具有交易费用模型中Radner均衡的存在性

2022-5-31 03:37:12

具有交易成本的模型中Radner均衡的存在性WestonRutgers大学数学系Spicataway，NJ 08854，US2018年9月18日摘要我们证明了在有限时间范围内具有比例交易成本的模型中Radner均衡的存在性，并分析了交易成本对内生利率的影响。两个代理人接受外生的、未经计划的养老金，并在消费和投资年金之间进行选择。在证明了离散时间平衡点的存在性后，我们证明了离散时间平衡点收敛于连续时间平衡点模型。连续s时间均衡提供了以交易成本p参数表示的均衡利率的明确公式。我们分析了交易成本对均衡利率和福利水平的影响。关键词：交易成本、拉德纳均衡、影子价格、不完全性Jel分类：D52、G12、G11数学学科分类（2010）：91B51、91B251简介我们研究具有比例交易成本的不完全拉德纳均衡。交易成本会影响资产价格，但大多数具有交易成本的资产定价模型会根据给定的部分或全部资产价格进行定价。我们想回答两个问题：（1）是否存在具有交易成本和内生利率确定的有限代理人均衡？（2）如果存在均衡，交易成本对利率和福利水平的影响是什么？我们提出了一个模型来回答这些问题，并揭示了交易成本对内生资产价格的意外影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:15

根据代理人的风险偏好和消费随时间的推移的平滑程度，一定比例的交易成本可能会增加，或者作者要感谢匿名仲裁人和编辑Frank Riedel，以及GordanˇZitkovi\'c、Mihai S^irbu、Kasper Larsen、Johannes Muhle Karbe、Frank Seifried和Matteo Burzoni对这项工作的有益讨论。作者感谢GrantNo领导的国家科学基金会的支持。DMS-1606253。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点，不一定反映国家科学基金会（NSF）的观点。降低均衡利率。根据交易成本和其他输入参数，我们给出了连续时间均衡利率的显式公式。我们发现，福利随着交易成本的增加而减少。证明一般均衡的存在本身就是一个具有挑战性的问题，而摩擦加剧了这种困难。现有的交易成本均衡研究缺乏内生推导资产价格的能力，同时无法在有限代理Radner均衡中提供严格的调整。作品【22】、【18】和【8】依赖于一个外部指定的银行账户，而【18】和【2】提供了数字，但没有存在结果。[23]、[22]和[12]中介绍了具有连续代理的模型。[11]中引入了近似平衡概念。与现有文献不同的是，我们将交易成本引入到有限时间范围内具有未计划收入和消费的有限代理Radner均衡中。这种设置长期有效，没有交易成本；例如，参见[3]和[24]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:18

我们证明了比例交易成本Radner均衡的存在性，并分析了其对内生资产价格的影响。在我们的模型中，两个指数型投资者在年金市场上获得非计划收入、消费和交易。在存在比例交易成本的情况下，个体代理人的最优投资问题得到了很好的研究，可以追溯到[19]和[9]。[23]中的均衡设置与我们的最为相似：在[23]中，代理人在重叠的世代均衡中连续交易两份年金，而在年金的e上，面临着交易产生的实际比例交易成本。然而，[23]假设零交易成本经济支持代理人财富先增加后减少的非均衡。我们没有做出这样的假设，我们的模型也没有表现出这种行为。我们提供了一个具有比例交易成本的均衡的例子，该均衡从内生角度推导出所有交易资产价格，并分析了交易成本对均衡利率的影响。分析性地理解交易成本的影响通常是不可能的。在[13]、[20]和[16]中，作者推导出了单代理价值函数的泰勒展开式，并且小交易成本没有贸易边界。在均衡中，我们试图理解交易成本对代理人行为的影响，并平衡利率。代理人输入参数的接近程度明确地决定了代理人何时有动机进行均衡交易。我们还推导出了连续时间内以交易成本表示的利率的显式公式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:21

对于agentsi=1，2，我们假设αi>0是agenti的风险厌恶，βi>0是消费的时间偏好参数，uibe agenti的收入流漂移，σibe是agenti收入流中（未退火）布朗成分的波动性。我们让λ∈ [0，1）是比例交易成本参数。然后，在代理人1选择购买而代理人2选择出售的均衡中，均衡利率由（λ）=β/α+～β/α（1+λ）+α（1）给出-λ）。当引入交易成本时，代理人风险规避之间的关系决定了均衡利率是增加还是减少。我们的模型表明，通常交易成本的存在会降低均衡利率。然而，当一个代理人试图积极交易以确保其未来的消费，而另一个代理人则胆怯地交易并更容易消费时，小交易成本可能会增加均衡利率。在这种情况下，代理人在消费时间和风险偏好上相互平衡，以便在引入交易成本时，年金的未来消费流上会有溢价。我们的模型被公认为是程式化的，但它捕捉到了在长期的、经典的背景下，具有交易成本的均衡利率和交易行为。我们采用影子价格法建立均衡，以提高单代理问题的可预测性。影子价格代表最不利无摩擦市场完成情况下的交易资产价格，其中最优投资和消费策略在无摩擦影子市场和交易成本市场之间保持一致。比例交易成本的影子价格是由[14]和[6]引入的，并且从那时起，其普遍性越来越强；例如，参见[15]和[7]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:24

因为最不受欢迎是投资者特有的，每个经济主体都会选择自己的无摩擦影子市场来实现效用最大化。我们利用均衡状态下的“封闭”条件将特定投资者的影子市场联系起来。我们证明了只有在交易发生时才保证唯一的均衡资产价格。另一方面，代理商的影子价格允许一系列与均衡一致的价格。这个平衡例子的几个组成部分对于获得我们的结果至关重要。我们依赖于代理人的指数偏好和收益过程，对单代理人问题的可处理性具有独立增量，类似于[24]、[4]和[17]。在利率确定的无摩擦模型中，年金由银行账户支付，反之亦然。有了交易成本，我们无法在anannuity和作为交易证券的银行账户之间自由移动。我们将年金作为一种类似于[12]和[23]的法定证券。这种选择产生了交易策略，在这种策略中，代理在每个时间点都选择做相同的事情：要么买入，要么卖出，要么不交易。定理5.2证明，当银行账户是交易证券时，通过年金交易获得的恒定利率均衡是不可能的。该模型确实是高度程式化的，但它提供了第一个存在的证据，证明了具有比例交易成本的有限拉德纳均衡，其中所有交易资产价格都是自生的。本文的组织结构如下。第2节描述了离散时间平衡，并在定理2.4中证明了其存在性。第3节考虑了连续时间平衡模型。定理3.4证明了平衡点的存在性，它是离散时间平衡点的极限。我们在第4节中分析了交易成本对利率和福利的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

大多数88

2022-5-31 03:37:27

第5节讨论了交易银行账户的交易成本均衡。证明包含在第6.2节离散e-时间平衡中。我们考虑一个不存在风险集的离散时间有限时间范围Radner平衡。有一种消费品，我们将其作为计价单位。Tim eis分为区间【tn，tn+1】，n≥ 0，其中tn：=n 和 > 0、以A表示的年金在一个净供给中，可与外源性特定比例交易成本λ进行交易∈ [0，1）。在未来的所有时间间隔内，以每单位时间一份的比率，在年金交付人消费单位中分配一份。因此，年金中的ashare将交付每个时间间隔内的消费单位【tn，tn+1】。无风险利率r>0将使用均衡年金值在均衡状态下内生性确定。我们将关注恒定、正利率的均衡，即使我们对均衡的定义不排除一般利率。年金动态由ATN+1给出- Atn=（Atnr-（1）, A> 0。在这种情况下，年金价值将是常数，即n=A=1/r。我们选择使用交易年金而不是银行账户来研究模型，因为年金将提供建立交易成本均衡所需的数学结构。我们将在第5节讨论交易银行账户的影响。每个代理人都有外部收入流Yi=（Yitn）n≥0由给出，Yitn+1=Yitn+ui +√σiZitn+1，Yi0∈ R、其中ui∈ R、 σi>0，Zitn+1~ N（0，1）表示i=1，2。随机变量（Zitn）n≥1是独立的，Z1·和Z2·可能是相关的。代理人最终还将获得年金股份θi0的初始分配∈ R使得θ+θ=1。这种经济中的信息流由F=（Ftn）n表示≥0，其中Ftn=σ（Zit，···，Zint：i=1，2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-31 03:37:30

假设所有过程都适用于F，并且所有试剂共享相同的过滤和概率P。假设所有等式几乎都适用于P。2.1个体代理人在有摩擦的市场中直接处理一个优化问题，我们将每个个体投资者的问题转化为其自己的无摩擦影子市场中的问题。在均衡状态下，代理人的影子市场将是相关的，当交易发生时，交易年金将存在唯一（非阴影）均衡价格。是的，个体优化问题被孤立地视为无摩擦的。因此，只有在下一节（第2.2节）中才会出现参数λ。我们首先考虑代理的单代理投资和消费问题∈ {1，2}。时间tn≥ 0时，代理i选择消费消费od的现金，并以θ的初始分配开始在年金中投资θTN股份。我们考虑的平衡是，影子年金和影子利率（将在平衡中内生确定）的值分别为常数Atin=Ai=1/ri和ri>0。对于给定的投资策略θ，代理人i的影子财富由xitn定义：=θtnAitn，具有自我融资条件（θtn+1- θtn）Aitn+1=（Yitn-ctn+θtn）, n≥ 0。（2.1）对于给定的消费和投资策略（c，θ），财富演变为xcitn+1- Xcitn公司=Xcitnri+Yitn- ctn公司, Xi0=θAi0。给定消费策略c和初始sh分配θ，自我融资条件决定投资策略θ。我们考虑的是具有指数偏好的代理，而不是RUNNING消费；也就是说，代理i的效用函数是c7→ -e-αi>0时的αIc。代理人更喜欢现在消费而不是以后消费，这是通过他们的时间偏好参数βi>0来衡量的。对于i=1，2，t≥ 0和c∈ R、我们定义Ui（t，c）：=-e-βit-αic。定义2.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:33

如果c满足横向性要求，则消耗策略c被称为代理i可接受经验值-βitn- αiriXctn- αiYtn-→ 0作为n→ ∞.在这种情况下，我们写c∈ A.i、价值函数由V定义i（x，y）：=supc∈A.我∞Xn=0E[Ui（tn，ctn）]，x，y∈ R、（2.2）可以在个体代理人公式中考虑非恒定影子利率，但其代价是无法明确描述个体代理人的横向性条件。我们请读者参阅【10】第9章第D节了解更多详细信息。我们的恒定影子利率公式允许我们明确描述最优消费和财富过程，定理2.2对此进行了总结。定理2.2。Agent i的最优消费和财富过程i n（2.2）由^citn=ri^Xitn+Yitn+αiri给出βi - 对数（1+ri)（2.3）和^Xitn=θi0ri+tnαiri对数（1+ri) -βi, （2.4）式中βi：=βi+αiui-αiσi.此外，值函数可以用f表示i（x，y）=Ji（x，y）：=-国际扶轮社（1+ri)1+ri经验值-αirix- αiy-~βiri！。2.2均衡均衡的定义必须允许我们将双方代理人的交易意愿联系起来，即使由于价格原因没有发生交易。影子价格为我们提供了这种机制和一种方法来计算符合均衡的年金价值范围。通常，影子价格被用作一种工具，以建立具有摩擦的原始模型的属性；例如，参见[15]和[7]。在这里，我们直接处理影子价格，然后确定与我们代理人的影子市场一致的交易成本模型。定义2.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:36

对于交易成本参数λ∈ [0，1），交易成本的均衡由一组过程（Ai，^ci，^θi）i=1,2给出，其中（i）实际和金融市场对每个n≥ 0：Xi=1^citn = +Xi=1亿 - 2λ^θ1tn+1-^θ1tnAtn+1和^θ1tn+^θ2tn=1，在交易中，我们定义Atn+1：=Aitn+11+λ∈ {1，2}购买正数量的年金股份；即θitn+1- θitn>0。（ii）对于每个代理i=1，2，消费和投资策略，即^ciand^θiw with^θi0=θi0，是最优的，影子年金价格Ai:Vi（θi0Ai0，Yi0）=∞Xn=0E[Ui（tn，^citn）]。（iii）影子市场在以下意义上与更大的交易成本市场保持“足够接近”：对于每一个≥ 0，A1tnA2tn∈1.-λ1+λ，1+λ1-λ.此外，对于n≥ 1，如果^θ1tn-^θ1tn-1> 0然后A1tn=A2tn·1+λ1-λ。If^θ1tn-^θ1tn-当A1tn=A2tn·1时，1<0-λ1+λ。备注2.1（关于定义2.3（iii））。让我们考虑一个具有摩擦S和影子价格S的风险资产的单代理优化问题。影子价格和最优交易策略θ将满足∈ [（1-λ） Stn，（1+λ）Stn]，~Stn=（1-λ） Stnwhen^θtn-^θtn-1<0，且▄Stn=（1+λ）Stnwhen^θtn-^θtn-1> 0。条件（iii）定义2.3规定了代理人影子市场和基础市场之间的这种关系。在没有条件（iii）且交易未发生的情况下，影子年金市场与基础市场之间没有联系。在这种情况下，即使在无摩擦（λ=0）的情况下，也存在许多无贸易平衡。由于每个代理人在自己的影子市场中进行优化，同时保持“接近”条件（iii），因此只有在交易发生时才能保证唯一的市场年金利率。当交易在给定时期内没有发生时，有一系列可能的年金价值（以及相应的利率）与均衡一致。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:39

在[18，11]中，作者有一个单一的均衡价格，而不是两个影子价格，但这些作品需要允许代理人根据总的外部成本支付不同的交易成本。我们能够避免这种内生的成本分割，同时保持可伸缩性，部分原因是我们选择与影子市场合作。以下是本节的主要结果。证据见第6节。定理2.4。设▄βi：=βi+αiui-αiσi，并假设在i=1，2时▄βiis严格正。对于λ∈ [0，1），存在一个严格正的恒定阴影利率r，rand恒定阴影年金值A=1/r，A=1/r的均衡。投资者i=1，2的最优消费和财富过程分别由（2.3）和（2.4）决定。情况1：无交易均衡发生在ifeβ- 1eβ- 1.∈1.-λ1+λ，1+λ1-λ. （2.5）在这种情况下，r=e|β- 1.r=e|β- 1..与该均衡一致的可能恒定非影子利率范围由r=（rtn）n给出≥0带RTN∈1.-λemax（|β，|β）- 1.,1+λemin（▄β，▄β）- 1.6=.案例2：存在一种均衡，在这种均衡中，代理人1将始终在均衡状态下购买该公司的股份≥ 0（代理2出售股票）ifeβ- 1eβ- 1> 1+λ1- λ、（2.6）如果利率r>0由以下公式唯一确定：1+r1.- λα1+r1+λα= e▄βα+▄βα，（2.7），影子利率以r=r（1+λ）=r（1）的形式给出- λ）。参数▄β和▄β代表代理人的时间p参考参数，用于根据风险和收入调整的消费。严格正的▄βi参数对应于允许严格正均衡影子利率的经济。严格正的影子利率反过来确保影子年金价值得到明确定义。即使允许其中一个￠βi参数过零，也会导致相应的影子年金价值不确定。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:43

从财务上讲，这一案例与银行账户无法复制（零交易成本）固定利率影子年金的案例相对应，因为bank账户的价值不断缩水。如（2.5）所示，当代理的参数▄β和▄β非常接近时，代理就没有动机进行交易，因为交易成本相对较高。只有当参数▄β和▄β相距足够远以克服交易成本时，交易才处于均衡状态。在这种情况下，代理的策略非常简单：在任何时间段都可以买入或卖出完全相同的金额。备注2.2。如果不等式（2.6）被忽略，使得Eβ- 1eβ- 1> 1+λ1- λ、然后我们可以得出一个类似的结果，其中代理1和代理2的角色互换。3连续时间均衡在我们的简单设置中，只有一种交易证券具有恒定的分割，这就意味着最优的连续时间交易策略相对于勒贝格测度（dt）是绝对连续的，即使布朗噪声通过收入流进入经济。由于消费发生在dt时间尺度上，因此绝对连续性属性将允许在实际商品市场中以相同的dt时间尺度支付交易成本。在本节中，我们考虑有限时间h orizon-Radner平衡中的连续时间。唯一交易的证券是年金A，它是在一个净供应量中，可以按比例交易成本率λ进行交易∈ [0，1）。无风险利率r>0将使用均衡年金值在均衡中内生确定。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:48

我们再次关注允许恒定正利率的均衡，在这种情况下，年金价值将是常数A=1/r。这两个代理中的每一个都有一个外部收入流，由Yi=（Yit）t，i=1，2给出，d y namicsdYit=uidt+σidBit，Yi0∈ R、其中ui∈ R、 σi＞0，且带隙可能与布朗运动相关。代理人还被赋予在数量θi0中的初始股份分配权∈ R表示θ+θ=1。经济中的信息流由F=（Ft）t表示≥0，其中Ft=σ（B1u，B2u：0≤ u≤ t）。假设所有流程都适用于F，并且所有代理共享相同的过滤。3.1个体代理人问题我们考虑了代理人i的影子市场i的单代理人投资和消费问题∈ {1，2}。我们关注的是影子年金和影子利率（由内生均衡决定）的值分别为常数Sait=Ai=1/ri和ri>0的模型。对于给定的投资策略θ，代理人i的影子财富由Xit定义：=θtAit。对于测量，适用的消耗过程c=（ct）Tf，其中ct | dt<∞ 几乎可以肯定的是，对于所有的T>0，与c相关的影子财富过程的演变就像xcit=（Xcitri-ct+Yit）dt，Xci0=θi0/ri∈ R、与离散时间情形一样，我们考虑了具有指数偏好的代理超越消费，风险规避αi>0，时间偏好参数βi>0。定义3.1。让我∈ {1，2}。如果横截性条件成立，则强制过程c=（ct）称为代理人i的可容许性：limt→∞Ehe公司-βit-αiriXct-αiYiti=0。在这种情况下，我们写c∈ Ai。对于i∈ {1，2}，代理i的值函数由vi（x，y）给出：=supc∈艾兹∞Ui（t，ct）dt，x，y∈ R、我们在定理3.2（如下）中证明了Vi=Ji，其中Ji（x，y）=-riexp-αirix- αiy+1-~βiri！。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:51

（3.1）我们注意到Vi（x，y） -→ Ji（x，y）as → 0，其中Viis（2.2）定义的离散时间值函数。下面的结果建立了个体代理人的最优投资策略。该证明被省略，因为它与离散时间情况没有实质性的变化。定理3.2。对于i=1，2，设▄βi：=βi+αiui-αiσi.代理人i的最优消费政策和财富过程由^cit=ri^Xit+Yit+βiriαi给出-αi，（3.2）^Xit=X^cit=θi0ri+αi1-~βiri！t、（3.3）此外，值函数与（3.1）一致；也就是说，Vi=Ji。3.2连续时间均衡除了确定均衡的存在性外，我们还对均衡利率如何依赖λ感兴趣。定义3.3。对于交易成本参数λ∈ [0，1），交易成本的均衡由一系列过程（Ai，^ci，^θi）i=1,2给出，因此（i）对于i=1,2，最优投资策略^θ可以与衍生品^θ′it在时间上进行区分。（ii）真实金融市场对于所有≥ 0：Xi=1^cit=1+Xi=1 YIT- 2λ^θ′1tAtand^θ1t+^θ2t=1，其中，在交易中，如果代理人i∈ {1，2}购买一定数量的年金股份；i、 e.，^θ′it>0。（iii）对于每个代理i=1，2，消费和投资策略，即^ciand^θiwith^θi0=θi0，是最优的，年金价格Ai:Vi（θi0Ai0，Yi0）=Z∞E[Ui（t，^cit）]dt。（iv）影子市场在以下意义上与基础交易成本市场保持“足够接近”：对于所有≥ 0，A1tA2t∈1.- λ1+λ，1+λ1- λ.此外，如果^θ′1t>0 th en A1t=A2t·1+λ1-λ。如果^θ′1t<0 th en A1t=A2t·1-λ1+λ。备注3.1。当交易发生时，我们能够确定：=Ait1+λ，其中代理i∈ {1，2}购买正数量的股份，^θ′it>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:53

在这种情况下，如果我们考虑恒常利率均衡，那么均衡利率由r=1/A=1/At唯一确定。以下结果为连续时间模型建立了平衡。省略该项，因为它反映了定理2.4的证明。定理3.4。设▄βi：=βi+αiui-αiσi，并假设在i=1，2时▄βiis严格正。对于λ∈ [0，1），存在一个严格正的恒定阴影利率r，rand恒定阴影年金值A=1/r，A=1/r的均衡。最优消费政策和财富过程分别由（3.2）和（3.3）给出。情况1：如果▄β▄β，则不会出现贸易均衡∈1.- λ1+λ，1+λ1-λ. （3.4）在这种情况下，r=￠β和r=￠β。与该均衡一致的可能（非影子）利率范围为r=（rt）t≥0其中rt∈ [（1- λ）最大值（℃，β），（1+λ）最小值（℃，β）]6=.案例2：存在一个均衡，在这个均衡中，代理人1将在任何时候购买均衡中的纽约大学的股票≥ 0（当代理2出售股份时），如果▄β▄β>1+λ1-λ。（3.5）在这种情况下，利率r>0由r=β/α+β/αα（1+λ）+α（1）确定-λ）。（3.6）影子利率为r=（1+λ）r=（1- λ） r.代理在连续时间均衡中的行为与在离散时间中的行为相似。如（3.4）所示，当代理人的收入调整后时间偏好参数▄β和▄β是有效的环时，代理人就没有动机进行交易，因为交易成本相对较高。他们的s hadow利率反映了他们个人对市场的无摩擦看法，其差异不足以鼓励贸易。只有当参数▄β和▄β充分分开以克服交易成本时，交易才会在均衡状态下发生。在（3.5）中，代理人1比代理人2更看重年金（影子利率更低），这鼓励她购买年金股份。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:56

代理商的策略非常简单：要么一直以相同的价格买入，要么一直以相同的价格卖出。定理3.5证明了离散时间利率作为时间步长传递给连续时间均衡利率趋于零。定理3.5。假设▄β▄β>1+λ1-λ。让r() 是（2.7）的解，对应于时间步长 > 0，设r（0）为（3.6）给出的连续时间均衡利率。然后r() > 0是非常小的固定利率中唯一的利率,和r() -→ r（0）as → 0、备注3.2。当▄β▄β>1+λ1时-λ、我们可以得出与定理3.4案例2和定理3.5类似的结果，其中代理1和代理2的角色互换。与推论4.1类似的结果适用于交易成本的▄β>▄β>0.4影响。在本节中，我们分析了交易成本对均衡利率和代理人福利的影响。我们求解均衡的方法与零交易成本和非零交易成本的方法相同，这使得我们可以轻松地比较λ变化时的内生利息率。由于交易成本趋于零，连续时间限制模型的简单性有助于进一步研究。即使在这种程式化的模型中，均衡利率也会以非平凡的方式受到摩擦的影响，而且并非总是单调的。零交易成本和交易随机性从s-tochastic收入流出发，完成了市场和帕累托最优均衡配置。在我们的模型中，与代理人的随机收入流相关的风险没有市场。因此，即使交易成本为零，均衡分配也是非帕累托最优的。在下面的第4.3节中，我们使用确定性等价物来比较由于交易成本和均衡中的未计划收入造成的福利损失，类似于[8]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:37:59

两种类型的不完整性都会导致福利损失。4.1利率影响对于i=1，2，我们回顾，风险和收入调整后的时间偏好参数由￠βi给出：=βi+αiui-αiσi。当▄β和▄β不同且为严格正时，定理3.4建立了一个连续时间均衡，在该均衡中，交易将发生在交易成本非常小的情况下。我们定义了交易成本阈值^λ∈ R乘以λ：=√α-√αα- α。推论4.1描述了交易发生时均衡利率的行为。证据载于第6节。推论4.1（小额交易成本的影响）。假设▄β>▄β>0。对于λ∈ [0，℃β-在恒常利率均衡中，平衡利率是唯一的，并且具有r（λ）=β/α+～β/α（1+λ）+α（1）给出的显式形式-λ）。当α<α时，交易成本阈值^λ严格为正。在这种情况下，r在0，最小值β-β▄β+▄β，^λ并严格减少最小值β-β▄β+▄β，^λ,β-β▄β+▄β.当α≥ α、在这种情况下，^λ≤ 0.交易成本对均衡利率的影响取决于代理风险规避α和风险调整后的时间参考参数βi的配置。具有较大▄β的代理是一个规划师：对于足够小的交易成本，她将选择放弃现在的消费，以投资于年度股票，以确保未来的消费流。有一个小▄β的代理人是消费者：为了让sm有足够的交易成本，她将出售年金股票，以便今天消费，尽管她将错过未来的股息流。除了调整的时间偏好参数外，代理人的风险规避水平还决定了交易成本对均衡利率和利率水平的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:02

下表4.2概述了有助于确定两种平衡状态的四种可能的药剂配置。表4.2：。小风险大风险规避，αi>0规避，αi>0小调整积极性规划师保留规划师时间偏好，投资年金投资年金βi>0偏好未来消费偏好未来消费最寻求风险最大寻求风险最大规避大调整积极性消费者保留消费时间偏好，出售年金出售年金▄βi>0偏好今天的消费偏好今天的消费最追求风险最规避风险在以下分析中，我们考虑了推论4.1中代理参数的配置，其中▄β>▄β>0，以便代理1购买，而代理2出售的交易成本足够小。通过投资年金股份，代理人1计划未来，将其今天的消费品神圣化，以备日后年金的担保分割流。代理2现在寻求消费。他出售年金股份，以从出售中获得即时消费单位，同时放弃年金未来的股息分配。为了确定交易成本对利率和福利的影响，我们考虑了代理人风险规避的两种配置。案例1：α≥ α。配置▄β>▄β>0和α>α>0对应于一个保守的规划师（代理人1）和积极的消费者（代理人2）经济。Agent1在风险规避和时间参考方面更为保守，而Agent2更为傲慢的态度迫使他承担额外的风险，以便消费更多。由于经济中引入了摩擦，代理人的相对风险和时间偏好转化为均衡利率的较低溢价。情况2：α<α。配置▄β>▄β>0和α>α>0对应积极的规划师（代理人1）和保留的消费者（代理人2）经济。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-31 03:38:05

均衡利率反映了市场对未来消费的补偿。小摩擦（高达^λ级）有利于积极的计划者，因为她渴望投资年金以确保未来的消费。她对风险的适度偏好反映在她的风险规避参数α上，该参数以α为主导，但仍然是有效的sm，因此代理人愿意与▄β<▄β进行交易。图1：在案例2交易范围【0，】β中，将均衡利率绘制为λ交易成本的函数-β▄β+▄β）。实线图显示了案例1中的储备计划和积极的消费经济。虚线图表示案例2，具有积极的规划师和保留的消费者经济。当交易成本变得足够大，超过阈值λ时，积极的规划师将不再为其未来规划收取额外的利率溢价。在这种情况下，随着交易成本上升到^λ以上，利率下降，储备消费者开始从低利率环境下出售年金股份中受益。综上所述，对于严格正向但较小的交易成本，如果另一个代理更厌恶风险，更喜欢即时消费，则偏好未来消费和适度的风险可能是有益的。对于λ>^λ，利率溢价下降。图1绘制了均衡利率作为交易成本λ在范围[0，~β]内的函数-三种不同的输入参数化和上述两种情况下的。我们假设图1中的代理具有相同的收入波动率σi=。01和时间首选参数βi=。02，i=1，2；见【5】。他们的风险厌恶程度αi介于2和8之间，而收入漂移uiis介于0.02和0.1之间，i=1，2；参见[1]、[5]和[21]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:08

给定的参数规格允许每个代理具有显性风险规避，同时确保收入调整后的时间偏好参数的顺序为▄β>▄β>0。虽然输入参数在某种意义上是合理的，并且利率的表达式是明确的，但交易成本对均衡利率的影响在参数化之间存在显著差异，如图1.4.2所示，完全市场均衡模型的不完整性源于未规划的流入流和交易成本。当交易成本为零时，可以通过引入额外的财务安全来完成市场。为了衡量由于不完全性造成的福利损失，我们将我们的市场与具有相同总需求和代理人偏好的市场进行比较，其中交易风险通过引入风险金融资产以动态完全的方式跨越。由于交易的金融证券跨越B类，我们将B类与ρ之间的相关性表示为∈ [-所以d hB，Bit=ρdt。对于i=1，2，我们回忆起Ui（t，x）=-e-βit-αix.我们考虑一个重量γ>0的代表性，给定消耗流的间接效用c由sup卷积给出，Uγ（c）：=supc∈A、 c类∈答：t、 c1t+c2t≤ctE公司Z∞（U（t，c1t）+γU（t，c2t））dt.我们定义了代表性风险规避参数αr>0和代表性时间偏好参数βrbyαr：=1/α+1/α和βr：=β/α+β/α1/α+1/α。相应的代表性效用函数由Uγ（t，x）=e给出-βrt-αrx。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:11

对于总需求，c=Y+Y+1，我们有uγ（Y+Y+1）=-EZ∞Uγ（t，Y1t+Y2t+1）dt= -E“Z∞e-βrt-αr（Y1t+Y2t+1）·α+αααγ-αα+αdt#=-α+αααγ-αα+αe-αr（y+y+1）βr+αr（u+u）-αr（σ+σ+2ρσ），以及相应的最优个体消耗量c，cgiven in the sup-convolutionarecγ1t=α+α（Y1t+Y2t+1）-β- βα+αt+α+αlogαγα,cγ2t=αα+α（Y1t+Y2t+1）+β- βα+αt-α+α对数αγα.均衡状态价格密度ξ=（ξt）由总消费的一阶条件ξt=Uγc（t，Y1t+Y2t+1）Uγc（0，y+y+1）描述，其中Uγc表示Uγ的消费变量的导数。给出了s状态价格密度的动力学：ydξt=-ξt（rcomptdt+ν1tdB1t+ν2tdB2t），ξ=1，其中rcomp是均衡利率，ν和ν分别是对应于布朗运动B带的风险市场价格。利用一阶条件和ξ动力学计算完全市场中的均衡利率。由COMP=βr+αr（u+u）给出-αr（σ+σ+2ρσ）。我们注意到ξ、rcomp、ν和ν与加权上标γ无关。由于代理人的偏好是由指数效用函数描述的，因此这些项不依赖于γ的平衡。我们对完全市场经济的福利水平感兴趣，并将使用代理人的确定性等价物之和作为福利的代表。定义4.3。当i=1、2且代表性代理权重γ>0时，一个值CEcompiis称为代理i ifZ的确定性等价物∞Ui（t，CEcompi）dt=-Z∞Ui（t，cγit）dt，其中cγ是代理i的最佳消费流。我们写CEcompi（γ）来强调确定性等价物对γ的依赖性。确定性等价物代表了一个恒定的消费流水平，管理者愿意用它来交换她的最优（随机）消费流。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:16

Fori公司∈ {1，2}和γ>0，确定性等价物由cecompi（γ）=αilog给出rcompβi+ cγi0。确定性等价物之和可以用作经济中的福利衡量指标。在完全市场均衡中，对于初始财富流值y，y∈ R和代表剂重量γ>0，我们有CEcomp（γ）+CEcomp（γ）=1+y+y+αlogrcompβ+α对数rcompβ.我们注意到，确定性等价物的总和并不取决于交易成本的权重γ>0.4.3。在本节中，我们比较了代理人因交易成本造成的福利损失。与[8]中的方法类似，我们使用代理人确定性等价物的SUM作为我们的福利度量。我们发现，转移成本的引入导致了自身的严重损失。我们的结果对比了文献[8]，该文献在一个单期连续代理模型中进行了相关分析，该模型对风险资产、外生无风险资产和无收入具有异质信念。[8] 研究发现，在某些参数规定下，严格的正交易成本可以提供福利收益。我们从第4.1节得出的结果表明，在交易成本严格为正的情况下，利率可能会上升，但福利本身无法补偿。定义4.4。对于i=1，2，λ∈ [0，1）和（x，y）∈ R、在交易成本水平λ、初始财富x和初始收入水平y ifZ下，一个值Cei称为代理人i的确定性等价物∞Ui（t，CEi）dt=Vi（x，y）。我们写CEi（λ）是为了强调确定性等价物对λ的依赖性。确定性等价物代表了一个恒定的消费流水平，管理者愿意用它来交换她的最优（随机）消费流。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:20

对于agiven影子利率ri>0，确定性等价物可以表示为asCEi=αilogriβi+ ^ci0，其中^ci0是时间0的最佳消耗水平，如（3.2）所示。在均衡状态下，我们感兴趣的是作为经济福利代理人的确定性等价物的总和。对于▄β>▄β>0，CE（λ）+CE（λ）=1+y+y+α日志r（λ）β（1+λ）+β（1+λ）r（λ）- 1.+α日志r（λ）β（1-λ）+β（1-λ） r（λ）-1., 如果λ<β-β▄β+▄β，1+y+y+α对数ββ+α对数ββ, 如果λ≥β-β▄β+▄β。以下结果表明，由于交易成本和非计划收入，经济的福利正在不完全下降。第6节给出了命题4.5的证明。提案4.5。假设▄β>▄β>0。CE（λ）+CE（λ）严格递减于[0，~β-β▄β+▄β）和[▄β上的常数-β▄β+▄β，1]。此外，完全市场福利水平决定了所有交易成本λ的不完全市场福利水平∈ 当权重γ>0时，我们得到CE（λ）+CE（λ）<CEcomp（γ）+CEcomp（γ）。图2绘制了由于图1中使用的三个输入参数化的交易成本λ函数的不完全性导致的经济福利变化。我们假设收入流相关性在hB时为零，如[5]中所示，位=0。给定的参数规格允许每个代理具有显性风险规避，同时仍确保收入调整后的时间偏好参数的顺序为▄β>▄β>0。无论输入参数化如何，确定等价物的总和CE+CE在交易成本中都在减少。当没有交易发生时，确定性等值金额在交易成本中保持不变。当从一个完整的市场转向一个不完整的市场时，经济的福利总是会减少。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:25

尽管利息率在交易成本水平上可能是非单调的，如图1所示，但经济中的福利只会下降。5银行账户作为我们模型中的交易证券交易成本，使我们无法在年金账户和银行账户之间自由交易。使用年金作为交易证券，可以实现恒定的影子利率和在每个时间点都相同的交易策略：代理人要么买入，要么卖出，要么不交易。当b an k账户被交易时，交易成本与交易年金的简单结构是不可能的。在本节中，我们考虑当银行账户是交易证券时，交易成本的离散时间均衡。定理5.2证明了交易ban-kaccount模型阻止了恒定利率交易成本均衡。图2：不完全性导致的福利变化被绘制为交易成本的函数。实线图显示了案例1中保留的计划员和积极的消费者经济。虚线图表示积极的规划师和储备消费者经济的情况2。在这两种情况下，经济福利都在下降。与年金不同，银行账户是一种净供给为零的金融资产。对于i=1，2，影子银行帐户BI具有相关的利率过程ri=（ritn）n≥0和由Bi0=1和bitn=（1+ri0）给出) · . . . · （1+ritn-1.), n≥ 我们关注产生恒定影子利率ritn=ri的均衡，如tradedannuity案例。对于给定的投资策略θ，代理人i的影子财富由Xitn给出：=θtnBitn。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-31 03:38:28

由于银行账户的净供给为零，因此（2.1）中的自我融资条件将被（θtn+1）所取代- θtn）Bitn+1=（Yitn- ctn+θtn）, n≥ 0.Thu s，对于给定的消费和投资策略（c，θ），s hadow wealthEvolutions like excitn+1-Xcitn公司=Xcitnri+Yitn- ctn公司, Xi0=θBi0=θ。可采性和价值函数的定义与定义2.1和（2.2）相同。因此，定理2.2适用于具有恒定利率的银行账户的无摩擦影子市场。定义5.1。对于交易成本参数λ∈ [0，1），银行账户的交易成本均衡由一系列过程（ri，^ci，^θi）i=1,2得出，因此（i）每个n≥ 0：Xi=1^citn =Xi=1亿 - 2λ^θ1tn+1-^θ1tnBtn+1和^θ1tn+^θ2tn=0，其中在交易中，我们定义Btn+1：=Bitn+11+λ，如果代理i∈ {1，2}购买正数量的年金股份；即θitn+1- θitn>0。（ii）对于每个代理i=1，2，消费和投资策略，即^ciand^θiw with^θi0=θi0，是最优的，影子银行账户值Bi:Vi（θi0）=-∞Xn=0Ehe-βitne-αi^citni。（iii）影子市场在以下意义上与更大的交易成本市场保持“足够接近”：对于每一个≥ 1，B1tnB2tn∈1.- λ1+λ，1+λ1- λ.此外，如果^θ1tn-^θ1tn-1> 0然后B1tn=B2tn·1+λ1-λ。If^θ1tn-^θ1tn-1<0然后B1tn=B2tn·1-λ1+λ。定理5.2表明，除了一个程式化的特例外，银行账户的任何交易成本均衡都必须具有非恒定利率。证据见第6节。定理5.2。设▄βi：=βi+αiui-αiσi，并假设i=1，2时￠βi和λ严格为正。假设（ri，^ci，^θi）i=1,2是银行账户的交易成本均衡。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:31

如果r是罕见的严格正常数，则必须满足以下条件：（1）代理的参数满足▄β=▄β。（2）在均衡情况下不发生交易：^θitn-^θitn-对于i=1、2和n，1=0≥ 1.（3）影子利率相同且满足r=r=e▄β- 1..虽然可以使用变分不等式系统考虑银行账户交易成本均衡中的随机利率，但不清楚是否存在这种均衡。年金的简单数学结构无法通过研究交易银行账户来获得。该年金在所有可能的消费时间提供恒定的股息流，使代理人能够在不产生交易成本的情况下获得恒定的未来股息。6证明我们从证明离散时间情况下的定理2.2开始。证据我们检查^ci是否可接受，注意ehexp-βitn-αiriX^ciitn- αiYitni=E“exp-αiriXi0- n对数（1+ri) -αiσin -αinXk=1√σiZitk！#=（1+ri)-nexp公司(-αiriXi0）-→ 0作为n→ ∞.我们有c 7→ -e-αic+e-βiEhJ公司x（1+ri）) + y-c、 y+ui + σi√Ziismaximized for^c=^c（x，y）=rix+y+￠βiαiri-αiri对数（1+ri), 其中Z表示标准正态随机变量。因此(-n-1Xk=0e-αictn+e-βitnJ我Xcitn，Yitn)n≥0是所有c∈ A.iand是c=^ci的鞅∈ A.i、因此，对于^ci，J（x，y）=-E“nXk=0e-αi^citk#+e-βitn+1EhJ我X^ciitn+1，Yitn+1i=-E“∞Xk=0e-αi^citk#通过横截性条件，其中imp表示J我≤ 五、i、类似地，对于任何c∈ A.i、 J（x，y）≥ -E“nXk=0e-αictk#+e-βitn+1EhJ我Xcitn+1，Yitn+1i=-E“∞Xk=0e-αictk#由横截性条件决定。周四s，Ji=Vi、和^ci∈ A.是最优的消费策略。对于初始财富X=θi0Ai=θi0/ri，对应于^ciis^Xi=X^cii和^Xitn=θi0ri+tnαiri的最优财富政策对数（1+ri) -βi.我们现在开始证明定理2.4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:34

最优政策（2.2）和（2.3）的自我融资条件（2.1）意味着Yitn公司- ^citn+^θitn =^θitn-^θitn-1.Aitn=αiri对数（1+ri) -βi. （6.1）对于i=1，2，我们定义fifi（r）：=αir日志（1+r) -βi, r>0。（6.2）使用定义2.3第（i）部分，我们寻求解r，r>0，使得F（r）+F（r）=λ|F（r）| 1+λ+| F（r）| 1-λ{F（r）≥0}+λ|F（r）| 1-λ+| F（r）| 1+λ{F（r）<0}。通过重写该方程并包括定义2.3中的条件（iii），我们可以看到kr，r>0，从而得出f（r）=(-1.-λ1+λF（r），如果F（r）≥ 0，-1+λ1-λF（r），如果F（r）≤ 0.（6.3）和RR=1+λ1-λ、如果F（r）>0,1-λ1+λ，如果F（r）<0，∈h1-λ1+λ，1+λ1-λi，如果F（r）=0，（6.4）命题6.1。设▄βi：=βi+αiui-αiσi/2，并假设▄βi在i=1，2时严格正。存在唯一的严格正解对r，rto（6.3）和（6.4）。案例1：Ifeβ-1eβ-1.∈h1-λ1+λ，1+λ1-λi，thenr=eβ- 1.r=e|β- 1.. （6.5）案例2：如果我们有eβ-1eβ-1> 1+λ1-λ、然后唯一正解满足∈e▄β- 1.,1.-λ1+λeβ- 1.!!r=1+λ1- λr.证明。通过检验这两种情况，我们证明了唯一解对的存在性。假设E▄β- 1eβ- 1.∈1.-λ1+λ，1+λ1-λ.（6.5）中的rand-ras是（6.3）和（6.4）的唯一解，因此F（r）=F（r）=0。为了表现独特性，我们从矛盾出发。为了矛盾起见，假设存在严格正解r，rsuch，F（r）>0。只有当F（r）<0，r > e▄β- 1和r < e▄β- 1、Th enby（6.4），eβ- 1eβ- 1<rr=1- λ1+λ≤e▄β- 1eβ- 1，这是一个矛盾。在这里，我们使用了▄β，▄β是严格正的，以确保e▄βi- 1>0。同样的论点也适用于排除F（r）<0和F（r）>0的情况。因此，我们必须使F（r）=F（r）=0，在which ich caser=e▄β中-1.r=e|β-1..我们现在考虑情况2中解的存在性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:37

对于F（r）>0，（6.3）和（6.4），减少到求解r>0，从而1+r ·1+λ1-λ1/α（1+r）)1/α=exp▄βα+▄βα！!, （6.6）当r=1+λ1时-λ·r。假设|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||¤|||||||||||||¤¤|||||||||。我们注意到x 7→1+x·1+λ1-λ1/α（1+x）1/α严格地将fr om 1增加到∞ 对于x∈ [0，∞). 因此，存在唯一的解决方案r>0到（6.6）。此外，eβ-1eβ-1> 1+λ1-λ表示R∈e▄β- 1.,1.- λ1+λeβ- 1.!!.我们通过反正证明了情况2的唯一性，这将排除找到F（r）的解的可能性≤ 假设存在严格正解r，r，如F（r）≤ 0、自F（r）起≤ 仅当F（r）时，如果为d，则为0≥ 0，r ≤ e▄β- 1和r ≥ e▄β- 1，我们有1+λ1- λ≥rr（右后）≥e▄β- 1eβ- 1，根据需要。定理2.4的证明。根据定理2.2和定义2.3，我们必须求解均衡影子利率的（6.3）和（6.4）。第6.1条根据需要为我们提供了正影子利率的存在性和唯一性。在案例1中，代理人选择不进行交易，市场利率不能唯一确定。年金价值与此平衡值一致，必须满足A∈A1+λ，A1- λ∩A1+λ，A1- λ=最大（A，A）1+λ，最小（A，A）1- λ.自Ai以来=eβi-1对于i=1，2，我们可以将上述间隔改写为∈（1+λ）emin（▄β，▄β）- 1.,（1）- λ）emax（|β，|β）- 1..此间隔由（2.5）表示为非空。如果A=1/r，我们有∈1.- λemax（|β，|β）- 1.,1+λemin（▄β，▄β）- 1.6=.交易发生在案例2中，在这种情况下，我们可以确定唯一的市场利率。当▄β- 1eβ- 1> 1+λ1- λ、我们有r=1+λ1-λ·r当r>0时求解（6.6）。在这种情况下，1/r=A=A（1+λ）=（1+λ）/r，这意味着r=（1+λ）r。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 03:38:40

类似地，r=（1- λ） r.因此，市场利率r>0由1+r1.-λα1+r1+λα= eβα+▄βα,影子利率以r=r（1+λ）=r（1）的形式给出- λ）。在连续时间中，定理3.2和3.4的证明反映了其离散时间对应项。对于i=1，2 byFi（r）：=αi1，给出了（6.2）中定义的连续时间模拟-βir！，r>0。现在我们证明定理3.5。定理3.5的证明。因为▄β/▄β>1+λ1-λ、定理3.4表明交易发生在 = 0和r（0）由（3.6）唯一给出。此外，eβ- 1eβ- 1.-→βИβas → 0，根据定理2.4，这意味着交易发生的时间非常小 > 0。在这种情况下，r() > 0由（2.7）的解唯一给出。用于(, r）∈ [0，∞) ×（0，∞), 我们定义(, r） :=1+r1+λα1+r1.-λα, 对于 > 0exprα（1+λ）+α（1-λ）, 对于 = 0、对于足够小的 > 0和 = 0，r() 选择G(, r()) =经验值βα+▄βα. 因为G在[0]上是光滑的，∞) ×（0，∞) 和Gr（0，r（0））6=0（单边竞争），隐函数定理暗示r() -→ r（0）as → 我们现在证明推论4.1。证据根据定理3.4，λ将达到与trad e的平衡∈h0，￠β-β▄β+▄β, 其中，代理人1购买年金股份，代理人2出售年金股份，均衡利率由（λ）=β/α+～β/α（1+λ）+α（1）给出-λ）。在λ中微分，我们看到r在λ处有局部极值-=√α-√αα- α和λ+=√α+√αα- α。当α>α时，λ和-, λ+<0。在这种情况下，r在h0上严格递减，|β-β▄β+▄β. 当α<α时，我们有λ-∈ （0，1），λ+>1，r严格递增于0，minλ-,β-β▄β+▄β, r在上严格递减最小值λ-,β-β▄β+▄β,β-β▄β+▄β.认识到^λ=λ-产生所需的结果。我们接下来证明命题4.5。证据不完全市场确定性等价物的总和在[0，~β]上是不同的-β▄β+▄β）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝