从我们的观点来看，应采用基于代理模型的分析处理方法，并将结果与经验数据进行详细比较，以便在各种备选方案之间进行选择。因此，我们从最简单的代理交互版本开始，并在需要更好地调整经验数据时添加一些新特性。作为第一步，我们选择了Kirman的两个广泛接受的代理人群体的羊群互动：图表主义者（投机性交易者）和原教旨主义者。原教旨主义者在市场价格低于基本价值时买入股票，在市场价格高于基本价值时卖出。图表绘制者是高频投机性交易者，他们对未来的市场价格走势做出不同的决策。研究表明，这种代理系统能够赶上波动率的长期依赖性[40]。[49]中提出了对同一代理系统的考虑，我们采用了更合适的形式来实现我们的目的，并导出了图表主义者和原教旨主义者x比率的宏观（随机）方程，见[50]。主要创新之处在于引入了代理系统的可变交易活动，作为宏观状态的反馈。这增加了宏观SDE中比率x的乘法指数η。高值区域中x的SDE可由参数为η=3+α，（8）λ=ε+α+1的SDE（2）类近似。（9） 这里，α是一个反馈参数，ε是Chartists到基本行为的特质转换率除以放牧参数h，详情见【50】。因为在这个简化模型中，x具有长期绝对回报的含义，所以它的幂律行为提供了有关这种方法有效性的信息。注意，PSD的指数β可以写成β=1+ε+α- 21+α。

（10） 考虑到经验绝对收益率lawPDF的指数约为4，等式（2）中的相应参数必须为λ’4。实证分析表明，交易活动与绝对回报的平方成比例，这意味着α=2，从等式（9）中，ε’1的值如下。等式（10）中的这一点意味着区域1中存在β。β。1.5，符合长期相关性，但与低于1的经验值相比过高。文献[50]表明，该模型符合绝对收益的多重分形行为，但不可能用相同的参数集再现绝对收益的经验PDF和PSD。由于经验PSD至少有两个值β、βw 0.7和βw 0.3，因此与与两个长程相关性标度相关的绝对收益的经验长程相关性进行比较还有一个问题。为了解决这个问题，我们必须引入一个比宪章主义原教旨主义放牧动力学在更短时间尺度上起作用的回归波动的来源。因此，我们通过将图表划分为两组来修改这个羊群模型：乐观主义者和悲观主义者。现在我们有了稍微复杂一些的放牧模型，有三组代理：基本代理（f）、乐观代理（o）和悲观代理（p），其中每组的相对种群ni在约束条件下变化Spini=1。通常[44,49,51–53]，基本面交易者认为价格应基于市场基本面，并由一些价值Pf量化。以前的图表（c）交易策略现在包括乐观和悲观交易，乐观者总是买入，悲观者总是卖出。

让我们定义基本策略和图表策略的超额需求Di，如[49]中所述，Df=nf[ln-Pf- ln P（t）]，Dc=r（否- np）=rncξ，（11），其中P（t）是资产的当前市场价格，Rdes描述了图表作者的相对影响，ξ=否-NPNCI是他们的平均情绪。需求与需求的差额定义了原木价格【20，49】：p（t）=lnP（t）Pf=rncnfξ=r1- nfnfξ。（12） 正如绝对收益的经验PSD所示，将乐观主义者和悲观主义者视为高频交易者是合理的，他们之间在日内时间尺度上的交易频率是原教旨主义者的H倍。这使我们能够简化agent种群ni，一步过渡i产生的动力学→ Kirman提出的j比率【29】：uij=σij+hnjN，（13），其中σij描述特质转换趋势，而h项量化影响对等体，njN。请注意，代理全球成对耦合中的对等方数量与代理总数N成正比。基于对金融市场动态的一般理解，以下对称关系（σop=σpo=σcc，hop=Hhfc=Hh），（σpf=σof=σcf），（σfp=σfo=σfc/2，hfp=hfo=h）大大简化了模型。假设原教旨主义者是长期交易者，而图表主义者是短期交易者，这意味着（H 1，σcc σCf和σcc σfc）。在这些假设下，动力学由两个几乎独立的SDE很好地近似[20,54]，类似于两态放牧模型中的原始SDE[29,49]：dnf=（1-nf）εcf-nfεf cτ（nf）dt+q2nf（1-nf）τ（nf）dWf，（14）dξ=-2Hεccξτ（nf）dt+q2H（1-ξ） τ（nf）dWξ。（15） 这里，τ（nf）作为上述宏观反馈，是事件间时间，而wf和Wξ是独立的维纳过程。

注意，在上述方程中，我们缩放模型参数，εcf=σcf/h，εfc=σfc/handεcc=σcc/（Hh），以及时间ts=ht，省略方程中的下标s。事件间时间τ（nf）采用以下形式τ（nf）=1+aτ1.- nfnf公司α。（16） 这种形式的灵感来自经验分析【55–58】，其中交易活跃度与绝对回报的平方成正比（因此α=2）。请注意，给定的形式取决于推荐模型中的长期回报成分，x=1-nfnf。方程式（14-16）构成了内生代理动力学宏观描述的完整集合，与方程式（12）一起可被视为金融市场的模型。为新变量x=1编写的等式（14）-NFNF在变量高值区域属于非线性SDE类，再现幂律统计：PDF和PSD【59，60】。文献[54]表明，这种三态羊群模型能够用PSD的两个指数再现绝对收益的长期依赖性。然而，这些指数的值太高，没有机会根据经验数据调整金融市场的内生模型。我们必须得出结论，在这个建模中缺少一些非常重要的东西。4、内生和外生波动之间的相互作用在之前的非线性SDE金融市场建模中【61–64】表明，由SDE类驱动的额外随机过程可以解决PSD指数过高的问题。

因此，我们考虑引入更多与外部信息或订单流噪声相关的回流源的机会。换言之，我们确实怀疑基于代理人内生动力学的金融市场建模，因此将其与高频外部噪声的现象学描述相结合。人们普遍接受用标准模型[34]来描述金融市场中资产价格S（t）的动态，即几何布朗运动DST=St（utdt+σtdW），（17）其中ut代表缓慢变化的趋势，σt代表缓慢变化的波动率，W代表布朗运动（维纳过程）。方程式（17）中维纳过程的物理解释最近被认为是金融布朗粒子与真实金融市场中的有限订单流发生碰撞的运动【65】。这是我们将W解释为高频外来噪声源的又一个论点，该噪声源包含通过顺序流的信息流。我们很自然地假设σtre反映了我们在前一节中讨论过的agent系统内生状态的缓慢变化。式（17）中的长期趋势由缓慢变化的ut来描述，这可以被视为反映基本价格的缓慢变化或外生噪音的持续趋势。为了简化我们的任务，合理的做法是用收益建模来限制研究，而忽略价格的长期变动，这与u（t）量化的外部信息有太多关系-σt。因此，我们从公式（17）中确定了在非常短的时间段δ内的短期回报率rδ（t），其中σt可以假设为常数，rδ（t）=σtωt。（18）这里ω是一个具有零均值和单位方差的高斯噪声。请注意。（18） 与自回归条件异方差（ARCH）模型族中的收益定义一致。

波动率σt被假设为绝对内生对数价格的线性函数| p（t）|定义在等式（12）中σt=b（1+a | p（t）|），（19）这里，当我们以同样的方式对模型和经验序列进行归一化时，b=1，作为归一化参数观察；确定内生动力学对观测时间序列的影响。模型由等式定义。（18） 和（19），包括由σ描述的内生动态部分和由ωt描述的外生噪声部分。内生价格p（t）的替代，式（12），由式（q）计算。（14-16）对于NF和ξ，转化为等式。（18-19）完成了模型，包括内部和外部的波动。可以证明[66]，这种模型类似于非线性GARCH（1,1）模型的版本[67，68]。同时，提出的模型基于多重分形点过程[61，62]，应被视为霍克斯自激点过程模型的替代模型[69]。现象学和纯随机模型对市场动态没有足够的洞察力。基于代理的模型的优点是能够洞察真实生活和真实人类行为，这可以通过参数进行量化。这些模型可以修改，首先，引入外生和内生波动之间的关系，其次，调整其时间尺度。选择的时间窗口δ受到σthas变化不可忽视的要求的限制。然而，我们可以在更长的时间窗口内计算回报 通过总结连续短期回报Srδ（t）r（t）=/δXi=1rδ（t+iδ）。（20） 因此，返回r的结果系列（t） 已经纳入了金融市场的内生和外生影响。内生和外生波动的相互作用可能会受到实际市场中观察到的日内波动的影响。

为了解释每日模式，在参数b中引入了时间依赖性，即b（t）=bexp[-（{tmod1}- 0.5）/w]+0.5，（21），其中w表示日内波动的宽度。虽然该模型旨在再现绝对收益的长期依赖性和幂律行为，但从我们的角度来看，它非常适合研究绝对收益PDF、PSD和收益区间的经验数据中反映的内生和外生噪声的相互作用【21–23】。在[26]中，我们已经根据纽约证券交易所和外汇交易所的经验数据调整了给定模型的参数。这组参数取得了良好的一致性：δ=1/390交易日=3.69分钟。这相当于1纽约证券交易所交易分钟，εcf=1.1和εfc=3，εcc=3，H=1000调整了经验和模型时间序列的SDS，a=1和aτ=0.7是确定市场收益和交易活动对代理国人口的敏感性的经验参数，根据经验分析[55–58]选择α=2，h=0.3×10-8秒-1是主要的时间尺度参数，用于调整模型以适应实时尺度。（a） -1.0-0.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0-7-6-5-4-3-2-10Log10（绝对返回）Log10（PDF）（b）-3-2-1 0 1 2-4-202Log10（f）Log10（PSD）图3。数值结果显示了一分钟模型的不同组成部分( = δ=1/390交易日）回报。（a） 绝对返回的固定PDF：仅nc/nf=（1- nf）/nfin时间步长δ（实线灰线）；对于| rδ（t）|，常数ξ≡ 1和b≡ 1（细灰线）；和常数b≡ 仅1（黑色虚线）；（b） 与（a）中相同变量的PSD。

在此贡献中，所有其他模型参数都是相同的。[26]中显示，具有相同参数集的拟议金融市场模型再现了绝对回报的PDF和PSD，以及从具有回报定义时间的纽约和外汇市场分析的所有资产的波动性回报区间统计数据 从一分钟到一个月不等。在这里，我们展示了这些统计特性如何依赖于所提出模型的组成噪声。首先，长期宪章主义原教旨主义动力学由比率nc/nf=（1）描述-nf）/式（14）定义的nf。其次，保持ξ和b不变，我们通过分析| rδ（t）|和| r（t） |。第三，我们分析了当乐观-悲观动态ξ（t）也打开时的绝对回报序列。在图3中，我们展示了这三个时间序列的PDF（a）和PSD（b），当 = δ=交易日的1/390。我们可以观察到，这些一阶和二阶统计数据的幂律行为首先由图3中的灰色实线表示的NC/nfdynamics定义。当我们添加外部噪声（细灰线）时，它会稍微变换PDF，使其更平滑，并变换高频区域的PSD，使其成为白噪声。当我们添加ξ的高频波动（虚线黑线）时，它们不会在PDF中反映出来，这实际上与之前的情况一致，但会影响PSD，这表明从低频到高频的平稳过渡。在图4中，我们展示了与inFig相同的模型组件的行为。3，但根据每日收益定义， = 1天。

返回时间序列的提取在子图（a）和（b）中给出，其中调制信号（黑线）与返回会计外部噪声（灰线）进行比较：在子图（a）ξ中≡ 1和子图（b）中包括海图动态。图（c）中给出了返回的固定PDF，其中实心黑线表示nc/nf，细灰线添加了外部噪声，虚线还包括ξ函数。请注意，当时间尺度 超过这些波动的特征时间。我们在子图（d）中绘制了绝对收益的PSD，这表明幂律指数对高频和外生波动都有很强的依赖性。收益率的经验和模型PSD的相同比例, 见【26】，确认在金融市场建模中考虑高频内生和外生波动是至关重要的，因为这些波动有助于长期统计特性（低频率的PSDF）。（a） 0 200 400 600 800 1000-505101520t[Δ]返回（b）0 200 400 600 800 1000-10-5051015t[Δ]返回（c）-2-1 0 1 2-7-6-5-4-3-2-10Log10（绝对返回）Log10（PDF）（d）-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.51.01.52.02.53.0Log10（f）Log10（PSD）图4。数值结果显示了b≡ 1.

（a） nc/nf=（1）示例- nf）/nf时间序列（黑线）与返回r的比较（t） （灰线）保持ξ常数计算；（b） nc/nfξ（t）时间序列（黑线）与返回r的比较示例（t） （灰色线）用图表师的情绪ξ计算；（c） 绝对收益的固定PDF：justof nc/nf=（1- nf）/nf（实心黑线），共| r（t） |，常数ξ≡ 1（细线）和| r（t） |带常数b≡ 仅1（黑色虚线）；（d） 与（c）中相同变量的PSD，nc/NF上限，ξ下限。所有其他模型参数在此贡献中都是相同的。5、波动率回报区间的统计特性金融市场中高波动率回报区间的研究仍在继续[21–26，70]。让我们从所提出的模型和其中包含的各种噪声的角度讨论收益率区间的统计特性。等式的幂律性质。（2） （14）从我们的角度来看，包括指数为3/2的脉冲持续时间幂律PDF，是理解波动率收益区间统计数据的关键。如前一节所述，我们分析了所提出模型中包含的噪声分解，试图将其输入显示在ReturnInterval Tq的PDF中。回忆绝对返回间隔Tq的定义，如图5所示。为了揭示TqPDF的标度特性，我们通过其“平均值”对TqPDF序列进行归一化。我们研究了绝对收益的离散序列| r（t） |计算模型的四种不同成分：a）r（t） =nc/nf，等式（14）；b） r（t） 由等式定义。（20） 和（18），σt=1+a | nc/nf |；c） 与σt=1+a | nc/nfξt |相同，包括ξ函数；d） 与之前相同，包括公式（21）中定义的季节性bde和σt=b（1+a | nc/nfξt |）。图5：。返回间隔Tq的定义。

收益区间TQ高于某个阈值q的价格变化波动率之间的区间，以收益的标准偏差单位来衡量。此处，绝对收益时间序列中显示了阈值q=2和q=4的两个值。在图6中，我们绘制了4个比例TQPDF的子图，用于模型返回的4个提及成分和 = δ=390个交易日的1/390。在每个子图中，阈值q={1.5、2、2.5、3、5、10、15}的7个值的PDF由相应的希腊字母{α、β、γ、δ、θ、π、τ}给出。正如我们所料，在（a）的情况下，收益序列是由一维随机过程驱动的，根据第一次击中时间理论[33–36]，该过程导致所有阈值q的收益间隔PDF的3/2幂律。请注意，时间步长 = 这些返回序列的δ=1/390与1/h相比非常小，因此信号的离散性并不重要。在子图（b）中，信号包括外源性噪声，这是导致返回间隔PDF中出现一些指数型截断的原因。对于低阈值q，这种影响更大，而对于高值q，这种影响实际上会消失。当我们添加高频内生函数ξ，（c）子图时，TQ的PDF不会发生显著变化，因为δ<<hH。即使根据子图（d）中的动态季节性（等式（21）），PDFsof Tq也不会经历显著变化。

因此，我们得出结论，外部噪声与内生动力学的相互作用是导致TqPDF的幂律行为失效的关键因素。ααααααααααααααααααααααααααααααααααααβββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππππππππππππτττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττ（a）-1 0 1 2 3 4-6-4-20Log10ααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπππππππππππππππππππππππππππππππππτττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττ（b）-2-1 0 1 2-6-4-202Log10ααααααααααααααααααααααααααααααααααααααβββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδΔΔΔΔΔΔΔΔθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπππααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππππππππππππππππππτττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττ（d）-2-1 0 1 2-6-4-202Log10（T<pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad>。波动率回报区间的缩放PDF Tqfor = δ=1/390交易日，标准化收益阈值q={1.5、2、2.5、3、5、10、15}，其中数值直方图的点用希腊字母{α、β、γ、δ、θ、π、τ}表示q的相应值。当TqValue通过序列平均值进行标准化时，分布在对数-对数标度中绘制。（a） 仅nc/nf的PDF=（1- nf）/nf用时间步长计算; （b） r的PDF（t） 由等式定义。

（20） 和（18），σt=1+a | nc/nf |；（c） 与之前的PDF相同，σt=1+a | nc/nfξt |包括ξ函数；d） 与之前的PDF相同，包括公式（21）中定义的季节性bde和σt=b（1+a | nc/nfξt |）。所有其他模型参数在此贡献中都是相同的。根据3/2幂律，直线引导眼睛。在图7中，我们绘制了模型返回的相同4个成分的4个子图 = 390δ=交易日。阈值和PDF的相应符号的值与前面的图中相同。在这种情况下，连续随机过程的日常步骤nc/NF导致返回序列的离散性，甚至在最简单的情况下，（a）在没有外部噪声的情况下，TQPDF与3/2幂律的偏差出现在所有阈值q的高TQ值区域和最高阈值的低TQ值区域。

尽管如此，对于中等保留值，仍存在Tqpower定律3/2行为的某些区域。ααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττττ（a）-2-1 0 1 2 3-6-4-20Log10（T/<T>）Log10（<T>PDF）αααααααααααααααααααααααααααααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθττττττττττττ（b）-2-1 0 1 2-6-4-20Log10（T/<T>）Log10（<T>PDF）ααααααααααβββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδΔΔΔΔΔθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθααααααααααββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββββγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδΔΔΔΔΔΔθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππτττττττττττττττττττττττττττππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ<pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad>>PDF）图7。

波动率回报区间的缩放PDF Tqfor = 390δ=交易日和标准化回报阈值q={1.5、2、2.5、3、5、10、15}，其中数字示波图的点用希腊字母{α、β、γ、δ、θ、π、τ}表示q的相应值。当Tq值通过序列平均值进行标准化时，分布以对数-对数标度绘制。（a） 仅nc/nf的PDF=（1- nf）/nf由等式计算。（14） 带时间步长; （b） r的PDF（t） 由等式定义。（20） 和（18），σt=1+a | nc/nf |；（c） 与之前的PDF相同，σt=1+a | nc/nfξt |包括ξ函数；d） 与之前的PDF相同，包括公式（21）中定义的季节性bde和σt=b（1+a | nc/nfξt |）。所有其他模型参数在此贡献中都是相同的。根据3/2幂律，直线引导眼睛。在子图（b）中，当信号包含外源噪声时，3/2幂律的偏差变得更加明显，所有PDF几乎以相同的函数形式缩放。当我们添加高频内生函数ξ，（c）子图时，Tq的PDF偏离3/2幂律，更容易考虑高阈值和低阈值。对于q=5，TqPDF的θ点具有3/2幂律的清晰部分。这证实了内生代理动力学对每日定义回报行为的贡献，尽管在这种情况下，外源噪声输入似乎更为可观。子图（d）中包含的动态季节性不会显著改变TQ的PDF。我们基于所提出模型的数值结果证实了外部噪声对波动率收益区间统计数据、收益定义的时间窗口、以及，, 更宽。该模型生成的收益区间统计特性与纽约证券交易所股票和外汇交易所汇率的经验数据的详细比较见【26】。在图中。

8我们仅提供每日波动率回报区间的全尺寸模型PDF与纽约证券交易所6只股票绝对每日回报计算的PDF的说明性比较。从雅虎财经（Yahoo Finance）获得的6支股票的收益率序列已通过标准差标准化为同一PDF，并已合并为一个数据集，用于生成绝对收益区间。图8绘制了子图中给出的4个不同阈值q值的比较图。经验和模型PDF非常吻合，q=2.5时只能观察到一些差异。该模型不再现回归PDF幂律部分以外的低阈值的回归区间的经验统计特性，其中行为的复杂性非常高。考虑到交易活动的日内波动，模型可能还有改进的空间。γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγq=2.50.0 0.5 1.0-5-4-3-2-10Log10（T/<T>）Log10（<T>PDF）δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδq=30.0.5 1.0 1.5-4-3-2-10Log10 Log10（T/<T>）Log10（<T>PDF）θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθq=5-1.0-0.5 0.0 0 0.51.0-4-3-2-10Log10（T/<T>）Log10（<T>PDF）ππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ（T/<T>）Log10-2.0-1.5-0.50.51.0Log10>PDF）图8。波动率收益区间的标度模型和经验PDF的比较 = 交易日。数值模型直方图的点用希腊字母表示，根据normalizedreturn系列计算的6只纽约证券交易所股票的经验PDF用实线绘制。q值在子图的右角给出。当Tq值通过序列平均值标准化时，分布以对数-对数比例绘制。所有其他模型参数在此贡献中是相同的。6.

本文的结论是，我们分析了各种噪声如何影响金融市场绝对收益的统计特性。早期提出的模型包括长期和高频内生波动以及现象学的外源高频波动。这有助于我们从数字上揭示这些噪声如何相互作用，从而影响各种统计特性，包括绝对收益率PDF、PSD和高波动率收益区间的PDF。首先，我们证明，在绝对收益率和波动率的长期依赖性建模中，外部噪声是必不可少的，因为仅内生动力学就产生了太高的SD指数值。其次，我们证明了外部噪声对于理解高波动收益率区间PDF的指数型截流非常重要，这是由随机过程的一般击中时间理论产生的。最后，我们的结果证实，外部噪声的影响随着窗口的扩大而增加 返回定义，导致与返回间隔TqPDF的3/2幂律形式存在较大偏差。这些结果证实，金融市场的综合建模必须纳入代理的内生动力学以及外源信息或/和订单流噪声。感谢作者感谢Aleksejus Kononovicius博士和JuliusRuseckas博士对这项工作的长期兴趣、友好的合作和帮助进行一些必要的计算。参考文献[1]M.Karsai，K.Kaski，A.L.Barabasi，J.Kertesz，NIH Scientic Reports 2397（2012）。[2] A.Chakraborti，I.M.Toke，M.Patriarca，F.Abergel，《定量金融》7991–1012（2011）。[3] X.Gabaix，《经济学年鉴》1255–293（2009）。[4] J.D.Farmer、M.Gallegati、C.Hommes、A.Kirman、P.Ormerod、S.Cincotti、A.Sanchez、D.Helbing，《欧洲物理杂志》专题214295–324（2012）。[5] R.J。

Shiller，《美国经济评论》104（6），1486–1517（2014）。[6] A.Kirman，《宏观经济动态第一视角》，1-21（2015）。[7] R.N.Mantegna，H.E.Stanley，《经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性》，剑桥大学出版社，纽约，2000年。[8] J.P.Bouchaud，M.Potters，《金融风险和衍生品定价理论》，剑桥大学出版社，纽约，2004年。[9] D.Sornette，《为何股市崩盘：复杂金融系统中的关键事件》，普林斯顿大学出版社，美国普林斯顿，2004年。[10] F.Slanina，《经济物理学建模要点》，牛津大学出版社，2014年。[11] L.Giraitis，R.Leipus，D.Surgailis，《经济学的长期记忆》，编辑G.Teyssiere，A.Kirman，Springer，2007年，第3-38页。[12] L.Giraitis，R.Leipus，D.Surgailis，Eds.T.G.Anderson，R.A.Davis，J.Kreis，T.Mikosh，《金融时间序列手册》，Springer Verlag，柏林，2009年，第71-84页。[13] C.Conrad，《计量经济学杂志》157441–457（2010）。[14] M.E.H.Arouri、S.Hammoudeh、A.Lahiani、D.K.Nguyen，《经济和金融季度回顾》52207-218（2012）。[15] L.Giraitis、H.L.Koul、D.Surgailis，《长记忆过程的大样本推断》，世界科学，2012年。[16] M.Taye fi，T.V.Ramanathan，《奥地利统计杂志》41175–196（2012）。[17] A.W.Lo，《计量经济学》59（5），1279–1313（1991）。[18] W.Willinger，M.S.Taqqu，V.Teverovsky，金融随机学家。3，1-13（1999年）。[19] T.Mikosch，C.Starica，《长程依赖效应和ARCH建模》，《长程依赖的理论和应用》，Birkhauser Boston，2003年。[20] V.Gontis，A.Kononovicius，PLoS ONE 9（7），e102201（2014）。【21】K.Yamasaki，L.Muchnik，S.Havlin，A.Bunde，H.Stanley，《美国国家科学院院刊》102，9424–9428（2005）。[22]F.Wang，K.Yamasaki，S.Havlin，H.Stanley，《物理评论》E 77，026117（2006）。【23】F。

Wang，K.Yamasaki，S.Havlin，H.Stanley，《物理评论》E 77，016109（2008）。【24】J.Ludescher，C.Tsallis，A.Bunde，EPL 9568002（2011年）。【25】J.Ludescher，A.Bunde，《物理评论》E.90062809（2014）。【26】V.Gontis，S.Havlin，A.Kononovicius，B.Podobnik，H.E.Stanley，《物理》462，10911102（2016）。【27】R.Shiller，《非理性繁荣》，普林斯顿大学出版社，普林斯顿2015年。【28】J.A.Scheinkman，《投机、交易和泡沫》，哥伦比亚大学出版社，纽约奇切斯特，西苏塞克斯郡，2014年。【29】A.P.Kirman，《经济学季刊》108，137–156（1993）。[30]R.T.Baillie，《计量经济学杂志》73，5–59（1996）。【31】J.Ruseckas，B.Kaulakys，Phys。修订版。E 051125（2011年）。【32】J.Ruseckas，B.Kaulakys，《统计力学杂志》2014，P06004（2014）。【33】A.N.Borodin，P.Salminen，《布朗运动手册》，Birkhauser，Basel2002。【34】M.Jeanblanc、M.Yor、M.Chesney，《金融市场的数学方法》，柏林斯普林格，2009年。[35]C.W.Gardiner，《随机方法手册》，施普林格出版社，柏林，2009年。【36】S.Redner，《第一段过程指南》，剑桥大学出版社，2001年。【37】V.Gontis、A.Kononovicius、S.Reimann，《复杂系统的进展》15（supp01），1250071（2012）。[38]B.Kaulakys，M.Alaburda，V.Gontis，AIP Conf.Proc。（2009），第13-16页。【39】B.Kaulakys，M.Alaburda，《统计力学杂志》P02051（2009）。【40】A.Kirman，G.Teyssiere，《非线性动力学与计量经济学研究》5（4），280–302（2001）。【41】M.S.Pakkanen，《数学与金融经济学》，第3期，第89–114页（2010年）。【42】A.Chakraborti、I.M.Toke、M.Patriarca、F.Abergel，《定量金融》，第7期，第1013-1041页（2011年）。[43]S.H.Chen，S.P.Li，《国际金融分析评论》23，1-10（2012）。[44]L.Feng，B.Li，B.Podobnik，T.Preis，H.E。

Stanley，《美国国家科学院院刊》22，8388–8393（2012）。【45】S.M.Krause，P.Bottcher，S.Bornholdt，《物理评论》E 85，031126（2012）。【46】R.Frederick，《美国国家科学院院刊》110，3703–3705（2013）。【47】M.Ortisi，V.Zuccolo，《应用数学金融学》20578–598（2013）。【48】F.Abergel，H.Aoyama，B.K.Chakrabari（编辑），《基于代理模型的经济物理学》，斯普林格出版社，2014年。【49】S.Alfarano，T.Lux，F.Wagner，《计算经济学》26，19–49（2005）。【50】A.Kononovicius，V.Gontis，Physica A 391（4），1309–1314（2012）。【51】T.Lux，M.Marchesi，《自然》397498–500（1999）。[52]E.Samanidou，E.zschichang，D.Stau ffer，T.Lux，《物理学进展报告》70409（2007）。【53】S.Cincotti，L.Gardini，T.Lux，《计算经济学》32（1），1–2（2008）。【54】A.Kononovicius，V.Gontis，EPL 101，28001（2013年）。【55】X.Gabaix，P.Gopikrishnan，V.Plerou，H.E.Stanley，《自然》423，267–270（2003）。【56】J.D.Farmer、L.Gillemot、F.Lillo、S.Mike、A.Sen，《定量金融》4383–397（2004）。【57】X.Gabaix，P.Gopikrishnan，V.Plerou，H.E.Stanley，《经济学季刊》461-504（2006）。【58】R.Rak，S.Drozdz，J.Kwapien，P.Oswiecimka，《波兰物理学报》B 442035–2050（2013）。【59】B.Kaulakys，V.Gontis，M.Alaburda，《物理评论》E 71，1-11（2005）。【60】J.Ruseckas，B.Kaulakys，《统计力学杂志》P06004（2014）。【61】V.Gontis，B.Kaulakys，《统计力学杂志》P10016，1–11（2006）。【62】V.Gontis，B.Kaulakys，Physica A 382（1），114–120（2007）。【63】V.Gontis，B.Kaulakys，J.Ruseckas，《Physica A》387（15），3891–3896（2008）。【64】V.Gontis，J.Ruseckas，A.Kononovicius，《Physica A》389100–106（2010）。【65】Y.Yura，H.Takayasu，D.Sornette，M.Takayasu，《物理评论》E 92042811（2015）。【66】A.Kononovicius，J。

Ruseckas，Physica A（2015）。【67】R.Engle，T.Bollerslev，《经济评论》第5期，第1-50页（1986年）。【68】M.L.Higgins，A.K.Bera，《国际经济评论》33137–158（1992）。【69】V.Filimonov，D.Sornette，《定量金融》15（8），1–22（2015）。Filimonov2015QF【70】M.Denys、M.Jagielski、T.Gubiec、R.Kutner、H.E.Stanley，《市场超级统计的普遍性》，物理评论E 94042305（2016）。