一种新的从业者模型风险量化方法

2022-5-31 19:18:46

引言模型对现实的映射进行了重新简化，以达到特定目的，旨在将数学、金融和经济理论应用于可用数据。他们故意关注现实的特定方面，贬低或忽略其他方面。在处理amodel及其输出时，理解基本假设的能力和局限性是关键。根据【8】模式，l风险定义为“[…]基于错误或误用的模型输出和报告的决策可能产生不利后果。模型风险可能导致财务损失、糟糕的业务和战略决策，然后，美联储确定了模型风险的两个主要原因（不当使用和基本精神错误）。此外，他们指出，模型风险的管理和处理应与其他风险类型具有相同的严重性，并且应确定模型风险的来源并评估其规模。美联储还强调，专家建模、稳健模型验证和适当调整的方法是模型风险缓和的必要因素，尽管它们并不充分，不应被用作不改进模型的借口。尽管对模型风险的认识不断提高，对其重大影响的认识不断加深，但对于其确切的定义、管理和量化，并没有全球范围内的行业和市场标准，即使监管机构要求进行适当的模型风险管理。在财务文献中，一些作者将模型风险定义为风险因素分布的不确定性（[10]）、基础模型的不确定性（[7]）、模型与“真实”动态过程的偏差（[4]）、以及*相应的AuthorEmail地址：zkrajcov@udc.es（Z。

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2022-5-31 19:18:49

Krajˇcoviˇcová*）提交给Elsevierdiscrepancy的预印本与基准k模型相关（[12]），以及由于估算错误和使用错误模型导致的风险预测不准确（[3]）。模型风险之前已在所有资产类别中进行了分类，利率产品和信贷产品见【16】，【6】投资组合应用，【19】资产支持证券，以及【3】与衡量市场风险的关系。质量是模型风险管理的重要组成部分，需要对模型的弱点和局限性进行一致的管理和有效的沟通，以供决策者和用户使用，并评估组织整体状况中的模型风险。模型风险的量化应考虑数学技术选择产生的不确定性（例如，专注于正态分布，因此不考虑其他分布族）、校准方法（例如，不同的优化算法可能产生不同的参数值），以及样本数据的限制（例如，稀疏或不完整的数据库）。模型风险量化带来了许多挑战，这些挑战来自模型的高度多样性、广泛的技术、模型的不同使用等。一些模型输出驱动决策；其他模型输出提供管理信息的一个来源，一些输出进一步用作其他模型的输入。此外，专家判断可能会完全覆盖模型输出。更不用说，为了量化modelrisk，您需要另一个模型，它同样容易产生模型风险。模型风险量化的最相关分析领域是：数据和校准、模型基础、模型绩效、IT基础结构、模型使用、控制和治理以及模型敏感性。

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大多数88

2022-5-31 19:18:52

由于逻辑假设不正确、模型错误或变量遗漏导致的理论基础和概念设计错误，模型可能存在根本错误。数据质量问题、样本量不足和过时的数据导致模型性能问题，如模型预测中的不稳定性、不准确或偏差。模型风险还源于对模型使用的充分控制。有缺陷的测试程序或未能进行一致和全面的用户验收测试可能会导致材料模型风险。仅举几个例子。本文的重点是在微分几何（[17]）和信息论（[1]）的框架内开发一种新的量化模型风险的方法。在这项工作中，我们在统计模型上引入了模型风险的度量，其中模型由概率分布函数表示。模型之间的差异由Fisher–Rao度量下的测地距离决定。该度量使我们能够利用密度倍数的内在结构，并尊重我们正在研究的空间的度量，即它解释了底层空间的非线性。本文的其余部分结构如下。在第二节中，我们总结了里姆·安尼安几何的基本事实，并介绍了本文中使用的术语。第3节介绍了建模过程步骤和我们提出的模型风险量化方法的一般描述，然后详细讨论了主要量化步骤。第4至6节描述了包含模型物质变化的邻域的构造，以及权重函数的定义和构造。第7节定义并解释了模型风险度量。

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2022-5-31 19:18:55

第8节提供了一些最终结论和未来工作的方向，最后，附录包含了主要结果的证明。黎曼几何背景本节介绍了本文其余部分的必要符号。详细信息可在【1】或【17】中的其他标准参考中找到。M是一个紧连通的无边界流形，具有黎曼度量<·、·>和Ariemanian连接▽, 使用TpM时，p处的切线空间∈ M、 p，q之间的距离d∈ M由byd（p，q）给出：=infγZba | |γ′（t）| | dt，其中γ范围在所有可微路径sω上：[a，b]→ 满足γ（a）=p和γ（b）=q和| |γ′的M||=γ′, γ′.（M，d）是度量空间。黎曼度量与每个po int p相关联∈ 我是TpM的内部产品。黎曼流形M上的一个自然度量是Fisher-Rao信息度量（[18]）Iij（p）=gij（p）=Eh 对数（p）xi 对数（p）xji=Zp 对数（p）xi 对数（p）xjdx（1）det I（p）表示样本点在估计参数x的问题上传递的信息量，因此I（p）可用于确定分布之间的差异。在平方根表示下，Fisher-Rao度量成为标准度量，概率密度函数的空间成为L（[14]）中单位超球的正正角。平方根映射定义为连续映射φ：M→ ψwher eψ是包含所有可能密度函数的正平方根的空间。利用该映射，我们将概率密度函数的平方根变换定义为φ（p）=ψ=√p： ψ=nψ（x）ZX |ψ（s）| ds=1，sψ（s）≥ 0，x∈ Xo，其中X是样本空间。在这种情况下，带有对称内积gij的关联d natura l Hilbert空间H引入了一个球面几何，即集水坑(√p）等于单位（[14]）。

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2022-5-31 19:18:58

如果密度函数通过一组参数θ=（θ，…，θn）对d进行参数化，那么对于θiwe的每个值，在单位球体S上有一个对应的点，在H中。在此设置中，测地线以闭合形式可用，因此可以快速准确地计算。对于任意两个切线向量v，v∈ Tψψ，Fisher–Rao度量由下式给出v、五=ZRv（s）v（s）ds=*{p（·，θ）}1/2θi，{p（·，θ）}1/2θj+=gij（2）球面上v方向上的测地线和给定的两个点ψ，ψ属于球面的距离由γ（t）=cos（t | v |ψ）ψ+sin（t | v |）v | v | d（ψ，ψ）=cos给出-1个(ψ, ψ)由于M的紧性意味着测地完备性（[5]），因此每个p都存在∈ M和v∈ TpM anunique测地线γ：R→ M满足γ（0）=p和γ′（0）=v。此外，Ho-pf–Rinow定理（[11]）确保任意两点p，q∈ M可以由长度等于点之间距离d（p，q）的最小测地线连接。通过测地线γ，在e上可以定义指数映射表达式：TpM→ M byexpptv：=γ（t），t型∈ Rv∈ M、平方根变换的指数图（[13]）的形式为expψitv：=co s||tv | |ψiψi+sin||tv | |ψitv | | tv | |ψi，其中v∈ Tψi（ψ）。exp给出的ψitoψjis的逆指数映射-1ψi（ψj）：=d（ψ，ψ）sin（d（ψ，ψ））ψj- c os（d（ψ，ψ））ψi. （3）开放集U M被称为p的正常邻域∈ U、如果将TpM原点的邻域V上的微分同胚展开到U上，则V使tv∈ V代表0≤ t型≤ 1，如果v∈ 五、3、建模过程步骤和模型风险量化模型风险有不同的类型和方面，容易重叠、共同发生或共同变化。在此背景下，我们提出了四个粗略的模型创建步骤：数据采集、校准、模型选择和测试以及实现和使用。

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2022-5-31 19:19:02

这可能以迭代的方式发生，但它们会导致一般的线性流，最终以机构使用（实施和维护）来指导决策（通常编码到IT系统中）。其中任何一个领域的局限性都会削弱对模型结果的依赖。1、数据是指对建模目的的定义、建模范围的规定、人力和财政资源、数据的规定以及其他先验知识、其解释和准备。数据可从内部和外部来源获得，并通过清洁和整形进一步准备。模型风险可能来自质量和可用性方面的数据不足，其中包括数据定义错误、样本不足、代理不准确、对专家判断的敏感性或误解。校准包括变量类型及其处理性质的选择、自由参数的调整以及系统组件和过程之间的链接。由于简化、近似、错误的假设、不适当的校准、子集的错误选择、错误的不稳定估计或市场基准、计算或算法限制或使用不可观测的参数，可能会出现估计不确定性。模型选择和测试涉及评估性能标准和技术的选择，模型结构和参数的确定，这通常是一个迭代过程，其基本目标是平衡对系统变量的敏感性和表示的复杂性。此外，它还与条件验证有关，包括测试数据变化的敏感性以及与初始假设可能存在的偏差。

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2022-5-31 19:19:06

在此步骤中，模型风险源于，例如，建模假设不充分和不正确，由于参数偏差、模型不稳定或模型错误而过时的模型。实施和使用是指将模型部署到生产中，然后进行定期维护和监控。这一步骤中模型风险的来源包括将模型用于非预期目的、重新校准的运气、IT故障、建模者和用户之间沟通的运气、理解模型限制的运气。从最佳实践的角度来看，模型风险的量化应该是准确可靠的，不需要重新构建或构建模型，不需要参考特定的结构和方法，也不需要进行优先级分析（对不重要的转移立即进行担保）。微分几何和信息论为苏禅的研究提供了基础。在这个框架中，模型由一个特定的概率分布p:X表示→ 属于概率度量M集合的R+，称为统计流形，可用于建模。流形M可以进一步配备信息理论几何结构，该结构允许我们量化概率分布函数（模型）之间的变化和差异。可通过参数空间Θ，M={p（x；θ）：θ，以规范的方式进一步参数化可能的概率度量集∈ Θ}. 这个集合形成了一个光滑的黎曼m a nifold m。每个分布都是这个空间中的一个点，通过改变模型的参数p∈ M、产生了一个超曲面（分布的参数族），其中相似的分布映射到附近的点。

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2022-5-31 19:19:09

自然黎曼度量显示为Fisher-Rao度量（[18]），这是统计流形上唯一的内在度量。它是唯一在重参数化下不变的度量。让我们考虑一个给定的模型pwhich，它可以使用样本空间X上的向量θ=（θ，…，θn）唯一地参数化，并且可以用概率分布p=p（X；θ）来描述。这个概率分布属于一组分布M={p（x；θ）：θ∈ Θ Rn}，形成模型流形。我们假设每个h x∈ X函数θ7→ p（x；θ）是C∞. 因此，M形成了一个可微流形，我们可以用流形上的点来识别族中的模型。选择特定模式l与选择参数设置θ相同∈ Θ.为了帮助确定想法，我们介绍了一个简单的示例，并在本文中进一步发展。让Xdenote在两年时间范围内（520天）计算损益向量，用于计算风险值（VaR）。VaR源自组合层面上作为分位数损失的损益分布，由P（X）定义≤ V aR）=1- β、其中β是设定为99.9%的置信水平。假设给定的n模型认为X是正态分布的p=n（u，σ），参数u=2，σ=10，一旦校准。该模型属于正态分布族，正态分布族形成可微流形M={p（x；u，σ）：u∈ R、 σ>0}，其中u是平均值，σ是标准偏差。

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2022-5-31 19:19:14

每一点p∈ M对应于正态分布p（x，θ），θ=（u，σ）。在由二维空间参数化的单变量正态分布情况下，θ=（u，σ），由2定义的黎曼矩阵由i=【Iij（u，σ）】给出=σσ=0.01 00 0.02.我们将给定模型的模型风险定义为p周围开放社区的规模，该社区包含相互作用模型，从某种意义上讲，这些模型与（缺失的）属性的相关性和模型的局限性并不太大。然后，针对该邻域内的所有模型测量模型风险，作为加权黎曼流形上输出差的适当函数的范数，该流形具有Fisher–Rao度量和Levi–Civita连接。分析包括五个步骤：1。将模型流形嵌入到考虑给定模型p.2中缺失属性的流形中。围绕给定模型选择适当的邻域。3、选择适当的权重函数，为邻域内的不同模型分配相对相关性。4、通过相应的范数计算模型r isk对邻域内所有模型的度量。5、关于模型风险量化具体用途的度量解释。每一步都解决并调整了模型的不同限制以及与模型相关的各个领域中的不确定性。在以下部分中，我们将进一步开发se步骤并描述其背后的直觉。模型周围的邻域回想一下，给定的模型pbelongs到一个n维流形M，其中每个维代表p中继承的不同信息片段。

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2022-5-31 19:19:17

为了考虑缺失属性、数据和校准周围的不确定性、关于模型局限性的额外信息或潜在假设，我们可能需要将新维度与M相邻，因此，考虑嵌入M的高维空间。在点p处的切线空间TpM的帮助下，确定pwe周围的适当邻域。TpM是一个向量空间，描述了一阶近似、点p处流形上的微小位移或变形。从v视图的实际点来看，并非所有扰动都相关，因此，考虑到模型的预期目的、用途、业务和市场的重要性，我们只考虑切线束的一小部分。让你成为某个普通社区周围的电视台，这样你：={tv∈ 五、 TpM：0<t≤ α（v），v∈ S（p，1）和法向坐标定义为}，其中S（p，1）={v∈ TpM，| | v | |=1}是TpM上的单位球体。邻域U包括模型pup到特定水平α（v）的所有相关扰动的方向。α（v）级取决于切向量，因为我们对pmight的不确定度在正则参数空间上不是常数；例如，我们可以在分布的尾部假设更多的不确定性。我们可以解释α（v）作为控制模型p选择不确定性的一种手段，并且它是基于模型的使用而适当选择的。α（v）级也可能取决于不确定度。Levi–Civita连接将在一个点定义的切向量平行传输到另一个点，并与黎曼度量（[1]）产生的几何体兼容。

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2022-5-31 19:19:21

此外，对于这种连接选择，最短路径是测地线。或者，在许多其他情况下，无法对未进行适当建模且未达成共识的特性进行充分校准。例如数据、校准、模型选择、模型性能、模型敏感性和场景分析，最重要的是现代数据的使用和校准。由于U是p周围正态邻域的子集，指数映射是很好的定义，我们可以构造一组与p接近的相应模型：U：=表达式（U）={p∈ M:d（p，p）≤ α（v）}，从现在开始，我们需要边界U={α（v）v | v∈ S（p，1）}是连续的和分段正则的。此外，U应为关于P的星形集合，定义如下：定义1。黎曼流形M的一个紧致子集U称为星形，并从p到R∈ U如果p∈ U、 p 6=p存在一个最小测地线γ，γ（0）=pandγ（Tp）=p，使得γ（t）∈ U代表所有∈ [0，Tp]，其中Tp>0。此设置中指数图的一个优点是，我们可以避免校准U侧的不同替代模型。对于每个单位向量v∈ U与点p的边界上存在唯一的测地线连接点。该测地线由t的γ（t）=expp（tv）给出∈ [0，α（v）]。举例说明模型适合预期目的是模型风险分析的关键部分。我们想评估放松对潜在损益分布对称性假设的影响，即不在模型中包含偏差的影响。因此，我们将模型流形M嵌入到斜正态分布的更大流形中，\'M={p（x；u，σ，s）：u∈ R、 σ>0，s∈ R} ，其中s是形状参数（[2]）。注意，对于s=0，我们–获得初始正态分布N（u，σ）。

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2022-5-31 19:19:25

斜正态分布族考虑了斜态性。在考虑各种时间窗口、数据序列、拟合和估计后，我们确定模型的邻域是连接基本模型的测地线，p=N（2，10）=SN（2，10，0），以及斜态-正态分布，p=SN（u，σ，s），参数u=1.95，σ=9.98，s=2。这两种分布之间的测地距离为d(√p√p） =0.6809。为了形成邻域，我们首先构造与边界点方向相关的扰动切线向量，√p、使用vp=exp定义的逆指数图-1.√p√p=h0.6809sin（0.6809））√p- c操作系统0.6809)√p它提供了初始模型的一类变化，即在确定整个邻域的方向Vp上移动fr，由U={γ（t）=（exp√p（tvp））；t型∈ 有边界的[0，1]}U={p}和U={p}因此，通过将t从0变为1，可以从ptop追踪测地路径，我们得到了p方向上的一组所有分布。周围的邻域U包含了t在测地e sicγ上的所有分布∈ [0，1]。5、所选模型的权重函数定义变化并非同等重要，它们都可能以不同的概率发生。通过在集合U上放置一个非直线ar权重函数（核），K，我们可以很容易地将相对相关性放置到每个备选模型上，并分配基本假设的可信度，这些假设将使备选模型部分或相对优于标称模型p。核结构的特殊选择取决于各种因素，例如模型的使用，与p的距离，或对不同变化的敏感性。在下面的内容中，我们定义了一个一般的权重函数K，并表明在某些条件下，它是定义良好且唯一的。

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nandehutu2022

2022-5-31 19:19:28

一般来说，我们认为K是一个非负的连续函数，它依赖于M的局部几何结构，通过结合与由dv（p）=pdet（I（θ））dθ给出的Fisher-Rao信息度量相关的黎曼体积。体积测量是m（[9]）上唯一的Borel测量。对于坐标系，p的信息密度表示单个模型所拥有的信息量以及相应的参数。例如，一个小的dv（p）意味着模型包含大量的不确定性，需要进行多次观察才能学习。由于影响给定模型突变的潜在因素具有一定的可能性，我们将m内的所有模型视为随机对象。作为一个推论，我们要求K是一个概率密度，对应于热力学体积，即RMKdv（p）=1。此外，我们声明，不存在正确的模型，PWA的选择在某种程度上是一种主观偏好。定义2。定义在M上的容许权函数K满足以下性质：（K1′）K在M（K2′）K上是连续的≥ 0表示所有p∈ M（K3）RMKdv（p）=1为了计算以M为单位的对象的n维体积，可以考虑p处切向空间TpM上的度量张量∈ M、特别是，M上的Fisher–Rao信息度量I映射了每个p∈ M到体积dv（p），体积dv（p）是一种对称的双线性形式，它进一步定义了任何可测量子图上的n维体积度量 M乘以体积（U）：=RUdv（p）。对于所有可测的U，M上关于黎曼测度的光滑概率密度K导出关于Volζ（U）=ZUdζ=ZUKdv（p）（4）的新的绝对连续概率测度ζ M和ζ（M）=1。

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2022-5-31 19:19:31

这对（M，ζ）被称为加权流形，或黎曼度量测度，并被证明是黎曼流形的一个非平凡推广（[15]）。定义2的权重函数K代表了伊曼尼亚流形M上概率密度的一般特征。为了调整K以正确分析模型风险，我们需要施加与给定模型周围特定不确定性相关的附加属性。从从业者的角度来看，不属于所选邻域U的模型从模型风险的角度来看并不相关，因此不会增加任何不确定性。因此，我们假设权重函数仅在邻域U上为非负，在其他地方为零。此外，将各种基础假设、数据或校准的变化转化为输出的变化，以及模型的进一步使用将随着变化的方向而变化。因此，我们要求K沿v唯一确定的测地电流γ是连续的∈ S（p，1） TpU开始于，结束于U、这些附加属性是（K1′）和（K2′）的一个模型：（K1）K沿所有测地线γ连续，从Pf开始，对于S（p，1）（K2）K>0的所有单位向量p∈ U型\\{U} an d K≥ 0p∈ U，K=0p∈ 满足性质（K1）的权函数- （K3）考虑并根据变化的不同方向进行调整，即规定对不同基础因素的不同敏感性。权重函数构造在给定黎曼流形上构造权重函数在技术上是困难的，因为它需要对流形的内部几何和结构有预先的了解。

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2022-5-31 19:19:35

为了确定满足所有所需特性的权重函数K，并为了克服这一困难，我们引入了一个连续映射，从带有欧几里得几何的歧管到具有保留局部特性的黎曼几何的模型流形。欧几里德几何学是很好理解和直观的，因此在这个空间上构造函数是相当容易和直观的。在to tal中，我们构建了三种映射：指数映射表达式、Polarf（例如数据周围的不确定性）、校准或模型选择。变换P和进一步的坐标变换∧ρ。每个黎曼流形M都是欧氏空间Rn的局部微分同胚，因此在任何点的小邻域中，M的几何体都近似于欧氏空间Rn。相同维数的所有内积空间都是等距的，因此，黎曼流形M上的所有相切空间TpM都是等距于与其正则内积相连的n维欧几里德空间R。因此，所有黎曼流形不仅具有与流形相同的微元结构，而且还具有与黎曼流形s相同的微元结构。权函数是相对于邻域U定义的，并且在连接边界上点的测地曲线γ上是连续的U所有物质扰动，即U内的替代模型，都是通过与通过它们的唯一测地线γ相切的向量，通过距离pand的距离来唯一描述的。为了保持这些性质，我们考虑了一个n维圆柱体Cn=[0，1]×Sn-1={（t，ν）：t∈[0，1]，ν∈ 序号-1} Rn+1，其中参数t表示测地线的归一化距离，其中Sn-1关闭（n-1） –RN上的标注单位球体，包含TpM的所有单位切线向量。

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2022-5-31 19:19:39

国家的边界Cn={（0，ν）：ν∈ 序号-1} ，则，Cn={（1，ν）：ν∈ 序号-1} ，并表示测地线的端点，即。CND将转换为pandCninto公司U、 Cn上的黎曼结构是由Rn+1中的Eu clidean度量对Cn的限制给出的。因此，Cnis是一个具有乘积测度dt×dν给出的正则测度的紧光滑黎曼流形。该模型要求我们在Cn上构造一个适当的函数，然后得到一个满足所有要求性质（K1）的权函数-（K3）。作为从Cnto M获得映射的第一步，我们考虑从ponto neig hbourhood U点的切线空间得到的指数M ap。由于U是紧凑的，因此在拓扑上是完整的，测地线γ可以定义在整个实线上（[11]）。因此，指数映射在整个切线空间TpM上定义良好。此外，由于U是p的正态n八分之一的子集，指数映射定义了从TpU到U的局部微分同胚。然后，在这些坐标中，通过从原点发出的射线给出测地线γ。例如，权重函数是针对邻域U构建的，在我们的示例中，邻域U表示测地线γ，边界y点和p。我们p参数化γb y t∈ [0，1]，并将一维圆柱体定义为C=[0，1]×S，带边界C={（0，ν）}和C={（1，ν）}，其中S={ν∈ Rn：| |ν| |=ν=1}。leftboundaryC将根据给定的模型和Cto p.权函数的构造简化为区间实线上权函数的构造[0，1]。接下来，我们介绍TpM上的极坐标变换。

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2022-5-31 19:19:43

为了区别，我们用S（p，1）表示（n-1） –TpM和Sn中的尺寸单位球体-Rn中的单位sphe re:P:[0，∞) ×S（p，1）→ TpM：P（t，v）=tv；P-1： TpM \\{0}→ （0，∞) ×S（p，1）：p-1（v）=||v | |，v | | v||（5）为了准确描述邻域U，我们将ρ（v）定义为长度d（p，p）≥ 与边界p相连的测地线γ的0∈ v方向上的U∈ S（p，1）。距离ρ被认为是S（p，1）上的一个重值函数，严格为正，S（p，1）上的Lipschitz连续S。我们现在定义了坐标转换∧ρ：（t，v）7→ρ（v）t，v.映射序号-1.→ S（p，1），ν7→ v在单位向量ν之间存在一个规范识别的意义上得到了很好的定义∈ 序号-1. R和元素v∈ S（p，1） TpM。距离v 7后→ ρ（v）在S（p，1）上是严格正的Lipschitz连续的，逆v 7也是严格正的→ρ（v）。因此，映射pin g∧ρ定义了[0，1]×Sn的双李氏映射-1到子集[0，ρ（v）]×S（p，1）。因此，composition exppP∧ρ定义了从CNO到U的映射CNO到点{p}和右侧边界U此外，它保留了满足以下一致性条件的任何连续函数的连续性：定义3。当h（t，ν）=∧时，在映射exppP∧ρ下，定义在圆柱体Cn上的连续函数h与连续函数f onU一致-1ρf-1（t，ν）表示所有（t，ν）∈ 中国。在这种情况下，h满足以下条件：（i）h（0，ν）=h（0，ν）ν、 ν∈ 序号-1（ii）h（1，ν）=h（1，ν），如果M上的exppP∧ρ（1，ν）=exppP∧ρ（1，ν），则第一个条件n（i）表示h在边界上是常数中国。当Cn上的函数h与f一致时，在Cn与值f（p）精确对应。第二个条件确保函数h与函数f在边界点处的兼容性U、即。

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大多数88

2022-5-31 19:19:45

如果exppP∧ρ将cno中的两个不同点（1，ν）和（1，ν）映射到同一点p上∈ U、然后h（1，ν）=h（1，ν）=f（p）。引理1。满足假设（K1）的权函数K的存在性- （K3）等价于假设Cn上定义的一致函数h（t，ν）的存在，其余域满足以下性质：（H1）h（t，ν）是紧流形Cn（H2）h（t，ν）上的连续函数≥ 0，（t，ν）∈ [0，1）×序号-1（H3）h（1，ν）=所有ν的κ（ν）∈ 序号-其中，κ是ν（H4）h（0，ν）=h（0，ν）=常数的非负函数。对于所有ν，ν∈ 序号-1（H5）RCnh（t，ν）dν=1，其中dν=dt×du参见附录中的证明。使用此结果，we-ight函数的构造变得更简单、更直观。根据特定模型及其周围的不确定性，选择合适的函数。然后，将上述变换应用于e，得到了一个适当的权重函数K，该函数定义为使用属性（K1）-（K3）与模型风险分析相关。此外，对于所选函数h，权重函数K是唯一的，定义良好。定理4。在满足条件（H1）的条件下定义的连续函数- （H5），确定满足（K1）的唯一且充分定义的权重函数K-（K3）在U上给定b yK（p，t）=ηp（p）t1-nρ（v）-nhtρ（v），v！（6）式中，ηp（p）是相对于p的体积密度，v是切向量，t∈ [0，ρ（v）]是一个标度参数，ρ（v）是上面定义的距离函数。示例根据我们的示例，我们构造了一个适当的权重函数，该函数可以根据VaRmodel周围的不确定性进行调整。我们在前一节中已经看到，基本过程表明与正态分布的偏差很小，并表示负偏斜。

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2022-5-31 19:19:50

因此，为了确定w e ight函数，我们构造了一个连续函数H，该函数在表示给定n模型p的点处具有最大值，并且是单调的——随距离F m p递减。这种选择意味着我们更关心模型对周围小变化的敏感性。我们将[0，1]中的h定义为以下h（t）=c1.- t型, t型∈ [0，1]其中，归一化常数c确保了假设（H5）和等式toΓnπ-第2页。注意，由于我们只有一个切向量ν，h仅依赖于参数t。通过应用连续映射exppP∧ρ，我们获得沿测地线γ的权函数K：K（p，t）=ηp（p）d（p，p）-1Γπ-1月21日-td（p，p））！=1.471.- 1.47吨7、模型风险度量在本节中，我们将介绍模型风险量化的主题定义，将其与迄今为止引入的概念联系起来，并研究一些实际应用。回想一下，到目前为止，我们主要关注加权黎曼流形（M，I，ζ），其中I为Fisher-Rao度量，ζ为等式4。前几节中的模型假设为某种分布p∈ M、更有可能的是，实践者将模型定义为某种映射f:M→ R带p 7→ f（p），即模型输出一些量。我们将正式引入赋范空间（F，k·k），例如∈ F、虽然在这个信息阶段并不是严格必要的，但我们应该假设（F，k·k）是一个Banach空间。定义5。利用上述符号a s，设（F，k·k）是关于ζ的可测函数的Banach空间。f的模型风险Z∈ F和dπ由z（F，p）=kf给出-f（p）k.（7）注意，度量值表示标准距离。所有结果都受到模型本身中使用的假设的约束，因此，模型风险与输出的变化有关，同时放松它们。

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2022-5-31 19:19:55

因此，相关的模型风险是两个模型之间的差异，而不是一个模型与事实真相之间的假设差异。模型风险本身的量化可被视为一个具有准备金计算或建模方法比较等目的的模型。可能性是无限的，所以我们可以从一些T:F开始→ F和setZ（F，p）=kTo fk；然而，我们认为等式7对于我们目前的目的来说已经足够普遍了。在下面的内容中，我们将讨论Def的四个示例。5、其适用性在很大程度上取决于量化目的的其他因素，如下所示。1.Z（f，p）表示f∈ L（M）表示所有相关模型输出的总相对变化：Z（f，p）=kf- f（p）k=ZMf-f（p）dζ2。Z（f，p）表示f∈ L（M）更重视输出的大变化（大变小）。它允许与一些校准过程保持一致，例如最大似然或最小二乘算法：Z（f，p）=kf-f（p）k=ZM公司f-f（p）dζ1/2的体积（n- 1） –尺寸球S（0，1）为2π1/2Γ. 因此，我们有1=cZ【0,1】×Sn-1.1.- t型dt×du=> c=Γnπ-π/2情况并非总是如此，但我们可以根据量化本身的用途沿着这些路线前进。例如，波动率面上的内部（额外）极化方法是一个模型，其输出是另一个波动率面，而不是一个数字。如果我们想量化百慕大人特定方法的模型风险，我们可能会考虑其对其定价的影响。例如，另一种可能性是使用f） f（p）或f-f（p）f（p）. 这些函数形式将允许我们获得一个无量纲数，这可能是一个理想的性质。3.

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nandehutu2022

2022-5-31 19:19:58

Z∞（f，p）表示f∈ L∞（M）找出与p:Z相关的相对最坏情况误差∞（f，p）=kf- f（p）k∞= e ss supMf-f（p）此外，它可以指出最大偏差的来源：使用exp-1我们可以检测到潜在假设中相应的变化方向和大小。4.Zs，p（f，p）表示f∈ Ws，p（M）是一个Sobolev范数，当f不仅相关而且其变化率为Zs，p（f，p）=kf时，它在这些情况下可能是有用的- f（p）ks，p=X | k|≤sZM公司kf-f（p）pdζ！1/P用于模型风险量化的pSound方法至少应考虑用于构建模型的数据、模型基础、IT基础设施、总体性能、模型敏感性、场景分析，以及最重要的使用情况。在我们的框架内，我们添加了ress，并测量了与上述ar EA相关的不确定性以及模型中包含的信息。给定模型的嵌入和适当邻域的选择考虑了基础假设、数据和模型基础的知识和不确定性。赋予邻里内不同模型相对相关性的权重函数考虑了模型敏感性、情景分析、与决策相关的结果的重要性、业务、预期目的，并解决了模型基础的不确定性问题。此外，规范的每个特定选择都提供了模型的不同信息。最后也是最重要的一点，模型风险度量考虑了映射f.8表示的模型的使用。结论和进一步研究在本文中，我们介绍了使用微分几何和信息论对模型风险进行量化的一般框架。

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2022-5-31 19:20:01

我们还使用加权黎曼流形上的Banach空间对模型风险进行了严格的数学定义，适用于以统计学为起点的大多数建模技术。我们提出的数学定义在某种程度上是全面的，有两种完整的方式。首先，它能够处理模型风险管理的相关方面，如模型使用、性能、数学基础、模型校准或数据。其次，它有潜力评估金融机构目前使用的许多数学方法：信用风险、市场风险、衍生品定价和对冲、运营风险或XVA（估值调整）。值得注意的是，据我们所知，文献中的方法es在以下两个方面都很特殊：它们考虑非常特殊的数学技术，通常非常关注模型风险管理的选定方面。有许多进一步研究的方向，我们发现所有这些都具有理论和实际意义。最后，我们将仅列举其中的几个：巴拿赫空间是众所周知的，并且在函数分析等领域进行了深入研究。另一方面，weig-hted黎曼流形是黎曼流形的非平凡扩展，黎曼流形是微分几何的组成部分之一。对加权黎曼流形上的Banach空间的研究将拓宽我们对这些空间的性质及其在模型风险量化中的应用的理解。我们的框架可以通过研究样本上定义的扰动和度量来包含数据不确定性，然后通过校准过程将其传输到加权黎曼流形。通用方法可以根据具体风险和方法进行调整，使其更加有效。

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2022-5-31 19:20:05

例如，可以将衍生品定价的局部波动率模型解释为分布族中certa的隐含定义，扩展Black–Scholes随机微分方程（这将是定义对数正态族的一种方法）。与上一段相关，尽管有关于该主题的文献，但Fisher-Rao度量本身的计算值得进一步的数值研究，以得出更有效的算法。例如，衍生品模型不仅用于定价，还用于对冲。或者通过任何可能的变换T:F→ F、 9。附录在附录中，我们给出了引理1和定理4的证明。引理1的证明。为了证明等价性，我们需要证明在引理中定义的函数h？？在连续映射exppP∧ρ下保持K的必要性质。首先，我们证明了由三个不同映射组成的组合是明确的。作为第一步，我们定义一个n维圆柱体CN：=[0，1]×Sn-1={（t，ν）：t∈ [0，1]，ν∈ 序号-1} Rn+1，其中Sn-1： ={ν∈ Rn：| |ν| |=ν+····+νn=1}表示（n- 1)-在Rn中标注l单位球体。圆柱Cn是Rn+1有边界的可微子流形Cn：={（0，ν）：ν∈ 序号-1} ，则，Cn：={（1，ν）：ν∈ 序号-1} 通过Rn+1中的欧氏度量对Cn的限制，给出了Cn上的黎曼结构。因此，Cn是一个紧黎曼函数。

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2022-5-31 19:20:09

Cn上的标准度量由产品度量dt×du（ν）给出，其中u表示Sn上的标准表面度量-1、我们将ρ（v）定义为长度d（p，p）≥ 点p与边界点p相连的测地线γ的0∈ U方向v∈ S（p，1），其中S（p，1）表示（n-1)-切线空间TpM中的标注单位球体。注意，由于U是关于p的正规邻域的子集，指数映射是等距的。从现在开始，我们假设U是黎曼流形M的一个紧星形子集，距离函数ρ是S（p，1）上的Lipschitz连续 TpM。ρ（v）的Lipschitz连续性等价于U现在，我们定义了-CnbyCn的维数子集ρ：={（t，v）：t∈ [0，ρ（v）]，v∈ 序号-1} [0，1]×序号-1带边界Cnρ：={（0，v）：v∈ 序号-1} ，则，Cnρ：={（ρ（v），v）：v∈ 序号-1} 新的集合Cnρ是Cn的一个紧子集。为了将CNO映射到Cnρ，我们定义了以下坐标变换：∧ρ：Cn→ Cnρ，（t，v）→ρ（v）t，v.由于距离函数v 7→ ρ（v）在S（p，1）上严格为正且Lipschitz连续，因此它是反函数v 7→ρ（v）。因此，映射∧ρ定义了从CNO到Cnρ的bi–L ipschitz映射。Cn上几乎所有地方的雅可比矩阵∧ρ等于ρ。接下来，我们考虑由方程式5定义的极性变换P，其由TpM中的连续性很好地定义，并将Cnρ映射到U TpM。此外，变换定义了与Cnρ不同的同胚性\\{Cnρ，Cnρ}到开集U \\{0，U} 。将P与指数映射exp相结合，我们得到了exppp（Cnρ）=u的复合表达式o定义Cnρ的微分同胚性\\{Cnρ，Cnρ}到U \\{p，U} 。此外，边界Cnρ被映射到{p}和边界上Cnρ在边界上U

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2022-5-31 19:20:12

然后点（t，v）∈ Cnρ在Rn上诱导测地极坐标。当p∈ U，边界Cnρ映射到我们引入了三个映射Cn∧ρ--→ CnρP-→ Uexpp---→ U m合成exppP∧ρ是从CNO到U的连续映射。此外，exppP∧ρ映射了边界yC气缸C到达点和边界Cnonto公司U现在我们证明了在一致函数满足的性质（H1）下-（H5）唯一确定满足（K1）的权重函数- （K3）：o显而易见，属性（K1）-（K2）满足施工要求。合成exppP∧ρ保持连通性和紧性，它是从Cnonto到M的连续映射。此外，exppP∧ρ映射左侧边界C到点和右侧边界CNO到U的边界。因此，M上的连续函数f的图像f（expp（ρ（v）tv））在圆柱体Cn上也是连续的，并且每个函数g在满足一致性属性（i）的Cn上定义-（ii）Def。3是M上拉回算子∧下连续函数的图像-1ρP-1exp-1便士。应用于在Cn上连续且满足一致性条件（i）的函数h的成分exppP∧ρ- （ii）Def。3将给出M上的连续函数K，通过构造，该函数沿测地线从pand开始，到边界y的点为止是连续的。这意味着，性质（K1）是满足的。相同的公式适用于Cn上的任何非负函数h。因此，属性（H1）- （H2）确保（K1）- （K2）在成分expp0P∧ρ（v）下此外，还需要证明权重函数K确实是M上相对于测量值dv（p）的概率密度，即rmdζ=1。ZMdζ=ZMK（p，t）dv（p）=ZTpMK（expp（v），t）η（v）dξ，其中dξ是欧氏空间TpM上的标准勒贝格测度，ηp（v）=det（（d expp）v）是指数映射的雅可比行列式。

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2022-5-31 19:20:15

注意，η（v）表示密度函数，密度函数是U上的正连续可微函数 TpM和η的零点位于M的边界。此外，我们有ztpmk（expp（v），t）η（v）dξ=ZS（p，1）Zρ（v）tn-1K（expp（tv），t）ηp（tv）dtdu（v），其中tn-1是极坐标变换的雅可比行列式，du（v）是单位球面S（p，1）上的标准黎曼测度。最后一步是从Cρ到Cn:ZS（p，1）Zρ（v）tn的映射-1K（expp（tv））ηp（tv）dtdu（v）=ZSn-1Zρ（v）Kexpp（ρ（v）tv）ρ（v）tn-1ηp（ρ（v）tv）dtdu（v），其中雅可比常数为ρ（v）。然后使用K的表达式，我们得到上面的表达式等于：ZSn-1Zρ（v）ηp（ρ（v）tv）t1-nρ（v）-nhtρ（v），v！ρ（v）tn-1ηp（ρ（v）tv）dtdu（v）=ZSn-1Zhtρ（v），v！dtdu（v）=1定理4的证明。注意，成分exppP∧ρ引起可积函数f的变量变化，其产生以下公式：ZMf（p）dζ=ZUf（p）dζ=ZUf（expp（v））ηp（v）dv=ZS（p，1）Zρ（v）f（expp（tv））t1-nηp（t，v）dtdv=ZSn-1Zf（expp（ρ（ν）ν））ρ（ν）ηp（tρ（ν），ν）dtdν体积密度ηpis a我们定义了非负函数，在点p的切割轨迹上有零。此外，ηpis是M上的连续可微函数。距离函数ρ是S（p，1）上定义良好的严格正Lipschitz连续函数，因此是逆1/ρ（v）。因此，映射∧ρ定义了从Cnto Cnρ的双李氏映射。此外，成分表示与CNρ不同的同胚性{Cnρ，Cnρ}。利用点集{p}与tν子集的边界-测度为零，我们可以得出映射exppP∧ρ是同构的结论。然后，对于满足条件（i）的条件下定义的任何h-（ii）Def。3、相关weig-ht函数K在U上定义良好。在指定满足性质（H1）的函数h后，K的唯一性出现- （H5）。

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2022-5-31 19:20:18

注意，当M是Rnwith正则度量时，则ηp（p）=1表示所有p∈ 注册护士。参考文献[1]Amar i、S-i、OE Barndorff Nielsen、RE Kass、SL Lauritzen和CR Rao（1987），“统计参考中的差异几何”课堂讲稿专著系列，i–240。[2] Azzalini，Adelchi（1985），“一类包含正态分布的分布。”斯堪的纳维亚统计杂志，171–178。[3] Boucher、Christophe M、Jón Daníelsson、Patrick S Kouontcho u和Bertrand B Maillet（2014），“风险模型风险”《银行与金融杂志》，44，72–92。[4] Branger、Nicole和Christian Schlag（2004），“模型风险：风险度量和对冲的概念框架。”在EFMA 2004年巴塞尔会议文件中。[5] Chavel，Isaac（2006），《黎曼几何：现代导论》，第98卷。剑桥大学出版社。[6] Christod oulakis、George和Stephen Satchell（2008），“信用风险模型验证方法的有效性。”风险模式l验证分析，27–44。[7] Cont，Rama（2006），“模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。”MathematicalFinance，16519-547。[8] Feder al Reserve（SR 11–7）（2011），“mod e l风险管理监管指南”联邦储备系统理事会，货币主计长办公室，SR Letter，11-7。[9] 费德·埃尔赫伯特（2014），《几何测度理论》。斯普林格。[10] Gib son，Rajna（2000年），《模型风险：成本、校准和定价》。风险账簿。[11] 霍普夫，H。和W.Rinow（1931），“vollstandigen DifferenticationGeometricschen fleach en的初始阶段。”你好。

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