时间风险的价值 - 外文文献专区

2022-5-31 18:26:57

计时风险的价值Jir^o Akahori*Flavia Barsotti+Yuri Imamura数学科学系集团金融风险方法学系商业经济系立命馆大学、日本联合信贷银行、意大利东京理工大学、，Japanakahori@se.ritsumei.ac.jp弗拉维亚。Barsotti@unicredit.eu imamuray@rs.tus.ac.jpAbstractThe本文的目的是在多维市场模型下，为美式期权头寸相关的时间风险的半静态套期保值提供数学贡献。本文考虑了障碍期权，研究并讨论了一类相当大的基础价格动态的半静态套期保值。时间风险是指与障碍期权支付到期时间相关的不确定性。从[9]的工作开始，当作者证明时间风险可以通过普通期权中的静态头寸来规避时，本文通过给出将广义时间风险分解为多维市场模型中敲入期权积分的充分条件，扩展了[9]中提出的静态对冲公式。然后，通过基于障碍期权头寸确定相应策略，对半静态对冲进行专门研究。所提出的方法不仅可以构建初始对冲，还可以构建高阶半静态对冲，这可以解释为hedg误差的渐近扩展。显示了这些高阶半静态套期保值与精确套期保值的收敛性。对于i）对称情况，ii）一维情况，提供了主要理论结果的插图，其中一阶和二阶对冲误差以解析闭合形式导出。

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2022-5-31 18:27:01

通过数字证据讨论了通过重新迭代时间风险对冲策略从一阶到二阶的对冲收益的重要性，表明二阶可以使一阶的对冲“成本”减少90%以上（取决于特定的障碍期权特征）。1简介金融市场的不确定性和高波动性使得定价和对冲活动在风险管理中发挥着关键作用。处理定价和套期保值问题的金融文献非常庞大：这里我们集中讨论一种特定类型的套期保值策略，该策略与OTC市场上交易的某类奇异衍生品相关。本文在一个以多维扩散过程为特征的数学框架下，研究了场外交易市场上Am er ican型合约的静态套期保值和s emi静态套期保值。屏障选项代表了一些最流行的路径相关控件*作者得到了JSPS KAKENHI资助号23330109、24340022、23654056、25285102和稀有项目318984（FP7 Marie Curie IRSES）的支持。+本文所表达的观点是作者的观点，不应归于UniCredit或UniCredit代表的作者作者得到了JSPS KAKENHI授权号24840042的支持。在金融市场交易。让我们考虑一个写在下方X上的欧洲向上和向内障碍期权，如果在T到期时达到障碍B，该期权在T到期时支付F（XT）。在这种情况下，触发付款的事件只能在到期时发生，因此合同开始时的唯一不确定性是到期时的基础价值T。现在让我们考虑相应的美式障碍选项，以了解时间风险部分是如何产生的。

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2022-5-31 18:27:04

美式障碍期权实际上是一种路径依赖型合同，在这种合同中，持仓人不知道何时会越过障碍，从而支付报酬。如果是k不确认期权，只有在合同有效期内跨越障碍B的情况下，才会向其持有人支付报酬，但发生这种情况的时间τ未知。而且，由于支付时间未知，持有此类衍生品的头寸就嵌入了必须回避的时间风险成分。在数字美式期权的情况下，也存在这种时间风险成分：即使已知支付（例如，可以在开始时确定回扣），时间风险成分仍然存在。本文旨在说明如何在多维市场模型下对冲与美国式障碍期权头寸相关的时间风险：研究和讨论了半静态hedgestrategies，并推导了相应的对冲误差。让我们考虑一个在场外交易市场上持有衍生品合约头寸的代理人。这种情况意味着暴露于某些市场风险因素，在美式障碍期权的情况下，可能涉及最佳的行使规则。为了对冲与该头寸相关的风险，代理人可以通过选择适当的衍生工具来采取静态h边策略，以捕获并反映与其投资组合相关的风险。对冲将是使头寸成为无风险头寸所需的完美对冲的近似值。从[9]的工作开始，作者指出，在Black-Scholes假设下，欧式障碍期权可以通过两个普通期权的静态头寸进行对冲：一个是多头看涨期权，另一个是短期看跌期权，当要对冲的欧式障碍期权是淘汰看涨期权时。

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2022-5-31 18:27:07

如果达到边界，投资组合将以零成本清算。否则，其薪酬与对冲投资组合相同。这种头寸最多改变一次的策略称为半静态对冲。然而，市场中的摩擦可能会使套期保值在实践中发挥作用：如果市场不相信Black-Scholes设置，则策略性期权失败，并且在命中时间的两个头寸（淘汰障碍期权的套期保值头寸/普通期权的套期保值头寸）可能有不同的价格。与此事件相关的成本称为对冲误差。在金融文献中关于静态套期保值的众多贡献中，[4]的工作是研究的第一个例子，表明在Black-Scholes背景下，可以定义单障碍期权和回望期权的静态套期保值。主要结果的一些扩展已提供给i）股息支付标的资产的情况（如[5]），ii）标的资产价格动态的更奇特的分布（如[6]），iii）多重障碍期权（如[5]，[17]）。在他们的研究中，反射原理及其变体起着核心作用，套期保值由普通期权构成，其到期日与待套期的障碍期权相同。在这个方向上，工作【8】为一维扩散情况下的问题提供了一个完整而优雅的数学解决方案。与这种履约价差（c.f.[21]）方法相比，工作[11]提出了日历价差方法，即具有不同到期日的普通期权的静态hed ge。尽管它赞同在壁垒（thebarrier）进行零成本清算的观点，但它坚持期权“跨越”了随机变量的空间。为了确定套期保值期权的静态位置，需要在障碍处提供明确形式的期权价格。

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2022-5-31 18:27:10

在这方面，论文[12]对其进行了修改，以便在Heston随机波动率设置中工作，[21]讨论了对冲工具的最佳选择，[22]应用了[24]中提出的期权价格的渐近展开。[9]中取得的主要结果可以是“中间”的：它们总结如下：i）简单的时间风险可以分解为敲打操作的积分（相对于成熟度），ii）在Black-Scholes环境下，通过应用Bowie-Carr的敲打利差法半静态对冲公式（见[4]），对每个敲打操作进行对冲，积分表示法意味着这些半静态对冲投资组合由（最小数量的）具有（连续）不同到期日的期权组成，在实践中应该像日历利差法一样进行离散化。本文扩展了上述结果，给出了充分条件，通过考虑相当大的一类马尔可夫基础动力学（定理2.4），将广义时间风险分解为多维市场模型中敲入期权的积分。然后，本文的数学贡献嵌入了高阶半静态套期保值构造的方法建议（定理2.6），解释为一阶套期保值误差的渐近展开。这是通过基于广义时间风险识别、半静态对冲策略、误差计算和程序重新迭代的迭代程序完成的。显示了高阶半静态对冲收敛到精确对冲的情况（定理2.9）。在数学上，我们的结果在很大程度上依赖于parametrix，这是一种构建偏微分方程基本解的经典方法（参见例[13]）。

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2022-5-31 18:27:13

它可以追溯到[20]，但最近报告了一些引人注目的融资应用（参见[3]、[10]等）。[19]和[23]讨论了障碍期权价格的渐近展开，但据我们所知，静态套期保值的展开尚未深入研究，也没有在一般框架下推导出精确的套期保值（在涉及阿卡伦达价差法的论文中）。对于i）对称性，ii）一维情况，提供并讨论了主要理论结果的说明，其中一阶和二阶套期保值误差以解析闭合形式导出。通过数字征税讨论了通过重新迭代时间风险对冲策略从一阶到二阶的对冲收益的重要性，说明二阶可以将对冲“成本”w.r.t.一阶降低90%。本文的组织结构如下。第2节回顾了半静态套期保值的主要方面，并提供了论文中针对多维情况提出的主要理论结果（定理2.4、定理2.6和定理2.9）。第3节收集了定理2.9中所述的半静态对冲扩张的收敛结果的两个应用，即i）对称多维情况；ii）一维情况。第4节通过讨论数字证据支持的从一阶到二阶套期保值收益的实质性，推导出一维情况下一阶和二阶套期保值误差的解析表达式。

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2022-5-31 18:27:16

第5节为未来的研究提供了一些结论性的标记和想法。本文主要理论结果的证明收集在技术附录（附录a）中。文献[1]研究了更一般的多维情况。2套期保值时机风险本节讨论了障碍期权半静态套期保值的主要方面，并陈述了本文针对多维情况提出的主要理论结果。让我们考虑一位持有路径依赖型美式阿里尔期权投资组合的代理人：这种头寸意味着投资者必须对冲的时间风险。该时间风险成分与时间τ相关，即通过触发支付事件，标的资产可以跨越障碍的停止时间。与支付时间相关的不确定性必须由代理人监控，头寸风险可以通过s emi静态对冲策略控制和降低。在本论文中，我们将Carr-Picron方法[9]推广到多维情况：所提出的方法提供了一个充分的条件，在此条件下，广义定时风险可以在多维差异市场模型中分解为敲入期权的积分（定理2.4）。然后，对套期保值误差进行了研究，并提出了一种迭代半静态h边（定理2.6）策略\'a la Carr Picron[9]的构造方法。我们展示了如何消除一阶套期保值误差；此外，所提出的方法允许推导高阶套期保值误差：高阶项可以看作是套期保值误差的渐近展开。

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2022-5-31 18:27:19

讨论了这些高阶半静态对冲到精确对冲的收敛性（定理2.9）。2.1时间风险的广义Carr-Picron公式让我们假设一个多维数学设置，并考虑一个金融市场，其中风险资产和一个非风险资产以恒定回报率r进行交易。therisky资产的价格由一般的强马尔可夫过程X驱动。设τ为与问题中涉及的美式障碍期权的触发事件相关的X的自然过滤的停止时间。为了对冲与风险障碍期权头寸相关的时间风险成分，我们有兴趣在停止时间τ监控并覆盖障碍期权价格的部分ψ。让F∈ Cb（Rd）是期权的报酬，而不是合同到期日。在时间τ<T时，期权isp的价格p（τ）：=e-r（T-τ）E[F（XT）| Fτ]，（1）如果期望值E是在风险中性度量下得出的，则F是支付函数，t期权成熟度，x到期时的基础价格，r经济中的无风险回报率。然后，可以在如下所示的每个一般时间t确定和评估与该头寸相关的时间风险。定义2.1与障碍期权头寸相关的时间t的时间风险取决于停止时间τ<t，定义为：Trt（F，t，τ，ψ）：=e-r（T-t） E[1{τ<t}ψ（t- τ） E[F（XT）| Fτ]| Ft]，（2）其中T是期权到期日，xts捕捉基础价格动态，F（·）是期权支付函数。

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2022-5-31 18:27:22

这里我们假设应用程序τ→ ψ(τ) ∈ C、 ψ代表期权价格的一部分。注意，通过重写方程式2和以下等效公式ontrt（F，T，τ，ψ）=E[E-r（τ-t） e类-r（T-τ）{τ<T}ψ（T- τ） E[F（XT）| Fτ]| Ft]，（3）很明显，付款在时间τ到期，Trtis是付款在时间t的值，即该数量是与时间t评估的停止时间τ相关的时间风险。本文展示了如何建立与停止时间相关的广义时间风险的半静态对冲策略，因此，强调了如何将时间风险分解为最小数量的敲入期权连续体。这可以直观地解释如下。让0≤ s<s<s<···<sn≤ T和∏表示相关分区。假设对于每个si，i=1，····，n，我们有一个带payoff G（si，Xsi）和amount si的敲入选项-si公司-1、然后，假设对于每个到期日si，障碍期权的收益再投资于市场上可用的非风险资产，期权的敲入时间为τ。因此，时间t的投资组合价值为P V∏t定义的asP V∏t：=nXi=1e-r（si-t） e类-r（T-si）E[1{τ<si}G（si，Xsi）| Ft∧τ] （si）- si公司-1） =e-r（T-t） nXi=1E[1{τ<si}G（si，Xsi）| Ft∧τ] （si）- si公司-1）。我们都考虑P V∏：P Vt：=lim∏的极限对象|→0P V∏t=e-r（T-t）中兴通讯[1{τ<s}G（s，Xs）| Ft∧τ] Ds表示时间t内连续敲打操作的最小数量的投资组合价值。这一思想被用来表示定时风险的对冲组合。在陈述第一个主要结果（定理2.4）之前，下面报告的假设2.2和引理2.3是有用的。假设2.2让我们考虑以下一组假设。1.

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2022-5-31 18:27:25

强马尔可夫过程X具有光滑密度；存在一个函数q∈ C1,2,2（（0，∞)×Rd×Rd），使得E[f（Xt）| Xs]=RRdq（t- s、 Rd.2上任何有界可测函数f的Xs，y）f（y）dy。存在函数pF：[0，∞) ×Rd×Rd，使pF（·，·，y）在C×C中，用于所有y∈ Rdsatisfyinglims↑tZRdq（s，x，z）pF（t-s、 z，y）dz=q（t，x，y）；（4）此外，数量cf：=ψ（0）ZRdpF（t，Xτ，y）F（y）dy，（5）几乎肯定是一个与t>0无关的常数。3、函数q（T-s、 x，y）（Ly-s） pF（s，y，z）F（z）在（s，y，z）中可积∈ [0，T]×Rd×Rd对于任何T>0和x∈ D、其中，Ly是作用于变量y.4的X的最小生成器。L*yq（t，x，y）=tq，其中L*YDE注意到L的伴随算子（w.r.t.Lebesgue测度），作用于变量y。让我们定义HPF（s，x，y）：=ψ′（s）+ψ（s）（Lx）- s）pF（s，x，y）（6）并观察该点3。在假设2.2中，允许声明q（t-s、 x，y）hpF（s，y，z）F（z）可在（s，y，z）中集成∈ [0，T]×Rd×Rd对于任何T>0和x∈ D、让我们考虑下面的引理（参见[13]或[3]，了解通过Parameterix参数获得的类似结果）。引理2.3，对于t>0和（x，y）∈ Rd×Rd，以下保持不变：ψ（t）q（t，x，y）- ψ（0）pF（t，x，y）=ZtZRdq（t- s、 x，z）hpF（s，z，y）dzds，其中PFS满足方程（4），hpF定义在方程（6）中。证明：见附录A.1。定理2.4在假设2.2下，我们可以陈述以下结果：E[1{τ≤T}ψ（T- τ） E[F（XT）| Fτ]| Ft]=cFP（τ≤ T | Ft）+中兴通讯[1{τ≤s} ZRdhpF（T- s、 Xs，y）F（y）dy | Fτ∧t] ds，（7）式（5）中定义了Cf，式（4）中定义了Pf，式（6）中定义了HPFd。证明：见附录A.2。方程（7）中的结果扩展了[9]中提出的静态对冲公式：定理2.4提供了充分条件，通过考虑相当大一类马尔可夫潜动态，将多维市场模型中的广义定时风险分解为k no ck操作积分。

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2022-5-31 18:27:29

事实上，对于F≡ 1和ψ（u）=e-r（T-u），我们可以取pF=q和cF=e-Rt以满足假设2.2。因为在这种情况下，我们有hpF（u，x，y）=re-r（T-u） q（u，x，y），方程式（7）将其还原为：E[E-rτ{τ≤T}| Ft]=e-rTP（τ≤ T | Ft）+rZTE[e-rs{τ≤s} |英尺∧τ] ds。（8）让T→ ∞, 我们有-rτ| Ft]=Z∞E【E】-rτ{τ≤s} |英尺∧τ] ds，前提是P（τ<∞) = 请注意，我们直接通过分部积分公式得到方程（8）。我们确实看到了-rτ{τ≤T}| Ft]=中兴通讯-rsP（τ∈ ds | Ft）=e-rTP（τ<T | Ft）-P（τ<0 | Ft）+rZTe-rsP（τ<s | Ft）ds=e-rTP（τ<T | Ft）+rZTe-rsP（τ<s | Ft∧τ） ds。最后一个方程是有效的，因为集合{τ<s}是Fτ-可测的。2.2障碍期权半静态对冲中的对冲误差作为时间风险本小节的目的是提供半静态对冲误差与时间风险价值之间关系的关键直觉。事实上，本文的第一个贡献是表明Bowie-Carr类型的对冲误差【4】是一种时间风险。然后，通过应用广义的Carr-Picron公式，我们可以将时间风险分解为敲入期权的连续性。最后，对于每个敲入期权，我们采用BowieCarr的半静态对冲。利用将对冲误差和时机风险联系在一起的直觉，是重新迭代时机风险半静态对冲策略以及将一阶对冲误差扩展为更高阶误差的关键因素，且误差幅度不断减小。让我们首先来看看什么是半静态对冲策略。从现在起，X是一个离散过程，τ是X离开域D的第一次退出时间 Rd.我们想通过持有两个普通期权来对冲其报酬为F（XT）1{τ>T}的淘汰期权：一个有报酬的期权的多头头寸F（XT）1{XT∈D}，以及带付息的空头头寸-^F。这里，我们假设D上的^F=0。

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2022-5-31 18:27:32

让我们注意一下：o如果X从未退出域D，那么对冲就完全有效，因为空头头寸反映了多头头寸；o如果代理人在时间τ<T时清算投资组合，他有以下成本Cτ：Cτ=e-r（T-τ）E[（F（XT）1{XT∈D}-^F（XT））| Fτ]。如果Cτ=0，则静态套期保值工作正常，否则术语Cτ可以被解释为错误。以类似的方式，我们可以考虑Payoff F（XT）1{τ<T}的敲入期权的静态对冲，通过持有Payoff F（XT）1{XT}的多头头寸∈Dc}和带payoff^F的选项。在这种情况下，我们有：o如果X从未退出D，那么对冲完全有效，并且没有现金交换（没有任何东西比没有任何东西）在{τ<T}时，套期保值者通过出售pay-o fff（XT）1{XT）的期权并购买pay-o fff（XT）1{XT，在时间τ改变头寸∈D}。此操作的成本-r（T-τ）E[（F（XT）1{XT∈D}-^F（XT））| Fτ]=Cτ。（9） o到期日T时，pay-o-ff为零，因为Payoff F（XT）正好补偿F（XT）1{XT∈D}+F（XT）1{XT∈Dc}。为了概括和陈述第一个结果，让我们观察到，在上述两种情况下，与停止时间τisHeτt相关的时间t的套期保值误差：=e-r（T-t） E[E[1{τ<t}（F（XT）1{XT∈D}-^F（XT））| Fτ]| Ft]。（10）通过对时间风险和方程（2）的定义2.1进行解释，我们可以很容易地推断出方程（10）中的对冲误差可以解释为与障碍期权头寸相关的时间风险：我们得出τt=Trt（π（F），t，τ，1），其中π（F）=F 1{x∈D}-^F。我们还定义了π⊥按π⊥（F）=F（x）1{x∈Dc}+^F。注意，这里我们假设^F=\\F 1{x∈D}，这意味着[π（F）=^F，π（F）=π（F），等等。让我们引入以下一组假设（假设2.5），这些假设有助于说明定理2.6中报告的结果。假设2.5从假设2.2中引入的一组假设开始，通过考虑函数π（F），我们进一步假设cπ（F）=0。

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2022-5-31 18:27:35

因此，我们正在处理这样的情况：RDpπ（F）（t，Xτ，y）F（y）dy=RDcpπ（F）（t，Xτ，y）^F（y）dy几乎可以肯定。假设2.5 r要求我们在前一种情况下处理的对称性现在是一个w.r.t.a“反射”。定理2.6在假设2.5下，敲出/敲入期权的价值被分解为对冲投资组合的价值和敲出/敲入期权的最小连续数量。更精确地说，E[F（XT）1{τ≥T}| Fτ∧t] =E[π（F）（XT）| Fτ∧t]-中兴通讯[1{τ]≤s} ZRdhpπ（F）（T- s、 Xs，y）π（F）（y）dy | Fτ∧t] ds，（11）andE[F（XT）1{τ≤T}| Fτ∧t] =E[π⊥（F）（XT）| Fτ∧t] +中兴通讯[1{τ]≤s} ZRdhpπ（F）（T- s、 Xs，y）π（F）（y）dy | Fτ∧t] ds。（12）证明：见附录A.3。定理2.6是构建高阶半静态套期保值的基础，可以解释为一阶套期保值误差的渐近展开。结果表明，广义时间风险可以分解为连续的敲入期权（扩展[9]）。然后，对于每个包含时间风险的敲入期权，通过应用Bowie-Carr[4]策略，我们可以进一步减少与持仓内期权相关的对冲误差，如下小节所示。2.3高阶半静态套期本论文的贡献是定义广义的时间风险，并说明如何计算与美式障碍期权半静态套期相关的一阶和高阶套期误差（降低幅度）。

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2022-5-31 18:27:38

本小节介绍并陈述了通过所提出的迭代过程存在的高阶半静态套期保值策略，并讨论了误差收敛到零的条件。定理2.6扩展了[9]中提出的静态对冲公式，通过考虑相当大的一类马尔可夫基础动力学，给出了将多维市场模型中的广义时间风险分解为敲入期权积分的充分条件。然后，本文的数学贡献为高阶半静态套期保值的构建嵌入了一个方法论建议，被解释为一阶套期保值误差的渐近展开。这是一个基于广义定时风险识别、半静态对冲策略、误差计算和过程重新迭代的迭代过程。高阶半静态套期保值收敛于精确套期保值。构建高阶半静态套期保值误差的拟议方法利用了以下步骤：1。通过在期权分解中获得aknock，识别广义定时风险并应用Carr-Picron[9]策略；2、对于每一个包含时间风险的敲入期权，采用Bowie-Carr【4】策略；3、观察与Bowie-Carr[4]策略相关的对冲误差是一种广义定时风险；4、从步骤1重新迭代。本文的第一个关键贡献是表明套期保值误差la【4】是一种计时风险；从这个观察出发，应用一个广义的公式将其分解为期权表示中的aknock。然后，对于每个敲入期权，我们采用半静态对冲（[4]s型策略），并确定二阶误差，因为我们使用的是非对称的一般差异。然后，想法是迭代该方法（广义w.r.t。

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2022-5-31 18:27:42

Carr Picron[9]），并获得了高阶半静态对冲和相应的误差。让我们考虑n阶对冲误差：这可以通过在迭代过程的每一步直到n-1、套期保值误差已分解的敲入期权集。推导了误差收敛到零的条件。定理2.6 p提供了基于敲入期权的半静态对冲分解的一阶对冲误差结果。让我们观察一下，（11）和（12）右侧第二项的被积函数也是敲入期权的报酬，因此公式可以迭代。二阶套期保值是对π的小量ds的积分⊥ZRdhpπ（F）（T- s、 x，y）π（F）（y）dyfor each s s。与停止时间τ相关的二阶误差为ztτπZRdhpπ（F）（T- τ、 Xτ，y）π（F）（y）dyds。通过对每个s应用定理2.6，在t处评估的二阶套期保值误差可以表示为zse[1{τ≤u} ZRdZRdhpπ（F）（s-u、 Xu，y）πhpπ（F）（T- s、 y，y）π（F）（y）dydy | Fτ∧t] 杜。（13）通过对s积分（13）得到总误差。通过重新迭代该过程，可以在适当的条件下获得套期保值误差的渐近表达式。请注意，我们将在独立于w.r.t.支付功能F的设置中工作。在本节中，π表示对应F 7→ F 1{x∈D}-^F和π⊥平均值SF 7→ F 1{x∈Dc}+^F。设置独立于w.r.t.F，但取决于函数π或π⊥.在假设2.5的基础上，我们假设pπ（F）≡ pπ可以选择为独立于F；它只依赖于q，d和π=1-π⊥, 其中π⊥: Cb（D）→ Cb（直流）。让我们介绍假设2.7和假设2.8，这有助于说明OREM 2.9中给出的结果。假设2.7让我们考虑以下一组假设。1.

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2022-5-31 18:27:46

工艺X上的差异具有平滑的密度；有e xi st a函数q∈ C1,2,2（（0，∞) ×Rd×Rd），使得E[f（Xt）| Xs]=RRdq（t- s、 Rd.2上任何有界可测函数f的Xs，y）f（y）dy。存在一个函数pπ：[0，∞)×Rd×Rd，使pF（·，·，y）在C×Cb中表示所有y∈ Rd，lims↑tZRdq（s，x，z）pπ（t-s、 z，y）dz=q（t，x，y），对于任何F∈ Cb（D），ZDpπ（t，Xτ，y）F（y）dy=ZDcpπ（t，Xτ，y）（π⊥F）（y）dy.3。L*yq（t，x，y）=tq，其中L*yde注意到L的伴随算子（关于Lebesgue测度），作用于变量y.4。I0=s<s<··<sN<Tq（T-sN，x，yN）QNj=1hpπ（sj-sj公司-1、yj、yj-1）对于x，在[0，T]N×rdn上（s，···，sN，y，··，yN）是可积的∈ D、对于任意N≥ 1，其中hpπ（s，y，z）=（Ly-s） pπ（s，y，z）。根据假设2.7，我们可以定义算子族（SpF）Nt，t∈ [0，T]和N=1，2，···，由f或f感应∈ Cb（Rd）和x∈ 第1条。我们定义（Spπ）tf（x）=ZRdhpπ（t，x，y）π（f）（y）dy（14）。2、对于N≥ 因此，我们有：（Spπ）Ntf（x）=Zt（Spπ）s（Spπ）N-1吨-sf（x）ds。假设2.8除了假设2.7之外，我们还假设Hn（x，t）：=ztzsnzn-1···ZsZRdNNYj=1q（t-sN，x，yN）| hpπ（sj- sj公司-1、yj、yj-1） | dds···dsN×| F（y）·dydy···dyN-1dyn其中0=沙x=yn收敛为零，为N→ ∞ 统一在x中。我们现在可以陈述以下基于时间风险静态对冲的理论结果，这有助于证明所提出的迭代过程的收敛性。定理2.9在假设2.7下，对于任意N≥ 我们有：E[F（XT）1{τ≥T}| Fτ∧t] （分别为E[F（XT）1{τ≤T}| Fτ∧t] ）=E[π（F）（XT）| Ft]（分别为E[π⊥F（XT）1{τ≤T}英尺]）N-1Xk=1ZTE[π⊥（（Spπ）kT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds公司中兴通讯[1{τ]≤s} （（Spπ）NT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds，（15）其中我们了解pk=1（·····）=0。

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2022-5-31 18:27:51

此外，在假设2.8下，我们得到i）PNk=1π⊥（Spπ）kT-s（x）在x上一致收敛，ii）P∞k=1π⊥（Spπ）kT-s（Xs）在（s，ω），iii）中是可积的，下面的holdsE[F（XT）1{τ≥T}| Fτ∧t] （分别为E[F（XT）1{τ≤T}| Ft]=E[π（F）（XT）| Fτ∧t] （分别为E[π⊥F（XT）1{τ≤T}英尺]）中兴通讯[∞Xk=1π⊥（（Spπ）kT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds，（16）与方程式（14）中定义的Spπ。证明：见附录A.4。等式（15）表明中兴通讯给出了N阶对冲[π⊥（（Spπ）kT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] D一阶到N阶对冲的误差为ZTE[1{τ≤s} （（Spπ）NT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds和方程式（16）声称，不仅误差收敛到零，而且[∞Xk=1π⊥（（Spπ）kT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] dshedges对barrier选项进行无误对冲。拟议的方法基于时间风险识别的关键步骤；然后，通过敲入期权分解的半静态套期保值策略应用和对每个敲入期权的Bowie Carr【9】策略应用，不仅可以构造一阶套期保值误差，还可以构造高阶套期保值误差。然后，通过定理2.9.3应用中所述的结果显示高阶半静态对冲收敛到精确对冲。本节提供了前一节中在两种特殊设置下所述主要理论结果的说明。数学结果适用于i）不对称情况，ii）一维情况。

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nandehutu2022

2022-5-31 18:27:58

文献[1]研究了更一般的多维情况。3.1对称情况本小节考虑了在反射下相对于超平面对称的扩散情况：D：={x∈ Rd | hx，γi>k}，其中γ∈ Rd，其中|γ|=1，k∈ R在这种情况下，^F可以通过相关反射构造为θ（x）=x-2hγ，xiγ+2kγ=（I- 2γ γ） x+2kγ。设X是Rd上的一个微分，其内部生成器由a（X）给出·2+b（x）· ≡Xi，jai，j（x）xixj+Xibi（x）xi（17）其中扩散矩阵A≡ （ai，j）和漂移向量b≡ （bi）满足假设3.1。假设3.1存在两个正常数，即m和m，因此m | y|≤ 哈（x）y，易≤ M | y|x、 y型∈ Rdwith A≡ （ai，j）为扩散矩阵，b≡ （bi）漂移矢量；aij，bj有任意阶的导数，它们都在上面有界。我们注意到，在这个假设下，A和b是Lipschitz连续的。特别是如果我们∞:=Xi，jd maxksupx∈研发部|kai，j（x）|！,我们有thatkA（x）-A（y）k≤ 一∞|x个-y |。备注3.2备注假设3.1暗示了以下内容（参见【13，定理1.11，定理1.15】）。X的跃迁密度由q（t，X，y）=P（Xt）给出∈ dy | X=X）/dy。这种转变密度存在并具有以下特性：i）它在（X，y）中是两次连续可微的，ii）它在t中是连续可微的，ii）对于任何M>M和一些常数q>0，它满足：q（t，X，y）≤ Cqt公司-dexp公司{-|x个- y | 4Mt}|q（t，x，y）|≤ Cqt公司-d+1exp{-|x个-y | 4Mt}，和tq（t，x，y）=（Lxq）（t，x，y）=（L*yq）（t，x，y）（18），其中lx是作用于变量x的x的最小发生器（见E q值（17）），L*Yi是L的伴随，作用于变量yL*y型=2y·A（y）- y·b（y）≡Xi，jai，j（y）易yj+XiXj公司aij公司yj（y）- bi（y）易+Xi，jaij公司易yj（y）-xibi公司yi（y）。此外，我们有Zrd（L*yq）（s，x，y）g（y）dy=任何函数g的ZRdq（s，x，y）Lyg（y）dy∈ C∞（Rd）（参见示例。

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2022-5-31 18:28:07

[13] ）。命题3.3假设A和b在反射θ下对称；A（x）=ψA（θ（x））ψ，b（x）=ψb（θ（x））。（19）其中ψ=I- 2γ γ、它既正交又对称。用πF（x）定义π：=F（x）-F（θ（x））。然后我们假设2.8可以通过取pπ=q来满足。特别是q（t，x，y）-q（t，x，θ（y））=0，x∈ D、 y型∈ D、（20）其中q（t，x，y）：=Px（Xt∈ dy）/dy.证明：见附录A.5。让我们更仔细地看一下扩散的对称性。公式（20）可以理解为q由pa近似，bt（x，y）=（2π）-d{det A（y）t}-e-2TA（y）-1（x-y-b（y）t），x-y-b（y）ti，（21）至，对应随机微分方程的Euler Maruyama近似。观察pA、bsatis fiespa、bt（x，y）- pA，bt（x，θ（y））=0，x∈ D、 y型∈ RDI是（19）的直接结果。事实上，因为对于x，ψ=I，x=θ（x）∈ D、 pA，b（t，x，θ（y））=（2π）-d{det A（θ（y））t}-e-2TA（θ（y））-1（x-θ（y）-b（θ（y））t），x-θ（y）-b（θ（y））ti=（2π）-d{detψA（y）ψt}-e-2TA（y）-1ψ（θ（x）-θ（y）-ψb（y）t），ψ（θ（x）-θ（y）-ψb（y）t）i=（2π）-d{det A（y）t}-e-2TA（y）-1ψ（x-y-b（y）t），ψ（x-y-b（y）t）i=pA，b（t，x，y）。备注3.4（随机波动率模型的不对称性）让我们考虑γ=（1，0，···，0）的情况；淘汰条件仅取决于第一个变量，因为D={x>k}。我们可以将第一个变量解释为基础的价格过程，第二个变量解释为其波动性，依此类推。注意，通过在A上假设对称性（19），我们可以写A（x）-A（θ（x））=A（x）- ψA（x）ψ=ψ（ψA（x）-A（x）ψ）=ψ[γ γ、 A（x）]用于x 6∈ D、因此| A（x）-A（θ（x））|=2dXj=1（a1，j（x））。根据该结果，A在D除非“波动性的波动性”a1,2（x）在超平面为零。波动率矩阵的连续性和相关项的非消失性是不相容的。

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2022-5-31 18:28:12

如果我们坚持这两个要求，我们需要放弃对称性（19）。3.2一维案例本小节分析和讨论了拟议方法在一维案例中的应用，其中一阶和二阶套期保值误差可以在分析闭合形式中推导出来。让我们考虑（时间齐次）一维情况：dXt=σ（Xt）dWt+u（Xt）dt，（22），其中σ>0和du是线性增长的光滑函数，而d=[K，∞), 当X>K时，Lamperti变换：s（X）=Zxσ（y）Dy将问题归结为漂移布朗运动：Yt=s（Xt）=s（X）+Wt+Ztu（s-1（Ys））σ（s-1（Ys））-σ′（s）-1（Ys））ds，FY：=Fo s-1替换F和τ=inf{s>0：Xs<K}=inf{s>0：Ys<s（K）}。定理3.5我们假设σ>0是Cband | |u/σ||∞< ∞. 设π为π⊥f（x）=f（2s（K）- x）对于f∈ Cb（[s（K），∞)). 那么，pπ（t，x，y）=√2πtexp-2t（x-y）,带HPπ（t，x，y）=-u（s-1（x））σ（s-1（x））+σ′（s-1（x））（十）- y） tpπ（t，x，y）（23）满足假设2.8。因此，精确展开式（16）成立。证明：见附录A.6。d中的备注3.6≥ DXT=dXj=0Vj（X）的二维案例o dWjt，在约定dW=dt的情况下，如果平滑向量场V、······vd相互转换，则它与标准布朗运动模漂移“不同”，且REM 3.5的直接扩展成立。正如【14】所指出的，大多数随机波动率模型与双曲布朗运动模漂移“不同形态”。双曲情况需要不同的函数π，这不容易识别。有关相关讨论，请参见[15]。4套期保值误差为了说明拟议框架的应用，推导了一维情况下的分析结果，即i）一阶套期保值误差，ii）二阶套期保值误差，通过重新迭代定时风险识别和hed（半静态套期保值分解和敲入期权表示）获得。

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2022-5-31 18:28:15

让我们简要回顾第3.2小节中描述的数学设置，然后在下面的第4.2条和第4.3条陈述主要结果。通过显示通过从一阶传递到二阶并重新迭代套期保值程序得出的套期保值收益（即绝对值误差减少）的重要性，对一阶和二阶套期保值误差进行比较。假设4.1详细描述了描述一维情况的数学设置。假设4.1基本过程XT的动力学由以下SDE描述：dXt=σdWt+udt，（24），其中u=r-σ、 r，σ>0且u：=r时-σ；因此，其解为：Xt=X+σWt+ut。请注意，Xt是一个分布为Xt的随机变量~ N（X+ut，σt）。让我们考虑一个具有基本XT和以下期权相关数量的敲入障碍期权：o记录K敲入条件的障碍，oK′对冲期权的执行价格，oτ与时间风险相关的敲入时间。然后，让payoff函数beF（x）=（ex- K′）+，（25），其中0<K≤ K′，并考虑定义为θ（x）的函数θ（·）：=2log K- x、因此，通过替换，我们可以写出：F（θ（x））=（e2log K-x个- K′）+。（26）一阶和二阶对冲误差的分析结果在以下小节中报告和讨论。

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2022-5-31 18:28:18

利用以下因素获得结果：识别广义时间风险；对冲误差定义（方程式（10））以及对冲误差和定时风险之间的等效性；按最小敲入期权数量进行半静态对冲分解；适用于每个敲入期权的半静态对冲策略。4.1一阶对冲及其误差让我们回顾一下对冲误差定义的方程式（10）：Heτt：=e-r（T-t） E[E[1{τ<t}（F（XT）1{XT∈D}-^F（XT））| Fτ]| Ft]，然后考虑投资组合特征，以确定一阶套期保值误差。注意，通过将方程（25）-（26）代入对冲误差定义，我们获得了一维情况下一阶对冲误差的积分表示。事实上，在假设4.1下，与停止时间τ相关的一阶套期保值误差可以写为：He（1）τ：=E[（eXT-τ- K′）+| X=对数K]- E[（e2对数K-XT公司-τ- K′）+| X=log K]（27），可以解释为两个期权价格之间的差异。如第4.2条所述，一阶hed可以用解析闭合形式表示。命题4.2在假设4.1下，与停止时间τ相关的时间t的一阶套期保值误差以闭合形式给出n：He（1）τ=K′[n（d）-N（d）]+Keσ（T-τ） heu（T-τ）Nd+σ√T- τ- e-u（T-τ）Nd+σ√T- τi（28），其中d=logKK′-u（T- τ） pσ（T- τ），d=对数kk′+u（T- τ） pσ（T- τ），N（·）表示标准正态随机变量的累积分布函数。证明：见附录A.7。方程（28）以解析闭合形式报告了一维情况下的一阶套期保值误差，作为模型所有参数的函数。图1通过强调其对两个驱动因素的依赖性，报告了Firstorder套期保值误差的价值：i）hedgingoption K′的走向，ii）基本动态的差异系数σ。

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2022-5-31 18:28:21

该图突出了这两个驱动因素对一阶套期保值误差大小的影响，可归纳如下：o当套期保值期权K′的行使减少（变得更接近K）时，一阶套期保值误差的绝对值增加；o当基础动力学的扩散系数σ增加时，一阶hedgingeror的绝对值增加。直觉是，随着σ的增加，设置具有更高的不确定性，将成为与风险相关的额外“成本组成部分”。00.10.20.30.480859095100-2.-1.5-1.-0.500.51σK′H e（1）τ图1：一阶套期保值误差。p批报告了给定不等式（28）作为两个变量函数的一阶套期保值误差：i）套期保值期权的行使，即K′∈ [80100]，ii）基本动力学的差异系数，即σ∈ [0.05，0.4]。该图基于以下基本情况参数值：K=80，r=0.03，T=1，τ=0.6.4.2二阶对冲及其误差二阶半静态对冲的存在在第2.3节中陈述和讨论。在这里，我们将一般结果应用于一维情况，以便在解析闭合形式下推导出相应的二阶套期保值误差。

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2022-5-31 18:28:25

一阶和二阶套期保值误差之间的比较还通过显示通过盈利程序获得的重大误差减少来提供。命题4.3在假设4.1下，与停止时间τ相关的时间t的二阶套期保值误差以闭合形式表示为：He（2）τ：=uKeσ（t-τ） p2πσ（s- τ）（29）×ZTτds（ZRsgn（u）eu（s-τ） Nd+上σ（T- s）！+e-u（s-τ） Nd公司-上σ（T- s）！！du）带d：=logKK′+σ（T- s） pσ（T- s） N（·）表示标准正态随机变量的累积分布函数。证明：见附录A.8。方程（29）以解析闭合形式报告了一维情况下的二阶对冲误差，表示为所有模型参数的函数，并通过简单的数学结构表示。通过利用拟议的方法，根据敲入期权重新迭代时间风险识别和半静态对冲分解，可以得出幅度递减的高阶对冲误差。图2通过突出二阶套期保值误差对两个驱动因素的依赖性，描述了二阶套期保值误差的示例：i）套期保值期权的行使K′，ii）基础动态的差异系数σ。该图突出显示了这两个驱动因素对二阶套期保值误差大小的影响，可总结如下：o当套期保值期权K′的行使减少（变得更接近K）时，二阶套期保值误差的绝对值增加；o当地下动态的扩散系数σ增加时，二阶套期保值误差的绝对值增加。00.10.20.30.480859095100-0.0500.050.10.15σK′H e（2）τ图2：二阶套期保值误差。该图报告了方程式（29）中给出的二阶对冲误差，作为两个变量的函数：i）h边期权的行使，即K′∈ [80100]，ii）基本动力学的扩散系数，即σ∈ [0.05, 0.4].

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2022-5-31 18:28:29

该图基于以下基本情况参数的值：K=80，r=0.03，T=1，τ=0.6.4.3一阶和二阶对冲误差比较通过分析两种对冲误差（一阶和二阶）的行为，可以研究它们的相对大小，从而通过从订单00.10.20.30.480859095100传递对冲收益的实质性-0.2-0.100.10.20.3σK′γ（1，2）τ图3：二阶和一阶套期保值误差之间的比率。该图报告了方程式（30）中给出的二阶（方程式（29））和一阶（方程式（28））混合误差之间的比率γ（1,2）τ，作为两个变量的函数：i）对冲期权的行使，即K′∈ [80100]，ii）基本动力学的扩散系数，即σ∈ [0.05，0.4]。该图基于以下基本情况参数值：K=80，r=0.03，T=1，τ=0.6。一对二。图3报告了二阶（方程（29））和一阶（方程（28））套期保值误差之间的比率γ（1,2）τ，定义为γ（1,2）τ：=He（2）τHe（1）τ（30）及其对两个主要驱动因素的依赖性：i）套期保值期权K′的行使，ii）基础动态的差异σ。从图中可以看出，二阶套期保值误差通过降低一阶套期保值误差80，大大降低了与时间风险τ相关的套期保值“成本”-大多数情况下为90%，即1-|γ(1,2)τ| ∈ [0.8, 1].从图中可以看出，根据期权的具体特征，hedgingbenet收益可以减少90%以上的误差：例如，由于一阶和二阶套期保值误差w.r.t.的不同非线性敏感性，差异系数的高值会出现这种情况。

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2022-5-31 18:28:32

σ参数。5结论本文通过多维差异环境下的静态和半静态套期保值策略，解决了美式期权套期保值头寸的问题。特别是，本文件侧重于障碍期权的半静态对冲：这意味着要处理时间风险，因为期权将支付的时间（即使在已知金额的情况下）事先未知。我们分析的起点是[9]的工作，作者指出，时间风险可以通过普通期权中的静态头寸进行对冲。本文扩展了[9]中提出的静态对冲公式，通过考虑相当大的一类马尔可夫基本动态，给出了将基因化的时间风险分解为多维市场模型中敲入期权积分的充分条件。然后，通过基于barr ier期权头寸制定相应策略，对半静态对冲进行了详细研究。然后构建并讨论了一个一阶半静态套期保值。然后，本文的数学贡献嵌入了一个构建高阶半静态套期保值的方法论建议，这可以解释为套期保值误差的不对称扩展。这是通过一个迭代过程完成的，并显示了这些高阶半静态对冲到精确对冲的收敛性。最后，本文对i）对称情况，ii）一维情况下的主要理论结果进行了说明。对于一维情形，一阶和二阶套期保值误差以解析闭合形式导出，数值结果支持套期保值误差从一阶传递到二阶（80%）的实质性减少的证据- 误差绝对值减少90%）。参考文献【1】Akahori，J.Barsotti，F.，和Imamura，Y。

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大多数88

2022-5-31 18:28:35

“通过对称化的渐进静态对冲”，工作文件。[2] Akahori，J。和Imamura，Y.“关于差异过程的对称化”，QuantitativeFinance 14（2014），第71211-1216号。[3] Bally，K.和Kohatsu Higa，A.（2015）“参数法的概率解释”，《应用概率年鉴》，第25卷，第6期，3095-3138。[4] Bow ie，J.和Carr，P（1994）“静态模拟适用性”，风险，7（8），44–50。[5] Carr，P.和Chou A.（1996），“打破壁垒”，风险，10（9），139-145[6]Carr，P.，Ellis K.，Gupta V.（1998），“奇异期权的静态对冲”，《金融杂志》，1165-1190[7]Carr，P.，和Lee R.（2009），“看跌期权对称性：扩展和应用”，《数学金融》，19（4），523-560[8]Carr，P.和Nadtochiy，S.（2011）“时间同质差异下的静态对冲”，《暹罗金融数学杂志》，2（1），794–838[9]Carr P.，和Picron，J.（1999），“时间风险的静态对冲”，《衍生工具杂志》6,57–70。[10] Corielli，F，Fosci，P.和Pascucci，A.（2010），“扩散转移密度的参数近似”，暹罗金融数学杂志，1837–867。[11] Derman，E.、Ergener，D.和Kani，I.（1995年）。“静态期权应用。衍生品杂志”，2:78-95[12]芬克，J。（2003）“存在随机波动时静态套期保值的有效性检验”，《期货市场杂志》，23（9）：859-890。[13] Friedman，A.《抛物线型偏微分方程》，普伦蒂斯·霍尔1964年，多佛2008年。[14] Henry Labord\'ere，P.《随机波动率模型的一般渐近隐含波动率》，arxiv。org/pdf/cond mat/0504317【15】Ida，Y.，和Imamu ra，Y.（2016），“利用双曲布朗运动进行精确模拟”，工作文件。[16] Imamura，Y.（2011）“关于上次退出时间期权静态对冲的评论”，《衍生品研究评论》，第14页。

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nandehutu2022

2022-5-31 18:28:39

333-347【17】Imamura，Y.，和Takagi，K.（2013），“基于多维布朗运动广义反射原理的半静态对冲”，亚太金融市场，（20）71-81。[18] Kato，T.、Takahashi，A.和Yamada，T.（2013年），“随机波动率模型下上下障碍期权价格的渐近展开公式”，JSIAM Letters，第5卷，第17-20页。[19] Kato，T.、Takahashi，A.和Yamada，T.（2014）“S emi集团对定价障碍期权的扩张”，《国际随机分析杂志》，2014卷，文章编号268086，15页【20】Levi，E.E.（1907）“Sulle equazioni lineari totalmente Ellitiche alle derivate parziali”，Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo（意大利语）24（1）：275–317【21】Nalholm，M.，和鲍尔森，R.（2006）“GeneralAsset动态下障碍期权的静态对冲：统一和应用”，《衍生品杂志》，13（4），第46-60页。[22]Shiraya，K.、Takahashi，A.和Toda，M.（2011年），“随机波动环境下的定价障碍和平均期权”，《计算金融杂志》，15.2（2011/2012年冬季）：111-148。[23]Shiraya，K.，Takahashi，and Yamada，T.（2012），“股票波动下的离散障碍期权定价”，亚太金融市场，第19-3卷，第205-232页。【24】Takahashi，A.（1999）“金融应急目标的渐进扩张方法”，亚太金融市场，第6卷，第115-151页。一个证明这个附录包含了本文中主要理论结果的证明。A、引理的证明2.3让我们注意到品脱4。假设2.2允许我们写下：s{ψ（s）q（s，x，z）pF（t-s、 z，y）}=ψ′（s）q（s，x，z）pF（t-s、 z，y）+ψ（s）L*zq（s，x，z）pF（t-s、 z，y）- ψ（s）q（s，x，z）spF（t-s、 z，y）。由于pF（·.z.y）是可区分的，我们有：lims↓0ZRdq（s，x，z）pF（t-s、 z，y）dz=pF（t，x，y）。（31）因此，通过使用（31）中的结果，第2点中的等式（4）。

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