由此产生的动态看起来有点像（1），除了每个私人银行在驱动布朗运动中都有自己的增长率和波动性，而流动率依赖于i和j。我们的设置允许我们研究不同市场和投资情景下的系统风险和违约分布。我们还观察到流动性陷阱（货币政策未能促进风险资产投资）这一常见的经济现象，这一现象自然产生于该模型。对于未来的研究，可以考虑一些但不是所有投资组合使ui满意的情况≤ σi（因此无法确定）。此外，考虑私人银行的不同效用函数可能会很有趣，例如电力效用。由于相应的哈密尔顿-雅各比-贝尔曼方程可能难以处理，因此可以使用平均场公式分析问题，每个银行都在与“银行数量”竞争。24 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEV7。附录让我们说明一般连续时间马尔可夫过程的显式收敛结果，用于定理5.1的证明。经典文献[12、23、24]的这些结果将lyapunov函数与长期收敛联系起来。在[26，引理2.3，定理2.6]中，我们重新表述了这些结果，使它们更便于我们使用。为了方便读者，让我们在此重申这些结果。引理7.1。取Feller连续强马尔可夫过程X=（X（t），t≥ 0）在度量状态空间E上，用转移函数Pt（x，·）和生成器L表示概率测度，其中x（0）=x。

假设某个正参考测度ψ和一个函数v:E→ [1, ∞) 在生成元L的域D（L）中，我们有：（a）对于一些紧子集C E、 ψ（C）>0；（b） 对于所有ψ-正子集A E、 x个∈ E、 t>0，我们有：Pt（x，A）>0。（c） 对于某些常数b，k>0和紧集k E、 我们有：LV（x）≤ -kV（x）+b1K（x），x∈ E和supx∈KV（x）<∞.然后存在唯一的平稳分布π，过渡函数满足以下估计：对于某些常数D，κ>0，kPt（x，·）- π（·）kV≤ DV（x）e-κt，x∈ E、 t型≥ 以下强大的大数定律取自【19，定理4.1，定理4.2】。它在一个称为一致正递归的假设下成立，该假设可以从李雅普诺夫函数的存在性中推导出来。假设E=rdover，Xis是具有特定漂移向量的SDE的解，协方差矩阵a（·）。设τC：=inf{t≥ 0 | X（t）∈ C} 是子集C的命中时间 Rd.假设存在唯一的平稳分布π。引理7.2。假设某个开有界域D 对于C边界，我们有：（a）对于x，a（x）的最小特征值∈ D一致有界于零；（b） 对于每个紧致子集K Rd，我们有：supx∈KExτD<∞.然后Px-a.s.每x∈ Rd与有界可测函数f:Rd→ R、 我们有：limT→∞TZTf（X（t））dt=ZRdf（X）π（dx）。引理7.3。固定u∈ R和σ>0。取函数h:R→ R、 除灰（x）=ux-σx- r（x- 1)+.其全局最大值在点x处达到*等于h*= h（x*), 式中：h（x*) :=r+（u-r） 2σ，u- σ≥ ru -σ, 0 ≤ u - σ≤ ru2σ, u ≤ σ.x个*:=u-rσ，u- σ≥ r1, 0 ≤ u - σ≤ ruσ, u ≤ σ.银行间流动、借贷和投资25证明。我们可以写eh（x）=（ux-σx- r（x- 1） ，x≥ 1.ux-σx，x≤ 首先，请注意，函数h除x=1外，其他地方都是光滑的，对于所有x 6=1，h（x）<0。

因此，如果h（x）=0，则h在x处有一个局部最大值。对两个插值求导数(-∞, 1] 和[1，∞):x个≥ 1表示h（x）=（u- r）- σx=0==> x=x：=u- rσ；x个≤ 1表示h（x）=u- σx=0==> x=x：=μσ。在这两条光线上，h是一条抛物线，分支朝下。案例1。u-σ≥ r、 然后x，x≥ 因此，h在[1]上达到最大值，∞) 在x和on处(-∞, 1] 在1。由于h在[1]上达到最大值，∞) 在x而不是1，我们有：h（1）≤ h（x）。因此，x*= x、 案例2。0≤ u - σ≤ r、 然后是x≤ 1，但x≥ 因此，h在[1]上达到最大值，∞)在1和上(-∞, 1] 在1。因此，全局最大值将为x*= 1、案例3。u - σ≤ 0。然后x，x≤ 因此，h在[1]上达到最大值，∞) 在1，andon(-∞, 1] 在x=x时。与情况1类似，全局最大值在x处达到*= x。引理7.4。对于（58）中定义的矩阵M，存在常数c（M）>0，使得（68）xMx≤ -c（M）kxk，x∈ Π.证据注意，M是连续时间马尔可夫链Q=（Q（t），t）的生成矩阵≥0）在{1，…，N}上。这个马尔可夫链可以被看作是图G上的一个有偏随机游动：当它想要跳出状态i时，它会选择一个最近的邻居j，这样i和j是相连的，只是概率不一致。此图G是连通的。因此，这个马尔可夫链是不可约的。因为它是有限的，所以它是正周期性的。从连续时间马尔可夫链的标准结果来看，参见示例【18，定理2.7.15】，马尔可夫链Q具有唯一的平稳分布πQ=πQ。πQN该平稳分布满足πQM=0。但矩阵M的列之和为零。因此，eM=0，e/N是一个平稳分布。根据唯一性，πQ=e/N。Letλ。λNand v，vNbe矩阵M（69）Mvi=λivi，i=1，…，的特征值和特征向量，N、 矩阵M的特征向量都是实的，因为M是对称的。

接下来，非零特征值是负的：这来自于[17，练习8.1]。满足viM=0的每个零特征值λihaseigenvector Vi，即Vi与平稳分布成比例。但平稳分布是唯一的，因此我们有（不丧失一般性）：λ=0；λ, . . . , λN<0；对于某个常数c，v=ce。现在，取x∈ 注册护士。假设v，vNare规格化：kvik=1，i=1，N、 因为em是对称的，v，Vn在RN中形成正交基。因此，我们可以分解（70）x=（x·v）v+（x·v）v+…+（x·vN）vN。26矢量x的ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev∈ π，我们有：x·e=0，因此x·v=0。因此，（70）的形式为（71）x=（x·v）v+…+（x·vN）vN。将矩阵M应用于（71）中的向量，并使用（69）。我们有：（72）Mx=（x·v）λv+…+（x·vN）λNvN。从（71）和（72），从v，vn构成RN的正交基，我们有：（73）xMx=Mx·x=λ（x·v）+…+λN（x·vN）。此外，乘以（71），我们得到：（74）kxk=x·x=（x·v）+…+（x·vN）。设c（M）：=min（|λ|，…，|λN |）>0。比较（73）和（74），我们得到（68）。参考文献[1]Adrian D.Banner、E.Robert Fernholz、Ioannis Karatzas（2005）Atlas股票市场模型。安。应用程序。概率。15 (4), 2996–2330.[2] Adrian D.Banner、E.Robert Fernholz、Tomoyuki Ichiba、Ioannis Karatzas、VassiliosPapathanakos（2011年）。混合Atlas模型。安。应用程序。概率。21 (2), 609–644.[3] 李俊波，Agnostino Capponi（2015）。银行间网络的系统性风险。暹罗J.Fin。数学6 (1), 386–424.[4] Agostino Capponi、Xu Sun、David Yao（2018）。银行间借贷系统性风险和流动性准备的动态网络模型。SSRN编号：3028417，[5]Rene Carmona（2017）。关于BSDE、随机控制和随机微分博弈与金融应用的讲座。

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