保证年金期权的一般价格界限

2022-6-1 02:14:27

保证年金期权的一般价格界限Raj Kumari Bahl和Sotirios Sabanis2018年11月18日摘要在本文中，我们关注的是在利率和死亡率都是随机且相关的最普遍建模框架下保证年金期权（GAO）的估值。在相关环境中为这些类型的期权定价是一项艰巨的任务，文献中不存在封闭形式的解决方案。我们使用双随机停止时间来合并死亡时间的随机性，并通过调整GAO在篮子看涨期权支付方面的支付，采用适当的措施变化来促进生存收益的评估。我们利用条件化方法得到了GAO的一般价格界，并利用算术几何平均不等式得到了GAO的上界。然后将该理论应用于a ffne模型，给出了a ffne设置下的一些非常有趣的边界公式。提供数字样本，并对照蒙特卡罗模拟进行基准测试，以估计各种控制死亡率和利率演变的过程中GAO的价格。关键词：保证年金期权（GAO）、模型独立界限、A ffne过程、利率风险、死亡率风险、度量变更、篮子期权。AMS科目分类：初级91G20；次要60J25.1简介在当前金融机构在提高预期寿命方面面临严峻挑战的时代，涉及生存基金的“保证年金期权”等关键产品的定价取得了很大的势头。现在需要让长寿产品设计师了解这些工具的有效定价。

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2022-6-1 02:14:30

这涉及到设计Anaparatus，它提供最先进的解决方案来衡量死亡的随机冲动，这需要从随机的角度来看待死亡。直到最近，精算师的传统方法是以确定性的方式来处理死亡率，而利率被认为具有随机性。在这之后，出现了一个假设的时代，即死亡是以随机的方式发生的，但与利率无关（参见示例[1]）。然而，后一种假设也远远不现实。这是因为灾难和流行病等极端致命事件以及预期寿命的提高都会对利率价值产生很大影响。虽然前者在短期内表现出更强的影响，但后者以渐进的方式影响金融市场。感兴趣的读者可以参考[2]、[3]、[4]、[5]以及其中的参考文献。据我们所知，[6]是精算界最早引入死亡率与利率相关性的公司。在现实世界的背景下，[7]为理解这两种潜在风险之间的关系而进行的一项研究表明，前工业化时期英国的利率下降可能是由17世纪末成年人死亡率下降引发的。最近[8]研究了极端时期（如严重的大流行疫情）的重要性与市场风险之间的相关性，同时[9]探讨了Feller过程框架内这种依赖性的存在。正如本节开头所述，“预期寿命革命”给各国的社会保障计划带来了压力，从而引发了政府的大规模危机，这些政府难以满足日益增长的老龄人口的需求。

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2022-6-1 02:14:33

这种不平衡的价格对金融市场产生了不利影响，导致投资回报率呈下降趋势。为了解决这些问题，欧盟的Solvency II指令基于金融市场和人寿/健康保险市场之间的依赖性假设，制定了新的资本充足率要求保险风险管理实践，包括两个基础风险之间的相关性，即：。利率和死亡率（c.f.定量影响研究5：技术规范[10]）。在本文中，我们考虑了最普遍的建模框架，其中利息和死亡风险都是随机且相关的。在类似于[1]的设置中，我们提倡使用双随机停止时间来合并死亡时间的随机性。然后，我们利用这一设置和共单调性理论，为保证年金期权（GAO）设计了独立于模型的价格界限。这些选项嵌入在某些养老金政策中，使投保人有权在退休/到期时一次性支付或以保证利率将收益转换为年金之间进行选择。伦敦保险协会（1972年）的报告（c.f[11]）表明，GAO的起源可以追溯到1839年。然而，这些工具在1970-1990年成为英国的焦点。

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2022-6-1 02:14:36

在预期寿命增加的情况下，对GAO定价的研究取得了很大进展，因为此类担保的定价过低已经给保险公司带来了严重的偿付能力问题，例如在英国，由于兑现了太多的GAO，世界上最古老的人寿保险公司衡平人寿不得不在2000年接近新业务。在相关性假设下，有关GAO定价方向的现有文献非常丰富，对于复杂的模型，只有对GAO价格的蒙特卡罗估计可用（c.f.[2]）。但对于复杂模型，蒙特卡罗方法通常非常耗时（c.f.[12]）。本文是在相关方向下GAO定价的具体步骤。它研究了在重要性和利率风险之间存在依赖关系的假设下，GAO的价格界限的设计，并为这些期权的定价提供了一个非常需要的置信区间。此外，建议的边界是无模型的或一般的，因为它们适用于所有类型的模型，尤其适用于a ffine设置。与相关文献（c.f.[4]、[2]）保持一致，我们将“生存零息债券”作为评估GAO的数字，采用概率度量的变化。度量值的这种变化简化了计算并提高了效率（c.f.[3]）。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了带有必要符号的市场框架。在第3节中，我们定义了GAO，并表明其支付类似于篮子期权。接下来是第4节，重点介绍了a ffine流程的技术细节。第5节和第6节是核心章节，详细介绍了GAO的上下限。在第7节中，我们给出了第8节中支持所发展理论的数值研究的示例。

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2022-6-1 02:14:39

第9节总结全文。2市场框架在本节中，我们介绍了构建金融市场和死亡率模型之间数学相互作用所需的必要设置。我们用P表示物理世界度量，并利用在没有套利的情况下，至少存在一个等价鞅度量（EMM）Q的事实。我们考虑过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft}t≥0使得过滤足够大，以支持Rk中的过程X，代表财务变量的演变，以及Rd中的过程Y，代表死亡率的演变。我们取给定的一个适应的短速率过程r={rt}t≥0以满足技术条件RTRSD<∞a、 s.适用于所有t≥ 0、短期利率过程r表示无风险证券的连续复合利率。此外，我们将重点放在时间为0时年龄为x的投保人身上，随机剩余寿命由τx表示，τx是Ft停止时间。过滤F包括到每次t时所有状态变量的演变以及到那时投保人是否死亡的知识。更明确地说，我们有：Ft=Gt∨ HtwhereGt∨ Ht=σ（Gt∪ Ht），GT=σ（Zs：0≤ s≤ t），Ht=σ{τ≤s} ：0≤ s≤ t型其中Z=（X，Y）是Rk+d中的联合状态变量过程。因此，我们有gt=GXt∨ GYt公司。事实上H={Ht}t≥0是τ为停止时间的最小过滤。

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2022-6-1 02:14:42

换言之，H使F成为G={Gt}t的最小放大倍数≥0其中τ为停止时间，即Ft=∩s> tGs公司∨ σ (τ ∧ s），则，t、我们可以认为GTA携带从人口/行业层面收集的医疗/人口数据中获取的信息，HTA记录保险组合中实际发生的死亡。为了使设置更加可靠，我们假设τxis是非爆炸性Ftcounting过程N记录在每个时间t的第一个跳跃时间≥ 0个人是否死亡（Nt6=0）或是否死亡（Nt=0）。停止时间τxis表示允许强度uxif N存在，即如果uxis是非负预测过程，则RTux（s）ds<∞ a、 s.适用于所有t≥ 0，这样补偿的进程M={Nt-Rtux（s）ds:t≥ 0}是局部Ft鞅。我们的下一个假设是，N是一个双随机过程或Cox过程，由一个Gtof Ft的次过滤驱动，Gt的可预测强度为u。这意味着在任何特定轨迹t 7上→ ut（ω）ofu，计数过程是一个具有参数的泊松非均匀过程。us（ω）ds，即对于所有t∈ [0，T]和非负整数k，P（NT- Nt=k | Ft∨ 燃气轮机）=RTtusdskk！e-RTtusds。（2.1）考虑对Ftis进行严格细分的主要原因是，它提供了关于死亡率强度演变的足够信息，即关于死亡发生的可能性，但没有足够的关于死亡实际发生的信息。此类信息由较大的过滤Ft携带，其中τ是一个停止时间。从（2.1）开始，通过将k=0，我们现在开始计算截至时间T的“生存概率”≥ t、在集合{τ>t}上。

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2022-6-1 02:14:45

设A为间隔t内无死亡事件∈ [0，T]，即A≡ {NT- Nt=0}，那么条件期望的塔属性告诉我们p（τ>T | Ft）=E[A | Ft]=E[E（A | Ft∨ GT）| Ft]=E[P（NT- Nt=0 |英尺∨ GT）| Ft]=Ehe-RTtusds | Fti。（2.2）事实上，我们在几个步骤中描述了τ的条件定律。给定非负GT可预测过程u满足RTux（s）ds<∞ a、对于所有t>0，我们考虑参数为1的指数随机变量Φ，与G无关∞当processRtusds高于随机阈值Φ时，定义随机死亡时间τ为第一次，即τ={t∈ R+：Ztus（s）ds≥ Φ}. （2.3）从（2.3）中可以明显看出，{τ>T}={Rtusds<Φ}，对于T≥ 接下来，我们计算出T的P（τ>T | Gt）≥ t型≥ 0，利用条件期望的塔性质，Φ和G的独立性∞以及u是Gt可预测过程和Φ的事实~ 指数（1），即P（τ>T | Gt）=Ehe-RTusds | Gti。（2.4）事实上，相同的结果适用于0≤ 进一步，我们观察到{τ>T}是Ht的一个原子。因此，以类似于[1]的方式，我们构建了Gt驱动的双随机Ft停止时间按以下方式（c.f.[13]，ex 34.4，p.455）：p（τ>T | GT∨ Ft）={τ>t}E{τ>T}| GT∨ Ht公司={τ>t}e-RTtusds。（2.5）接下来，可以用GT上的调节代替FTA上的调节，如【1】的附录C所示。我们注意到，我们不接受Gt∨ σ（Φ）作为我们的过滤GT，因为在这种情况下，停止时间τ是可预测的，不允许有强度。此处拼凑的结构保证τ是一个完全无法到达的停止时间，这一概念直观地意味着保险人的死亡对保险人来说是一个完全意外的事件（详情参见第三章第2节【14】）。有鉴于此，我们转到本文的重点，即。

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2022-6-1 02:14:48

GAO。3保证年金期权3.1简介保证年金期权（GAO）是一种合同，赋予投保人以预先规定的转换率将其生存福利转换为年金的灵活性。g表示的担保转换率可以引用为年金/现金价值比率。根据文献[16]，20世纪80年代英国65岁男性的保证转换率g最流行的选择是g=，这意味着每1000英镑的现金价值可以转换为每年111英镑的年金。如果保证转换率高于可用转换率，GAO将具有正值；否则，GAO将一文不值，因为投保人可以使用现金从一级市场获得更高的年金价值。因此，美国ZF问责局到期时的资金状况取决于当时市场上可用的年金价格，而这一价格是使用现行利率和死亡率计算的。3.2数学公式考虑时间0的x岁投保人，该投保人在其退休年龄Rx有权获得统一金额。然后，GAO让投保人在时间T=Rx时进行选择- 每年支付g或现金支付1之间的x。Let¨ax（T）表示x岁的人在时间0到期的终身年金，在每年开始时每年支付一个单位的金额，该支付从时间T开始，以生存为条件。如果w是最大可能生存年龄，那么我们有¨ax（T）=w-（T+x）-1Xj=0Ehe-RT+jT（rs+us）ds | GTi=w-（T+x）-1Xj=0P（T，T+j），（3.1），其中P（T，T）=Ehe-RTt（rs+us）ds | Gti（3.2）表示在时间t时，对于年龄为0且在时间t时仍然活着的被保险人，到期日为t的纯养老保险在时间t时的价格。

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2022-6-1 02:14:51

该保险工具被[2]命名为生存零息票债券，缩写为SZCB，作者指出，它可以作为一种保险工具，因为它可以通过一种涉及长寿债券的策略（c.f.[15]）进行复制，该策略采用了通常的自举方法，用于从息票债券开始寻找零利率曲线。本保险文书在被保险人当时存续的时间T支付一个单位的金额。事实上，r+u可以被视为一种有效的短期利率或收益率，以将这些工具与其金融对手进行比较。在时间T，具有上述嵌入GAO的合同的价值可以通过以下分解v（T）=max（g¨ax（T），1）=1+g max来描述¨ax（T）-g级. （3.3）为了应用风险中性评估，我们陈述了[1]中的一个结果，以计算标准保险合同涉及的基本付款的公允价值。这些是收益，其金额可能与其他证券价格挂钩，取决于在给定时间段内的生存情况。我们要求短速率过程r和死亡率强度u满足第2节所述的技术条件。提案1。（生存效益）。设C为有界Gt适应过程。然后，时间t生存收益的时间t公允价值SBt（CT；t）为CT，0≤ t型≤ T，由以下公式得出：SBt（CT；T）=Ehe-RTtrsds{τ>T}CT | Fti={τ>T}Ehe-RTt（rs+us）dsCT | Gti（3.4）特别是，如果C是GXt自适应的，并且X和Y是独立的，那么，以下保持ssbt（CT；T）={τ>T}Ehe-RTtrsdsCT | GXt]E[E-RTtusds | GYti（3.5）证明。综合证明见【1】。因此，我们得到了（3.6）中第二项在时间t=0时的值，该值被称为x年保单持有人在时间t=0时输入的GAO期权价格asC（0，x，t）=E“E-RT（rs+us）dsg¨ax（T）-g级+#.

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mingdashike22

2022-6-1 02:14:53

（3.6）为了便于计算，我们采用以下措施变更。3.3变更措施我们主张变更与【2】中采用的措施类似的措施。我们定义了一种新的概率测量方法Q，其中Radon-Nikodym导数Q w.r.t Q为：dQdQ：=ηt=e-RT（rs+us）dsEhe-RT（rs+us）dsi（3.7），其中E表示通常的期望w.r.t EMM Q，我们将使用▄E表示期望w。r、 t新的概率测度▄Q。进一步使用贝叶斯规则进行条件期望，（3.4）中的生存收益可以在假设bt（CT；t）={τ>t}P（t，t）~E[CT | Gt]（3.8）的情况下重写。计量变更方法的优点是，（3.4）中给出的生存收益中出现的复杂预期已分解为两个简单的预期：第一个对应于（3.2）中给出的深交所价格，第二个与生存效益取决于需要确定的新概率度量Q。顺便提一下，在（3.8）中，如果CT=1，我们得到了一个非常有趣的关系sbt（1；T）={τ>T}~P（T，T）。（3.9）特别是Rsb（1；T）={τ>T}P（0，T）。（3.10）[3]和[4]采用了类似的计量变更，唯一的区别是他们使用（3.9）中给出的单一生存福利作为数字。相反，[5]使用atwin变换度量来计算GAO的值。3.4支付根据（3.7）中定义的新概率测度Q，GAO期权价格分解为以下产品C（0，x，T）=gP（0，T）E“¨ax（T）-g级+#（3.11）式中，P（0，T）在（3.2）中定义。为了进一步发展想法，我们以一种更具吸引力的形式表示收益，如下所示：C（0，x，T）=gP（0，T）~En-1Xi=1S（i）T- （K）- 1)!+（3.12）式中，我们利用以下事实：P（T，T）=1，定义n=w- （T+x）和（i）T=~P（T，T+i）；i=1，2。。。，n- 1.

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2022-6-1 02:14:56

（3.13）GAO支付的R.H.S的最后期限类似于具有单位权重的篮子期权和深交所期权的支付，到期时间为T+1、T+2、。。。，w- x个- 1作为基础资产。在接下来的章节中，我们试图评估GAO的紧模型独立界限。据我们所知，方程式（3.6）和（3.11）仅通过蒙特卡罗模拟对特定模型选择进行估值。在文献[3]中，高斯背景下的数值实验表明（3.11）更精确，尤其是它比（3.6）的实现更省时。[2] 研究了不同模型的这些计算，如多重CIR和Wishart情况。[4] 在高斯框架下计算了AOS的特定共单调边界。4 A ffne过程A ffne过程本质上是具有A ffne形式的条件特征函数的马尔可夫过程。[17]和[18]中对正则状态空间中的这些过程进行了深入的讨论。最近，多元随机波动率模型的发展导致了一系列过程在非规范状态空间，特别是在正半有限矩阵上的应用的发展。有大量的研究论文可供探索，感兴趣的读者可以参考[19]了解详细信息。[20]中介绍了一种关于金融过程的统一方法，根据这种方法，我们在附录A中回顾了金融过程的详细信息。关于利率的演变和死亡率的影响，我们认为金融过程与[2]类似。假设我们有一个时间齐次的a f ne马尔可夫过程X，在Rd（d）的非空凸集E中取值≥ 1）配备内部产品h·、·i。

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2022-6-1 02:14:59

然后我们假设利率和死亡率的动态分别如下所示。rt=\'r+hR，Xti（4.1）和ut=\'u+hM，Xti（4.2），其中\'r，\'u∈ R、 M，R∈ Rdor md，其中mdi是d阶实方阵集。这意味着利率和死亡率是公共

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2022-6-1 02:15:02

设τ=T- t、然后，零耦合债券的价格由P（t，t）=Ehe给出-RTt（\'r+\'u+hR+M，Xui）du | Fti=e-（\'r+\'u）τe-§φ（τ，R+M）-h|ψ（τ，R+M），Xti，（4.3），其中|φ和|ψ满足以下普通微分方程（ODE），这些方程也是已知的Riccati ODE。~φτ=~=Дψ（τ，R+M）,φ（0，R+M）=0，（4.4）~ψτ=~<Дψ（τ，R+M）,ψ（0，R+M）=0，（4.5），带▄=Дψ（τ，R+M）= hb，△ψ（τ，R+M）i-ZS+d \\{0}e-h|ψ（τ，R+M），ξi- 1.m（dξ），（4.6）和°<Дψ（τ，R+M）= -2|ψ（τ，R+M）α|ψ（τ，R+M）+BTДψ（τ，R+M）-ZS+d \\{0}e-h|ψ（τ，R+M），ξi- 1+hχ（ξ），△ψ（τ，R+M）ikξk∧1.u（dξ）+R+M.（4.7）事实上，有趣的是，假设这种a ffine结构意味着我们的实际收益率模型是“a ffine”，因为对于每个成熟度T，都有一个a ffine映射ZT:Rn→ 因此，在任何时间t，任何成熟期为t的SZCB的收益率均为ZT（Xt），与[28]的开创性论文中获得的结果相呼应。因此，对于i=1，2。。。，n- 1，S（i）T=e-（\'r+\'u）ie-φ（i，R+M）-h▄ψ（i，R+M），XTi，（4.8），其中▄φ（i，R+M）和▄ψ（i，R+M）满足方程（4.4）和（4.5），τ=i。或者，可以写（i）T=S（i）eX（i）T；i=1，2。。。，n- 1，（4.9）带S（i）=e-（（\'r+\'u）i+~φ（i，r+M））（4.10）和x（i）T=-h|ψ（i，R+M），XTi。（4.11）因此，通过使用（3.12）中的方程式（4.8），GAO PAYOFF的公式可以写成非常简洁的形式，如下所示。C（0，x，T）=gP（0，T）~En-1Xi=1e-（\'r+\'u）ie-φ（i，R+M）-h|ψ（i，R+M），XTi- （K）- 1)!+, （4.12）式中，式（4.3）中给出的ρP（0，T），τ=T。因此，在a fine案例中，我们对GAO边界的要求变得简单，因为我们只处理XT。a ffne过程的分析可处理性本质上与上文给出的广义Riccati方程有关，尽管Vasicek（c.f。

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2022-6-1 02:15:05

[22]）和CIR（c.f[21]）模型没有跳跃。5保证年金期权的下限我们现在开始为GAO的支付制定适当的下限，如（3.12）所示。引用Jensen不等式，我们得到了n-1Xi=1S（i）T- （K）- 1)!+≥En-1Xi=1ES（i）T∧- （K）- 1)!+. （5.1）关于基于Jensen不等式的随机变量和的止损溢价下界的一般推导可在[29]中找到，对于其在亚洲篮子期权中的应用，可参考[30]。定义=n-1Xi=1S（i）T（5.2）和sl=n-1Xi=1ES（i）T∧（5.3）因此，我们获得≥cxSl。（5.4）现在，适当裁剪不等式（5.1），我们得到C（0，x，T）≥ gP（0，T）En-1Xi=1ES（i）T∧- （K）- 1)!+. （5.5）5.1下界如果随机变量∧与期限为1、2、…、的纯禀赋价格无关。。。，n- 1在时间T，即S（i）T的时刻；i=1，2。。。，n- （5.5）中的界分别简化为：C（0，x，T）≥ gP（0，T）En-1Xi=1ES（i）T- （K）- 1)!+. （5.6）或者更准确地说，由于外部期望是多余的，我们得到了用SiT期望表示的一个非常平凡的界，即C（0，x，T）≥ gP（0，T）n-1Xi=1ES（i）T- （K）- 1)!+=: GAOLB。（5.7）5.1.1根据第4节（c.f.公式（4.8））的公式设置，公式（5.7）中给出的下限降低至gP（0，T）n-1Xi=1e-（（‘r+’u）i+～φ（i，r+M））LИψ（i，R+M）- （K）- 1)!+（5.8）式中，L表示XT的拉普拉斯变换，参数为|ψ（i，R+M），在变换测度|Q下。

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2022-6-1 02:15:08

这意味着，如果一个人能够掌握XT的分布，那么这个界限就具有非常紧凑的形式。6保证年金期权的上界为了获得直接适用于基金设置的GAO的上界，我们以类似于[47]的方式使用算术几何平均不等式，他使用这种方法得出一揽子期权的上界。让我们首先确定（n）的算术和几何平均值- 1）纯禀赋分别出现在GAO（c.f.（3.12））和asA（n-1） T=n- 1n-1Xi=1S（i）T（6.1）和g（n-1） T=n-1Yi=1S（i）T！n-1，（6.2）其中S（i）T；i=1，2。。。，n- 1在方程式（3.13）中定义。众所周知，a（n-1） T型≥ G（n-1）助教。s、（6.3）进一步，让我们确定对数几何平均值asY（n-1） T=n- 1n-1Xi=1ln S（i）T.（6.4）接下来我们定义为方程式（4.9），X（i）T=lnS（i）TS（i）！；i=1，2。。。，n- 1.（6.5）此外，我们假设X（1）T。。。，X（n-1） T型可以通过变换后的度量值Q获得，其中我们定义φT（γ）=EheiPn-1k=1γkX（k）Ti（6.6），γ=[γ，γ，…，γn-1]. 下一步，我们将获得对数几何平均值与X（i）T的followsY（n）之间的关系-1） T=n- 1n-1Xi=1lnS（i）TS（i）S（i）=n- 1n-1Xi=1X（i）T+Y（n-1). （6.7）接下来，我们尝试用X（i）T的联合特征函数，即，表示对数几何平均值在变换测度Q下的特征函数。方程式（6.6）中定义的φT（γ）。设φYT（γ）表示对数几何平均值Y（n）的特征函数-1） t参数γ。那么我们有φYT（γ）=EheiγY（n-1） Ti=~EeiγY（n）-1） +iPn-1k=1（γn-1） X（k）T= eiγY（n-1） φTγn- 1.（6.8）其中1=（1，1，…，1）是1×（n- 1）向量为1，所以γn-11为1×（n- 1）分量为γn的向量-1和φT（γ）在（6.6）中定义。

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2022-6-1 02:15:11

根据方程式（6.1），我们可以表示方程式（3.12）中给出的GAO PAYOFF公式asC（0，x，T）=g（n- 1） ~P（0，T）~EA（n-1） T型- K+, （6.9）其中K=K- 1n- 1.（6.10）加减G（n-1）利用方程（6.9）的R.H.S.上的最大函数，并利用方程（6.3），我们得到了GAO-asC（0，x，T）的上界≤ g（n- 1） P（0，T）EG（n-1） T型- K++EhA（n-1） Ti公司-EhG（n-1） Ti公司= : GAOUB（6.11）我们利用傅立叶逆变换计算上界中涉及的调用类型期望，并在以下命题中陈述结果。提案3。给定n的几何平均数- 1方程式（6.2）中定义的纯禀赋，k>0，~EG（n-1） T型- K+=e-δln KπZ∞e-iηln KψGT（η；δ）dη（6.12），其中ψGT（η；δ）表示▄E的傅立叶变换G（n-1） T型- K+关于ln kalong，阻尼系数eδln Ksuch，ψGT（η；δ）=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） φTη-i（δ+1）n-1.δ+ δ - η+iη（2δ+1），（6.13），其中参数δ调整阻尼系数（c.f[37]和[47]）和φT（.）在方程式（6.6）中定义。证据设fYT（y）表示对数几何平均值y（n）的概率密度函数（p.d.f-1） T.我们根据【37】引入阻尼系数。然后，通过定义，E的Fourier变换G（n-1） T型- K+关于ln Kalong，阻尼系数eδln kis表示为ψGT（η；δ）=ZReiηln K+δln K▄eeY（n-1） T型- K+d ln K=ZReiηln K+δln KZ∞ln Key公司- KfYT（y）dy d ln K=ZReiηln K+δln KZ∞ln键FYT（y）dy d ln K-ZReiηln K+δln KZ∞ln KKfYT（y）dy d ln K=ψGT（η；δ）- ψGT（η；δ）。（6.14）我们通过采用积分阶的变化来评估两个积分，如下所述ψGT（η；δ）=ZReyZy公司-∞eiηln K+δln Kd ln KfYT（y）dy=iη+δZRei（η-i（δ+1））yfYT（y）dy=φYT（η- i（δ+1））iη+δ=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） φTη-i（δ+1）n-1.iη+δ。

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2022-6-1 02:15:14

（6.15）其中，最后几句话源自对y（n）特征函数的定义-1）（6.8）中给出了其与关节特征函数的关节特征函数的链接X（1）T。。。，X（n-1） T型定义见（6.6）。在同一直线上，我们有ψGT（η；δ）=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） φTη-i（δ+1）n-1.iη+（δ+1）。（6.16）替换方程式（6.14）中的ψGT（η；δ）和ψGT（η；δ），记住阻尼因子，我们得到方程式（6.12）中给出的必要结果。以类似的方式，我们得到▄EhG（n-1） Ti=eY（n-1） φT-在里面- 1.. （6.17）然后，我们将公式（6.12）和（6.17）插入方程（6.11）中，以获得上界gaoub。6.1设定上限考虑第4节的设定（c.f.方程（4.8）-（4.11））。设φXT表示变换测度▄Q下参数为∧的XT的特征函数，使得φXT（∧）=▄Eheih∧，XTii。（6.18）现在使用方程（4.11），我们可以看到X（1）T。。。，X（n-1） T型在方程式（6.6）中给出的变换后的测量值Q变为φa fft（γ）=φXT-n-1Xk=1γkψ（k，R+M）！，（6.19）其中-Pn编号-1k=1γk|ψ（k，R+M）是特征函数的参数，其中|ψ（k，R+M）满足方程（4.5），τ=k。因此，方程（6.13）中给出的ψGT（η；δ）可以更简洁地写成ψgafft（η；δ）=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） φXT-(η-i（δ+1））n-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）δ+ δ - η+iη（2δ+1）。（6.20）类似地，我们从方程式（6.17）中得出，~eaffhg（n-1） Ti=eY（n-1） φXTin- 1n-1Xk=1|ψ（k，R+M）！。（6.21）此外，利用方程式（6.1）中给出的算术平均值定义，并利用（4.8），我们可以看到-1） Ti=n- 1n-1Xk=1e-（‘r+’u）k+～φ（k，r+M））LИψ（k，R+M）, （6.22）如第5.1.1节所述，L表示XT的拉普拉斯变换，在变换后的度量值▄Q下，参数▄ψ（k，R+M）。

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可人4

2022-6-1 02:15:17

最后，我们将表达式（6.12）中的方程（6.20）替换为（6.11），然后将结果和方程（6.21）-（6.22）替换为（6.11），以获得gaouba off=g（n- 1） ~P（0，T）n- 1n-1Xk=1e-（‘r+’u）k+～φ（k，r+M））LИψ（k，R+M）-eY（n-1） φXTin- 1n-1Xk=1|ψ（k，R+M）+e-δln KπZ∞e-我ηln K-(η-i（δ+1））Y（n-1)δ+ δ - η+iη（2δ+1）φXT-(η - i（δ+1））n- 1n-1Xk=1|ψ（k，R+M）！dη！，（6.23）其中φXT（.）在方程式（6.18）中定义，L表示X的拉普拉斯变换，在变换后的度量值Q.7示例中，我们现在通过选择利率和死亡率的特定模型来推导下限和上限。7.1多CIR模型我们现在考虑一个p维a函数过程X：=（Xt）t≥0具有独立组件（Xit）t≥0该函数符合以下CIR风险中性动力学：dXit=ki（θi- Xit）dt+σipXitdWQit，i=1。。。，p、（7.1）可以参考[2]来说明该模型符合一般框架。7.1.1生存零息票债券定价根据第6节中定义的机构符号，在死亡率和利率的背景下，让M，R∈ RN和各自的组件Mi、Ri；i=1，2。。。，p、多CIR模型（7.31）下azero息票债券的价格由▄p（t，t）=Ehe给出-RTt（\'r+\'u）+h（r+M），Xsids | Fti=e-（\'r+\'u）（T-t） pYi=1 HE-RTth（Ri+Mi），Xisids | Fti=e-（\'r+\'u）（T-t） pYi=1e-§φi（T-t、 Ri+Mi）-Иψi（T-t、 Ri+Mi）Xit（7.2），其中|φiand|ψ满足以下Riccatti方程，每i=1，2。。。，p（c.f。

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2022-6-1 02:15:20

[25]):(Иψ（τ，ui）τ= 1 - ki？ψi（τ，ui）+uiσi？ψi（τ，ui），§φ（τ，ui）τ=kiθiuiψi（τ，ui），（7.3），其中τ=T- t、 ui=Ri+主要初始条件|ψi（0，ui）=0和|φi（0，ui）=0。这个系统的解，i=1，2。。。，p为|ψi（τ，ui）=2uiη（ui）+ki-4ui+η（ui）η（ui）+ki×（η（ui）+ki）exp[η（ui）τ]+η（ui）- ki（7.4）～φi（τ，ui）=kiθiσi[η（ui）ki]τ+2kiθiσilog[（η（ui）+ki）exp[η（ui）τ]+η（ui）- ki]-2kiθiσilog（2η（ui））（7.5），其中η（ui）=qki+2uiσi.7.1.2 GAO的价格我们使用方程（4.12）和（7.2）获得转换度量下GAO的价格▄Q asC（0，x，T）=g▄P（0，T）▄En-1Xi=1e-（\'r+\'u）ipYj=1e-φj（i，Rj+Mj）-Иψj（i，Rj+Mj）XjT- （K）- 1)+（7.6）式中，式（7.2）给出的▄P（0，T），τ=T，式（7.4）和（7.5）给出的▄ψj（i，Rj+Mj）和▄φj（i，Rj+Mj）。7.1.3 XT的分布为了在多维CIR情况下获得GAO的显式边界，我们需要获得转换度量Q下XJT的分布。我们在以下命题中陈述了这一点（c.f.[21]和[2]详细说明）。提案4。方程式（7.1）中定义的CIR过程的动力学xjt在变换后的度量值Q下由dxjt=kj给出θj- Xjt公司dt+σjpXjtdWjt，j=1。。。，p、（7.7）式中，kj=kj+σj|ψj（0，Rj+Mj），（7.8）θj=kjθjkj+σj|ψj（0，Rj+Mj）（7.9）和Xj0；j=1，2。。。，p是过程的初始值。然后给出xjt的密度函数yfxjt（x）=fχ（νjT，λjT）cjT（x）=cjTfχ（νjT，λjT）（cjTx）（7.10），其中fχ（νjT，λjT）；j=1，2。。。，p是非中心χ的p.d.f，自由度νjandnon中心性参数λjt，cjt=4kjσj1.- e-kjT公司, （7.11）νjT=4kjθjσj（7.12）和λjT=cjTXj0e-kjT。（7.13）XJT的矩母函数（m.g.f.）有一个非常有趣的阐述，详情如下（c.f。

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2022-6-1 02:15:23

【38】了解详情）。MXjT（sj）=（β（sj））？νjeλjT（β（sj）-1）（7.14）式中，β（sj）=（1- sjujT）-1，（7.15），ujT=cjT，（7.16）(R)νj=νjT（7.17），λjT=2λjT。（7.18）7.1.4下限GAOLB（MCIR）方程式（5.7）中获得的下限GAOLB以类似于公式（5.8）的方式浓缩为多回路情况下的非常紧凑的公式。在解释之前，我们看到，根据第4节中定义的符号，可以写出（i）T=S（i）eX（i）T；i=1，2。。。，n- 1，（7.19），其中（i）=e-（（‘r+’u）i+Ppj=1￠φj（i，Rj+Mj））（7.20）和x（i）T=-pXj=1|ψj（i，Rj+Mj）XjT，（7.21），其中|φj（i，Rj+Mj）和|ψj（i，Rj+Mj），对于i=1，2。。。，n- 1和j=1，2。。。，p为不等式（7.4）-（7.5），τ替换为i。此外，XjT；j=1，2。。。，p是独立的随机变量，其m.g.f.在方程（7.14）中给出。这使我们得出了多CIR情况下的下边界公式，以以下命题的形式呈现：命题5。多CIR情况下的下界为gaolbmcir=gP（0，T）n-1Xi=1e-（‘r+’u）i+Ppj=1φj（i，Rj+Mj））+Ppj=1λjT（β(-Иψj（i，Rj+Mj））-1)pYj=1β-Иψj（i，Rj+Mj）νj!- （K）- 1)!+（7.22）其中β（.）式（7.17）-（7.18）中给出了式（7.15）中的νjandλjt，以及式（7.17）-（7.18）中给出的式（i，Rj+Mj），其中i=1，2。。。，n- 1.j=1，2。。。，p在（7.5）中给出。证据使用方程式（5.7）中给出的下限公式，GAOLB=gP（0，T）n-1Xi=1ES（i）T- （K）- 1)!+（7.23）使用方程式（7.19）-（7.21）中的S（i）T公式，我们得到了gaolbmcir=gP（0，T）n-1Xi=1e-（（‘r+’u）i+Ppj=1￠φj（i，Rj+Mj））pYj=1MXjT-Иψj（i，Rj+Mj）- （K）- 1)+.（7.24）使用m.g.f.的定义。

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2022-6-1 02:15:26

XjT的；j=1，2。。。，公式（7.14）中给出的p，我们得到了请购单结果。7.1.5上限GAOUB（MCIR）根据构成MCIR情况下GAO篮子的纯禀赋公式（（7.19）-（7.21）），我们写道（n-1)= -（\'r+\'u）n-n- 1n-1Xk=1pXj=1？φj（k，Rj+Mj）（7.25），使用对数几何平均值Y（n）的定义-1） t参见第6.3节方程式（6.4）。我们现在利用第6.3.1节中给出的有效情况下的上界设置，并注意到这里不是φ（k，R+M）和ψ（k，R+M），而是分别为ppj=1φj（k，Rj+Mj）和ppj=1ψj（k，Rj+Mj），因为我们处理的是p维CIR过程。因此X（1）T。。。，X（n-1） T型在方程（6.6）中给出的变换后的度量值Q下，φMCIRT（γ）=pYj=1φXjT-n-1Xk=1γkψj（k，Rj+Mj）！，（7.26）式中，γ=[γ，γ，…，γn-1] ，φXjT；j=1，2。。。，p表示XjTwithparameter的特征函数-Pn编号-1k=1γk|ψj（k，Rj+Mj）对于j=1，2。。。，p、对于k=1，2，…，使用|ψj（k，Rj+Mj）。。。，n-1.j=1，2。。。，式（7.5）中给出了p，τ被k代替。φXjT（s）可以通过用is代替s，从式（7.14）中给出的m.g.f公式中获得。此外，我们看到方程式（6.13）中给出的ψGT（η；δ）减少到ψGMCIRT（η；δ）=ei（η-i（δ+1））Y（n-1） Qpj=1φXjT-(η-i（δ+1））n-1Pn-1k=1|ψj（k，Rj+Mj）δ+ δ - η+iη（2δ+1）。（7.27）接下来，我们得到▄EMCIRhG（n-1） t从方程式（6.20）中，利用（7.26）。

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2022-6-1 02:15:28

此外，我们还计算了EMCIRhA（n-1） Ti=n- 1n-1Xk=1e-（‘r+’u）k+Ppj=1？φj（k，Rj+Mj））pYj=1MXjT-Иψj（k，Rj+Mj）.（7.28）最后，我们将这些分量逐一插入方程（6.11），以获得上界gaoub（MCIR）。7.2 Wishart短期利率模型7.2.1在本节中，我们假设a ffne过程X：=（Xt）t≥0是一个d维Wishart过程。给定一个d×d矩阵布朗运动W（即其条目为独立布朗运动的矩阵），Wishart过程X（无跳跃）被定义为d×d维随机微分方程DXT的解=βQTQ+HXt+XtHTdt+pXtdWtQ+QTdWTtpXt，t≥ 0，（7.29），其中X=X∈ S+d，β≥ d- 1，H∈ Md，Q∈ GLdand和qt表示其转座。md已在第4节中定义，而gldde简而言之注意到可逆实d×d矩阵集，我们假设X的定律是W ISd（X，β，H，Q）。7.2.2解的存在性和唯一性【39】开创了这一过程，她证明了方程（7.29）弱解的存在性和唯一性。她还建立了一个在S++d中取值的唯一强解的存在性，即正半有限对称d×d矩阵的锥的内部，我们用S+d表示。7.2.3生成器【39】计算了Wishart过程的最小生成器为：a=TrβQTQ+Hx+xHTDS+2xDSQTQDS, （7.30）式中，T r代表跟踪，DS=(/xij）1≤i、 j≤d、【40】是理解该生成器详细推导的一个很好的参考，根据该参考，我们在附录A.7.2.4中定义了生成器。现在，我们给出了一个明确的公式，用于计算Wishart短期利率模型下的生存零息票债券价格。定理6。

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2022-6-1 02:15:33

对于具有ISd（X，β，H，Q）定律的过程X，根据方程（4.1）分别给出短期死亡率和死亡率的动力学，分别为：RT=’r+T r[RXt]（7.31）和uT=’u+T r[MXt]（7.32）。让R，M∈ S++Dτ=T- t、然后，Wishart短期利率模型（7.31）下azero息票债券的价格由▄P（t，t）=Ehe给出-RTt（\'r+\'u+T r[（r+M）Xu]）du | Fti=e-§φ（τ，R+M）-T r[ψ（τ，r+M）Xt]，（7.33），其中φ和ψ满足以下常微分方程组：~φτ=T rhβQTQ？ψ（τ，R+M）i+？R+？u，？φ（0，R+M）=0，~ψτ=△ψ（τ，R+M）H+HT△ψ（τ，R+M），-2|ψ（τ，R+M）QTQ|ψ（τ，R+M）+R+M，|ψ（0，R+M）=0。（7.34）证明。考虑方程（7.33）中的期望值。如第2节所述，FTF上的条件可以减少到GT上的条件，因此我们定义≤ T，定义（T，Xt）=f（τ，Xt）=Ehe-RTt（\'r+\'u+T r[（r+M）Xu]）du | Xti。（7.35）该条件期望是费曼-卡茨表示，满足以下偏微分方程（PDE）：(f（τ，x）τ=Af（τ，x）- （\'r+\'u+T r[（r+M）x]）f（τ，x），f（0，x）=1，（7.36），对于所有x∈ S+d，其中A是方程式（7.30）中给出的Wishart过程的微型发生器。

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2022-6-1 02:15:36

我们引入了一个候选解f（τ，x）=e-§φ（τ，R+M）-T r[|ψ（τ，r+M）x]（7.37），因此f（τ，x）τ=-~φτ- T r“~ψτx#！f（τ，x）（7.38）也很清楚Ae-§φ（τ，R+M）-T r[ψ（τ，r+M）x]=e-§φ（τ，R+M）Ae-T r[|ψ（τ，r+M）x]，（7.39），其中使用方程式（7.30）中给出的Wishart过程的生成器，我们得到了-T r（|ψ（τ，r+M）x）=- T rhβQTQ|ψ（τ，R+M）i+T R“|ψ（τ，R+M）QTQ|ψ（τ，R+M）-Иψ（τ，R+M）H- HT|ψ（τ，R+M）！x#！e-利用方程（7.35）中的方程（7.38）-（7.40）并在整个过程中抵消f（τ，x），我们得到-~φτ- T r“~ψτx#=-T rhβQTQ|ψ（τ，R+M）i- （(R)r+T r[（r+M）x]）+T r“￠ψ（τ，r+M）×QTQ￠ψ（τ，r+M）-Иψ（τ，R+M）H- HT|ψ（τ，R+M）！x#！（7.41）比较方程（7.41）两侧与x无关的项和x的系数，我们得到了方程（7.34）中给出的所需常微分方程组。这就完成了证明。（7.34）中给出的求解Riccati方程组的方法出现在【43】中，其中作者提出矩阵Riccati方程可以通过将问题的维数加倍来线性化，感兴趣的读者也可以参考【44】和【2】。我们在没有证据的情况下陈述以下命题中的解决方案。提案7。

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2022-6-1 02:15:39

定理6中的函数|φ和|ψ由（|ψ（τ，R+M）=A给出-1（τ）A（τ），～φ（τ，R+M）=β对数（det（A（τ）））+τT rHT公司.（7.42）其中A（τ）A（τ）A（τ）A（τ）= 经验值τH 2QTQR+M-HT公司（7.43）Wishart短期利率模型下零息票债券定价的替代方法见【44】和【45】。7.2.5 GAO的价格我们使用定理6和方程（4.12）来获得GAO在转换度量下的价格▄Q asC（0，x，T）=g▄P（0，T）▄En-1Xi=1e-（\'r+\'u）ie-φ（i，R+M）-T r[ψ（i，r+M）XT]- （K）- 1)!+, （7.44）式中，P（0，T）由方程（7.34）给出，其中τ=T，而i=1，2，…，则为ψ（i，R+M）和φ（i，R+M）。。。，n- 1由方程组（7.42）给出，τ=i.7.2.6 XT的分布。为了在Wishart情况下获得GAO的显式边界，我们需要获得变换度量值Q下的XT分布。我们在以下命题中对此进行了说明（c.f.[2]和[48]）。提案8。方程式（7.29）中定义的Wishart过程X在变换测量Q下的动力学由DXT给出=βQTQ+H（t）Xt+XtH（t）tdt+pXtdWtQ+QTdWTtpXt，t≥ 0，（7.45），其中H（t）=H- QTQ？ψ（τ，R+M），（7.46）X=X∈ S+d，β≥ d- 1，H∈ MDA和Q∈ GLd。下一步~ 西部数据β、 V（0），V（0）-1ψ（0）Txψ（0）, （7.47）式中，Wd表示非中心Wishart分布，参数为d、β、V（0）和ψ（0）Txψ（0），最后一个参数为非中心性参数，用Θ表示。此外，V（t）和ψ（t）求解以下常微分方程组（ddtψ（t）=-H（t）tψ（t），ddtV（t）=-ψ（t）TQTQψ（t），（7.48），终端条件ψ（t）=Idand V（t）=0。现在，我们在非中心Wishart分布的背景下陈述了两个命题，这对于Wishart案例中GAO边界的推导非常重要（c.f.[49]和[50]）命题9。

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2022-6-1 02:15:42

（非中心Wishart分布的拉普拉斯变换）Let XT~ Wd（β，V（0），Θ），Θ=V（0）-1ψ（0）Txψ（0）。然后，由l（U）=EheT r给出Xt的拉普拉斯变换[-U XT]i=det（Id+2V（0）U）-βeT r[-Θ（Id+2V（0）U）-1V（0）U]（7.49），其中U∈ S+d。提案10。（非中心Wishart分布的特征函数）考虑XT~Wd（β，V（0），Θ），Θ=V（0）-1ψ（0）Txψ（0）。然后，通过φXT（λ）=EheT r[i∧XT]i=det（Id）给出xts的特征函数- 2iV（0）∧）-βeT r[iΘ（Id-2V（0）∧）-1V（0）∧]（7.50），其中∧∈ Md.7.2.7在Wishart设置下的下限GAOLB（W IS），方程式（5.7）中获得的下限GAOLB降低到非常低的形式。在得出公式之前，我们按照第4节的精神定义了以下符号。S（i）T=S（i）eX（i）T；i=1，2。。。，n- 1，（7.51），其中（i）=e-（（\'r+\'u）i+~φ（i，r+M））（7.52）和x（i）T=-T rh|ψ（i，R+M）XTi，（7.53），其中|ψ（i，R+M）和|φ（i，R+M），对于i=1，2。。。，n- 1由方程组（7.42）给出，τ=i。此外，Xt具有非中心Wishart分布，拉普拉斯变换在方程（7.49）中给出。这个结果与公式（5.8）一起，Wishartcase的下限表现为以下形式。GAOLB（W IS）=gP（0，T）n-1Xi=1e-（（\'r+\'u）i+~φ（i，r+M））检测Id+2V（0）～ψ（i，R+M）-β×eT rh-Θ（Id+2V（0）～ψ（i，R+M））-1V（0）～ψ（i，R+M）i！- （K）- 1)!+（7.54）7.2.8上限GAOUB（W IS）根据Wishart案（7.51）-（7.53））中篮子资产的公式，我们有（n-1)= -（\'r+\'u）n-n- 1n-使用对数几何平均值Y（n）的定义，1Xk=1|φ（k，R+M）（7.55-1） t参见第6节方程式（6.4）。

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2022-6-1 02:15:44

此外，在Wishart设置中获得GAO的上界是一个简单的练习，可以通过计算方程式（7.49）中给出的拉普拉斯变换，利用方程式（6.23）中给出的一种情况下的GAO上界公式，使得k=1，2。。。，n- 1，LИψ（k，R+M）= det公司Id+2V（0）～ψ（k，R+M）-βeT rh-Θ（Id+2V（0）～ψ（k，R+M））-1V（0）～ψ（k，R+M）i（7.56）并计算φXT-(η-i（δ+1））n-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）和φXT在里面-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）从公式（7.50）中，将∧替换为-(η-i（δ+1））n-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）andin-1Pn-1k=1|ψ（k，R+M）。8数值结果现在，我们研究了前几节推导的理论的应用。在第5节和第6节中，我们成功地获得了保证年金期权的一些下界和上界。我们现在测试这些与GAO的著名蒙特卡罗估计值的对比。我们为两个更通用的a ffine模型执行此操作。边界的命名已在第5、6和7节中详细说明。在所有示例中，我们有以下“合同规格”：g=11.1%，T=15，n=35；8.1多CIR模型首先，我们考虑一个三维CIR过程X：=（Xt）t≥0具有独立组件（Xit）t≥0，i=1，2，3（c.f.[2]详细信息）。我们假设利率过程和死亡率过程具有以下动力学。rt=\'r+X1t+X2t（8.1）和ut=\'u+mX2t+mX3t，（8.2），其中\'r，\'u，mand-mare常数。我们使用类似于[2]的模型规格，并在参数集中进行了细微的筛选。我们计算mand的值，并获得Ms的值，从而将死亡率的预测值固定到Cx（T）表示的特定水平，Cx（T）由bye预测。g、 Gompertz-Makeham模型（c.f。

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2022-6-1 02:15:47

[51]）对于时间为0的年龄为x的个体，在x+T时，即[uT]=Cx（T），（8.3）应用等式（8.2）两侧的期望值，并在（8.3）中进行替换，我们得到‘+mE[X2t]+mE[X3t]=Cx（T），（8.4），其中为Xit；i=1，2，3是使用（7.1）给出的随机微分方程（SDE）得到的，我们有e【Xit】=Xi，0e-套件+θi1.- e-配套元件. （8.5）使用本节开头所述的合同规范，我们将（8.3）中的预期值乘以C（15）=0.0125。关于死亡率模型的有效性，一个非常好的讨论出现在[2]。事实上，该模型已在[52]中完全校准。使用方程式（8.1）-（8.2）确定的设置，在（rt）t≥0和（ut）t≥0表示为ρt，表示ρt=mσX2tpσX1t+σX2tpmσX2t+mσX2t给出的随机过程。（8.6）我们改变了mand的值，因此得到了musing方程（8.3）的值，这最终得到了ρ的值。进一步根据【2】，我们制定了以下参数规范'r=-0.12332，(R)u=0表2描述了不同mand值的GAO价格的下界、上界和蒙特卡罗估计，因此，对于初始成对线性相关系数ρ的不同值。我们发现ρ值的增加会提高GAO的值。下界非常尖锐。另一方面，上限稍宽一些。

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