具有瞬时价格冲击和随机性的最优交易执行

2022-5-26 23:30:00

具有瞬时价格冲击和随机弹性的最优交易执行*Paulwin Graewe+Ulrich Horst2017年7月10日摘要我们研究了非流动市场中的最优执行问题，当只有绝对连续的交易策略是允许的时，该市场具有瞬时和持久的价格影响以及随机弹性。在我们的模型中，值函数可以用一个具有奇异终端条件的倒向随机微分方程（BSDE）三维系统来描述。我们证明了BSDE系统解的存在性和唯一性，并根据BSDE系统的唯一解刻画了值函数和最优策略。我们的存在性证明基于BSDE系统在终端时间的渐近展开，这使得我们可以用一个终端值有限但驱动力奇异的等效系统来表示系统。关键词：随机控制、多维倒向随机微分方程、投资组合清算、奇异终值AMS主题分类：93E20、60H15、91G801简介和概述∈ （0，∞). 让(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P）带有m维标准布朗运动W=（Wt）T的过滤概率空间∈[0，T]。我们假设整个（Ft）t∈[0，T]是由所有空集完成的W生成的过滤，F=FT。我们用L表示∞F（0，T；Rd）和L∞F级(Ohm; C（[0，T]；Rd）），分别是本质上有界的逐步可测的rdvalue连续过程集。LF（0，T；Rd）表示逐步可测的Rd值过程集（Yt）T∈[0，T]使得E[RT | Yt | dt]<∞,和LF(Ohm; C（[0，T]；Rd））表示具有连续样本路径的所有此类过程的子集∈[0，T]| Yt |]<∞. 所有方程式和不等式均应在P-a.s.中理解。

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nandehutu2022

2022-5-26 23:30:03

感觉*感谢CRC 649经济风险和d-fine GmbH提供的财务支持。Wethank Peter Bank、R¨udiger Frey、Nizar Touzi和各机构的研讨会参与者，以获得宝贵的意见和反馈。+德国柏林洪堡大学数学系，地址：德国柏林大学林登分校，邮编：10099，graewe@math.hu-柏林。德国洪堡大学数学系和商业与经济学院，地址：德国柏林，乌特登林登6号，邮编：10099，horst@math.hu-柏林。本文研究了线性二次型非马尔可夫随机控制问题infξ∈LF（0，T；R）EZT{ηξs+ξsYs+λsXs}ds（1.1）根据Xt=x-Ztξsds，t∈ [0，T]，XT=0，Yt=y+Zt{-ρsYs+γξs}ds，t∈ [0，T]。这里，η和γ是正常数，ρ和λ是渐进可测、非负且本质上有界的随机过程：η>0，γ∈ R+；ρ、 λ∈ L∞F（0，T；R+）。过程（Xt，Yt）t∈[0，T]称为状态进程。它由控制ξ=（ξt）t控制∈[0，T]。过程λ=（λt）t∈[0，T]和ρ=（ρT）T∈[0，T]不受控制。上述形式的控制问题出现在具有随机弹性的市场冲击下的最优投资组合清算模型中。在此类车型中，Xt≥ 0表示投资者需要出售的股份数量∈ [0，T]，ξT表示股票在时间T的交易率∈ [0，T]，终端状态约束XT=0是清算约束。流程Y描述了在一个区块形状的限价订单市场中，过去的交易所造成的持续价格影响，订单深度为1/γ>0，如Obizhaeva和Wang所述[19]。一种解释是，交易率ξ增加了基本鞅价格过程的漂移。这导致执行价格过程的形式为▄St=St- ηξt- 其中St表示基本鞅价格过程。

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2022-5-26 23:30:06

过程ρ∈L∞F（0，T；R+）描述订单簿从过去交易中恢复的速率。常数η>0描述了一个额外的瞬时冲击系数，如Almgren和Chriss[1]中所述。（1.1）中运行成本术语的前两个术语分别反映了瞬时和持续影响产生的预期流动性成本。第三个术语可以解释为与未平仓头寸相关的市场风险的度量。它会惩罚缓慢液化。我们允许风险因素λ是随机的。大多数最优交易执行文献只考虑了两种可能的价格影响中的一种。第一种方法由Bertsimas和Lo【6】以及Almgren和Chris【1】提出，将价格影响描述为一种纯粹的暂时影响，仅取决于当前交易，不影响未来价格。通常假设该影响在交易率中是线性的，从而产生形式为ηξt的二次成本项。在我们的框架中，特例ρ≡ 0、γ=0、y=0和λ≡ const对应于Almgren和Chris的tomodel【1】。许多作者对他们的模型进行了扩展。与我们的工作最接近的是Ankirchner et al.（2）、Graewe et al.（10）、Horst et al.（13）和Kruse and Popier（17）的论文。他们都考虑了具有纯暂时价格影响的非马尔可夫清算问题，其中成本函数由一般的适应因子过程驱动，HJB方程可以根据因子过程的动态，用一维BSDE或具有奇异终值的BSDE来求解。Schied【22】中通过Dawson–Watanabesuperprocess解决了一类一般的马尔可夫清算问题。

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2022-5-26 23:30:09

这种方法避免使用HJB方程，而是使用基于超过程对数拉普拉斯泛函的概率验证参数。Obizhaeva和Wang[19]提出的第二种方法假设价格影响持续存在，过去交易对当前价格的影响会随着时间的推移而衰减。当影响持续时，TONE通常允许采用绝对连续和单一的交易策略。在[19]中，作者假设了持续的弹性和市场深度。Fruth等人[7]将该模型推广到确定性时变市场深度和弹性，并通过变分法技术获得了一个封闭形式的解。在后续工作中，作者考虑了随机流动性参数。他们展示了状态空间分为贸易区和非贸易区，但没有获得边界的明确描述。最优策略的表征Horst和Naujokat【12】获得了关于耦合BSDE系统的结果，用于双边极限订单中的最优曲线模型。Becherer等人最近给出了具有有限时间范围和乘性价格影响的模型中相关自由边界问题的显式解。在本文中，我们分析了一个随机控制问题，该问题产生于同时具有瞬时和持续价格影响的最优交易执行模型中，其中只有绝对连续的交易策略是允许的。经济上，对绝对连续策略的限制意味着瞬时影响是主导因素。从数学上讲，它允许我们在一个经典的而非奇异的随机控制框架中描述由此产生的控制问题，并获得价值函数和最优交易策略的闭合形式解。

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2022-5-26 23:30:13

如果允许使用奇异控制，则很难描述值函数的特征。事实上，当绝对连续控制和奇异控制都可以作为ine。g、 [12]，通常只能使用maximumprinciples获得最优控制的表征结果。在我们的建模框架内，价值函数可以表示为完全耦合的三维随机Riccati方程（BSDE系统）的解。对于常数模型参数的基准情况，随机系统简化为确定性模式系统。在这种情况下，我们说明了如何使用我们的模型来近似大宗交易的清算模型，因此，我们可以将其视为单一方法的第一步，以解决具有奇异终值的奇异和正则随机控制问题。虽然非耦合ODE系统分别出现在Atheral和Schied[9]或Kratz[16]的交易执行模型中，Ankirchner和Kruse[3]，但我们的模型似乎是第一个需要分析多维BSDE系统的模型。在证明描述价值函数的BSDE系统存在唯一解决方案时，需要克服两个挑战。首先，清算约束对BSDE系统的第一个组件施加了单一终端条件。其次，我们的BSDE系统不满足[14]中多维比较原则所需的准单调性条件。在一维环境中，具有奇异终值的BS（P）DEs得到了很好的理解，文献中也得到了一系列解的存在性结果和比较原则。大多数现有结果包括[2、10、13、17]与奇异终值的有限近似值。

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2022-5-26 23:30:16

然后通过单调极限变元得到具有奇异终值的（最小）解。我们将Graewe等人[11]引入的渐近展开方法推广到BSDE系统。其思想是通过找到适当的先验估计来确定BSD系统在最终时间的潜在解的精确渐近行为。终端时间的解的渐近性使我们能够将具有奇异终端值的BSDE系统的解描述为具有有限终端值但具有奇异驱动的BSDE，对于该BSDE，可以使用标准的定点参数证明解在适当空间中的存在性。最后，我们建立了验证结果，从中我们推导出BSDE系统解的唯一性以及最优交易策略的闭合形式表示。建立BSDE系统的先验估计是证明解存在性和验证定理的关键。如上所述，表征该值的BSDE系统不满足Hu和Peng的拟单调条件[14]。为了解决这个问题，我们考虑了描述价值函数的BSDE和描述候选最优交易策略的另外两个BSDE的联合动力学。使用【14】中BSDE系统的比较原则，我们首先确定所有这些过程的范围，然后根据这些范围推导出值函数系数所需的确定性上界。本文的其余部分结构如下。第2节阐述了随机控制问题。第3节建立了解的先验估计和渐近行为。第4节证明了HJB方程的存在性。验证论证在第5节中进行。

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nandehutu2022

2022-5-26 23:30:19

在附录A中，我们回顾了BSDE的多维比较原则，并制定了一个局部L∞-具有局部Lipschitz驱动的BSDE的存在性结果。符号约定。每当符号T-似乎我们的意思是，当T-替换为T，例如LF（0，T-; Rd×m）=TT<TLF（0，T；Rd×m）。此外，对于Y∈ L∞F级(Ohm, C（[0，T-]; R））我们指的是L∞-限制→TYt=∞ 对于每一个C>0，存在T<T，使得Yt≥ C代表所有t∈ [T，T），P-a.s.2任何初始状态（T，x，y）的主要结果∈ [0，T）×R×R我们定义为vt（x，y）：=ess infξ∈A（t，x）EZTt{ηξs+ξsYs+λsXs}ds英尺（2.1）随机控制问题（1.1）关于状态动力学的值函数（dXs=-ξsds，s∈ [t，t]，Xt=x，dYs={-ρsYs+γξs}ds，s∈ [t，t]，Yt=y，其中只有那些控制或（交易）策略ξ∈ LF（t，t；R）属于满足终端状态约束TXT=0 A.s.Assumption 2.1的容许控件的A类（t，x）。我们始终假设控制问题的系数满足η>0，γ∈ R+；ρ、 λ∈ L∞F（0，T；R+）。备注2.2。注意X，Y∈ LF公司(Ohm; C（[t，t]；R）），对于任何（容许）控制，如ξ∈ LF（t，t；R）和ρ∈ L∞F（0，T；R+）。我们通过求解相应的随机Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程来解决控制问题。Peng首先介绍了非马尔可夫控制问题的随机HJB方程[21]。在我们的模型中，随机HJB方程由一阶随机偏微分方程给出，-dVt（x，y）=infξ∈R{-ξxVt（x，y）-（ρty-γξ）yVt（x，y）+ηξ+ξy+λtx}dt-Zt（x，y）载重吨。（2.2）定义2.3。

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2022-5-26 23:30:23

一对随机场（V，Z）：Ohm ×[0，T）×R×R→ 如果满足以下条件，R×Rmis称为上述方程的经典解：o对于每个t∈ [0，T），Vt（x，y）在x和y中是连续可分的，对于每个（x，y）∈ R、（Vt（x，y），xVt（x，y），yVt（x，y））t∈[0，T）∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R）），o对于每个（x，y）∈ R、（Zt（x，y））t∈[0，T）∈ LF（0，T-; Rm），o对于所有0≤ t型≤ s<T和x，y∈ R它认为vt（x，y）=Vs（x，y）+Zstinfξ∈R{-ξxVr（x，y）- （ρry- γξ）yVr（x，y）+ηξ+ξy+λrx}dr-ZstZr（x，y）dWr。我们证明了方程（2.2）的唯一经典解的存在性，并表明值函数由随机场V给出。控制问题的线性二次结构表明，对于HJB方程的解（V，Z），ansatzVt（x，y）=Atx+Btxy+CtyZt（x，y）=ZAtx+ZBtxy+ZCty（2.3）。以下引理表明，ansatz将我们的HJB方程简化为以下三维随机Riccati方程：-dAt公司=λt- η-1（在- γBt）dt公司- ZAtdWt公司-dBt公司=-ρtBt+η-1（γCt- Bt+1）（At- γBt）dt公司- ZBtdWt-dCt公司=-2ρtCt- η-1（γCt- Bt+1）dt公司- ZCtdWt。（2.4）引理2.4。如果向量（A、B、C），（ZA、ZB、ZC）∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R））×LF（0，T-; R3×m）求解BSDE系统（2.4），然后由线性二次ansatz（2.3）给出的随机场（V，Z）是HJB方程（2.2）的经典解，因此通过ξ*t（x，y）=η-1（在- γBt）x- η-1（γCt- Bt+1）y.（2.5）证明。让我们fix（t，x，y）∈ [0，T）×R×R。

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2022-5-26 23:30:27

哈密顿量（ξ）=-ξxVt（x，y）- （ρty- γξ）yVt（t，x）+ηξ+ξy+λtx=η-1（ηξ- xVt（x，y）+γyVt（t，x）+y）-η-1个(xVt（x，y）- γyVt（x，y）- y）- ρtyyVt（x，y）+λtxis在ξ处最小化*= η-1个(xVt（x，y）- γyVt（t，x）- y）。根据线性二次ansatz（2.3），我们得到（2.5）和h（ξ*) = -η-1（（在- γBt）x- （γCt- Bt+1）y）- ρty（Btx+Cty）+λtx=（λt- η-1（在- γBt））x+(-ρtBt+η-1（在- γBt）（γCt- Bt+1））xy+(-2ρtCt- η-1（γCt- 为了保证HJB方程解的唯一性，我们需要施加一个合适的终端条件。由于终端状态约束XT=0，我们预计tradingrateξ对于任何非平凡的初始位置都趋于一致，如t→ T我们进一步预计，由此产生的交易成本将主导任何弹性效应。因此，我们预计vt（x，y）~ Vρ=0t（x，y）作为t→ t其中Vρ=0t（x，y）表示与ρ控制问题相对应的值函数≡ 0、如果ρ≡ 0，则Yρ=0=Y+γ（x- 十） andZTtξsYρ=0sds=xy+γX，与策略ξ无关∈ A（t，x）。因此，Vρ=0t（x，y）=ess infξ∈A（t，x）EZTt{ηξs+λsXs}ds英尺+ xy+γx=（￠At+γ）x+xy，其中￠A在[2，11]中被描述为具有奇异终端值的BSDE的唯一解-d▄At={λt- η-1▄At}dt- Z▄AtdWt，limt→T▄At=∞ 在L中∞.因此，我们期望线性二次ansatz（2.3）的系数满足（At、Bt、Ct）-→ (∞, 1，0）英寸L∞作为t→ T（2.6）下一个定理建立了BSDE系统（2.4）在奇异终端条件（2.6）下解的存在性结果。第4节给出了证明。它基于[11]中介绍的渐近展开的多维推广。定理2.5。

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2022-5-26 23:30:30

施加奇异终端条件（2.6）的BSDE系统（2.4）至少允许一个解（（A，B，C），（ZA，ZB，ZC））∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R））×LF（0，T-; R3×m）。下一个定理验证了前面的启发式；其证明见第5节。特别是，它指出值函数的形式确实是（2.3）。因此，mostone的BSDE系统解决方案（2.4）满足（2.6）。定理2.6。Let（（A，B，C），（ZA，ZB，ZC））∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R））×LF（0，T-; R3×m）是满足单一终端条件（2.6）的BSDE系统（2.4）的解决方案。然后，值函数为线性二次型（2.3），最优控制由反馈型（2.5）给出。特别是，该系统最多允许一个满足（2.6）要求的解决方案。示例2.7。在风险中性投资者的确定性基准模型中（λ≡ 0）和恒定确定性弹性（ρt≡ ρ>0）上述BSDE系统简化为以下ODE系统：-˙At=-η-1（在- γBt），0≤ t<t；限制→TAt=+∞;-˙Bt=-ρBt+η-1（γCt- Bt+1）（At- γBt），0≤ t<t；限制→TBt=1；-˙Ct=-2ρCt- η-1（γCt- Bt），0≤ t<t；限制→TCt=0。利用（4.1）中介绍的渐近展开，上述常微分方程组可以通过求解相应的常微分方程组（4.2）来求解。ODE系统具有有限的终值，即正则非线性。可以使用MATLAB软件包bvpsuite对其进行数值求解【15】。该软件包是为求解具有正则奇点的常微分方程系统而设计的。图1描述了Almgren和Chriss【1】以及Obizhaeva和Wang【19】提出的不同瞬时影响因子η选择的最优交易策略和基准模型的最优交易策略。

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2022-5-26 23:30:35

正如我们所看到的，对于大瞬时影响因素，最优交易策略类似于Almgre和Chriss模型，而对于小瞬时影响因素，最优交易策略类似于Obizhaeva和Wang模型，具有奇异控制。这表明，我们的模型可以被视为两种极端情况的混合体，分别只有瞬时和持续的市场影响。3先验估计在本节中，我们建立了BSDE系统的先验估计（2.4）。这些估计将同时适用于解决方案存在性的证明和验证定理。贯穿，let（（A，B，C），（ZA，ZB，ZC））∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R））×LF（0，T-; R3×m）表示满足（2.6）的（2.4）的任何解。还可以方便地考虑以下过程：=η-1（A- γB）和E：=η-1（γC- B+1）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Xt=10=0.5=0.01Almgren&ChrissObizhaeva&Wang图1：与Almgren和Chris[1]以及Obizhaevaand Wang[19]的模型相比，确定性基准模型中不同瞬时影响因子η的最佳交易策略，x=1，y=0，λ≡ 0、γ=100、T=1和ρ≡ 1.出现在候选最优控制反馈表（2.5）中。Dand E的方程式如下：-滴滴涕={η-1λt- Dt+η-1γρtBt- γEtDt}dt- ZDTDWT带-dEt={2η-1ρt- 2ρtEt- γEt+η-1ρtBt- EtDt}dt- ZEtdWt={η-1ρt（1- γCt）- ρtEt- γEt- EtDt}dt- 泽德沃特。为了建立先验估计，我们首先确定过程a、…、，E、以下引理的证明使用了BSDE的多维比较原理，这是由于Hu和Peng【14】在附录中给出的。引理3.1。它认为A，D≥ 0和B，-γC，ηE∈ [0，1]，dP×dt-a.e.证明。

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2022-5-26 23:30:39

我们首先注意到B，C∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R））与L∞-BTA和CTA t的收敛性→ T表示B，C∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T]；R）），因此E∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T]；R））。C的非正性源自具有基本边界系数的线性BSDE的解公式【20，命题5.31】。事实上，从(-dCt={-2ρtCt- ηEt}dt- ZCtdWt，0≤ t<t，CT=0，我们得到CT=-EZTtηEse-Rst2ρrdrds英尺≤ 0。（3.1）E的非负性来自类似的参数。事实上-dEt={-（ρt+γEt+Dt）Et+η-1ρt（1- γCt）}dt- ZEtdWt，0≤ t<t。尽管dt在t=t时是奇异的，但我们可以将解公式应用于所有τ<t的[0，τ]。这将产生Et=EEτE-Rτt（ρR+γEr+Dr）Dr+Zτtη-1ρs（1- ηCs）e-Rst（ρr+γEr+Dr）drds英尺. （3.2）L∞-Dtto的收敛性∞ 作为t→ T加上D∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R））意味着D在[0，T]上本质上是有界的。由于ρ、C和E本质上是有界的，当τ→ T英寸（3.2）。因此，E≥ 0，因为C≤ 0和becauseEτ→ ET=η-1（γCT- BT+1）=0作为τ→ T、为了证明B，D≥ 我们需要考虑他们的关节动力学。首先，由于（不当）L∞-BTA和DTA t的收敛性→ T存在一个确定的时间τ<T，即B，D≥ 0开[τ，T]。让我们考虑[0，τ]上B和D的BSDE系统：(-dBt={-ρtBt+ηEtDt}dt- ZBtdWt-滴滴涕=η-1λt- Dt+η-1γρtBt- γEtDtdt公司- ZDtdWt。由于ρ、E和D本质上有界于[0，τ]，我们可以通过D变量中的标准截断参数假设该系统在B和D中是dP×dt-a.E.uniformlyLipschitz连续的，而不丧失一般性。

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2022-5-26 23:30:42

此外，系统是拟单调的，因为E，ρ≥ 因此，我们可以将附录命题A.1中给出的多维BSDE的比较定理应用于f（t，B，D）=(-ρtB+ηEtD，-D+η-1γρtB- γEtD）f（t，B，D）=(-ρtB+ηEtD，η-1λt- D+η-1γρtB- γEtD）（直到D中截断）和终端条件Yτ=（0，0）和Yτ=（Bτ，Dτ）≥ 分别为Yτ。作为第一个BSDE系统的独特解决方案，满足了Yt≡ （0，0），我们看到（Bt，Dt）=Yt≥ （0，0）对于所有t∈ [0，τ]。因此过程（B，D）是非负的。最后，我们从B得出结论，-γC，ηE≥ 0且ηE=γC- B+1表示B，-γC，ηE≤ 1、我们现在准备建立先验估计。提案3.2。就κ而言：=p2η-1max{kλkL∞, γkρkL∞} 以下先验估计值适用于dP×dt-a.e.：dt：=η-1γeη-1γ（T-t）- 1.≤ Dt公司≤ κcoth（κ（T- t））=：Dt，Bt：=e-kρkL∞（T-t）≤ 英国电信≤ 1,0≤ Et公司≤ γ-1κtanh（κ（T- t））=：EtProof。自D起≥ 0我们可以用单调形式编写D的BSDE。也就是说，-滴滴涕=η-1λt- |Dt | Dt+η-1γρtBt- γEt | Dt|dt公司- ZDtdWt。D解的上下估计-滴滴涕={-|Dt | Dt- η-1γ| Dt |}Dt，和-滴滴涕={κ- |Dt | Dt}Dt，分别为。上述方程为时间齐次方程。因此，对于任何δ>0的过程，δt：=Dt-δ和Dδt：=Dt+δ仍然满足各自的方程，但具有奇点att=t+δ和t=t- δ、分别为。因为D本质上是有界于[0，T- δ] andlimt公司→T-δDδt=∞ 在L中∞存在出口s∈ [0，T- δ] 使D≤ Dδ开[s，T- δ）。因为B≤ 1和-教育部≤ 0，我们有所有（t，y）∈ [0，s]×R，η-1λt- |y | y+η-1γρtBt- γEtDt≤ κ- |因此，具有单调驱动的BSDE的经典一维比较定理[20，命题5.33]得出D≤ Dδ开[0，s]。最后，让δ→ 0收益率D≤ D在[0，T]上，通过D的连续性。为了建立D≤ 关于[0，T]，有人提出了类似的论点。

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2022-5-26 23:30:45

在这种情况下，比较论证由不平等性证明-|y | y- η-1γ| y |≤ λt- |y | y+η-1γρtBt- γEt | y |。接下来，我们建立E的上估计值≥ 我们可以再次假设E的bsde是单调的，即-dEt={2η-1ρt- 2ρtEt- γ| Et | Et- η-1ρtBt- EtDt}dr- 泽德沃特。自E、B、D起≥ 0我们所有人都有（t，y）∈ [0，T）×R that2η-1ρt- 2ρtEt- γ| y | y- η-1γρtBt- EtDt≤ γ-1κ- γ| y | y.（3.3）让我们考虑δ>0的确定性过程δt=γ-1κtanhκ（T- δ- t） +电弧tanh（γκ-1台ET-δkL∞), 0≤ t型≤ T- δ。然后-dEδt=γ-1κ- γ| Eδt | Eδt，0≤ t型≤ T- δEδT-δ=kET-δkL∞.因此，回顾（3.3），一维比较定理impliesEt≤ Eδt，t∈ [0，T- δ] 。自kETkL以来∞= 0，让δ→ 0完成证明。最后，为了确定B的较低估计值，我们注意到B解决了-dBt=-kρkL∞Btdt，0≤ t型≤ TBT=1，因此是B的BSDE的亚解。此时，我们已经知道B的BSDE中的潜在奇异项EtDt表现良好（以EtDt=γ为界-1κ）在整个区间[0，T]。因此，在这一步中，在终端时间不需要移位参数，我们通过比较直接得出结论，B≤ B、根据先验估计，我们得到了BSDE系统在终端时间的渐近行为，如下推论所述。最后时刻的渐近性是我们存在结果的关键。推论3.3。以下渐近行为在L中成立∞作为t→ T：（T）- t） At=η+O（t- t），Bt=1+O（t- t），Ct=O（（t- t））。证据A=η（D+γB）和B的渐近行为直接遵循上述A先验估计。C的渐近阶遵循（3.1）和Et=O（Et）=O（T-t）在L中∞作为t→ T4存在性在本节中，我们证明定理2.5，即满足奇异终端条件（2.6）的BSDE系统（2.4）解的存在性。

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nandehutu2022

2022-5-26 23:30:49

与[11]类似，我们的存在性证明基于推论3.3中建立的渐近行为。它表明以下渐近ansatz：At=ηT- t+Ht（t- t），Ht=O（（t- t））在L中∞作为t→ T，Bt=1+GtT- t、 Gt=O（t- t））在L中∞作为t→ T，Ct=Pt，Pt=O（（T- t））在L中∞作为t→ T，（4.1）其中，H和G的渐近阶是由于与[11，备注4.2]中类似的原因而人工提高的，以获得下面引理4.1（ii）中给出的局部Lipschitz型陈述，而P的降阶则是符号的唯一性，并允许我们在相同的加权L中求解所有三个过程∞-空间渐近ansatz（4.1）将原始系统（2.4）简化为-dHt=（（T- t） λt-ηHtT公司- t型- γ（T- t+Gt）+ 2γ（T- t+Gt）dt+ZHtdWt-dGt公司=-ρt（t-t+Gt）+ηγPt-GtT公司-t型HtT公司-t型-γ（T-t+Gt）+γPtdt+ZGtdWt-dPt公司=(-2ρtPt-ηγPt-GtT公司- t型)dt+ZPtdWt。（4.2）我们定义：Ohm ×[0，T）×R→ 我们有这么多-dYt=f（t，Yt）dt- ZtdWtas（4.2）的紧凑表示法，通过识别Y=（H，G，P）和Z=（ZH，ZG，ZP）。对于δ>0，我们将在空间h={Y中建立（4.2）的短时解的存在性∈ L∞F级(Ohm; C（[T- δ、 T]；R））：kY kH<+∞}被赋予标准kH=（T- ·)-2年·L∞F级(Ohm;C（[T-δ、 T]；R））。由于YT=0，这意味着我们正在寻找运算符Γ（Y）的H中的固定点：=EZTtf（s，Ys）ds英尺T-δ≤t型≤T、引理4.1。以下是正确的：（i）H是完整的。（ii）对于每个R>0，存在一个常数L>0（与δ无关），使得kf（·，Y·）- f（·，X·）kH≤ LkY公司·- X·KH代表所有Y，X∈ BH（右）。证据空间L∞F级(Ohm; C（[T- δ、 T]；R））和H通过识别y等距同构∈ L∞F级(Ohm; C（[T- δ、 T]；R））的过程（（T- t） Yt）t-δ≤t型≤锡H。

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2022-5-26 23:30:53

因此H是完整的。为了建立Lipschitz连续性，将Ytyt设为连接Yt和Yt的线段。根据Y的中值定理，Y∈ BH（R），dP×dt-a.e.，| f（t，Yt）- f（t，Yt）|≤ 苏比∈YtYtk公司yf（t，y）kHom（R；R）| Yt- 年初至今|≤ （T- t）辅助| y|≤（T-t） Rk公司yf（t，y）kHom（R；R）kY- Y kH，（4.3），其中使用的线YtYtis包含在BR（（T- t） R），dP×dt-a.e.但是，yf（t，y）=-2yη（T-t） +2γyη（t-t） +2γη2γyη（t-t）-2（y+T-t型-ηγ-1） ηγ-2.-yη（T-t） +γyη（t-t）-yη（T-t） +2γyη（t-t）-γy-1ηγ-1.- ρtγyη（t-t）-y+T-t型-1ηγ-2.-2yη（T-t） +2γyη（t-t） 2γyη（t-t）-2yηγ-2.- 2ρt,从中我们可以看出，（4.3）中的上确界在Ohm ×[T- δ、 T）]。适当选择前面引理中的R和δ，我们可以使用标准的fix-point参数来表明Γ具有唯一的fix-point。fix-point只是（4.2）的局部解决方案。提案4.2。对于δ>0系数，存在一个短时解（Y，Z）∈ H×LF（T- δ、 T；R3×m）至（4.2）。证据设f x R=4 max{T kλkL∞+ γT/η+2γ，kρkL∞} 选择L>0，如引理4.1所示。对于Y，Y∈ BH（R）然后保持dP×dt-a.e.，|Γ（Y）t- Γ（Y）t |≤ EZTt | f（s，Ys）- f（s，Ys）| ds英尺≤ L（T- t）肯塔基州- YkHThis产量，只要0<δ≤ （2升）-1，kΓ（Y）- Γ（Y）kH≤肯塔基州- YkH。因此，Γ是BH（R）上的1/2收缩。此外，Γ将BH（R）映射到自身。的确，对于所有Y∈ BH（R）保持dP×dt-a.e.，|Γ（Y）t |≤ |Γ（Y）t- Γ（0）t |+|Γ（0）t|≤ （T- t） R+EZTt | f（s，0）| ds英尺≤ （T- t） R+EZTt2最大{（T- s） λs+γη（T- s） +2γ（T- s），ρs（T- s） }ds英尺≤ （T- t） R+2（t- t）最大{t kλkL∞+γηT+2γ，kρkL∞} = （T- t） R.因此，Γ有一个唯一的固定点Y∈ BH（右）。

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2022-5-26 23:30:58

流程Y满意度Y=-ZtT公司-δf（s，Ys）ds+EZTT公司-δf（s，Ys）ds英尺.根据鞅表示定理，存在一个过程Z∈ LF（T- δ、 T；R3×m）等高=-ZtT公司-δf（s，Ys）ds+ZtT-δZsdWs。因此，（Y，Z）给出了（4.2）所需的短期解。我们现在准备证明定理2.5。定理2.5的证明。由命题4.2建立的（4.2）的短期解给出了ansatz（4.1）的一个短期解（a，B，C）∈ L∞F级(Ohm; （[T- δ、 T型-]; R））×LF（T- δ、 T型-; R3×m）至（2.4），满足奇异终端条件（2.6）。为了看到这种短时间解决方案扩展到L中的全局解决方案∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R））×LF（0，T-; R3×m）注意，系统（2.4）满足本地∞-附录中给出了引理A.2的局部Lipschitz驱动BSDE的存在性结果。因此，系统（2.4）施加了本质上有界的终值（在-δ、英国电信-δ、 CT-δ）允许[T]上的本质有界局部扩张- δ- δ、 T型- δ] 。由于命题3.2中给出的先验估计，我们知道该局部扩张将保持（回顾a=η（D+γB））在有界区域[0，η（DT-δ+γ）]×【0，1】×[-1/γ，0]。因此，在迭代这个扩展过程时，我们可以为系统（2.4）一步一步地选择（参见引理A.2的证明）相同的局部Lipschitz常数L>0，这导致扩展间隔的恒定长度δ>0。因此，经过许多步骤后，我们得到了[0，T]的全局扩展。5验证这一节专门讨论定理2.6的验证声明。通篇，let（（A，B，C），（ZA，ZB，ZC））∈ L∞F（0，T-; R） ×LF（0，T-; R3×m）表示满足（2.6）的（2.4）的任何解，并回顾候选最优策略ξ*根据过程给出：=η-1（A- γB）和E：=η-1（γC- B+1），第3节中已对其进行了先验估计。

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2022-5-26 23:31:01

ξ可容许性的证明*使用以下Gronwall不等式的迭代积分版本。引理5.1（[4，推论11.1]）。设u（t）、a（t）和b（t）是[0，t]上的非负连续函数，其中a（t）和b（t）是非减函数，假设u（t）≤ a（t）+b（t）ZtZsk（s，r）u（r）dr ds，0≤ t型≤ T、其中k（s，r）是{0上的非负连续函数≤ r≤ s≤ T}。Thenu（t）≤ a（t）膨胀b（t）ZtZsk（s，r）dr ds, 0≤ t型≤ T、我们现在准备验证候选最优控制ξ*确实可以接受。引理5.2。反馈控制ξ*（2.5）中给出的是可接受的。证据让我们确定初始状态（t，x，y）∈ [0，T）×R×R.状态过程的动力学（X*, Y*) 在候选最优控制ξ下*由以下公式得出：（dX）*s={-DsX公司*s+EsY*s} dsdY公司*s={-（ρs+γEs）Y*s+γDsX*s} ds。（5.1）由于D在终端时间的奇异性，尚不清楚（5.1）的解是否在终端时间得到了很好的定义；先验地，我们只知道（X*, Y*) ∈ L∞F级(Ohm; C（[t，t-]; R）。为了显示X*T=0我们首先应用T的常数变化公式≤ s<T toget:X*s=xe-RstDudu+Zste-RsrDuduErY公司*兰迪*s=ye-Rst（ρu+γEu）du+Zste-Rsr（ρu+γEu）duγDrX*rdr。

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2022-5-26 23:31:04

（5.2）因此，过程▄Xs：=X*Serstdrdrsaties，~Xs=x+zstertduduery*rdr=x+ZSTERRTDUERye公司-Rrt（ρu+γEu）du+Zrte-Rru（ρv+γEv）dvγ到期-RUTDDVV徐都自ρ，E以来的博士≥ 0，这就产生了|￠Xs |≤ |x |+ZSterrtduerZr | y | dr+ZSterrtduerZrTγ到期-Rutddvv | | Xu | du dr=| x |+| y | zstertduduerdr+ZstγErZrtDueRruDvdv | | Xu | du dr.通过Gronwall不等式的迭代积分版本（引理5.1），| | Xs |≤|x |+| y | ZSterrtduuerdr经验值ZstγErzrtduerrudvdu dr=|x |+| y | ZSterrtduuerdr经验值ZstγEreRrtDudu错误- 1.博士.（5.3）鉴于D和E的先验上界，因为coth（·）的反导数由ln（sinh（·））给出，并且因为cosh（·）≥ 1，ZstγERERRTDUDR≤Zstκtanh（κ（T- r））eRrtκcoth（κ（T-u））dudr=Zstκtanh（κ（T- r））sinh（κ（T- t））sinh（κ（t- r））dr≤ κ（s- t） sinh（κ（t- t）（）≤ κT信使（κT）。与（5.3）一起，这表明|Xs |以s为界→ T因此，这次使用D的先验下界，| X*s |=| Xs | exp-ZstDrdr≤ |Xs | exp-Zstη-1γeη-1γ（T-r）- 1dr= |Xs | 1- e-η-1γ（T-s） 1个- e-η-1γ（T-t） s→T---→ 0。（5.4）这表明X*T=0。它还显示X*s=O（T- s）在L中∞作为s→ T当Ds=O（（T- s）-1）接下来是Dx*∈ L∞F级(Ohm; C（[t，t]；R））。DX的有界性*（5.2）再次暗示Y*∈ L∞F级(Ohm; C（[t，t]；R））。因此，我们得出结论*∈ L∞F级(Ohm; C（[t，t]；R））。这证明ξ*确实可以接受。引理5.3。对于每ξ∈ A（t，x）它容纳E[AsXs+BsXsYs+CsYs | Ft]s→T---→ 0.证明。召回B、C∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T]；R）），X，Y∈ LF公司(Ohm; C（[t，t]；R）），且XT=CT=0，它遵循支配收敛定理，E[BsXsYs+CsYs | Ft]s→T---→ 此外，请注意，通过XT=0和Jensen不等式，Xs=ZTsξrdr≤ （T- s） ZTsξrdr。因此，根据推论3.3，E【AsXs | Ft】≤ E（T- s） AsZTsξrdr英尺s→T---→ 我们现在准备证明验证定理。定理2.6的证明。

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2022-5-26 23:31:07

通过稍微滥用符号，我们在此证明中通过线性二次ansatz（2.3）定义了随机场Vt（x，y）和Zt（x，y），并验证这给出了控制问题的值函数。目前我们只知道（V，Z）是HJB方程（2.2）的一个经典解。让我们确定初始状态（t，x，y）∈ [0，T）×R×R与容许控制ξ∈ A（t，x）。对于n∈ Nwe定义停止时间τn：=inf{t≤ s≤ T：| Xs |∨ |Ys |≥ n} 。因为（V，Z）解HJB方程，所以所有t的it^o-Kunita公式【18，定理I.8.1】都成立≤ s<T，Vt（x，y）=Vs∧τn（Xs∧τn，Ys∧τn）+Zs∧τnt{ξrxVr（Xr，Yr）- (-ρrYr+γξr）yVr（Xr，Yr）}dr+Zs∧τntifξ∈R{-ξxVr（Xr，Yr）- （ρtYr- γξ）yVr（Xr，Yr）+ηξ+ξy+λtx}dr-Zs公司∧τntZr（Xr，Yr）dWr。（5.5）上述随机积分在τnis为真鞅时停止。因此，Vt（x，y）≤ E[Vs∧τn（Xs∧τn，Ys∧τn）| Ft]+EZs公司∧τnt{ηξr+ξrYr+λrXr}dr英尺. （5.6）由于随机场Vr（x，y）的系数A、B、C基本上在[t，s]上有界，因此x，y∈ LF公司(Ohm; C（[t，t]；R）），因为ξ∈ LF（t，t；R）和λ∈ L∞F（0，T；R+），它遵循H¨older不等式thatAX，BXY，CY∈ LF公司(Ohm; C（[t，s]；R））和ξ，ξY，λX∈ LF（t，t；R）。因此，当n→ ∞ 在（5.6）中，产生Vt（x，y）≤ E【Vs（Xs，Ys）| Ft】+EZst{ηξr+ξrYr+λrXr}dr英尺. （5.7）因此，通过引理5.3和再次支配收敛定理→ T产量，Vt（x，y）≤ EZTt{ηξr+ξrYr+λrXr}dr英尺.

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mingdashike22

2022-5-26 23:31:10

（5.8）最后注意，由于反馈控制ξ*达到（5.5）中的最大值，如果ξ=ξ，则在（5.6）–（5.8）中保持相等*.6结论在本文中，我们分析了一个新的随机最优控制问题，该问题出现在具有瞬时和持续价格影响和随机弹性的最优贸易执行模型中。假设瞬时影响因子为常数，但考虑到随机弹性和市场风险，我们根据第一个分量中具有奇异终端条件的三维随机Riccati方程的唯一解来描述价值函数。我们的解的存在性结果使用了在[11]中引入的渐近展开方法的扩展到多维环境。仍然存在一些悬而未决的问题。首先，我们不能保证交易利率的非负性。直观地说，如果y=0，价格触发的圆三位数不应该是有利的。不过，根据我们的分析，不能排除这种可能性。其次，η和γ为常数的假设对于建立a先验估计值很重要。如【8】所示，扩展到更一般的影响因子，尤其是随机影响因子γ，是非常可取的。第三，对确定性基准模型的数值分析表明，如果η→ 虽然在一般非马尔可夫框架中对该极限进行正式证明肯定是可取的，但这显然超出了本文的范围。Hu和Peng首先给出了一个附录A，在该附录中，多维BSDE的比较定理成立[14]。下面的等效准单调条件（iv）可在[24，定理3.1]中找到。

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2022-5-26 23:31:14

[14，24]中的比较结果是在我们的模型中不满意的驱动因素的附加连续性条件下进行的。然而，连续性条件只需要证明如果比较原理成立，那么系统必然是拟单调的。相反的含义不需要连续性。因此，他们的结果实际上适用于我们的框架。尽管如此，为了方便读者阅读，我们参考了Wu和Xiao[23]的多维反射BSDE的比较结果，该结果是在下面给出的较弱正则性假设（i）下明确表述的。命题A.1（【23，定理3.1】）。Let（一，子）∈ LF公司(Ohm; C（[0，T]；Rd））×LF（0，T；Rd×m），i=1，2，BSDE的be解-dYit=fi（t，Yit，Zit）dt- ZitdWt，0≤ t型≤ T、使用驱动程序fi：Ohm ×[0，T]×Rd×Rd×m→ Rd，i=1，2，满足（i）fi（·，y，z）∈ 所有y的LF（0，T；Rd）∈ R和z∈ Rd×m，（ii）存在L>0，因此对于所有y，y∈ Rd和z，z∈ Rd×m，| fi（t，y，z）- fi（t，y，z）|≤ L（| y- y |+| z- z |），dP×dt-a.e.，另外假设，（iii）YT≤ YT，（iv）对于每k=1，d它适用于所有y，y∈ Rd和z，z∈ Rd×msuch，即yk=yk，zk=zk，yl≤ yl，l 6=k:fk（t，y，z）≤ fk（t，y，z），dP×dt-a.e.然后是Yt≤ Yt，t∈ [0，T]。下面我们陈述一个本地L∞-具有不依赖于Z的局部Lipschitz驱动的BSDE的存在性结果。该结果似乎是众所周知的；我们给出它是为了完整性。具体而言，我们考虑BSDEYt=ζ+ZTtf（s，Ys）ds-ZTtZsdWs，0≤ t型≤ T、（A.1）其中，我们假设终值oζ∈ L∞FT（Rd）基本上是有界的，并且驱动程序f：Ohm ×【0，T】×Rd→ RDSatiesof（·，0）∈ L∞F（0，T；Rd），o对于每一个R>0，存在L>0，使得对于所有| y |，| y |≤ R、 | f（t，y）- f（t，y）|≤ L | y- y |。（A.2）引理A.2。

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2022-5-26 23:31:17

在上述假设下，存在δ>0，因此存在于[T- δ、短期解决方案（Y，Z）∈ L∞F级(Ohm; C（[T- δ、 T]；Rd））×LF（T- δ、 T；Rd×m）至（A.1）。证据我们将表明，可以选择δ=1/（2L），其中L是关于R=2（kζkL）的Lipschitz常数givenin（A.2∞+ T kf（·，0）kL∞).H=L时∞F级(Ohm; C（[0，T]；Rd））我们定义了运算符Γ：H→ H乘以Γ（Y）t=Eζ+ZTtf（s，Ys）ds英尺.那么Γ是BH（R）上的收缩：对于所有Y，Y∈ BH（R）保持dP×dt-a.e.，|Γ（Y）t- Γ（Yt）|≤ EZTt | f（s，Ys）- f（s，Ys）| ds英尺≤ LE公司ZTt | Ys- Ys | ds英尺≤ L（T- t）肯塔基州- YkL公司∞≤ LδkY- YkL公司∞=肯塔基州- YkL公司∞.此外，Γ将BH（R）映射到自身：对于所有Y∈ BH（R）保持dP×dt-a.e.，|Γ（Y）t |≤ |Γ（Y）t- Γ（0）t |+|Γ（0）t|≤ kΓ（Y）- Γ（0）kL∞+ kζkL∞+ （T- t） kf（·，0）kL∞≤吉隆坡肯塔基州∞+ kζkL∞+ T kf（·，0）kL∞≤ R、因此，Γ在BH（R）中有一个独特的固定点。根据鞅表示定理，该不动点给出了所需的解。参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3（2001），第5-39页。[2] S.Ankirchner、M.Jeanblanc和T.Kruse，具有奇异终端条件的BSDE和具有约束的控制问题，SIAM J.control Optim。，52（2014），第893-913页。[3] S.Ankirchner和T.Kruse，《具有随机线性二次成本的最优位置定位》，巴纳赫中心出版社。，104（2015），第9-24页。[4] D.Bainov和P.Simeonov，《积分不等式和应用》，第57卷《数学及其应用：东欧系列》，Kluwer，1992年。[5] D.Becherer、T.Bilarev和P.Frentrup，《随机流动性下的最优清算》。arXiv:1603.064982017年4月。[6] D.Bertsimas和A.W.Lo，《执行成本的最优控制》，J.Financ。《市场》，1（1998），第1-50页。[7] A.Fruth、T.Schoneborn和M.Urusov，《具有时变流动性的订单中的最优交易执行和价格操纵》，数学。

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2022-5-26 23:31:20

《金融》，24（2014），第651-695页。[8] ，具有随机流动性的订单中的最优交易执行。未发布的打印，http://homepage.alice.de/murusov/papers/fsu-optimal_execution_stochastic.pdf，2015年9月。[9] J.Gatheral和A.Schied，《Almgren和Chriss框架下几何布朗运动下的最优贸易执行》，Int.J.Theor。应用程序。《金融》，14（2011），第353-368页。[10] P.Graewe、U.Horst和J.Qiu，《一个具有奇异终端条件的非马尔可夫清算问题和后序问题》，SIAM J.Control Optim。，53（2015），第690-711页。[11] P.Graewe、U.Horst和E.S'er'E，平稳解决价格敏感市场影响下的投资组合清算问题。出现在随机过程中。应用程序。，2017年【12】U.Horst和F.Naujokat，何时跨越价差？双边限额订单交易，暹罗J.金融数学。，5（2014），第278-315页。[13] U.Horst，J.Qiu和Q.Zhang，一个具有退化系数和退化后向SPDE且具有奇异终端条件的约束控制问题，SIAM J.ControlOptim。，54（2016），第946-963页。[14] 胡耀明，彭世华，关于多维盲源数据集的比较定理，C.R.Acad。Sci。巴黎，爵士。一、 343（2006），第135-140页。[15] G.Kitzhofer、O.Koch、G.Pulver、C.Simon和E.Weinmuller，用于求解奇异隐式BVPs的新MATLAB代码bvpsuite，J.Numer。肛门。工业。应用程序。数学5（2010），第113-134页。[16] P.Kratz，一个带跳跃的非线性二次约束随机控制问题的显式解：逆向选择暗池中的最优清算，数学。操作。第39号决议（2014年），第1198-1220页。[17] T.Kruse和A.Popier，具有奇异终端条件的BSDE的最小上解及其在最优位置定位中的应用，随机过程。应用程序。，126（2016），第2554-2592页。[18] H。

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