关于连续时间停止博弈

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《On a Stopping Game in continuous time》
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作者：
Erhan Bayraktar and Zhou Zhou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We consider a zero-sum continuous time stopping game in which the pay-off is revealed in the maximum of the two stopping times instead of the minimum, which is the case in Dynkin games.
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中文摘要：
我们考虑了一个零和连续时间停止博弈，在这个博弈中，收益是在两个停止时间的最大值中显示的，而不是在Dynkin博弈中的最小值。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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On_a_Stopping_Game_in_continuous_time.pdf
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kedemingshi

2022-5-7 17:32:32

关于连续时间内的一个停站博弈。关于过滤概率空间(Ohm, F、 P，F=（英尺）0≤T≤T），我们认为stopper stopper gamesc:=infρsupτ∈TE[U（ρ（τ），τ）]和C:=supτinfρ∈连续时间中的TE[U（ρ，τ（ρ））]，其中U（s，t）是Fs∨t-可测量（这是我们停止游戏的新特性），t是停止时间集，ρ，τ：t7→ T满足某些非预期条件。通过将这些问题转化为相应的Dynkin对策，我们证明了C=C。1.关于过滤概率空间的介绍(Ohm, F、 P，F=（英尺）0≤T≤T），我们考虑零和最优停止对策c:=infρsupτ∈TE[U（ρ（τ），τ）]和C:=supτinfρ∈连续时间中的TE[U（ρ（τ），τ）]，其中U（s，t）是Fs∨t-可测量，t是停止时间的集合，ρ，τ：t7→ t满足某些非预期条件。为了避免由于某些相关过程（无论是右连续的还是左极限的）路径规则性的变化而产生的技术困难，我们在[3-5]中提出的最佳停止的一般框架内工作。我们将这些问题转化为相应的Dynkin对策，并证明C=C=V，其中Vis是Dynkin对策的值。这个结果将[1]推广到了连续时间的情况，可以看作是[4]中结果的一个应用，它削弱了奖励过程中通常的路径正则性假设。值得注意的是，在[1]中，对C和C分别提出了两种不同类型的非预期条件，否则可能是C 6=C的情况。现在在连续时间的情况下，我们仍然有这个不等式（见备注2.1）。

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mingdashike22

2022-5-7 17:32:35

但是，通过假设U在[5]中所述的预期意义下是正确的，我们能够证明这两种非预期性条件之间没有本质的区别。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将介绍设置和主要结果。在第三节中，我们给出了主要结果的证明。在第4节中，我们简要讨论了最优停止策略的存在性。日期：2018年10月20日2010年数学科目分类。60G40、93E20、91A10、91A60、60G07。关键词和短语。一类新的最优停止对策，非预期停止策略，Dynkin对策，鞍点。这项研究部分得到了国家科学基金会DMS 0955463.2的资助。设置和主要结果(Ohm, F、 F，P）是一个过滤概率空间，其中F=（Ft）0≤T≤这是一种满足通常条件的过滤方法∈ (0, ∞) 连续时间中的时间范围。设tta和Tt+是F-停止时间的集合，分别取[t，t]和（t，t]中的值，t∈ [0，T）.表示TT:=TT+：={T}和dt:=T.当P-空集合外有一个适当的集合时，我们通常会省略“a.s.”.重新定义可容许的随机变量族，例如[5]。定义2.1。族{X（σ），σ∈ T}是可容许的，如果对于所有σ∈ T，X（σ）是一个有界的fσ-可测随机变量，对于所有σ，σ∈ T，X（σ）=X（σ）在{σ=σ}上。定义2.2。族{Y（ρ，τ），ρ，τ∈ 如果对于所有ρ，τ，T}是双容许的∈ T，Y（ρ，τ）是anFρ∨τ-可测有界随机变量，对于所有ρ，ρ，τ，τ∈ T，Y（ρ，τ）=Y（ρ，τ）在{ρ=ρ}∩ {τ= τ}.让我们回顾一下[1]中定义的两种停止策略。定义2.3。ρ是一种类型I（和II）的停止策略，如果ρ：t7→ 满足I型（和II型）的“非对抗性”条件，即对于任何σ，σ∈ T，它持有a.s。

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何人来此

2022-5-7 17:32:38

ρ（σ）=ρ（σ）≤ （分别<）σ∧ σ或ρ（σ）∧ ρ（σ）>（分别为。≥) σ∧ σ. （2.1）用Ti（分别为Tii）表示类型I（分别为II）的停止策略集。下面是I型（但不是II型）非预期停止策略的一个有趣特性。提议2.1。对于任何ρ∈ Ti，ρ（ρ（T））=ρ（T）。证据因为ρ（ρ（T））∧ ρ（T）≤ ρ（T）=ρ（T）∧ T、通过（2.1）我们得到ρ（ρ（T））=ρ（T）≤ ρ（T）∧ T设{U（ρ，τ），ρ，τ∈ 可能是一个不允许的家庭。考虑最优停止博弈a:=infρ∈Tisupτ∈TE[U（ρ（τ），τ）]和A:=supτ∈Tiinfρ∈TE[U（ρ，τ（ρ））]。andB:=infρ∈Tiisupτ∈TE[U（ρ（τ），τ）]和B:=supτ∈Tiiinfρ∈TE[U（ρ，τ（ρ））]。我们将把这些问题转化为相应的Dynkin游戏。为了做到这一点，让我们介绍两组随机变量，它们将代表Dynkin博弈中的收益。V（τ）：=ess infρ∈TτEτ[U（ρ，τ）]，τ∈ T（2.2）和v（ρ）：=ess supτ∈TρEρ[U（ρ，τ）]，ρ∈ T，（2.3）式中Et[·]=E[·| Ft]。观察v（σ）≤ U（σ，σ）≤ V（σ），σ∈ T定义游戏中相应的Dynk如下：V:=infρ∈Tsupτ∈TEV（τ）1{τ≤ρ} +V（ρ）1{τ>ρ}, （2.4）V:=supτ∈Tinfρ∈TEV（τ）1{τ≤ρ} +V（ρ）1{τ>ρ}. （2.5）回忆一下[5]中定义的停车时间内的（均匀）正确连续性。定义2.4。容许族{X（σ），σ∈ T}被称为沿期望停止时间（RCE）的右连续，如果对于任何σ∈ T和任意（σn）n 带σnσ的T，单相[X（σ）]=limn→∞E[X（σn）]。定义2.5。双容许族{Y（ρ，τ），ρ，τ∈ 如果supρ，τ，则T}称为沿期望停止时间（URCE）一致正确连续∈TE[Y（ρ，τ）]<∞ 如果对于任何ρ，τ∈ T和任意（ρn）n，（τn）n 带ρnρ和τnτ的T，一个haslimn→∞supρ∈T | E[Y（ρ，τ）- Y（ρ，τn）]|=0和limn→∞supτ∈T | E[Y（ρ，τ）- Y（ρn，τ）]|=0。以下是本文的主要结果。定理2.1。

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大多数88

2022-5-7 17:32:42

假设双容许族{U（ρ，τ），ρ，τ∈ T}是资源。我们有A=A=B=B=V=V。备注2.1。如果没有U的正确连续性假设，A=A或B=B可能会失败，即使对于U的一些自然选择也是如此。设U（s，t）=| f（s）- f（t）|，其中f（t）=（0,0≤ T≤ T/2,1，T/2<T≤ 然后，与A，A，B，B相关的问题变得确定。让我们首先证明A=1。取ρ∈ Ti。如果ρ（T）≤ T/2，然后取τ=T，我们得到a=1。否则ρ（T）>T/2，取τ=T/2；然后根据非预期条件（2.1），我们得到ρ（T/2）∧ ρ（T）>（T/2）∧ T=T/2，这意味着A=1。接下来，考虑任意τ的A∈ Ti，由位置2.1τ（τ（T））=τ（T）。那么让ρ=τ（T）我们得到A=0。因此，a6=A。现在通过取ρ（τ）=τ，我们得到B=0。让我们考虑B.让τ∈ 定义为τ（ρ）=（T，0≤ ρ ≤ T/2，T/2，T/2<ρ≤ 那么对于任何ρ∈ T，U（ρ，τ（ρ））=1，因此B=1。因此，b6=B.2.1。你成为资源的充分条件。设W[0，T]×0，T]×R×r7→ rbeb（[0，T]） B（[0，T]） B（R） B（R）-可测量。假设W满足Lipschitz条件，即存在一些L∈ (0, ∞) 使得| W（s，t，x，y）- W（s，t，x，y）|≤ L（| s）- s |+| t- t |+| x- x |+| y- y |）。设f=（ft）0≤T≤Tand g=（gt）0≤T≤两个边界和右连续的F-逐步可测量过程。提议2.2。族{U（ρ，τ）：=W（ρ，τ，fρ，gτ），ρ，τ∈ T}是双容许的，并且是双源的。证据双允许性很容易检查。让我们检查一下数据来源：对于任何ρ，τ∈ T和任意（τn）n 对于τnτ，我们得到了这个极限→∞supρ∈T | E[U（ρ，τ）- U（ρ，τn）]≤ 林→∞E[|τ- τn |+|fτ- fτn |]=0。2.2. 申请书。设U（t，s）=U（ft- gs），w在这里U:R 7→ R是一个效用函数，f和G是两个右连续的渐进可测过程。

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可人4

2022-5-7 17:32:45

考虑者B:=supρ∈Tiiinfτ∈TE[U（ρ（τ），τ）]。这个问题可以解释为一个投资者看多美式期权f而看空美式期权g的问题，其目标是根据g持有人的止损行为选择一个最优止损策略，以使效用最大化。这里我们假设f和g的到期日相同（即T）。这不失普遍性。事实上，例如，如果f的性质是^t<t，那么我们可以定义t的f（t）=f（^t）∈ 定理2.1的证明我们将只证明a=V=V，我们在这一节中提供的证明也适用于a，B和B。通过这一节，我们假设双容许族{U（ρ，τ），ρ，τ∈ T}是资源。引理3.1。V=V。证据[5]中下面（2.2）的论点说明{V（τ），τ∈ T}和{V（ρ），ρ∈ 这是不允许的。根据[5，定理2.2]，Vand Vare RCE，因为U被假定为URCE。然后通过[4，定理3.6]我们得到了V=V。提议3.1。如果我们替换{τ，V和V的值不变≤ ρ} （2.4）和（2.5）中的{τ>ρ}与{τ<ρ}和{τ≥ ρ} 分别。证据定义：=infρ∈Tsupτ∈TEV（τ）1{τ<ρ}+V（ρ）1{τ≥ρ},V:=supτ∈Tinfρ∈TEV（τ）1{τ<ρ}+V（ρ）1{τ≥ρ}.因为U是源，所以[5，定理2.2]和[4，定理3.6]的族Vand Vare RCE可以应用于具有值函数V和V的Dynkin对策，以及具有值函数的Dynkin对策-V和-V.现在通过构造（见[4]），家庭J和J\'与游戏中的Dynk关联(-五、-五）满足J=J′和J′=J，其中J和J′是满足J（σ）=ess supτ的两个非负超鞅族∈TσEσ[J′（τ）+V（τ）]，J′（σ）=ess s upρ∈TσEσ[J（ρ）- V（ρ）]；下面是V=V=J（0）- J′（0）=V=V。引理3.2。对于任何>0和τ∈ T，存在ρτ∈ Tτ+，使得E | Eτ[U（ρτ，τ）]- V（τ）|<。类似的结果也适用于V.Proof。

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大多数88

2022-5-7 17:32:50

首先让我们证明v（τ）=ess infρ∈Tτ+Eτ[U（ρ，τ）]。（3.1）固定τ∈ T定义每个停止时间S byUτ（S）的值函数：=ess infρ∈TSES[U（ρ，τ）]。f族{Uτ（S），S∈ T}显然是RCE。通过[3，命题1.15]，我们得到了uτ（S）=ess infρ∈TS+ES[U（ρ，τ）]。取上面的S=τ，由于V（τ）=Uτ（τ），我们得到（3.1）。接下来，fixτ∈ T因为族{Eτ[U（ρ，τ）]：ρ∈ Tτ+}在两两极小化下是封闭的，例如[2，定理A.3]，存在（ρn）∈ Tτ+使limn→∞Eτ[U（ρn，τ）]=ess infρ∈Tτ+Eτ[U（ρ，τ）]=V（τ）。因为U和V（τ）是有界的，所以我们得到了limn→∞E | Eτ[U（ρn，τ）]- V（τ）|=0，这意味着结果。引理3.3。A.≤ 五、证据以>0为例。让我们来看看∈ T是V的-优化器，即supτ∈TE{ρ≤τ}V（ρ）+1{ρ>τ}V（τ）<V+。对于任何τ∈ 根据引理3.2，存在ρ（τ）∈ Tτ+使得E|Eτ[U（ρ（τ），τ）- V（τ）|<。定义ρ为ρ（τ）：=ρ{τ≥ρ}+ ρ(τ)1{τ<ρ}, τ ∈ T（3.2）让我们证明ρ在Ti中。首先，对于任意τ∈ T，ρ（τ）∈ 从那以后就没有了∈ [0，T]，{ρ（τ）≤ t} =（{τ）≥ ρ} ∩ {ρ≤ t} )∪{τ < ρ} ∩ {ρ(τ) ≤ t}= ({τ ≥ ρ} ∩ {ρ≤ t} )∪{τ < ρ} ∩ {τ ≤ t}∩ {ρ(τ) ≤ t}∈ Ft.然后让我们证明ρ满足（2.1）中类型I的非预期条件。取τ，τ∈ T关于{ρ（τ）≤ τ∧ τ≤ τ} ，如果τ<ρ≤ T，那么ρ（τ）=ρ（τ）>τ，矛盾。因此τ≥ ρ，因此ρ（τ）=ρ≤ τ∧ τ≤ τ、这意味着ρ（τ）=ρ=ρ（τ）≤ τ∧ τ.关于{ρ（τ）>τ∧ τ} ，如果ρ（τ）≤ τ∧ τ然后我们可以使用前面的参数得到ρ（τ）=ρ（τ）≤ τ∧ τ是矛盾的，因此ρ（τ）>τ∧ τ.我们有一个≤ supτ∈TE[U（ρ（τ），τ）]=supτ∈TEU（ρ，τ）1{ρ≤τ}+U（ρ（τ），τ）1{ρ>τ}= supτ∈TE{ρ≤τ}Eρ[U（ρ，τ）]+1{ρ>τ}Eτ[U（ρ（τ），τ）≤ supτ∈TE{ρ≤τ}V（ρ）+1{ρ>τ}V（τ）+ ≤V+2。备注3.1。

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大多数88

2022-5-7 17:32:53

一旦我们展示定理2.1，我们可以看到ρ∈ 钛（3.2）中定义的是a2优化器forA和B.引理3.4。A.≥ 五、证据修正>0。让我们来看看∈ 对于任何ρ，都不能成为V的-优化器∈ 根据引理3.2，存在τ（ρ）∈ Tρ+使得E | Eτ[U（ρ，τ（ρ））- V（ρ）|<对于任何ρ∈ Ti，定义τρ为τρ：=τ{τ≤ρρρ(τ)}+ τ(ρρρ(τ))1{τ>ρρρ(τ)}.使用类似于引理3.3的证明，我们可以证明τ是一个停止时间。自从Ti 为了让我们的证明也适用于B，我们只对（2.1）中的ρ使用类型II的非对抗性条件，尽管ρ∈ Ti。通过（2.1）w.r.t.类型II，它持有A。s、 ρ（τρ）=ρ（τ）<τ∧ τρ或ρ（τρ）∧ ρρρ(τ) ≥ τ∧ τρρρ.因此，关于{τ≤ ρ（τ）}，我们有ρ（τρ）≥ τ∧ τρ=τ=τρ，在{τ>ρ（τ）}上，我们有τρ=τε（ρ（τ））>ρ（τ）==> ρρρ(τ) < τρρρ∧ τ==> ρρρ(τ) = ρρρ(τρρρ).现在我们有了supτ∈TE[U（ρ（τ），τ））]≥ E[U（ρ（τρ），τρ）]=EU（ρ（τρ），τρ）1{τ≤ρ（τ）}+U（ρ（τρ），τρ）1{τ>ρ（τ）}= EU（ρ（τρ），τ）1{τ≤ρρ（τ）}+U（ρρ（τ），τ（ρρ（τ）））1{τ>ρρ（τ）}= E{τ≤ρρ（τ）}Eτ[U（ρρ（τρ），τ）]+1{τ>ρρ（τ）}Eρρ（τ）[U（ρρρ（τ），τ（τρ））]≥ E{τ≤ρ（τ）}V（τ）+1{τ>ρ（τ）}V（ρ（τ））- ≥ infρ∈TE{τ≤ρ} V（τ）+1{τ>ρ}V（ρ）- ≥ 五、- 2，其中第五个不等式源自Vin（2.2）的定义和ρ（τρ）的事实≥ 关于{τ≤ ρρρ(τ)}. 利用ρ的任意性∈ 蒂安，结论如下。定理2.1的证明。这源于Lemm as 3.1、3.3和D3.4。4.最优停止策略的存在性如果我们对U加上强左连续性假设（参见[3–5]），我们将得到B和B的最优停止策略的存在性。

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kedemingshi

2022-5-7 17:32:57

例如，让我们考虑B。实际上，U的左右连续性意味着Vand V所需的左右连续性，以及最佳停止时间ρ（τ）的存在∈ Tτ表示V（τ）。Vand Vwould的连续性进一步暗示了最优停止时间ρforV的存在（见[4]）。然后定义ρ（τ）：=ρ{τ≥ρ}+ ρ(τ)1{τ<ρ}, τ ∈ T根据引理3.3的证明，可以证明ρ∈ 这是我的最佳选择。需要注意的是，在这种情况下，ρ可能不在TIA中，与（3.2）中的ρ定义相反，这是因为在这里，{τ<T}上的ρ（τ）=τ是可能的。另一方面，即使U是正则的，A和A的最优停止策略的存在通常也可能失败。例如，让U（s，t）=s- t |。通过取ρ（τ）=τ，我们得到B=0，它等于A乘以2.1。现在假设存在一些最优^ρ∈ t对于A.即supτ|^ρ（τ）- τ|=A=0。对于任何τ，我们都有ρ（τ）=τ∈ [0，T]，它与I型的非预期条件相矛盾，在（2.1）中让σ6=σ。参考文献[1]E.Bayraktar和Z.Zhou，关于零和最优停止博弈（2014）。预印本，arXiv:1408.3692。[2] I.Karatzas和S.E.Shreve，《数学金融方法》，数学应用（纽约）第39卷，斯普林格·维拉格，纽约，1998年。[3] M.Kobylanski和M.-C.Quenez，一般框架下的最优停止时间问题，电子。J.Probab。，17（2012），第72、28页。[4] M.Kobylanski，M.-C.Quenez和M.R.de Campagnolle，《一般框架下的Dynkin博弈》，随机学，86（2014），pp。304–329.[5] M.Kobylanski，M.-C.Quenez和E.Rouy Mironescu，最优多重停车时间问题，安。阿普尔。Probab。，21（2011），第1365-1399页。密歇根大学数学系邮箱：erhan@umich.eduDepartment密歇根大学数学系邮箱地址：zhouzhou@umich.edu

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