1]中命题2.1的证明包含一个错误。另一方面，[1]只处理Merton和VG模型，我们可以看到这两种模型的（3.10），因为对于Merton模型σ>0，而对于VG模型，[1]中的命题4.7。4数值结果在本节中，我们对两种典型的指数L'evy模型，即已知的asMerton模型和VG模型进行了数值实验。我们在第3节中获得了两个差异| LRM（χ）的估计值-（χ） |，当χ趋于0或∞. 另一方面，从实践的角度来看，我们对围绕“金钱”的差异行为感兴趣。

为了研究它，我们计算定理3中（3.4）右侧的值作为上估计，并将其与差值的值进行比较。请注意，本节中开发的数值格式基于[1]的结果。4.1默顿跳跃扩散模型考虑了L=log（S/S）被视为默顿跳跃扩散过程的情况，该过程由波动率σ>0的扩散分量和三个参数m的复合泊松跳跃组成∈ R、 δ>0，γ>0。注意，γ表示跳跃强度，跳跃的大小以平均值m和方差δ正态分布。因此，其L'evy度量ν由ν（dx）=γ给出√2πδexp-（十）- m） 2δdx。请注意，假设2.1的第一个条件满足任何m∈ R、 δ>0，γ>0。因此，我们只考虑满足假设2.1第二个条件的参数集。φT的一种解析形式-【1】第3.1条中给出了TWA。我们用FFT计算定理3中（3.4）的右侧。注意，常数C-如下所示：C-= γe2（δ+m）Φ-2δ+mδ- 2eδ+2mΦ-δ+mδ+ Φ-mδ,其中Φ是标准正态累积分布函数。此外，p*((-∞, logχ）用FFT计算如下：p*((-∞, logχ]=1-πZ∞χ-α-ivφT-t（v- iα）α+ivdv。4.2方差gamma模型下一步，我们考虑L作为方差gamma过程给出的情况，其中三个参数κ>0，m∈ R、 δ>0，定义为具有波动率δ、漂移m和隶属度Gt的时变布朗运动，其中Gt是一个具有参数（1/κ，1/κ）的伽马过程。总之，L代表t=mGt+δbgtf∈ [0，T]，其中B是一维标准布朗运动。

此外，L的L'evy度量由ν（dx）=C（1{x<0}e给出-G | x |+1{x>0}e-M | x |）dx | x |，其中c：=κ>0，G：=δrm+2δκ+Mδ>0，M：=δrm+2δκ-mδ>0。此外，我们假设M>4，这确保了假设2.1的第一个条件。φT的一种解析形式-【1】第4.5条中给出了TWA。为了计算（3.4）的右侧，我们显式地计算常数C+和C+，如下所示：C+=C log（M）- 1） M（M- （2）和C-= C日志（G+1）G（G+2）.与默顿模型相同，p*((-∞, logχ）用FFT计算如下：p*((-∞, logχ]=1-πZ∞χ-α-ivφT-t（v- iα）α+ivdv。4.3数值方法、数据和结果我们根据标准普尔500指数上的一组欧洲看涨期权校准模型的参数集。请注意，模型价格定义为MMM P下的预期值*. 该数据集包括2016年4月20日市场收盘时的81个中间价。当天，标准普尔500指数收于2102.4点。市场价格包括七个到期日，分别为2016年5月20日、2016年6月17日、2016年7月15日、2016年9月16日、2016年12月16日、2017年1月20日和2017年3月17日。我们根据该数据集校准了Mertonand VG模型。我们计算了市场和模型价格之间的均方根误差（RMSE）。该统计数据是对fit质量的衡量。我们通过SQP方法最小化RMSE来估计模型参数集。我们提供了Merton和a VG模型的校准结果。梅顿情况下的估计参数集为u=4.0073，σ=0.0435，γ=0.0054，m=-0.0697，δ=0.0889。在此参数集下，RMSE为3.7809。上述估计参数集满足假设2.1的第二个条件。我们分别设置T=1、T=0.95和St=2102.4。在图1（a）中，LRM（χ）和（χ） 分别绘制K=1900、1950、…、，2500（χ=0.9037，0.9275，···，1.1891）。

| LRM的值（χ）- （χ） |及其使用（3.4）的上估计如图1（b）所示。FFT参数选择为N=2、η=0.025和α=1.75。对于VG情况，估计参数集如下所示：C=6.7910，G=30.1807，M=33.1507。在此参数设置下，RMSE为6.429。该参数集也满足假设2.1的第二个条件。我们实现了与默顿案例相同的数值实验。图2显示了他们的结果。我们从数值实验中推断出三点：（i）从（3.4）得到的上估计值非常接近| LRM（χ）的实际值- （χ） |对于默顿案。（ii）LRM（χ）的值- （χ） |对于VG情况，比Merton情况下的更大。（iii）对于VG案例，LRM的行为（χ）- （χ） |在“金钱”方面不稳定。5结论我们导出了| LRM（χ）的不等式估计- （χ） |在定理3和4中。特别地，我们证明了当χ趋于0和∞, 分别地我们计算| LRM的行为（χ）-（χ） |对于两种型号：Merton和VG型号。对于任何指数所有evy模型，计算定理3中（3.4）的右侧是粗略评估两种策略之间距离的简单方法。特别是，图1显示，使用DeltaHeading策略作为LRM策略的替代品是合适的。另一方面，定理4给出了一个大χ的估计，并且似乎对“在金钱上”的评估没有帮助。AcknowlementsTakuji Arai得到了JSPS科学研究援助基金（c）第15K04936号的支持。早稻田大学特别研究项目资助的Yuto Imaiwas（项目编号：2016K-174和2016B-123）。参考文献[1]T.Arai，Y.Imai和R.Suzuki，指数L'evy模型的数值局部风险最小化：Int.J.Thero。应用程序。财务状况。，191650008（2016）[2]T。

Arai和R.Suzuki，《电动汽车市场的局部风险最小化》。内景J.Finan。工程，02，1550015（2015）。[3] P.Carr和D.Madan，《使用快速傅立叶变换的期权估价》，J.Comp。财务状况。，2（1999），61–73。[4] S.Denkl、M.Goy、J.Kallsen、J.Muhle Karbe和A.Pauwels，关于指数L'evy模型中增量混合策略的性能，Quant。财务状况。，13（2013），1173–1184。[5] Y.Imai和T.Arai，《指数所有evy模型的局部风险最小化和增量对冲比较》，JSIAM Letters，7（2015），77–80。[6] J.L.Sol'e，F.Utzet，J.Vives规范L'evy过程和Malliavin微积分，随机过程及其应用117（2007），165–187.0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2 1.2500.10.20.30.40.50.60.70.80.91χLRM（a） LRM（χ）和（χ） 当t固定为0.95时，货币性χ从0.9037到1.1891（K从1900到2500）。蓝色圆圈和红色十字表示LRM（χ）和（χ） ，分别为。0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.2500.0050.010.0150.020.0250.03χLRM- || LRM（χ）的上估计值（b）- （χ） |以及当t固定为0.95时的上限估计，而货币性χ从0.9037到1.1891（K从1900到2500）。蓝色圆圈和红色十字代表| LRM（χ）的值- （χ） |和上限估计。图1：具有估计参数的默顿模型，u=4.0073，σ=0.0435，γ=0.0054，m=-0.0697，δ=0.08890.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.2500.10.20.30.40.50.60.70.80.91χLRM（a） LRM（χ）和（χ） 当t固定为0.95时，货币性χ从0.9037到1.1891（K从1900到2500）。0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.2500.10.20.30.40.50.60.7χLRM- || LRM（χ）的上估计值（b）- （χ） |以及当t固定为0.95时的上限估计，而货币性χ从0.9037到1.1891（K从1900到2500）。图2：带有估计参数的VG模型，C=6.7910，G=30.1807，M=33.1507