随机利率下双重风险模型中的最优股利再分配。本文对双重风险模型中的最优股利策略进行了深入的研究。但据我们所知，之前的所有工作都假设利率是决定性的。本文研究了在随机利率下，假设贴现因子服从几何布朗运动或指数L′evyprocess，双风险模型的最优分割策略。我们将证明可以得到闭式解。1、简介在一个有股息支付的经典风险模型中，保险公司的盈余可以写为：XDt=x+ct- St公司- Dt（1.1）这里x是初始盈余，c>0是保险费率，St=PNti=1yi是复合泊松过程，可以解释为索赔总额。速率λ>0的Ntisa Poisson过程，是p.d.f.p（x）的i.i.d.随机变量。{Dt}是一个分红过程。另一方面，双重风险模型[2]与石油公司和高科技公司等公司的财富过程有关。这种情况下的盈余可以写为：XDt=x- ct+St- Dt（1.2）日期：2021 07月12日。关键词和短语。双重风险模型，最优股利，随机利率，障碍策略，阈值策略。2在这里x是初始盈余，c>0是费用率，St=PNti=1yi是复合泊松过程，可以解释为发明或发现的未来收益值。{Dt}是一个股息率过程。最优股利问题是由布鲁诺·德费内蒂于1957年提出的。他表示，公司将寻求找到一种策略，以最大化破产前预期贴现股息的累计价值。近年来，关于双重风险模型中的最优股利问题已经发表了许多论文。

Avanzi[2]将障碍策略应用于双重风险模型，得到了最优分红策略。D、 姚[13]通过在双重风险模型中构建两类次优模型来研究最优股息问题，一类是不发行股票的普通双重模型，另一类假设，通过发行新股票，公司永远不会破产。Cheung和Drekic[3]通过推导总贴现股息矩的积分微分方程以及破产时间的拉普拉斯变换，研究了双重风险模型中的股息矩。D、 Peng[11]考虑了具有指数分布观测时间和常数dividendbarrier策略的双风险模型。Fahim和Zhu[7]最近的一项工作是对双重风险模型中的最优股息进行渐近分析。在本文中，我们假设在复合泊松过程中，跳跃Yi的大小服从指数分布，即p（x）=βe-βx，β>0。截至破产时间的预期贴现股息累计值变为：VD（x）=E“ZτDe-δtdDt#（1.3）δ是确定性利率，e-δ称为贴现因子，其中τD=inf{t:XDt<0}是破产时间。人们寻求股息支付策略{D*t} 因此V（x）=supD∈ψ{VD（x）}=VD*（x） （1.4）双重风险模型3中的最优股息容许策略ψ集由非负、非递减、自适应的c\'adl\'ag过程组成。V（x）被称为最优分红问题的值函数[12]。为了研究这类最优控制问题，Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程是必不可少的。HJB方程的解是具有最优红利的值函数。

HJB方程可以通过动态规划原理获得【1，12】。人们研究了经典风险模型以及确定性利率下的双风险模型中的最优股息[2，12，9，10，1]。最近，J.Eisenberg[5]发表了一篇关于经典风险模型（即带漂移的布朗运动）的离散近似下的最优红利的论文。该模型中的利率也遵循随机的带漂移的布朗运动。他们找到了三限制红利和无限制红利最优策略的值函数的显式表达式。在我准备这篇论文的时候，我注意到J.Eisenberg和P.Kr¨uhner最近的一篇论文使用了指数L'evy模型中的最优股息思想[6]。在本文中，我们将研究随机利率下双重风险模型中的最优股息。2、几何布朗运动作为贴现因子，我们假设随机利率服从一个带漂移的布朗运动。所以贴现因子现在变成了几何布朗运动：exp{-r- mt公司- δBt}其中r>0，m>0，δ≥ 0，我们在本节中假设m>δ。给定一个策略D，回报函数，即截至破产时间的预期4 ZAILEI Cheng贴现股息的累积值，由以下公式得出：VD（x，r）=E“ZτDe-r-mt公司-δBtdDt#2.1。限制性股息。在这种情况下，我们只考虑有界的分红策略。i、 e.滴滴涕=Utdt，Ut∈ [0，ξ]，其中ξ>0是一个常数。我们滥用符号，使用Vu表示VD。引理1。

返回函数VU（x，r）是有界的。证据VU（x，r）=E“ZτUe-r-mt公司-δBtUtdt#≤ EZ∞e-r-mt公司-δBtξdt= ξe-rE公司Z∞e-mt公司-δBtdt= ξe-rZ公司∞e-mtE[电子]-δBt]dt=ξe-rZ公司∞e-（m）-δ/2）tdt=ξe-rm- δ/2（2.1.1）值函数V（x，r）=supU∈ψ{VU（x，r）}。对应于该问题的HJB方程如下所示：-cVx+mVr+δVrr+λZ∞[V（x+y，r）-V（x，r）]p（y）dy+sup0≤u≤ξu{e-r-Vx}=0（2.1.2）引理2。从Ut获得的Vξ（x，r）≡ ξ解HJB方程，如果ξαm-δ≤ 1，其中α=-(θ+λ-βc-βξ)-√(θ+λ-βc-βξ）+4θβ（c+ξ）2（c+ξ），θ=m-δ双重风险模型中的最优股息为5Proof。我们设置：τξ，0x：=inf{t≥ 0：x- （c+ξ）t+St=0}（2.1.3）相应的返回函数为：Vξ（x，r）=ξE“Zτξ，0xe-r-mt公司-δBtdt#=ξE“Zτξ，0xE[E-r-mt公司-δBt]dt#=ξe-rm-δE[1- e-（m）-δ） τξ，0x]（2.1.4）现在假设m（x）=E[E-θτξ，0x]，θ=m-δ> 0，m（x）满意度：-（c+ξ）m（x）+λZ∞[米（x+y）-m（x）]p（y）dy- θm（x）=0（2.1.5）我们猜想解类似于m（x）=Aeαx，α<0。因为如果x=0，破产是即时的，所以m（0）=1，即A=1。代入（2.1.5）我们得到：（p（y）=βe-βy）（c+ξ）α+（θ+λ）- βc- βξ)α - θβ=0（2.1.6）求解（2.1.6），α=-(θ+λ-βc-βξ)-√（θ+λ）-βc-βξ）+4θβ（c+ξ）2（c+ξ）<0Vξ（x，r）=ξe-rm-δ(1 - eαx）（2.1.7）Vξx（x，r）=-ξe-rm-Δαeαx>0（2.1.8），尤其是Vξx（r，x）≤ e-rif公司-ξαm-δ≤ 这意味着Vξ（r，x）解HJB方程，如果-ξαm-δ≤ 1.引理3。V（x，r）=e-rF（x）=e-rF（x）x>^xe-rF（x）x≤ ^x6 ZAILEI Cheng求解HJB方程，如果-ξαm-δ> 1，其中F（x）=Aerx+ξm-δ和F（x）=B（esx- esx）ris方程的负解：（c+ξ）x+m+λ-δ- β（c+ξ）x个- β（m-δ） =0，分别是函数的正解和负解：cx+（m+λ-δ- βc）x- β（m-δ） =0A=-ξ(β - r） β（m-δ） ×s（β- s） es^x- s（β- s） es^x（s- r） （β- s） es^x- （s）- r） （β- s） es^xe-r^xB=ξ(-r） β（m）-δ)×(β - s） （β- s） （s）- r） （β- s） es^x- （s）- r） （β- s） es^x^x=s- SLN（s）- r） （β- s） s（s）- r） （β- s） 证明。

如果-ξαm-δ> 1，根据（2.1.7），我们推测V（x，r）=e-rF（x）。替换为（2.1.2），-cF（x）-（m+λ-δ） F（x）+λZ∞F（x+y）p（y）dy+sup0≤u≤ξu（1-F（x））=0（2.1.9）根据Schmidli【12】第99页，我们需要求解以下两个方程：-cF（x）-（m+λ-δ） F（x）+λZ∞F（x+y）p（y）dy+ξ（1-F（x））=0（2.1.10）- cF（x）- （m+λ-δ） F（x）+λ[Z^x-xF（x+y）p（y）dy+Z∞^x-xF（x+y）p（y）dy]=0（2.1.11）双重风险模型中的最优股息7^x是f（x）的阈值=F（x）x>^xF（x）x≤ ^x（2.1.12）在（2.1.11）中，我们写λR∞F（x+y）p（y）dy=λ[R^x-xF（x+y）p（y）dy+R∞^x-xF（x+y）p（y）dy]因为F（x+y）中的跳跃大小y。首先我们解（2.1.10），像（2.1.5）一样继续，我们推测：F（x）=Aerx+ξm-δ（2.1.13）注意r<0，因为根据（2.1.1），VU（x，r）是有界的。ξm-δ是非齐次方程（2.1.10）的特定解。将（2.1.13）代入（2.1.10），我们得到rto为方程的负解：（c+ξ）x+[m+λ-δ- β（c+ξ）]x- β（m-δ） =0（2.1.14），接下来我们求解（2.1.11）。将（2.1.13）替换为（2.1.11），我们得到：- cF（x）- （m+λ-δ） F（x）+λZ^x-xF（x+y）p（y）dy+λAββ- re（r-β） ^x+βx+λξm-δe-β（^x-x） =0（2.1.15）注意，通过变量的变化，R^x-xF（x+y）p（y）dy可以写成r^xxF（u）p（u-x） 杜。也可以通过应用运算符（ddx-β） ，我们可以去掉包括eβx在内的项。