利用银行间流动、借贷和投资对金融系统进行建模

2022-6-1 03:10:35

选择效用函数是为了使中央银行（对整个系统的稳定性感兴趣）比私人行为者（只对自己的净值感兴趣）更厌恶风险。由于效用函数的特殊选择，我们能够显式求解所有相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。如【13】所示，对数效用对应于近视决策；换句话说，私人行动者是短视的。央行更倾向于规避风险，有时需要通过降低利率来降低总体风险。我们提到了系统性风险的概念，它可以非正式地描述为大量银行违约或陷入财务困境的可能性。我们了解日期：2018年10月9日。版本26.2010数学科目分类。60H10、60H30、60J60、60K35、91A15、91B70、91G80、93E15。关键词和短语。系统风险，随机控制，委托代理问题，随机博弈，平稳分布，随机稳定性，李亚普诺夫函数。2017年JEL分类。C61、E43、E44、E52、G11。第一和第二作者部分得到了NSF拨款DMS 1736439和DMS 1409434的支持。我们感谢雷内·卡莫纳、扎卡里·范斯坦、让·皮埃尔·福克、马修斯·格拉塞利、伊奥尼斯·卡拉萨斯、安德烈亚·明卡和苏米克·帕尔进行了有益的讨论。2 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev银行的违约或倒闭，因为其净值（资产减去负债）低于给定的持股。我们对这一不良事件的可能性感兴趣；这种故障的机理；以及金融危机的蔓延，少数银行的倒闭导致更多的银行倒闭。我们建议读者参考手册【15】，其中包含许多不同的系统风险方法。

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2022-6-1 03:10:39

我们的工作受到了【8】中介绍的模型的启发，并在【5，第5.5节】中进行了描述。如果Xi（t）是财富，Yi（t）：=log Xi（t），那么在[8]中，作者将银行系统建模为N个连续时间随机过程Y，YN，多维OrnsteinUhlenbeck动力学。随机微分方程如下所示：（1）dYi（t）=aY（t）- Yi（t）dt+σdWi（t），i=1，N、 i.i.d.布朗运动W，WN，常数a，σ>0，（2）Y（t）=NNXi=1Yi（t），t≥ 常数a被称为银行间流动率。在文献[8]中，这些均值回复漂移是由银行决定相互借款产生的。他们的决策是通过最小化一定的成本函数来完成的，粗略地说，该函数衡量的是一家银行向其他银行借款，而不是向中央银行借款。作者讨论了系统性风险背景下问题的最终参与者解决方案和平均场极限。一个重要的观察结果是：应用It^o公式，以Xi（第i家银行的实际净值）而不是Yi=log Xi改写方程式（1）。然后，由Ornstein-Uhlenbeck型条款a（Y（t））衍生的银行间流动- Yi（t））dt之和不等于0。人们可以认为，其余部分来自（或流向，取决于符号）实体经济。尽管如此，模型（1）因其简单性和分析可处理性吸引了大量的关注。在本文中，我们将在此基础上，将这些Ornstein-Uhlenbeck类型的术语扩展到beheterogeneous；见下文。我们进一步探讨了私人银行的个人决策，并扩大了中央银行的作用。此外，我们还分析了这种决策如何影响系统的稳定性。

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2022-6-1 03:10:43

更具体地说，我们通过假设每家私人银行投资于风险资产组合，从一般经济中借款投资于该组合（利率由中央银行控制），将利润收入囊中，并支付利息来扩展模型。与文献[8]中未分析中央银行决策的情况不同，在我们的模型中，中央银行将利率作为政策工具（用于管理私人银行的行为）。它是作为中央银行解决的控制问题的解决方案推导出来的。在我们的模型中，我们假设了两种参与者：私人银行和中央银行。私人银行希望最大化终端对数财富：（3）sup E[log Xi（T）]=sup E[Yi（T）]，i=1，N、通过借贷和投资风险资产组合。为简单起见，我们假设私人银行的投资组合是相关的几何布朗运动。通过选择对数效用函数，我们可以显式求解相应的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。银行间流动、借贷和投资3另一方面，央行希望控制金融系统的总体规模，将利率r>0作为货币政策工具，衡量银行借贷和投资的吸引力，而不是坐拥现金。正如我们在第4节中看到的，这个利率r控制着系统的总体规模，由（2）中的Y来衡量。这不是银行的平均净值；这是净值对数的平均值。这项措施有些不标准；然而，当dynamicsin（1）以净值Xi的对数yi来表示时，它更适合我们的模型。这一衡量标准在[8]和随后的论文中都有使用，所以我们觉得在这里使用它很合适。

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2022-6-1 03:10:46

中央银行选择r来最大化预期指数效用（有时在文献中称为CARA：恒定相对风险厌恶）：（4）E- 经验值(-λY（T））对于某些λ>0。这对应于央行比私人银行更厌恶风险：私人银行的效用函数在Yi（t）中是线性的，而央行的效用函数在这些变量中是凹的。对于私人参与者，我们可以显式求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并找到最优利率r。这是由于利率r的特殊选择，我们可以显式解决每个参与者的随机最优控制问题：私人银行和中央银行。这是由于（3）中私人银行和（4）中中央银行对对数效用函数的特殊选择。对于效用函数的其他选择，可能不可能显式地解决这个最优控制问题。然后可以尝试使用平均场限值，如[9、10、21]所示。这是一个有待进一步研究的课题。这种设置在某种程度上类似于委托代理问题：委托人（现在的中央银行）允许私人银行从经济中借款，而私人银行（代理人）最大化其预期的对数终端效用（他们的合同）。在参与者的这种最优选择下，我们研究了银行对数净值的动态变化以及违约的分布。第i家银行违约的理解与上文相同：当该银行的净值Xi（t）低于某个固定的正持有额时。

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2022-6-1 03:10:49

这使我们能够理解该模型中的系统性风险：少数银行的违约如何导致许多其他银行的违约，见第3.4小节。除了纳入中央银行的最优策略外，我们还通过允许i银行到j银行的银行间流动利率取决于i银行、j银行和时间t来概括模型（1），并通过cij（t）表示该利率：（5）dYi（t）=NNXj=1cij（t）（Yj（t）- Yi（t））dt+dWi（t）。这里，我们假设流速满足cji（t）=cji（t），i6=j；cii（t）=0，i=1，N、这种异质性与Ornstein-Uhlenbeck动力学在某种程度上类似于[20]的模型。如第4节所示，银行间流动率矩阵（cij（t））与系统的稳定性相对应。我们还考虑了布朗运动W，WNto有要关联的漂移和：即，我们假设W=（W，…，WN）是一个具有漂移向量u和协方差矩阵A的N维布朗运动。4 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev上述对（1）的观察结果可以应用于（5）：如果我们使用它的公式（根据Xi（实际净值），而不是Yi=log Xi，重写这些方程，那么银行间流量加起来不等于0。与之前一样，人们可以认为其余部分来自实体经济。但我们将以[8]中的模型（1）为基础，该模型因其易处理性和清晰性而吸引了许多研究兴趣。总之，本文的主题是私人银行的最优决策，以及这些决策之间以及与中央银行决策之间的相互作用。系统风险是中央银行和私人银行在经济中做出最佳决策的结果。1.1. 贡献。我们在这里的工作受到了[8]的启发，然而，与他们不同的是，我们考虑了中央银行和私人银行的效用最大化。

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2022-6-1 03:10:52

考虑到中央银行设定的利率，我们首先解决私人银行在其资产组合中的最佳投资。接下来，考虑到私人银行的策略及其自身的风险规避，我们将回头寻找中央银行的最佳利率。与[8]中银行间流动率保持不变的情况不同，这里我们概括了每对私人银行的流动率是不同的。我们考虑违约分布对风险资产之间的相关性以及中央银行设定的利率的依赖性。1.2. 论文的组织结构。在第2节中，我们用随机微分方程组的随机控制问题来描述该模型。在第3节中，我们解决了每家私人银行的仓促控制问题，在第4节中，我们解决了中央银行的仓促控制问题（对每家私人银行给予临时控制）。特别是在第3节中，我们研究了违约数量的分布。这就是我们触及系统性风险概念的地方：我们感兴趣的是它对系统参数的依赖，例如各种风险投资之间的相关性。第5节包含了系统长期稳定性的结果：银行的资本倾向于保持紧密，而不是分裂成两个或多个集团。第6节是总结和对未来研究的建议。附录包含一些技术证明。1.3。审查相关模型。该模型的基本财富动态（1）已在不同环境下进行了研究。例如，在文献[7]中，研究了一个具有时滞的类似系统。【16】中研究了大偏差。在不进行详尽调查的情况下，让我们提及以下论文，这些论文使用随机微分方程和相互作用的布朗粒子来模拟银行或其他金融机构资本的动力学。

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2022-6-1 03:10:55

[14] 使用带有贝塞尔型扩散系数的随机微分方程系统对同时违约进行建模（在此模型中，违约是指资本达到零时）。[3，27]中的作者将此类贝塞尔型扩散系数与平均场型漂移项相结合，[3]中有一个额外的跳跃项（因此存在跳跃差异的过程）。在文献[25]中，金融系统由独立的几何布朗运动建模，违约发生在一些较低阈值的命中时间。一旦一家银行违约，其他银行的资本就会减少一定数量，可能会引发一系列违约。[6] 引入时间的平均场游戏。“计时游戏”一词指的是每个玩家选择一个最佳停止时间的游戏。平均场计时游戏是指一名球员与其他经纪人的“人群”竞争，而不是单独的竞争对手；这可以非正式地看作是游戏时间的限制，因为玩家的数量趋于一致。这是一个银行挤兑的模型，在一篇著名的论文中继续研究[11]。银行间流动、借贷和投资5让我们再提一下论文【22】，该论文通过几何布朗运动对动力学进行建模，研究平均场相对性能标准：代理人与“人群”竞争。与“人群”的表现相比，我们最大限度地提高了代理人的表现。在最近的一篇论文[4]中，银行是按集群组织的。银行间交易动态是通过一组相互作用的度量值过程建模的。研究了集群中冲击的含义。1.4. 符号对于向量或矩阵a，其转置用a表示。我们通常将向量视为列向量。两个向量a和b的点积用a·b表示。术语标准布朗运动表示漂移系数为0、扩散系数为1的一维布朗运动。

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2022-6-1 03:10:58

对于V≡ 1，这称为总变化范数。固定尺寸N≥ 2、然后e∈ RN是一个具有单位分量的向量（1，…，1），我们在RN中定义了以下超平面：∏：={x∈ RN | x·e=0}={x∈ RN | x+…+xN=0}。定义以原点为中心的∏上半径r的（闭合）球：（6）B（r）：={x∈ ∏kxk≤ r} 。（N- 1） -在∏上的尺寸勒贝格度量由mes∏（·）表示。如上所述，符号1（A）或1A2代表事件A.2的指示器功能。模型2.1的说明。正式描述。考虑一个由N个代理人（我们称之为私人银行）组成的系统，他们不断地相互借钱，从外部经济中借款，偿还利息，并投资于一些风险投资组合。我们在过滤概率空间上操作(Ohm, F、（Ft）t≥0，P），过滤满足通常条件。我们考虑的所有过程都适用于（Ft）t≥0、设Xi（t）>0为第i家银行在t时的净值（资产减去负债），i=1，N、设Zi（t）为第i家私人银行当时从外部经济体借入的金额。假设此类借款的利率为r（t）≥ 0，由中央银行控制。然后在时间间隔[t，t+dt]内，第i家银行偿还利息r（t）Zi（t）dt。在时间t时，该银行可支配的金额为Xi（t）+Zi（t）：其自有资本加上借款金额。该金额Zi（t）≥ 0由第i个银行控制。或者，第i家银行可能决定不借入任何东西，甚至将自己的一些钱存为现金（不赚取任何利息）。如果投资不太有利，或者更准确地说，如果回报不超过风险，就会发生这种情况。在这种情况下，我们让Zi（t）<0，并定义-Zi（t）是存放的现金数量。

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2022-6-1 03:11:01

投资金额仍为Xi（t）+Zi（t），但银行不支付或收取任何利息。我们结合这两种情况：第i家银行将时间t的Xi（t）+Zi（t）投资于风险投资组合，并在时间间隔[t，t+dt]内支付利息r（t）（Zi（t））+dt。在时间t，ithbank投资于价值为Si（t）的风险资产组合。第i家银行购买该投资组合的（Xi（t）+Zi（t））/Si（t）单位。时间间隔[t，t+dt]的净利润为（Xi（t）+Zi（t））dSi（t）Si（t）。6 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev综合以上，我们得到以下方程组：（7）dXi（t）=（Xi（t）+Zi（t））dSi（t）Si（t）- r（t）（Zi（t））+dt i=1，N、 Xi（0）>0。接下来，我们对投资组合过程的动态Si做出一些假设。另一个问题是银行如何利用股票和其他风险资产构建这些投资组合。这个问题与本文的主题是分开的，我们不在这里研究它。相反，我们假定这些是几何布朗运动。这个假设非常简单，但我们相信它在某种程度上反映了投资组合的特征。进程mi（t）=ZtdSi（s）Si（s），i=1，N、形成一个N维布朗运动，漂移向量u=（u，…，uN），协方差矩阵A=（aij）i，j=1，。。。，N、特别是，每个Mi，i=1，N、是漂移系数ui和扩散系数σi=aii的布朗运动，因此可以表示为（8）Mi（t）=uit+σiWi（t），其中wii是一维标准布朗运动。虽然投资组合过程（8）仅由一个布朗运动驱动，但在我们的框架中也可以考虑更一般的表示：（9）dSi（t）Si（t）=uidt+mXj=1σi，jdBj（t），其中（B，…，Bm）是布朗运动。由于σidWi（t）：=Pmj=1σi，jdBj（t），但wii也是一个布朗运动，我们回到原始的组合过程（8）。布朗运动之间的协方差（W。

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2022-6-1 03:11:04

. . , WN）可以以各种方式建模。（1.a）所有W，WN是独立的。那么矩阵A是对角的：（10）A=对角（σ，…，σN）。这意味着银行的投资组合是独立的。（1.b）所有W，WN相同：W=W=…=WN。这意味着，事实上，所有银行都使用相同的投资组合，它们是完全相关的。那么让u=…=uNandσ=…=σN.（1.c）一种中间情况：对于一些i.i.d.布朗运动Wi，i=0，N、一些系数ρ，|ρ，ρ+|ρ=1，我们有：（11）Wi（t）：=ρ|Wi（t）+ρW（t），i=1，N、我们还可以将N个银行拆分为子集，并构建依赖关系，就像每个子集的情况（1.c）一样；假设与不同子集相对应的投资组合过程是独立的。2.2. 驱动随机方程的主要系统。应用It^o公式确定Yi（t）：=log Xi（t）：（12）dYi（t）=dXi（t）Xi（t）的动力学-dhXiit2Xi（t）银行间流动、借贷和投资7将（7）和（12）相结合，我们得到了驱动银行财富的主要随机方程。目前，它不包含银行间流动，即（1）或（5）中的Ornstein-Uhlenbeck型流动：（13）dYi（t）=（1+αi（t））σidWi（t）+hi（αi（t），r（t））dt。这里我们定义了相对投资比率：αi（t）=Zi（t）Xi（t），t≥ 0，i=1，N、和以下数量：（14）hi（α，r）：=（1+α）ui-σi（1+α）- rα+表示α，r∈ R、最后，第i家银行还与其他银行进行互动，实现现金流入和流出。在[8]和随后的论文中，这种相互作用是由Ornstein-Uhlenbeck型漂移（15）a（Y（t）模拟的- Yi（t））来自（1），其中Yi（·）=log Xi（·）。这里，我们取漂移（16）NNXj=1cij（t）（Yj（t）- （5）中的Yi（t），比（15）更一般，并将其添加到（13）。请注意，在我们的模型中，如[8]所示，现金流（在原始规模下，而非对数规模下）不一定加起来等于零。考虑可能的特殊情况：（2.a）所有cij（t）≡ 0

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2022-6-1 03:11:07

那么银行之间就没有现金流了。（2.b）所有cij（t）≡ c（t）>0。对于常数c，这是[8]中的模型。（2.c）设G是顶点{1，…，N}上的图。那么（17）cij（t）=c（t）1（i<-> j）对于某些c（t）>0。将这些Ornstein-Uhlenbeck型漂移从（16）叠加到（13）之上后，我们的主要驱动方程采用公式Dyi（t）=（1+αi（t））σidWi（t）+hi（αi（t），r（t））dt+NNXj=1cij（t）（Yj（t）- Yi（t））dt，i=1，N、（18）方程式（18）类似于[8]中的模型。然而，它也有显著差异：与[8]不同，（18）中的波动性可以控制；（18）中的漂移系数有点复杂。对于均匀速率：cij（t）≡ 式（18）的形式为dyi（t）=（1+αi（t））σidWi（t）+hi（αi（t），r（t））dt+c（t）（Y（t）- Yi（t））dt，（19）对于i=1，N、其中，Y（t）在（2）中定义。8 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEV2.3。理解如[8]所述，如果Xi（t）<eD，我们认为i银行在t时处于破产状态，其中D是中央银行规定的给定阈值。央行希望通过说服银行承担风险来刺激银行的活动，但不要太多，以免它们破产。方程式（13）意味着中央银行可以将利率r（t）作为货币政策工具来改变私人银行的行为。假设银行开始借入过多资金并将其投资于风险资产（杠杆）。通过这样做，他们增加了违约概率。然后，央行可以提高利率，以阻止私人银行过度借贷。相反，如果银行对未来盈利和风险承担过于谨慎，那么中央银行可以通过降低利率来刺激它们。

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2022-6-1 03:11:10

正如我们稍后看到的，利率影响着整个系统的状态。参数r（t）由中央银行确定，并提供给所有私人银行。然后，这些私人银行相互独立地确定投资利率αi（t）。根据银行的决策，中央银行需要确定这些参数的最佳值。这种设置类似于委托代理问题，但有许多代理。3、私人银行的最佳行为3.1。问题陈述。我们假设第i家银行将其他银行的资本视为给定值：Xj（t），j 6=i（或者，等效地，Yj（t）：=log Xj（t），j 6=i），以及利率r（t）（货币政策工具）。银行正试图选择相对投资比率αi（t），或等效的借款金额Zi（t），以最大化其预期的最终对数财富：（20）supα即[对数Xi（t）]，其中（20）中的上限接管所有有界自适应控制αi=（αi（t），0≤ t型≤T）。假设利率r（t）已经由中央银行设定。在本节中，我们明确地解决了这个随机控制问题。这与委托代理框架中的代理人问题相对应。在下一节中，我们将讨论中央银行（委托人）的最优政策选择。3.2. 问题的解决方案。效用函数的这种特殊选择，即linearin Yi，以及银行间流动，也就是Yiin（13）中的线性，使得这个优化问题易于处理：我们可以明确地解决这个问题。定理3.1。对于（20）中所述的优化问题，其中αiis有界，适用于[0，T]，第i家私人银行的αiis最优值如下：（21）α*i（t）：=ui-r（t）σi- 1.+, ui≥ σi；uiσi- 1，ui≤ σi.备注1。特别是，如果ui≤ σi，即投资回报不超过其风险，则第i家银行不借入任何资金进行投资。

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2022-6-1 03:11:13

相反，这家银行把钱留作现金。如果ui≥ σi，投资对借贷有吸引力，但利率足够高：r（t）≥ ui- σican可以阻止第i家银行借款；然后这家银行将只把自己的钱投资到投资组合中。只有在利率足够低的情况下：r（t）<ui- σi，第i家银行借款进行投资。银行间流动、借贷和投资9备注2。请注意，最优策略（21）不取决于流速cij，因为对数效用函数的特殊选择，在Yi中是线性的。虽然对数效用函数会导致近视代理，但这一假设对于结果的数学可伸缩性很重要。CRRA效用函数是文献中使用的另一种流行形式，但即使在平均值情况下，我们也无法评估其最优控制。证据动态规划原理告诉我们，函数Φi（t，y）：=supαiE[Yi（t）| Yi（t）=y]，其中我们取所有αi的上确界，这些αi有界并适应于[t，t]，满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：Φit（t，y）+supαi∈RNXj=1NXk=1（1+αj）ajkΦiyj公司yk（t，y）+NXj=1hhj（αj，r（t））+NNXk=1cjk（t）（yk- yj）iΦiyj（t，y）= 0，（22），终端条件Φi（T，y）=yi。我们假设已经选择了所有αj，j 6=i。尝试以下Anzats，在yj中呈线性：（23）Φi（t，y）=gi0（t）+NXj=1gij（t）yj。因为它是线性的，（22）中的二阶导数结果是零。因此，（22）中唯一需要最大化的是h（αi，r（t））。该最大化问题的解由值α给出*ifrom（21）。

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2022-6-1 03:11:16

这是一个简单的代数练习；附录中引理7.3给出了详细的计算。hi（α，r（t））的最大值为（24）h*i（t）：=hi（α*i（t），r（t））=r（t）+（ui-r（t））2σi，r（t）≤ ui- σi；ui-σi，r（t）≥ ui- σi≥ 0;ui2σi，ui≤ σi。这意味着第i组选择控制值αi：=α*i、该值与终点时间T和Yj值无关，j=1，N、这与默顿问题的经典解相对应。如果r是常数（与t无关），则α*土地h*我也很坚持。将（23）与终端条件进行比较，我们得到：（25）gij（T）=δij=（1，i=j；0，i 6=j，对于j=0，…，N。接下来，将anzats（23）插入（22）。请注意，anzats的所有二阶导数（23）均等于零，一阶导数为（26）Φiyj=gij（t），j=1，N、 10 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVIn此外，该值函数Φ从（23）的时间导数为（27）Φt=gi0（t）+NXj=1gij（t）yj。结合（21）、（24）、（26）、（27），我们得到HJB方程（22）的形式为（28）gi0（t）+NXj=1gij（t）yj+NXj=1h*j（t）gij（t）+NNXj=1NXk=1cjk（t）（yk- yj）gij（t）=0。比较（28）中每个yj的系数，我们可以看到（29）gij（t）+NNXk=1gik（t）cjk（t）-NNXk=1gik（t）ckj（t）=0，j=1，N、（28）中的自由项总计为（30）gi0（t）+NXj=1h*j（t）gij（t）=0。与终端条件（25）一起，N+1线性常微分方程的系统（29）和（30）具有唯一的解决方案gi0，杜松子酒。这就解决了HJB方程。为了完成证明，让我们进行验证论证。取有界自适应控制αj=（αj（t），0≤ t型≤ T）对于每个j=1，N

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2022-6-1 03:11:18

应用It^o公式计算Φi（t，Y（t））：dΦi（t，Y（t））=Φit（t，Y（t））+NXj=1NXk=1（1+αj（t））ajkΦiyj公司yk（t，Y（t））+NXj=1hhj（αj（t），r（t））+NNXk=1cjk（t）（yk（t）- Yj（t））iΦiyj（t，Y（t））dt+NXj=1Φiyj（t，Y（t））（1+αj（t））dWj（t）。（31）使用αj=（αj（t），0）的有界性≤ t型≤ T），得到随机积分项（31）的期望值为零。结合（22）和（31），我们得到（Φi（t，Y（t）），t≥ 0）对于所有可容许（自适应有界）控制αi是一个上鞅，但对于控制α是一个鞅*i、回想一下Φi（T，y）=yi。因此，EΦi（0，Y（0））≥ EΦi（T，Y（T））=E Yi（T），控制α相等*i、从这里开始，紧接着是α*iis确实是最佳控制。3.3。最优投资选择下的银行动态。在最优控制（21）下，过程Yi，i=1，N（我们用Y表示它们*i）满足以下随机微分方程组：（32）dY*i（t）=dM*i（t）+N“NXj=1cij（t）（Y*j（t）- Y*i（t））#dt，i=1，N、其中M*, . . . , M*N、由DM提供*i（t）=hi（α*i（t），r（t））dt+σi（1+α*i（t））dWi（t）。银行间流动、借贷和投资11如果r=常数，则M*是一个N维布朗运动，漂移向量和协方差矩阵由（33）u给出*= （u*, . . . , u*N），u*i： =高（α*i、 r）。（34）A*:= （a）*ij）i，j=1，。。。，N=诊断（（1+α*i），i=1，N） A.动力学（32）类似于[8]中的动力学。如果r（t）不依赖于t，那么M*=（M）*, . . . , M*N），与（M，…，MN）类似，是一个N维布朗运动，但具有不同的裂谷向量和协方差矩阵。如（2）所示，我们定义*（t） =NNXi=1年*i（t）。平均方程（32）并使用对称性cij=cji，我们得到：（35）Y*（t） =NNXi=1M*i（t），利率r控制着系统的总体规模，用Y来衡量。

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2022-6-1 03:11:23

快递（35）as：（36）dY*（t） =g（r（t））dt+ρ（r（t））dW（t），其中W是标准布朗运动，系数g（·）和ρ（·）定义为：（37）g（r）：=NNXi=1gi（r），gi（r）：=（ui-r） 2σi+r，r≤ ui- σi；ui-σi，r≥ ui- σi；ui2σi，ui<σi.（38）ρ（r）：=NNXi=1NXj=1aijρi（r）ρj（r），ρi（r）：=ui-rσi，0≤ r≤ ui- σi；1, 0 ≤ ui- σi≤ ruiσi，ui≤ σi.（a）r=0（b）r=0.12（c）r=0.20图1。我们使用以下参数进行模拟：N=30银行，时间范围T=1，无相关性ρ=0，无银行间流动ci，j=0，1000个时间步长和ui，σi，i=1，N i.i.d.统一[0.1，0.2]，以说明投资比率α的最佳选择*i=αi，i=1，N、我们做了一些模拟。取N=30组，ui，σi，i=1，N i.i.d.均匀【0.1、0.2】。然后ui≥ σi对于所有i；也就是说，所有投资组合都可以进行投资，至少在零利率12 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVr=0的情况下。首先，在图1中，我们假设（10），即投资组合过程S，SN，是独立的。我们还假设没有洪水：cij（t）≡ 0，i，j=1，N、我们取三个利率r：分别为0%、12%和20%。正如预期的那样，提高利率迫使银行减少借贷，从而获得最佳投资比率α*在图1（C）中变为0，而在图1（A）中变为2到12。（a）所有银行（b）i=1，10（c）j=11，30图2。银行对数资本Yi（t）的演变，i=1，N、我们使用以下参数：利率r=0，N=30家银行，时间范围T=1，无相关性：ρ=0，银行间流动ci，jare，如方程（39）所示，1000个时间步长，以及ui，σi，i=1，N是[0.1，0.2]上的i.i.d.一致（a）所有银行（b）i=1，10（c）i=11，30图3。

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2022-6-1 03:11:26

银行对数资本的演变：Yi（t）。我们使用以下参数：利率r=8%，N=30家银行，时间范围T=1，相关系数ρ=0.5，银行间流动ci，方程（39）中的jas，1000个时间步长和ui，σi，i=1，N i.i.d.统一[0.1，0.2]接下来，在图2中，我们假设投资组合过程是独立的，如（10）所示，但也有流动：（39）cij=（10，i，j=1，…，10；0.5，其他。我们观察到，有重大流动的银行往往有财富动态，这些财富动态更“联系”在一起。此外，这增加了系统的稳定性，因为我们观察到i=1，…，10的违约率低于j=11，…，30。最后，在图3中，我们假设投资组合过程是相关的，如（11）所示，ρ：=0.5时，流量由（39）给出，利率r为8%。与图2相比，通过紧密联系在一起的财富动态的变化，可以清楚地看到相关性对银行动态的影响。银行间流动、借贷和投资133.4。系统性风险。当前的许多研究都致力于系统性风险，即多重银行违约的可能性，以及违约在系统中的传播（换句话说，传染）。为了说明不同情景下银行的违约概率，我们给出了N=100家银行和1000个模拟的违约次数的直方图和经验累积分布函数。我们假设默认阈值D=-1对数财富。也就是说，如果某些t的Yi（t）<D，则公司违约∈ [0，T]。表示默认值的（随机）数D：（40）D：=NXi=1最小0≤t型≤类型（t）<D,首先，在图4中，我们假设在不同利率情景下没有银行间流动和独立的投资组合过程：（a）r=0（b）r=0.05（c）r=0.08图4。违约银行数量，其在某一时间的对数资本Yi（t）∈ [0，T]低于D=-1.

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2022-6-1 03:11:30

我们使用以下参数：N=100家银行，1000次模拟，无相关性：aij=σiδij，无银行间流动：cij=0表示i，j=1，N，100时间步，和ui，σi，i=1，N是图5中[0.1，0.2]的i.i.d.均匀。D的经验CDF，违约银行数量，N=100家银行，1000次模拟，ui=σi=0.1，i=1，下一步，在图5中，我们给出了违约银行数量的经验累积分布函数（CDF），假设相关投资组合且不同利率无银行间流动。相应的直方图如图6所示。正如之前的研究所述，相关性的增加增加了大额违约的概率，同时降低了小额违约的概率，类似于各种生物学研究中的违约行为。因此，在图7中，我们给出了14家ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVN=100家银行的P（D>60）和P（D<5）的经验估计，作为不同利率下其投资组合过程之间的相关性的函数。正如预期的那样，我们观察到，随着相关性的增加，大违约和小违约的概率都会增加。然而，提高利率降低了大规模违约的可能性，而牺牲了小型违约的可能性。最后，在图8中，我们给出了违约银行数量的经验CDF，假设相关的投资组合过程和恒定的银行间流动cij=a for i，j=1，N、其中a∈ {0, 0.5, 1}. 我们观察到，银行间流动有助于稳定系统，降低违约概率。（a） r=0，ρ=0（b）r=0，ρ=0.5（c）r=0.03，ρ=0.3（d）r=0.05，ρ=0.3图6。违约银行数量的柱状图。我们使用以下参数：N=100组，1000个模拟，ui=σi=0.1，i=1，N、和nointerbank FLOWS:cij=0表示i，j=1，N4。

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nandehutu2022

2022-6-1 03:11:33

最优中央银行政策在本节中，我们假设中央银行必须以非最优的方式选择利率r，以便在银行如前一节所述做出选择后，实现最优政策选择。我们假设银行（为他们）做出了最佳选择，我们在流程符号中省略了allasterisk。这可以看作是委托代理问题框架中的委托人问题。现在让我们重温一下央行对政策制定的描述。它的工具是利率r，中央银行用它来控制系统中的总资本量，用Y来衡量*自（36）。如果利率较低，增长率银行间流动、借贷和投资15（a）大违约概率：D>60（b）小违约概率：D<5图7。大违约概率和小违约概率的经验估计：分别为P（D>60）和P（D<5），作为不同利率下投资组合过程ρ之间相关性的函数。我们使用以下参数：N=100组，5000个模拟，ui=σi=0.1，i=1，N、对于i，银行间利率j=0，j=1，N（a）ρ=0.5和r=0（b）ρ=0.5和r=0.03图8。违约银行数量D的经验CDF。我们使用以下参数：N=100组，1000个模拟，ui=σi=0.1，i=1，N、 i的恒定银行间流量cij=a，j=1，N、其中a∈ （37）中的{0，0.5，1}g（r）和（38）中的波动率ρ（r）都很大。风险厌恶程度较高的中央银行可以选择较大的r。可以对Y应用凹效用函数*（t），并解决了该r的随机控制问题。在本节中，我们将指数（CARA：常数相对风险厌恶）效用函数应用于Y*（t）。私人银行希望最大化其预期对数净值Yi（t）。

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2022-6-1 03:11:36

换句话说，他们的对数效用U（x）：=对数x，这表明他们厌恶风险。然而，就对数资本而言，它们的效用函数是线性的。现在，如果央行像私人银行一样规避风险，她也会尝试最大化（Y（T）+…+YN（T）），或者EY（T），16 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsev，时间范围T>0。下面，我们展示了央行然后会选择零利率r=0，因为这将产生与私人银行相同的结果。现在，假设央行比私人银行更厌恶风险。这应该表现在效用函数是凹的（而不是线性的），即使在对数项中也是如此。例如，考虑一个常用的指数（CARA）效用函数：（41）Uλ（y）：=-e-λy。假设中央银行最大化预期终端效用：（42）上λ（y（T）），其中（42）中的上确界是在所有有界自适应控制r上选择的。我们也可以选择（43）Uλ（y）=λ来代替（41）效用函数1.- e-λy.当我们试图最大化（42）时，（41）和（43）之间没有差别，但写作（43）突出了央行的风险厌恶。Asλ↓ 0，来自（43）的函数Uλ满足：Uλ（y）→ y、（43）的常用绝对风险规避计算如下：-Uλ（y）Uλ（y）=λ。换句话说，λ>0是风险规避系数（中央银行相对于私人银行）。对于λ=0，中央银行根本不规避风险（至少不超过私人银行）。定理4.1。问题（42）的最优利率r（t）由常数r=r给出*最大化以下表达式：（44）w（r，λ）：=g（r）-λρ（r）。备注3。有趣的是，最优利率r并不取决于流动利率cij。

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mingdashike22

2022-6-1 03:11:39

这是因为我们用随机过程（t）来衡量系统的大小。该过程满足一个系数与Ij无关的随机微分方程。这些系数确实取决于最优控制α*i、然而，正如我们在Remark 2中提到的，这些最优控制α*i、反过来，不要依赖于流速，因为我们特别选择了对数效用函数。证据函数Φ（t，y）的HJB方程：=superUλ（Y（T））| Y（T）=Y其中，上确界接管所有有界自适应控制r=（r（t），0≤ t型≤ T），采用表格（45）Φt+supr≥0Φyg（r）+Φyρ（r）= 0，终端条件Φ（T，y）=Uλ（y）的银行间流量、借贷和投资17。尝试以下形式：（46）Φ（t，y）=f（t）Uλ（y）。从（46）中，我们可以计算关于t和y的导数：（47）Φt=f（t）Uλ（y），Φy=-λΦ,Φy=λΦ。将（47）插入（45）。因为Φ<0，我们可以重写（45）asf（t）+f（t）·infr≥0-λg（r）+λρ（r）= 这反过来等于（48）f（t）λf（t）=supr≥0g（r）-λρ（r）=: k、因为我们有Φ（T，y）<0和Uλ（y）<0，为了兼容性，我们需要证明f（T）>0对于所有T。从终端条件Φ（T，y）=Uλ（y）结合（46），我们有：f（T）=1。方程（48）可以写成f（t）=λkf（t），这给了我们f（t）=exp（λk（t- T））。因此，f（t）为正。最后，让我们进行验证论证以完成证明。这个想法类似于定理3.1中的验证论证。假设r*= （r）*（t），0≤ t型≤ T）是我们的常数controlfrom（44），从（45）中找到，r=（r（T），0≤ t型≤ T）是其他容许（adaptedbounded）控制。将函数Φ（t，·）应用于过程Y。

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2022-6-1 03:11:41

根据It^o公式，dΦ（t，Y（t））=Φt（t，Y（t））+Φy（t，y（t））g（r（t））+Φy（t，y（t））ρ（r（t））dt公司+Φy（t，y（t））ρ（r（t））dW（t）。（49）通过（45）与（49）的比较，我们得出Φ（t，Y（t））对于控制r是一个上鞅，但对于控制r是一个上鞅*. 事实上，根据r（t）的有界性，（49）中的随机积分的期望值为零。由于Φ（T，y）=Uλ（y），我们得到：E Uλ（y（T））=EΦ（T，y（T））≤EΦ（0，Y（0）），控制r相等*. 结果就在这里。让我们找出对应于（48）右侧最大值的r。这取决于向量g和矩阵A的结构。如果ui≤ σi对于所有i=1，N、那么，所有的投资都太不可靠，无法为它们借钱。那么，利率政策就不能影响私人银行的行为。这与流动性陷阱的情况相当，当时传统的货币政策已经失效。从现在起直到本节结束，让我们假设所有投资都具有吸引力：ui≥ σi，i=1，N、（3.a）假设S=…=SN：所有投资都是一样的。那么我们有：g=…=gn=：g，σ=…=σN=：σ；g（r）-λρ（r）=（（u-r） 2σ（1- λ），r≤ u - σ;u -σ（1+λ），r≥ u - σ.18 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY Sarantsevλ<λ时，在r=0时达到最大值*:= 1.- 2.uσ+ 1-1，且在任何r≥ u-λ>λ的σ*. 其含义如下：情况λ<λ*与风险厌恶程度较低的央行相对应，为了增加系统中的资本总量，央行希望将利率降至零。对于λ>λ的情况*, 然而，中央银行非常规避风险，它提高利率以防止过度借贷和金融系统过热。（3.b）独立投资组合过程：aij=σiδij。

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2022-6-1 03:11:46

Theng（右）-λρ（r）=NNXi=1gi（r）-λ2Nσiρi（r）.该函数达到最大值：在r=0时，λ<λmin：=N mini=1，。。。，N“1- 2.uiσi+1-1#，在r=maxi=1，。。。，Nui- σi对于λ>λmax：=N max=1，。。。，N“1- 2.uiσi+1-1#.在一般情况下，对于λ情况下的最优r，我们没有明确的形式∈ [λmin，λmax]。如果u=…=uN=u，σ=…=σN=σ，我们有λmin=λmax。注意，这里中央银行选择扩张性货币政策（零利率r=0），λ的值大于案例（3.b）。这有以下解释：如果银行的投资组合是独立的，那么这将在系统中创造多样化并降低风险。因此，即使是相对规避风险的央行（大λ）也可以追求积极的扩张性货币政策。（3.c）具有相同增长率u=ui和波动率σ=σi的相关投资组合过程。假设这些投资组合过程的驱动布朗运动如（11）所示相关。经计算得到：g（r）=（（u-r） σ+r，r≤ u - σ;u -σ、 r≥ u - σ;ρ（t）：=cu - rσ∧ σ, c：=λN- 1Nρ+N.然后我们可以找到最佳的r：这个isr*=（0，c<1- 2.uσ- 1.-1.u - σ、 c>1- 2.uσ- 1.-注意，对于ρ=1，我们得到情况（3.a），对于ρ=0，我们得到情况（3.b）。案例（3.c）处于中间阶段：私人银行投资组合之间存在差异，但这种差异并不完全。因此，一个厌恶风险的央行可以追求比案例（3.a）更多的扩张性货币政策，但比案例（3.b）更少。为了说明风险规避λ对最优利率的影响，我们模拟了三种情况。首先，在图9中，我们假设不相关的投资组合过程，每个过程都具有相同的均值和波动率ui=σi=0.1，对于i=1，N、这就是案例（3.a），上文在《银行间流动、借贷和投资》19（a）最优利率（b）w（r，λ）图9中讨论了该案例。

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2022-6-1 03:11:50

N=30不相关投资组合过程的最优利率：ρ=0，ui=σi=0.1，i=1，N（a）最适酯（b）w（r，λ）（c）ui- σi图10。N=30个不相关资产的最优利率。平均值和标准偏差ui，σi，i=1，N i.i.d均匀分布在[0.1，0.2]（a）最适酯（b）w（r，λ）（c）ui上- σi图11。N=30组合过程的最优利率，相关系数ρ=0.8，ui，σi，i=1，本节[0.1，0.2]上的N i.i.d均匀。20 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEVNext，在图10中，我们假设独立的投资组合过程，但平均值和标准偏差ui，σi，i=1，N i.i.d均匀分布在[0.1，0.2]。这就是案例（3.b），本节将对其进行讨论。然而，令我们惊讶的是，当我们增加风险规避参数λ时，我们观察到最优利率只有一个跳跃。最后，在图11中，我们假设相关投资组合过程ρ=0.8，平均值和标准偏差ui，σi，i=1，N取自i.i.d均匀【0.1，0.2】。这是上述案例（3.c）的一般化版本。我们观察到，由于投资组合过程中的相关性，即使风险厌恶程度相对较低的央行也被迫提高利率。5、长期稳定性在本节中，我们分析了中心过程的长期行为：（50）~Y=Y，YN,Yi（t）=Yi（t）- Y（t），i=1，N、它取超平面∏中的值：={y∈ RN | y+…+yN=0}。换言之，我们正试图发现，随着时间的推移，银行的原始资本是保持在一起，还是分裂成两个或多个“云”。对于基于RANK的金融市场模型，[1]提出了一个类似的问题，并在[2]中得到了解决。

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2022-6-1 03:11:53

在这篇论文中，股票的对数资本化被建模为布朗粒子，漂移和扩散系数仅取决于该粒子相对于其他粒子的当前排名。这类系统，也称为一阶模型或竞争布朗粒子，是最近许多研究的主题。关键参数是银行间现金流的利率。在这些速率的某些相当普遍的条件下，过程（50）是遍历的：它具有唯一的静态分布；对于任何初始条件，它都会收敛到这个分布→ ∞. 本节有两个结果。定理5.1涉及与时间无关的流速cij的情况：cij（t）≡ cij。引理5.2涵盖了一般情况。假设中央银行已经选择利率r=r*, 如上所述。那么Y是漂移系数为g（r）的布朗运动*) 和扩散系数ρ（r*). 我们有：（51）dYi（t）=dMi（t）+NNXj=1cij（t）（Yj（t）- Yi（t））dt，i=1，N、这里，过程：M=（M，…，MN）是具有漂移向量和协方差矩阵u的N维布朗运动*= （u*, . . . , u*N）和A*= （a）*ij）i，j=1，。。。，Nfrom（33）和（34）。中心过程（50）满足SDE（52）dYi（t）=dMi（t）+NNXj=1cij（t）Yj（t）-Yi（t）dt，i=1，N、此处，~Mi（t）：=Mi（t）- M（t）对于i=1，N、注意，M=（~M，…，~MN）是∏值布朗运动。其漂移矢量（53）~u*= (~u*, . . . , ~u*N），￠u*i： =u*我- u*, u*:=NNXi=1u*协方差矩阵（54）~A*= （a*ij）：=V A*五、 V=英寸- N-1ee，e=（1，…，1）∈ 注册护士。因此，Y是一个马尔可夫过程。用Pt（x，·）表示其过渡函数。定义函数V∏的以下度量范数：∏→ [1, ∞):kνkV：=sup | f|≤五、Z∏fdν.我们表示向量x=（x，…，xd）的欧几里德范数∈ Rdbykxk：=x+…+除息的1/2.定理5.1。

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mingdashike22

2022-6-1 03:11:56

假设流速cij（t）=cijare常数。定义顶点集{1，…，N}上的图G：i<-> j i ff cij>0。如果G是连通的，则：（a）~Y在∏上有唯一的平稳分布π，这是多元正态分布；（b）过渡函数满足某些常数c，λ，k>0：（55）kPt（x，·）- π（·）kV≤ cV（x）e-kt，V（x）：=expλkxk;（c）对于任何有界可测函数f：∏→ R我们有，a.s.：limT→∞TZTf（~Y（s））ds=Z∏f（Y）π（dy）。证据从SDE解的性质和协方差矩阵的非退化性*对于M，我们有以下正性性质：（56）Pt（x，C）>0，对于所有t>0，x∈ π，C 带mes的∏（C）>0。所有两次连续可微分函数f∏的▄Y生成器→ R由以下公式得出：（57）Lf（x）：=~u*+NMx公司· f+NXi=1NXj=1a*ij公司fxixj。这里，M=（mij）i，j=1，。。。，Nis以下矩阵：（58）mij=cij，i 6=j；-Pk6=icik，i=j。现在，将（55）中的函数V插入到生成器（57）中，以获得合适的λ。然后（59）V=λxV，五、xixj公司=λxixj+λδij五、结合（59）和（57），我们得到：（60）LV=λ~u*· x+λNxMx+λ（x~A）*x） +λtr（￠A*)五、利用下面的引理7.4，我们得到：（61）N[xMx]≤ -ckxk，c：=c（M）N。存在一个常数a>0，这样对于所有x∈ π，我们有：xA*x个≤ akxk。结合（60）和（61）的观察，我们得到：22 ADITYA MAHESHWARI和ANDREY SARANTSEV（62）LV≤λ~u*· x个- λckxk+aλkxk+λtr（≈a*)五、选择λ：=c/a，然后（62）采用形式（63）LV（x）≤ K（x）V（x），K（x）：=cau*· x个-c2akxk+catr（▄A*).注意，作为kxk→ ∞, 我们有：K（x）→ -∞. 因此，对于某些常数c，c>0，（64）K（x）≤ -c、 kxk公司≥ c、回想一下（6）中球B（c）的定义。由于LV和V是连续的，我们有：（65）maxx∈B（c）[LV（x）+cV（x）]=：c<∞.将（63）与（64）和（65）结合，我们得到：（66）LV（x）≤ -cV（x）+cB（c）（x）。最后，将（66）与▄Y的Feller性质相结合（即。

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能者818

2022-6-1 03:11:59

对于有界连续函数f，映射x 7→ Ptf（x）对于转移函数P（Y）也是有界和连续的，并且具有正性（56）。将附录中的引理7.1应用于Lebesgue referencemeasureψ和（55）中的函数V。这就完成了（a）（平稳分布的唯一性）和（b）的证明。这个平稳分布π是多元正态分布的事实，源于观察到Y是超平面∏上的多维OrnsteinUhlenbeck过程。为了完成定理5.1的证明，让我们展示（c）：这类似于[2，定理1]的证明。取任意r≥ c、调整上述（66）的证明，我们发现存在一个正常数d（r），使得LV（x）≤ -cV（x）+d（r）1B（r）（x）。设τB（r）：=inf{t≥ 0 | Y（t）∈ B（r）}是球的击球力矩B（r），对于固定的r>0。应用[24，定理4.3（a）]，函数V来自（55），f：=1，δ：=0。ThenExτB（r）≤ c-1V（x），x∈ Π.利用V在紧致子集上有界的事实来验证引理7.2中的假设（b）。这个引理的假设（a）来自于观察到的▄Y的协方差矩阵是恒常的。现在应用引理7.2，引自【19，定理4.1，定理4.2】，引自【2，命题1】。这就完成了定理5.1第（c）部分的证明。引理5.2。假设流速由Cij（t）=cijf（￠Y（t）），i，j=1，N、 i 6=j；t型≥ 0，其中f：π→ R是这样一个函数，limkzk→∞f（z）>0，以及定理5.1中的cijare实数。那么定理5.1的结论是相同的，减去π是多元正态的结论。银行间流动、借贷和投资证明。与定理5.1相似，但有以下变化：我们没有（60），而是：LV（x）=λ~u*· x+λf（x）NxMx+λ（x~A）*x） +λtr（￠A*)五、存在c，c>0，使得f（x）≥ C或x∈ ∏，kxk≥ c

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