连续时间大资产定价的一个基本定理

2022-5-31 19:13:36

然而，就像柏拉图著名的《洞穴探险家》（the cave）一样，价格s并没有完全向美国市场观察家透露，但美国读者只能看到其中的一个影子，即对s的不安观察。然而，鉴于我们的观察基础，我们必须在市场上进行交易。我们称之为柏拉图式证券交易所。我们认为，柏拉图式证券交易所有助于将连续时间模型的理想假设和实际观测现实编码为过滤和交易组合模型。有几个例子可以直接应用Platonic stock exchange：2000数学科目分类。60G48、91B70、91G99。关键词和短语。资产定价基本定理、大型金融市场、融资收缩、贝叶斯金融、稳健金融。作者衷心感谢ETH基金会的支持。

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可人4

2022-5-31 19:13:39

本文的部分内容是在第一作者访问ETH Z¨urich时撰写的；她很感激福申森数学研究所（Forschungsinstitutef–ur Mathematik）。2 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichman：价格呈离散型，可能具有一定程度的可靠性，因此观测过滤小于pric e过程的理想连续时间模型过滤：价格还可能伴随着摩擦（交易成本或流动性），实际交易价格和观察到的价格（交易决策依据）不一定一致：随机投资组合理论的背景，其中相对资本化（与市场资本化相关的价格被视为num'eraire）在不同的数量级上引用，具有不同的精度和不同的摩擦程度。在这里，实际交易价格和观察价格并不一定一致为基础资产和衍生产品联合编写的市场模型，反映了不同时间网格上的经济价格，例如，衍生产品可能每天进行交易，而基础资产通常在更高的网格上进行交易。引入实际观察价格和交易价格之间的差异非常有用：接收市场信息（或应用市场信息）的时间延迟，这导致交易员的过滤只是与价格过滤比n相比的延迟。例如，在所有主要市场中都会出现不同的标的物交易时间尺度，这些标的物在高频率的基础上进行再交易订单执行延迟的市场：量化校准误差的影响，校准误差在市场数据上表现为加性误差变量。例如，在期限结构模型中，市场价格仅大致满足，这是（简单）内部或外推程序的结果。。。

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2022-5-31 19:13:42

当然，模型不确定性的设置与现实的市场信息相结合，如续集所述。从形式上讲，柏拉图式的金融市场是由随机基础给出的(Ohm, G、 P）连同两次过滤F G和一系列适应G的随机过程S（对路径性质没有任何假设）。在给定的集合中进行交易是可能的，但只能使用F-可预测的简单策略（以及S-uchstrategies的限制，稍后将对其进行精确化）。较小的过滤F对应于实际进入交易决策的代理信息，而较大的过滤G则对价格过程中的所有信息进行编码，这些信息不一定能即时用于交易决策。我们在第2节中介绍的精确设置在涉及的过滤方面更为一般，但为了简单起见，我们在此不详细介绍。我们强调（并在续集中更准确地概述这一点）这种框架也是一种纳入模型不确定性的方法，因为缺乏观察实际上会导致模型选择本身的不确定性。在任何情况下，度量值P都不一定具有历史度量的意义：另一种自然解释是一类模型的客观先验随机化，其中一类模型无法通过实际观测加以区分。作为一种创新，我们既不认为价格过程是半鞅（也没有理由这样做，因为交易只使用可预测的策略来响应s较小的过滤F），也不通过过滤“真实价格”来构成标准过滤问题。

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2022-5-31 19:13:45

我们认为价格过程的非半鞅性（以及路径性质的缺失）是一个特殊的挑战，也是我们方法的一个优势，例如，从解释众所周知的经济证据的角度来看，例如在高频数据中遇到的证据。本文的主要目标是研究数学金融的所有基本问题，即基本定理、超边缘和对偶。我们的主要结果表明，在两次过滤设置中，大型金融市场的某种“无套利”条件（见定义3.3），即我们所有人（NAFLp），相当于存在一个等价的度量，在此条件下，价格过程S在较小过滤F上的可选预测是鞅（见orem 3.9和推论3.10）。我们的“无套利”条件涉及终端投资组合值的Lp可积性和Lp收敛性，对于1≤ p<∞, 结果表明，在一次过滤和有界价格过程的情况下，与经典（NFLVR）条件等价。这一概念之所以出现，是因为拓扑结构实际上相当强大，经济合理，不需要进一步的可接受性假设。据我们所知，这是连续时间内资产定价（FTAP）的第一个基本定理，当考虑仅就较小的过滤进行交易时。因此，它将Y.Kabanov和C.Stricker的结果扩展到了连续时间和大型金融市场环境。另一方面，它将Stricker的Lp版FTAP【15】推广到具有两种过滤的设置。此LP设置允许将离散时间数学财务的简单性转换为连续时间，即对路径没有假设，对可接受性没有假设。

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2022-5-31 19:13:48

我们的设置还允许克服Stricker设置的缺点，即无套利条件取决于度量值，而不仅仅取决于其等效类别，然而，有不同的方法可以做到这一点：因此，我们提供了几种竞争（和等效）版本的“无套利”条件。然后，获得的两次过滤FTAP构成了超边际结果的基础，在此情况下，交易再次只允许针对较小的过滤比率n。如例1.1所示，我们的设置自然嵌入了半静态对冲。结合下文所述的贝叶斯不确定性建模，这些超边缘结果为稳健金融领域的相应结果提供了新的解释（参见Bruno Bouchard和Marcel Nutz的工作【3】）。本文的其余部分组织如下。以下第1.1小节介绍了贝叶斯不确定性建模的概念，而第1小节介绍了贝叶斯不确定性建模的概念。2通过举例说明我们方法的相关性。在第2节中，我们介绍了柏拉图式大型金融市场的正式设置，而第3节和第4节则致力于“无套利”定义、FTAP和超额收益。1.1。贝叶斯不确定性建模。上述两种过滤设置是建立不确定性建模动态框架的第一步，在该框架中，可以分析新信息的区域时间包含，从而减少（或增加）模型不确定性。我们从Bayesian的角度理解不确定性，也就是说，我们对不同的度量进行了细化。

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2022-5-31 19:13:52

我们将其称为贝叶斯不确定性建模（Bayesianuncertainty modeling）和全过程贝叶斯金融，因为OptionalProjects将在贝叶斯过滤等方面发挥关键作用。让我们概述一下贝叶斯不确定性建模的含义，以及它与两个过滤框架的自然联系：这里假设一些路径空间D与其规范过滤F和一系列（规范的）价格过程相结合，以适应F。此外，我们还给出了参数θ的一类概率测度s Pθ∈ Θ。我们假设一个先验给定的概率测度νonΘ（当然，我们也可以在这一点上引入一些依赖于时间的e onΘ，但为了简单起见，我们将其去掉）。从形式上讲，我们的两种过滤设置可以通过以下方式引入：首先，在D×Θ（完整信息）上，约瑟夫·泰奇曼感谢迪玛·克拉姆科夫在上午的跑步中就这一观点进行了多次讨论。4 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichman过滤G：=eF B（Θ），概率测度p（A×B）=ZBPθ（A）ν（dθ）。当然，pric e过程也可以在D×Θ上定义，即简单地通过St（ω，θ）=ω（t）。在完美信息的情况下，就交易而言，我们再次发现自己处于经典设置中，因为交易者可以使用S生成的信息。我们现在对市场数据的本质进行编码，即交易和校准的基础，通常在离散的、不一定等距的、可能不可预测的时间网格上进行具有额外的不可靠性；o考虑可接受的校准精度（即。

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2022-5-31 19:13:55

流动性价格应进行完美校准，流动性越低的价格越不完美，等等）；通过指定较小的过滤英尺 σ（Ss）0≤s≤t型eFt公司 B（Θ），用于t≥ 0，在产品概率s速度上，对应于实际观测值的信息通常严格小于s生成的过滤值。即使数据完全可靠，观测值的圆盘网特征也会导致过滤收缩。如果数据不完全可靠（由于市场摩擦或简单的观测问题或延迟），则较小的滤波与实际观测相对应，而较大的滤波则考虑了模型的不确定性以及一些无ise干扰，例如市场数据的附加性。现在，我们发现自己处于一个全面的双刃过滤环境中（实际上是一个三过滤环境：关于价格过程S和θ的全面信息，只有关于S的全面信息和关于S的实际观察信息），其中交易策略是可预测的，相对于实际（理想化）价格过程产生的过滤F而言，F更小，在最大过滤G中编码了对价格过程和扰动噪声的充分了解。因此，我们可以在这种情况下分析市场观察如何一方面减少不确定性，即更新ν，另一方面分析市场观察如何用于交易。这种贝叶斯不确定性设置可以简化为一种混合模型设置，与上述设置相比，我们的工作不是在乘积空间D×Θbuton D上，而是在elf上，并考虑了形式P（a）=ZΘPθ（a）ν（Dθ）的可能性度量。虽然这一设置允许回答融资中出现的许多问题（例如示例1.1），但它可以不包括以参数θ为终点的衍生工具（参见示例1.4）。

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mingdashike22

2022-5-31 19:13:58

请注意，不仅是该设置的名称，而且整个建模都符合Damiano Brigo和Fabio Mercurio[4]所考虑的混合模型的精神。这种贝叶斯不确定性方法将对Θ的主观信念编码为概率，这绝不是物理度量的风险意义上的概率。然而，在金融领域，我们无论如何都习惯于亲婴儿，这并不一定具有统计风险的含义，即风险中性概率。在这里，我们添加了概率实际含义的第三个维度，即对模型有效性的主观信念。当然，我们并不是第一个在金融领域引入贝叶斯观点的人，参见Per Mykland的开创性论文[12]或关于dynamicrisk度量的大型文献（例如Beatrice Acciaio和Irina Penner的工作[1]及其引用），其中更新和时间一致性起着重要作用。在这方面，我们特别提到[5、13、2]。然而，据我们所知，我们是两个过滤设置中的FTAP，第一个将贝叶斯方法与FTAP和双重概念相结合的过滤设置。换言之，长期目标是两项开创性工作的结合。1.2。例子。以下示例说明了我们的二次过滤设置的普遍适用性及其与贝叶斯不确定性模型相结合的优势。示例1.1（具有大量半静态交易期权的有限多个资产）。我们支持众多的流动贸易数据集，即我们考虑一定数量的适应流程。S适应于过滤F，以及（大）系列期权价格过程π（fj），在时间t=1时支付fj，对于j∈ J与J的某些索引集。

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2022-5-31 19:14:01

让我们更精确一点：过程（πt（fj））t∈Ij带有时间网格Ij [0，1]是不相交封闭区间的一个单位，期权实际上是在这里交易的。一个特殊的示例是Ij={tj，…，tjn}，这意味着期权j只能在时间tjk，k进行交易∈ {1，…，n}。此外，我们在第1.1小节的最后一部分中应用了贝叶斯不确定性的混合设置：考虑一系列概率度量Pθ作为参数θ∈ Θ，其中Θ携带先验度量ν。假设P（A）=ZΘPθ（A）ν（dθ）定义良好。注意，关于这个混合度量的null集是关于ν-几乎每个Pθ的null集。过滤G被选为常数过滤Gt：=F，对于t∈ [0，1]。假设价格不变(Ohm, G、（Gt）t∈[0,1]，P）位于某个Lp中(Ohm) 对于交易ba sedon F。关于这种过滤，我们当然可以通过πt（fj）：=πmin{s，将价格扩展到[0，1]上的Gadapted过程≥t | s∈Ij}（fj）。这个过程不再适应过滤F，而是适应G。因为我们不需要路径属性，所以这个过程实际上是“agl”ad并不重要。这种结构的优点是，Ij上的半静态对冲现在可以通过标准随机积分来表达。这里G需要是一个足够大的过滤器，以包含下一个未来交易时间期权价值的信息。由于我们对G没有任何假设，这当然可以使用，我们选择的过滤显然可以完成这项工作。第4节的超级复制结果如下所示：for everyf∈ Lp（P）supQ∈MqEQ[f]=inf{x： g级∈cpx+g≥ f} 。集合mq由度量值Q组成~ P、 dQdP∈ Lq（P）使得Eq[πt（fj）| Fs]=s的πs（fj）≤ Ij中的t（sic！）对于所有j∈ J、当然，每个价格过程的optionalprojection（与S自身合并）是一个Qmartingale。

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2022-5-31 19:14:04

另一方面，几乎可以肯定的是，对于每一个f∈ Lp（P）在S和半S交易中有一系列简单的交易，在许多选项中减去一些消费，Lp（P）中收敛到一个极限g，该极限g支配着f减去超级价格x P-a.S.，即在可测量的S和a上 Ohm 对于ν-几乎所有θ，满足Pθ（A）=1（有关详细信息，请参阅Matteo Burzoni和Martin Larsson指出的这一点。6 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF TEICHMANNSection 4）。这是第一个连续时间的超级套期保值结果，在不同的时间网格上，以aBayesian的方式解释了一系列不同的套期保值设置。备注1.2。当然，我们可以将ed视为一个全面的贝叶斯稳健设置，其中价格过程也不适用于过滤率n F。备注1.3。包含半静态套期保值的技巧是，通过编写带有预期信息的逐段consta ntprocesses（取决于套期保值应该具有的静态属性的数量：如果想要在区间s，t上进行静态套期保值） [0，1]，那么时间t信息必须已经存在于s+，这是因为我们的g通用性g是可行的）通常可以工作的，因此可以在两个过滤设置内为每个单一资产在不同的网格上建模交易。这使得我们的研究范围极为广泛。这符合[3]中的离散时间小金融市场设置。示例1.4（拥有大量半静态交易期权和不确定性掉期的大量资产）。假设贝叶斯不确定性的设置，如第1.1节所述，允许包括人工导数π（fj），forj∈ J在t=0时以F-可测量价格进行交易。

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2022-5-31 19:14:08

我们将FJ定义为依赖于不确定性参数θ的FJ，并将其称为不确定性掉期（即使它们在t=0时的价格不一定为0）。这些掉期代表与不确定性相关的风险，即。截至Θ的确定ar e的可能性有多大。我们可以考虑不确定的波动性，即参数θ代表市场中所有可能的进化配置，或价格行为中未充分反映的风险，如能源市场中的温度。示例1.5（价格不确定的资产）。二次过滤设置最简单、最具文本性的例子可能如下：假设在过滤概率空间上有一个标准价格过程(Ohm, G、 P），例如BlackScholes或Heston价格模型，并另外假设存在一个中心的（即对P的期望值为Vanishing）一致有界的G-适应过程Z，该过程完全独立于Y，其每次的值都独立于任何时候的分配值，正如建模微结构噪声时通常假设的那样。当然，Z不能有任何合理的路径属性。定义S：=Y+Z，则当在一段时间间隔内观察o时，价格看起来像Y，但转换可能会导致意外。我们的设置允许在极端但现实的情况下获得超级复制结果。2、大型柏拉图式金融市场我们考虑以下连续时间的大型柏拉图式金融市场模型。设I为任意参数空间，可为任意集，可数或不可数。Le t=1表示时间范围，让(Ohm, G、 P）成为过滤G=（Gt）t的可能性空间∈[0,1]。在这个概率空间上，我们给出了一类G-适应随机过程（Sit）t∈[0,1]，i∈ 一、特别是不需要路径属性。

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2022-5-31 19:14:11

在这种情况下，P-almo st肯定是了解G是最大σ-代数的。我们确定，对于每个n≥ 1，I的子集的一个族ANO，它正好包含元素：（2.1）An={所有/一些子集a 一、这样| A |=n}，其中| A |表示集合A的基数。此外，我们假设如果A，A∈序号≥1An，然后A∪ A.∈序号≥1An（重新装修物业）。我们考虑一系列过滤FA=（FAt）t∈[0,1]，索引为∈序号≥1An，均包含在过滤G=（Gt）t中（可能小于）∈上述两种过滤设置7中的[0,1]FTAP。另外，我们假设两个集合A，A∈序号≥1安，例如 A、那个FA FA，即对于每个t，FAt 脂肪 Gt（单调性）。对于每个A∈序号≥1根据小型金融市场中确定时间点的简单策略，我们可以定义以下一组投资组合财富过程a，这些策略可以预测较小的过滤FA=（FAt）t∈[0,1]。Tobe precis e：定义2.1。让t，tl公司∈ [0，1]表示确定性时间点的集合，并考虑由a={α，…，αn}索引的小市场∈ 一D enote FA简单有界过程byHA=lXi=1HAti-1（ti-1，ti]与HAti-1=（Hαti-1.Hαnti-1)∈ FAti-1对于所有i∈ {1，…，l}。然后，从有界、FA简单交易策略中获得的简单投资组合财富过程集定义为asXA={（HA·SA）t∈[0,1]：HARn值，有界，FA simple}，其中SA=（Sα。

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2022-5-31 19:14:15

，Sαn）和（HA·SA）t=nXj=1lXi=1Hαjti-1.∧t（Sαjti∧t型- Sαjti-1.∧t），这意味着交易是以FA可预测的方式进行的。接下来，我们定义了所有投资组合财富流程的集合Xnof，涉及最多包含n项资产（但所有可能的n项资产的不同选择）的简单类别。实际上，对于每个n≥ 1，我们考虑以下集合Xn（2.2）Xn=[A∈AnXA。请注意，集合Xnar既不是凸的，也不满足[11]意义上的串联属性，因为在大多数情况下，组合中可能涉及2n个资产。因此，结果宁愿在更大的集合X2nthan inXn中。定义2.2。我们介绍了（F-simple）投资组合财富过程的凸集、其最终评估和所有超可复制债权的凸锥：（i）定义了在F-simple战略中定义的所有财富过程集，涉及大型金融市场中的有限数量资产，如X=Sn≥1Xn。（ii）我们用K={X:X表示∈ X}T=1时X元素的求值。（iii）我们用C表示大型金融市场中所有超可复制债权的凸锥（用F-简单范畴），即C=K- L+(Ohm, G、 P）。备注2.3。到目前为止，我们的设置不仅是完全通用的，而且非常真实，因为它可以完全捕获介绍中提到的所有预期功能，尤其是延迟交易和市场摩擦。注意，我们不需要为价格过程假设任何路径属性。请注意，上述设置包括以Marzia DeDonno、Paolo Guasoni和Maurizio Pratelli【7】的工作中所述的资产序列为基础的大型金融市场，以及债券市场（具有连续的资产），交易如定义2.1所述。有关光盘使用的更多详细信息，请参阅[6]。8 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichman3。

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2022-5-31 19:14:18

1无渐近Lp免费午餐和FTAPF≤ p<∞ 我们在续集Lp中表示(Ohm, G、 P）=Lp（G，P）。此外，对于某些集合E Lp（G，P）我们用E=Ek·kLp（G，P）表示E的Lp（G，P）-闭包。允许我们在Lp环境中工作的关键假设是：假设3.1，正如Stricker在其著作《单一过滤和小型市场的设置》中所做的那样。对于某些固定p，1≤ p<∞, 我们用ppp表示以下度量集pp={P′~ P |座∈ 所有i的Lp（G，P′）∈ 一、 t型∈ [0 , 1]}.我们假设Pp6= , i、 e.有一个等价的概率测度P′~ 坐下的Psuch∈ Lp（G，P′），对于所有i∈ 一、 t型∈ [0，1]。请注意，在可数资产的情况下，即当i可数时，假设3.1始终满足（对于每个p）。备注3.2。假设3.1可以稍微减弱。假设存在一些P′就足够了~ P使（Siu- Sit）-∈ Lp（G，P′），对于所有i∈ 一、 t型≤ u∈ [0，1]对于某些固定的1≤ p<∞ 当我们只考虑资产中的长期投资时。相应的结果会稍微弱一些，因为我们只能得到一个度量，使得可选的投影是上鞅（而不是假设3.1中的鞅）。我们参考第3.2节了解相应结果。我们现在可以定义无套利的概念，尤其是不应用随机积分，此时，随机积分还不能完全通用。定义3.3。我们认为，如果存在概率测度P′，大型金融市场满足无症状Lp免费午餐（NAFLp）的条件~ 假设3.1中的P如下所示：Cp（P′）∩ Lp+（G，P′）={0}，（3.1），其中Cp（P′）=C∩ 定义2.2（iii）中引入了Lp（G，P′）和C。从【10】中，我们知道，C在处理大量资产和大量交易时间时，在LW关闭。

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2022-5-31 19:14:21

因此，不属于inCp（P′）的元素inCp（P′）必然涉及到所有资产和/或许多交易时间。备注3.4。（i）很明显，Cp（P′）6=, 因为策略是有界的。的确，K Lp（G，P′）及其预测值（P′）=K- Lp+（G，P′）。（ii）也可以考虑设定Cp：=C∩TP′型∈PpLp（G，P′）。自K起TP′型∈PpLp（G，P′），我们与上面的cp相似：=K-\\P′∈PpLp+（G，P′）。对于某些固定的P′，则认为Cp（P′）和cpa的Lp（G，P′）闭包是相同的。实际上，如果闭包中的g是Lp（P′）极限fgn=fn- Hn其中fn∈ Kand hn公司≥ 0我们始终可以选择hn∈L∞+（G）TeP公司∈PpLp+（G，eP）为L∞+（G）是Lp+（G，P′）中的密度e，表示Lp（P′）范数。两个过滤设置9Furthmore e（3.1）中的FTAP等于PLP（G，P′）∩\\eP公司∈PpLp+（G，eP）={0}。（3.2）事实上，假设（3.2）成立，但（3.1）不成立。以上是g∈带G的CpLp（G，P′）≥ 0，g 6=0，这是gn=fn的Lp（P′）极限- hn公司∈TeP公司∈PpLp（G，eP）。那么，显然fgn=gn- （gn）- 1） 1I{gn≥1}∈TeP公司∈PpLp（G，eP），并在Lp（G，P′）中收敛到G∧ 1位于∩eP公司∈PpLp+（G，eP）\\{0}，由此产生矛盾。另一个方向是明确的。下面的例子说明，除了不确定的小金融市场的设置外，选择CP（P′）而不是（NAFLp）的定义是至关重要的。示例3.5。仔细阅读[14]中的示例3.3表明，不可能通过定义（NAFLp）来代替Cp（P′）。事实上，设p=1，并考虑一个单期市场，在时间t=1时，由[14]中示例3.3的随机变量fn给出可数个导数，在时间t=0时，价格为0。同样，我们可以创建一个两过滤设置，在这个大型金融市场中，对冲实际上是买入并持有，而过滤F是微不足道的。在此设置中，K包含fn的所有（有限）线性组合。

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2022-5-31 19:14:24

如[14]所示，我们可以证明gn=Pnk=1fk∈ 对于每个n和P′（gn），Kis以-1为界≥ （1）→ 1.因此▄gn=gn- （gn）- 1） 1I{gn≥1}→ 1在Lby主导的收敛。因此e1∈ C（P′）和（3.1）并不令人满意。然而，类似于[14]中的a s，我们可以证明K∩ L+（G，P′）={0}。备注3.6。我们强调，对于我们的投资组合财富过程，我们不假设任何可容许性，相反，我们假设关于与物理测度P等价的测度P′的Lp可积性。这允许设置[15]。然而，它并不具有各自的无套利条件依赖于P本身的缺点，而只依赖于P的等价nc e类，这是一个可取的特征，尤其是Freddy Delbaen和Walter Schachermayer在[8]中引入的经典NFLVR条件。此外，我们手边不需要一个精确的积分理论，在我们的一般环境中，与[15]的设定相比，这个理论还不可用。立即修复1<q≤ ∞ 对于假设3.1中给出的p，对偶到p，即p+q=1。对于I的所有有限子tsA，我们定义了一组Lq概率度量，其中过程（SAt）相对于过滤Fa的可选投影是鞅，如下所示：Mq={Q~ P | P′∈ Pps。t、 dQdP′∈ Lq（G，P′）和EQ[Sαiu | FAt]=EQ[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α，…，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0, 1 ]}.此外，对于q=1，我们定义了等效概率测度的一组无逻辑集合，而不具有氡Nikodymdensity的qth矩的额外性质，即M={q~ P | EQ[Sαiu | FAt]=EQ[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α。

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2022-5-31 19:14:27

，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0，1]}10 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichmanlet us指出，第2组中过滤减弱的唯一实例实际上是明确发生在上述对1的双重对象MQ1的定义中≤ q≤ ∞.备注3.7。很明显，不凸。对于1<q≤ ∞, 集合mq也是凸的。事实上，为了这个目的，我们考虑以下稍微更一般的说法：对于所有的气<< P带DQIDPI∈ Lq（G，Pi）表示度量Pi~ P，我∈ {1，2}，凸组合Qs：=sQ+（1- s） QsatisfydQsdeP∈ 0的Lq（G，eP）≤ s≤ 1，其中EP=（P+P）。假设1<q<∞, 因为q=∞. Indeedwe haveEeP公司dQideP公司q≤ 第2季度-1EePdQideP公司qdePdPi公司q-1.= 第2季度-1EPidQidPiq< ∞对于i=0，1，自2dePdPi起≥ 1.接下来是三角形不等式。备注3.8。a-bove凸性断言与局部凸向量空间形成为空间Lp（G，P′）的交集有关，其中P′~ P runsover一组受附加约束的概率测度（例如，在我们的例子中，概率测度P′，使得所有价格过程都是P-可积的），具有asa（强）对偶空间，即Lq（g，P′）相对于相同测度族P′的并集。相应的拓扑是射影和内射局部凸拓扑，即初始和最终拓扑使所有c规范映射连续。让我们在X=∩P′∈PpLp（P′）：请注意，PpLp是一个继承其（反射、传递和反对称）关系的有向集。”≤” 从空间Lp（G，P′）的逆包含出发。的确，P′≤^P，如果Lp（G，^P） Lp（G，P′）。对于P′≤^P，考虑Lp中的夹杂物（G，^P）→Lp（G，P′）。那么，X是关于这些映射的射影极限。

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能者818

2022-5-31 19:14:31

X的拓扑现在是X上最粗糙的拓扑，这使得包含ma psx到Lp（G，P′）连续。因此，半径约为0的Lp（G，P′）球与X的交点构成该拓扑的邻域基。Henceany线性泛函l 关于这个拓扑，可以用Pp中的^P扩展一些Lp（G，^P），仅仅是因为开邻域l-1(] - 0的1，1[）包含了L（G，P′）球与X的一些相互作用，l 可以代表l : 十、→ R、 f 7级→Zfgd^Pfor some g∈ Lp（G，^P）。结合这一事实，对于某些^P，所有这种形式的线性泛函∈ P和一些g∈ Lq（G，^P）是对偶的元素，yields断言X的强对偶实际上是[P′∈PLq（G，P′）。强对偶上的强拓扑y只意味着在某些Lq（G，P′）中总是存在收敛。在这种情况下，也可以使用局部凸向量空间≥1\\P′∈PpLp（G，P′）及其自然射影极限拓扑。相应的“无套利”条件是将定义3.3中的固定p替换为“存在一些p”，相应的鞅测度集将为∪q> 1Mq。FTAP在两次过滤设置中11我们现在收集了所有成分，以在当前两次过滤的背景下制定资产定价的基本定理。定理3.9。假设假设假设3.1适用于某些固定1≤ p<∞. 当且仅当Mq6= 式中，q满意度+q=1。证据首先假设（NAFLp）成立。这意味着存在so meP′~ 使（3.1）保持不变。注意，这意味着M=Cp（P′）时附录A.1中的条件（ii）。这又等价于定理A.1中的条件（iii），从而产生一些Z∈ Lq（G，P′）s uch thatZ>0 a.s.和supf∈Cp（P′）EP′[Zf]<∞. 由于Cp（P′）是一个凸锥，这意味着supf∈Cp（P′）EP′[Zf]≤ 0

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可人4

2022-5-31 19:14:34

现在用dqdp′=ZEP′[Z]定义Q。我们有等式[f]≤ 0表示所有f∈Cp（P′）。特别是，±1IB（Sαiu- Sαit）∈ Cp（P′）堡≤ u∈ [0，1]和A={α，…，αl}∈序号≥1 AN，1≤ 我≤ l和B∈ 脂肪因此，我们得到等式[1IB（Sαiu- Sαit）]=0，i=1，l和so（3.3）EQ[SAu | FAt]=EQ[SAt | FAt]几乎可以肯定。这显示了定理的第一个方向。关于另一个方向，让Q∈ Mq。根据Mqthere的定义，一些P′是性别歧视者∈ Ppsuch thatdQdP′∈ Lq（G，P′）。假设（3.1）对这个P′和对偶P没有作用，那么存在f 6=0，f∈Cp（P′）∩ Lp+（G，P′）。定义f=limn→∞fn其中极限为Lp（G，P′），fn=Xn- hn带hn∈ Lp+（G，P′）和Xn∈ K、显然，公式[Xn]=0，因此公式[fn]≤ 对于所有n，fnto f在Lp（G，P′）中的收敛性意味着fnto f收敛于f inL（G，Q），因此方程[f]≤ 这与f相矛盾≥ 0和f 6=0。上述基本定理也可以用以下方式重新表述，表明在一次过滤设置中，当前无套利条件相当于[8]中小型金融市场的NFLVR条件，以及[6]中大型金融市场的NAFLVR条件，当ll Si存在一个不等价的martinga le测度时（例如，如果所有Siare都有界，则为这种情况）。特别注意，上述结果仅取决于P的等效类，而不取决于P本身。推论3.10。条件（NAFLp）适用于约1≤ p<∞ 如果且仅如果M6= .备注3.11。如果M6= 然后总是存在一些q>1，使得Mq6=.实际上，取任意Q∈ 设P′=Q，然后Q∈ M∞asdQdP′=1和allSi∈ L（G，Q）。证据如果（NAFLp）成立，则根据定理3.9，Mq6=. 而且，很明显Mq M、注释3.11后面是反向，因为（NAFL1）适用于Q∈ M3.1。（NAFLp）的等效配方。

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2022-5-31 19:14:37

根据备注3.8的精神，可以通过考虑∩P′∈PpLp（G，P′）。对于集合E∈ ∩P′∈PpLp（G，P′）表示关于该拓扑的闭包∩.推论3.12。以下条件是等效的。（NAFLp）<=>\\P′∈PpCp（P′）∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}<=>\\P′∈PpCp（P′）∩∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}。（3.4）12 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichmanremark 3.13。注意tp′∈PpCp（P′）∩=Cp公司∩其中，在Remark3.4（ii）中引入了Cp。证据事实上，影响（NAFLp）=>\\P′∈PpCp（P′）∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}=>\\P′∈PpCp（P′）∩∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}保持sinceCp（P′）\\P′∈PpCp（P′）\\P′∈PpCp（P′）∩.因为我们可以用∩P′∈（NAFLp）定义中的PpLp+（G，P′）（见备注3.4（ii））。为了证明最后一个条件隐含（NAFLp），我们应用Hahn-Banach定理，在这个局部凸的情况下构造一个元素Q∈ Mq，即一个规范化的、分离的连续线性泛函，它通过穷举参数将P（a）>0的可测集a的特征函数1a映射为正数（与[16，15]中定理a.1的证明相比）。请注意，此处使用的相关事实是∪P′∈PpLq（G，P′）是∩P′∈PpLp（G，P′）如备注3.8所示。度量的存在性∈ mq通过定理3.9表示（NAFLp）成立。双极theo-rem现在允许显示以下集合的相等\\P′∈PpCp（P′）∩=\\P′∈（NAFLp）下的PpCp（P′），得到了一个很好的∩P′∈投影局部凸拓扑中的PpCp（P′）。为此，让我们介绍凸锥E的极锥∈ ∩P′∈PpLp（G，P′）用E表示o:Eo=g级∈[P′”∈PpLq（G，P′）：E【fg】≤ 0，对于所有f∈ E.定理3.14。在（NAFLp）（或（3.4）中的一个等效条件）下，我认为∈PpCp（P′）∩=\\P′∈PpCp（P′）。证据

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能者818

2022-5-31 19:14:40

让我们首先展示一下\\P′∈PpCp（P′）∩|{z}：=Vo=\\P′∈PpCp（P′）{z}：=Wo=[λ≥0λMq∪,其中MQ∪表示关于内射局部凸拓扑的闭包∪P′∈PpLq（G，P′）。首先假设对于某些Q，Z=dQdP′∈Mq公司∪和P′∈ Pp.让f∈ 五、 W。然后是f∈Cp（P′）和等式[f]≤ 0.此显示λ≥0λMq∪五、o, Wo.现在假设Z∈ 五、o, Wo. 像- ∩P′∈PpLp+（G，P′）五、这立即意味着Z≥ 0 a.s.假设P（Z>0）>0和def-nea概率测度Q的非平凡情况<< P′对于某些P′∈ PpviadQdP′=ZEP′[Z]。因此我们得到eq[f]≤ 0表示所有f∈ 五、 W。因为所有人都在∩P′∈PpLp（G，P′）我们知道了，福特≤ u、 ±1IB（Siu- Sit）∈ 五、在适当的配合下，W代表B，所有i∈ 一、这显示了双过滤设置13Q中的SFTAP∈ Mqand证明了上述说法。通过在这个局部凸的情况下应用双极性定理，我们得到了oo= 五、 Woo=W∩.当北极星Vo= Wo它允许V=W∩. 但是自从W V=W∩它允许W=W∩= 五、备注3.15。利用拓扑上更复杂的Lp和Lq空间的相交和并集设置，我们发现（NAFLp）可以通过P′定义∈PpCp（P′）∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}。在有界价格过程的情况下，这已经处于类似于（NFLVR）的“无套利”条件的水平（在一个有很多资产的单一过滤设置中），但是没有（明确的）可接受性，这是一个假设，但由于我们简单的有界交易策略，这是隐含的。3.2。只有长期投资组合和FTAP没有渐近Lpfree午餐。我们现在将使备注3.2的设置精确，并以类似的方式进行。事实上，在本小节中，我们将假设以下内容。假设3.16。我们假设有一个等价的概率测度p′~ P使（Siu- Sit）-∈ Lp（G，P′），对于所有i∈ 一、 t型≤ u∈ [0，1]对于某些固定的1≤ p<∞.

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2022-5-31 19:14:42

我们表示所有测度的集合P′~ P满足Plongp的这一性质。让我们定义所有等效Lq度量的集合，例如每个Siare supermarting ales的可选投影：Sq={Q~ P |P′∈ 扑通一声。t、 dQdP′∈ Lq（G，P′）和EQ【Sαiu | FAt】≤ 公式[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α，…，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0，1]}在定义财富过程XAas的定义2.1中，对于所有setsA，我们现在使用了Hαjti-1.≥ 这意味着我们只允许在所有资产中持有多头头寸。K、Cp（P′）、Cp（P′）和（NAFLp）的相应定义与定义2.2和定义3.3类似。注意，根据假设3.16，很明显Cp（P′）6=. 的确，对于f∈ Kde定义有界非负F-简单被积函数，例如，F∧ 1=f- （f）- 1）1I{f>1}∈ Cp（P′），as，通过被积函数的有界性和假设3.16，我们得到（f∧1)-∈ Lp（G，P′）和定义f∧ 1.≤ 1、定理3.17。假设假设假设3.16适用于某些固定的1≤ p<∞.当且仅当Sq6= 其中qsatis fiesp+q=1。证据假设（NAFLp）成立。我们完全按照定理3.9的步骤进行。但在这个方向的最后一步，我们只得到1IB（Sαiu- Sαit）-∈14 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF TEICHMANNLp（G，P′），这立即意味着（1IB（Sαiu- Sαit））∧ n=1IB（Sαiu- Sαit）- （1IB（Sαiu- Sαit）- n） 1I{1IB（Sαiu-Sαit）>n}∈ Cp（P′），适用于所有n≥ 因此，公式[（1IB（Sαiu- Sαit））∧ n]≤ 0，对于所有n≥ 通过Fatou引理，我们得到等式[1IB（sαiu- Sαit）]≤ 0表示定理的第一个方向。关于另一种情况，让Q∈ Sq.根据Sq的定义，因此存在一些P′∈ Plongpsuch thatdQdP\'∈ Lq（G，P′）。现在假设（3.1）（对于非负策略）不适用于这个P′和对偶P。

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2022-5-31 19:14:46

在orem 3.9的证明中，由于策略的非负性、被积函数的有界性和as Q∈ 我们得到EQ[Xk]≤ 其余部分与定理3.9的证明类似。4、超级复制结果本节专门用于在prese ntLp设置中显示超级复制结果。在本节中，我们假设≤ p<∞,（3.1）对原始测量P有效，我们说（NAFLp）对P有效，对Cp（P）有效。这特别意味着P∈ 让我们还介绍以下度量集Mq=Mq（P）={Q~ P | dQdP∈ Lq（G，P）和EQ[Sαiu | FAt]=EQ[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α，…，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0，1]}，这在我们的超级复制结果中起着关键作用。请注意，Mq=SP′∈PpMq（P′），定理3.9的证明包含以下断言。推论4.1。当且仅当Mq6=.此后，我们确定了措施Q∈ mq及其密度dqdpso，我们可以将mq视为Lq（G，P）的子集。回想一下，mq是Mqin Lq（G，P）的闭包。备注4.2。Mqin Lqjust的闭包由相应的绝对连续度量组成，即Mq={Q<< P、 dQdP∈ Lq（G，P）：EQ[Sαiu | FAt]=EQ[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α，…，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0，1]}（4.1）实际上，取任意Q∈mq和Q′∈ Mq。那么Qn=（1- 2.-nq）Q+2-nqQ′号∈ mq相对于Lq（G，P）-范数收敛到Q。与第3.1节类似，用E表示o凸锥E的极锥Lp（G，P），即o= {g∈ Lq（G，P）：E【fg】≤ 0，对于所有f∈ E} 。与定理3.14的证明类似，我们可以显示以下对偶结果。引理4.3。对于极锥，以下等式成立（Cp）o= （Cp）o=[λ≥0λMq。双过滤设置中的FTAP 15引理证明4.3。对于某些Q，首先假设t Z=dqdpf∈Mq。

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2022-5-31 19:14:49

让f∈ Cp.So f=limn→∞fnin Lp（G，P）和fn∈ Cp.因此等式[fn]≤ 所有n为0，Zfn的L（G，P）-极限为0，因此等式[f]≤ 0.此显示λ≥0λMq （Cp）o. 和c learly（Cp）o （Cp）o.现在假设Z∈ （Cp）o. 像-Lp+（G，P） CPZ这立即意味着≥ 0 a.s.评估P（Z>0）>0的非平凡情况，并确定婴儿期测量值Q<< P viadQdP=ZEP[Z]。因此我们得到等式[f]≤ 0表示所有f∈ Cp和in theLp（G，P）-closureCp。作为Lp（G，P）中的所有Sitare作为P∈ PPT我们有，对于t≤ u、 ±1IB（Siu- Sit）∈ CPB在适当的条件下所有i∈ 一、这表明Q∈Mq。这就完成了证明。我们现在可以证明以下超级复制结果。定理4.4。让f∈ Lp（G，P）。然后是SUPQ∈MqEQ[f]=infx个∈ R | g级∈cpx+g≥ f定理4.4的证明。根据引理4.3，很明显sup≤ inf.现在让x=supQ∈MqEQ[f]，并假设x<inf{x∈ R | g级∈cpx+g≥ f. 然后- x个/∈Cp.因此存在Z∈ Lq（G，P），使supg∈CpE【Zg】≤ 0和[Z（f- x） ]>0。这意味着Z∈ （Cp）oZ 6=0，因此我们可以定义测量值Q∈ MqbydQdP=ZEP[Z]。我们得到x<等式[f]≤ supR公司∈MqER【f】。这意味着inf≤ 辅助。备注4.5。如定理3.14中的证明过程所示\\P′~PpCp（P′）∩o=\\P′~PpCp（P′）o=[λ≥0λMq∪这是真的。回忆一下这里∩和E∪用射影对应内射局部凸拓扑表示集e的闭集∩P′∈分别为PpLp（G，P′）∪P′∈PpLq（G，P′）。这导致了另一个略有不同的超级复制结果，即f∈ ∩P′∈PpLp（G，P′），我们有supq∈MqEQ[f]=infx个∈ R | g级∈\\P′∈带x+g的PpCp（P′）≥ f在第3.2小节的设置中，在较弱的假设3.16下，我们得到了Sq中仅长期策略和度量的分析超级计算结果，定义如下：Sq={Q~ P | dQdP∈ Lq（G，P）和EQ【Sαiu | FAt】≤ 公式[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α。

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2022-5-31 19:14:52

，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0, 1 ]}.定理4.6。让f∈ Lp（G，P）。然后是SUPQ∈SqEQ【f】=infx个∈ R | g级∈Cpfor long only策略，如x+g≥ f.16 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichmanproof。对于Theo rem 4.6的proo f，我们必须通过替换MqbySq来调整引理4.3。在证明中，我们通过被积函数的有界性和as Q得到∈ SqthatEQ[fn]≤ 0表示fn=Xn- HN带fn∈ Lp（G，P），Xn∈ Kand hn公司∈ L+（G，P）。其余部分相同。下一个定理表示可复制claimsminus消费的PAS L极限元素，并进一步阐明了CP∩ -Cp公司吉隆坡∩ Lp（G，P）以及套利价格的适当区间是开放的。这里我们用K的L-闭包来表示。当然，这些考虑几乎是经典的，它们的证明与经典的证明没有太大区别。备注4.7。（i）请注意，CP∩ -Cp公司 K、其中Kis为K.（ii）集Cp的Lp闭包∩-Cpis的双重特征是元素g的集合，使得对于所有Q，eq[g]=0∈Mqby双极性定理。对于（ii），请注意，如果g是inCp∩ -Cp.然后，对于所有Q，明确等式[g]=0∈ Mq。另一方面，假设所有Q的EQ[g]=0∈Mq。然后g和-g在Sλ≥0λMqo=Cp，其中最后一个等式由双极定理成立。定理4.8。假设（NAFLp）适用于P。（i）每克∈Cp可表示为Lp极限g=limn→∞fn公司- hn）=f- h、其中f和h为单位值随机变量，f=limn→∞fn仅作为序列fn概率的极限出现∈ K、和limn→∞hn=h≥ 0再次成为定值非负随机变量hn概率的极限。（ii）让▄g∈ Lp（G，P）。那么▄g是可复制的（可实现的），即▄g- x个∈Cp公司∩ -Cp=\\Q∈MqKL（Q）∩ Lp（G，P）吉隆坡∩ 某些x的Lp（G，P）∈ R、或者至少有两个度量Q，Q′∈ Mqsuchthat EQ【】g】6=EQ‘【】g】。

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mingdashike22

2022-5-31 19:14:56

在第二种情况下，超级复制价格x=supQ∈MqEQ[g]不是通过任何等效度量Q获得的∈ Mq。证据对于第一个断言，取g=limn→∞（gn）-kn），Lp限值，其中gn∈ Kand千牛∈ Lp+（G，P）。根据Komlos定理，我们可以选择元素kn，kn+1。这样hn→ 概率h，其中h≥ 0是一个非必需的定值随机变量。采用具有相同权重的前向凸组合o gn，gn+1。并用fn表示。然后再次fn- hn公司→ g在Lp中。现在取任意Q∈ Mq。那么EQ[fn]=0和byLp（G，P）-收敛，我们有limn→∞均衡器[-hn]=等式[g]>-∞. 作者：Fatou\'sLemma0≤ 等式【h】≤ 画→∞等式【hn】<∞,其中h是有限值以及极限极限→∞fn=f，这仅在L中理解。对于第二个断言，取▄g∈ Lp（G，P）和x∈ R使得g=~g- x个∈Cp公司∩ -Cp.根据备注4.7，对于所有Q，等式【g】=0∈ Mq。与前一步一样，绕过前向凸组合，我们发现两个序列s fn∈ Kand hn公司≥ 0，每个收敛于Lto单位值随机变量，因此fn- hn公司→ gin Lpas n→ ∞. 取任意Q∈ Mq，然后是0≤ 画→∞等式【hn】=-公式[g]=0，在Lp中收敛。因此，实际上h=0。因此g∈吉隆坡∩Lp（G，P）。MoreoverFTAP在两个过滤设置17中，我们有hn→ L（G，Q）中的0和henceEQ[| fn- g |]≤ 等式[| fn- hn公司- g |]+等式[hn]→ 0，表示n→ ∞ 作为fn- hn公司→ Lp（g，P）和hn中的g→ 0英寸L（G，Q）。所以我们有，实际上，g∈TQ公司∈MqKL（Q）。当只有一个元素Q时，此参数也成立∈ mq使得eq[~g]=x，这是最后一个必须开放适当定价区间的断言，而这反过来只出现在不可实现的情况下。最后观察g∈TQ公司∈MqKL（Q）∩对于anyQ，我们有等式【g】=0∈mq，因此g在Cp中∩ -显示两个集合相等的Cp。备注4.9。

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2022-5-31 19:15:00

请注意，在我们的设置中，一个可复制的声明是由K元素的L-limitsof复制的，而不一定是由其Lp限制复制的。这种微妙之处无法消除。下面的示例显示C∩ -C（KL∩ L（G，P）：示例4.10。考虑一个具有可数个衍生品fj的单周期市场≥-时间T=1时为1，j≥ 0，时间t=0时价格为0。为简单起见，假设历史测量值已经满足以下两个条件：oe【fj】=0表示j≥ 0.o序列Fjconverge to-1几乎可以肯定的是，关于P，因此——当然——趋同不在L。在这种情况下，我们可以创建一个两过滤设置，在这个大型金融市场中，对冲实际上是买入和卖出，过滤是重要的。在此设置中，K包含fj的所有（有限）线性组合，其closurein仅包含具有消失期望的元素，然而，即使与Lclosure相交，其Lclosure也包含常数函数-1和1（后者采用-fj公司∈ K）。然而{-1, 1} /∈C∩ -C、 whenceC公司∩ -C（KL∩ 五十、附录A.技术结果如下定理，可追溯到贾安燕[16]关于p=1的定理和托让·帕斯卡·安塞尔关于案例1的定理≤ p<∞ 摘自【15】：定理A.1。设E是Lp（G，P）的凸子集，0∈ E、那么以下三个条件是等价的：（i）对于每个η∈ Lp+（G，P），η6=0，存在一些c>0，使得cη/∈E- Lp+（G，P）。（ii）对于每个A∈ G使得P[A]>0，存在一些c>0使得c1a/∈ E- Lp+（G，P）。（iii）存在随机变量Z∈ Lq（G，P），使得Z>0 a.s.和supy∈EE【ZY】<∞.参考文献【1】B.Acciaio和I.Penner。动态风险度量。《金融高级数学方法》第1-34页。施普林格，海德堡，2011年。[2] N.B–auerle和A.Mundt。将模型模糊性纳入dynamicrisk度量的贝叶斯方法。统计学家。《决定》，26（3）：219–242，2008年。[3] B。

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