比例条件下逐步行使和取消的博弈期权

2022-5-30 22:53:58

按比例交易成本逐步行使和取消的博弈期权约克大学数学系Salet Roux和Tomasz Zastawniak，联合王国2016年12月7日研究了多资产市场模型中具有比例交易成本的抽象博弈（以色列）期权，前提是允许买方行使期权，卖方有权在混合（或随机）停止时间逐步取消期权，而不是在非常规停止时间立即取消期权。允许逐步行权和取消会增加套期保值的灵活性，因此与即时行权和取消的情况相比，期权价格的界限更为严格。开发并说明了买卖价格的算法结构、相关的超边缘策略以及行权和取消的最佳混合停止时间。还建立了买卖价格的概率对偶表示。1简介游戏（即以色列）期权是期权买方和卖方之间的合同，允许买方行使期权，卖方有权在到期前随时取消期权。与此类游戏期权相关的支付最早应在行权和取消时间到期。如果期权在行使前被取消，那么买方也会从卖方那里获得额外的赔偿。博弈期权最早由Kifer【Kif00】引入，并在许多论文中在无摩擦的背景下进行了研究；有关这项工作的调查，请参见Kifer【Kif13a】。博弈期权被证明不仅对其本身很重要，而且因为它们为其他交易衍生品（如可转换债券或可赎回期权）奠定了理论基础；参见例如Kallsen和K¨uhn【KalKuh05】、K¨uhn和Kyprianou【KuhKyp07】、Bielecki等人。

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2022-5-30 22:54:01

【Bie08】、王和金【WanJin09】或郭【Kwo14】。Kifer【Kif13b】首先在博弈期权的背景下考虑了交易成本，他扩展了Roux和Zastawniak【RouZas09】在具有单一风险证券的市场中为美式期权建立的结果。Kifer的工作[Kif13b]最近被Roux[Rou16]推广到具有比例交易成本的离散多资产模型中的博弈期权。由于Dolinsky[Dol13]的一个负面结果，即在比例交易成本下，连续时间内博弈期权的超级复制价格是一个微不足道的买入并持有策略的初始值，Kifer[Kif13b]和Roux[Rou16]都在离散时间内研究博弈期权。本文也采用了这种方法。基弗（Kifer）[Kif13b]和鲁克斯（Roux）[Rou16]的论文与关于博弈期权的更广泛文献一致，认为期权只能在瞬间全部行使或取消，换言之，只能在正常停止时间行使或取消。这意味着定价和套期保值涉及买卖双方的非凸优化问题。在这种情况下，Kifer[Kif13b]和Roux[Rou16]表明，买卖价格可以通过算法计算，买卖双方的最优策略也可以通过算法计算。此外，他们还建立了买卖价格的概率对偶表示。与此设置中的美式选项不同，双重表示包括所谓的混合（或随机）停止时间（之前由巴克斯特和查孔【BaxCha77】、查拉萨尼和杰哈【ChaJha01】、布恰尔丹和特姆【BouTem05】和许多其他人在各种上下文中使用）。在本文件中，我们允许买方和卖方逐步行使和取消，即在混合停车时间，而不是在普通停车时间瞬间，从而增加灵活性。

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2022-5-30 22:54:04

此类灵活性适用于持有期权组合的投资者，他们可能希望通过在不同时间行使或取消部分期权来管理其风险敞口。在存在比例交易成本的情况下，逐步行使和取消与递延偿付能力的概念密切相关；这一点已经在鲁克斯和扎斯塔瓦尼亚克（RouZas14）逐步实施的美式期权的背景下进行了研究。在标的资产存在较大的买卖价差的情况下，例如在市场暂时流动性不足的情况下，代理人可能会在某个时间瞬间t破产，但仍然能够通过以自我融资的方式交易在稍后时间恢复偿付能力。允许此类延期偿付能力头寸，而不是始终坚持立即偿付能力，也会增加博弈期权买卖双方构建边缘策略的灵活性。在这种情况下，即对于在交易成本和递延偿付能力下逐步行使和取消的博弈期权，我们为期权的卖方和买方建立买卖价格和最优套期保值策略的算法结构。在这样做的过程中，我们扩展了Kifer[Kif13b]和Roux[Rou16]的结果，它们适用于只允许即时行使和即时偿付能力取消的博弈期权。事实证明，在存在比例交易成本的情况下，与即时行权和取消的情况相比，允许延迟偿付能力以及逐步行权和取消游戏期权会导致更紧密的买卖价差，这对期权合约双方都是有利的。

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2022-5-30 22:54:07

此外，需要注意的是，与Kifer[Kif13b]和Roux[Rou16]研究的非凸情况相比，允许逐步行使和取消将博弈期权的买方和卖方的定价和套期保值转化为凸优化问题，极大地提高了定价和套期保值算法的效率。此外，凸性有助于对偶方法的使用，并有可能扩展由L¨ohne和Rudloff[LoRu14]forEuropean options开发的线性向量优化技术。本文介绍的方法和结果建立在交易成本下欧美期权的大量工作基础上，包括默顿（Merton）[Mer89]、德莫迪（Dermody）和罗卡费拉（Rockafellar）[DerRoc91]、博伊尔（Boyle）和沃斯特（BoyVor92]、本赛义德（Bensaid）、莱斯内（Lesne）、帕吉斯（Pag\'es）和舍因克曼（Scheinkman）[92]、埃迪里辛格（Edrisinghe）、奈克（Naik）和乌帕尔（EdNaUp93%）、朱伊尼（Jouni）和卡拉尔（Kallal）[JouKal95]、库索卡（Kusuoka）[95]、科伊尔（Koehl，Pham和Touzi【KoPhTo99，KoPhTo02】、Stettner【Ste97，Ste00】、Perrakis和Lefoll【PerLef97】、Rutkowski【Rut98】、Touzi【Tou99】、Kabanov【Kab99】、Jouni【Jou00】、Palmer【Pal01】、Chalasani和Jha【ChaJha01】、Kabanov和Stricker【KabStr01】、Koci\'nski【Koc04】、Schachermayer【Scha04】、Bouchard和Temam【BouTem05】、Tokarz和Zastawniak【TokZas06】、Chen、Palmer和Sheu【Chpashhhhhh06】08]，鲁克斯，Tokarz和Zastawniak【RoToZa08】、Roux和Zastawniak【RouZas09、RouZas14、RouZas16】、Lohne和Rudlo off【LoRu14】。论文进行如下。第2节介绍了具有比例交易成本的多资产模型，并总结了本文将使用的Roux和Zastawniak【RouZas14】的结果。第3节介绍了逐步练习和取消的游戏选项。卖方和买方的定价算法以及双重表示在第4节和第5节中给出，证明推迟到第7节。

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2022-5-30 22:54:11

第6.2节预备工作2.1节提供了一个具有比例交易成本的多资产模型示例。我们考虑了由卡巴诺夫[Kab99]引入并由卡巴诺夫和斯特里克[KabStr01]、沙切梅耶[Scha04]等人研究的具有多资产（方便地认为是货币）和比例交易成本的离散时间市场模型。让(Ohm, F、 P）是过滤（Ft）Tt=0的概率空间。我们假设Ohm 是有限的，F={, Ohm}, FT=F=2Ohm对于所有ω，P（ω）>0∈ Ohm. Foreach t=0，T，由Ohmtwe表示Ft原子的集合，称为关联树模型的节点。市场模型包含d资产或货币。在每个交易日t=0，1，对于每个k，j=1，d、通过交换πjkt>0个单位的资产j，可以获得一个单位的资产k。我们假设所有t和j，k的汇率πjktar Ft可测量，πjjt=1。对于每个t=0，T设Lt：=L（Rd；Ft）是Ft可测Rd值随机变量的集合。我们可以识别Rd VALUEDFUNCTION为on的LTD元素Ohmt、任意x∈ LTC可以被认为是一个有头寸的投资组合，XD在d资产中。我们说投资组合x∈ LTC可转换为投资组合y∈ 当存在Ft可测量的随机变量βjk时，在时间t处≥ 0，j，k=1，d使得对于所有k=1，dyk=xk+dXj=1βjk-dXj=1βkjπkjt，其中βjk表示因交换部分资产j单位而收到的资产k单位数。偿付能力锥Kt LTI是在时间t有偿付能力的投资组合集合，即在时间t可以转换为在所有d资产中具有非负头寸的投资组合。因此，KT是由正则基e，…，和，edof Rd和向量πjktej- ekforj，k=1，d

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2022-5-30 22:54:15

我们还将Ktas称为即时偿付能力锥，以将其与稍后引入的所谓递延偿付能力锥QT区分开来。交易策略y=（yt）T+1t=0是一个可预测的Rd值过程，为了便于记法，最终值假设为yt+1=0。对于每个t>0，投资组合yt∈ Lt公司-1从时间t起保持- 1到时间t，y是初始捐赠。我们用Φ表示此类交易策略的集合。A交易策略y∈ Φ被称为自固定- 年初至今+1∈ K对于所有t=0，T- 1、请注意，Φ的定义中不包括隐含假设的自我融资条件。A交易策略y∈ Φ被称为套利机会，如果它是自我融资的，y=0，并且存在投资组合x∈ LT \\{0}与xj≥ 0表示每个hj=1，d和yT-x个∈ 千吨级。[Scha04]考虑了这种套利的概念，其缺失形式上有所不同，但等同于[KabStr01]引入的弱无风险条件。定理1（[KabStr01，Scha04]）当且仅当存在一个概率测度Q等价于P且anRd值Q-mart ingale S=（St）Tt=0，使得St∈ K*t \\{0}对于所有t=0，T、（1）其中K*t： ={y∈ Lt | y·x≥ 0表示所有x∈ Kt}是-千吨级。我们用P表示满足定理1中条件的对集（Q，S），用P表示满足定理1中条件但Q相对于P绝对连续（不一定等价）的对集（Q，S）。在本文的其余部分中，我们假设该模型不允许存在任意机会，即P 6=.任何投资组合x∈ KT在时间t立即具有偿付能力，也就是说，它可以在时间t转换为在所有d资产中具有非负头寸的债务。对于交易成本下的美式期权和博弈期权，以下较弱类型的偿付能力也证明是有用的。

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2022-5-30 22:54:18

我们用qt表示portfoliosx的集合∈ Lt以便有一个序列ys∈ Ls公司-1对于s=t+1，满足条件X的T+1- 年初至今+1∈ Kt，ys- ys+1∈ K对于所有s=t+1，T、 yT+1=0。我们称这样的序列为yt+1，yT+1a清算策略从x时间t开始。QT中的投资组合是指最终（尽管在时间t可能不会立即）可以通过一系列自融资交易转换为所有资产中都有非负头寸的投资组合。构建递延偿付能力锥的一种等效方法是计算Qt：=kt，然后再计算Qt：=Qt+1∩ 对于t=t，Lt+KT- 1.0通过反向感应。结果表明，qt是一个凸多面体锥。我们称之为递延偿付能力锥。有关延期偿付能力的更多信息，请参见【RouZas14】。2.2混合停车时间混合（或随机）停车时间是非负适应过程φ=（φt）Tt=0，因此TXT=0φt=1。混合停车时间的集合将用X表示。对于任意φ∈ X我们放置φ*t： =TXs=tφsfor t=0，T、 φ*T+1：=0。（2）观察φ*是一个可预测的过程，因为φ*= 1为F-可测且φ*t=1-Pt公司-1s=0φsis Ft-1-每个t=1可测量，T例如，对于逐渐取消的游戏选项，φt可能表示在时间t取消的选项的一小部分，而φ*t之前未取消的选项的一部分。对于任何适应的过程X和任何φ∈ X我们确定在φasXφ：=TXt=0φTXt时评估的过程。我们还计算xφ*t： =TXs=tφsxsf对于t=0，T、 Xφ*T+1：=0。通过识别每个τ，可以将普通停止时间的集合T嵌入X中∈ 混合停车时间χτ的T∈ X定义为χτt：=1{t=τ}，对于每个t=0，T

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大多数88

2022-5-30 22:54:21

（此处1a表示事件的指示器功能a∈ F、）2.3逐步行使和取消的美式期权在这里，我们收集了在比例交易成本下逐步行使和取消美式期权的主要概念和结果；有关详细信息，请参见【RouZas14】。这些将被扩展到游戏选项，并将被用作工具，以确定此扩展的一些关键结果。考虑一个美式选项，其支付过程Z=（Zt）Tt=0，其中Zt∈ Lt代表每t=0，…，的d资产组合，T如果允许期权买方根据混合停止时间ψ逐步行使期权∈ X，则期权卖方在t=0时向买方交付的投资组合序列ψtZtis，T卖方需要对冲所有混合停车时间ψ∈ X可由买方选择。由于卖方可以对买方选择ψ作出反应，因此套期保值策略可能取决于ψ。我们将在策略中为时间t位置写zψt。在每个交易日t，卖方需要交付支付ψtz，并从zψ到zψt+1平衡策略，而无需注入任何额外财富，并且只能使用ψ和时间t之前（包括时间t）的市场知识。这导致以下条件。定义2让Z=（Zt）Tt=0成为一个适应的过程。对于具有支付过程Z和逐步行使的美国期权，卖方的超级边缘策略是累积Z:X→ Φ满足再平衡条件ψ∈ 十、t=0，T:zψT- ψtZt- zψt+1∈ Kt（3）与非预期条件ψ、 ψ′∈ 十、t=0，电话：Tt-1s=0{ψs=ψ′s} {zψt=zψ′t}。（4）这类策略的族将用ψa（Z）表示。定义3卖方（或询价）价格，货币j=1。

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2022-5-30 22:54:24

具有支付过程Z和逐步行使的美式期权的，d定义为aspaj（Z）：=infx个∈ R |z∈ ψa（Z）：xej=Z.卖方价格的以下表述在【RouZas14】中获得。在此表示中，对于任何ψ∈ X，我们用'Pdj（ψ）表示对（Q，S）的集合，使得Q是相对于P绝对连续的概率测度，S是Rd值适应过程，使得∈ Q*t{0}和EQ（Sψ*t+1 | Ft）∈ Q*t对于所有t=0，T、其中Q*t： ={y∈ Lt | y·x≥ 0表示所有x∈ Qt}是-Qt。定理4（【RouZas14，定理4.2】）卖方的货币价格j=1，具有支付过程Z和逐步行使的美式期权的d可以表示为aj（Z）=maxψ∈Xmax（Q，S）∈(R)Pdj（ψ）EQ（（Z·S）ψ）。3逐步行使和取消的博弈期权【Kif00】中介绍并在【Rou16】中研究的博弈期权是期权买方和卖方之间的合同，该合同赋予买方在任何停止时间行使期权的权利τ∈ T，并赋予卖方在任何停车时间σ取消期权的权利∈ T有两个调整后的流程Y=（Yt）Tt=0和X=（Xt）Tt=0，分别确定行使和取消期权时的支付费用。在存在交易成本的情况下，SY和X是研发价值（即投资组合价值）过程；当d=2时，参见案例中的[Kif13b]，任何d参见[Rou16]≥ 2、卖方必须在σ时的时间τ向买方交付手册Yτ≥ τ或σ<τ时σ时的投资组合Xσ。也就是说，期权将在时间σ终止∧ τ由于运动器取消，以及端口组合σ，τ：=1{σ≥τ}Yτ+1{σ<τ}Xσ届时将易手。注意，当σ=τ时，行使期权优先于取消。此外，假设XT- 年初至今∈ kt对于每个t=0，T

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2022-5-30 22:54:27

（5）差异Xt- YT可被视为卖方在取消期权时支付的违约金。我们将此类期权称为即时行使和取消的游戏（或以色列）期权，以区别于下文所述的渐进行使和取消期权。在目前的工作中，我们允许买方和卖方分别自由行使或根据混合停止时间逐步取消期权。如果买方选择混合停车时间ψ∈ X作为练习时间，卖方选择混合停车时间φ∈ X为取消时间，然后在每个交易日t=0，T买方将首先行使部分ψT/ψ*tof选项中的当前位置，然后卖方将取消分数φt/φ*tof选项中的剩余位置，其中ψ*tandφ*taregiven by（2）。再次强调，锻炼比取消更重要。在这些情况下，从ψ的初始位置开始*φ*= 1选项在0时，我们将通过归纳法证明ψ*tφ*t如果在时间t之前不会执行或取消该选项，则对于每个t=0，T这意味着ψt/ψ*tof当前位置ψ*tφ*t、即，（ψt/ψ）*t） ψ*tφ*t=ψtφ*如果买方有优先权行使，则期权将在t行使。选项中的剩余位置将为ψ*tφ*t型- ψtφ*t=（ψ*t型- ψt）φ*t=ψ*t+1φ*t、因此（φt/φ*t） ψ*t+1φ*t=ψ*t+1φtof卖方将在t取消该期权。总共ψtφ*t+ψ*t+1φtof由于练习器取消，期权将在t终止，剩下ψ*tφ*t型- ψtφ*t型- ψ*t+1φt=ψt+ψ*t+1φt+φ*t+1- ψtφt+φ*t+1- ψ*t+1φt=ψ*t+1φ*期权的t+1在t之前或t时既未行使也未取消，将结转至时间t+1。

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2022-5-30 22:54:30

这就完成了归纳。备注5最小ψ∧ 混合停车次数φψ，φ∈ X可以定义为（ψ∧ φ） t：=ψtφ*t+ψ*t+1φt对于每个t=0，T参见[Kif13b]。上述论点表明，根据混合停止时间ψ，逐步行使和取消的博弈期权将终止∧ φ。在每个交易日t=0，T，自ψTφ*tof行使期权和ψ*t+1φt如果选择权被取消，卖方将向买方交付组合φ，ψt：=ψtφ*tYt+ψ*t+1φtXt，其中Y=（Yt）Tt=0和X=（Xt）Tt=0是表征游戏选项的练习和取消过程，即满足（5）的Rd值适应过程。显然，Gφ，ψ=（Gφ，ψt）Tt=0是一个Rd值适应过程，我们将其称为博弈选项的支付过程。定义6逐步行使和取消的博弈（或以色列）期权（Y、X）是一种衍生证券，可根据混合停止时间ψ行使∈ X由买方选择或根据混合停车时间φ取消∈ X由卖方选择，买方有权接收并责成卖方交付投资组合Gφ，ψt=ψtφ*tYt+ψ*t+1φtxtone每个交易日t=0，T备注7与上述支付过程Gφ，ψt相比，Kifer[Kif13b]指的是随机变量Qφ，ψ：=TXs=0TXt=0φsψtQs，tas是根据混合停止时间φ，ψ进行练习和取消的博弈期权的“支付”∈ X，但不指定此投资组合应易手的时间。然而，此类期权的支付不应是一个单一的随机变量，而应是一个经过调整的过程，表示在每个交易日t=0，T我们观察到Qφ，ψ=TXt=0Gφ，ψt，即Qφ，ψ恰好是t=0。

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2022-5-30 22:54:33

T在本文中，Qφ，ψ将在不同的角色中被证明是有用的。即确定混合停车时间χt∈ 对于确定的时间t，我们将使用Qφ，χt，对于t=0，T作为逐步行使的美国期权的支付过程，并调用【RouZas14】的结果，以建立逐步行使和取消下博弈期权的卖方价格的概率表示；参见引理15和定理16。同样，在买方的情况下，我们将使用美式期权，逐步行使和支付过程-Qχt，ψ表示t=0，T参见引理24和定理25.4卖方价格和超边际策略逐步行使和取消的博弈期权（Y，X）的卖方需要对冲任何混合停止时间ψ∈ X由买方选择以执行选项。卖方可以通过以下交易策略做到这一点：uψ=（uψt）Tt=0∈ Φ，可能取决于ψ。因为uψt表示一个投资组合在时间步长t上，也就是在时间t之间-1和t，可以得出uψt可能依赖于ψ，ψt-1卖方在时间t时知晓- 1，当创建此投资组合时，但不是在（卖方）未知的值ψt，ψT。这是定义8中非预期条件（7）的原因。除了选择交易策略uψ∈ Φ，卖方可选择固定停车时间φ∈ X取消期权，并且必须能够在每个日期t=0，…，交付投资组合Gφ，ψton，不向战略中注入任何额外财富。这调整了再平衡条件（6）。定义8对于逐步行使和取消的游戏选项（Y，X），卖家的超边缘策略是一对（φ，u），其中φ∈ X和u:X→ Φ，满足再平衡条件ψ∈ 十、t=0，T:uψT- Gφ，ψt- uψt+1∈ Kt（6）与非预期条件ψ、 ψ′∈ 十、t=0。

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2022-5-30 22:54:37

，T:Tt-1s=0{ψs=ψ′s} {uψt=uψ′t}。（7）这类策略的族将用Φa（Y，X）表示。最便宜的（以特定货币j表示）卖方的超边际策略会产生卖方的期权价格。定义9：卖方（或卖方）的货币价格j=1，逐步行使和取消的游戏选项（Y，X）的d定义为πaj（Y，X）：=infx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u.4.1卖方定价算法以下是一组初始禀赋的迭代构造，允许卖方在博弈期权中通过逐步行使和取消来提高其地位。构造10构造适应序列Yat、Xat、Vat、Wat、Zatfor t=0，T如下所示。首先，对于所有t=0，…，putYat：=Yt+Qt，Xat：=Xt+Qt，T和wat：=增值税：=长期，ZaT：=一日。那么，对于t=t- 1.0反向感应定义WAT：=Zat+1∩ Lt，Vat：=Wat+Qt，Zat：=转换{Vat，Xat}∩ Yat，其中conv{Vat，Xat}是Vat和Xat的凸包。通过与[RouZas14]中命题5.1的证明类似的论证，可以得出所有t的Zatare多面体凸集。我们将看到，Zatare是初始禀赋的集合，允许卖方通过逐步行使和取消来超越其在博弈选项（Y，X）中的位置。一旦ZA建成，以下结果可用于获得卖方的期权价格。定理11卖方的货币价格j=1，逐步行使和取消的博弈选项（Y，X）的d可以表示为πaj（Y，X）=minx个∈ R | xej∈ Za公司.为了证明这个定理，我们引入了一个辅助族∧a（Y，X），其中的元素可以被认为是在逐步取消、即时（而非渐进）行使和延迟（而非即时）偿付能力的博弈期权中，使卖方的地位更为突出的策略。

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2022-5-30 22:54:40

附录第7节证明了定理和下列命题。定义1 2我们将∧a（Y，X）定义为由所有对（φ，z）组成的族，其中φ∈ X和z∈ Φ，满足条件zt- φtXt- zt+1∈ QT对于所有t=0，T- 1，zt- φ*tYt公司∈ QT对于所有t=0，T、根据下一个命题，Za与∧a（Y，X）中策略的初始禀赋集一致。提案13Za=z∈ Rd |（φ，z）∈ ∧a（Y，X）.我们还声称∧a（Y，X）中策略的初始禀赋集与Φa（Y，X）中策略的初始禀赋集一致。提案14z∈ Rd |（φ，z）∈ ∧a（Y，X）=u∈ Rd |（φ，u）∈ Φa（Y，X）.从命题13和命题14可以看出，ZA是所有策略的初始禀赋家族，通过逐步行使和取消，使卖方在博弈期权中的地位得到了提升。这就是需要证明定理11的地方，它将卖方的价格πaj（Y，X）与Za联系起来。详细信息请参见附录第7.4.2节“卖方价格表示”在本节中，我们获得了游戏选项的卖方价格的双重表示，包括逐步行使和取消。这依赖于【RouZas14】中给出的美国期权逐步行使的类似结果；见定理4。观察，通过定义9，πaj（Y，X）=infx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u= infφ∈χinfx个∈ R |u：（φ，u）∈ Φa（Y，X），xej=u.因此，根据下面的引理15和定义3，我们得到πaj（Y，X）=infφ∈χinfx个∈ R |z∈ ψa（Qφ，·）：xej=z= infφ∈χpaj（Qφ，·），其中Qφ，·=（Qφ，t）Tt=0，Qφ，t：=Qφ，χt对于t=0。

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2022-5-30 22:54:43

这是美式期权逐步行使的支付过程，其中paj（Qφ，·）是此类美式期权的卖方价格。任意φ引理15∈ X{u |（φ，u）∈ Φa（Y，X）}={z | z∈ ψa（Qφ，·）}，其中Qφ，·=（Qφ，t）Tt=0是美式期权的支付过程。引理在附录第7节中得到了证明。结果表明，在φ的上限内∈ χinπaj（Y，X）=infφ∈实际上，χpaj（Qφ，·）是最小值。此外，paj（Qφ，·）可以表示为定理4。这将导致以下表示。定理16卖方的货币价格j=1，逐步行使和取消的博弈选项（Y，X）的d可以表示为πaj（Y，X）=minφ∈Xmaxψ∈Xmax（Q，S）∈(R)Pdj（ψ）EQ（（Qφ，·S）ψ）。证明的详细信息可再次在附录第7.5节买方价格和超边缘策略中找到。博弈选项（Y，X）的买方将能够选择混合停止时间ψ∈ X行使期权，并可遵循交易策略uφ=（uφt）Tt=0∈ Φ，可能取决于取消时间φ∈ X由卖方选择。在每个日期t=0，T买方将接收投资组合Gφ、ψ，并可以以自我融资的方式，即在不注入任何额外财富的情况下，将战略中的当前头寸uφ重新平衡为uφT+1。买方在时间t创建的投资组合uφt- 1可能取决于卖方的扫描策略φ，φt-1超过并包括时间t- 1，但不在φt，φT，因为买方在时间T还不知道- 1、这些考虑因素导致以下定义。定义1 7对于逐步行使和取消的博弈期权（Y，X），买方的超边缘策略是一对（ψ，u），其中ψ∈ X和u:X→ Φ，满足再平衡条件φ∈ 十、t=0，T:uφT+Gφ，ψT- uφt+1∈ Kt（8）与非预期条件φ、 φ′∈ 十、t=0。

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2022-5-30 22:54:46

，T:Tt-1s=0{φs=φ′s} {uφt=uφ′t}。（9）这类策略的族将用Φb（Y，X）表示。以货币j表示的博弈期权的买方价格可以理解为以该货币表示的最大金额，该金额可以针对用作担保的期权中的多头头寸筹集。具体定义如下。定义1 8买方（或投标）价格，货币j=1，逐步行使和取消的游戏选项（Y，X）的d定义为πbj（Y，X）：=sup-x个∈ R |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）：xej=u.5.1买方定价算法众所周知，对于欧式期权，买方和卖方的超边缘和定价问题是对称的。从本质上讲，对称性包括颠倒支付符号，同时也颠倒买方和卖方的角色。因此，解决卖方的问题也可以解决买方的问题，反之亦然。然而，对于美式期权来说，这种对称性被打破了，需要分别解决买方和卖方的问题；例如，参见【RouZas14】或【RouZas16】。乍一看，在博弈期权的情况下，似乎可以恢复买卖双方之间的对称性。然而，事实上，当买方在卖方取消期权之前有优先权行使期权时，情况并非如此。改变角色将优先考虑卖方。结合条件（5），这打破了对称性，因此需要针对买方问题的特定解决方案。以下构造有助于实现这一点。构造19构造适应序列Ybt、Xbt、Vbt、Wbt、Zbtf或t=0，T如下所示。首先，putYbt：=-Yt+Qt，Xbt：=-Xt+QT对于所有t=0，T和WBT：=VbT：=LT，ZbT：=YbT。那么，对于t=t- 1.

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可人4

2022-5-30 22:54:49

，0反向感应定义wbt：=Zbt+1∩ Lt，Vbt：=Wbt+Qt，Zbt：=conv{Vbt∩ Xbt，Ybt}。与卖方的结构10相比，除了将支付流程Y、X替换为-十、-Y，如果买方和卖方之间存在简单的对称性就足够了，在该构造的最后一行中，相交和凸包的操作按相反的顺序进行。以下关于买方案例的结果证明与卖方的结果类似，但某些细节遵循不同的模式，以解释卖方和买方定价结构之间的差异。正如卖方的情况一样，与[RouZas14]中命题5.1的证明相同的论点表明，Zbtare多面体凸集。此外，我们将看到，ZB对买方的作用与Zado对卖方的作用类似，即它是所有初始捐赠的集合，允许期权买方超越其地位。这将导致以下结果。定理20货币j=1的买方价格，逐步行使和取消的博弈期权（Y，X）的d可以表示为πbj（Y，X）=max-x个∈ R | xej∈ Zb公司.为了证明这个定理，我们需要以下族∧b（Y，X），其中的元素可以被视为策略，通过即时（而非逐渐）取消、逐步行使和延迟（而非立即）偿付能力，在博弈期权中超越买方的地位。定义2 1我们将∧b（Y，X）定义为由所有对（ψ，z）组成的族，其中ψ∈ X和z∈ Φ，满足条件szt+ψtYt- zt+1∈ QT对于所有t=0，T- 1，zt+ψtY+ψ*t+1Xt∈ QT对于所有t=0，T、接下来的两个结果与命题13和14相似。

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大多数88

2022-5-30 22:54:53

首先，Zbis等于∧b（Y，X）中策略的初始禀赋集。提议22Zb=z∈ Rd |（ψ，z）∈ ∧b（Y，X）.然后显示∧b（Y，X）中策略的初始赋能集与Φb（Y，X）中策略的初始赋能集一致。提案23z∈ Rd |（ψ，z）∈ ∧b（Y，X）=u∈ Rd |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）.这两个命题的证明见附录第7节。一旦这些结果成立，证明Zbis是Φb（Y，X）中策略的初始禀赋集，定理20如下；有关详细信息，请参见附录第7.5.2节买方价格代表。在本节中，我们通过利用与美国期权价格的链接，逐步行使和支付过程，获得了逐步行使游戏期权的买方价格代表-Q·，ψ=(-Qt，ψ）Tt=0为任何ψ定义∈ χ、式中，qt，ψ：=Qχt，ψ表示t=0，T、这种联系由下一个引理提供。任意ψ的引理24∈ 十、u |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）= {z | z∈ ψa(-Q·，ψ）}，其中-Q·，ψ=(-Qt，ψ）Tt=0是美式期权的支付过程。π=π=10Y=（0，0）X=（0，5）π=π=16Y=（0，3）X=（0，6）uπ=π=14Y=X=（0，9）uuπ=π=6Y=（0，0）X=（0，3）dπ=π=4Y=X=（0，0）ddπ=π=10Y=X=（0，4）ud，du图1：借助此引理的二元两步两货币模型中的游戏选项，方式与第4.我们可以确定买方价格的以下表述。定理25货币j=1的买方价格，逐步行使和取消的博弈期权（Y，X）的d可以表示为πbj（Y，X）=maxψ∈Xminφ∈Xmin（Q，S）∈(R)Pdj（φ）EQ（（Q·，ψ·S）φ）。引理24和定理25的证明见附录第7.6节示例二元两步两货币模型中的博弈选项（Y，X）如图1所示。模型为重组模型；期权支付与路径无关，在时间2没有取消罚款。

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2022-5-30 22:54:57

该模型在时间1时只有节点u的交易成本。【Rou16】的第3.1条和第3.4条给出了gameoption（Y，X）的买卖价差，并以货币2 tobe【3.2，5】即时行使和取消。我们将在下文中显示（Y，X）的买卖价差（带渐变色和取消）为[πb（Y，X），πa（Y，X）]=[，]≈ [3.6667，4.6667] [3.2，5]。（实际上，（Y，X）的买卖价格可以从下面的图3和图5中的纵轴上读取。）因此，在本例中，逐步执行和取消会导致较小的买卖价差。让我们使用构造10来确定初始捐赠的集合，该集合允许卖方通过逐步行使和取消来超越（Y，X）。在-xxWau=Zauu∩ 扎乌德o扎乌祖德-WauVau=Wau+Qu Quozauxx的下边界--xxozaozauVauXauconv{Vau，Xau}--ozaxxconv{Vau，Xau}YauZau=conv{Vau，Xau∩ 图2:Wau，Vau，conv{Vau，Xau}，Zau，zautime t=2我们有ZAUU={（x，x）∈ R： 14倍+10倍≥ 9} ，Zaud=Zadu={（x，x）∈ R： 10倍+10倍≥ 4} ，Zadd={（x，x）∈ R： 4x+x≥ 0}。图2展示了节点u在时间t=1时的构造，其结果是zau={（x，x）∈ R： 14倍+10倍≥ 6，x+x≥ 6、10倍+x≥ 4} 。节点d处的类似注意事项给定d={（x，x）∈ R： 6倍+10倍≥}.t=0时的构造给出了sza={（x，x）∈ R： 10倍+10倍≥},如图3所示。卖方从初始禀赋（0，πA（Y，X））开始的超边缘策略可以通过以下类似的证明来构建：--xxozaWa=Zau∩ 扎扎乌扎德-xxozaozaWaVaVa=Wa+QxxozaVaXaconv{Va，Xa}的Qa下边界-xxozaconv{Va，Xa}YaZa=conv{Va，Xa}∩ 图3:Wa，Va，conv{Va，Xa}，Za，Za，Za组装命题13（φ，Za）∈ ∧a（Y，X），然后将其转换为a超套期保值策略（φ，ua）∈ Φa（Y，X）使用命题证明中的参数14。我们在此为场景uu说明了流程的第一部分。

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可人4

2022-5-30 22:55:00

定义第一个za：=0，; 从图3可以清楚地看出，za/∈ Xa，导致φ：=0。选择za：=, -∈ Wathen给了thatza- φX- za=za- za公司∈ Q、图2显示za∈ Za公司是的。它还表明，定义φu：=andzau：=, -导线toza=φu（0，6）+（1- φu）zau，带（0，6）∈ Xuand zau∈ Vau=Wau Zauu=Yauu。因此，该策略对应于在节点u的时间1取消选项，并且在时间2保留φuu：=选项。（Y，X）买方的超边缘策略集可通过以下构造19进行计算。在时间t=2时，Zbuu={（x，x）∈ R： 14倍+10倍≥ -9} ，Zbud=Zbdu={（x，x）∈ R： 10倍+10倍≥ -4} ，Zbdd={（x，x）∈ R： 4x+x≥ 0}。-4.-9---xxoZBUBU=Zbuu∩ ZbudZbuuZbud-4.---xxozbu=zbWbuVbu=Wbu+Qu Qu的下边界-4.-6.--xxVbuXbuozbVbu∩ Xbu公司-4.-3.---xxVbu∩ XbuYbuozbZbu=conv{Vbu∩ Xbu、Ybu}图4：Wbu、Vbu、Vbu∩ Xbu，Zbu，zb，zbuThe在时间t=1时在节点u处的构造给定szbu={（x，x）∈ R： 14倍+10倍≥ -6、10倍+x≥ -4} ，如图4所示。节点d处的类似考虑导致zbd={（x，x）∈ R： 6倍+10倍≥ -}.图5展示了t=0时的构造，这导致za={（x，x）∈ R： 10倍+10倍≥ -}.与卖方的情况类似，从初始捐赠开始为买方构建一个超级边缘战略0，-πb（Y，X）包括两个步骤，即组装（ψ，zb）∈ ∧b（Y，X）使用命题22证明中的构造，然后将其转换为超边缘策略（ψ，ub）∈Φb（Y，X）遵循命题23证明中的行。让我们再次考虑场景uu的第一步。定义zb：=0，-; 那么图5显示了ZB∈ Xbbut zb/∈ Yb，导致ψ：=0。

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2022-5-30 22:55:05

选择zb：=-,∈ WB确保ZB- ψY- zb=zb- zb公司∈ Q-4.---ozbxxWb=Zbu∩ ZbdZbuZbd----xxWbVb=Wb+Qozbozb Q的下边界-5.---xxozbVbXbVb∩ Xb公司--xxVb∩ XbYbozbZb=conv{Vb∩ Xb，Yb}图5：Wb，Vb，Vb∩ Xb，Zb，Zb，Zb图4显示了Zb∈ Xbu；然而，zb/∈ Ybuagain导致选择ψu：=0。此外，zb∈ Wbu，所以选择zbu：=zbgiveszb- ψuYu- zbu=0∈ Qu.最后请注意，zbu∈ Zbuu=Ybuu，这导致ψuu：=1。因此，该策略对应于在节点uu上的时间2执行整个选项。7附录：定理11的证明。根据定义9，πaj（Y，X）=infx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u.因此，根据命题14，πaj（Y，X）=infx个∈ R |（φ，u）∈ ∧a（Y，X）：xej=u根据命题13，πaj（Y，X）=infx个∈ R | xej∈ Za公司.因为Za是一个多面体集，所以它是闭合的。因此x个∈ R | xej∈ Za公司已关闭。它是非空的，下面有界，因为xej∈ Zafor任意x∈ 足够大，xej/∈ Zafor任意x∈ R足够小。因此，在最小值内实际上是最小值。命题13的证明。让a∈ Za。我们构造了一个混合停止时间φ∈ X及相应工艺φ*和战略z∈ ΦBY感应。首先我们把φ*:= 1和z：=a。显然，z∈ φ*Za。现在假设对于某些t=0，T-1我们已经建造了ztandφ*tsuch该zt∈ φ*萨特。因此，zt∈ φ*tYat，hencezt- φ*tYt公司∈ Qt。也就是说zt∈ φ*tconv{Vat，Xat}，因此存在λt∈ [0，1]，vt∈ Vatand xt公司∈ xat使zt=φ*t（（1- λt）vt+λtxt）。我们把φt：=φ*tλt和φ*t+1：=φ*t型- φt=φ*t（1- λt），so zt=φ*t+1vt+φtxt。自xt起∈ XA和VT∈ 增值税，紧随其后的是xt- Xt公司∈ QT，有zt+1∈ φ*t+1wat，使φ*t+1vt- zt+1∈ Qt。因此，zt- φtXt- zt+1=φ*t+1vt+φtxt- φtXt- zt+1=φ*t+1vt- zt+1+φt（xt- Xt）∈ Qt。自Wat起 Zat+1，也就是zt+1∈ φ*t+1Zat+1。

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2022-5-30 22:55:09

最后，考虑到ZT∈ φ*TZaT，我们得到zT∈ φ*TYaT，so zT- φ*TYT公司∈ QT，我们把φT：=φ*T、 φ*T+1：=0和zT+1：=0。我们构造了（φ，z）∈ ∧a（Y，X）使得a=z。相反，我们取任何（φ，z）∈ ∧a（Y，X），并表示z∈ Za。更一般地，我们将通过反向归纳法表明，对于每个t=0，坦桑尼亚先令∈φ*tZaton{φ*t> 0}Qton{φ*t=0}。（10）自zT起- φ*TYT=zT- φTYT∈ QT之后是zt∈ φ*TYT+QT=φ*泰顿{φ*T> 0}QTon{φ*T=0}=φ*TZaTon{φ*T> 0}QTon{φ*T=0}。接下来，假设（10）对于一些t=1，…，成立，T由于z是可预测的，因此zt∈ Lt公司-1，sozt∈φ*t（Zat∩ Lt公司-1）关于{φ*t> 0}Qt∩ Lt公司-1on{φ*t=0}φ*tWat公司-1on{φ*t> 0}Qt-1on{φ*t=0}。因此，使用ZT-1.- φt-1Xt-1.- zt公司∈ Qt-1、我们获得ZT-1.- φt-1Xt-1.∈ zt+Qt-1.φ*tWat公司-1+夸脱-1on{φ*t> 0}Qt-1+夸脱-1on{φ*t=0}=φ*tVat公司-1on{φ*t> 0}Qt-1on{φ*t=0}。接下来是ZT-1.∈φt-1Xt-1+φ*tVat公司-1on{φ*t> 0}φt-1Xt-1+夸脱-1on{φ*t=0}=φ*tVat公司-1+φt-1Xat-1on{φ*t> 0}φt-1Xat-1on{φ*t=0，φt-1> 0}Qt-1on{φ*t=0，φt-1=0}=φ*tVat公司-1+φt-1Xat-1on{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}φ*tconv公司大桶-1，Xat-1.关于{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}。此外，sice zt-1.- φ*t型-1年期-1.∈ Qt-1，下面是ZT-1.∈ φ*t型-1年期-1+夸脱-1个=φ*泰特-1on{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}。因此，zt-1.∈φ*tconv公司大桶-1，Xat-1.∩ φ*泰特-1on{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}=φ*tZat公司-1on{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}，这就完成了证明。命题14的证明。假设（φ，z）∈ ∧a（Y，X）。然后，对于每一个=0，T- 1zt- φtXt- zt+1∈ Qt，因此有一个清算策略ytt+1，ytT+1从zt开始- φtYt- 时间t时zt+1。为了便于记法，我们还将yTT+1：=0。此外，zt- φ*tYt公司∈ QT对于每个t=0，T、所以有一个清算策略xtt+1，xtT+1从zt开始-φ*每个ψ的时间t∈ X我们计算uψ：=z，uψt：=ψ*tzt+t-1Xs=0ψ*s+1系统+t-1Xs=0ψsxst对于t=1。

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2022-5-30 22:55:13

，T+1。这定义了u:X→ Φ，满足非预期条件（7）。此外，对于每个ψ∈ X，对于每个t=0，T，uψT- Gφ，ψt- uψt+1=ψ*tzt+t-1Xs=0ψ*s+1系统+t-1Xs=0ψsxst- ψtφ*tYt公司- ψ*t+1φtXt- ψ*t+1zt+1-tXs=0ψ*s+1yst+1-tXs=0ψsxst+1=ψ*t+1zt公司- φtXt- zt+1- 年初至今+1+ ψtzt公司- φ*tYt公司- xtt+1+t型-1Xs=0ψ*s+1yst公司- yst+1+t型-1Xs=0ψsxst公司- xst+1∈ ψ*t+1Kt+ψtKt+t-1Xs=0ψ*s+1Kt+t-1Xs=0ψsKt 千吨级。这意味着（φ，u）∈ Φa（Y，X），z=u。相反，假设（φ，u）∈ Φa（Y，X）。然后我们计算z：=uχT。因此，对于每个T=0，T- 1zt- φtXt- zt+1=uχTt+Gφ，χTt- uχTt+1∈ 千吨级 QtsinceGφ，χTt=χTtφ*tYt+χT*t+1φtXt=φtXt。接下来，取任意t=0，T然后，对于每个s=0，…，χTs=χTs=0，t型- 1，因为u满足非预期条件（7），所以我们有zt=uχTt=uχTt。因为χtt=1，所以χt*t+1=0和gφ，χtt=χttφ*tYt+χt*t+1φtXt=φ*tYt，意思是ZT- φ*tYt公司- uχtt+1=uχtt+Gφ，χtt- uχtt+1∈ 千吨级 Qt。（11）此外，对于每个s=t+1，我们有χts=χT*s+1=0和Gφ，χts=χtsφ*系统+χt*s+1φtXt=0，henceuχts- uχts+1=uχts+Gφ，χts- uχts+1∈ 堪萨斯州 Qs。我们可以通过反向归纳法验证uχts+1∈ qs对于每个s=t，T很明显，uχtT+1=0∈ QT。现在假设uχts+1∈ qs对于某些s=t+1，T因此，uχts=（uχts- uχts+1）+uχts+1∈ Qs+Qs=Qs。根据可预测性，uχts∈ Ls公司-1，所以我们可以得出uχts∈ Qs公司∩ Ls公司-1. Qs公司-1完成了反向归纳论证。特别是，我们已经证明uχtt+1∈ Qt。与（11）一起，这表明ZT- φ*tYt公司∈ QT对于每个t=0，T因此，（φ，z）∈ ∧a（Y，X），z=u，完成证明。引理15的证明。取任意u∈ Φ使得（φ，u）∈ Φa（Y，X）。ObservethatQφ，t=Qφ，χt=TXs=0TXu=0φsχtuQs，u=TXs=0φs{s≥t} Yt+TXs=0φs{s<t}Xs=φ*tYt+t-1Xs=0φsx，定义z:X→ Φ使得zψt：=uψt+ψ*tt-对于任何ψ，1Xs=0φsXs（12）∈ X和任何t=0，T+1。

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2022-5-30 22:55:16

然后，z满足非预期条件（4），z=u，并且它也满足了支付过程为Qφ的美式期权的再平衡条件（3），因为对于任何ψ∈ X和anyt=0，Tzψt- ψtQφ，t- zψt+1=uψt+ψ*tt-1Xs=0φsXs！- ψtφ*tYt+t-1Xs=0φsXs！-uψt+1+ψ*t+1tXs=0φsXs！=uψt- ψtφ*tYt公司- ψ*t+1φtXt- uψt+1=uψt- Gφ，ψt- uψt+1∈ 千吨级。相反，取任意z∈ ψa（Qφ，·）和定义u:X→ Φ使得uψt：=zψt- ψ*tt-对于任何ψ，1Xs=0φsxsf∈ X和任何t=0，T+1。然后u满足非预期条件（7），u=z，uψt- Gφ，ψt- uψt+1=zψt- ψ*tt-1Xs=0φsXs！-ψtφ*tYt+ψ*t+1φtXt-zψt+1- ψ*t+1tXs=0φsXs！=zψt- ψtφ*tYt+t-1Xs=0φsXs！- zψt+1=zψt- ψtQφ，t- zψt+1∈ KT表示任意ψ∈ X和任何t=0，所以再平衡条件（6）成立。引理如下，因为（12）定义了战略之间的一对一映射∈ ψa（Qφ，·）和策略u，使得（φ，u）∈ Φa（Y，X），u=z。定理16的证明。根据定义9，πaj（Y，X）=infx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u. （13）根据定理11，πaj（Y，X）ej∈ Za。因此，根据命题13，存在a（φ，z）∈∧a（Y，X），使得πaj（Y，X）ej=z。根据命题14，有isa（φ，u）∈ Φa（Y，X）使得πaj（Y，X）ej=u，因此（13）中的最大值实际上是最小值，πaj（Y，X）=minx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u.因此，根据引理15和定义3，πaj（Y，X）=minx个∈ R |φ∈ χz∈ ψa（Qφ，·）：xej=z= 最小φ∈χinfx个∈ R|z∈ ψa（Qφ，·）：xej=z= 最小φ∈χpaj（Qφ，·），其中paj（Qφ，·）是美式期权的卖方价格，具有逐步行使和支付过程Qφ，·，可表示为aPaj（Qφ，·）=maxψ∈Xmax（Q，S）∈根据定理4得出的Pdj（ψ）EQ（（Qφ，·S）ψ）。因此πaj（Y，X）=minφ∈Xmaxψ∈Xmax（Q，S）∈(R)Pdj（ψ）EQ（（Qφ，·S）ψ），完成证明。定理20的证明。

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2022-5-30 22:55:20

使用定义18和命题22和23，我们得到πbj（Y，X）=sup-x个∈ R |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）：xej=u= sup公司-x个∈ R |（ψ，u）∈ ∧b（Y，X）：xej=u= sup公司-x个∈ R | xej∈ Zb公司.作为多面体集，Zbis是闭合的，因此-x个∈ R | xej∈ Zb公司已关闭。此外-x个∈ R | xej∈ Zb公司是非空的，并且上面有界，因为xej∈ ZB用于任意x∈ R足够大且xej/∈ ZB用于任意x∈ R足够小，所以supremum实际上是一个最大值。命题22的证明。让a∈ Zb。我们构造了一个混合停止时间ψ∈ X和a策略z∈ Φ通过感应。首先我们把ψ*:= 1和z：=a。显然，z∈ ψ*Zb。接下来，假设zt∈ ψ*tzbt对于某些t=0，T- 1、然后zt∈ ψ*tconv{Vbt∩ Xbt，Ybt}，所以存在λt∈ [0，1]，vt∈ Vbt公司∩ Xbtandyt公司∈ Ybtsuch，zt=ψ*t（（1- λt）vt+λtyt）。我们把ψt：=ψ*tλt，然后ψ*t+1：=ψ*t型- ψt=ψ*t（1- λt），so zt=ψ*t+1vt+ψtyt。因为vt∈ Xbtandyt公司∈ Ybt，我们有vt+Xt∈ QT和yt+yt∈ Qt。因此zt+ψtYt+ψ*t+1Xt=ψ*t+1vt+ψtyt+ψtyt+ψ*t+1Xt=ψ*t+1（vt+Xt）+ψt（yt+yt）∈ ψ*t+1Qt+ψtQt Qt。自vt以来∈ Vbt，有一个zt+1∈ ψ*t+1Wbtsuch thatψ*t+1vt-zt+1∈ Qt。下面是zt+ψtYt- zt+1=ψ*t+1vt+ψtyt+ψtyt- zt+1=（ψ*t+1vt- zt+1）+ψt（yt+yt）∈ Qt。自Wbt以来 zt+1，也就是zt+1∈ ψ*t+1 zbt+1。最后，考虑到ZT∈ ψ*TZbT=ψ*我们得到zT+ψTYT=zT+ψ*TYT公司∈ QT。Puting和ψT：=ψ*T、 ψ*T+1：=0和zT+1：=0，我们得到zT+ψTYT+ψ*T+1XT∈ QT。我们构造了（ψ，z）∈ ∧b（Y，X）使得a=z。相反，我们取任何（ψ，z）∈ ∧b（Y，X），并且要显示z∈ Zb。这是以下事实的结果，这将由后向诱导证明：对于每个t=0，坦桑尼亚先令∈ψ*tZbton{ψ*t> 0}Qton{ψ*t=0}。（14）我们从t=t开始证明。自zT+ψ*TYT=zT+ψTYT+ψ*T+1XT∈ QT，它遵循indeedzT∈ -ψ*TYT+QT=ψ*TYbTon{ψ*T> 0}QTon{ψ*T=0}=ψ*TZbTon{ψ*T> 0}QTon{ψ*T=0}。接下来，假设（14）对于一些t=1，…，成立，T

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大多数88

2022-5-30 22:55:25

由于z是可预测的，因此zt∈ Lt公司-1，sozt∈ψ*t（Zbt∩ Lt公司-1）关于{ψ*t> 0}Qt∩ Lt公司-1on{ψ*t=0}ψ*tWbt公司-1on{ψ*t> 0}Qt-1on{ψ*t=0}。因此，使用ZT-1+ψt-1年期-1.- zt公司∈ Qt-1、我们获得ZT-1+ψt-1年期-1.∈ zt+Qt-1.ψ*tWbt公司-1+夸脱-1on{ψ*t> 0}Qt-1+夸脱-1on{ψ*t=0}=ψ*tVbt-1on{ψ*t> 0}Qt-1on{ψ*t=0}。此外，自-1+ψt-1年期-1+ψ*tXt文件-1.∈ Qt-1、我们获得ZT-1+ψt-1年期-1.∈ Qt-1.- ψ*tXt文件-1个=ψ*tXbt-1on{ψ*t> 0}Qt-1on{ψ*t=0}。接下来是ZT-1+ψt-1年期-1.∈ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1）关于{ψ*t> 0}Qt-1on{ψ*t=0}，和sozt-1.∈ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） +ψt-1年期-1on{ψ*t> 0}Qt-1+ψt-1年期-1on{ψ*t=0}ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） +ψt-1Ybt-1on{ψ*t> 0}Qt-1+ψt-1Ybt-1on{ψ*t=0}=ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） +ψt-1Ybt-1on{ψ*t> 0}ψt-1Ybt-1on{ψ*t=0，ψ*t型-1> 0}Qt-1on{ψ*t型-1=0}=ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） +ψt-1Ybt-1on{ψ*t型-1> 0}Qt-1on{ψ*t型-1=0}ψ*t型-1 CONV公司Vbt公司-1.∩ Xbt公司-1、Ybt-1.关于{ψ*t型-1> 0}Qt-1on{ψ*t型-1=0}=ψ*t型-1Zbt-1on{ψ*t型-1> 0}Qt-1on{ψ*t型-1=0}，这就完成了证明。命题23的证明。假设（ψ，z）∈ ∧b（Y，X）。然后，对于每一个=0，T- 1，zt+ψtYt- zt+1∈ Qt，因此有一个清算策略ytt+1，ytT+1从zt+ψtYt开始- 时间t时zt+1。为了便于记法，我们还将yTT+1：=0。此外，zt+ψtYt+ψ*t+1Xt∈ QT对于每个t=0，T、所以有一个清算策略xtt+1，xtT+1从zt+ψtYt+ψ开始*每个φ的t+1xt时间t∈ X we putuφ：=z，uφt：=φ*tzt+t-1Xs=0φ*s+1系统+t-1Xs=0φsxst，对于t=1，T+1。这定义了u:X→ Φ，满足非预期条件（9）。此外，对于每个ψ∈ X，对于每个t=0。

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能者818

2022-5-30 22:55:29

，Tuφt+Gφ，ψt- uφt+1=φ*tzt+t-1Xs=0φ*s+1系统+t-1Xs=0φsxst+ψtφ*tYt+ψ*t+1φtXt- φ*t+1zt+1-tXs=0φ*s+1yst+1-tXs=0φsxst+1=φ*t+1zt+ψtYt- zt+1- 年初至今+1+ φtzt+ψtYt+ψ*t+1Xt- xtt+1+t型-1Xs=0φ*s+1yst公司- yst+1+t型-1Xs=0φsxst公司- xst+1∈ φ*t+1Kt+φtKt+t-1Xs=0φ*s+1Kt+t-1Xs=0φsKt 千吨级。这意味着（ψ，u）∈ Φb（Y，X），z=u。相反，假设（ψ，u）∈ Φb（Y，X）。然后我们计算z：=uχT。因此，对于每个T=0，T- 1zt+ψtYt- zt+1=uχTt- GχT，ψT- uχTt+1∈ 千吨级 QtsinceGχT，ψT=ψTχT*tYt+ψ*t+1χTtXt=ψtYt。接下来，取任意t=0，T然后，对于每个s=0，…，χTs=χTs=0，t型- 1，因为u满足非预期条件（9），所以我们有zt=uχTt=uχTt。因为χtt=χt*t=1和gχt，ψt=ψtχt*tYt+ψ*t+1χttXt=ψtYt+ψ*t+1Xt，表示zt+ψtYt+ψ*t+1Xt- uχtt+1=uχtt+Gχt，ψt- uχtt+1∈ 千吨级 Qt。（15）此外，对于每个s=t+1，我们有χts=χT*s=0和Gχt，ss=ψsχt*sYs+ψ*s+1χtsXs=0，henceuχts- uχts+1=uχts+Gχt，ψs- uχts+1∈ 堪萨斯州 Qs。我们可以通过反向归纳法验证uχts+1∈ qs对于每个s=t，T很明显，uχtT+1=0∈ QT。现在假设uχts+1∈ qs对于某些s=t+1，T因此，uχts=（uχts- uχts+1）+uχts+1∈ Qs+Qs=Qs。根据可预测性，uχts∈ Ls公司-1，所以我们可以得出uχts∈ Qs公司∩ Ls公司-1. Qs公司-1完成了反向归纳论证。特别是，我们已经证明uχtt+1∈ Qt。与（15）一起，这表明zt+ψtYt+ψ*t+1Xt∈ QT对于每个t=0，T因此，（ψ，z）∈ ∧b（Y，X），z=u，完成证明。引理24的证明。观察任何ψ∈ XQt，ψ=Qχt，ψ=TXu=0TXs=0χtuψsQu，s=TXs=0ψs{t≥s} Ys+1{t<s}Xt=tXs=0ψsYs+ψ*t+1Xt。现在接受任何u∈ Φ使得（ψ，u）∈ Φb（Y，X）和定义z:X→ Φsuchthatzφt：=uφt- φ*tt-对于任何φ，1Xs=0ψsYs（16）∈ X和任何t=0，T+1。

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