我们关联一个函数，例如supp^F Dc，写入函数π（F）=F-^F。因此，通过将定理2.4应用于π（F），我们得到：E[1{τ≤T}E[π（F）（XT））| Fτ]| Ft]=中兴通讯[1{τ]≤s} ZRdhpπ（F）（T- s、 Xs，y）π（F）（y）dy | Fτ∧t] ds，其中hpπ（F）定义在方程式（6）ashpπ（F）（s，x，y）：=（Lx- s） pπ（F）（s，x，y）。因为我们有E[F（XT）1{τ≥T}| Ft]=E[π（F）（XT）1{τ≥通过观察^F=0 onD，我们得到了方程式（11）和（12）中报告的结果。A、 4定理2.9的证明通过归纳法完成。N=1的情况遵循定理2.6。假设方程式（15）中报告的结果对N有效≥ 通过将（12）应用于{τ≤s} （（Spπ）NT-s（F））（Xs）π（F）代替1{τ≤s} F，我们有：中兴通讯[1{τ≤s} （（Spπ）NT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds=中兴通讯[π⊥（（Spπ）NT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds+ZTZsE[1{τ]≤u} （Spπ）s-u（（Spπ）NT-s（F））（Xu）| Fτ∧t] 哑弹。在假设2.7下，我们可以改变后一个积分的阶数，从而得到：ZTZsE[1{τ≤u} （Spπ）s-u（（Spπ）NT-s（F））（Xu）| Fτ∧t] duds=中兴通讯[1{τ]≤u} ZTu（Spπ）s-u（（Spπ）NT-s（F））（Xu）ds | Fτ∧t] du=中兴通讯[1{τ]≤u} ZT公司-u（Spπ）s（（Spπ）NT-u-s（F））（Xu）ds | Fτ∧t] du=中兴通讯[1{τ]≤u} （（Spπ）N+1T-u（F））（Xu）ds | Fτ∧t] 杜。这证明了等式（15）中所述的结果。在假设2.8下，同一论点允许我们通过归纳法证明等式（16）中所述的结果。A、 5命题3.3的证明在假设3.1下，可以充分证明以下观点：ZDq（t，Xτ，y）F（y）dy=ZDcq（t，Xτ，y）F（θ（y））dy。（35）具有对称系数的扩散过程定律的等价性在[2]中更一般的假设下陈述（参考引理3.3），包括方程（35）。让我们回忆一下θ是一个反射，然后，通过变量θ（y）=z的变化，我们得到了方程（20）中所述的结果。此外，通过利用等式（18），我们可以写出eHq（t，x，y）=（Lx- t） q（t，x，y）=0，因此满足假设2.8。A.6定理3.5的证明让我们注意第1点所述的要求。

和3。满足假设2.7的要求，因为我们处理的是带sm-ooth漂移的布朗运动；第2点所述要求。是经典的反射原理。这也是第4点。令人满意，我们估计：| hpπ（t，x，y）|≤ Cb | x-y | t√2πte-（十）-y） 2t=Cbt-(（十）- y） 4吨e-（十）-y） 4吨）√4πte-（十）-y） 4吨≤ CbKt公司-pπ（2t，x，y），（36），其中Cb：=| |u/σ||∞+||σ′型||∞, 和K：=| | xe-x个||∞.由于Y的drif t是有界的，因此其跃迁密度q满足（参见例[13]）：q（t，x，Y）≤ Cqt公司-e-（十）-y） 4t=Cq2πpπ（2t，x，y）。（37）因此，通过（36）和（37），我们得到了∞-∞Z∞-∞|q（T- s、 x，y）hpπ（s，y，z）π（FY）（z）| dydzds≤ 2πCqCbK | | F||∞ZTZ公司∞-∞Z∞-∞s-pπ（2（T- s） ，x，y）pπ（2s，y，z）dydzds=2πCqCbK | | F||∞T、 即q（T-s、 x，y）hpπ（s，y，z）π（FY）（z）在[0，T]×R×R中可积。利用方程（36）和（37），我们得到：ztzsnzn-1···ZsZRNq（T- sN，x，yN）|π（FY）（z）| NYj=1 | hpπ（sj- sj公司-1、yj、yj-1） dydsds···dsN≤ZTZsNZsN-1···ZsZRN3N+1πCqCNbKN | | F||∞×pπ（2（T- sN），x，y）NYj=1（sj- sj公司-1)-pπ（2）（sj- sj公司-1） ，yj，yj-1） dydsds···dsN=23N+1πCqCNbKN | | F||∞ZTZsNZsN-1···ZsNYj=1（sj- sj公司-1)-DSD···dsN=23N+1πCqCNbKN | | F||∞B（，）B（1，）B（，）ZTZsNZsN-1···ZssNYj=5（sj- sj公司-1)-DSD···dsN=···=23N+1πCqCNbKN | | F||∞N-1Yk=1B（k，）ZTsN-3NdsN=23N+2πCqCNbKN | | F||∞N-1Yk=1B（k，）（N- 1)-1吨-1、最后的估计还表明，通过证明预期结果，假设2.8得到满足。A、 7命题4.2的证明。证明：通过回顾方程式（27），时间τ的一阶套期保值误差He（1）τ可以写为：He（1）τ：=E[（eXT-τ- K′）+| X=对数K]- E[（e2对数K-XT公司-τ- K′）+| X=对数K]=I- 集{τ<T}上的II（38）。

对于（38）的第一项，我们有i=E[（eXT-τ- K′）+| X=对数K]=Z∞对数K′（ey- K′）+（p2πσ（T- τ） e类-（y）-（对数K+u（T-τ）））2σ（T-τ） ）dy=Ke（σ+u）（T-τ）NlogKK′+（u+σ）（T- τ） pσ（T- τ） 哦！- K′NlogKK′＋u（T- τ） pσ（T- τ)!（39）以类似的方式，（38）的第二项可以写成：II=E[（e2 log K-Xt公司- K′）+| X=对数K]=Z2对数K-对数K′-∞（e2日志K-y- K′）+（p2πσ（T- τ） e类-（y）-（对数K+u（T-τ）））2σ（T-τ） ）dy=Ke（σ）-u）（T-τ）NlogKK′-（u-σ） （T- τ） pσ（T- τ)!- K′NlogKK′-u（T- τ） pσ（T- τ） ！。（40）将等式（39）和（40）代入等式（27）得到期望的结果。A、 8命题4.3的证明。证明：二阶套期保值是通过将w.r.t.变量s期权与Payoff函数Zrπ积分得到的⊥hpπ（T- s、 Xs，y）π（F）（y）dy，对冲误差（见（9））由zrπhpπ（T）给出- s、 Xs，y）π（F）（y）dy，可以等效地写成以下形式：ZRπhpπ（T- s、 Xs，y）π（F）（y）dy=ZRhpπ（T- s、 Xs，y）（ey- K′）+{Xs≥ 日志K}dy-ZRhpπ（T- s、 Xs，y）（e2日志K-y- K′）+{Xs≥ 日志K}dy-ZRhpπ（T- s、 2对数K- Xs，y）（ey- K′）+{Xs≤ 对数K}dy+ZRhpπ（T- s、 2对数K- Xs，y）（e2日志K-y-K′）+{Xs≤ log K}dy，（41），方程（23）中定义了hpπ，ashpπ（t，x，y）=ux个√2πσte-（十）-y） 2σt=-uy√2πσte-（十）-y） 2σt。从方程（41）开始，通过在积分中引入期望算子，可以获得τ处的二阶套期保值误差，即He（2）τ，如：He（2）τ：=ZTτE[ZRhpπ（t- s、 Xs，y）（ey- K′）+{Xs≥ 对数K}dy | Fτ]ds-ZTτE[ZRhpπ（T- s、 Xs，y）（e2日志K-y- K′）+{Xs≥ 对数K}dy | Fτ]ds-ZTτE[ZRhpπ（T- s、 2对数K-Xs，y）（ey- K′）+{Xs≤ log K}dy | Fτ]ds+ZTτE[ZRhpπ（T- s、 2对数K-Xs，y）（e2日志K-y-K′）+{Xs≤ 对数K}dy | Fτ]ds。（42）方程（42）的r.h.s.中出现的表征二阶套期保值误差的四项中的每一项都可以通过如下代数计算进行模拟。让我们考虑方程（42）r.h.s.中的第一项。

该项可以等效形式写成：ZTτE[ZRhpπ（T- s、 Xs，y）（ey- K′）+{Xs≥ log K}dy | Fτ]ds=ZTτE[ZR-uyp2πσ（T- s） e类-（Xs-y） 2σ（T-s） 哦！（安永-K′）+{Xs≥ log K}dy | Fτ]ds=ZTτE[ZRup2πσ（T- s） e类-（y）-Xs型-σ（T-s） ）2σ（T-s） eσ（T-s） +Xs{y>log K′}{Xs≥ 对数K}dy | Fτ]ds=uZTτelog K+u（s-τ） +σ（T-τ） Z∞NlogKK′+u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-（u+σ）（s）-τ））2σ（s-τ）duds，=uKZTτeu（s-τ） +σ（T-τ） Z∞NlogKK′+u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-（u+σ）（s-τ））2σ（s-τ）duds，（43）让我们考虑方程（42）的r.h.s.中的第二项。该项可用等效形式表示为：ZTτE[ZRhpπ（T- s、 Xs，y）（e2日志K-y- K′）+{Xs≥ 对数K}dyds | Fτ]ds=-ZTτE[ZRup2πσ（T- s） e类-（Xs-y） 2σ（T-s） e2日志K-y{y<2 l og K-日志K′}{Xs≥ log K}dy | Fτ]ds=-uKZTτe-u（s-τ） +σ（T-τ） Z∞NlogKK′型- u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-(u-σ） （s）-τ））2σ（s-τ )-udu ds。让我们考虑一下r.h中的第三项。s、 式（42）的。该项可用等效形式表示为：ZTτE[ZRhpπ（T- s、 2对数K- Xs，y）（ey- K′）+{Xs≤ log K}dy | Fτ]ds=ZTτE[ZRup2πσ（T- s） e类-（2对数K-Xs型-y） 2σ（T-s） ey{y>log K′}{Xs≤ log K}dy | Fτ]ds=uZTτE[E-Xs+2对数K+σ（T-s） ZRp2πσ（T- s） e类-（y）-2日志K+Xs-σ（T-s） ）2σ（T-s） {y>对数K′}{Xs≤ log K}dy | Fτ]ds=uKZTτZ-∞e-u（s-τ） +σ（T-τ） NlogKK′型-u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-（u-σ） （s）-τ））2σ（s-τ）du ds。（44）让我们考虑方程（42）r.h.s.中的第四项。该项可用等效形式表示为：ZTτE[ZRhpπ（T- s、 2对数K- Xs，y）（e2日志K-y- K′）+{Xs≤ log K}dy | Fτ]ds=-uZTτE[eXs+σ（T-s） ZRp2πσ（T- s） e类-（y）-2对数K+Xs+σ（T-s） ）2σ（T-s） {y<2 l og K-日志K′}{Xs≤ log K}dy | Fτ]ds=-uKZTτZ-∞eu（s-τ） +σ（T-τ） NlogKK′+u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-（u+σ）（s-τ））2σ（s-τ）du ds。（45）最后，将方程式（43）-（45）代入r.h.s。

在方程（42）中，我们可以在τasHe（2）τ==uKZTτZ处写出二阶h边误差∞eu（s-τ） +σ（T-τ） NlogKK′+u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-（u+σ）（s-τ））2σ（s-τ）du ds+uKZTτZ∞e-u（s-τ） +σ（T-τ） NlogKK′型- u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-（u-σ） （s）-τ））2σ（s-τ）du ds- uKZTτZ-∞e-u（s-τ） +σ（T-τ） NlogKK′型-u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-（u-σ） （s）-τ））2σ（s-τ）du ds- uKZTτZ-∞eu（s-τ） +σ（T-τ） NlogKK′+u+σ（T- s） pσ（T- s） 哦！p2πσ（s-τ）e-（u）-（u+σ）（s-τ））2σ（s-τ）du ds，=uKeσ（T-τ） p2πσ（s-τ）ZTτds×（ZRsgn（u）eu（s-τ） NlogKK′+σ（T- s） +上σ（T- s） ！+e-u（s-τ） NlogKK′+σ（T- s）-上σ（T- s） ！！du）（46）并获得所需结果。