时间非齐次制度转换市场中衍生产品的定价

2022-5-30 20:36:03

具有时间非均匀波动率的制度转换市场中衍生产品的定价*Milan Kumar Das+Anindya GoswamiTanmay S.Patankar§摘要：本文研究了年龄相关的半马尔可夫调制市场中衍生品的定价问题。我们考虑一个金融市场，其中资产价格动态遵循一个制度转换几何布朗运动模型，其中系数依赖于许多年龄相关的半马尔可夫过程。我们进一步明确允许波动系数依赖于时间。在这些市场假设下，我们研究了一类欧洲期权的局部风险最小化定价。结果表明，通过求解非局部B-S-M型偏微分方程可以得到价格函数。我们建立了柯西问题经典解的存在唯一性。我们还通过第二类Volterra积分方程的s系统发现了价格函数的另一个特征。这种替代表示法可以为确定价格和套期保值提供高效的计算方法。最后，我们分析了偏微分方程，以建立解对半马尔科夫过程惯性矩转移率的连续依赖关系。还得到了二次剩余风险的显式表达式。关键词：半马尔可夫过程、Volterra积分方程、非局部抛物线偏微分方程、局部风险最小化定价、最优HedgingClassification No:60K15、91B30、91G20、91G60.1简介1971年，Black、Scholes和Merton考虑了资产价格动态的数学模型，以发现标的资产上欧式期权的价格表达式。在他们的模型中，股票价格过程是用几何布朗运动建模的。价格的dr ift和波动系数被视为常数。从那时起，他们对理论模型进行了许多不同的改进。

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2022-5-30 20:36:08

Regimeswitching模型是Black-Scholes-Merton（B-S-M）模型的一种扩展。在制度转换模型中，假设市场有许多假设的、可观察的、可能的经济状态，这些状态是在一定的随机时间间隔内实现的。假设关键市场参数依赖于这些制度或状态，状态转换由纯跳跃过程建模。已经进行了广泛的研究，以研究具有马尔可夫调制机制切换的市场[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[11]、[12]、[14]、[16]。还有一些作者通过在资产动态中引入跳跃不连续性以及马尔可夫机制进行了进一步的推广。在所有这些工作中，切换状态的可能性仅限于有限状态马尔可夫链类。与马尔可夫切换相比，半马尔可夫调制区域切换的研究相对较少。在这类模型中，人们有机会获得一些市场记忆效应。特别是，可以将过去停滞期的知识输入期权价格公式，以获得价格值。因此，就适用性而言，这类模型比马尔可夫切换模型具有更大的适用性。[7]中首次正确解决了半马尔科夫制度的定价问题。值得注意的是，制度转换模型导致了不完全市场。由于单个期权可能有多个无套利价格，因此需要确定适当的概念，以获得可接受的*第一作者的研究得到了UGC奖学金的支持。+印度浦那411008 IISER；电子邮件：milankumar。das@students.iiserpune.ac.in.IISER，浦那411008，印度；电子邮件：anindya@iiserpune.ac.in.§IISER，浦那411008印度；电子邮件：tanmaysp1004@gmail.com.price.

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2022-5-30 20:36:11

[7]利用F¨ollmer-Schweizerdecomposition[6]研究了一种特殊类型的半马尔可夫状态下的期权定价。结果表明，价格函数满足非局部系统的去生成概率偏微分方程。在最近的一篇论文【10】中，研究了一类更普遍的年龄相关过程的相同问题。一个年龄相关的过程{Xt}t≥0在X上：={1，…，k} R由其ins tantananeoutransition rate函数λ：{（i，j）规定∈ X | i 6=j}×[0，∞) → （0，∞) 并由以下随机积分方程组的Strong解来定义：X t=X+Z（0，t）ZRhλ（Xu-, 于-, z）（du，dz）（1.1）Yt=t-Z（0，t）ZRgλ（Xu-, 于-, z）（du，dz），（1.2）其中（du，dz）是强度为dudz的泊松随机测度，与Xandhλ（i，y，z）无关：=Xj∈X \\{i}（j- i） 1∧ij（y）（z），gλ（i，y，z）：=Xj∈X \\{i}y1∧ij（y）（z），其中每个y≥ 0，且i 6=j，∧ij（y）是实线的连续（相对于字典序onX×X）左闭区间和右开区间，每个区间的长度为λij（y）。我们澄清了如果{（Xt，Yt）}t≥0是（1.1）-（1.2）的解，则Xtis称为年龄相关过程，YIS称为年龄过程。如（Th.2.1.3，[17]）所示，与年龄相关的过程是一个半马尔可夫过程。在文献[7]和[10]中，所有市场参数，即即期利率r、漂移系数u和波动系数σ都依赖于一个半马尔可夫过程。我们记得，虽然两个独立马尔可夫过程的连接过程是马尔科夫过程，但同样的现象对于半马尔科夫过程是无效的。由于这个原因，用一个半马尔可夫过程来推导bo th r和σ的假设是相当严格的。为了克服这一限制，本文考虑了一类c分量半马尔可夫过程（CSM），它是一类比[7]和[10]中的纯跳跃过程更广泛的纯跳跃过程。

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2022-5-30 20:36:14

如果存在双射：s，则有限状态空间s上的纯跳跃过程s X称为CSM→ Xn+1对于一些非空有限集X和一些非负整数n，使得Γ（X）的每个分量都是相互独立的半马尔可夫过程。为了模拟市场的制度，我们考虑CSM{Xt}t≥0在Xn+1上，其中x的lth分量Xl是一个与年龄相关的过程，对于每l=0，…，具有瞬时r速度函数λl，n、我们表示Xlas Yland的年龄过程定义为（Y，…，Yn）是X的年龄过程。在许多资产价格动态的制度转换模型中，波动系数不具有明确的时间依赖性（见[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[7]、[11]、[12]、[14]、[16]）。在这种时间同质模型中，波动率σ只能从有限集合中取值。这种模型未能捕捉到许多其他类型化的事实，包括σ的周期性特征。在预先发送的模型中，我们允许σ是时间不均匀的。在本文中，我们考虑一个市场，其中一个本地无风险资产的价格为S，n个风险资产的价格为{Sl}l=1，。。。，n、并解决了未定权益K（ST）的局部风险最小化定价问题。这里我们考虑范围广泛的函数K:Rn+→ R+，包括香草篮选项。我们证明，当（Slt，Xlt，Ylt）为（sl，xl，yl）时，对于每个l，索赔的价格是（t，s=（s，s，…，sn），x=（x，x，…，xn），y=（y，y，…，yn）的函数，这满足C auchy问题。为了写出方程，我们使用符号Rljv表示向量v∈ Rn+1表示向量v+（j- vl）el，其中v的LTH分量替换为j。

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mingdashike22

2022-5-30 20:36:18

PDE系统如下所示：^1t（t，s，x，y）+nXl=0^1yl（t，s，x，y）+r（x）nXl=1sl^1sl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′^1sl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）^1（t、s、Rljx、Rly）- ^1（t、s、x、y）= r（x）Д（t，s，x，y），（1.3）定义：={（t，s，x，y）∈ （0，T）×（0，∞)n×Xn+1×（0，T）n+1 | y∈ （0，t）n+1}，且条件为ns（t，s，x，y）=K（s）；s∈ [0，∞)n0≤ yl公司≤ Txl码∈ X，l=0，1，n、（1.4）其中扩散系数a：=（all′）n×nis在t中连续。我们注意到（1.3）是线性、抛物线、退化和非局部偏微分方程。非定域性是由于术语Д（t，s，Rljx，Rly）的出现，其中Rly通常不需要与y相同。本文证明了经典解的存在唯一性。我们还发现了第二类Volterra积分方程，它与偏微分方程等价。利用巴拿赫不动点定理，我们证明了积分方程有唯一解。因此，我们表明，通过求解积分方程可以找到价格函数，这在计算上比求解价格微分方程更方便。我们还得到了涉及价格函数积分的最优套期保值表达式。这一观察结果本质上导致了最优he dging的稳健计算。最后，我们进行了灵敏度分析，以确定PDE（1.3）-（1.4）的解对转移率函数的连续依赖性。当瞬时利率由[9]中的一致估计量近似时，该结果确保了价格的近似。本文的其余部分按以下方式安排。我们在第2节中介绍了模型描述。在本节中，我们首先研究一类成分半马尔可夫过程，然后描述资产价格动态。我们还表明，在可接受的策略下，市场是无套利的。第3节介绍了期权定价的方法。

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2022-5-30 20:36:20

在本节中，我们陈述了pa per的主要结果。在第4节中，我们建立了Volterra积分方程解的存在性、唯一性和正则性，该方程在下一节中被证明与偏微分方程等价。第5节讨论了偏微分方程的适定性。在这一节中，我们还导出了解及其导数的某些性质。利用前面几节的结果，第6节得到了未定权益的F-S分解。在第7节中，我们对PDE的溶液进行了灵敏度分析。在第8节中，我们通过计算二次剩余风险来结束本文。附录中给出了一些引理的证明。2型号说明本节包括两个小节。在第一小节中，我们研究了一类CSM过程。在接下来的小节中，我们考虑一个价格受CSM控制的市场。最后，通过构造等价鞅测度证明了市场是无套利的。2.1成分半马尔可夫过程X={1，…，k} R、对于每l=0，1，n、考虑一个C函数λl:X×X×[0，∞) → （0，∞)满足以下假设（A1）（i）λlii（(R)y）=-Pj6=iλlij（\'y），（ii）\'y 7→ λlij（\'y）是连续可微的，（iii）如果∧li（\'y）：=\'yZXj6=iλlij（v）dv，则lim\'y→∞∧li（(R)y）=∞.对于e ach l=0，n、让我们通过替换通过l、 λ乘以λlin（1.1）和（1.2），其中在完全概率空间上定义的强度为dtdz的大独立泊松随机测度(Ohm, F、 P）。也就是说，Xlt=Xl+Z（0，t）ZRhl（Xls-, Yls公司-, z）l（ds，dz）（2.1）Ylt=t-Z（0，t]ZRgl（Xls）-, Yls公司-, z）l（ds，dz），（2.2），其中hl=hλl，gl=gλl。[17]利用[13]的结果表明，方程（2.1）-（2.2）存在a.s唯一的强解，过程Zlt：=（Xlt，Ylt）是一个时间齐次的强Markov过程。

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2022-5-30 20:36:25

我们将Xn+1值过程表示为XT，其lth成分为Xlt。类似地，我们表示Yt=（Yt，…，Ynt）。因此，XT是一个CSM过程。考虑每个l=0，n佛罗里达州：[0，∞) → [0，1]一个可微分函数，定义为Fl（\'y | i）：=1- e-∧li（(R)y），其中∧li如（A1）（iii）所示。设fl（\'y | i）：=dd | yFl（\'y | i），对于每个j 6=i，plij（\'y）：=λlij（\'y）|λlii（\'y）|，对于所有i和y，plii（\'y）=0。设置plij：=∞Zplij（\'y）dFl（\'y | i）。在对（A1）（i）-（iii）的补充中，我们假设（A1）（iv）矩阵（^plij）k×kis不可约。根据法兰假设（A1）（ii）-（iii）的定义，我们观察到0<Fl（\'y | i）<1y>0和Fl（\'y | i）↑ 1年→ ∞. 可以很容易地验证λlij（\'y）=plij（\'y）fl（\'y | i）1-Fl（\'y | i）保持i 6=j。让tlndnote表示xl的n次跃迁时间，nl（t）表示Xlti的时间t之前的跃迁总数。e、 nl（t）：=最大值{n:Tln≤t} 。因此Tlnl（t）≤ t型≤ Tlnl（t）+1和（2.2）Ylt=t- Tlnl（t）。如[8]所示，Fl（.| i）是条件ALC。d、保持时间o f Xland plij（(R)y）的f是条件转移概率矩阵。设τl（t）为Xltwould发生转变后的持续时间。注意，τl（t）与x的每个分量无关，而与lth-one无关。设Fτl（·| i，(R)y）为给定Xlt=i和Ylt=(R)y的τl（t）的条件c.d.F。我们不认为该c.d.F不依赖于t，因为（Xt，Yt）是时间齐次的。因此，τl（t）+ylt是两个跃迁之间xltat存在状态的持续时间。允许l（t）是XT的组件，后续跳转发生在该组件中。设Fτl | l（·| x，y）为给定Xt=x，Yt=y和l（t） =l和fτl | l（·| x，y）是给定Xt=x，Yt=y和l（t） =l。从现在起，我们用Pt，x，y（·）表示P（·| Xt=x，Yt=y），相应的条件期望为Et，x，y（·）。我们希望计算Pt，x，y(l（t） =l）即。

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能者818

2022-5-30 20:36:28

观察下一次跳跃发生在给定的lth分量的条件概率，Xt=x，YT=y。我们在下面的引理中计算该概率和其他一些条件分布和密度函数。引理2.1。设Pt，x，y(l（t） =l），Fτl | l（v | x，y），Fτl | l（v | x，y）如上所述。然后保持（i）Pt，x，y(l（t） =l）=∞ZYm6=l1- Fm（s+ym | xm）1- Fm（ym | xm）fl（s+yl | xl）1- Fl（yl | xl）ds，（ii）Fτl | l（v | x，y）=vZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm）fl（s+yl | xl）ds∞ZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）ds，and fτl | l（v | x，y）=Qm6=l（1-Fm（v+ym | xm））fl（v+yl | xl）∞ZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）ds。此外，fτl | l（v | x，y）相对于v是可微分的，我们用f′τl | l（v | x，y）和（iii）fτl | l（0 | x，y）Pt，x，y表示导数(l（t） =l）=fl（yl | xl）1-Fl（yl | xl）=fτl（0 | xl，yl）。证据可在附录中找到。2.2资产价格动态我们假设r:Xn+1→ [0，∞), ul：[0，T]×Xn+1→ R、 σl:[0，T]×Xn+1→ R每个l=1，…，都有连续函数，n、我们认为一个无摩擦市场由一个本地无风险资产和n个风险资产组成，这些资产可以称为股票。设Stbe为货币市场账户的价格，时间t的浮动利率为r（Xt）。因此，其在时间t的值由dst=r（Xt）Stdt，S=1给出。（2.3）XTI管理的lthstock的价格由以下随机微分方程DSLT=Slt给出ul（t，Xt）dt+nXj=1σlj（t，Xt）dWjt（2.4）Sl=Sl，Sl≥ 0，其中{Wjt}t≥0n是否定义了独立的标准维纳过程(Ohm, F、 P）独立于{l} nl=0。这里，ulandσl=（σl，…，σln）分别表示长期资产的增长率和波动系数。我们确定波动率矩阵σ（t，x）：=（σll′（t，x））ll′及其第l行向量，并用St表示（St，…，Snt）。

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2022-5-30 20:36:31

设{Ft}t≥0是St生成的过滤的完成，X满足通常的假设。设a（t，x）：=σ（t，x）σ（t，x）*=Pni=1σli（t，x）σl′i（t，x）ll′表示扩散矩阵，其中* 表示传输操作n。那么a（t，x）在[0，t]上是连续的。假设（A1）（v）我们假设σ（t，x）对于每个（t，x）都是可逆的∈ [0，T]×Xn+1。SDE（2.4）具有唯一的正连续路径强解，由LT=slexp给出tZ公司ul（u，Xu）-全部（u、Xu）du+Xnj=1tZσlj（u，Xu）dWju, 对于l≥ 1.（2.5）然后从（2.5）开始，lnSlt+vSlt=Zt+vt（ul（u，Xu）-所有（u，Xu））du+Zt+vtnXj=1σlj（t，Xt）dWjt。我们定义Z：=（Z，…，Zn），当每个l=1，n、 Zl：=lnSlt+vSlt。显然Z的条件分布给定St=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v是条件正态分布，平均值为'z：=（'z，…，'zn），其中'zl：=Zt+vt（ul（u，x）-所有（u，x））du，（2.6）和c卵巢矩阵∑，其中∑ll′：=covZl，Zl′. i、 e∑ll′=eZt+vtσl（u，Xu）dWu×Zt+vtσl′（u，Xu）dWuSt=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v=Zt+vtall′（u，x）du。（2.7）在（2.6）和（2.7）中，我们使用了过程s X在[t，t+v]上保持不变的事实，前提是l（t） =m，τm（t）=v对某些m保持不变。我们在下面的引理中总结上述推导，其中，我们使用函数θ：（0，∞)n×（0，∞) ×（0，∞)n×Xn+1×（0，∞) → R由θ（t，s，x，v）给出：=p（2π）n |∑|。nexp-Xll′∑-1ll′（zl- \'\'zl）（zl\'- ‘zl’！，（2.8）其中∑∑是∑的行列式，zl=ln（lsl）和s∈ （0，∞)n、 t型≥ 0，x∈ Xn+1，v>0和∑-1ll′是∑的ll′t元素-1对于l=1，n、引理2.2。

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2022-5-30 20:36:36

如果标准（2.4），则对于任何v>0，t≥ 0，（i）PSlt+vSlt≤ ll=1，。。。，nSt=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v=RQnl=1（0，l）θ（r；t，s，x，v）dr，（ii）条件期望由Slt+vSltSt=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v= eRt+vtul（u，x）du，（iii）条件协方差由COVSLT+vSlt，Sl′t+vSl′t给出St=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v！=eRt+vtul（u，x）+ul′（u，x）杜邦eRt+vtall′（u，x）du- 1..引理2.3。设{Slt}t≥0be如（2.4）和{FXt}t中所示≥0是X.（i）生成的过滤，然后对于每个l=1，n、和t≥ 0，ESlt公司FXt公司≤ sleRtul（u，Xu）du。（ii）对于每个l，ESlt公司FXt公司< ∞ 对于所有t.Proof。（i）让Tlibe如第2.1节E所示SltSl公司FXt公司= E∞Yi=1升∧tSlTli公司-1.∧t型FXt公司= E画→∞NYi=1升∧tSlTli公司-1.∧t型FXt公司≤ 画→∞ENYi=1升∧tSlTli公司-1.∧t型FXt公司,用法头引理。现在，因为对于每个i=1，n、 SlTli公司∧tSlTli公司-1.∧皮重在给定时间t条件下相互独立，使用引理（2.2）（ii），上述极限可以重写为limN→∞QNi=1eRTli∧tTli公司-1.∧tul（u，Xu）du，与eRtr（Xu）du相同。（ii）在类似的证明（i）中，使用引理（2.2）（iii），证明如下。我们用^St表示接缝过程（^St，…，^Snt），其中^Sltis由（St）表示-1 LTAND代表LTH股票的贴现价格。对于每个l，d^Slt=^SltnXj=1σlj（t，Xt）dWjt+ul（t，Xt）- r（Xt）dt公司, （2.9）对于^Sl=Sl。为了证明市场在可接受的策略下是无套利的，我们寻求存在一个等价的鞅测度（[15]，第7.1条）。考虑γl（t，x）：=Pnj=1（σ-1（t，x））ljuj（t，x）- r（x）对于每个l=1，n、在（A1）（v）和参数连续性假设下，Novikov条件（[13]，第5.3条）成立，即对于e very t∈ [0，T]，EexpnXl=1Ztγl（u，Xu）du！< ∞.HenceZt：=经验值-nXl=1Ztγl（u，Xu）dWju-nXl=1Ztγl（u，Xu）du！，是平方可积鞅，且EZT=1。

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可人4

2022-5-30 20:36:39

考虑一个等价度量P*dP定义*= ZTdP。很容易检查P*是一种概率度量。因此，根据Girsanov定理（[15]，Th.5.5），在概率测度P下的过程是Aviener过程*, 式中，Wlt=Wlt+Rtγl（u，Xu）du。因此（2.4）变为Slt=Sltr（Xt）dt+nXj=1σlj（t，Xt）d'Wjt.因此在P下*, 贴现股票价格^slis是鞅，因此P*是一个等价鞅测度。这证明了在可接受策略下市场不存在套利。下一节将介绍可采策略的类别。3定价方法如果ξlt表示在时间t投资于长期股票的单位数量，εt表示无风险资产的单位数量，则π={πt=（ξt，εt）}t∈[0，T]被称为投资组合策略。对于t∈ [0，T]，Vt（π）：=Pnl=1ξltSlt+εtStis被称为por tfolio的价值过程，而碟计价值过程由^Vt（π）=ξT^St+εT定义3.1给出。投资组合策略π={πt=（ξt，εt），0≤ t型≤ 如果满足以下条件（i）ξT=（ξT，…，ξnt）是一个n维可预测过程，并且对于每个l=1，…，则T}是可容许的，n、 Xll′ZTξltslall′（t，Xt）Sl′tξl′tdt<∞.（ii）ε被调整，E（εt）<∞ t型∈ [0，T]。（iii）P（^Vt（π）≥ -一 t） =1，对于某些正a。如果VT（π）=H，则可接受的策略π称为FTM可测量索赔H的对冲策略。例如，该索赔与欧洲Sis H上的看涨期权相关（ST- K） +，其中K是履约价格，T是到期时间。为了对期权进行定价和对冲，投资者更喜欢一种可接受的对冲策略，该策略需要最小的额外现金流。在[6]中，“最优策略”的概念就是基于这一思想发展起来的。在那里，初始资本被称为局部风险最小化期权价格。

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2022-5-30 20:36:43

文献[6]表明，如果市场是无套利的，则对索赔H进行套期保值的最优策略的存在性等价于贴现索赔H的F¨ollmer-Schweizer分解的存在性：=ST-1H形式为^H=H+nXl=1ZTξ^Ht（l）d^Slt+l^Ht，（3.1），其中H∈ L(Ohm, F、 P），L^H={L^Ht}0≤t型≤这是一个平方可积函数，从零开始，与St的鞅部分正交，ξ^Ht（l）=（ξ^Ht（1），ξ^Ht（n））满足A2（i）。此外，分解中出现的ξ^H（l）构成了最优策略。实际上，最优策略π=（ξt，εt）由ξt：=ξ^Ht，^Vt：=H+nXl=1Ztξlud^Slu+l^Ht给出，（3.2）εt：=^Vt-nXl=1ξlt^Slt，St^vt表示索赔H时间t的局部风险最小化价格。因此，F¨ollmer-Schweizer分解是解决定价和套期保值问题的关键。有关更多详细信息，请参阅[18]。在本文中，我们有兴趣对一类特殊的未定权益定价，其形式为h=K（ST），其中我们对K作出以下假设：Rn+→ R+。假设（A2）：（i）K（s）是Lipschitz连续函数。（ii）重新存在c∈ Rn和c>0，这样的话，That | K（s）- c*所有的∈ Rn+。该类别包括所有类型的篮子期权，包括所有普通期权。例如，一个典型的篮子看涨期权有一个索赔（Pnl=1clSlt-\'K）+，其中\'K是执行价格。本文的主要目的是得到局部风险最小化价格过程的表达式和对应于索赔K（ST）的最优策略。为此，我们研究了柯西问题（1.3）-（1.4），并利用（1.3）-（1.4）的解得到了价格和套期保值的表达式。我们在本节末尾将此结果表述为定理。但在此之前，我们将介绍一些符号和定义。

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2022-5-30 20:36:46

我们定义了一个线性算子dt，yν（t，s，x，y）：=limε→0ε{Д（t+ε，s，x，y+ε1）- ν（t，s，x，y）}，其中dom（Dt，y）是Dt，y的域，包含D上的所有可测函数，因此每个（t，s，x，y）都存在上述极限∈ D、我们使用上述符号dt重写（1.3），yИ（t，s，x，y）+r（x）nXl=1sl^1sl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′^1sl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）^1（t、s、Rljx、Rly）- ^1（t、s、x、y）= r（x）Д（t，s，x，y）。（3.3）现在我们定义了偏微分方程经典解的含义。定义3.1。我们说，Д：D→ R是（3.3）-（1.4）的经典解∈ dom（Dt，y），相对于s和对于所有（t，s，x，y）可二次微分∈ D、（3.3）-（1.4）满足定理3.2。在假设（A1）（i）-（v）下，初值问题（3.3）-（1.4）在最多线性增长的函数类中具有唯一的经典解。我们在第5节末尾确定了这一点。我们根据PDE（3.3）-（1.4）的解提出了局部风险最小化策略。以下定理的证明推迟到第6节。定理3。3、设Д为（3.3）-（1.4）在具有最大线性增长的函数类中的唯一经典解，且（ξ，ε）由ξlt给出：=^1sl（t、St、Xt-, 年初至今-) l=1，n、 εt：=e-Rtr（Xu）duД（t、St、Xt、Yt）-nXl=1ξltSlt！。（3.4）然后1。（ξ，ε）是最优容许策略，2。ν（t，St，Xt，Yt）是索赔K（St）在时间t的局部风险最小化价格。为了研究PDE（3.3）-（1.4）解的适定性，我们研究了第二类Volterra积分方程。

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2022-5-30 20:36:49

在下一节中，我们将展示积分方程解的存在性和唯一性，为自己做好准备。4 Volterra积分方程对于e ach x，考虑以下Cauchy问题，称为B-S-M PDEρx（t，s）t+r（x）nXl=1slρx（t，s）sl+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′ρx（t，s）sl公司（t，s）的sl′=r（x）ρx（t，s）（4.1）∈ （0，T）×（0，∞)nandρi（T，s）=K（s），对于所有s≥ 这有一个经典解，最大线性增长（s e e[15]），前提是K最大线性增长。我们想提及的是，ρxis在很多时候与s不同。对于ζ∈ Rn，设kζkdenote为normPnl=1 |ζl |。LetB：={Д：(R)D→ R、可测量的| k|kL：=辅助|Д（t，s，x，y）| 1+ksk<∞}. （4.2）设Cs（D）：=C0,2,0（D）是D上所有可测函数的集合，这些函数对于s也是两次可微的。设∑是一个n×n矩阵，其元素如（2.7）所示。我们进一步使用符号∑、∑、∑和∑-1如（2.8）。通过用（2.6）中的r（x）替换ul（u，x），我们定义了一个函数α：（0，∞)n×（0，∞) ×（0，∞)n×Xn+1×（0，∞) → R乘以α（t，s，x，v）=p（2π）n |∑|。nexp-Xll′∑-1ll′（zl- \'\'zl）（zl\'- ‘zl’！，（4.3）式中，zl=ln（lsl），且'zl：=Rt+vt（r（x））-s的所有（u，x））du∈ （0，∞)n、 t型≥ 0，x∈ Xn+1，v>0和∑-1ll′是∑的第个元素-1对于l=1，n、从（4.3）中可以清楚地看出，α（t，s，x，v）是对数正态密度，对于固定的（t，s，x，v）变量为t到。对应对数正态分布iseRt+vtr（x）du=er（x）v的平均值。考虑以下积分方程Д（t，s，x，y）=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ρx（t，s）1.- Fτl | l（T- t | x，y）+ZT公司-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）×Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（t，s，x，v）ddv！。（4.4）引理4.1。积分方程（4.4）在B中有唯一的解（如（4.2））。证据

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2022-5-30 20:36:53

我们首先注意到，（4.4）的解是运算符a的固定点，反之亦然，其中（t，s，x，y）：=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ρx（t，s）1.- Fτl | l（T- t | x，y）+ZT公司-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）×Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（t，s，x，v）ddv！。很容易验证∈ B、 AИ：(R)D→ R是可测量的。为了证明A是B中的收缩，我们需要证明∈ B、 kA^1- A^1kL≤ JkИ- ^1kl，其中J<1。为了显示规定类别中的存在性和唯一性，有必要显示A是B中的收缩。然后，巴拿赫不动点定理确保B中不动点的存在性和唯一性。为了显示Д，Д的that∈ B、 kA^1- A^1kL≤ JkИ- ^1klj其中J<1，我们计算- AхkL=supDA^1- Aх1+ksk= supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xjl6=xlplxljl（yl+v）×ZRn+（ψ）- ^1）（t+v，，Rljx，Rl（y+v1））α（；t，s，x，v）1+kskddv≤ supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xjl6=xlplxljl（yl+v）×ZRn+（1+kk）sup（t′，′，x′，y′）∈D（^1）- ^1）（t′，′，x′，y′）1+k′kα（t，s，x，v）1+kskddv= supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）kД- ^1kL'α（t，s，x，v）1+kskdv,式中，α（t，s，x，v）：=RRn+（1+kk）α（t，s，x，v）d。将引理2.3（i）中的ul（u，x）替换为r（x），我们得到‘（t，s，x，v）=1+ksker（x）v。因此，kA- A^1kL≤ JkИ- ^1kL，其中j=supDnXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）1+ksker（x）v1+kskdv≤ supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-tfτl | l（v | x，y）dv= supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）Fτl | l（v | x，y）< supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）= 1，使用r（x）≥ 0和Fl（y | i）<1的事实。因此A是B中的收缩。这是一个完整的证明。备注4.1。通过（4.4）中的直接替换t=t，我们得到了Д（t，s，x，y）=K（s）。

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2022-5-30 20:36:57

有趣的是，我们不必为（4.4）解的存在性和唯一性强加任何其他边界条件。通过在积分方程中代入边界，我们可以直接获得其他边界值。接下来，我们在下面的引理中陈述了系数（4.4）的一些不同结果。这个引理的证明在附录中给出。引理4.2。设Fτl | l（T- t | x，y）和Pt，x，y(l（t） =l）如引理2.1所示，α（t，s，x，v）如（4.3）所示。然后（i）Fτl | l（T- t | x，y）和Pt，x，y(l（t） =l）在dom（Dt，y）中，和Dt，yPt，x，y中(l（t） =l）=nXr=0fτr（0 | xr，yr）Pt，x，y(l（t） =l）- fτl（0 | xl，yl）Dt，yFτl | l（T- t | x，y）=fτl | l（0 | x，y）（fτl | l（t- t | x，y）- 1）。（ii）fτl | l（t | x，y）在dom（Dt，y）中。（iii）α（t，s，x，v）在s.引理4.3中为Cin t，v，且在有限时间内可区分。Let^1∈ B是积分方程（4.4）的解。然后（i）Д∈ dom（Dt，y）∩ Cs（D）和（ii）Д（t，s，x，y）为非负。证据（i）使用每个x的ρxf的平滑度，（4.4）右侧的第一项是indom（Dt，y）∩ Cs（D）。因此，检查βl（t，s，x，y）=ZT的所需平滑度就足够了-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（t，s，x，v）ddv。首先，我们检查Dt，y的适用性。

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2022-5-30 20:37:02

很容易看出，Dt，yβl（t，s，x，y）是以下表达式εhZT的极限-t型-εe-r（x）vfτl | l（v | x，y+ε1）Xj6=xlplxlj（yl+v+ε）ZRn+Дt+v+ε，，Rljx，Rl（y+（v+ε）1）×α（；t+ε，s，x，v）ddv-ZT公司-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）×α（t，s，x，v）ddvi。经过适当的替换后，上述表达式变为-tεe-r（x）vXj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+~nt+v、、Rljx、Rl（y+v1）βε（v，；t，s，x，y）ddv-εZεe-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（；t，s，x，v）ddv，（4.5），其中'βε（v，；t，s，x，y）：=εer（x）εfτl | l（v- ε| x，y+ε1）α（；t+ε，s，x，v- ε）- fτl | l（v | x，y）α（t，s，x，v）.现在，上述定义的βε可以重写为εher（x）ε- 1+1fτl | l（v- ε| x，y+ε1）- fτl | l（v | x，y+ε1）+fτl | l（v | x，y+ε1）- fτl | l（v | x，y）+fτl | l（v | x，y）×α（；t+ε，s，x，v- ε）- α（；t，s，x，v- ε） +α（；t，s，x，v- ε）- α（；t，s，x，v）+α（；t，s，x，v）-fτl | l（v | x，y）α（t，s，x，v）i.（4.6）由于引理2.1（ii）和引理4.2（ii）、（iii）中的连续可微性结果，我们可以使用均值定理重写（4.6）ashεr（x）er（x）ε+1-f′τl | l（v- ε| x，y+ε1）+nXi=1yifτl | l（v | x，y+ε1）+εfτl | l（v | x，y）！×εαt（；t+ε，s，x，v- ε）- εαv（；t，s，x，v- ε） +α（；t，s，x，v）-εfτl | l（v | x，y）α（t，s，x，v）i，对于某些ε，ε，ε，ε，ε，ε<ε。

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可人4

2022-5-30 20:37:05

在对上述表达式中的项进行一些r变换后，我们得到了βε（v，；t，s，x，y）=α（；t，s，x，v）r（x）er（x）εfτl（v | x，y）- f′τl | l（v- ε| x，y+ε1）+nXi=1yifτl | l（v | x，y+ε1）！+fτl | l（v | x，y）αt（；t+ε，s，x，v- ε）- αv（；t，s，x，v- ε）+ εGε（v，；t，s，x，y），其中Gε（v，；t，s，x，y）：=r（x）er（x）ε-f′τl | l（v- ε| x，y+ε1）+nXi=1yifτl | l（v | x，y+ε1）！×（εαt（；t+ε，s，x，v- ε）- εαv（；t，s，x，v- ε） +α（t，s，x，v））+r（x）er（x）εfτl | l（v | x，y）- f′τl | l（v- ε| x，y+ε1）+nXi=1yifτl | l（v | x，y+ε1）！×（αt（；t+ε，s，x，v- ε）- αv（；t，s，x，v- ε））。我们还从（8.17）和（8.18）中得出，αt（t，s，x，v）=α（t，s，x，v）O（log | i |）和αv（t，s，x，v）=α（t，s，x，v））O（log |，其中：=maxi i |。（4.5）中的表达式有两个相加项。为了显示第一项的共收敛性，我们打算使用上述表达式应用支配和Vitali的收敛定理。为此，作为∈ B、如果我们有以下三个结果，（a）v 7→RRn+（c*+c）log ||α（t，s，x，v）d有界且左连续，（b）t 7→RRn+（c*+c）log（|）α（；t，s，x，v）d相对于v是一致连续的，（c）kkα（；t+ε，s，x，v+ε）是一致可积的，且对于ε，ε<< 为了证明结果（a），我们引入了一个函数B（v）：=RRn+（c*+c）对数（||）α（；t，s，x，v）d。现在，对于ε>0，使用中值定理，存在一个0<ε′<ε，使得ε（B（v）- B（v）- ε））=ZRn+（c*+c）对数（||）αv（；t，s，x，v- ε′）d≤ZRn公司+ckk+cα（；t，s，x，v- ε′）d，对于一些正常数c，c。现在引理2.2（iii）表明右侧以von[ε，T]为界。这意味着B是连续的。利用类似的推理，从引理2.2（iii）得到了B-alsofollows的有界性。同样，可以证明结果（b）。

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2022-5-30 20:37:08

为了证明（c），我们首先重新定义了均值和方差有界的正态随机变量族是一致可积且紧的。因此（c）如下所示，出现多项式和对数正态密度函数的乘积。现在我们讨论（4.5）第二项的收敛性。很明显，结果（a）暗示了v 7的边界→RRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（t，s，x，v）d，确保所需的收敛。因此βl∈dom（Dt，y），因此∈ dom（Dt，y）。现在我们讨论关于s的平滑度。首先我们观察到αsl′（t，s，x，v）=sl′O（log（| s |）））α（t，s，x，v）。自^1起∈ B、利用l′+εkkα（t，s+ε，x，v）的一致可积性和紧度以及v 7的一致有界性→RRn+sl′+εkkα（t，s+ε，x，v）d表示ε<< 1，我们得出βl（t，x，y）与sl的不同之处。同样，我们可以依次建立任何高阶偏导数的存在性。因此，我们可以获得βl的两次连续微分。（ii）我们已经证明A:B→ B是收缩。根据方程（4.1）的形式和K的非负性，很明显（4.1）允许非负解。由于方程式（4.4）中的所有系数均为非负，因此A≥ ^1为0≥ 此外，我们发现A在B中有一个固定点。可以很容易地说，这个固定点实际上是非负的。因此，Д是非负的。5偏微分方程在本节中，我们建立了定理3.2，即（3.3）-（1.4）的唯一性和存在性。在解决这一问题之前，重要的是澄清有关边界条件的几个问题。在s=0时，关于s消失r的偏导数。由于域的性质是三角形的，可以使用特征线法显示，初始条件将导致（3.3）-（1.4）的解。

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mingdashike22

2022-5-30 20:37:11

也可以证明，如果我们施加一个不是从初始条件得到的边界条件，则偏微分方程将没有解。更多详情，请参阅（【17】，第32页）。设W是概率s空间上的标准n维布朗运动Ohm,F，▄P）。对于e ach l=1，2，n、设▄Sltsatis fiesd▄Slt=▄Sltr（Xt）dt+nXj=1σlj（t，Xt）dWjt,S>0，（5.1），其中xT是由等式（2.1）和（2.2）给出的年龄相关过程Ohm,~F，~P）和σlis是σ的第l行。我们注意到▄St：=（▄St，▄Snt）。提案5.1。（i） Cauchy问题（3.3）-（1.4）有一个广义解，ν。（ii）在假设（A1）（i）-（iv）下，Д求解积分方程（4.4）。（iii）Д∈ B、证明。（i） L e t▄是SDE（5.1）的长期解决方案。让▄Ft成为▄StandXt生成的过滤，它满足了通常的假设。因为（t，Xt，Yt）是马尔可夫过程，所以过程（t，~St，Xt，Yt）是马尔可夫过程。设A为（t，St，Xt，Yt）的最小生成元，其中（t，s，x，y）=Dt，y（t，s，x，y）+r（x）nXl=1sl^1sl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，xl）slsl′^1sl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）^1（t、s、Rljx、Rly）- ^1（t、s、x、y）, （5.2）对于每个紧密支撑Cin s和Cin y的函数Д。LetNt：=E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST=s，Xt=x，Yt=y]。（5.3）由于（A2）（ii）和引理2.3，上述预期是有限的。因此（5.3）表明NTI是一个ft鞅。由于K（s）最多呈线性增长，且| s有明确的预测，（5.3）表明E | Nt |<∞ 对于每个。因此，使用（t，St，Xt，Yt）的马尔可夫半群，偏微分方程有一个广义解ν：D→ Rmeasurable由Д（t，s，x，y）给出：=E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST=s，Xt=x，Yt=y]。

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2022-5-30 20:37:14

（5.4）（ii）通过对过渡时间进行调节（5.4），我们得到了Д（t，~St，Xt，Yt）=EhEhe-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，l（t）=li▄ST，Xt，Yt=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）Ehe-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，l（t）=li=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）EhEhe-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，l（t）=l，τl（t）i▄ST，Xt，Yt，l（t）=li。现在，EhEhe-RTtr（Xu）duK（～ST）～ST，Xt，Yt，l（t）=l，τl（t）i～ST，Xt，Yt，l（t）=li=P[τl（t）>t- t] ρx（t，~St）+ZT-特赫-RTtr（Xu）duK（| ST）| ST，Xt，Yt，l（t）=l，τl（t）=vifτl | l（v | Xt，Yt）dv。我们注意到-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，l（t）=l，τl（t）=vi=e-r（Xt）vXjl6=XlplXljl（Yl+v）ZRn+Ehe-RTt+vr（Xu）duK（| ST）| ST+v=，Xt+v=Rljx，Yt+v=Rly，l（t）=l，τl（t）=vα（t，s，x，v）d。因此，Д（t，St，Xt，Yt）=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ρx（t，~St）1.- Fτl | l（T- t | Xt，Yt）+ZT公司-te公司-r（Xt）vfτl | l（v | Xt，Yt）×Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、Rlls、Rljx、Rlyα（；t，s，x，v）ddv.使用（A1）（iv），由于i 6=j时λlij（y）>0，我们可以用上述关系中的泛型变量（s，x，y）替换（~St，Xt，Yt）。综上所述，Д是（4.4）的解决方案。（iii）为了显示Д是最t的线性g长，有必要显示所有（t、s、x、y）∈ D |Д（t、s、x、y）-c*s |≤ c、式中，c，cis如（A2）（ii）所示。我们注意到，如果▄sti是（5.1）的解，e-Rtr（Xu）du▄Stis a▄ft鞅。因此，通过使用▄St，Xt，Yt的马尔可夫性质和事实e-Rtr（Xu）duisFt可测量，我们得到-RTtr（徐）都街St，Xt，Yti=Ehe-RTtr（Xu）duSTFti=e-Rtr（徐）duEhe-RTr（Xu）duST~Fti=~St。利用这个等式，（5.4）和（A2）（ii），我们得到了|Д（t，s，x，y）- c*s|=Ehe公司-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST=s，Xt=x，Yt=yi- c*Ehe公司-RTtr（Xu）duSTST=s，Xt=x，Yt=yi≤ Eh[e-RTtr（Xu）du | K（~ST）- c*ST | | ST=s，Xt=x，Yt=yi≤ c、这就完成了证明。定理3.2的证明：命题5.1意味着PDE（3.3）-（1.4）有一个在B中的广义解，并且也解积分方程。

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2022-5-30 20:37:17

引理4.1表明积分方程在B中只有一个解。最后引理4.3断言积分方程的唯一解在dom（Dt，y）中∩Cs。因此，利用上述结果，我们得出结论，（3.3）-（1.4）在（3.3）中的算子域中有一个广义解。因此，广义解（5.4）经典地解（3.3）-（1.4）。为了证明唯一性，首先假设Д和Д是规定类别函数中（3.3）-（1.4）的两个经典解。然后使用命题5.1，可以得出两者都可以解（4.4）。根据引理4.1，在规定的类中只有一个这样的解。因此，Д=Д。引理5.2。设ν（t，s，x，y）为柯西问题（3.3）-（1.4）的经典解。根据假设（A2）（i），^1sm（t，s，x，y）是有界的。证据由于Д（t，s，x，y）是（3.3）-（1.4）的经典解，因此它位于dom（Dt，y）中∩ Cs。事实上，Д比Cs具有更大的正则性，这在L emma 4.3的证明中很明显。确实是由于引理4.2（iii）和∞ρ的平滑度，Д为C∞在s.Letψm（t，s，x，y）中：=^1sm（t，s，x，y），对于m=1，n、现在微分方程（3.3）关于Sm，利用a（t，x）对称的事实，我们得到dt，yψm（t，s，x，y）+nXl=1slr（x）+aml（t，x）ψmsl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′ψmsl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）ψm（t，s，Rljx，Rly）- ψm（t，s，x，y）= 0。（5.5）很容易检查^Aψm（t，s，x，y）=Dt，yψm（t，s，x，y）+nXl=1slr（x）+aml（t，x）ψmsl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′ψmsl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）ψm（t，s，Rljx，Rly）- ψm（t，s，x，y）,是马尔可夫过程（t，\'St，Xt，Yt）的最小生成元，其中\'St=（\'St。

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2022-5-30 20:37:22

、Snt）和Sltsatis测试以下SDEd？Slt=？Sltr（Xt）I+诊断（al（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt, （5.6）其中，Diag（al（t，Xt）是包含a（t，x）的lthrow的对角矩阵，（Xt，Yt）如（2.1）-（2.2）所示。因此，PDE（5.5）的解具有以下形式的随机r e表示ψm（t，s，x，y）=eK′（\'SmT）\'Smt=s，Xt=x，Yt=y, （5.7）式中K′：Rn+→ 对于每个s，R几乎处处由K（s）=RsmK′（Rmrs）dr定义∈ Rn+由于K在大多数情况下呈线性增长，并且是Lipschitz连续的，所以K′在L∞. 因此（5.7）表明ψm（t，s，x，y）是有界的。6定理3.3的定价和hedging证明：使用引理5.2，我们可以证明（3.4）中给出的π=（ξ，ε）是可容许的投资组合策略。事实上，ξltis是连续的，因此是可预测的。因此（A2）（i）和（ii）适用于这对π=（ξ，ε）。因此，使用（3.4）的这对策略的贴现值函数由^Vt（π）=nXl=1ξlt^Slt+εt=e给出-Rtr（Xu）duД（t，St，Xt，Yt），其中Д是（3.3）-（1.4）的唯一经典解。现在我们将找到^Vt（π）的分解。在测度P下，我们应用它的o公式-Rtr（Xu）duД（t、St、Xt、Yt）。使用（2.9），（3.3）和（1.1），在适当地重新排列术语后，对于所有t<t，我们得到，e-Rtr（Xu）duД（t，St，Xt，Yt）=Д（0，S，X，Y）+nXl=1Zt^1sl（u、Su、Xu-, 于-)d^Slu+中兴通讯-Rur（Xv）dvZR[Д（u，Su，Xu-+ h（Xu-, 于-, z），于-- g（Xu-, 于-, z）（）-^1（u、Su、Xu-, 于-)] ^（du，dz），（6.1）式中是的补偿器, i、 e.^（dt，dz）=（dt，dz）- dtdz。因此，从（6.1）中，我们有≤ TStД（t、St、Xt-, 年初至今-) = H+nXl=1Ztξlud^Slu+Lt，（6.2），其中H=Д（0，S，X，Y），Lt：=Zte-Rur（Xv）dvZR[Д（u，Su，Xu-+ h（Xu-, 于-, z），于-- g（Xu-, 于-, z）（）-^1（u、Su、Xu-, 于-)] ^（du，dz）。（6.3）明确上述选择的Fmeasurable和LTis FTmeasured。

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2022-5-30 20:37:26

我们知道，关于补偿泊松随机测度的积分是局部鞅。因此LTI是一个局部鞅。命题5.1（iii）的前提表明，对LTI上限的期望。因此它是一个鞅。从Wtand开始是独立的，Ltis正交侵权σl（t，Xt）^StdWt。因此，我们通过让t↑ T英寸（6.2），ST-1K（ST）=Д（0，S，X，Y）+nXl=1ZTξltd^Slt+LT.（6.4），这就完成了证明。定理6.1。设Д为（4.4）的唯一解决方案。设置η（t，s，x，y）：=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ρx（t，s）sm1.- Fτl | l（T- t | x，y）+ZT公司-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）×Xjl6=xlplxljl（yl+v）ZRn+Д（t+v，，Rljx，Rly）α（t，s，x，v）smddv, （6.5）式中（t，s，x，y）∈ D、然后η（t，s，x，y）=^1sm（t，s，x，y），证明。我们可以证明ψ（6.5中的a s））等于^1sm事实上，我们可以通过区分（4.4）关于sm的右侧来获得（6.5）的RHS。因此，赞成。备注6.1。我们在定理3.3中已经证明^1sm（t，s，x，y）是为了找到最佳套期保值而需要计算的必要数量。正在尝试计算^1使用数值微分的sm（t、s、x、y）会增加^1sm（t、s、x、y）至小误差。方程式（6.5）给出了一种更好、更稳健的计算方法^1sm（t，s，x，y），使用数值积分。7关于瞬时速率函数的灵敏度在最近的一篇论文中，Goswami等人[9]提出了一个有趣的想法，即通过近似过渡速率来近似解。在上一节中，我们已经看到，对于一类连续可微分的跃迁率函数，存在一个独特的类解PDE（3.3）-（1.4）。设λ：=（λ，…，λn）为向量，其中λlis如第2节所示。我们陈述并证明以下重要结果。定理7.1。

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2022-5-30 20:37:30

设Д和是（3.3）-（1.4）的两个解，其参数分别为λ和λ。THNK^1- хksup≤ 2cT kλ-§λksup，其中cas在假设（A2）（ii）中。证据设ν为经典解，而为其TBA。我们考虑ψ（t，s，x，y）：=Д（t，s，x，y）- И（t、s、x、y）。（7.1）现在，很容易看出ψ满足以下初值问题，Dt，yψ（t，s，x，y）+r（x）nXl=1slψsl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′ψsl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）ψ（t，s，Rljx，Rly）- ψ（t，s，x，y）= r（x）ψ（t，s，x，y）-nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）-λlxlj（yl）И（t、s、Rljx、Rly）- И（t、s、x、y）, （7.2）定义onD：={（t，s，x，y）∈ （0，T）×Rn+×Xn+1×（0，T）n+1 | y∈ （0，t）n+1}，条件ψ（t，s，x，y）=0，s∈ Rn+；0≤ yl公司≤ Tx=1，2，··，k。我们用（7.1）asAψ（t，s，x，y）=r（x）ψ（t，s，x，y）重写（7.2）- f（t，s，x，y），（7.3），其中f（t，s，x，y）：=nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）-λlxlj（yl）И（t、s、Rljx、Rly）- И（t、s、x、y）.我们记得，A是（t、~St、Xt、Yt）的最小生成元。利用命题5.1（iii）的证明，可以证明对于所有（t，s，x，y）∈ D | f（t，s，x，y）|≤ 2cnXl=0Xj6=xlkλlxlj（y）-λlxlj（y）ksup。（7.4）由ψ（t，s，x，y）=E[ZTtexp]给出了偏微分方程（7.3）解的随机表示-Zvtr（徐）杜f（v、~Sv、Xv、Yv）dv |▄St=s，Xt=x，Yt=y]。（7.5）由于Д是参数∧的（3.3）-（1.4）的一个解，那么命题5.1（iii）的证明，| （t，s，Rljx，Rly）-И（t，s，x，y）|<2c。现在对所有t使用（7.4）和r>0≤ v≤ T，我们有kψ（T，s，x，y）ksup=sup'DE[ZTtexp-Zvtr（徐）杜f（v、~Sv、Xv、Yv）dv ~St=s，Xt=x，Yt=y]≤ 2c（T- t） nXl=0Xj6=xlkλlxlj（y）-λlxlj（y）ksup<2cTnXl=0Xj6=xlkλlxlj（y）-λlxlj（y）ksup。因此，证明已完成。备注7.1。有趣的是，如果放松假设（A2）（ii），也可以证明定理7.1的较弱变体。确实如果K∈ B在这种情况下，kД- ИkL≤ M kλ-λksup。

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2022-5-30 20:37:35

这一点很容易从以下事实中得出，即最多是线性增长，并且具有有限的预期。8二次剩余风险的计算在本节中，我们找到了二次剩余风险的表达式。设π：=（ξt，εt），其中ξt=（ξt，…，ξnt）为容许策略，vt为第3节中定义的值过程。此外，我们假设{Ct}t≥0是与或有索赔最优对冲相关的累计额外现金流过程，其中DCT=dVt-nXl=1ξltdSlt- εtdSt。可以显示stdct=d^Vt-nXl=1ξltd^Slt，（8.1），其中^vt是第3节中定义的贴现价值过程。现在到（3.2），我们得到了d^Vt=nXl=1ξltd^Slt+dL^Ht。（8.2）现在比较（8.1）和（8.2），我们得到了stdct=dL^Ht。t=0时，[0，t]期间累计现金流的贴现值为^CT-^C：=ZTStdCt=L^Ht。使用上述和（6.3），我们得到l^HT=ZTStZR（t，St，Xt-+ h（Xt-, 年初至今-, z），年至今-- g（Xt-, 年初至今-, z）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)) ^（dt，dz）。ThusdCt=ZR（Д（t，St，Xt-+ h（Xt-, 年初至今-, z），年至今-- g（Xt-, 年初至今-, z）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)) ^（dt，dz）。（8.3）综合上述表述，我们获得了与最佳对冲相关的外部现金流。因此，CT=C+ZTZR（Д（t，St，Xt-+ h（Xt-, 年初至今-, z），年至今-- g（Xt-, 年初至今-, z）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)) ^（dt，dz）=C+Xt∈[0，T]（Д（T，St，Xt，Yt）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)) -ZTnXl=0Xj6=Xlt-λlXlt-j（Ylt-)×^1（t、St、RljXt-, RlYt公司-) - ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)dt，（8.4）给定策略π，我们可以确定t=0时的二次剩余风险，用R（π）表示，R（π）表示：=E[（^CT-^C）| F]。引理8.1。由[C]t=Xr给出的Ctis的二次变化过程∈[0，t]（Д（r，Sr，Xr，Yr）- ^1（r、Sr、Xr-, 年-)), （8.5）式中，Д是（3.3）-（1.4）的唯一经典解，最多为线性增长。证据很明显，（8.4）中的CTA是一个rcll过程。

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2022-5-30 20:37:38

现在，对于r∈ （0，T）和, wehave（Cr- Cr公司-)= （^1（r、Sr、Xr、Yr）- ^1（r、Sr、Xr-, 年-))- 2（^1（r、Sr、Xr、Yr）- ^1（r、Sr、Xr-, 年-)) ×nXl=0Xj6=Xlr-λlXlr-j（Ylr-)^1（r、Sr、RljXr-, RlYr公司-) - ^1（r、Sr、Xr-, 年-)+nXl=0Xj6=Xlr-λlXlr-j（Ylr-)^1（r、Sr、RljXr-, RlYr公司-- ^1（r、Sr、Xr-, 年-)+ O.因为CTI的二次变化是sumPr的极限∈[0，t]（Cr- Cr公司-)在具有 → 0，我们取两边的和。我们注意到第二项，即有界且为ofO() 除了一组度量值为O的(), 因此，可以忽略上述表达式中第二项、第三项和第四项的总和。因此，[C]t=Xr∈[0，t][Д（r，Sr，Xr，Yr）- ^1（r、Sr、Xr-, 年-)]. （8.6）R（π）的表达式可以使用它的等距来找到。进一步使用引理8.1，我们得到r（π）=E[（^CT-^C）| F]=EZTStdCt！|F=E“ZTStd[C]t | F#=EXt公司∈[0，T]St（Д（T，St，Xt，Yt）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-))| F=E“St（^И）（t、St、Xt、Yt）- ^И（t、St、Xt-, 年初至今-))| F#=Em（T）Xm=1^И（Tm、STm、XTm、YTm）- ^И（Tm、STm、XTm-1，Tm- Tm公司-（1）| F（8.7）引理2.1的附录证明：（i）为了计算Pt，x，y(l（t） =l），我们首先推导出条件c.d.f fτl（·| i，y）。Fτl（s | i，(R)y）=P（0≤ τl（t）≤ s | Xlt=i，Ylt=(R)y）=P（τl（t）+Ylt≤ s+’y | Xlt=i，Ylt=’y）=P（YlTnl（t）+1-≤ s+’y | YlTnl（t）-≥ ‘y，Xlt=i，Ylt=’y）=Fl（s+’y | i）- 佛罗里达州（y | i）1- Fl（\'y | i）l=0，1，n、（8.8）设Fτl（s | i，\'y）：=Fτl（s | i，\'y）。因此，τl（·| i，\'y）=fl（·+\'y | i）1- 佛罗里达州（\'y | i）。（8.9）设Fτ-l（·| x，y）表示τ的条件c.d.f-l（t）给定Xt=x，Yt=y，由1给出-Ym6=l1.-Fτm（·| xm，ym）, 其中τ-l（t）：=minm6=lτm（t）。因此，从定义l（t）那个，Pt，x，y(l（t） =l）=Pt，x，y（τl（t）<τ-l（t））。我们使用τl（t）上的条件来计算这个概率。

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