欧式期权价格的奇异Fourier-Pad级数展开

2022-6-1 00:28:25

2017年11月15日，量化金融SingCfseurov13重新格式化，以出现在《量化金融》第00卷第00号20XX月1-35单数傅里叶Pad'e系列中，扩展了EuropeanOption PricesTat Lung（Ron）Chan*++东伦敦大学，英国斯特拉特福德Water Lane，E15 4LZ（2016年5月发布的v1.1）我们采用了一种新的数值方法，即Driscoll和Fornberg（2001年、2011年）发明的奇异傅里叶Pad'e（SFP）方法，对Levy和a ffene过程中的欧式期权进行定价。此应用背后的动机是降低当前傅立叶技术用于近似分段连续（非光滑）概率密度函数时的效率。当快速傅立叶变换和傅立叶级数等技术应用于具有非光滑概率密度函数的价格和对冲期权时，会导致吉布斯现象；因此，这些技术对于具有跳跃值或导数的密度函数收敛缓慢。这严重影响了这些技术的效率和准确性。在本文中，我们使用SFP方法推导了定价公式及其期权希腊，以解决Gibbs现象并恢复全局谱收敛速度。此外，我们还表明，我们的方法需要少量的条款来产生快速的误差收敛，并且能够准确地为任何欧洲类型的期权定价，无论是在货币中还是在货币中，还是在很长/很短的期限内。此外，我们还对期权定价中的SFP方法进行了误差界分析。与现有方法相比，这种新方法在数值实验中表现良好。关键词：奇异Fourier-Pad'e级数，欧式选项，L'evy过程，a ffine过程1。

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2022-6-1 00:28:28

简介在过去十年中，傅立叶技术在金融衍生品定价和对冲中的应用在计算和数学金融中得到了广泛的应用，因为驱动衍生品的大多数基础过程都有一个特征函数（即概率密度函数（PDF）的傅立叶变换）。通常，期权定价采用两种傅立叶技术：快速傅立叶变换（FFT）和傅立叶级数，如傅立叶余弦（COS）级数。为了解释第一种技术，即期权定价中的FFTs，我们首先考虑一个欧洲期权定价公式，该公式是由潜在过程驱动的期权贴现收益的风险中性预期。这种形成自然意味着贴现支付和基本流程的PDF的整合。由于基础过程具有特征函数，可以应用反向连续傅立叶变换恢复PDF，离散连续傅立叶积分，并使用FFT算法计算O（N log（N））运算中的离散傅立叶变换以获得期权价格（参见Carr和Madan 1999、Lewis 2001、Lipton 2002、Chourdakis 2004、Itkin 2005、Lord等人2008）。使用这些方法的主要缺点是，它们需要数千个网格点和相当长的计算时间才能达到可接受的精度水平。另一种方法是使用傅立叶级数将PDF展开为正交基函数的部分和。基函数可以是指数函数，如Chan（2016），也可以是COS函数，如Fang和Oosterlee（2009a），函数。序列中的每个系数都是近似值*通讯作者。电子邮件：t.l。chan@uel.ac.ukNovember2017年5月15日，量化金融Singcfseurov13通过PDF的特征功能重新格式化。

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2022-6-1 00:28:31

通过将每个基函数与期权的折扣支付函数相结合，我们可以获得期权价格。这项技术起源于Fangand Oosterlee（2009a），用COS基函数为欧式期权定价。Fourier COS系列在欧洲期权定价中的成功，导致了具有早期行使特征和奇异期权的定价和对冲期权的快速扩张，如亚洲、多资产或障碍期权（如Leentvaar和Oosterlee 2008、Fang和Oosterlee 2009b、2011、Zhang和Oosterlee 2013）。与FFT相比，使用傅立叶级数进行期权定价的优势在于，只要控制PDF足够平滑，它们可以实现全局谱（指数）收敛速度，并且需要较少的求和项。然而，使用任何类型的傅立叶级数来表示Cν1分段连续（非光滑）函数，例如非光滑PDF，都是出了名的令人担忧。不连续性导致吉布斯现象，这对长度N的傅里叶部分和有两个重要后果：（i）无法在跳跃处收敛，以及（ii）在其他地方以O（N）的速度逐点收敛。更一般地，如果函数f及其导数达到ν阶- 1是连续的，但f（ν）是不连续的（即f有一个ν阶跃变），则全局收敛速度为O（N-ν). 当通过FFT或傅立叶级数方法在跳跃点或跳跃点附近生成近似期权价格时，吉布斯现象的影响可能导致不准确的定价和对冲。Ruijter等人（2013年）试图通过添加滤波器来解决吉布斯现象，并提高普通COS方法的代数指数收敛率。他们称之为filter-COS方法。

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2022-6-1 00:28:34

在他们的论文中，他们对六种不同的过滤器进行了深入测试，例如Fej'er过滤器和指数过滤器，并发现指数过滤器为定价欧洲期权提供了更好的代数指数收敛速度。该方法用于表示VarianceGamma（VG）模型的非光滑PDF。虽然它们比当前的COS方法有一些改进，但过滤只能在远离VG PDF峰值的情况下工作；在峰值时，近似性能更差。该方法还需要近千个COS部分求和项，才能在PDF非光滑时达到可接受的精度。根据Ortiz Gracia和Oosterlee（2013、2016），使用COSmethod的另一个缺点是，COS在积分边界附近表现出周期性，而长成熟度期权舍入误差可能在域边界附近累积。一系列使用小波的论文，如B样条和香农小波，已经解决了这个问题。小波方法类似于傅立叶级数方法；他们使用小波表示PDF，然后将贴现支付函数与小波基函数集成，以获得期权定价公式的闭合形式表示。与COS方法相比，小波方法对于长期期权的定价具有灵活性和准确性。然而，小波基函数的选择决定了该方法能否达到谱收敛速度。在某些情况下，B样条和Haar小波无法实现谱收敛（参见Ortiz Gracia和Oosterlee 2013和Ortiz Gracia和Oosterlee 2016中的表1）。虽然Ortiz Gracia和Oosterlee使用香农小波（香农小波逆傅立叶技术（SWIFT））来纠正这个问题，并在PDF平滑的某些情况下实现光谱收敛（参见。

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2022-6-1 00:28:37

表1和表4在Ortiz Gracia和Oosterlee（2016）中，SWIFT的准确性严重依赖于标度参数。比例参数由特征函数的衰减速度决定，而特征函数又决定了相应PDF近似值的精度。虽然一般来说，Ortiz Gracia和Oosterlee（2016）认为0或1是量表的最佳选择，但这种选择没有理论上的理由，并且在他们的论文中，为不同的PDF选择了不同的量表参数。最后，在我们的数值试验中，COS方法的精度对函数连续可微的小andA向量空间非常敏感。如果函数由一定数量的ν乘以不同的连续段组成，则称为区间上的分段连续函数。2017年11月15日，量化金融Singcfseurov13重新格式化大期权价格。当我们衡量小额期权价格时，COS方法往往不太准确（参见第8节表8）。为了克服FFT、Fourier级数和小波方法的上述缺点，我们提出了一种新方法，奇异Fourier Pad'e（SFP）方法，该方法具有以下特点：（i）分段连续PDF的全局谱收敛速度，（ii）所需部分求和项较少的快速误差收敛，（iii）准确地为任何欧洲类型的期权定价，该期权具有资金深度/资金深度和超长/短期到期的特点，（iv）始终准确地近似大型或小型期权价格，并且（v）不需要比例参数来调整其准确度。我们为什么选择SFP方法？与SFP方法相比，Fourier-Pad'e技术不是更好的选择。傅里叶Pad'e技术（参见。

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2022-6-1 00:28:40

Chisholm和Common（1981年）、Small和Charron（1988年）、Geer（1995年）是一种著名的逼近非光滑函数的技术，因此可以在远离跳跃的情况下实现谱收敛，并且收敛不会全局退化。尽管如此，Driscoll和Fornberg（2001、2011）指出，Fourier-Pad'e方法的基本限制是，使用极点来近似分支切割是不够的，而由单位圆上的跳跃转换的对数奇点对于Pad'e近似很难进行模拟。因此，该方法无法在跳跃处收敛。为了解决这个问题，Driscoll和Fornberg（2001、2011）在Fourier-Pad'e近似过程中添加了适当的对数分支奇点项。他们把这种方法称为奇异傅立叶变换法。在所有数值试验中（参见Driscoll和Fornberg 2001、2011），SFP可以加速误差收敛到解析周期函数或非光滑函数的真解，并且由于跳跃而产生的Gibbs现象的全局影响在很大程度上被消除。如果函数非常困难，当跳跃位置事先已知时，该方法仍会以指数形式全局收敛，跳跃时的精度会超过4-6位数。最重要的是，除了比较Fourier Pad'e技术外，Driscoll和Fornberg还将SFP方法与克服Gibbs现象的其他两种著名方法进行了比较，即Gegenbauer方法（Gottlieb和Shu 1997），一种将Fourier部分和投影到Gegenbauer多项式所跨越的空间的方法，以及奇点消除方法（Eckhoff 1997），跳跃不连续函数的奇异性消除方法。在比较这三种方法的数值试验中（参见Driscoll和Fornberg 2001、2011），SFP方法比其他方法具有更好的全局谱收敛性和更快的误差收敛性。

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2022-6-1 00:28:45

基于SFP方法的所有这些优点，我们选择了它，而不是其他可用的数值方法。本文的其余部分结构如下。第1节介绍。第2节描述了SFP方法。第3节介绍了本文研究的金融随机模型。第4节描述并证明了不同风格的欧洲期权的SFP期权定价/希腊公式的制定。在第5节中，我们描述了SFP算法和Fourier-Pad'e方法，以确定非光滑函数上的跳跃位置。第6节描述了截断积分区间的选择。第7节提供了期权定价和对冲中SFP方法的误差分析。第8节讨论、分析并比较了SFP方法与其他数值方法的数值结果。最后，我们在第9节中总结并讨论未来可能的发展。2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化2。Gibbs现象的奇异Fourier-Pad'e解释和校正如果我们考虑具有形式幂级数表示的函数f∞k=0bkxk，以及由RN定义的理性函数，M=PN/QM，其中PN和QM分别是N（x）=NXn=0pnxn和QM（x）=MXm=0qmxm，（1）的多项式，那么我们说，RN，M=PN/QM是满足条件NXn=0pnxn！的形式级数的（N，M）阶（线性）Pad'e逼近！-MXm=0qmxm！M+NXk=0bkxk！=O（xN+M+1）。（2）这里，f用pm+Nk=0bkxk来近似，为了获得近似值R（N，M），我们只需通过求解线性方程组来计算多项式pn和qm的系数。为了获得{qm}Mm=0，我们首先将q=1归一化，以确保系统具有良好的确定性，并具有（2）中的唯一解。然后，我们考虑xN+1的系数。

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2022-6-1 00:28:49

，xM+N，我们可以得到一个Toeplitz*线性系统：10亿+10亿-1···bN+1-百万+20亿+10亿。。。bN+2-M亿+百万···亿+20亿+10亿qq。。。qM公司= 0。（3）一旦知道{qm}Mm=0，就可以通过（2）中的N阶和更小阶项找到{pn}Nn=0。该yieldsp=Bq，其中bij=bi-j、例如，如果N=M，则得到pp。。。pN编号=bbb。。。。。。。。。bN···bbqq。。。qM公司. （4）正如我们在这里所做的那样，通过线性代数计算Pad'e近似值很简单，但不一定是最有效或最稳定的数值方法（参见Driscoll和Fornberg 2001，2011）。现在，假设f是区间上定义的分段解析函数[-π、 π），在t=ζs时，f中的s跳线位置∈ [π，π），s=1，…，s。我们将跳跃定义为f上的实际间断点或其导数后出现的间断点。然后，复傅立叶级数（CFS）表示为f（t）=∞Xk公司=-∞bkeikt，bk=2πZπ-πf（t）e-iktdt。（5）变换z=eit，它将区间[π，π]映射到复数Toeplitz矩阵或对角线常数矩阵中的单位圆上，这是一个可逆矩阵，其中每个从左到右递减的对角线都是常数。2017年11月15日，量化金融Singcfseurov13重新格式化平面，将傅立叶级数转换为z中的以下Laurent级数，可以拆分为F（z）=∞Xk公司=-∞bkeikt公司=∞Xk=0bkzk+∞Xk=0b-kz公司-k=f+（z）+f-（z）-1），（6）其中素数和表示第0项应减半。f±的Fourier Pad'e近似由多项式P±N（z）=Q±M（z）f±（z）+O（zN+M+1），z组成→ 0。（7）得到的近似值为asP+N（z）Q+M（z）+P-N（z-1） Q-M（z-1). （8）然而，Driscoll和Fornberg（2001年、2011年）指出，该近似值在函数的跳跃位置处/周围不会很好地再现，从而使近似值不准确。

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2022-6-1 00:28:52

所以，他们认为，在t=ζ时，f值的每一次跳跃都可以归因于一个对数1.-zeiζ. （9）这种f±中的对数奇点很难用Pad'e近似来模拟，可以利用它来增强近似过程。这就是Driscoll和Fornberg（2001、2011）提出的SFP方法背后的基本原理。我们修改Fourier-Pad'e近似（7）以获得以下条件：P±N（z）+L=Q±M（z）f±（z）+O（zU+1），（10），其中L=SXs=1L±s（z）log1.-zeiζs（11）对于某些多项式Ls，s=1，S、 U由S和PN、QMandLs的度数决定。如果我们扩展SFP方法，以支持有限区间[a，b]中的任何分段解析实函数f，其中一组跳跃位置{ζs}Ss=1∈ 【a，b】在f中，函数的CFS表示定义为f（x）=Re“∞Xk公司=-∞bkei2πb-akx#，bk=b- 阿兹巴夫（x）e-i2πb-akxdx。（12）这里，Re表示函数的真实部分。当我们专注于逼近实函数时，我们可以进一步得到f（x）=Re“∞Xk=1bkei2πb-akx+b#。（13） 2017年11月15日量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化基于此表示，我们将z表示为expi2πb-斧头然后将f转换为fequal-toRe“UXk=1bkzk+b#的截断幂级数。（14）转换z=expi2πb-斧头还表明跳跃位置ζ转换为对数1.-zε, 式中ε=ei2πb-f中的aζ（15）。最后，应用（14）和（15），我们可以得出SFP近似的最终形式，给定nbyp+N（z）+SXs=1L+Ns（z）log（1- z/εs）=UXk=1bkzk+b！Q+M（z）+O（zU+1），（16），其中P+N（z）=PNn=0pnzn，Q+M（z）=PMm=0qmzm6=0，L+Ns（z）=PNsns=0lnszns，s=1，S、 U=N+M+S+PSs=1Ns。（17）一旦我们确定了{pn}Nn=0、{qm}Mm=0和{lns}Nsns=0的未知系数（参见第5节），f（x）的SFP表示可以表示为f（x）=ReP+N（z）+PSs=1L+Ns（z）log（1- z/εs）Q+M（z）！，z=ei2πb-ax。(18)3.

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2022-6-1 00:28:55

资产动态的随机模型我们假设金融股票市场无摩擦且无套利，并采用市场选择的等效参与测度Q。以下区域中定义的所有随机过程都假设存在于完整的过滤概率空间中(Ohm, F、 {Ft}t≥0，Q）。指数L'evy过程的标准参考可在Schoutens（2003）和Cont and Tankov（2004）中找到；有关流程，请参见Du ffe等人（2003）。3.1。指数L'evy过程股价过程（St）t≥0由指数L'evy过程驱动的Q下可定义：ST=Ste（r-q）（T-t） +文本-Xt+ω（T-t）（19）=Ste（r-q+ω）（T-t） +文本-t、（20）其中XT、XT和XT-X都是L'evy流程。由于列维过程具有独立的平稳增量，我们可以说XT- Xt=Xt-t、纵观全文，r≥ 0和q≥ 0分别表示恒定无风险利率和恒定股息收益率；Stre于2017年11月15日发布了量化金融SingCfseurov13，重新格式化了t时的已知股价；Stre给出了时间T的随机股价。条件是（STe-（r）-q）（T-t））t≥选择适当的均值校正补偿器ω可以保证0是鞅，如下所示：ω=T- tE公司提取-t型, （21）其中E提取-t型假设所有0≤ t型≤ T给定L'evy过程（XT-t） t型≥0，定义相应的特征函数如下：Д（u）=E[eiu（XT-t） ]=e（t-t） φ（u），u∈ R、（22）这里，φ（u）是一个连续函数，由φ（u）=Au给出L'evy Khintchine表示- iγu+Z∞-∞（1）- eiuχ+iuχ1 |χ|≥1） ν（dχ），χ∈ XT公司-t、具有特征三重态（A，γ，ν）。在库存过程建模中，大量考虑了指数L'evy过程。

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大多数88

2022-6-1 00:28:58

由于篇幅的限制，我们无法展示本文中的所有过程；相反，我们有选择地研究这些过程，因为它们很受欢迎，或者它们的数字实现挑战。然而，这并不意味着我们的方法只适用于我们选择的流程。随着本文的发展，我们可以看到，只要一个过程具有特征函数，通过我们的方法就可以适当地近似该过程驱动的期权价格及其风险。3.2。指数A ffne过程指数A ffne特征函数由Д（u）=E[eiuXt]=exp（C（u，t）+XD（u，t））给出。（23）这里，函数C（u，t）完全由dC（u，t）/dt=D（u，t）表示，函数D（u，t）满足Riccati方程（Du ffe et al.2003）。更准确地说，我们可以找到C（u，t）=0且D（u，t）=u的函数C（u，t）和D（u，t），这样mt=exp（C（u，t- t） +XtD（u，t- t））（24）是一个鞅过程。在a ffine过程家族中，本文重点研究了Hestonmodel。赫斯顿模型的随机微分方程（SDE）写为DST=（r- q） Stdt公司+√ytStdW1，t，（25）dyt=λ（(R)y- yt）dt+η√ytdW2，t，（26），其中Lt和Yt分别表示随机对数资产价格变量和资产价格过程的方差。在此过程中，平均回归速度λ、平均方差水平y和波动率的波动率η是大于或等于零的常数值。此外，布朗运动W1，tand W2，皮重与相关系数ρs相关，ω=E[ei(-1i）Xt]是平均值校正补偿器。

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2022-6-1 00:29:02

该模型特征函数位于2017年11月15日新的量化金融SingCfseurov13重新格式化通用特征函数框架中，由以下公式给出：Д（u）=expiu（（r- q） t+ω）+yη1.- eEt1- F eEt（λ- iρsηu- E）+λ′yηt（λ- iρsηu- E）- 2日志（1- F、e-Et1- F）, u∈ R、（27）E=p（λ- iρsηu）+（u+iz）η，F=（λ- iρsηu- E） /（λ- iρsηu+E）。该特征函数是唯一指定的，因为我们采用（x+yi）使其实部为非负，并且我们将复对数限制在其主分支上。在这种情况下，正如Lord和Kahl（2010）所证明的，得到的特征函数是特征函数解析条中所有复数z的正确函数。在SDE中，我们有两个关于λ、\'y和η的可能条件：2λ\'y≥ η、（28）2λ′y<η。（29）如果（28）持有，则模型满足伐木者财产；否则，（29）成立。如果一个过程完全符合属性，则该过程永远不会达到零；相反，如果没有，则进程可以达到0。条件（29）对于Heston SDE来说是一个非常重要的属性，因为当我们将边界条件指定为0时，它们只能有唯一的解。在数学金融中，选择的边界条件是过程保持在0。我们将其定义为吸收边界条件。当进程达到0并允许离开0时，我们称之为反射边界。这两个边界条件对于早期行权期权（包括美式期权和限制期权）的定价至关重要。4、欧式期权价格的奇异傅里叶-帕德表示法及其期权定价公式4.1。

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2022-6-1 00:29:06

期权定价公式在本节中，我们使用SFP方法推导欧式期权的封闭式公式。考虑随机过程的PDF f，当前对数价格x：=对数S，执行价格K和到期日T≥ t、我们可以表示从时间t开始的期权价格V（x，K，t），其未定权益支付G（ST，K），如下所示：V（x，K，t）=e-r（T-t） E（G（ST，K）| ST=ex）（30）=E-r（T-t） E（G）（SteXT-Xt，K）（31）=e-r（T-t） Z∞-∞G（ex+χ，K）f（z）dz，χ∈ XT公司- Xt。（32）2017年11月15日，如果我们选择满足条件ZDCF（χ）eiuχdχ的区间[c，d]，则量化金融Singcfseurov13将进一步重新格式化≈ E[eiu（XT-Xt）]=Д（u），（33），其中Д（u）是Xt的特征函数- Xt，我们可以近似得出定价公式：V（x，K，t）≈ e-r（T-t） ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ。（34）定理1当支付股息的风险资产价格过程（St）t≥0具有可追踪的分析特征函数Д（·）的当前资产价格ex=S，无风险利率r和复合连续股息q，欧洲普通看涨期权的SFP定价公式由该过程驱动，到期日T和执行价格K isV（x，K，T）=e-r（T-t） Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#，（35），其中z=ei2πd-c类(-x+log K）εs=ei2πd-cζsP+N（z）=PNn=0pnzn，Q+M（z）=PMm=0qmzm6=0，L+Ns（z）=PNsns=0lnszns，s=1，S、（36）这里，ζ是V（x，K，t）中的跳跃。证明：首先，欧式看涨期权的支付函数是G（ex+χ，K）=max（ex+χ- K、 0）英寸（34）。为了符合SFP近似框架，我们首先转换payoff:maxex+χ- K、 0个= K最大值ex+χ-日志K- 1, 0. （37）相应地，通过替换x+χ- 用y记录K，我们有一种新形式的V（x，K，t）表示ase-r（T-t） Z∞-∞K最大值（ey- 1，0）f（y- x+log K）dy.（38）为了提高SFP方法的效率，我们定义了一个截断的计算区间[c，d]（参见。

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2022-6-1 00:29:09

第6节），满足条件（33），替换[-∞, ∞]. 然后，V（x，K，t）被公式化为ase-r（T-t） ZdcK最大值（ey- 1，0）f（y- x+对数K）dy=e-r（T-t） ZdK（ey- 1） f（y- x+log K）dy.（39）使用傅里叶变换移位定理和（13）中所示的CFS展开式，我们表示f（y- x+log K）asRe“∞Xk=1bkei2πb-aky+b#，（40）2017年11月15日定量金融Singcfseurov13重新格式化，其中BK=d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司ei2πd-ck公司(-x+对数K）b=d- cZdcf（y）dy.（41）将（40）代入（39）并应用Fubini定理；V（x，K，t）可计算为-r（T-t） ZdK（ey- 1） Re“∞Xk=1bkei2πd-cky+b#dy=e-r（T-t） Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司ei2πd-ck公司(-x+对数K）ZdK（ey- 1） ei2πd-ckydy+d- cZdcf（y）dyZdK（ey- 1） dy！。（42）在上述等式中，基本微积分意味着Zdk（ey- 1） ei2πd-ckydy=K（d- c） i2πk+（d- c）e（i2πd-ck+1）d- 1.-K（d- c） i2πke（i2πd-ck）d- 1., （43）ZdK（ey- 1） dy=K（ed- （1）- Kd。（44）同时，由于条件（33），我们还可以看到zdcf（y）e-i2πd-ckydy公司≈ ^1-2πd- ck公司andZdcf（y）dy≈ φ(0) = 1. （45）为了简单起见，在（42）中，我们设置bk=d-c^1-2πd-ck公司,bB=d-cД（0）=d-c、 bGk=K（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）d- 1.-K（d-c） i2πke（i2πd-ck）d- 1.,bG=K（ed- （1）- Kd（46）获得简化形式：V（x，K，t）=e-r（T-t） Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#。（47）为了用SFP表示表示我们的最终定价公式，我们近似∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG（48）in（47）with（16）。为此，我们首先更换-x+log K和一个变量yin（48），然后，这允许我们设置expi2πd-cy公司等于z。变换z=expi2πd-cy公司将区间[c，d]映射到z中的单位圆上。2017年11月15日，这种变化还将沿V（x，K，t）的跳跃ζ转换为z。量化金融SingCfseurov13重新格式化了ε=exp的形式i2πd-cζ. 最后，用新变量z表示（48），我们得到∞Xk=1bBkbGkzk+bBbG。

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2022-6-1 00:29:12

（49）用（16）中的f（z）代入上述方程，我们得到由p+N（z）+SXs=1L+Ns（z）log（1）给出的近似值- z/εs）=UXk=1bBkbGkzk+bBbG！Q+M（z）+O（zU+1）（50）P+N（z）=PNn=0pnzn，Q+M（z）=PMm=0qmzm6=0，L+Ns（z）=PNsns=0lnszns，s=1，S、 εS=ei2πd-cζs，U=N+M+PSs=1Ns。（51）一旦我们可以通过第5节所示的算法确定{pn}Nn=0，{qm}Mm=0和{lns}Nsns=0in（50）的未知系数，并替换∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+BBBG，P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z），z=expi2πd- c类(-x+对数K）在（47）中，我们得出了欧洲普通看涨期权的第一个SFP定价公式，如（35）。Q、我们可以应用同样的技术来寻求普通看跌期权的SFP定价公式。为了实现这一点，我们首先转换put payoff函数G（ex+χ，K）=max（K- ex+χ，0）到-K最大值ex+χ-日志K- 1, 0. （52）然后，我们遵循定理1的证明，得到了V（x，K，t）的CFS表示-r（T-t） Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#，（53），BGK=Zc-K（ey- 1） ei2πd-ckydy=K（d- c） i2πk+（d- c）e（i2πd-ck+1）c- 1.-K（d- c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.,（54）bG=Zc-K（ey- 1） dy=K（ec- （1）- Kc。（55）以定理1证明中所示的相同方式，我们用SFP近似值（16）近似（53）中的CFS展开式。因此，我们可以得到（35）的相同表达式，不同的有效值为{pn}Nn=0、{qm}Mm=0和{lns}Nsns=0。2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13从普通的看涨期权定价公式重新格式化，我们可以看到它们与（35）的FP近似值具有相同的格式。这与本文讨论的其他欧洲类型选项没有区别。唯一不同的是，每个选项的SFP公式中的{pn}Nn=0、{qm}Mm=0和{lns}Nsns=0的值彼此完全不同。

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2022-6-1 00:29:16

这归因于每个跳跃中的跳跃ζ及其支付函数，这导致了GK和Bgin的不同傅立叶变换（47）。为了便于读者参考，我们列举了本文研究的所有选项及其相应的支付函数G（ex+χ，K）和傅立叶变换gk以及Gin表1和2.4.2。期权希腊现在，我们将注意力转向推导期权希腊。虽然准确评估金融债权在金融建模中起着关键作用，但这些衍生工具的风险管理（对冲）同样重要。金融机构在向客户出售期权时，通过对希腊人的分析来管理期权风险，这种分析被定义为期权价格对状态变量或参数值的单个单位变化的敏感性。这种敏感性反映了期权相关风险的不同维度。在本文中，我们将重点推导三种希腊选项Delta、Gamma和Vega。希腊字母表的第4个字母, 定义为期权价值相对于标的资产价格变化的变化率；γ，Γ是关于基础价格的变化；最后，Vega是衡量期权对基础资产价格波动性变化的敏感性。总的来说，波动性衡量价格上下波动的数量和速度，它基于交易工具最近历史价格的变化而变化。其他希腊人，如西塔，也可以用类似的方式推导出来；然而，根据特征函数，派生表达式可能相当长。我们在这里省略了它们，因为许多术语都重复了。Delta是期权价值V相对于基础工具价格S的一阶导数。

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能者818

2022-6-1 00:29:20

因此，区分V（47）相对于S的CFS展开，我们有t型=V（x，K，t）S=V（x，K，t）x个x个S=e-r（T-t）-xRe“∞Xk=1-i2πd- ck公司bBkbGkei2πd-ck公司(-x+log K）#！。（56）以类似的方式，我们可以通过差异化t关于S，使得=V（x，K，t）S=t型S=t型x个x个S、（57）最终，Γt=e-r（T-t）-2xRe“∞Xk=1i2πd- ck公司i2πd- ck+1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+log K）#！。（58）也很容易获得Vega的配方，五、yt，其中yti是t时刻波动率的初始值。例如，对于赫斯顿模型，由于yi是（27）中波动率的初始值，我们推导Vega如下：V（x，K，y，t）y=e-r（T-t） Re“∞Xk=1bBk公司ybGkei2πd-ck公司(-x+对数K）#！，（59）2017年11月15日量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化bBk公司y型=φ(-2πd-ck，y）y、（60）式中，Д包含参数y.以获得我们的第一个SFP表示, 我们首先让y=-x+对数K，z=expi2πd-cy公司然后变换所有跳跃ζtintoε=expi2πd-cζ在（56）中。因此，这将（56）中的CFS表示转换为F（z）=2UXk=1的形式-i2πd- ck公司bBkbGkzk。（61）基于上述方程，使用（16），我们最终可以得到由P+N（z）+SXs=1L+Ns（z）log（1）给出的SFP近似值- z/εs）=f（z）Q+M（z）+O（zU+1）。（62）应用第5节中的近似算法来确定P+N、Q+M和L+Ns的系数，我们可以得到twith表格-r（T-t）-xReP+N（z）+PSs=1L+Ns（z）日志（1- z/εs）Q+M（z）！。（63）为了确定Γ和织女星的SFP近似值，我们遵循相同的近似思想t但如果UXK=1，则更换f（z）i2πd- ck公司i2πd- ck+1bBkbGkzkand 2∞Xk=1bBk公司ybGkzk。(64)5. 奇异Fourier-Pad'e算法和奇异点定位SFP方法中所需多项式系数的计算方法非常简单。

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2022-6-1 00:29:23

为了演示该算法，我们将重点放在一个简单的情况下，其中选项Pricing和Greens公式除了位于端点c和d的跳跃外，都是完全平滑的。因为我们考虑z=expi2πd-cy公司在期权定价公式或希腊公式中，c和d在z平面上的跳跃为-1。为了简单起见，我们将f（z）表示为任何欧式定价公式或其期权希腊公式的CFS表示。为了清晰起见，去掉了一些上标，并且知道s=1，在（16）中，我们有pn（z）+LN（z）log1.-zε= f（z）QM（z）+O（zU+1），（65）2017年11月15日定量金融Singcfseurov13重新格式化表1：各种财务或有索赔的支付函数及其变换财务或有索赔支付函数变换后的支付函数G（ST，K）G（ex+χ，K）Call max（ST- K、 0）K最大值（ex+χ-日志K- 1，0）放置最大值（K- ST，0）-K最大值（ex+χ-日志K- 1，0）覆盖呼叫最小值（ST，K）K最小值（ex+χ-日志K- 1，0）+KCash或Nothing第一次呼叫≥Kex+χ-日志K≥1现金或无现金放在第一位≤Kex+χ-日志K≤1设置或不设置调用STST≥Kex+χex+χ-日志K≥1资产或无资产投入测试≤Kex+χex+χ-日志K≤1Asymmetric调用（SnT- Kn）1档≥KKn（en（x+χ-日志K）- 1） 1ex+χ-日志K≥1Asymmetric Put（Kn- SnT）第1个≤K-Kn（en（x+χ-日志K）- 1） 1ex+χ-日志K≤1对称呼叫（ST- K） nST公司≥KnPj=0新泽西州(-1）（n）-j） ej（x+χ）+（n-j）对数Kex+χ-日志K≥1对称Put（K- ST）nST≤KnPj=0新泽西州(-1）（n）-j） e（n）-j）（x+χ）+j log Kex+χ-日志K≤1式中，N+M+N=U。ln和f（z）分别具有泰勒级数和CFS展开式，以确定U；因此，它们的扩展是对数的1.-zεs=UXk=1-zkεk+0（66）f（z）=2UXk=1bBkbGkzk+bBbG。（67）我们的目标是推导未知多项式系数的线性系统。请注意，QM（z）和LN（z）仅由大于N的阶数项确定。因此，我们寻求线性解决方案bBbG公司-Lql系列= 0

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能者818

2022-6-1 00:29:26

（68）这里，bBbG是（M+N+1）×（M+1）Toeplitz矩阵bBU+1BBU+1bBUbGU···bBbGbBU+2bBU+2bBU+1BBU+1。。。bBbG。。。。。。。。。。。。BBUBGUBU-1bGU-1···bBUbGU，（69）2017年11月15日量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化表2：各种财务或有索赔的复数傅里叶变换财务或有索赔傅里叶变换傅里叶变换BGKBGCALLK（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）d- 1.-K（d-c） i2πke（i2πd-ck）d- 1.K（编辑- （1）-KdPutK（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）c- 1.-K（d-c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.K（ec- （1）-KcCovered通话-K（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）c- 1.+K（d-c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.-K（ec- 1） +KcCash或Nothing通话（d-c） i2πke（i2πd-ck）d- 1.dCash或Nothing放置-（d）-c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.-cAsset或Nothing调用（d-c） i2πk+（d-c）e（i2πb）-ak+1）d- 1.（编辑- 1）资产或无资产出售-（d）-c） i2πk+（d-c）e（i2πd-ck+1）c- 1.-（ec- 1）不对称CallKn（d-c） i2πk+n（d-c）e（i2πd-ck+n）d- 1.-千牛（d-c） i2πke（i2πd-ck）d- 1.Knn（结束- （1）-KNDA对称PutKn（d-c） i2πk+n（d-c）e（i2πd-ck+1）c- 1.-千牛（d-c） i2πke（i2πd-ck）c- 1.Knn（enc- （1）-KNC对称调用NPJ=0新泽西州(-1）（n）-j）千牛（d-c） i2πk+j（d-c）e（i2πd-ck+j）d- 1.nPj=1新泽西州(-1）（n）-j） ×Knj（ejd- 1） +(-1） nKndSymmetric PutnPj=0新泽西州(-1）（n）-j+1）Kn（d-c） i2πk+（n-j）（d）-c）e（i2πd-ck+n-j） c类- 1.n-1Pj=0新泽西州(-1）（n）-j+1）×Knn-j（e（n-j） c类- （1）-Kncand L是（M+N+1）（N+1）矩阵，使用log（1+z）的泰勒系数进行类似定义。向量q={qm}Mm=0和l={ln}Nn=0按阶递增的顺序保持未知多项式系数。由于（68）中矩阵的列维数比其行维数大一，我们可以得出结论，（68）有一个非零解。在许多情况下，可以通过选择（例如）q=1将其制成方形系统。然而，如果不想假设任何特定系数为非零，可以通过奇异值分解来求解（68）（参见Gonnet et al.2013）。

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2022-6-1 00:29:29

最后，p={pn}Nn=1的未知系数可以通过以下矩阵系统相乘得到：p=bBbGbBbGbBbG。。。。。。。。。bBUbGU······bBbGq-lll。。。。。。。。。lU·····ll、（70）如果期权定价/希腊曲线（65）中有多个跳跃位置，这表明方程的以下修改：PN（z）+LN（z）log1.-zε+ . . . + LNs（z）日志1.-zεS= f（z）QM（z）+O（zU+1）。（71）因此，我们必须修改（68）以生成新的L矩阵和每个位置的系数向量，以反映变化。根据Driscoll和Fornberg（2001年，2011年），2017年12月15日，量化金融SingCfseurov13重新格式化了-1-0.5 0 0.5 1Y01234 VG模型的密度t=1-1-0.5 0 0.5 1Y01020304050 VG模型的密度t=0.1-1-0.5 0 0.5 1y-20-10010201丹尼斯的第一次微分t=1-0.5 0.5 0 1y-50510151丹尼斯的第一次微分t=0.1图1：第VG模型的密度函数（顶部）及其一阶导数（底部）。右上角和右下角的图中显示了一个分段连续（非平滑）PDF，在差异前后有一个跳跃。参数取自VG–Para1。选择度数M、N和N的严格优化公式，Ns。因为分母多项式qm是共享的，所以我们允许M是最大的，其他的尽可能相等。对于只有一个跳跃位置的情况，以大约40%的总可用自由度取N似乎效果很好。实验表明，这些选择可能会影响观察到的准确性，有时会影响一个数量级，但平均而言，在广泛的选择范围内，差异很小。上述方法均假设期权定价/希腊曲线中已知所有跳跃的位置。

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能者818

2022-6-1 00:29:33

对于位置未知的跳跃，我们遵循Riscoll和Fornberg（2001、2011）的建议，使用Fourier-Pad'e算法来估计其位置。由于我们使用CFS方法近似PDF而不是Payoff函数（参见第1项的证明），我们只考虑PDF中存在的跳跃。跳跃的存在归因于组合参数和/或导致PDF曲线尖峰的非常短的到期时间。使用Fourier-Pad'e算法（参见第2节中的Fourier-Pad'e近似）来估计PDF中的跳跃非常简单。我们首先将PDF表示为CFS表示：Re“∞Xk=1х-2πd- ck公司ei2πb-aky+Д（0）#。（72）然后，我们可以区分（72）关于y，以获得“∞Xk=1i2πb- ak公司^1-2πd- ck公司ei2πb-aky#。（73）最后，让z=expi2πd-cy公司在上述两个方程中，它们已准备好进行傅里叶Pad'eapproximation。一般来说，当PDF有跳跃时，在差异化后，尖峰跳跃点将有一个非常大的值。然后，基于这一结果，我们在原始PDF中找到了这一点。换言之，图1是VG模型（参见第8.1.2节）下的两个PDF（顶部）和傅里叶Pad近似后的一阶导数（底部）的前景图示。在图中，我们可以看到顶部和底部面板中的PDF是平滑的，没有任何跳跃，因为它们没有显示任何值非常大的点。然而，在右下角的图中，我们可以看到有一个跳跃，产生15×10的值。2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化6。截短区间的选择正如我们将在第7节中所示，区间[c，d]的选择受FP方法精度的影响。

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2022-6-1 00:29:36

一个最小且实质性的区间[c，d]可以捕获PDF的大部分质量，因此SFP方法反过来可以产生合理的全局谱收敛速度。在这一小段中，我们将展示如何构造与随机过程累积量的闭式公式相关的区间。Fang和Oosterlee（2009a）首先提出了使用累积量的想法，以构建（33）中的定义区间[c，d]。根据他们的想法，我们对[c，d]有如下表达式：=c+Lqc+√c类+日志SK公司（74）c=-d、（75）其中c、c和care分别是随机过程的第一、第二和第四累积量，L∈ [10, 12]. 对于简单、不太复杂的金融模型，我们还获得了c、c和c的闭式公式，如附录A的表A1所示。然而，在Hestonmodel中，我们使用了cand的绝对值，忽略了cdue的负值和c的冗长表示（参见Fang和Oosterlee 2009a）。因此，我们有c+Lp | c |而不是c+Lpc+√c、截断间隔仅适用于没有任何跳跃的平滑PDF。一般来说，通过反复试验，如果PDF中有跳跃，我们将0.5添加到（74）中，以允许我们的方法更好地收敛。因此，公式可以转换为：d=c+Lqc+√c类+日志SK公司+ 0.5（76）c=-d、（77）备注2毫无疑问，在大多数情况下，（76）的截断区间适用于任何正态非光滑PDF。然而，当条件变得非常极端时，例如，T=1e- 06在BSM–Para4第8.1.1节中，PDF在某一点上非常窄、薄且尖尖。（76）的区间仍然可以执行，但不是最佳值。为了改进它，我们将等式中的0.5替换为0.1。这归因于在短间隔范围内，对精度和收敛性的要求更高，所需的项更少。7.

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2022-6-1 00:29:40

误差分析在本节中，我们证明，通过选择适当的大区间[c，d]，欧式期权定价的总误差可以非常小。此外，我们还表明，即使输入PDF是一个Cν分段连续（非光滑）函数，也可以在期权定价曲线上的任何一点实现全局谱收敛。在本文中，任何买入/卖出期权都存在三种近似误差。（i）积分截断错误：:=Z∞-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ-ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ（78）2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化了（ii）与（47）近似（42）相关的错误：:=Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydybGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dybG#-Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#=Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司-bBk公司bGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dy-bB型bG公司#（79）（iii）截断SFP系列错误：:=Re“∞Xk=1bBkbGkzk+bBbG#- Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#,z=ei2πd-c类(-x+log K）和εs=ei2πd-c（ζs）（80）如果我们引入累积概率密度函数（CDF）F（χ）的概念，使得F（χ）dχ=dF（χ），我们可以将积分截断误差简化如下：=Z∞-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ-ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ=Zc公司-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ+Z∞dG（ex+χ）f（χ）dχ≤Zc公司-∞G（ex+χ，K）χF（χ）dχ+Z∞dG（ex+χ，K）χ(1 - F（χ））dχ(81)≈ 0：（如果χ=c，d，-∞, ∞). （82）我们可以看到有界且接近零，只要合理选择[c，d]，使1- F（d）≈ 当d<∞ 或F（c）≈ c>0时为0-∞. 我们也可以采用同样的想法来研究. 因此，考虑到| exp（i2πkd-cy）|≤ 1，我们首先调查错误:=d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司-bBk公司2017年11月15日量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化.

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2022-6-1 00:29:43

如果我们展开上面的方程，我们得到:=d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司-d- c^1-i2πd- ck公司(83)=d- cZ公司∞-∞f（y）e-i2πd-ckydy公司-d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司(84)≤d- cZc公司-∞f（y）dy+Z∞df（y）dy(85)=d- c（F(∞) - F（d）+F（c）- F级(-∞))(86)≈ 0：（如果y=c，d，-∞, ∞). （87）根据上述结果，:=Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydy公司-bBk公司bGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dy-bB型bG公司#≤Re“∞Xk=1bGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dy-d- cZdcf（y）dybG公司#≈ 0.（88）得出以下结论：接近零时，我们首先注意到Gk和Gb没有近似误差，因为它们的闭合形式表达式。然后，一次趋于零时，方程的第一项也将减小到零。方程的最后一项趋于零，因为ebbequalsd-cRdcf（y）dy（参见（45）和（46））。最后，SPF系列截断误差也是有界的（参见Driscoll和Fornberg 2001年、2011年），其公式如下：:=Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#- Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#= O（zN+M+PNss=1Ns+1）。（89）的误差项即使输入PDF是Cν分段连续的，当全局光谱速率为O（zN+M+PNss=1Ns+1）时，也趋于零。在我们说明近似任何真正的欧洲类型期权价格V（x，K，t）时的总误差范围之前，定义为 :=V（x，K，t）- e-r（T-t） Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#, （90）我们首先总结了欧式期权价格的整个近似过程，并指出其中, , 和躺我们首先寻求一个确定的区间[c，d]，该区间允许我们在2017年11月15日左右重新确定量化金融SingCfseurov13格式（x，K，t）[-∞, ∞] in（30），形式为v（x，K，t）≈ e-r（T-t） ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ。我们提出的区间[c，d]满足条件（33）。因此，我们得到了第一个近似误差.

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2022-6-1 00:29:46

由于V（x，K，t）现在近似于[c，d]，这意味着我们可以构造V（x，K，t）的CFSexpansion，就像（42）中的一样。然后，由于在CFS展开中包含特征函数Д（·）允许更精确的近似，我们有另一个V（x，K，t）的CFS展开，如（47）所示。因此，我们, 近似误差为（42），近似值为（47）。最后是（50）的误差，这是用SFP近似值（16）近似（47）的公式。通过结合, 和, 我们可以确定总误差范围; 因此，我们有一个不等式 =V（x，K，t）- e-r（T-t） Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#(91)=e-r（T-t） Z∞-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ- Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#！≤e-r（T-t）Z∞-∞G（ex+χ，K）f（χ）dχ-ZdcG（ex+χ，K）f（χ）dχ+Re“∞Xk=1d- cZdcf（y）e-i2πd-ckydybGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+d- cZdcf（y）dybG#-Re“∞Xk=1bBkbGkei2πd-ck公司(-x+对数K）+bBbG#+Re“∞Xk=1bBkbGkzk+bBbG#- Re“P+N（z）+PSs=1L+Ns（z）对数（1- z/εs）Q+M（z）#!≤ |e-r（T-t）|(+ + )|< |e-r（T-t）|(+ + O（zN+M+PSs=1Ns+1））|≈ 0。（92）备注3根据Driscoll和Fornberg（2001，2011），O的速率（zN+M+PNss=1Ns+1）在空间上不均匀，因为跳跃时的收敛在某种程度上受到直接Pad'e问题的众所周知的数值病态的限制。此外，当曲线有一个连续点（零阶跃点）时，它的收敛速度也是单侧极限值的平均值。通过Driscoll和Fornberg（2001）的数值实验，我们可以看到SFP方法可以在跳跃时产生谱收敛速度。如果跳跃很难插值，则不一定是这种情况。

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2022-6-1 00:29:49

尽管如此，正如Driscoll和Fornberg（2011）所指出的那样，如果事先知道跳跃的准确度，我们仍然可以在跳跃时获得4-6位数的准确度。当跳跃事先未知时，我们可以使用傅里叶Pad'e算法来查找它们（见第5节）。通过结合这种技术，SFP方法仍然可以执行并在跳跃非常难以插值时产生谱收敛或四阶收敛。2017年11月15日，量化金融SINGCFSEUROV13重新格式化8。数值结果在本节中，我们通过各种数值试验证明了SFP方法的性能。本节的目的是首先测试第7节中的误差收敛分析是否与本节中的数值结果一致。第二，我们测试了SFP方法对任何资金充裕/短缺且期限长/短的欧式期权进行定价的能力。第三，我们分析了SFP方法在近似期权价格的小值或大值时是否能够提供一致的精度。最后，在该方法的一个主要发展中，我们测试了SFP方法是否可以保持全局谱收敛，即使DF是分段连续的。本文采用了一些常用的数值方法，从误差收敛性、收敛速度和计算时间等方面对SFP方法进行了检验。这些方法包括COS方法（Fourier-COS级数方法，Fang和Oosterlee 2009a）、滤波COS方法（具有指数滤波器以解决吉布斯现象的COS方法；见Ruijter et al.2013）、CONV方法（FFT方法，Lord et al。

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2022-6-1 00:29:52

2008），Lewis-FRFTmethod（分数FFT方法，Lewis 2001，Chourdakis 2004），以及B样条、Haar小波和SWIFT方法（基于小波的方法；参见Ortiz Gracia和Oosterlee 2013，2016）。在实现CONV和Lewis-FRFT方法时，我们对fourier积分使用Simpson规则来实现四阶精度。在filter-COS方法中，我们使用指数滤波器，并将精度参数设置为10，因为Ruijter等人（2013）报告称，该滤波器比其他选项提供更好的全局收敛性。我们还将CONV和Lewis FRFT的阻尼因子分别设置为0和大于零的任何值。由于SFP方法要求近似对数序列中的跳跃，我们考虑并应用端点c和d作为所有非光滑/光滑PDF的两个已知跳跃。只有Black-Scholes-Merton（BSM）模型的非光滑PDF的跳跃被称为其平均值。对于其余的非光滑PDF，我们使用Fourier Pad'e算法（参见第5节）来查找它们的位置。在所有的数值实验中，我们使用参数U表示SFP方法的项数，N表示其他方法的项数/网格点数。当我们测量数值方法的近似误差时，我们使用绝对误差，单位范数误差r∞以及测量单位的误差。此外，为了提高我们方法的准确性，我们使用了调用-输出奇偶校验–Vcall（x，K，t）=Vput（x，K，t）+Sexp(-qT）- K经验值(-rT）-一旦我们准备好价格，就可以接近买入价。最后，在对120次实验的计算时间进行平均后，确定了所有呈现的CPU时间（inseconds）。所有实验都使用了一个带有2.8 GHz Intel Core i7 CPU和两个8 GB DDR SDRAM（高速缓存）的MacBookPro。该代码是在MATLAB R2011b中编写的。

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2022-6-1 00:29:55

最后，Von Sydow等人（2015）检索了实现COS方法和FFT方法的MATLAB代码，如CONV方法等。8.1. 指数L'evy过程8.1.1。布莱克-斯科尔斯-默顿模型。第一次数值实验使用BSM模型进行（参见Black and Scholes 1973，Merton 1973）。由BSM模型（几何布朗过程）驱动的股票动力学由T=Se（r）给出-q-σ） T+σWT，（93），其中WT是风险中性布朗运动，σ是波动率。模型的特征函数也定义为Д（u）=expTiu（r- q-σ) -σu, u∈ R、（94）2017年11月15日，定量金融SINGCFSEUROV13重新格式化实验参数从以下各项中选择：BSM–Para1：S=100，σ=0.15，R=0.03，T=1.0，q=0.0，（95）BSM–Para2：S=100，σ=0.25，R=0.1，T=50或100，q=0，K=120，（96）BSM–Para3：K=100，σ=0.2，R=0.06，T=1e- 06，q=0。（97）在第一次数值测试（BSM–Para1）中，我们首先检查了从1到200的走向K的收敛行为，分别是资金投入/产出和资金香草putoptions。参数检索自von Sydow等人（2015）。在第二次数值测试中，我们使用相同的参数，检查现金或无任何看跌期权（而非普通期权）相对于从80到120不等的行权K的收敛行为。在第一次测试中，我们将该方法与COS方法、CONV方法和Lewis FRFT方法进行了比较，但在第二次测试中仅与COS方法进行了比较。第三个数值实验（BSM–Para2）致力于比较COS方法、SFP方法和SWIFTmethod对长期看涨期权的性能。由于我们在保险和养老金行业有时会遇到这些选择，因此值得对我们的方法进行测试。

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