使用Malliavin的保险衍生产品定价公式

2022-6-1 03:41:04

事实上，预期亏损是一个有用的风险衡量指标，它考虑了预期亏损超过风险价值的规模。正式定义为α(-LT）=E[-LT公司|-LT>V@Rα(-LT）]，α∈ (0, 1).众所周知，预期缺口与风险平均值一致(AV@R)，即α(-LT）=AV@R(-LT）：=1-αZαV@Rs(-LT）ds，当且仅当P[-书信电报≤ q+-LT（t）]=t，t∈ （0，1），其中q+-LT（t）表示levelt的分位数-LT（精确定义见第2.2.2节）。然而，在这个简单的例子中，当尺寸要求夏尔常数等于1时，这个属性就失效了，因为LT=nTi是一个泊松随机变量，它表现出不连续的分布函数。然而，我们的方法给出了E[LT{LT<β}]的另一种显式计算，从而给出了ESα的另一种显式计算(-LT）asESα(-LT）=-E[LT{LT<β}]P（LT<β），β：=-V@Rα(-LT）。在本节结束时，我们对Xiand^Xi索赔的mo deli-ling进行了一些评论。在经典的Cramer-Lundberg模型中，索赔是独立的、同分布的（i.i.d.），并且与计数过程N无关，计数过程N恰好是一个非齐次泊松过程。在这项工作中，我们考虑了一个双随机泊松过程，并且我们允许索赔的大小、索赔的到达和索赔的强度之间存在依赖关系。特别是，我们不假设马尔可夫环境。再保险文献（如Albers【1】、Denuit等人【9】或De Lourdes Centeno【8】等）研究了特定依赖结构对止损保费的影响，但这些工作通常假设连续索赔规模和到达间隔之间存在依赖关系。然而，在破产理论文献中，一些贡献已经提出了到达时间和索赔规模之间的违约依赖关系，如Albrecher和Boxma【2】、Boudreault、Cossette、Landriaultand Marceau【7】和相关著作。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:07

Albrecher、Constantinecu和Loisel[4]提出了依赖性的一般框架，其中依赖性通过所谓的脆弱性参数混合而产生。最近，Albrecher等人[3]将保险风险模型中的生存概率和破产概率与“对应”排队模型中的等待时间分布相关的对偶结果进行了扩展。风险过程es在排队理论的工作负荷模型中有对应的过程，并且在queueingcontext中考虑了类似的混合依赖结构。此外，我们的框架扩展了[4]和[3]的混合方法，允许对索赔金额使用不可交换的随机变量族。同样，在信贷风险建模中，我们也可以假设回收率取决于潜在违约强度，如Bakshi、Madan和Zhang[5]。我们的工作如下。我们首先在第2节中明确了我们的损失过程模型，并提出了我们将提出定价公式的保险合同。后者将在第3节中作为定理3.5加以说明和证明。本节还给出了几种保险合同的特殊情况。最后，第4.2节模型设置中给出了明确的示例。在本节中，我们描述了损失过程以及我们将研究的相关再保险合同。在本文中，T将表示一个表示最终地平线时间的正整数。2.1损失过程我们首先介绍损失过程L：=（Lt）t∈[0，T]其中索赔的规模与其竞争时间相关。Let（Nt）t∈[0，T]是具有随机强度（λT）T的Cox过程（也称为双随机泊松过程）∈[0，T]，其跳跃时间由（τi）i表示∈N*,对索赔的到达时间进行建模。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-1 03:41:10

我们假设索赔规模Xidepends取决于∧t=Rtλsds定义的累积强度和索赔到达时间τi。此外，它还取决于一些随机变量εi，其中我们假设（εi）i∈N*是独立于考克斯过程N的正i.i.d.随机变量序列。更准确地说，损失由t给出：=NtXi=1Xie-κ（t-τi），其中Xi：=f（τi，λτi，εi），t∈ [0，T]，（2.1），其中κ是贴现因子，f:R+→ R+是一个有界确定性函数。下面我们提供几个例子。示例2.1。在经典破产理论中，索赔额通常被认为与到达和强度过程无关。在这种情况下，我们有f（t），l, x） =x.2。在第二个例子中，我们假设f对外生因子ε的依赖性是线性的，线性系数是累积强度∧随时间变化的函数，即∧tt，它代表某种平均强度水平。例如，letf（t，l, x） =rltx.在本例中，如果εi服从参数为1的指数分布，则Xi=f（τi，∧τi，εi）遵循参数为qτi∧τi的指数分布，该分布与向量（τi，∧τi）相关。2.1.1广义损失过程我们还可以考虑一种更一般的情况，即实际索赔额（Xi）i∈N*不完全是为激活再保险合同而计算的。更准确地说，假设除了系数（εi）i∈N*, 存在一系列i.i.d.正随机变量（θi）i∈N*这可能取决于随机变量εi。设g:R+→ R+是确定性有界函数。我们可以将修改后的累积损失过程定义为^Lt：=NtXi=1g（τi，λτi，εi，θi）e-κ（t-τi），t∈ [0，T]。（2.2）更准确地说，虽然保险合同是由损失过程L触发的，但赔偿金额可以取决于其他一些外部因素（θi）i∈N*.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:13

例如，这意味着θi的金额远低于εi。美国东海岸的住房保险市场就是一个典型的例子。事实上，该地区季节性地暴露在不同程度的飓风中。大多数损失都会影响到被保险人的房屋，他们也可以购买其他财产的合同，比如价值很低的汽车。飓风发生后，再保险止损合同将根据房屋的总损失（由索赔εi表示），而有效损失也将包括所有其他投保财产（由εi建模）。在函数g不依赖于第四个变量的特殊情况下，一般损失^Ltreduces为（2.1）中定义的标准损失。下面我们给出一些联合分布的例子（εi，θi）。示例2.2。第一种自然情况是，εi和θi是独立的随机变量。例如，它们都可以遵循指数分布（或Erlang分布），具有不同的正参数θ和θ。2、我们可以使用[4]中的混合方法引入εiandθiby之间的依赖关系。设εiandθi分别服从帕累托边际分布，并根据克莱顿copula建立依赖结构（根据【4】中的示例2.3，这可以通过混合两个帕累托边际分布来实现，其中混合参数服从阿加玛分布）。3、明确相关的情况：让εi遵循帕累托分布，θi遵循Weibulldistribution，其形式或缩放参数取决于εi.2.2再保险合同和相关数量2.2.1广义止损合同我们在引言中看到了止损合同，其支付由Φ（LT）给出，其中Φ已在（1.1）中定义，并对应于看涨期权价差，也就是说，两个调用函数的差异。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:16

我们的方法允许我们超越止损合同的情况。考虑再保险公司支付Φ（LT，^LT）的合同=0，如果LT≤ K^LT- K、如果K≤ 书信电报≤ 毫米- K、如果LT≥ M、（2.3）如果先验损失Lt超过某个量K或属于某个区间[K，M]，则使用（2.2）中定义的^Lt。那么这样一个合同的价格是：Eh^LT{LT>K}i- KP[升∈ [K，M]]+（M- K） P【LT≥ M）。（2.4）2.2.2预期亏损预期亏损是一种重要的风险衡量指标，它考虑了高于风险价值的预期亏损规模。我们回顾了αasESα水平的预期短缺(-LT）=E[-LT公司|-LT>V@Rα(-LT）]，α∈ (0, 1).式中，V@R isV@Rα（X）=-q+X（α）=q--X（1- α） q+X（t）=inf{X | P[X≤ x] >t}=sup{x | P[x<x]≤ t} q-X（t）=sup{X | P[X<X]<t}=inf{X | P[X≤ x]≥ t} 。众所周知，ESα（X）等于AV@R（X）：=1-αRαV@Rs（X）ds当且仅当ifP[X≤ q+X（t）]=t，t∈ （0，1），如果Xis的分布函数是连续的，这一点尤其令人满意（参见例如[10，R关系（4.38）]）。然而，在大小要求夏尔常数的情况下，后一个属性已经失效。因此，不能依赖于上述关系，必须直接计算条件期望ESα(-LT）。我们将为预期短缺提供一个替代表达式。我们用β表示：=-V@Rα(-LT），thenESα(-LT）=-ELT{LT<β}P【LT<β】，其中β=q+-LT（α）=inf{x | P[LT>-x] >α。}所以再次计算的关键项是期望值ELT{LT<β}.2.3一般付款通常，我们对计算公式h^LTh（LT）i的数量感兴趣，其中h:R+→ R+是一个E[h（LT）]<∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:19

由于在我们的模型中，计数过程是由具有随机强度的Cox过程给出的，因此构建块通过使用条件期望X 7成为以下映射→ Eh（LT+x）|（λt）t∈[0，T].请注意，第2.2.1节（分别为第2.2.2节）的示例包含在此设置中，选择h：=1【K，M】表示一些-∞ ≤ K<M≤ +∞ （分别为h：=1[-∞,β] 和^LT=LT）。我们的方法需要一些随机分析材料，我们将在下一节中介绍这些材料。3使用Malliavin演算的定价公式在本节中，我们使用Malliavin演算建立我们的主要定价公式。为此，我们首先精确计算与损失过程相关的泊松空间。然后，我们为微积分中的Malliav提供了基本工具。3.1泊松空间的构造3.1.1计数过程和强度过程我们记得损失过程涉及Cox过程（Nt）t∈[0，T]及其强度和跳跃时间，以及随机变量族（εi）i∈N*. 我们首先介绍一个通用计算过程，该过程将有助于（Nt）t的构造∈[0，T]在适当的空间上。允许Ohm是[0]中严格递增的（有限或有限）序列集+∞[.我们定义了集合上的连续时间随机过程COhm像（t，ω）∈ [0, +∞[×Ohm, Ct（ω）：=卡（[0，t]∩ ω).设FC=（FCt）为过程C生成的过滤，即FCt：=σ（Cs，s≤ t）。已知存在唯一的概率测度Pon(Ohm, 常设费用∞) 在此情况下，过程C是强度为1的泊松过程，即对于每个（s，t）∈ [0, +∞), 当s<t时，随机变量Ct-Csis独立于带参数t的FCS和泊松分布-s、然后我们考虑一个概率空间(Ohm, A、 P）定义：（i）正随机过程（λt）t∈[0，T]使得ztλsds<+∞, P-a.s。。（ii）i.i.d.集合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:22

R+-值有界随机变量（εi，θi）i∈N*和独立于（εi，θi）i的R+-随机变量（ε，θ）∈N*, 式中（ε，θ）L=（ε，θ）（其中L=表示概率分布相等）。我们设定u对定律（ε，θ）。假设3.1。我们假设λ独立于（εi，θi）i∈N*, 和（ε，θ）。Fλ=（Fλt）t∈[0，T]是由随机过程λ生成的正确连续完全过滤。此外，我们设置∧t：=Ztλsds，t∈ [0，T]。（3.1）设Fε，θ是由（εi）i生成的σ-代数∈N*和（θi）i∈N*. 注意，只有（εi）i∈N*和（θi）i∈N*将参与损失过程，ε和θ只是起辅助作用的独立副本。我们用u表示偶的概率定律（εi，θi）。假设3.2。在本文中，我们得出：∧T<+∞, P- a、 s。。3.1.2双随机泊松过程我们现在考虑乘积空间(Ohm := Ohm×Ohm, F：=FC∞A、 P：=PP）。通过滥用旋转，任意随机变量YOhm可以视为随机变量Ohm 其中ω=（ω，ω）到Y（ω）。类似地，任何随机变量ZOhm可以视为arandom变量Ohm 它将ω=（ω，ω）发送到Z（ω）。我们定义了一个计数过程N：=（Nt）t∈[0，T]打开Ohm 通过使用时间变化asNt（ω，ω）：=C∧t（ω）（ω）=CRtλs（ω）ds（ω），t∈ [0，T]，（ω，ω）∈ Ohm.请注意，对于任何t，Ntis FC∞ FλT-可测随机变量。此外，对于任何固定ωOhm, Nt（.，ω）是一个非齐次泊松过程Ohm强度为t 7→ λt（ω）相对于过滤（FC∧t（ω））t∈[0，T]读作asEheiu（Nt-Ns）Fλsi=E经验值（eiu- 1） ZtsλrdrFλs, 0≤ s<t≤ T、式中，E表示过程（ut）T对测量值P的期望值∈[0，T]这样：utis F-可测量，t∈ [0，T]，对于a.e。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:25

ω∈ Ohm, （ut（·，ω））t∈[0，T]是（FC∧T（ω））T∈[0，T]-可预测，EhRT | ut | dti<+∞,（3.2）我们表示为RTUSDN（ω，ω）u（ω，ω）对测度N（ω，ω）的Lebesgue-Stieltjes积分。对于任何i∈ N、我们让τibe为过程N的第i个跳跃时间，即ω = (ω, ω) ∈ Ohm, τi（ω）：=inf{t>0，Nt=C∧t（ω）（ω）≥ i} ，在约定τ=0.3.2 Malliavin分部积分公式的情况下，我们现在可以在乘积空间上陈述Malliavin分部积分公式。对于anyt∈ [0，T]和ω∈ Ohm长度有限或极限大于t的，我们定义ω∪ {t} 在中Ohm作为递增序列，其基础集是ω和t的并集。该算子的作用是在时间t向泊松过程N添加一个跳跃。最后，对于ω：=（ω，ω）∈ Ohm, 和t∈ [0，T]，我们设置ω∪ {t} ：=（ω∪ {t} ，ω），前提是ω∪ {t} 定义明确。下面的引理是[13，Corollaire 5]或[14]中所述引理的直接扩展（另见[15]）。引理3.3。让u：Ohm ×【0，T】→ R是一个随机过程，享有（3.2），F：Ohm → Rbe有界F-可测随机变量。然后是随机过程（ω，t）7→ F（ω∪ {t} ）定义明确P dt-a.e.安第斯山脉FZTUSNS公司FλT∨ Fε，θ= EZTutF（·）∪ {t} ）λtdtFλT∨ Fε，θ. （3.3）3.3主要结果在本节中，我们通过稍微滥用符号E，给出了关于计算量Eh^LTh（LT）i的主要结果·FλT:= E·常设费用 FλT和E·FλT∨ Fε，θ:= E·常设费用（FλT∨ Fε，θ）.其中h:R+→ R+是一个E[h（LT）]<∞ （2.1）和（2.2）中分别定义了Lt和^Lt。我们设置Дhλ（x）：=Ehh（LT+x）| FλTi，x∈ R+。（3.4）乍一看，考虑构建块中给定的条件期望λ可能会令人惊讶。事实上，由于N的强度λ是随机的，因此可以将其与具有独立随机波动率的Black-Scholes模型进行比较。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-1 03:41:28

在这种情况下，Black-Scholes公式将根据给定波动率的股票终值的条件定律来编写（这将是一个简单的对数正态分布，方差由波动率给出）。再次说明，对于第2.2.1节中所述的保险合同，h：=1【K，M】，因此，Дhλ与LT的条件分布函数一致。在开始陈述和证明主要结果之前，请注意^LT=ZT^ZsdNs，（3.5）与^Zs：=+∞Xi=1g（s，λs，εi，θi）e-κ（T-s）（τi-1，τi]（s），s∈ [0，T]。（3.6）此外，在现场{sN=0}，一个有^Zs=g（s，λs，ε1+Ns，θ1+Ns）e-κ（T-s）。（3.7）由于∧是一个连续过程，则^Z满足关系（3.2），前提是EZT |^ZT | dt< +∞.我们从下面的引理开始分析。引理3.4。根据假设3.1和3.2，对于任何t∈ [0，T]，它认为g（t，∧t，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t），LT（·）∪ {t} ），λtL=g（t，∧t，ε，θ）e-κ（T-t），LT+f（t，∧t，ε）e-κ（T-t），λt.证据我们设置：=NtXi=1f（τi，λτi，εi）e-κ（T-τi），L+t：=NtXi=1f（τi，λτi，εi+1）e-κ（T-τi），t∈ [0，T]。我们首先精确计算LT（ω）的值∪ {t} ）对于固定元素t∈ （0，T）和ω：=（ω，ω）inOhm 使t 6∈ ω和ω∪ {t} 定义良好（此类ω的集合具有概率1）。根据定义，我们有lt（ω∪ {t} ）=NT（ω∪{t} ）Xi=1f（τi（ω∪ {t} ），λτi（ω）∪{t} ）（ω），εi（ω））e-κ（T-τi（ω∪{t} ））请注意我∈ N、 τi（ω∪ {t} （）=τi（ω），如果i≤ Nt（ω），t，如果i=Nt（ω）+1τi-1（ω），如果i>Nt（ω）+1。因此我们可以写出LT（ω∪ {t} ）作为以下三项之和lt（ω）∪ {t} ）=Nt（ω）Xi=1f（τi（ω），∧τi（ω）（ω），εi（ω））e-κ（T-τi（ω））+f（t，∧t（ω），ε1+Nt（ω）（ω））e-κ（T-t） +NT（ω）+1Xi=NT（ω）+2f（τi-1（ω），∧τi-1（ω）（ω），εi（ω））e-κ（T-τi-1(ω)).（3.8）根据定义，总和中的第一项仅为Lt（ω）。此外，通过改变指数，我们可以写出第三项asNT（ω）Xi=Nt（ω）+1f（τi（ω），λτi（ω）（ω），εi+1（ω））e-κ（T-τi（ω））=L+T（ω）- L+t（ω）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:31

（3.9）因此，通过（3.8），以下等式几乎可以确定f（t，∧t，ε1+Nt）e-κ（T-t） =（LT（。∪ {t} （）- Lt）- （L+T- L+t）。（3.10）此外，从分解公式（3.8）中，我们还观察到ε1+Ntis与T+L+T无关- L+T激活FC∞ FλT。此外，根据假设3.1，ε1+Ntfc的条件定律∞ FλT符合ε定律，因为Fε与FλT无关。我们现在计算两个感兴趣的随机向量的特征函数。设χ为随机向量的特征函数g（t，∧t，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t），LT（·）∪ {t} ），λt.Let（u，u，u）∈ R、一个有χ（u，u，u）：=Eheiug（t，λt，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） +iuLT（。∪{t} ）+iuλti=Eheiuλteiug（t，λt，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） +iu（Lt+e-κ（T-t）（f（t，∧t，ε1+Nt）+L+t-L+t）i=Eheiuλteiu（Lt+L+t-L+t）eiue-κ（T-t） f（t，∧t，ε1+Nt）eiue-κ（T-t） g（t，∧t，ε1+Nt，θ1+Nt）i.因为ε1+Nt和θ1+Nt与Lt+L+t无关- L+T激活FC∞ FλT，我们得到χ（u，u，u）=Eheiuλteiue-κ（T-t） f（t，∧t，ε）eiue-κ（T-t） g（t，∧t，ε，θ）Eheiu（Lt+L+t-L+t）常设费用∞ FλTii，其中我们还使用（ε1+Nt，θ1+Nt）的概率定律给定FC的事实∞Fλtcocincidewithu（我们记得，这是（ε，θ）的概率定律）。此外，从（3.9）中，我们观察到Lt+L+T- L+THA与FC上的LTC条件相同∞ FλT。因此，我们得到χ（u，u，u）=E[eiuλteiue-κ（T-t） f（t，∧t，ε）eiue-κ（T-t） g（t，∧t，ε，θ）eiuLT）=E[eiue-κ（T-t） f（t，∧t，ε）eiu（e-κ（T-t） g（t，∧t，ε，θ）+LT）eiuλt]，表明χ与向量的特征函数一致g（t，∧t，ε，θ）e-κ（T-t），LT+f（t，∧t，ε）e-κ（T-t），λt.由此证明了引理。现在，我们来讨论本文主要结果的陈述和证明。定理3.5。回想一下（εi，θi）i∈N*和（ε，θ）是具有普通法u的i.i.d。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:34

根据假设3.1和3.2，它认为eh^LTh（LT）i=中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，ε，θ）λtДhλf（t，∧t，ε）e-κ（T-t）idt=ZR+中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，x，y）λtДhλf（t，∧t，x）e-κ（T-t）iu（dx，dy）dt，（3.11），其中^lti在（2.2）中定义，映射φhλ（x）：=Eh（LT+x）| FλT定义见（3.4）。证据假设3.1和3.2有效。利用关系式（3.5）和泊松空间（3.3）上的分部积分公式，它认为eh^LTh（LT）i=eh^LTh（LT）Fε，θ∨ FλTii=EEh（LT）ZTZtdNtFε，θ∨ FλT= EZTZth（LT（·）∪ {t} ））λtdt通过关系式（3.7）和{tN 6=0}可忽略，我们得到了h^LTh（LT）i=EZTg（t，∧t，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） h（LT（·）∪{t} ））λtdt=ZTEhg（λt，ε1+Nt，θ1+Nt）e-κ（T-t） h（LT（·）∪ {t} ））λtidt。最后，通过引理3.4，上述公式得出LT{LT∈[K，M]}=ZTEhg（t，λt，ε，θ）e-κ（T-t） h类LT+f（t，λt，ε）e-κ（T-t）λtidt。因为ε与FλT无关∨ Fε，一相HLT+f（λt，ε）e-κ（T-t）FλT∨ σ（ε）i=Дhλf（t，∧t，ε）e-κ（T-t）.因此，eh^LTh（LT）i=ZTEhg（t，∧t，ε，ε）e-κ（T-t） λt~nhλf（t，∧t，ε）e-κ（T-t），f（t，∧t，ε）e-κ（T-t）idt=ZR+中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，x，y）λtДhλf（t，∧t，x）e-κ（T-t）idtu（dx，dy），如定理所断言。备注3.6。1、注意，从等式（3.11）可以清楚地看出，我们的方法只要求了解给定λ的条件定律（通过映射Дλ），而不是一对（LT，^LT）。这对于上述表达式的数值近似似乎特别有用。上述定理为我们提供了定价公式与强度过程（λt）t的关系≥计数过程的0。关系式（3.11）允许我们在假设h为凸（分别为凹）的情况下给出价格的下界（分别为上界）。推论3.7。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:41:38

在定理3.5的假设下，它认为：（i）如果h是凸的，则eh^LTh（LT）i≥ZR+中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，x，y）λthE[LTFλT]+F（T，∧T，x）e-κ（T-t）iu（dx，dy）dt。（i）如果h是凹的，则Neh^LTh（LT）i≤ZR+中兴通讯-κ（T-t） Ehg（t，λt，x，y）λthE[LTFλT]+F（T，∧T，x）e-κ（T-t）iu（dx，dy）dt。证据我们证明（i）正如语句（ii）所遵循的一样。当h被假定为凸时，Jensen不等式意味着Дhλ（x）≥ h类E[LTFλT]+x, x个∈ R+。然后，通过将该估算值与（3.11）的关系代入，得出结果。4应用和示例在本节中，我们提供了一些主要结果的应用示例，特别是对于（广义）止损合同。这种明确的计算也将有助于CDOtranches和预期短缺风险度量。4.1构建块的计算当h：=1{[K，M]}：Дλ（x）：=Дhλ（x）=PhLT时，我们首先关注构建块Дhλ（定义见（3.4））∈ [K]- x、 M级- x] | FλTi，x∈ R+，对应于止损合同或CDO部分的支付。设Fε：=σ（εi，i∈N*). 对于任何i∈ N*, 我们在R+中设置Xi：=f（τi，∧τi，εi）和x，我们有phlt∈ [K]- x、 M级- x]FλT∨ Fεi=P“NTXi=1Xieκτi∈ [（K- x） eκT，（M- x） eκT]FλT∨ Fε#=+∞Xk=1E“kXi=1Xieκτi∈ [（K- x） eκT，（M- x） eκT]NT=k，FλT∨ Fε#P[NT=k | FλT]=+∞Xk=1e-RTλsdsZSkP“kXi=1Xieκti∈ [（K- x） eκT，（M- x） eκT]FλT∨ Fε#λtdt··λtkdtk=+∞Xk=1e-RTλsdsZSkZRk+{Pki=1xieκti∈[（K-x） eκT，（M-x） eκT]}L |λx（1:k）（dx，…，dxk）λtdt··λtkdtk，（4.1），其中Sk：={0<T<··<tk≤ T}，X（1:k）：=（X，…，Xk）和l |λX（1:k）（dx，…，dxk）：=P“X（1:k）∈ （dx，…，dxk）FλT#。只需计算不同情况下索赔X（1:k）的联合分布。特别是，我们在下面提供了一个明确的示例。εi模型：我们假设（εi）i∈N*是i.i.d。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-1 03:41:41

具有帕累托分布的随机变量P（αε，βε）具有（αε，βε）∈ （R）*+)其密度ψε定义为ψε（z）=βεαβεεεεzβε+1！{z≥αε}dz。选择f（t，l, x）：=qltx，与（4.1）相关的条件分布L |λX（1:k）（dx，…，dxk）变为L |λX（1:k）（dx，…，dxk）=P“r∧ttε，··，r∧tktkεk！∈ （dx，…，dxk）FλT#=kYi=1P“r∧titiεi∈ dxi公司FλT#=kYi=1βεqti∧tiαεβεzβε+1izi公司≥rti∧tiαεdzi。计算关系式（3.11）右侧的下一步是指定（ε，θ）的联合法则。（εi，θi）模型：我们假设（εi，θi）i∈N*是i.i.d.随机向量，边缘分布分别遵循帕累托分布P（αε，βε）和P（αθ，βθ）（对于一组参数αε，βε，αθ，βθ>0）。依赖结构通过参数θ>0的Clayton copula建模。我们记得Clayton copula是C（u，v）：=u-θ+v-θ- 1.-θ和克莱顿copula的密度c由c（u，v）：=（1+θ）（uv）给出-1.-θ（u-θ+v-θ- 1)-θ-（ε，θ）的联合分布由u（dx，dy）=c（Fε（x），Fθ（y））ψε（x）ψθ（y）dxdy和Fε（z）给出=1.-αβεεzβε和Fθ（z）=1.-αβθθzβθ.（λt，λt）的联合定律：计算关系式（3.11）的最后一步是精确计算（λt，λt）的联合定律。更准确地说，我们需要计算hg（t，λt，x，y）λtДλK- f（t，∧t，x）e-κ（T-t），M- f（t，∧t，x）e-κ（T-t）i总结强度过程（λt）t∈[0，T]由λT=λexp（2βWt）给出，其中W是布朗运动，βa常数（非空）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝