稳定分布的参数估计及其应用

2022-6-1 01:38:37

第1页，共28页计量经济学|研究文章Cogent Economics&Finance（2017），5:13188135:1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813ECONOMETRICS|研究文章稳定分布的参数估计及其在商品期货对数收益率中的应用。Kateregga*、S.Mataramvura和D.TaylorAbstract：本文探讨了α-根据金融资产日志回报数据估计参数的稳定分布。我们讨论了四种参数估计方法，包括分位数法、对数矩法、最大似然法（ML）和经验特征函数法（ECF）。本文的贡献有两个方面：首先，我们讨论了上述参数方法，并通过误差分析研究了它们的性能。此外，我们认为ECF在宽范围的形状参数值上的性能优于ML，α包括最接近0和2的值，并且ECF比ML具有更好的收敛速度。其次，我们将T位置尺度分布与一般稳定分布进行比较，表明前者无法捕获数据中可能存在的偏态。这是通过将ECF应用于商品期货日志返回数据以获得稳健性参数来观察到的。科目：数学金融；可能性统计学关键词：稳定分布；参数估计；密度估计AMS科目分类：62G05；62G07；62G32关于作者M.Kateregga先生是南非开普敦大学即将毕业的博士生。他的研究是在数学金融领域，他的博士论文名为《稳定分布与金融应用》。本论文是他的论文中的一章，将于2017年8月提交。

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2022-6-1 01:38:41

MrKateregga也是非洲定量金融与风险研究合作组织（ACQuFRR）的研究员，该组织是非洲金融市场与风险管理研究所（AIFMRM）的研究部门，提供金融市场、风险管理和定量金融方面的研究生教育和培训。Kateregga先生还担任南非非洲数学科学研究所（AIMS）的研究助理。公共利益声明本文的标题是“稳定分布的参数估计及其在商品未来日志返回中的应用”。本文对有兴趣将财富投资于金融市场的个人很有用。它提供了有关历史资产价格如何通过参数估计通知未来市场变动的基本信息。这对于投资组合经理、投机者和对冲者来说至关重要。必须建立最准确的估算方法。市场数据分布偏离正态分布，它表现出倾斜、高峰或低谷、厚尾或短尾。本论文旨在建立偏斜数据经济和金融分析中已知方法中的最佳估计方法。(c)2017作者。本开放获取文章根据知识共享署名（CC-BY）4.0许可证发布。第2页，共28M页。KatereggaPage第3页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.13188131.引言本文的动机在于，根据历史数据进行参数估计是对金融市场参与者的重要分析。它为投资组合管理者、投机者和套期保值者提供了有用的信息。因此，必须建立最准确的估计方法。

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大多数88

2022-6-1 01:38:44

众所周知，一般来说，市场数据偏离高斯分布，其分布要么是倾斜的，要么是高峰值的，要么是低峰值的，和/或是带着肥瘦的尾巴。本文旨在建立一种更好的参数估计方法，该方法是经济和金融分析中常用的ECF、ML、分位数和对数矩方法，用于假设为稳定分布的偏斜数据。稳定分布在金融中的应用可以追溯到50年代末，当时曼德尔布罗特（1959、1962、1963）提出了一个假设，彻底改变了经济学家在粮食和证券等投机性市场中看待和解释价格的方式。这一假设表明，价格并不像市场参与者基于Bachelier（1900）之前所认为的那样是高斯分布的。因此，曼德尔布罗特的假设是广受欢迎的巴赫勒（1900）突破的延伸。在随后的几年中，Zolotarev（1964）开发了稳定定律的积分表示，其结果被用于开发稳定定律的参数估计技术。Fama（1963）回顾了Mandelbrot假设的有效性，并提出了适合处理投机价格的统计工具。Dumouchel（1971）在长尾数据的统计推断中使用了这类分布。Holt和Crow（1973）和Koutrouvelis（1980）使用回归法对其密度进行了图形表示，并通过插值对其参数进行了估计。Fama和Roll（1971）提出了基于分位数方法的对称稳定分布参数估计方法，但这种方法在指数参数超过单位的非对称情况下面临传统位置参数不连续的问题。

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2022-6-1 01:38:47

McCulloch（1986）后来介绍了分位数方法的修正和推广。一个diMa和Nikias（1995）提出了基于分数低阶矩（FLOM）的erent参数估计技术，其中作者开发了在脉冲信号环境中估计参数的新方法。然而，他们的方法仅适用于对称稳定分布。有必要将该方法扩展到不对称系统。Kuruoglu（2001）提出了广义FLOM方法。通常，FLOM方法会带来一个挑战，即必须估计Sinc函数，而这反过来又会导致ects结果的准确性。因此，Kuruoglu（2001）提出了一种称为对数矩法（LM）的更好的估计方法，以避免计算Sinc。第三种估计方法使用最大似然（ML）。众所周知，ML方法由于其普遍性和渐近性，在经济和金融应用中受到广泛青睐效率（例如，见Yu，2004）。然而，在某些情况下，ML方法可能不可靠，尤其是当似然函数不可处理，或其不在参数空间上有界，或没有闭合形式表示时。例如，在本文中，考虑的密度没有闭合形式的表达式。然而，由于密度函数与其傅里叶变换之间存在一对一的对应关系，因此值得利用后者，因为后者总是存在且有界的。这就引出了下一种估算方法。第四种估计方法是Yu（2004）讨论的经验特征函数（ECF）方法。

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2022-6-1 01:38:50

虽然似然函数可以是无界的，但其傅里叶变换总是有界的，虽然似然函数可能不可处理或不可能是闭合形式，但傅里叶变换可以有闭合形式的表达式。密度函数的傅里叶变换是特征函数（CF），因此被称为经验特征函数（ECF）方法。在本文中，我们的目的是证明这种方法的性能优于所有以前提到的方法。Nolan（1997）提供了一个可用于估计稳定分布的有用软件包。285年第4页参数统计估计的更具理论性的方法：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813stableZolotarev（1980）广泛讨论了法律。对如何模拟稳定过程感兴趣的读者可以参考Weron和Weron（1995）以及Zolotarev（1986）的两篇优秀文献。这篇文章探讨了富裕而健壮的家庭背后的理论α-根据金融资产日志回报数据估计参数的稳定分布。我们讨论了四种参数估计方法，包括分位数法、对数矩法、最大似然法和经验特征函数（ECF）法。本文的贡献有两个方面：首先，我们讨论了上述参数方法，并通过误差分析研究了它们的性能。此外，我们认为ECF在广泛的形状参数值范围内的性能优于ML，α包括最接近0和2的值，并且ECF比ML具有更好的收敛速度。其次，我们将t位置尺度分布与一般稳定分布进行比较，表明前者无法捕获数据中可能存在的偏态。

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2022-6-1 01:38:53

通过将ECF应用于商品期货日志收益数据以获得稳定的参数，可以观察到这一点。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们基于广义中心极限定理从独立和同分布的随机变量定义了一个稳定过程及其构造，并讨论了其特征。在第三节中，我们通过特征函数研究了稳定过程的密度和分布性质。第4节解释了本文讨论的四种参数估计方法的工作原理，并对其准确性进行了分析。在第5节中，我们研究和分析了一些商品数据，发现这些数据偏离了正态分布假设。我们使用ECF从数据中获得四个稳定参数，此外，将数据拟合到各种分布，以确定数据的最接近形状，这就是我们所有数据的t位置-尺度分布。此分布适用于具有高峰值和高尾异常值的数据。然而，我们建议进行稳定的分布拟合，以检查是否存在任何现有的尾部。第6节结束。2、稳定过程稳定也称为α稳定（或等效α-稳定）过程属于一类一般的Lévy分布。它们是具有定义指数参数的限制分布α这决定了它们的形状。2.1. 定义和构造定义2.1 LetX1，X2，…，Xnbe独立且分布相同的随机变量，并假设其中定义了一个随机变量“=>” 表示分布的弱收敛性，anis为正常数，BN为实。这是一个稳定的过程，常量和二进制数不必是有限的。定义2.1允许使用稳定分布对超出常态的许多自然现象进行建模。

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2022-6-1 01:38:58

ANANDBN不一定必须是有限的这一事实提供了广义中心极限定理。定义2.2（广义中心极限定理Rachev（2003））假设x1，X2，…表示独立同分布随机变量的序列，并让序列∈ Randbn∈ R+. 然后我们可以定义一个SUMSZ序列，确保其分布函数弱收敛于某个极限分布：（1）S=>an（n∑i=1Xi- bn），（2）Zn：=bn（n∑i=1Xi- an）第5页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813whereH（x）是某种极限分布。传统的中心极限定理假设有限平均值：=E【Xi】和有限方差σ2:= Var【Xi】定义了sumssuch序列，其中ZN的分布函数弱收敛于HSG（x）：其中HSG（x）表示标准高斯分布。假设独立同分布的随机变量X几乎肯定等于一个正常数c，序列a和B（2）由AN=（n）定义-)candbn=，那么几乎可以肯定的是，对于所有n>0的情况，zn也等于c。在这种情况下，随机变量是相互依赖的，因此，通过定义，sumsZnbelong的极限分布是稳定的分布族。这是它们被视为稳定的原因之一。2.2。

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2022-6-1 01:39:01

参数化定义2.3稳定分布是由S表示的四参数族(α, β, ν, μ):(1)α ∈（0，2）是负责分布形状的特征指数。（2）β ∈ [-1，1]负责分布的偏斜。(3)ν>0是比例参数（它缩小或扩展周围的分布μ).(4)μ ∈ R是位置参数（它将分布向左或向右移动）。假设一个随机变量s服从稳定分布(α, β, ν, μ)然后随机变量Z=（s- μ)∕ν具有与s相同的形状分布，但具有位置参数μ = 0和比例参数ν = 这是它们被称为稳定的另一个原因，在任何重新缩放后，形状都会保持不变。密度α-除了高斯分布的情况外，稳定分布没有闭合形式的表示(α = 2），柯西(α = 1.β = 0）和反高斯或皮尔逊(α = 0.5, β =±1）分布。（1）高斯分布n(μ, σ2）：S2, 0,σ2.μ.（2）柯西分布：S（1，0，ν, μ).(3)P（锌<x）=>H（x），n ∞,（4）锌：=σnni=1Xi- 不适用,(5)P（x<Zn<x）=>x个∫xhsG（x）dx，n∞（6） hsG（x）=1√2.π经验值(-x个∕2）。hG（x）=σ2.π经验值-（十）- μ)2.σ; -∞< x<∞.hC（x）=πνν+（1）- x）；-∞< x<∞.第6页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813（3） Levy分布（逆高斯或Pearson）：S（1∕2, 1, ν, μ).密度通常通过傅里叶变换等变换使用特征函数计算。我们还可以参考Zolotarev（196419801986）的工作，了解稳定分布和密度函数的直接且易于计算的积分表示。di的分布函数埃伦特αDumouchel（1971年）、Fama andRoll（1968年）和Holt and Crow（1973年）将这些数值制成了表格。密度和分布特性3.1。特殊箱子（Xt、t≥0）表示Lévy过程。

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2022-6-1 01:39:04

XT的特征是由Lévy Khintchine公式推导出来的。定义3.1（Levy Khintchine&Applebaum，2004）LetX=（Xt）t≥0成为一个轻松的过程。存在B∈ R,σ ≥0使得X的特征函数由式1给出{·}是指示器功能，m是σ-满足约束定义3.2的有限度量（Levy It^oDecomposition Applebaum（2004））如果X是一个Lévy过程，那么就存在B∈ R, 布朗运动σ（t）有差异σ ∈ R+和一个独立的泊松随机测度R+×(R-{0}）这样，对于每个≥ 0，其中补偿复合泊松随机测度定义为N=N- t型λ保持鞅性质。Lévy度量λ满意度（8）。通过设置σ在（7）中归零，或在（9）右边的第二项归零，在（8）中的Lévy测度归零=√νπ（十）- μ)-3.∕2经验(-ν2（x-μ)); μ<x<∞.（7） Φ（t）：=E[eitX]=经验值投标人须知-σt型+∫R-{0}（eitx- 1.- itx1x个<1） m（dx）,(8)∫R-{0}最小（1，| x |）m（dx）<∞; 或者∫R-{0}| x | 21+| x | m（dx）<∞.（9） Xt=bt+Bσ（t）+|x |<1xN（t，dx）+|x个|≥1xN（t，dx），（10）b=E十、-x个≥1xN（1，dx）.第7页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813This给出了一个纯跳跃Lévy过程，这是一个稳定分布族的简单例子。我们在下面讨论一般情况。3.2. 一般酪蛋白（St）t≥0将代表一个稳定的过程。其特征函数Φ是使用稳定随机变量吸引域的定义和定义3.1中的Lévy Khinchine表示公式获得的（见Applebaum，2004）：McCulloch（1986）讨论了参数化的替代形式，以便于数值分析。第3.4节将对此进行更多讨论。使用傅里叶变换从（12）计算出的SIS密度：图1显示了di的密度图不同的指数参数值。

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2022-6-1 01:39:07

密度是在整个实数线上定义的，出于财务用途，通常使用对数收益数据代替原始资产价格来拟合这一系列分布。（11） m（dx）=C | x | 1+αdx；C>0，（12）Φ(θ)=经验值-ναθα1.- 我β 签署(θ) 棕褐色的πα+ 我μθ; 对于α≠1.exp-νθ1+1β 签署(θ)π日志θ+ 我μθ; 对于α = 1.（13）hSt（s）=2π∞∫-∞e-istΦ（t）dt。图1：。α-稳定密度α ∈（0，2）.第8页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813The近似（13）的缺点是，基本技术，如用简单函数表示积分或使用密度函数的有限多项式表达式，都是不必要的用于有意义的数值分析。一些作者提出了密度的标准参数化积分表达式（见Ament&O\'Neal，2016），然而，该表达式由一个振荡被积函数组成，这反过来又导致了Zolotarev（1986）提出的另一种替代方法，其中密度由式中给出θ= 阿尔茨坦(β 棕褐色的πα)απ标志（s）- μ).3.3。稳定分布函数的一些性质首先，回想一下，对于稳定分布的任何两个可容许参数集，我们可以找到两个唯一的数字a>0和b，这样一来，直觉就可以用标准稳定分布来表示一般稳定分布。

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2022-6-1 01:39:10

也就是说，我们可以写(α, β, ν, μ)d=aS(α, β, 1，0）+b其次，假设h，h和Φ分别表示稳定随机变量S的概率、累积密度和特征函数，由此可以看出以下性质成立：（1）h(-sα, β)=h（s，α, -β).（2） H类(-sα, β)=1.- H（s，α, -β).(3)Φ(-sα, β) = Φ（s，α, -β).上述三种关系可通过三角函数性质进行验证。（14） hSt公司(α, β, ν, μ)=σπ∞∫e-t型α· cos（t·（s）- μσ)- βt型α棕褐色(πα))dt。（15） hSt公司(α, β, ν, μ)=αs-μσα-12σα-1.-θUα(φ, θ) 经验值-s-μσαα-1Uα(φ, θ)dφ; 如果s≠μπσ· Γ1 +α· 余弦α阿尔茨坦β · 棕褐色的πα; 如果s=μ（16） U型α(φ, θ)=罪πα(φ + θ)余弦πφα1.-α·余弦π(α - 1)φ + αθ余弦πφ,（17） S(α, β, ν, μ)d=aS(α, β, ν, μ),（18） a=νν, b类={μ - μνν, α≠μ - μνν+ νβπ日志νν, α =1.（19）a=ν, b类={μ; α≠μ + νβπ日志ν; α =1、h（s，α, β)=2.π∞∫-∞（cos st- i sin st）Φ（t，α, β)dt，第9页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.13188133.4.模拟α-稳定随机变量模拟稳定过程的两个优秀参考文献是Zolotarev（1986）和Chambers、Mallows和Stuck（1976）。定义3.3假设是一个具有参数的稳定过程(α, β2.ν2.μ ), 特征函数如下所示 3.4出租γ∈[-π,π2] 设W为均值为1的独立指数随机变量。这是一个标准α-具有参数的稳定过程(α,β2,1,0).证明见佐洛塔列夫（1986）。使用引理3.4可以很容易地生成稳定的随机变量。可以使用R或MATLAB等编程语言在区间上生成均匀分布的随机变量U(-π,π2）和一个平均值为1的独立指数随机变量E。然后通过计算where生成稳定的随机变量α, β=(1 + β棕褐色的πα2)1αandBα, β=棕褐色的-1个(β 棕褐色的πα)α.3.5.

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nandehutu2022

2022-6-1 01:39:13

稳定过程矩统计矩E[|·|k] 只有当≤α. 此外，对于α<2退避时间不确定α ∈（0，1）平均值不存在，当α ∈(1, 2). 对称稳定分布的情况并非总是如此β = 0.3.5.1. 分数低阶矩FLOM是计算α-稳定的随机变量，尤其是在均值和/或方差不确定的情况下。（20）lnΦ（t）中讨论了FLOM表示公式=我μt型- ναt型α经验值(-我β符号（t））πK级(α)), α≠1.我μt型- νt型π+ 我β符号（t））lnt型; α =1.（21）K(α)=α - 1+符号（1- α)={α; α≠1.α - 2.α =（22）(β, ν)=πK级(α)棕褐色的-1.β 棕褐色的πα, ν1 + β棕褐色的πα2.α; α≠1.β,πν; α =（23）秒=罪αγ+πβK级(α)α（cosγ )α余弦γ-αγ+πβK级(α)αW1.-αα; α ≠1.π+ βγ棕褐色的γ - β日志W cos公司γπ+βγ; α =（24）秒=A.α, β罪恶(α（U+Bα, β))（cos U）αcos（U-α（U+Bα, β))E1.-αα; α≠1.ππ+ βUtan U公司- β 日志πE cos U公司π+βU; α =第10页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Ma以及Nikias（1995）关于对称稳定随机数据及其对Kuruoglu（2001）中非对称稳定随机数据的推广。在后者中，ifSi~S(α,β,ν,γ)和α ≠ 1，然后在哪里θ= 阿尔茨坦(β 棕褐色的απ)和Γ表示伽马函数。从上述表示中，可以得到p为负值的力矩。这导致了对数矩方法，与OFFLOM相比，该方法提供了一种更容易估计稳定分布参数的方法。3.5.2. 对数矩这种方法是使用FLOM方法时遇到的挑战的结果，该方法需要计算Gamma函数、sinc函数的反演，并且它仅适用于某些p。当前方法建议计算关于矩阶p的导数，从而产生稳定过程的对数矩。

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2022-6-1 01:39:16

我们将在下面进行说明。L 3.5设S表示对称稳定随机变量和letp∈ R. 然后，n=1，2，…的力矩很容易出现…。i、 e.何处θ = 阿尔茨坦(β 棕褐色的απ∕2）和条款φkare提交人φ0个=-0.57721566,φ1= π∕,φ = 1.2020569源自polygamma functionProof 3.6，该证明在Kuruoglu（2001）中提供。4、稳定过程的参数估计估计稳定过程参数的四种常用方法包括：分位数法（见Fama&Roll，1971；McCulloch，1986，1996）、对数矩法（见Kuruoglu，2001）、经验特征法（见Yang，2012）和ML法（见Nolan，2001）。我们在以下方面调查其准确性。4.1. 分位数法分位数法由Fama和Roll（1971）首创，但在扩展到包括不对称分布和案例后，McCulloch（1986）对分位数法更为赞赏α ∈[0.6，2]与前一种方法不同，前者将其限制为α ≥ 1.E[S<p>]=Γ1.-pαΓ(1 - p）γ余弦θpγ罪pθα罪pπ, 对于p∈ (-2.-（1）∪ (-1.α).E[Sp] =Γ1.-pαΓ(1 - p）γ余弦θpγ余弦pθα余弦pπ, 对于p∈ (-1.α).（25）锰：=E[（log | S |）n]=跛行→0dndpnE[S | p]，n=1，2…。（26）M=E[日志S]=φ1.-α+α日志ν余弦θ.（27）M=E[（对数| S|- E[日志| S |]）]=φ(+α)-θ2.α.（28）M=E[（对数| S|- E[日志| S |]）]=φ（1）-α).(29)φk-1=dkdxklogΓ（x）| x=1。第11页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Supposesis给定数据样本，然后估计α和β由给出α=Θ(θα,θβ)和β=Θ(θα,θβ)其中，符号SQ表示样本的第qth个分位数沙α和β由函数Θ1获得(θα,θβ)和Θ2(θα,θβ)McCulloch（1986）表III和表IV通过线性插值给出。因此，比例参数由式中Θ3给出(α,β)McCulloch（1986）中的表V给出。

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2022-6-1 01:39:19

一致估计量ν然后通过插值获得。最后是位置参数μ通过定义的新参数进行估计，ζ由whereΘ5估算(α,β)通过线性插值从表VII（McCulloch，1986）中获得。locationparameter的估计值为4.2。经验特征函数法假设一组可观测数据{s1，s2，…，sN}遵循稳定分布。然后，我们可以通过应用基于大数定律的基本蒙特卡罗方法来近似该数据的特征函数，即我们可以根据基本三测原理用余弦和正弦函数来表示特征函数（12），即，我们观察到的结果是（30）θα=s0.95-s0.05s0.75-s0.25，θβ=s0.95+s0.05- 2.s0.05s0.95-s0.05。(31)ν=s0.75-s0.25Θ（α ,β),(32)ζ={μ + βγ 棕褐色的πα; α≠μ; α =1.(33)ζ=s0.5+ν Θ( α ,β),(34)μ=ζ +β ν 棕褐色的π α2.（35）Φ（u）=E【eiusj】≈Φ（u）=NN∑j=1eiusj。（36）Φ（u）=e-|νu型|α（cosη + 我有罪η),η= νu- |ν u型|αβ符号（u）ω（u，α)ω（u，α)={棕褐色πα, α ≠12对数| u|π, α = 第12页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813The通过求解该系统，估计的特征函数与模型参数相关，从而得出稳定性和方差参数的估计表示公式：特征函数（36）的实部和虚部提供了β和μ:假设Υ（u）：=arctan（ImΦ（u）∕ReΦ（u））并选择另一组正数suk，k=3，4α和ν然后通过通知分别给出位置和偏度参数的估计值，可以从方程（36）中推断，这提供了一种设想回归估计方法的替代方法：其中yk=log(-日志|Φ（uk）| 2，m=对数(να), xk=日志（英国）和εkis是一个错误术语。

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2022-6-1 01:39:22

稳定性参数α和比例参数ν可通过选择K进行估计=πk25，k=1，2，…，M；实际数据（见Koutrouvelis，1980年，表一）。估计数α和ν然后用于估计β和μ使用以下关系式，其中zl=Υn（ul）+π千牛（ul），ηl=νlu公司-|νlu公司|αβ符号（u）ω（u，α)和lis一些随机错误。Q的拟议实际数据集（见Koutrouvelis，1980年，表II）为isul=πl50，l=1，2，…，Q.4.3。对数矩法该方法遵循第3.5.2节中讨论的理论。该方法的关键创新在于，不需要像FLOM中那样计算Gamma函数和sinc函数。其次，对称稳定随机变量的参数估计技术（即。β = 0）可为（37）|Φ（u）|=e-|νu型|α.（38）日志|Φ（英国）|=να|英国|α; 对于k=1，2，uk>0，α≠1.α=日志记录Φ（u）日志Φ（u）日志uu公司.日志ν =日志u日志(- 日志Φ（u）)-日志u日志(- 日志Φ（u）)日志uu公司.（39）arctanIm（Φ（u））Re（Φ（u））=μu-|νu型|αβ 符号（u）ω（u，α).(40)μ=uαΥ（u）-uαΥ（u）uuα- uu公司α4.(41)β=uΥ（u）-uΥ（u）να棕褐色的π α（uu）α- uu公司α).日志(-log（|Φ（u）| 2））=对数(να)+α日志（u）。yk=m+αxk公司+εkk=1，2，…，M；zl公司=ηl+l、 l=1，2，…，Q。第13页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813applied倾斜稳定随机变量（即。β ≠ 0）和，参数估计技术强制中心稳定随机变量（即。μ = 0）到非居中的（即。μ ≠0）通过中心对称化。然而，这是以丢失几乎一半的样本数据为代价的。因此，要获得更好的估计，必须使用大样本数据集。4.3.1.

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2022-6-1 01:39:25

稳定随机数据集的中心对称化是一个由n个独立的稳定随机变量组成的序列，该序列根据上述序列的加权和的分布进行分布，其中加权和的分布可通过其特征函数进行估计：其中，数字x的p次方幂由此定义，很容易得到零的独立稳定随机变量序列μ, 零β而且都是零μ和零β对于α ≠ 这将产生居中、倾斜和对称化序列：4.3.2。参数估计支持假定从中提取的数据集(α, β, ν, μ). 然后指数参数α按设置估计θ = 0in（27），对数动量m2是根据正向数据（45）估计的。即估计α用于估算θ使用（26），其中m1是根据反向数据（44）估计的。也就是说，从θ,|β0 |可通过居中（见（43））要求进行估计|β0 |乘以（2+2α)∕(2 - 2.α)获取|β|原始数据的符号β由K确定~ S(α, β, ν, μ).（42）Z=nk=1akSk~ Sα,nk=1a<α>千牛k=1ak公司αβ,nk=1ak公司αν,nk=1akμ,x<p>=符号（x）| x | p.（43）SCk=S3k+S3k-1.- 2S3k-2.~ S(α,[2- 2.α2+2α]β, [2 + 2α]ν,0），（44）SDk=S3k+S3k-1.- 21∕αS3k-2.~ S(α, 0, 4ν, [2- 21∕α]μ),（45）SSk=S2k- S2k公司-1.~ S(α, 0, 2ν,0).(46)α=（M）φ-)-∕2.(47)|θ|=((φ- M）α+ φ)1.∕2.(48)β=棕褐色的θ棕褐色的α π2、第14页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813whereSmax，Smd，SMI是原始数据的最大值、中值和最小值。接下来，我们估计比例参数ν0使用（26），其中m1是根据正向数据（43）估计的。isAgain居中（见（43））给出了参数估计ν原始数据的ν= ν(-21∕α)-1、最后，位置参数μ按何处估算μ0是正向数据的中位数或平均值（）。4.4.

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2022-6-1 01:39:27

最大似然法ML法是经济和金融应用中最受欢迎的参数估计方法。该方法依赖于密度函数，在稳定分布的情况下，密度函数会引起闭合形式表示问题。在这种情况下，我们提出了密度函数的数值估计。对于独立同分布随机变量的向量=（s1，s2，…，sn），求出其服从稳定分布的参数向量的ML估计=(α, β, ν, μ)通过最大化其中给出的对数似然函数得到h（s；Θ）表示数值估计的稳定概率密度函数。例如，Mittnik、Rachev、Doganoglu和Chenyao（1999）指出，计算theML的最佳算法是使用快速傅立叶变换（FFT）或Nolan（2001）中的直接积分法。ML算法需要仔细选择初始输入参数，在我们的情况下，可以通过上述分位数方法获得这些参数。FFT对于大型数据集速度更快，而直接积分方法适用于较小的数据集，因为它可以在任意点进行计算。在下一节中，我们分析商品，并应用经验特征函数方法估计稳定分布参数。重要的是要提及di不同的估计方法都在运行。4.5。误差分析在本节中，我们根据inChambers et al.（1976）和Weron and Weron（1995）的理论，模拟来自稳定分布族的数据集。然后利用上述四种方法从模拟数据中提取稳定参数。

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大多数88

2022-6-1 01:39:30

我们的重点是α和β但参数扩展到了其他两个参数。K=符号（| Smax- 贴片显示器|-|体积百分数- Smd |），因此β = K级|β|.(49)ν0=| cosθ|exp（（M- φ) α + φ).(50)μ= μ(2 - 21∕α)-1.（51）LΘ（s）=n∑i=1lnh（si；Θ），第15页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813First，值得一提的是，这四种方法在接近边界时的性能都很差。eα → 0,α → 2和β→±1. 此外，文献表明，这些方法可以有效地完全符合表1中的参数限制。此外，最大似然估计似乎是最受欢迎和使用的估计方法。然而，我们在分析中发现，这种方法对于特定的参数范围是失败的，并且不具有鲁棒性。例如，在估算0.1中<α<1.0关于β, MLE无法收敛并返回大量真实错误。这就是为什么我们不将其包括在图2（a）中的原因。同样，对于β = 0.4关于α, 对数矩方法返回负值或非常大β根据表1中的约束条件预期的值。我们省略了图2（b）中的图表。同时，湿表1。估计方法及其参数限制估计方法参数限制α ≥0.1β=μ=α ≥0.4α ≥0.1图2。方法比较α = 0.4和β = 0.4估算。（a）（b）第16页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813notice在这两种情况下，分位数和ECF方法都能很好地工作，后者提供了相对最佳的估计。图3中的图表显示了与估算1.0相关的误差<α<2.0适用于di埃伦特β价值观请注意，这四种方法都工作得很好，我们仍然注意到ECF是相对最精确和最稳健的方法。回想一下α → 1和α → 2评估方法表现不佳。

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2022-6-1 01:39:33

例如图3（a）（用于α = 1.4）哪一个是MLA最接近的收敛点，但更高α>1.4值，但远小于2.0（例如，见图3（a））α = 1.7）除对数动量法外，其他方法表现相对较好。图3：。方法比较α = 1.4和α = 1.7估算。（a）（b）第17页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813The图4中的图表说明了分位数、ECF和MLE在估计中的收敛性α = 1.4和α = 1.7. 我们模拟了50000个点，将其分为100组，从500个大小的组开始，再将其增加500到50000。对数矩法的性能非常差，无法与上述三种方法相比。它不包括在图4（a）和（b）中。ECF被认为比分位数和ML方法具有更好的收敛速度。类似的图5显示了分位数、ECFand和ML估计方法的收敛速度。ECF在这两种情况下（即图5（a）和（b））仍能提供更好的精度。图4：。β预估fordiering数据集大小和α价值观（a）（b）第18页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813In经验特征函数方法在以下方面优于本文讨论的所有其他三种方法：（1）它是稳健的，可以一致地估计广泛的α和β参数。（2）与分位数、对数矩和MLE方法相比，它提供了更好的精度α和β参数。（3）它具有更好的收敛速度。因此，分位数、对数矩或ML方法可用于为ECF方法提供初始参数。

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2022-6-1 01:39:36

同样，后者可用于为更好的未来估计量提供初始参数。下一节将使用ECF方法从log returns commodityfutures数据中提取稳定参数。商品数据此处使用的数据集来自Quandl金融和经济数据网站。设置DIer的大小，包括1959-07-01玉米期货连续合约C#1的结算价格图5。α预估fordiering数据集大小β = 0.4值。（a）（b）第19页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813to 2017-02-10; 1983年3月30日至2017年2月10日原油期货连续合约C#1；2005年10月3日至2017年2月10日，汽油未来连续合同C#1；1974年12月31日至2017年2月10日，黄金期货连续合约C#1；1990-0403至2017-02-10天然气期货连续合约C#1；1969年1月2日至2017年2月10日期间的铂金期货连续合约C#1；1963年6月13日至2017年2月10日期间的白银期货连续合约C#1；1959年7月1日至2017年2月10日，大豆期货连续合同C#1；小麦期货连续合约C#1，自1959年7月1日至2017年2月10日。避免多重分布eects，我们处理数据集的日志返回。5.1。t-location-scale分布t-location-scale分布最适合建模尾部较重的数据分布，比高斯分布更容易出现异常值。该发行版使用以下参数参数描述支持μ-∞ <μ<∞νν>0α*α*> 0 t-位置-尺度分布的概率密度函数（pdf）由式中给出(·)表示gamma函数。t-位置-尺度分布的平均值如下所示：μ定义为α*> 1另有规定。

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2022-6-1 01:39:39

方差由t-位置-尺度分布给出，接近高斯分布，如下所示α*方法的完整性和较小值α*产生较重的尾巴。该分布不考虑偏度，通常使用ML估计方法估计其三个参数。利用Sheppard（2012）对我们的对数收益商品期货数据的算法，我们获得了图6-8中的数据。根据α*值时，日志返回的数据会显示一些尾部。要确定细节的性质，需要运行一些QQ图，但这也可以从图6-8中直接观察到。h（x）=Γα*+1.να*πΓα*α*+x个-μνα*-α*+1.,Var=να*α*- 2、第20页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Figure6、能量：数据呈现高峰和窄尾。第21页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Figure7、颗粒：数据显示高峰值和细尾巴。第22页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Figure8、金属：数据显示高峰值和窄尾。第23页共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813It值得一提的是，QQ情节并不能立即提供关于尾巴性质的确凿证据。还需要进行更多的测试。例如，在t位置标度下，观察数据中的任何偏斜都不明显。然而，我们认为如下节所述，当我们将数据调整为稳定分布时（见表2）。5.2。稳定分布设置另一方面，通过假设对数收益商品期货数据的稳定分布，我们采用ECF方法，并获得表3中的稳定参数。大宗商品期货的对数回报率不仅达到了高峰，而且还有左右两条带极端异常值的窄尾曲线，从能源大宗商品的QQ图中可以观察到（即。

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2022-6-1 01:39:42

原油、天然气和汽油），图10为谷物商品，图11为贵金属。表3显示了使用经验特征函数参数估计方法从对数收益数据中提取的稳定分布参数。我们注意到，数据显示出一点陡峭，这在t-位置-尺度分布拟合中没有反映出来。表2：。从日志中提取的t-location-scale分布参数返回数据t-location-scale参数μνα*5.52294e- 051.63112e- 05-1.72459e- 05表3。从日志中提取的稳定分布参数返回dataStable分布参数αβνμ-0.3806-0.0005-0.1526-0.0022-0.0968-0.1324-0.1339-0.0001-0.0001第24页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Figure能量：总的来说，左右尾巴都很瘦。（a）（b）（c）第25页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Figure10、颗粒：总的来说，左右尾巴都很细。（a）（b）（c）第26页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.1318813Figure11、金属：总的来说，左右尾巴都很细。（a）（b）（c）第27页，共285页：1318813https://doi.org/10.1080/23322039.2017.13188136.结论首先，我们表明ECF在估计广泛的α和β参数，与分位数、ML和对数矩相比，它是鲁棒的，并提供更好的收敛性。其次，我们已经说明，一般而言，商品期货日志收益数据的分布最接近于t位置标度分布，因为其峰值高、尾细和极端异常值。此外，通过使用ECF估计方法，我们实现了一些较小的偏态e在t-location-scale fitting中未捕获ects。

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